第07讲 函数的概念与表示（核心知识+6易错辨析+11典例精讲+课后作业）-2026-2027学年高一数学重难点复习 + 期考讲义专项（人教A版必修第一册）

本讲义聚焦函数的概念与表示核心知识点，从函数定义（非空实数集的唯一对应关系）出发，系统梳理三要素（定义域、对应关系、值域）、定义域求解规则（分式分母不为零等）、三种表示方法（解析式、列表、图像）及分段函数（定义域值域取并集），构建层层递进的学习支架。 该资料通过6个易错辨析（如纠正“多对一非法”认知）精准突破误区，11个题型（如函数关系判断、分段函数性质）结合实例（正方形面积与周长、出租车计费），培养数学眼光观察现实问题，用数学思维严谨推理（定义域优先原则），课中辅助教师教学，课后助力学生查漏补缺。

第07讲 函数的概念与表示 （核心知识+6易错辨析+11典例精讲+课后作业） 【题型一】函数关系的判断 【题型七】已知f(g(x))求解析式 【题型二】求函数值 【题型八】解析法、图象法、列表法表示函数 【题型三】区间的定义与表示 【题型九】求分段函数解析式或求函数的值 【题型四】具体函数、抽象函数、复合函数的定义域 【题型十】分段函数的性质及应用 【题型五】常见(一次函数、二次函数、反比例函数等)的函数值域 【题型十一】已知分段函数的值求参数或自变量 【题型六】复杂(根式型、分式型等)函数的值域 【知识点01】函数的概念 设是两个非空实数集，如果对于集合中的任意一个实数，按照某种确定的对应关系，在集合中都有唯一确定的实数与之对应，那么就称为从集合到集合的一个函数。 函数记作： 相关概念解读 1. 自变量：； 2. 定义域：自变量的取值集合； 3. 函数值：任意对应的实数； 4. 值域：全体函数值构成的集合 ，且值域是集合的子集。 【知识点02】函数三要素与同一函数判定 函数的三大核心要素：定义域、对应关系、值域。 其中定义域和对应关系是决定性要素，值域由前两者唯一确定。 同一函数判定充要条件 两个函数为同一个函数，必须同时满足：① 定义域完全相同；② 对应关系完全相同。 注意：函数是否相同与变量字母、解析式书写形式无关。 【知识点03】常见函数定义域求解规则 高中函数解题遵循定义域优先原则，初等函数定义域约束条件： 1. 分式函数：分母不为零 2. 偶次根式：被开方数非负 3. 零次幂形式：底数非零 4. 对数函数：真数大于零 复杂复合型函数定义域：取所有约束条件的交集。 【知识点04】函数的三种表示方法 1.解析式法 用数学代数式直接刻画两个变量之间的对应关系，是高中数学最常用的函数表示方式。 优点：形式简洁、运算方便，可系统研究函数的单调性、最值、奇偶性等性质； 缺点：抽象性较强，无法直观观察函数图像变化趋势。 2.列表法 通过表格罗列自变量与对应函数值，直观呈现有限组变量对应关系。 优点：读数直观、简单易懂，适用于实际应用、统计类问题； 缺点：只能展示有限自变量，无法体现函数整体变化规律与完整定义域。 3.图像法 在平面直角坐标系中，用点集 表示函数。 优点：直观反映函数增减性、最值、零点、对称性等几何特征； 缺点：图像精度有限，不适合精准代数运算。 函数图像判定定理（竖线检验法）：任意垂直于轴的直线与图像最多只有一个交点，则该图像为函数图像。 【知识点05】分段函数 定义：在定义域的不同区间上，有着不同对应关系的函数，称为分段函数。 核心本质：分段函数是一个完整函数，不是多个函数。 通用形式： 两大关键性质 1. 定义域：各分段区间取并集，区间分界点不重不漏，仅归属一个区间； 2. 值域：各分段对应函数值范围取并集，不可单独截取单段值域。 常见考法：分段求值、分段求定义域值域、分段简单不等式、分段图像识别。 易错点1：函数对应关系理解偏差 错误认知：多个对应同一个，不是函数。 正确结论：函数只限制“一个只能对应一个”，多对一合法，一对多非法。 易错点2：同一函数判定误区 错误认知：解析式化简一致就是同一函数。 正确结论：化简后的解析式一致，但定义域不同，依然不是同一函数。判定必须双看：定义域、对应关系。 易错点3：解题顺序错误 错误认知：先化简解析式，再求定义域。 正确结论：化简会丢失原始约束，扩大定义域范围。必须先定定义域，再化简运算。 易错点4：图像主观判定函数 错误认知：连续曲线一定是函数图像。 正确结论：连续图像可能存在一对多对应，必须用竖线检验法严格判定。 易错点5：定义域与值域概念混淆 错误认知：混淆自变量取值范围与函数值取值范围。 正确结论：的取值集合为定义域，的取值集合为值域。 易错点6：分段函数核心误区 误区：分段函数是多个函数；分段端点可重复取值；值域取各段交集。 正解：分段函数是一个函数；端点不重不漏、单区间归属；定义域、值域均取各段并集。 【题型一】函数关系的判断 【典例1-1】（25-26高一上·四川南充·期中）下列关系中一定是函数关系的是（   ） A．空调的销售额和利润的关系 B．大豆的产量和施肥量的关系 C．正方形的面积与周长的关系 D．钢铁的产量和单位生产成本的关系 【答案】C 【分析】根据相关关系和函数关系的定义判断各项，即可得. 【详解】对于空调的销售额与利润、大豆的产量与施肥量、钢铁产量和单位生产成本， 其中一个变量的变化受到多种因素的影响，以上各情况中列出的另一个变量只是其中的一个因素， 所以一个变量的变化对另一个变量的影响具有一定的随机性，故它们都是相关关系， 对于正方形的面积与周长，一个变量的变化对另一个变量影响是确定的，，即具有函数关系. 故选：C 【变式1-1】（25-26高一上·四川遂宁·期中）下列关于的关系中，是的函数的是（   ） A． B． C． D． 1 2 3 4 0 0 1 【答案】D 【分析】利用函数的定义逐项分析判断. 【详解】对于A，不等式的解集为，所以不是的函数，故A错误； 对于B，当时，有两个的值与对应，不是的函数，故B错误； 对于C，当时，有两个的值与对应，不是的函数，故C错误； 对于D，对于的每一个值，都有唯一值与之对应，是的函数，故D正确. 故选：D. 【变式1-2】（25-26高一上·江西抚州·期中）设集合，，那么下面的个图形中，能表示集合到集合的函数关系的有（    ） A．①②③④ B．①②③ C．②③ D．② 【答案】C 【分析】由函数的定义逐项判断即可. 【详解】由题意知，函数的定义域为，值域为， 对于①中，函数的定义域不是集合，所以①不正确； 对于②中，函数的定义域为集合，值域为集合，能表示集合到集合且以集合为值域的函数关系，所以②正确； 对于③中，集合的每个元素在集合N中都有唯一函数值对应，所以③正确； 对于④中，集合中的元素在集合中对应两个函数值，不符合函数的定义，所以④不正确. 故选：C. 【变式1-3】（多选）（25-26高一上·广西玉林·期末）已知集合，集合，下列表达式能建立从集合到集合的函数关系的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据给定条件，利用函数的定义逐一判断即可. 【详解】由从集合到集合的函数关系，得集合中的每个元素，按照给定法则，在集合中有唯一元素与之对应， 对于A，当时，，A不是； 对于B，由，得，则对每个，有唯一，B是； 对于C，当时，，C不是； 对于D，由，得，则对每个，有唯一，D是. 故选：BD 【题型二】求函数值 【典例2-1】（25-26高一上·河南郑州·期末）已知函数的定义域为，且对，，则（   ） A．3 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】利用赋值法和方程组思想求解即可. 【详解】分别令和得到：，解得：． 故选：A． 【变式2-1】（25-26高一上·福建南平·期中）若函数，则（    ） A．2 B．0 C．12 D．20 【答案】A 【分析】令，得，进而代值计算即可. 【详解】令，得，则. 故选：A 【变式2-2】（25-26高一下·贵州毕节·期末）已知函数，，则的值为__________. 【答案】 【详解】因为函数，，所以， 故. 【变式2-3】（25-26高一上·广东茂名·阶段检测）已知函数的图像如图所示，则___________． 【答案】4 【分析】通过观察图象求解. 【详解】由函数的图象，可得， 则． 故答案为：4． 【题型三】区间的定义与表示 【典例3-1】（24-25高一上·四川成都·期中）集合用区间可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据区间表示集合的形式，即可求解. 【详解】集合用区间可表示为. 故选：C 【变式3-1】（24-25高一上·重庆渝北·期中）且解集的区间表示为__________． 【答案】 【分析】且解集，即为不等式组的解集，求解并将解集写成区间即可. 【详解】由，解得，∴不等式组的解集为. 即且解集为. 故答案为：. 【变式3-2】（多选）（24-25高一上·安徽铜陵·期末）设，下列选项能表示从集合A到集合B的函数关系的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】从函数的定义出发，得到BC错误，AD正确. 【详解】对于数集A中的任意一个元素，在数集B中都有唯一确定的元素和其对应， 则满足从集合A到集合B的函数关系， 其中AD满足，B选项中自变量范围为，不是，B错误； C选项，因变量的取值范围是，不是的子集，C错误. 故选：AD 【变式3-3】（24-25高一上·全国·课后作业）用区间表示下列数集. (1)； (2)； (3)； (4)； (5)或. 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】根据集合与区间的关系求得正确答案. 【详解】（1）集合为，对应区间为. （2）集合为，对应区间为. （3）集合为，对应区间为. （4）集合为，对应区间为. （5）集合为或，对应区间为. 【题型四】具体函数、抽象函数、复合函数的定义域 【典例4-1】（24-25高一上·广东深圳·期中）函数 的定义域为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】要使函数有意义，则， 所以函数定义域为. 【典例4-2】（25-26高一上·广西柳州·期末）若函数的定义域为，则函数的定义域是________． 【答案】 【分析】根据函数的定义域为，可知函数的自变量取值范围为，故对于函数，须满足. 【详解】函数的定义域是，对于函数有， 解得，所以函数的定义域是． 故答案为：. 【典例4-3】（24-25高一上·全国·周测）（1）已知函数的定义域为，求的定义域； （2）已知函数的定义域为，求的定义域. 【答案】（1）{，或}；（2） 【分析】（1）根据的定义域列不等式求解x，即为的定义域； （2）由的定义域可得，求出的范围即为的定义域. 【详解】（1）的定义域为， 要使有意义，须使，即或， 函数的定义域为{，或}. （2）的定义域为，即其中的函数自变量的取值范围是， 令，，的定义域为， 函数的定义域为. 【变式4-1】（25-26高一下·广东汕尾·期末）函数的定义域为（     ） A． B． C．R D． 【答案】C 【分析】根据根式有意义及一元二次不等式的解法求解即可. 【详解】由题意知，， 又恒成立， 所以函数的定义域为. 【变式4-2】（25-26高一上·四川南充·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为______. 【答案】 【分析】根据函数解析式求定义域即可. 【详解】要使函数有意义，则 ， 解得或. 所以函数的定义域为. 故答案为：. 【变式4-3】（25-26高一上·广东揭阳·期中）（1）求函数 的定义域； （2）求 的定义域； （3）若函数 的定义域为 ，求函数 的定义域 【答案】（1） （2） （3） 【分析】（1）由根号下的二次式大于零解不等式，得出定义域范围； （2）分别考虑零次幂的底数不为零与分母不为零，联立得到定义域； （3）将代入已知的定义域区间，解出的范围. 【详解】（1）要使函数有意义，即， 解不等式得或， 故函数的定义域为； （2）由题意得，即， 故所求函数的定义域为. （3）由，得， 故的定义域为. 【题型五】常见(一次函数、二次函数、反比例函数等)的函数值域 【典例5-1】（24-25高一上·四川南充·期中）函数的值域为________________. 【答案】 【分析】根据函数的单调性即可求解. 【详解】由于在单调递减，故， 故答案为： 【变式5-1】（25-26高一上·山西·阶段检测）已知函数，，则此函数的值域为______． 【答案】 【分析】求出给定函数的值域. 【详解】由，且，则， 所以函数的值域为. 故答案为： 【变式5-2】（多选）（24-25高一上·四川攀枝花·阶段检测）下列函数中值域为的是（　　） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】求出各选项中的函数值域，即可判断得解． 【详解】对于A，函数的定义域为，值域也为，A正确； 对于B，函数，值域为，B正确； 对于C，函数的定义域为，值域为，C错误； 对于D，函数的定义域为R，值域为，D错误． 故选：AB． 【变式5-3】求下列函数的值域： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）求出所有函数值即可得值域； （2）根据二次函数的性质即可得值域. 【详解】（1）因为 所以， 所以的值域为； （2）因为， 所以的值域为. 【题型六】复杂(根式型、分式型等)函数的值域 【典例6-1】（24-25高一上·河北石家庄·期中）函数的值域是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分离常数可得函数单调性，进而可得值域. 【详解】由已知函数定义域为， 且， 则， 即， 故选：C. 【变式6-1】（25-26高一上·辽宁沈阳·阶段检测）函数的值域是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分析可知，可得出，利用基本不等式可求得函数的值域. 【详解】对于函数，则有，解得， 故函数的定义域为， 因为， 且， ， 当且仅当时，即当时，等号成立， 又因为，当且仅当或时，等号成立， 所以，又因为，故，故原函数的值域为. 故选：C. 【变式6-2】（25-26高一上·河南·期中）函数在区间上的值域为______. 【答案】 【分析】采用分离常数的方法，结合反比例函数的值域可求得结果. 【详解】，因为，所以， 所以，所以， 所以，即， 所以的值域为. 故答案为：. 【变式6-3】（24-25高一上·全国·课后作业）求下列函数的值域： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用分离常数法可得解； （2）换元，令，，，再由二次函数的性质即可得解. 【详解】（1）， 显然，所以， 故函数的值域为： （2）设，则，且， 所以 ，，    结合函数的图象可得原函数的值域为. 【题型七】已知f(g(x))求解析式 【典例7-1】（25-26高一上·陕西西安·期末）若函数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】运用换元法求函数解析式即可. 【详解】令，则， 则有， 故. 故选：B. 【变式7-1】（26-27高一上·湖北襄阳·阶段检测）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用换元法，令，，代入化简即可求解． 【详解】令，则，因为，所以， 由，可得， 所以． 【变式7-2】（25-26高一上·甘肃兰州·期中）已知，求函数的解析式___________． 【答案】 【分析】利用换元法令，进而求函数的解析式，注意函数的定义域. 【详解】令，则， 可得， 所以. 【变式7-3】（24-25高一下·广西柳州·开学考试）（1）已知函数是一次函数，且，求函数的解析式； （2）已知，求函数的解析式； 【答案】（1） （2） 【分析】（1）首先设出函数的解析式，然后根据求出参数，进而得到函数的解析式. （2）将函数进行化简，然后利用换元法求出函数的解析式. 【详解】（1）因为函数是一次函数，则设. 由于，所以 所以.化简得： 这是一个恒等式，所以，且. 所以. 所以函数的解析式为. （2）， 令，. 所以. 所以函数的解析式为. 【题型八】解析法、图象法、列表法表示函数 【典例8-1】（2025高一·江苏·专题练习）下列各图象中，能表示是的函数的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】由函数的定义逐项判断即可. 【详解】对于A，当时，有两个与之对应，错误； 对于C，函数图象中出现同一个有多个与之对应，错误； 对于D，函数图象中出现同一个有两个与之对应，错误； 对于B，图象符合函数的定义， 故选：B 【典例8-2】（24-25高一上·辽宁辽阳·期中）已知下列表格表示的是函数，则＝________． x -2 -1 0 2 y 3 2 1 0 【答案】0 【分析】根据给定的数表，直接计算得解. 【详解】依题意，有. 故答案为：0. 【典例8-3】（25-26高一上·福建泉州·期中）已知一次函数，满足，； (1)求的解析式； (2)求的解析式. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）待定系数法求解一次函数解析式； （2）在（1）基础上进行求解即可. 【详解】（1）设，则， 解得，， ∴； （2）由（1）知， ∴. 【变式8-1】（25-26高一上·安徽合肥·期中）如图为函数的图象，则的图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意利用特殊值排除法可得答案. 【详解】当时，则， 由函数图象，时，， 所以的图象经过点，结合选项可排除A,B,C. 故选：D. 【变式8-2】（24-25高一上·全国·课后作业）根据列表中的数据选择合适的模型，则函数______． 【答案】 【分析】根据定义域和值域直接构造函数即可. 【详解】的定义域包含数集，值域包含数集， 对于每一组数据，都有， 可令，代入均满足题意． 故答案为：. 【变式8-3】（24-25高一上·全国·课后作业）某市出租车的计费方式如下： ①3km以内（含3km）8.5元； ②3km以上，每增加1km，收费增加2元． 某人要去距出发地8km的地点参加一个会议，由于时间比较紧急，因此他选择打出租车前往． (1)请写出票价（元）与出租车行驶的路程之间的函数解析式； (2)求此人到达目的地后需要支付的金额． 【答案】(1) (2)18.5元． 【分析】（1）根据已知条件求得函数的解析式. （2）根据（1）的结论求得所付金额. 【详解】（1）由题得，当时，； 当时，，因此票价（元）与出租车行驶的路程之间的函数解析式为 （2）当时，，故需支付18.5元． 【题型九】求分段函数解析式或求函数的值 【典例9-1】（25-26高一上·山东德州·期末）设函数，则（　　 ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为函数， . 【变式9-1】（25-26高一上·贵州毕节·阶段检测）函数,则________． 【答案】 【分析】代入解析式中求值即可. 【详解】由题意得，. 故答案为： 【变式9-2】（多选题）函数f(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式是 （    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】结合图象，分和两种情况求函数的解析式，再合并为函数绝对值的函数解析式. 【详解】结合图象可知，当x≤0时，设，将代入函数， 得，，同理，当x>0时，， 所以，即. 故选：AC 【变式9-3】某市出租汽车收费标准如下：在3以内（含3）路程按起步价9元收费，超过3的路程按2.4元/收费.试写出收费额（单位：元）关于路程（单位：）的函数解析式. 【答案】. 【分析】由题意分为两种情况分别求出关系式，写成分段函数即可. 【详解】设路程为x时，收费额为y元，则由题意得：当时，； 当时，按2.4元/所收费用为，那么有. 于是，收费额关于路程的函数解析式为 即. 【题型十】分段函数的性质及应用 【典例10-1】（25-26高一上·山东潍坊·期中）已知函数若，则（    ） A．-1 B．0 C． D．1 【答案】B 【分析】分类讨论求分段函数值解方程即可求解. 【详解】第一种情况：当时, 单调递减,,,方程无解. 第二种情况：当时, 单调递减,,,方程无解. 第三种情况：时,,, ,, 故选：B. 【变式10-1】（25-26高一上·黑龙江·期中）定义符号函数，设，，若，，且有两个不同的实数解，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分，，求得，作出其图象，再利用数形结合法求解. 【详解】①当时，，， ，且在上是减函数，； ②当时，，则， ，，，； ③当时，，， ，且在上是增函数，， 如图所示： 综上，若有两个不同的实数解，则. 故选：D. 【变式10-2】已知函数若关于的不等式恰有1个整数解，则实数的最大值是__________________． 【答案】3 【分析】画出函数的图象，利用一元二次不等式解法可得解集，再利用数形结合即可得出. 【详解】因为函数的图象如图所示， 不等式恰有1个整数解， 因为，所以，因为， 结合图象观察，唯一的整数解是1， 依题意得，所以， 所以实数的最大值是3． 故答案为：3. 【变式10-3】已知函数． （1）求的值； （2）画出函数图象并写出单调区间； （3）依据图象写出函数在区间的最值． 【答案】（1）0；（2）图象见解析，单调增区间有，单调减区间有；（3）最小值为，最大值为6． 【分析】（1）利用分段函数，直接代入求值即可； （2）描点法分段画出函数图象，根据图象的升降情况即可得出函数的单调区间； （3）根据（2）中的单调性即可求出函数的最值． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴， ∴； （2）利用描点法得函数图象如图， 由图可知，函数的单调增区间为，单调减区间为； （3）由图可知， 函数的最小值为， 函数的最大值为． 【点睛】本题主要考查分段函数的图象和性质，考查数形结合思想，属于基础题． 【题型十一】已知分段函数的值求参数或自变量 【典例11-1】（25-26高一上·辽宁营口·期中）已知函数若，则的值是（   ） A．或2 B．或2或7 C．或7 D．2或7 【答案】C 【分析】对进行分类讨论，由，根据分段函数解析式列方程，由此求得的值. 【详解】若，则，解得或（舍）， 若，则，解得. 综上，a的值是或7. 故选：C 【变式11-1】（25-26高一上·广东深圳·期末）已知，若，则________. 【答案】1 【分析】分段代入解析式可求答案. 【详解】当时，，解得（舍）； 当时，，解得. 故答案为：1 【变式11-2】（多选）（25-26高一上·浙江·期中）已知函数，则的解是（   ） A．-1 B．0 C．2 D．3 【答案】AC 【分析】讨论的取值，然后得到对应方程，并求解即可得结果. 【详解】因为， 所以，当时，，即， 当时，，即， 故选：AC. 【变式11-3】（24-25高一上·北京·阶段检测）已知函数，则 (1)求，，的值； (2)若，则的值是多少？ 【答案】(1)，， (2)或 【分析】（1）根据函数的解析式求得正确答案. （2）根据函数解析式列方程，由此求得. 【详解】（1），， . （2）若， 则或， 解得或. 1. 函数核心本质 函数是非空实数集的对应关系，核心准则：任意x，唯一y。多对一成立，一对多不成立。 2. 三要素核心结论 定义域、对应关系决定函数，值域为派生量；同一函数必须定义域、对应关系完全一致。 3. 三种表示法适用场景 解析式法用于运算性质研究，列表法用于直观读数，图像法用于几何趋势分析。 4. 分段函数必记结论 分段函数是一个函数；定义域、值域均取各段并集；区间端点不重不漏，分段求值先看区间再代解析式。 5. 考场解题准则 所有函数问题定义域优先，先定范围再化简、运算；图像判定必须使用竖线检验法，杜绝主观判断。 一、单选题 1．（25-26高一下·浙江温州·阶段检测）设函数则（　　 ） A．—2 B． C． D． 【答案】B 【分析】按照从内到外的顺序，先计算内层的值，再将所得结果代入函数计算外层值 【详解】因为，所以， 因为，所以， 所以. 2．（25-26高一上·湖北荆州·期末）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据补集和交集的定义运算. 【详解】由题意可知，或，又， 则 . 故选：A 3．（25-26高一下·云南昆明·期中）若函数定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由复合函数、分式函数和根式函数定义域的求法求解即可. 【详解】由题意可得，解得， 所以函数的定义域为. 4．（25-26高一上·海南省直辖县级单位·阶段检测）已知函数的定义域为集合A，函数的值域为集合B，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据得出，再根据一元二次函数的性质得出，利用集合的交集概念即可. 【详解】得，故， ，故， 故 故选：A 二、多选题 5．（25-26高一上·安徽合肥·期末）下列函数定义域和值域相同的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】逐一求出各选项函数的定义域及值域即可判断. 【详解】对于A，函数的定义域为R，值域为，A不是； 对于B，函数的定义域为R，当时，， 当时，，因此的值域为R，B是； 对于C，函数的定义域为，值域为，C不是； 对于D，函数的定义域、值域均为R，D是. 故选：BD 6．（25-26高一上·福建泉州·期中）已知函数满足，则（ ） A． B．的值域为 C．的定义域为 D． 【答案】BCD 【分析】对于A，由配凑法或整体换元法可得解析式；对于B，由A分析可得解析式，据此可得值域；对于C，由复合函数定义域求法可得答案；对于D，由A分析可得，据此可得答案. 【详解】对于A，法一：依题意，， 则 ，故A错误； 法二：设，则，且，则， 所以则 ，故A错误； 对于B，当时，，当且仅当时取等号， 因此的值域为，故B正确； 对于C，在中，令，解得， 因此的定义域为，故C正确； 对于D，，因此，故D正确． 三、填空题 7．（2026高一·全国·专题练习）函数的值域是__. 【答案】 【分析】利用配凑法化简，结合基本不等式求解. 【详解】当时，函数 ， 当且仅当，即时，等号成立， 即函数的值域为. 8．（25-26高一上·陕西榆林·阶段检测）已知函数，则的解析式为______. 【答案】. 【分析】用配凑法求函数解析式，注意的取值范围. 【详解】因为函数，且， 所以. 故答案为：. 四、解答题 9．（25-26高一上·贵州·期中）已知是一次函数，且满足． (1)求函数的解析式； (2)若函数，求函数在上的值域． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先分离常数，再根据反比例函数的性质即可得解. 【详解】（1）设， 则， 所以，解得， 所以； （2）， 因为，所以，所以， 所以， 所以函数在上的值域为． 10．（25-26高一上·海南省直辖县级单位·阶段检测）已知函数的解析式为 (1)求与的值； (2)若实数满足，求实数的值. 【答案】(1)， (2)或或4 【分析】（1）根据分段函数解析式求函数值即可； （2）根据函数解析式，分类讨论求即可. 【详解】（1）因为， 所以，，， 即. （2）①当时，，所以；                   ②当时，；                       ③当时，.    综上由①②③可得的值为或或. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第07讲 函数的概念与表示 （核心知识+6易错辨析+11典例精讲+课后作业） 【题型一】函数关系的判断 【题型七】已知f(g(x))求解析式 【题型二】求函数值 【题型八】解析法、图象法、列表法表示函数 【题型三】区间的定义与表示 【题型九】求分段函数解析式或求函数的值 【题型四】具体函数、抽象函数、复合函数的定义域 【题型十】分段函数的性质及应用 【题型五】常见(一次函数、二次函数、反比例函数等)的函数值域 【题型十一】已知分段函数的值求参数或自变量 【题型六】复杂(根式型、分式型等)函数的值域 【知识点01】函数的概念 设是两个非空实数集，如果对于集合中的任意一个实数，按照某种确定的对应关系，在集合中都有唯一确定的实数与之对应，那么就称为从集合到集合的一个函数。 函数记作： 相关概念解读 1. 自变量：； 2. 定义域：自变量的取值集合； 3. 函数值：任意对应的实数； 4. 值域：全体函数值构成的集合 ，且值域是集合的子集。 【知识点02】函数三要素与同一函数判定 函数的三大核心要素：定义域、对应关系、值域。 其中定义域和对应关系是决定性要素，值域由前两者唯一确定。 同一函数判定充要条件 两个函数为同一个函数，必须同时满足：① 定义域完全相同；② 对应关系完全相同。 注意：函数是否相同与变量字母、解析式书写形式无关。 【知识点03】常见函数定义域求解规则 高中函数解题遵循定义域优先原则，初等函数定义域约束条件： 1. 分式函数：分母不为零 2. 偶次根式：被开方数非负 3. 零次幂形式：底数非零 4. 对数函数：真数大于零 复杂复合型函数定义域：取所有约束条件的交集。 【知识点04】函数的三种表示方法 1.解析式法 用数学代数式直接刻画两个变量之间的对应关系，是高中数学最常用的函数表示方式。 优点：形式简洁、运算方便，可系统研究函数的单调性、最值、奇偶性等性质； 缺点：抽象性较强，无法直观观察函数图像变化趋势。 2.列表法 通过表格罗列自变量与对应函数值，直观呈现有限组变量对应关系。 优点：读数直观、简单易懂，适用于实际应用、统计类问题； 缺点：只能展示有限自变量，无法体现函数整体变化规律与完整定义域。 3.图像法 在平面直角坐标系中，用点集 表示函数。 优点：直观反映函数增减性、最值、零点、对称性等几何特征； 缺点：图像精度有限，不适合精准代数运算。 函数图像判定定理（竖线检验法）：任意垂直于轴的直线与图像最多只有一个交点，则该图像为函数图像。 【知识点05】分段函数 定义：在定义域的不同区间上，有着不同对应关系的函数，称为分段函数。 核心本质：分段函数是一个完整函数，不是多个函数。 通用形式： 两大关键性质 1. 定义域：各分段区间取并集，区间分界点不重不漏，仅归属一个区间； 2. 值域：各分段对应函数值范围取并集，不可单独截取单段值域。 常见考法：分段求值、分段求定义域值域、分段简单不等式、分段图像识别。 易错点1：函数对应关系理解偏差 错误认知：多个对应同一个，不是函数。 正确结论：函数只限制“一个只能对应一个”，多对一合法，一对多非法。 易错点2：同一函数判定误区 错误认知：解析式化简一致就是同一函数。 正确结论：化简后的解析式一致，但定义域不同，依然不是同一函数。判定必须双看：定义域、对应关系。 易错点3：解题顺序错误 错误认知：先化简解析式，再求定义域。 正确结论：化简会丢失原始约束，扩大定义域范围。必须先定定义域，再化简运算。 易错点4：图像主观判定函数 错误认知：连续曲线一定是函数图像。 正确结论：连续图像可能存在一对多对应，必须用竖线检验法严格判定。 易错点5：定义域与值域概念混淆 错误认知：混淆自变量取值范围与函数值取值范围。 正确结论：的取值集合为定义域，的取值集合为值域。 易错点6：分段函数核心误区 误区：分段函数是多个函数；分段端点可重复取值；值域取各段交集。 正解：分段函数是一个函数；端点不重不漏、单区间归属；定义域、值域均取各段并集。 【题型一】函数关系的判断 【典例1-1】（25-26高一上·四川南充·期中）下列关系中一定是函数关系的是（   ） A．空调的销售额和利润的关系 B．大豆的产量和施肥量的关系 C．正方形的面积与周长的关系 D．钢铁的产量和单位生产成本的关系 【变式1-1】（25-26高一上·四川遂宁·期中）下列关于的关系中，是的函数的是（   ） A． B． C． D． 1 2 3 4 0 0 1 【变式1-2】（25-26高一上·江西抚州·期中）设集合，，那么下面的个图形中，能表示集合到集合的函数关系的有（    ） A．①②③④ B．①②③ C．②③ D．② 【变式1-3】（多选）（25-26高一上·广西玉林·期末）已知集合，集合，下列表达式能建立从集合到集合的函数关系的是（   ） A． B． C． D． 【题型二】求函数值 【典例2-1】（25-26高一上·河南郑州·期末）已知函数的定义域为，且对，，则（   ） A．3 B．2 C． D． 【变式2-1】（25-26高一上·福建南平·期中）若函数，则（    ） A．2 B．0 C．12 D．20 【变式2-2】（25-26高一下·贵州毕节·期末）已知函数，，则的值为__________. 【变式2-3】（25-26高一上·广东茂名·阶段检测）已知函数的图像如图所示，则___________． 【题型三】区间的定义与表示 【典例3-1】（24-25高一上·四川成都·期中）集合用区间可表示为（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】（24-25高一上·重庆渝北·期中）且解集的区间表示为__________． 【变式3-2】（多选）（24-25高一上·安徽铜陵·期末）设，下列选项能表示从集合A到集合B的函数关系的是（    ） A．B． C． D． 【变式3-3】（24-25高一上·全国·课后作业）用区间表示下列数集. (1)； (2)； (3)； (4)； (5)或. 【题型四】具体函数、抽象函数、复合函数的定义域 【典例4-1】（24-25高一上·广东深圳·期中）函数 的定义域为（ ） A． B． C． D． 【典例4-2】（25-26高一上·广西柳州·期末）若函数的定义域为，则函数的定义域是________． 【典例4-3】（24-25高一上·全国·周测）（1）已知函数的定义域为，求的定义域； （2）已知函数的定义域为，求的定义域. 【变式4-1】（25-26高一下·广东汕尾·期末）函数的定义域为（     ） A． B． C．R D． 【变式4-2】（25-26高一上·四川南充·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为______. 【变式4-3】（25-26高一上·广东揭阳·期中）（1）求函数 的定义域； （2）求 的定义域； （3）若函数 的定义域为 ，求函数 的定义域 【题型五】常见(一次函数、二次函数、反比例函数等)的函数值域 【典例5-1】（24-25高一上·四川南充·期中）函数的值域为________________. 【变式5-1】（25-26高一上·山西·阶段检测）已知函数，，则此函数的值域为______． 【变式5-2】（多选）（24-25高一上·四川攀枝花·阶段检测）下列函数中值域为的是（　　） A． B． C． D． 【变式5-3】求下列函数的值域： (1)； (2)． 【题型六】复杂(根式型、分式型等)函数的值域 【典例6-1】（24-25高一上·河北石家庄·期中）函数的值域是（   ） A． B． C． D． 【变式6-1】（25-26高一上·辽宁沈阳·阶段检测）函数的值域是（   ） A． B． C． D． 【变式6-2】（25-26高一上·河南·期中）函数在区间上的值域为______. 【变式6-3】（24-25高一上·全国·课后作业）求下列函数的值域： (1)； (2) 【题型七】已知f(g(x))求解析式 【典例7-1】（25-26高一上·陕西西安·期末）若函数，则（   ） A． B． C． D． 【变式7-1】（26-27高一上·湖北襄阳·阶段检测）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】（25-26高一上·甘肃兰州·期中）已知，求函数的解析式___________． 【变式7-3】（24-25高一下·广西柳州·开学考试）（1）已知函数是一次函数，且，求函数的解析式； （2）已知，求函数的解析式； 【题型八】解析法、图象法、列表法表示函数 【典例8-1】（2025高一·江苏·专题练习）下列各图象中，能表示是的函数的是（    ） A．   B．   C．   D．   【典例8-2】（24-25高一上·辽宁辽阳·期中）已知下列表格表示的是函数，则＝________． x -2 -1 0 2 y 3 2 1 0 【典例8-3】（25-26高一上·福建泉州·期中）已知一次函数，满足，； (1)求的解析式； (2)求的解析式. 【变式8-1】（25-26高一上·安徽合肥·期中）如图为函数的图象，则的图象是（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】（24-25高一上·全国·课后作业）根据列表中的数据选择合适的模型，则函数______． 【变式8-3】（24-25高一上·全国·课后作业）某市出租车的计费方式如下： ①3km以内（含3km）8.5元； ②3km以上，每增加1km，收费增加2元． 某人要去距出发地8km的地点参加一个会议，由于时间比较紧急，因此他选择打出租车前往． (1)请写出票价（元）与出租车行驶的路程之间的函数解析式； (2)求此人到达目的地后需要支付的金额． 【题型九】求分段函数解析式或求函数的值 【典例9-1】（25-26高一上·山东德州·期末）设函数，则（　　 ） A． B． C． D． 【变式9-1】（25-26高一上·贵州毕节·阶段检测）函数,则________． 【变式9-2】（多选题）函数f(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式是 （    ） A． B． C． D． 【变式9-3】某市出租汽车收费标准如下：在3以内（含3）路程按起步价9元收费，超过3的路程按2.4元/收费.试写出收费额（单位：元）关于路程（单位：）的函数解析式. 【题型十】分段函数的性质及应用 【典例10-1】（25-26高一上·山东潍坊·期中）已知函数若，则（    ） A．-1 B．0 C． D．1 【变式10-1】（25-26高一上·黑龙江·期中）定义符号函数，设，，若，，且有两个不同的实数解，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式10-2】已知函数若关于的不等式恰有1个整数解，则实数的最大值是__________________． 【变式10-3】已知函数． （1）求的值； （2）画出函数图象并写出单调区间； （3）依据图象写出函数在区间的最值． 【题型十一】已知分段函数的值求参数或自变量 【典例11-1】（25-26高一上·辽宁营口·期中）已知函数若，则的值是（   ） A．或2 B．或2或7 C．或7 D．2或7 【变式11-1】（25-26高一上·广东深圳·期末）已知，若，则________. 【变式11-2】（多选）（25-26高一上·浙江·期中）已知函数，则的解是（   ） A．-1 B．0 C．2 D．3 【变式11-3】（24-25高一上·北京·阶段检测）已知函数，则 (1)求，，的值； (2)若，则的值是多少？ 1. 函数核心本质 函数是非空实数集的对应关系，核心准则：任意x，唯一y。多对一成立，一对多不成立。 2. 三要素核心结论 定义域、对应关系决定函数，值域为派生量；同一函数必须定义域、对应关系完全一致。 3. 三种表示法适用场景 解析式法用于运算性质研究，列表法用于直观读数，图像法用于几何趋势分析。 4. 分段函数必记结论 分段函数是一个函数；定义域、值域均取各段并集；区间端点不重不漏，分段求值先看区间再代解析式。 5. 考场解题准则 所有函数问题定义域优先，先定范围再化简、运算；图像判定必须使用竖线检验法，杜绝主观判断。 一、单选题 1．（25-26高一下·浙江温州·阶段检测）设函数则（　　 ） A．—2 B． C． D． 2．（25-26高一上·湖北荆州·期末）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高一下·云南昆明·期中）若函数定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·海南省直辖县级单位·阶段检测）已知函数的定义域为集合A，函数的值域为集合B，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 5．（25-26高一上·安徽合肥·期末）下列函数定义域和值域相同的是（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高一上·福建泉州·期中）已知函数满足，则（ ） A． B．的值域为 C．的定义域为 D． 三、填空题 7．（2026高一·全国·专题练习）函数的值域是__. 8．（25-26高一上·陕西榆林·阶段检测）已知函数，则的解析式为______. 四、解答题 9．（25-26高一上·贵州·期中）已知是一次函数，且满足． (1)求函数的解析式； (2)若函数，求函数在上的值域． 10．（25-26高一上·海南省直辖县级单位·阶段检测）已知函数的解析式为 (1)求与的值； (2)若实数满足，求实数的值. 1 学科网（北京）股份有限公司 $