第二章 《有理数》单元测试卷 -2026-2027学年苏科版数学七年级上册

**基本信息** 苏科版七年级上册《有理数》单元培优卷，以核心素养为导向，融合基础巩固与创新应用，适配单元复习提升需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/24|有理数概念（如质量偏差、数轴表示）、运算、科学记数法|结合打车收费（第6题）等现实情境，考查抽象能力| |填空题|10/30|相反数倒数（第15题）、新定义运算（第16题）|设置墨迹覆盖数轴（第11题）等问题，培养几何直观| |解答题|10/96|有理数运算（第19题）、实际应用（第20题快递里程）、新定义（除方、二阶行列式）、幻方与进位制|通过洛书幻方（第27题）、进位制（第28题）渗透文化传承，设计规律探究（第22题）提升推理意识，分段计费模型（第6题）强化应用意识|

第二章《有理数》培优卷-2026-2027苏科版数学七年级上册单元测试卷 一、选择题：本大题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.每小题选对得3分，选错、不选或多选，均不得分. 1．如图，检测4个足球，其中质量超过标准的克数记为正数，不足的克数记为负数，从轻重的角度看，最接近标准的足球是（　　） A． B． C． D． 2．点M 在数轴上表示的数为负数，且点M到原点的距离大于4，则点M表示的数可以是（　　） A．6 B．3 C． D． 3．下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 4．下列说法：①a一定是正数；②0的倒数是0；③最大的负整数是-1；④只有负数的绝对值是它的相反数；⑤倒数等于本身的有理数只有1；不正确的是（　　） A．①②③④ B．①③④⑤ C．①②④⑤ D．②③④⑤ 5．用科学记数法表示的数 的整数位数是 （　　） A．23位 B．24位 C．25位 D．26位 6．随着出行方式的多样化，某市三类打车方式的收费标准如表： 出租车 A打车软件 B打车软件 3千米以内：10元 路程：1.2元/千米 路程：1.6元/千米 超过3千米的部分：2.4元/千米 时间：0.6元/分钟 时间：0.4元/分钟 已知三种打车的平均车速均为40千米/时，去8千米远的地方，出行方式更省钱的是（　　） A．出租车出行更省钱 B．A打车软件更省钱 C．B打车软件更省钱 D．都一样省钱 7．小明同学在自学了简单的电脑编程后，设计了如图的程序．若输入的数是3，则执行了程序后，输出的结果是（　　） A．﹣44 B．561 C．﹣561 D．558 8．若有一组连续的自然数从小到大排列，现对其求和，则求和公式为.如：一组连续的自然数3，4，5，6，…，12，则。那么，下列四个数中等于100个连续自然数之和的是（　　） A．5280 B．8160 C．9350 D．8880 二、填空题：本大题共10小题，每小题3分，共30分. 9．比较大小： 　 　 (填">"或“<”) 10．物体向右运动4m记作＋4m，那么物体向左运动8m，应记作　 　m 11．小明写作业时不慎将墨水滴在数轴上，根据图中的数值，墨迹盖住部分的整数的和是． 12．小明看一本320页的书，第一天读了整本书的，第二天读了整本书的，还剩　 　 页没读． 13．若，则的平方根是　 　. 14．（1）已知|x|=3，|y|=5，且 xy<0，则x-y的值是　 　. （2）已知 且x+y>0，则 xy的值是　 　. 15．若、互为相反数，、互为倒数，的绝对值等于，则　 　． 16． 符号“f”“g”分别表示一种运算，它们对一些数的运算结果如下：①f（1）=1，f（2）=3，f（3）=5，f（4）=7， …利用以上规律计算： f（2026)-　 　. 17．已知数轴上点，的位置如图所示，点表示的有理数为，点表示的有理数为，，则比大的最小整数为　 　． 18．根据乘方的意义，可将 转化为底数为 的幂，句 从而可得到： 按此规律，计算： 　 　 三、解答题：本大题10小题，共96分. 19．计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 20．快递员王师傅配送快件，在东西向某段路进行配送快递，若规定向东为正，向西为负，王师傅从单位出发配送的10户的里程如下：，，，，，，，，，（单位：千米） （1）请问王师傅最后所在的位置在单位的什么地方，距离单位多远？ （2）如果小电车每千米耗电量0.02度电，想问王师傅这一上午耗电量多少？ 21．设a，b，c，d为实数，我们把形如的式子叫作二阶行列式，它的运算法则用公式表示为请利用此法则解决以下问题： （1）求的值。 （2）若求x的值。 22．我们知道：；；；…，反过来，可得：；；；…，各式相加，可得：． 根据上面的规律，解答下列问题： （1）___________； （2）计算：； （3）计算：． 23．阅读材料：把几个数用大括号括起来，相邻两个数之间用逗号隔开（不能出现重复的数），如，，……我们称之为集合，其中的每一个数称为该集合的元素．如果两个集合中的元素完全相同（与元素的排列顺序无关），我们则称这两个集合相等．例如：集合，集合，则称集合． 根据以上材料内容，回答问题： （1）根据阅读材料，下列是集合的是　 　；（填序号） ①②③ （2）已知集合，集合其中、为有理数，如果集合，请直接写出　 　，　 　； （3）已知集合，集合，如果集合，请求出，的值． 24．小明有5张写着不同数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列各问题： （1）从中取出张卡片，使这张卡片上数字的乘积最大，乘积的最大值为 ； （2）从中取出张卡片，使这张卡片上数字相除的商最小，商的最小值为 ； （3）从中取出张卡片，用学过的运算方法，使结果为，写出运算式子（写出一种即可）．算的式子为 ． 25．阅读下列材料： 计算： 解法一：原式； 解法二：原式； 解法三：原式的倒数为，所以原式 （1）上面三种解法得出的结果不同，肯定有错误的解法，其中解法_________是错误的； （2）请你运用合适的方法计算：． 26．【概念学习】 现规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方，比如2÷2÷2，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）等，类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2写作2③，读作“2的圈3次方”，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）写作（﹣3）④，读作“（﹣3）的圈4次方”，一般地，把（a≠0）写作aⓝ，读作“a的圈n次方”． （1）【初步探究】 直接写出计算结果：2③＝　 　，（﹣）④＝　 　； （2）下列关于除方说法中，错误的是：　 　． A：任何非零数的圈2次方都等于1 B：对于任何正整数n，1ⓝ＝1 C：3④＝4③ D：负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数 （3）【深入思考】 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ 试一试：仿照上面的算式，把下列除方运算直接写成幂的形式：（﹣3）⑤＝　 　，（）⑥＝　 　． （4）想一想：请把有理数a（a≠0）的圈n（n≥3）次方写成幂的形式为aⓝ＝　 　． （5）算一算：＝　 　． 27．幻方的历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”(如图1)，洛书是一种关于天地空间变化的脉络图案，它是以黑点与白点为基本要素，以一定方式构成若干不同组合.把洛书用今天的数学符号表示出来就是一个三阶幻方(如图2).将9个数填在3×3(三行三列)的方格中，如果满足每行、每列、每条对角线上的三个数字之和都相等，就得到一个广义的三阶幻方. （1）【实践应用】 改变图2幻方中数字的位置，可以得到一个新的三阶幻方(如图3)，则a=　 　，b=　 　，c= ； （2）图4的方格中填写了一些数字和字母，若能构成一个广义的三阶幻方，则m=　 　，n=　 　； （3）【拓展延伸】 如图5，有三个正方形，每个正方形的顶点处都有一个“○”，将-11，-9，-7，-5，-3，-1，2，4，6，8，10，12这12个数填入恰当的位置(数字不重复使用)，使每个正方形的四个顶点处“◯”中的和都为2.试求m，n的值. 28．进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统． 请根据以下素材，完成探究任务． 进位制的认识与探究 素材1 国际数学教育大会是全球数学教育界水平最高、规模最大的学术盛会，第十四届国际数学教育大会（简称）于2021年在上海举办．会徽以中国文化中的“洛书”与“河图”为原本，大会标识中的记数符号由四个二进制数组成，将它们分别转换为八进制数得到了一个四位数，将这个四位数看成一个八进制数，再将这个八进制数转换为十进制数，体现了中国古代数学的灿烂文化． 素材2 进位制约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制，也就是说， “逢几进一”就是几进制． 例如：十进制数（规定时，）为了区分不同的进位制，常在数的右下角标明基数，例如：二进制数转换为十进制数为：，将十进制数46转换为三进制数，因为，即，则，所以46转换为三进制数为， 素材3 若一个三进制数转换为十进制数为，一个四进制数转换为十进制数为，当时，称这个三进制数与这个四进制数互为“久久数”． 任务1 将十进制数120转换为五进制数；二进制数转换为十进制数 任务2 将把三进制数转换为四进制数； 任务3 判断与是否互为“久久数”，并说明理由； 答案解析部分 1．【答案】D 2．【答案】D 3．【答案】B 4．【答案】C 5．【答案】C 6．【答案】B 7．【答案】C 8．【答案】C 9．【答案】< 10．【答案】-8 11．【答案】 12．【答案】176 13．【答案】±1 14．【答案】（1）8或-8 （2）2或-2 15．【答案】5 16．【答案】- 2025 17．【答案】 18．【答案】​​​​​​​ 19．【答案】（1）解：原式； （2）解：原式 （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 20．【答案】（1）解：∵ ∴王师傅最后所在的位置在单位东边，距离单位8千米； （2）解： （千米） （度） 答：一上午耗电量为度． 一上午耗电量为度 21．【答案】（1）解：由题意可得： （2）解：由题意可得： 解得：x=5 22．【答案】（1） （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． 23．【答案】（1）②③ （2）0； （3）解：∵集合，集合，且， ∴要满足集合的定义，则，即， ∴，即， 此时集合，集合， ∴，解得， 当时，，，不满足集合的概念，舍； 当时，，，满足集合的概念，且， ∴，． 24．【答案】（1）15 （2） （3） 25．【答案】（1）一 （2）解：原式的倒数为 ． 所以． 26．【答案】（1）；4 （2）C （3）（﹣）3；54 （4）（）n﹣2 （5）-2 27．【答案】（1）6；5 （2）7；0 （3）解：如图，设另外两个圆圈中的数分别为p，q， 根据题意，得m=2-4-2-（-3）=2-4-2+3=-1， q=2-8-(-7)-(-5)=2-8+7+5=6， p+n=2-12-(-9)=2-12+9=-1， 因为圆圈中的12个数分别为-11，-9，-7，-5，-3，-1，2，4，6，8，10，12， 所以p=10，n=-11或p=-11，n=10， 所以m的值为-1，n的值为-11或10. 28．【答案】解：任务1：，则120转换为五进制数为；，则转换为十进制数为30； 任务2：三进制数转换为十进制为； ∵， ∴15转换为四进制为，即把三进制数转换为四进制数为； 任务3：与不是“久久数”，理由如下： 把化成十进制为； 把化成十进制为； ∵， ∴与不是“久久数”． 1 学科网（北京）股份有限公司 $