第二章 锐角的正弦、余弦、正切 单元测试培优卷 2026-2027学年湘教版九年级数学上册

**基本信息** 湘教版九年级上册第二章锐角三角函数培优卷，以滑雪、钓鱼竿支架等现实情境为载体，覆盖三角函数定义、应用及综合探究，适配单元复习，强化数学眼光、思维与语言素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/40|三角函数定义、直角三角形计算|结合冰雪活动等情境，考查几何直观| |填空题|4/20|网格三角函数、等腰三角形应用|设置电动车大灯照明问题，培养应用意识| |解答题|6/60|实际问题（钓鱼竿支架）、几何综合（菱形/矩形）|18题分证明体验、思考探究、拓展延伸三问，体现分层探究，发展推理能力|

第二章《锐角的正弦、余弦、正切》培优卷2026一2027学年湘教版九年级上册单元测试卷 一.单项选择题（每小题5分，满分40分） 1.sin60°的相反数为() 1 5 √5 1 A.2 B.2 C.2 D.2 2.在△ABC中，∠C=90°，如果AB=2,BC=1,那么C0sA的值是() 5 5 3 A.2 B.5 C.3 D.2 3.如图，长春市组织的冰雪活动中，中学生小旺沿着倾斜角为的斜坡练习滑雪，从点A 滑行到点B,若AB=300米，则小旺下降的高度为() A B 300 A.300sina米B.300cosa米 C.300 tana米 D.ana米 4.在Rt△4BC中，∠A=90°，AB=12,cosB、2 =13,则BC的长为() A.13 B.12 C.10 D.5 5.如图，在等腰直角△ABC中，∠C-90°，AC=2,D为BC的中点，将△ABC折叠，使 点A与点D重合，EF为折痕，则cos∠BED的值为() C B E 4 3 √2 A.3 B.5 C.2 D.2 6.如图，在△ABC中，以点B为圆心，适当长为半径作弧，与AC交于点D,E,再分别 以点D,E为圆心，大于2DE长为半径作弧，两弧交于点F,作射线BF,交AC于点G .已知BG=6,AG=8,则下列选项中正确的是() B G D 4 A sin∠BAG= B. COS∠ABG 5-3 C.tan∠BAG= 4 D.tan∠ABG=3 7.如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，BC=5,AC=12,CD⊥AB,则cos∠ACD的值 为() A D人 5 12 7 A.12 B.13 C.13 D.13 8.如图，在正方形ABCD中，E是AB边的中点，连接DE,F是DE的中点，连接CF, 作CG⊥DE于点G,则tan∠GCF的值是() D C G 4 B 5 1 65 A.4 B.4 c.8 D. 65 二.填空题（每小题5分，满分20分） 9.如图，△ABC的顶点都在正方形网格的格点上，则osC= 10.如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC=6,BC=8,点D为BC的中点，DE⊥AB于 点E,则cOS∠BDE= A B D 11.某厂家新开发的一种电动车如图，它的大灯A射出的光线AB、AC与地面MN所夹的 锐角分别是8°和10°.大灯A离地面的距离为a米，则该车大灯照亮地面的宽度BC是 米：（不考他其他因条）（参考数：血-云，m8-7m0名 tanl0°= 9 28） MB 12.如图，点D是Rt△ABC斜边AB的中点，将△CBD沿CD翻折，点B落在点E处，连 接BE,交CD于点M,交CA于点N连接AE. A D M (1)∠AEB= (2)若点N是EM的中点，则sin∠ACE= 三.解答题（共6小题，总分60分，每题须有必要的文字说明和解答过程） 13.计原，5-八-历+2ms30+1-同 14.如图1是一种折叠式可调节钓鱼竿支架，图2是其示意图，AE是地插，用来将支架固 定在地面AF上，支架AB可绕点A转动，用来调节AB与地面AF的夹角，支架CD可绕支 点C转动，用来调节CD与AB的夹角，支架CD可伸缩调节长度.已知AC=30Cm, BC=60cm,钓鱼竿DB始终与地面AF平行. D 图1 图2 图3 ()如图2，当支架CD与地面AF垂直时，CD=40cm,求∠BAF的度数： (2)如图3，若保持支架AB与地面的夹角不变，调节支架CD与AB的夹角，使得 ∠DCB=90°，求此时支架CD的长度.（结果保留小数点后1位参考数据： sin41.8°≈0.667，cos41.8°≈0.745，V5≈2.236 15.如图，在菱形ABCD中，对角线AC,BD交于点O,AE⊥BC交CB延长线于E, CFI征交MD延长线于点R. A B (1)求证：四边形AECF为矩形； (2)连接OE,若AE=4,AD=5,则sin∠OEC= 16.如图，在△ABC中，∠ACB=90,AB=10,AC=6.点P是AB的中点，点M为直线 BC上一点，过点P作PN⊥PM交直线AC于点N,连接MN. B M (1)当CN=3时，PN的长为_； (2)点M在线段BC上移动的过程中，∠PNM的大小是否发生改变？若不变，求an∠PNM 的值，若改变，请说明理由： 3)连接CP,交MN于点I,当点I将线段MN分为l:2的两部分时，求BM的长. 17.如图，在△ABC中，D是BC上一点，E是AC的中点，点F在线段DE的延长线上， 且DE=EF, A B D (I)求证：△AEF≌aCED. (2)若AC⊥DF,且EF=2AE,求sinC的值. 18.根据题意，完成以下各题 图1 图2 图3 (1)【证明体验】如图1，正方形ABCD中，E,F分别是边AB和对角线AC上的点， ∠EDF=45°BE=V2CF △DBE∽△DCF 求证： (2)【思考探究】如图2，矩形ABCD中，AB=6,BC=8,E,F分别是边AB和对角线 AC上的点，am∠BDF-子BE5,求Cr的长 (3)【拓展延伸】如图3，菱形ABCD中，BC=5,对角线AC=6,BH⊥AD交DA的延长 线于点H,E,F分别是线段HB和AC上的点，am∠BDF- 4,CF=1,求DE的长， 参考答案 1.D 2.D 3.A 4.A 5.B 6.D 7.D 8.C 25 9.5 √5 10.3 12. 90 3 13.【详解】解：原式 1-5N5+2x5-2-N5- =1-5√3+V3-2-V3+1 =-5v5 14.【详解】(I)解：BD∥AF,CD⊥AF, .CD⊥BD,∠BAF=∠CBD, 在R△BDC中，∠CDB=90,sin/CBD-C BC .BC=60cm,CD=40cm, ÷sin∠CBD=40_2 603 ≈0.667 .∠CBD≈41.8°」 ∴.∠BAF=∠CBD≈41.8°： (2),鱼竿DB始终与地面AF平行，保持支架AB与地面的夹角不变 ∴.∠BAF=∠CBD, sin∠CBD=2 设CD=2xcm, 在Rt△BDC中，∠DCB=90°， sin∠CBD=2 3 则BD=3xcm, BC2+CD2=BD2602+(2x)2=(3x)2 由勾股定理得： ,即 解得：=125≈26.83.3=-12v5 舍去)， .CD=2x≈53.7cm) 答：支架CD的长度约为53.7cm 15.(1)证明：，四边形ABCD是菱形， ∴.AD BC CFI‖AE “.四边形AECF为平行四边形. .AE⊥BC, ,∠AEC=90° .四边形AECF是矩形， (2)解：连接OE :四边形ABCD是菱形， .AD=AB=BC=5,OA=OC 在R△MBE中，BE=VAB-AE=S-平=3】 ∴.CE=BC+BE=5+3=8 :△ACE是直角三角形， .0E=0C. ∴.∠OEC=∠OCE 在Rt△ACE中，AC=√AE2+CE2=V4+82-V80=4N5 :sim∠0BC=sim∠0CE=E-4-5 AC 45 5. B C 16.【详解】(1)解：在Rt△ACB中，∠ACB=90°，AB=10,AC=6 .BC=8 当CN=3时，AW=CN=3 ,点P是AB的中点， .PN是△ABC的中位线， 2PN-BC=4 (2)解：∠PNM的大小不发生改变. 在Rt△ACB中，∠ACB=90°，AB=10,AC=6 .BC=8 如图①，分别过点P作PH⊥AC于点H,PG⊥BC于点G, GM 图① ,点P是AB的中点， .PB=PC=PA. .BG=CG.CH=HA ∴据中位线定理可得PG=3,PH=4,PH∥BC, ∴.∠GPH=∠PGC=90° .∠GPH=∠MPN, ∴.∠GPM=∠NPH .∠PGM=∠PHN=90° ∴.△GPM∽△HPN, PM=PG3 PN PH4, 在R△MPw中，tan∠PNM=PM=3 PN 4 (3)解：如图①，设BM=x,由(2)可得PG=3, :P为AB的中点，AB=10, ∴.BP=PC=5, .BG=CG=4」 an∠PCB= PG 3 CG4. 情况一：当点M在点G的右侧时， .BM=x, ∴.GM=x-4.MC=8-x, 由(2)可得△GPM∽△HPN, :GM-3 HN 4 w-ow--4. 3 .CN-CH+HN-G+HN3(4) 如图①，过点M作ME∥AC,交CP于点E, ∴.△MIE∽△NIC ,点I将线段MN分成1：2， 当M:NM=1:2时， ME MI 1 则NCNM2, tan∠PCB= ME 3 MC4, :MC=4 ME-4 2）_8x-14=8-x 33699 7,即BM=86 86 解方程得x= 7: 情况二：如图②，当点M在点G的左侧时， B MG 图② .BM=x, ∴.GM=4-x,MC=8-x 由情况-可得-GM-(4-, Cw=CH-H=3-等4-刘， 过点M作MF∥AC,交CP的延长线于点F, ∴.△MF∽△NIC. 点I将线段MN分成1： MF_ML=2 :当M:M=2:1时，则NC=7 r=20w=2x4-]-号9 :tan∠PCB=MF_3 MC 4' 解方程得=，即8M=128 .128 41 86128 综上所述，当点/将线段MN分为1：2的两部分时，BM的长为17或41· 17.(1)证明：，E是AC的中点， .AE=CE AE=CE ∠AEF=∠CED 在 与 中， △AEF ACED EF=ED ÷△1EF≌CBD(SMS) (2)解：由(I)可知△AEF≌aCED .∠C=∠EAF AE⊥DF, :∠AEF=90° 在RtAAEF中，EF=2AE, AF-AE+EF=5AE .sin C=sin LEAF=EF=24E_25 AF5AE 5 18.(1)证明：：四边形ABCD是正方形， ∴.∠CDB=∠ABD=∠ACD=45°， ∴.∠FDC+∠BDF=45° :∠EDF=45 :∠EDB+∠BDF=45 .∠EDB=∠FDC ·∠EBD=∠FCD=45° ∴.△DBE∽△DCF: (2)解：连接BD交AC于点O, D 图2 :四边形ABCD是矩形，AB=6,BC=8, ..AC=BD=62+82=10 OD=OC AB//CD ∴.∠ODC=∠OCD,∠ABD=∠ODC. ∴.∠ABD=∠OCD. ~tan∠BDC=BC-84 DC63,an∠EDF=4 3, .∠EDF=∠BDC. '∠EDF=∠EDB+∠BDF,∠BDC=∠BDF+∠FDC, .∠EDB=∠FDC, △DBE△DCF, BE BD 10 5 CF DC 6 3, .BE=5 .C℉=3： (3)解：菱形ABCD中，BC=AB=DC=AD=5 设对角线AC、BD相交于点O, A D E 图3 :AC⊥BD,且AC与BD互相平分，AC=6, :0C=14C=1x6=3 2 BD=20D :RtAODC中， 0D=VDC2-0C2=V52-32=4 ian∠ODc=OC_3 OD4·BD=2OD=8: 3 .tan∠EDF= 4 .∠EDF=∠ODC .∠EDB=∠CDF BH⊥AD ∴.∠HBD+∠HDB=90° ·.'∠HDB=∠ODC,∠ODC+∠OCD=90° ∴.∠HBD=∠OCD ∴.△DBE∽△DCF DE BD 8 DF DC 5 CF=1, :0F=0C-CF=2,则DF=v0F+0D=2+4=25 .DE-DF5 5