3.1 相似多边形-【追梦之旅 · 初中同步铺路卷】2026-2027学年九年级上册数学活页同步练习（北师大版·新教材）

四边形APQC的面积等于16cm2,S△ABc-S△Ps0=16cm2,. 2AB BC-2 BP BQ=16cmx6x8- (6-t)×2t=16. 2 解得t=2,2=4,当t=4时，点Q和点C重合，不能围成四边 形，应舍去，.t=2,∴.经过2s时，四边形APQC的面积等于 16cm2。故选A。 8.解：设我方侦察船再过x小时能侦察到敌方军舰，此时我方侦 察船所在位置为C,敌方军舰所在位置为D,根据题意得：AC2+ AD2=CD2,即(90-30x)2+(20x)2=502,解得：x=2,x2=13 28 答：航行途中我方侦察船最早2小时后能侦察到敌方军舰。 9.解：(1)由题意得BP=(5-t)cm,BQ=2cm,在Rt△BPQ中，根 辈容得得的民度学：，解得1=0舍去)，6-2 (2)由题意得CQ=(6-2)cm,2(6-2)(5-)=8,解得41=1， 2=7(不合题意，舍去)。即当t为1时，△PQC的面积等 于8cm2 10.解：(1)(x+0.7)2+2=2.520.8-2.2(舍去)0.8 (2)①不会是0.9米，理由如下：若AA1=BB1=0.9米，则AC =2.4-0.9=1.5(米)，B1C=0.7+0.9=1.6(米)，.1.52+1.6 =4.81,2.52=6.25,∴，B1C2+A1C2≠A1B1,∴.该题的答案不会 是0.9米： ②有可能，理由如下：设梯子顶端从A处下滑x米，点B向外 也移动x米，则有(x+0.7)2+(2.4-x)22.5,解得x1=1.7 米处子的脂 向外移动的距离有可能相等。 第2课时应用一元二次方程（二） 1.B2.553.B 4.40【解析】设周平均增长率为x,则根据题意列一元二次方 程，得100×(1+x)2=196,解得x1=-2.4(舍），x2=0.4=40%。 5.解：(1)设月平均增长率为x,500(1+x)2=720,解得x=0.2= 20%或x= -2.2(舍去)，答：月平均增长率为20%。 (2)设售价应降低a元，（100-a-60)(20+2a)=1200,解得a= 10或a=20,.商家决定降价促销，同时尽量减少库存，∴.a= 20,答：售价应降低20元。 【策略点拨】列一元二次方程求解平均变化率问题的一般策略： 设基数为a,平均增长（下降）率为x,则一次增长（下降）后的值 为a(1±x),两次增长（下降）后的值为a(1±x)2。 6.B7.30 8.解：(1)设y与x的函数关系式为y=kx+b(k≠0)，将x=10,y= 280和x=14,y=120分别代人解析式，得{19+二70，解得 {6=680y与x的函数关系式为y=-40x+680: ∫k=-40 (2)设每个游戏手办的售价定为x元，依题意，得：（x-8)(- 40x+680)=720,解得：x1=11,x2=14,当x=11时，销量y=-40 ×11+680=240(个)：当x=14时，销量y=-40×14+680=120 (个)，.尽快减少库存，.销量越大越好，而240>120，则x= 11 答：每个游戏手办的售价定为11元时，既能达到尽快减少 库存的目的，又能使所获日销售利润达到720元 9.解：设该公司人形机器人项目营业收人的年平均增长率为x。 根据题意得2400(1+x)2=4704,解得x,=0.4=40%,2 (舍去)，.该公司人形机器人项目营业收人的年平均增长率 为40%，4704×(1+40%)=6585.6≈6586（万元）。答：该公司 人形机器人项目营业收入的年平均增长率为40%，预测2026 年该公司的此项目营业收人约为6586万元。 10.解：（1)设该超市10月份第一周到第三周在该配送平台的订 单量的周平均增长率为x,根据题意得：250(1+x)2=490,解 得：x,=0.4=40%,x,=-2.4(不符合题意，舍去)。答：该超市 10月份第一周到第三周在该配送平台的订单量的周平均增 长率为40%： (2)设每单配送费上涨y元，则实际配送费为(8+y)元，日订 单量为(200-10y)单，根据题意得：(8+y-4)(200-10y)= 1280,整理得：x2-16y+48=0,解得：y1=4,2=12,二要尽可能 降低用户的配送成本，∴y=4,8+y=8+4=12(元)。答：每 单实际配送费应定为12元。 追梦第二章章末复习一元二次方程 1.A2.B3.A 4.B【解析】.·mx2-(2m+n)x+2n=0,∴.（mx-n)(x-2)=0,解 得x1=2,x2=1 ,∴.'关于x的一元二次方程mx2-(2m+n)x+2n m =0是“倍根方程”，.分两种情况：当2=2·几时，即m=几，此 m 72 同步练习，精炼高效抓考 时2m-n_2m-m_1 m+2nm+2m3,当2x2=产时，即n=4m,此时2m=n +2n 2m-4m=-2,综上所迷，代教式2m”的值为}或- m+8m 9 "m+2n 9。故 选B。 5.10 6.1【解析】根据题意可知，m2-3m+2=0,解得m1=1,m2=2;又 .m-2≠0，∴.m≠2，∴.m=1。 7. 2x(x-1)=45 8.解：(1)原方程可变形为x(x-2)-4(x-2)=0,（x-2)(x-4)= 0。x-2=0,或x-4=0。所以x1=2,x2=4; (2)将原方程化为一般形式，得3x2+10x+5=0。这里a=3,b= 10,c=5。因为b2-4ac=102-4×3×5=100-60=40,所以x= -10±/40-5±/10 -5+√/10 -5-/10 6 ,即x1= 3 9.解：(1)由条件可知：4=b2-4ac=[-(m+3)]2-4×1×(2m-1)= m2-2m+13=(m-1)2+12>0,∴.无论m为何值，方程总有两个 不相等的实数根。 2设8，CB的长分别为，则位2了由邀意得行 +x号=AC2,又x7+x号=(x1+x2)2-2x1x2,AC2=(35)2=35, (m+3)2-2(2m-1)=35,解得m=-6或m=4,AB,CB是三角 形的边长，.x1>0,x2>0,∴.x1+x2=m+3>0,x1x2=2m-1>0,.m >2,心当m=4时，△ABC是以AC为斜边的直角三角形。 10.解：(1)设AB=x米，则BC=2AB=2x米，根据题意，得2x+x+x =120,解得x=30,:AB=30米，BC=60米，答：长方形ABCD 花圃的长为60米，宽为30米； (2)设网红打卡点的边长为m米，根据题意，得(60-m)·4m +m2=60×30-1728,解得m1=4,m2=-24(舍去)，∴.网红打卡 点的面积为4×4=16（平方米），答：网红打卡点的面积为16 平方米。 11.解：(1)设该款迷你无人机的月平均增长率为x,由题意得 1125(1+x)2=1620,解得x,=0.2=20%,32三-2.2（不合题意， 舍去) 。答：该款迷你无人机的月平均增长率为20%； (2)设每架迷你无人机降价y元，则每天能销售(20+2y)架 由题意得(100-y-60)(20+2y)=1200,解得y1=10,y2=20。 :需要尽量减少库存，.y=20。答：每架迷你无人机的售价 应降低20元 高效同步练习1相似多边形 第1课时成比例线段及相似多边形 1.D2.A 3.A 【易错提醒】若四条线段a,b,c,d成比例，则a -（或a6=c: )是有顺序的，位置不能随意颠倒，如果题目中没有明确成比 例线段的顺序，那么需要进行分类讨论。 4.C5.B 6.解：(1)能成比例，.·在□ABCD中，DE⊥AB,BF⊥AD,AD=BC, AD AB BC AB SOeD=AB·DE=AD·BF,DE-BF DE-BF: （2),AB·DE=AD·BF,∴.10×2.5=5AD,解得：AD=5,.BC =5。 7.D8.C9.A 025 )或8或2【解析】设所加的线段是x,则得到：4=10或4 -或 5 25 4=10,解得：x=2或x=8或x=2。 11.B12.A13.C 14.√3【解析】设AF=a,AD=b,.·矩形ABCD被分割为3个面 积相等的小矩形，EC=2a,NC=)b,.CD=3a,:矩形 AFED∽矩形ABCD,· AF AD 、3a 0m)即g=6,b=3a,b于 30=3。 3a 15.解：(1)由题意得AB=120cm,AD=240cm。,矩形EFGH∽矩 EFEH.120-10-10240-2b 形ABCD,ABAD 120 240 ，解得6=20。 BS九年级数学上册 (2)【解析1：矩形MGH∽矩形ABCD,N-阳， AB BC BC MH MH AB-NMRC=240cm,4B=120cm,MM2,由图可得，Mh =120-2a,WM=240-56.120-2 4… 240-5b 2,解得a=5 b49 第2课时比例的等比性质 1.B2.D 39 【解析小 432设=2 x y z 4=3=2=(k≠0)，则x= 4k,y=3k,z=2k,. ,2x-y+2z2×4k-3h+2×2k9 x 4k 4 4.12 5解：(1)：a=&=e a+cte 6=a=于=2，且6+d4f0,6+d42: (2)由a=ce 6=a=f=2得a=2b,c=2d,e=2f,b-5d+6f=3, a-5c+6e=2b-10d+12f=2(b-5d+6f)=2x3=6。 6.解：①当a+b+c≠0时，： 20-2b-2e 2a+2b+2c bte ate atbhbtctatetatb k心2gtkk三1：②当a+bc=0时，则a+6=-c。 -20-2c-2。综上所述，k值为1或-2。 a+b -c 7.A 3 8.解：（设a三6=6=t(t≠0），a=3t,6=4t,c=6t,代入 3c得2a+b6t+45 3c18t=9 （2)由题意知，a+b+c=91,则3t+4t+6t=91,解得t=7,∴a=21, b=28,c=42。 9.解：设-牛=+y=k(k≠0)，则yt:=x,+x=y,x+y=他， (x+y)+(x+z)+(y+z)=k(x+y+z),∴.2x+2y+2z=k(x+y+z)。. k=2,yta=2x,ztx=2y,xty=2 x+y+z 3o 高效同步练习2探索三角形相似的条件 第1课时利用两角判定三角形相似 1.D2.93.A4.相似 5.B【解析】由题意，得AP=2tcm,BQ=4tcm,:AB=8cm,BC= 16cm,∴.BP=(8-2t)cm。(1)当∠BPQ=∠C,.·∠B=∠B,∴. △0a△Mc院器若-专期将： 5(2)当 BP BQ ∠BPQ=∠A,∠B=LB,△PBQ△ABC,ABBC, 名解得1=2，除上所运的值为子表2。故选 6.证明：(1).∠ACB=90°，.∠BCD+∠ACD=90°，.CD⊥AB, .∠A+∠ACD=90°，∴.∠BCD=LA; (2).·∠ACB=90°，∴.∠BMC+∠CBE=90°，MN⊥BM,. ∠AMN+∠BMC=90°，.∠CBE=∠AMN,又由(1)可知：∠BCD =∠A,.'.△AMN∽△CBE。 7.解：(1)在Rt△ABC中，AC=√AB2+BC=√6+82=10(m), ∠PCQ=∠ACB,当∠POC=LB时，△CQP∽△CBM,则P AC g即90日 108,解得=40. 13;当∠PQC=LBAC时，△CQ 的810解得=25 4c4B,则Cr=g,即10-2t 6为40 25 39 或7 时，以P、Q、C为顶点的三角形与△ABC相似： (2)四边形ABQP与△CPQ的面积不能相等。理由如下：作 PH⊥BC于H,则∠PHC=∠ABC,.·∠PCH=∠ACB,∴.△CPH ∽△CAB,∴. uc 6 1O-,..PH=(—)cm,当四 边形ABQP与△CPQ的面积相等时，S△Bc-S△cPw=S△cPo,即 Se=28ac. 2·t.30-6i1 =2×6×8,整理得2-5t+20 =0,此时方程无实数解，.四边形ABQP与△CPQ的面积不能 相等。 同步练习，精炼高效抓考 第2课时利用两边及夹角判定三角形相似 1.C2.C AE 1 AD 3.证明：AB=2,AD=3,AC=4,AB=6,·AC2=AB,又✉ ∠DAE=∠BAC,.△ADE∽△ABC。 4.B5.△ECA(答案不唯一) 6.(1)解：四边形ABCD是菱形，.CB=CD,:∠C=60°， △CDB是等边三角形，.DB=DC=BC=AB=4,,BE=EC,∴. DE LBC,..DE=DC2-CE2=42-22=23 (2)证明：四边形ABCD是菱形，∴.ADBC,·DE⊥BC,AF⊥ EF,∴.∠DEC=90°，∠AFE=90°，∴.∠ADG=∠DEC=∠GFE= 90°，又：LAGD=LEGF,△AGDn△EGF,EGFG,六DG AG DG AG FC,∠AGE=LDGF,△AGE△DGF. E 第3课时利用三边判定三角形相似 1.C2.A3.B4.DE 5.6 【方法指导】在网络中利用三边长判定两个三角形是否相似的 步骤：“一排二算三 判” 一排：将三角形的三边长按长短顺序 排列；二算：分别计算它们对应边（长边对长边，短边对短边）的 比值；三判：根据比值是否相等来判断两个三角形是否相似。 6.证明：D,E,F分别是0A,0B,0C的中点，DE= 2 AB,EF= BC,DF= 1 2AC,即E=EFDF1 7.(1)CD=AC AD AB BC AC2.△DEF△ABC. CD'A'C'A'D' ∠A=∠A' (2)解：△ABC与△A'B'C相似，理由如下：D-4D AB AB, AB-AD A'B'-A'D'BD B'D'BD AB CD AB -,即 AB A'B' BA'B心B'DAB。又 C'D'A'B BC CD BD BC BrC心CD BD-B'C△BDC△B'DC,LDBC= ∠D'B'C, B'CA'B△MBC∽△A'B'C。 BC AB 第4课时黄金分割 1.B2.5-13.C4B 5.25+2【解析】小四边形ABCD是正方形，.BC=CD=AB=4, 0是BC的中点，.OB=OC= 2BC=2,0D=√0C+CD =√22+42=2W5,.0E=0D=2√5，.BE=0B+0E=2+25。 6.C 7.解：(1)点D是AB边上的黄金分割点。理由如下：，·AB=AC, ∠A=36°，.∠B=∠ACB=72°。CD平分∠ACB,.∠ACD= ∠BCD=36°，∴.∠A=∠ACD,∴.AD=CD。.:∠CDB=180°-∠B -∠BCD=72°，.∠CDB=∠B,∴.BC=CD。∴.BC=AD。在 △BCD与△BCA中，LB=∠B,LBCD=∠A=36°，.△BCDM BC BD AD BD △BAC,BA-BCAB-AD点D是MB边上的黄金分 割点。 (2)直线CD是△ABC的黄金分割线。理由如下：设△ABC中， MB边上的高为h,则Saac=2AB·h,Sa4cw-2AD·h,Sancn =2BD·h。六C=AD:AB,SAcn:SAan=BD:AD.由 ),S△AcD= （1)知，点D是AB边上的黄金分割点，=ADS SACD是△ABC的黄金分剂线。 S AACD 高效同步练习3相似三角形判定定理的证明 第1课时平行线分线段成比例 1.D2.63. AD AE .10【解析DE/BC,AD=2,AB=5,AE=4,·ABAG,即5 AC,解得：4C=10。 4 CE 1 AE 2 CE 1 5.解：AB=2CE,AE2心AC3,AC3·EF/AB,BC= BS九年级数学上册 73高效同步练习 第1课时成比例 知识点①线段的比 1.(3分)若一张地图的比例尺是1：150000，在 地图上量得甲、乙两地的距离是5cm,则甲、 乙两地的实际距离是() A.3000m B.3500m C.5000m D.7500m 知识点②成比例线段 2.(3分)下列四条线段中，不是成比例线段的 为() A.a=4,b=5,c=6,d=10 B.a=2,b=3,c=4,d=6 C.a=1,b=2,c=3,d=6 D.a=2,b=√5，c=2W3,d=√15 3.（3分)若线段a,b,c,d是成比例线段，且a= 1 cm,6=4 cm,c=2 cm,d=( A.8cm B.0.5 cm C.2 cm D.3 cm 知识点③比例的基本性质 4.(3分)已知3x=5y(y≠0)，则下列比例式成 立的是( A.=y B.Y=* 35 53 C.￥、5 D.、5 y 3 5a分)若- 的值为() a 3 2 A.2 C.5 6.(9分)如图，在平行四边形ABCD中，DE⊥AB 于点E,BF⊥AD于点F。 (1)AB,BC,BF,DE这四条线段能否成比例？ 如不能，请说明理由；如能，请写出比例式； (2)若AB=10,DE=2.5,BF=5,求BC的长。 25分钟同步练习，精炼高效抓 相似多边形 线段及相似多边形 创第三章 知识点④相似多边形 7.(3分)如图，四边形ABCD∽四边形A'B'C D',∠A=80°，∠B=70°，∠C'=90°，则∠D的 度数为( A.70° B.80° C.110° D.120° 第7题图 第8题图 8.(3分)如图，四边形ABCD和四边形EFGH相 似，且顶点都在方格纸的格点上，它们的相似 比是() A.1:2 B.1:4 C.2:1 D.4:1 9.（3分)四边形ABCD∽四边形A'B'C'D',AD= 3,CD=7,A'D'=1.5,∠C'=57°，则C'D'和∠C 的度数分别为() A.3.5和57° B.7和57 C.3.5和75° D.7和75° 考点BS九年级数学上册 25 易错点忽视线段成比例的顺序性而致错 10.(3分)已知三条线段的长分别是4cm,5cm 和10cm,如果再加上一条线段，使这四条线 段成比例，那么这条线段的长 是 cmo 11.(3分)若一个多边形的各边长分别为2,3， 4,5,6,另一个和它相似的多边形的最长边 长为24，则另一个多边形的最短边长 为() A.6 B.8 C.10 D.12 12.(3分)已知线段a,b,c,d成比例，且a=3b,c =12cm,则线段d的长为() A.4 cm B.6 cm 2 C.9 cm D.36 cm 13.(3分)如图，四边形ABCD∽四边形EFGH, 相似比为k,点B,F,C,G四点共线，则下列 第三章 说法不一定正确的是() A.∠A=∠E B.DC//HG C.BC⊥EF D.AD=kEH H D E E B F A B 第13题图 第14题图 14.(3分)如图，矩形ABCD被分割为3个面积 相等的小矩形，已知矩形AFED与原矩形 ABCD相似，则原矩形的较长边与较短边的 比值是 15.(10分)综合与实践 学校组织“数学文化节” 启航小组承担了校园宣传 栏主题展板的设计任务， 活动报告如下： 活动 设计数学文化节展板 成员组长：X××组员：X××,×××,××× 有两张标准矩形KT板（一种制作展 基本 板的常用材料)，尺寸为120cm× 信息 240cm。 26 25分钟同步练习，精炼高效专 用矩形ABCD(AB<BC)表示整张 KT板。 展板一：如图1，在展板上下边缘各留 宽为acm的空白，左右边缘各留宽 为bcm的空白，中间（即矩形EFGH) 为图案区域。 展板二：如图2，在展板上下边缘各留 版面宽为acm的空白，左右边缘各留宽 规划为bcm的空白，中间部分纵向分割 成四个全等的矩形图案区域，且每相 邻两个矩形区域之间的间隔均为 b cmo D b F 图1 图2 确定版面图案区域的具体信息，如 问题 下：… (1)根据版面规划，若展板一中a=10,且图 案区域与整块展板相似（即矩形EFGH∽矩 形ABCD),求b的值； (2)根据版面规划，若展板二中的四个矩形 图案区域都与整块展板相似（如矩形MNGH ∽矩形ABCD),则的值为 考点BS九年级数学上册 第2课时 比 知识点等比性质 1(3分)卫知号台 3a-2b+c=(） c-a 1 1 A.8 B.2 C. D. 8 2 2(3分剂老号-云则的值是(） A.-9 B.3 C.6 D.9 33分)已知暗则22 4(e分y若号-8月3，且6d=4,则ac 5.(10分)已知2-==2，且b+d+f≠0。 bd f (1)求+c+的值； b+d+f (2)若b-5d+6f=3,求a-5c+6e的值。 易错点)忽视a+b+c=0的情况而致错 6.(9分)已知20-26=20-k,求6值。 b+c a+c a+b 15分钟同步练习，精炼高效扔 例的等比性质 7.(3分)（郑州月考）已知a、b、( 边，且20=2b2 ) "b+c a+c a+b 2=k,则k的值为( A.1 B.或-1 2 C.-2 D.1或-2 8.(10分)已知a,b,c是△ABC的三边长，且8= 3 b c ≠0。 46 (1)求的值。 (2)若△ABC的周长为91，求各边的长。 第三章 9.中考新趋势·过程性学习(9分)阅读下面的 解题过程，然后解题。 题目：已知x=y=三（a、6、c互不相等)， a-b b-c c-a 求x+y+z的值。 解：设==三=k,则x=(a-b),y=(b a-b b-c c-a c),z=k(c-a),于是x+y+z=k·0=0。 依照上述方法解答问题：已知+：==+少 (x+y+≠0)，求y的值。 x+y+2 考点BS九年级数学上册 27