第2章有理数 单元分层练习 2026-2027学年苏科版数学七年级上册

**基本信息** 苏科版七年级上册有理数单元分层练习，通过基础巩固、提高拓展、创新思维三层次设计，融入《九章算术》、以旧换新经济数据等文化与现实情境，适配单元复习，培养抽象能力、运算能力及模型意识。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |选择|8|正负数意义、科学记数法、数轴表示|结合《九章算术》考相反意义量，以经济数据考科学记数法| |填空|4|相反数倒数综合、七进制、24点游戏|七进制体现文化传承，24点游戏融合有理数运算| |解答|8|数轴比较、有理数计算、实际应用、规律探究|节约用水问题培养数据意识，“一尺之棰”探究发展创新思维|

2026-2027学年苏科版数学七年级上册单元分层练习 第2章 有理数 一、基础巩固 1．《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：今有两数若其意义相反，则分别叫做正数与负数.如果+40m表示向东走40m，那么-100m表示（　　） A．向西走100m B．向西走60m C．向东走100m D．向东走60m 2．在﹣1、2.5、0、﹣3.14、、120、﹣1.732中，正数有（　　）个． A．3 B．0 C．2 D．4 3．春日经济犹如一扇窗，折射出中国经济的韧性和活力，据商务大数据监测，截至4月12日，2026年消费品以旧换新销售额达5029.4亿元.将数据“5029.4亿”用科学记数法表示为（　　） A． B． C． D． 4．下列说法中，正确的是（　　） A．近似数精确到十分位 B．按科学记数法表示的数，其原数是50400 C．用科学记数法表示为 D．用四舍五入法得到的近似数精确到千分位 5．主产厂家检测4个篮球的质量，结果如图所示，超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数、其中最接近标准质量的篮球是（　　） A． B． C． D． 6．已知非零实数a，b，用数轴上的点表示a，b，下列选项正确的是（　　） A． B． C． D． 7．若互为相反数，互为倒数，的绝对值为4，则的值为　 　． 8．我们常用十进制数，我国古代《易经》一书记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，并采用七进制（也就是满七进一，如）用来记录孩子自出生后的天数，由图可知，孩子自出生后的天数是　 　天． 9．游戏“24点”规则如下：从一副扑克牌（去掉大王、小王）中任意抽取4张，根据牌面上的数字进行混合运算（每张牌必须用一次且只能用一次），使得运算结果为24，其中红色扑克牌代表负数，黑色扑克牌代表正数，请用如图抽取出的4张牌（4张牌颜色依次为红色、黑色、黑色、红色），写出一个符合规则的算式　 　 10．把下列各数表示的点画在数轴上，并用“＜”把这些数连接起来． ，，，，，． 11．计算． （1） （2） 12．计算： （1）； （2）； （3）． 13．某校为培养学生节约用水的习惯，对学生家庭每日用水量进行统计．若规定每户每日用水量标准为，超过的部分记为“”，不足的部分记为“”，下表记录了某同学家一周七天的用水量数据（单位：）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 用水量（） 已知：吨，居民用水原价为2.75元/吨． （1）该同学家用水量最多的一天比最少的一天多多少升？ （2）该同学家这周的总用水量是多少升？若规定每周用水量不超过即为节水达标，判断该同学家这周用水量是否达标？ （3）若该同学家这周前4天按原价缴纳水费，后3天因参与节水活动每吨减少0.2元，求该同学家这周一共缴纳多少水费？（结果保留两位小数） 二、提高拓展 14．如图1，点A，，是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的数为，，4，某同学将刻度尺如图2放置，使刻度尺上的数字0对齐数轴上的点A，发现点对应刻度，点对应刻度.则数轴上点所对应的数为（　　） A．2 B．1 C．0 D． 15．如图，数轴上有点、、，点、表示的数分别是，，现以点为折点，将数轴向右对折，若点落在点的右侧且到点的距离为，则点表示的数是（　　） A． B． C．或 D．或 16．下列说法中，正确的是　 　．（请填写正确的序号） ①若，则； ②若，则； ③若m是有理数，则不可能是负数； ④若，且时，则； ⑤已知a、b、c均为非零有理数，若，则的值为或 17．综合与实践：有趣的“乘法运算” 小明在学完《整式的乘法》后对一类特殊的乘法运算进行了探究. 【算法界定】这里的“乘法运算”指的是末位数字相同，首位数字和为十的两位数相乘. 【算法介绍】两数首位数字相乘再加上末位的数字作为“前积”，末位数字的平方作为“后积”，前积乘以100加上后积就是得数. 例：前积是13，后积是16. （1）前积是　 　，后积是　 　； （2）【初探算法】仿照例题，写出下面两数相乘的运算过程及结果. 25×85=　 　=　 　； （3）【推理算法】记两位数分别是ac和bc，且a+b=10，其中 请写出算法介绍中的运算规律，并加以证明. 18．阅读下面的材料：根据绝对值的几何意义，我们知道表示5、3在数轴上对应的两点间的距离；，所以表示5、在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示5在数轴上对应的点到原点的距离．一般地，点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，那么A、B两点之间的距离可以表示为．回答下列问题： （1）数轴上表示6与的两点之间的距离是 ； （2）若，则 ． （3）的最小值为 ；此时整数 ． （4）若，则整数 ． 三、创新思维 19．《庄子∙天下》：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”意思是说：一尺长的木棍，每天截掉一半，永远也截不完．我国智慧的古代人在两千多年前就有了数学极限思想，探究课上，同学们运用此数学思想研究下列问题．“聪慧组”的同学将一个边长为1的正方形纸片分割成若干个部分，并用数形结合的思想解决下列问题： （1）请按照“聪慧组”同学的思路填空： ； ； ________； 猜想： ； （2）为了证明“聪慧组”同学得到的结论，“明辨组”的同学采用了以下方法进行证明，请将证明过程补充完整． 设 则 即 化简得 得： 即___________； （3）通过阅读，你一定学到了多种解决问题的方法． ①请计算的值． ②请选择“聪慧组”的作图法或“明辨组”的代数法进行计算：（只选一种解法，若选择作图，请标注出各部分图形的面积，下图是边长为的正方形） 20．现有点，，为数轴上三点，若点到点的距离是点到点的距离的倍，则称是的“倍点”，记作：．例如：点表示0，点表示，点表示2，则是的“2倍点”，记作：． （1）如图1，，，，为数轴上各点． ①图中 ； ②若，则点表示的数是 ． （2）如图2，点，，分别表示，，8，点，依次在点，之间，若点，，满足，，求点，之间的距离． 答案解析部分 1．【答案】A 【知识点】用正数、负数表示相反意义的量 【解析】【解答】解：表示向西走； 故答案为：A． 【分析】如果向东规定为正数，则向西为负数，据此解答即可. 2．【答案】A 【知识点】正数、负数的概念与分类 【解析】【解答】解：正数有、、120，共3个， 故答案为：A． 【分析】根据正数大于零逐个判断解答即可． 3．【答案】B 【知识点】科学记数法表示大于10的数 【解析】【解答】解：先进行单位换算，亿，因此亿。 科学记数法的标准形式为，其中，为正整数。 将的小数点向左移动3位，得到，对应指数增加3，即： 。 故答案为：B 【分析】本题考查科学记数法表示较大的数，涉及单位换算与科学记数法的定义。科学记数法要求将数表示为的形式，其中的绝对值需在1到10之间，的值由原数的整数位数决定。解题时先将“亿”换算为，得到以个为单位的数字表达式；再将前面的数值调整为符合要求的，根据小数点移动的位数调整10的指数，最终得到标准形式的科学记数法结果。 4．【答案】C 【知识点】科学记数法表示大于10的数；近似数与准确数；还原用科学记数法表示大于10的数 【解析】【解答】解：A、近似数是精确到百分位，原说法错误，故该选项错误； B、按科学记数法表示的数，其原数是504000，原说法错误，故该选项错误； C、用科学记数法表示为，原说法正确，故该选项正确； D、用四舍五入法得到的近似数是精确到万分位，原说法错误，故该选项错误； 故答案为：C． 【分析】 根据科学记数法表示数和近似数及精确度逐一判断各选项即可. 5．【答案】B 【知识点】正数、负数的实际应用；有理数的大小比较-直接比较法 【解析】【解答】解：|-2.4|>|1.4|>|0.6|>|-0.5| 故答案为：B 【分析】求各数绝对值，再比较大小即可求出答案. 6．【答案】B 【知识点】有理数在数轴上的表示；绝对值的概念与意义 【解析】【解答】解：由∣ab∣=-ab，且a，b为非零实数，得ab<0，即a，b异号； 由∣a+b∣=a-∣b∣，得等式右边a-∣b∣≥0，因此a>∣b∣．又因为∣b∣>0，所以a>0．又ab<0，得b<0． 综合以上结论：a>0，b<0，且∣a∣>∣b∣．故a在原点右侧，b在原点左侧，且a到原点的距离大于b到原点的距离． 故答案为：B. 【分析】先根据∣ab∣=-ab判断出a，b异号；再根据∣a+b∣=a-∣b∣右边非负，判断出a>0，进而得出 b<0；最后由a>∣b∣得出∣a∣>∣b∣，从而确定数轴上a，b的位置关系． 7．【答案】或 【知识点】有理数的倒数；相反数的意义与性质；求有理数的绝对值的方法；求代数式的值-整体代入求值 【解析】【解答】解：∵互为相反数，互为倒数，的绝对值是， ∴，，， ∴当时，， 当时，， 故答案为：或． 【分析】先利用相反数、倒数和绝对值的定义及性质求出，，，再将其代入计算即可. 8．【答案】565 【知识点】有理数混合运算法则（含乘方）；十进制及其他进制问题；有理数乘方的实际应用 【解析】【解答】解：天， 故答案为：． 【分析】根据七进制，结合有理数的混合运算，有理数的乘方即可求出答案. 9．【答案】或或 【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则；“二十四点”游戏 【解析】【解答】解：由图可得，符合规则的算式为或或， 故答案为：或或． 【分析】开放性命题，答案不唯一；根据题意可得图中4张扑克牌所代表的数依次为-3，4，7，-9；然后根据“24点”游戏规则，结合扑克牌代表的数字，通过不同的运算组合得到结果为24的算式即可. 10．【答案】解：把表示数的点画在数轴上，如图所示： ，， ． 【知识点】有理数在数轴上的表示；有理数的大小比较-数轴比较法 【解析】【分析】根据绝对值、平方的性质化简，然后在数轴上找出对应的点，再比较大小即可求出答案. 11．【答案】（1）解：. （2）解： ． 【知识点】有理数的乘法法则；有理数混合运算法则（含乘方）；化简含绝对值有理数 【解析】【分析】（1）利用有理数的乘法运算法则（①同号两数相乘结果为正；②异号两数相乘结果为负；③任何数与0相乘都为0）分析求解即可； （2）利用含乘方的混合运算的计算方法（先计算乘方，再计算括号，然后计算乘除，最后计算加减）分析求解即可. （1）解：； （2）解： ． 12．【答案】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式． 【知识点】有理数的加、减混合运算；有理数的乘法法则；有理数混合运算法则（含乘方） 【解析】【分析】（1）根据有理数的加减即可求出答案. （2）根据有理数的乘除即可求出答案. （3）根据有理数的混合运算，结合有理数的乘方即可求出答案. （1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式． 13．【答案】（1）解：由表格可得：该同学家用水量最多的一天比最少的一天多升 （2）解： ， ∵， ∴该同学家这周用水量达标 （3）解：前四天的水费为： （元）， 后三天的水费为： （元）， 故该同学家这周一共缴纳水费为（元） 【知识点】有理数混合运算的实际应用；正数、负数的实际应用；有理数减法的实际应用 【解析】【分析】本题主要考查正数和负数的概念，以及有理数混合运算的实际应用。解题关键在于正确理解题意并准确计算。 （1）根据题目要求，列出相应的算式，运用有理数的减法法则进行计算，即可得到答案； （2）通过有理数的加减混合运算，求出该同学家一周的总用水量，然后与标准值进行比较，得出结论； （3）分别计算前四天和后三天的水费支出，将两部分费用相加，即可得到最终需要缴纳的总水费金额。 （1）解：由表格可得：该同学家用水量最多的一天比最少的一天多升； （2）解： ， ∵， ∴该同学家这周用水量达标； （3）解：前四天的水费为： （元）， 后三天的水费为： （元）， 故该同学家这周一共缴纳水费为（元）． 14．【答案】C 【知识点】有理数的减法法则；有理数的除法法则；有理数在数轴上的表示；数轴上两点之间的距离 【解析】【解答】解：由图1可得，由图2可得， ∴数轴上的一个长度单位对应刻度尺上的长度为， ∵， ∴（单位长度）， ∴在数轴上点B所对应的数； 故答案为：C． 【分析】由图可得1个单位长度，然后得到之间在数轴上的距离解题即可． 15．【答案】A 【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题；有理数在数轴上的表示；数轴上两点之间的距离 【解析】【解答】解：设点表示的数为，点对折后的落点为， 点、表示的数分别是，，点落在点的右侧且到点的距离为， 点落在的位置表示的数为， 点表示的数为， ， ， 解得， 点表示的数是， 故答案为：． 【分析】设点表示的数为，点对折后的落点为，先求出点表示的数为，再结合，列出方程，最后求出c的值即可. 16．【答案】①③④⑤ 【知识点】有理数的加、减混合运算；有理数的除法法则；求有理数的绝对值的方法 【解析】【解答】解：①由，得，①符合题意； ②由，得，故，②不符合题意； ③当时，；当时，，故不可能为负数，③符合题意； ④由且，得，则，④符合题意； ⑤由，可知、、中负数的个数为或或， 当负数的个数为时，设为负数，、为正数，那么， 当负数的个数为时，设、为负数，为正数，那么，则， 当负数的个数为时，则、、都是负数，那么，则， ⑤符合题意． 综上，符合题意的有①③④⑤． 故答案为：①③④⑤． 【分析】本题考查相反数和绝对值的概念，需理解定义并运用相关性质分析各选项。 17．【答案】（1）22；36 （2）；2125 （3）算法介绍中的运算规律为：记两位数分别是和，且，其中，，那么． 证明：∵，， ∴ ， ∵， ∴ ． 【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则；整式的混合运算 【解析】【解答】解：（1）∵， ∴前积是22，后积是36． 故答案为：22，36； （2）． 故答案为：，2125； 【分析】（1）利用题干所提供的方法解答即可； （2）仿照题干解题方法运算即可； （3）利用多项式乘以多项式的法则运算解答即可． 18．【答案】（1） （2）0或6 （3）；，，0，1，2，3 （4）或 【知识点】数轴上两点之间的距离；绝对值的概念与意义；两个绝对值的和的最值 【解析】【解答】 （1） 解：数轴上表示6与的两点之间的距离是， 故答案为：； （2） 解：表示与3的距离为3，则或6， 故答案为：0或6； （3） 解：表示与的距离与它与3的距离之和， ∴当时，，其他情况下都， ∴的最小值为；此时整数，，0，1，2，3， 故答案为：；，，0，1，2，3； （4） 解：表示与的距离与它与3的距离之和为， ∴当时，，不合题意； 当时，，解得； 当时，，解得； 综上所述，或， 故答案为：或． 【分析】 （1）由绝对值的几何意义知数轴上两点间的距离等于表示这两点的数差的绝对值； （2）由绝对值的几何意义知数轴上到表示3的点的距离为3的数字有两个，分别为0和6； （3）由绝对值几何意义知表示的是数轴上一点到表示-2和3的点的距离之和，则由两点之间线段最短知当表示x的点在表示-2和3的点连成的线段上时原式值最小，最小值为5，则满足条件的x的整数分别为，，0，1，2，3； （4）同上，当表示x的点在表示-2和3的点连成的线段上时，则当表示x的点在-2左侧或在3的右侧时等式才能成立，再分别化简绝对值代数式可得关于x的方程并求解即可． （1）解：数轴上表示6与的两点之间的距离是， 故答案为：； （2）解：表示与3的距离为3，则或6， 故答案为：0或6； （3）解：表示与的距离与它与3的距离之和， ∴当时，，其他情况下都， ∴的最小值为；此时整数，，0，1，2，3， 故答案为：；，，0，1，2，3； （4）解：表示与的距离与它与3的距离之和为， ∴当时，，不合题意； 当时，，解得； 当时，，解得； 综上所述，或， 故答案为：或． 19．【答案】（1） （2） （3）解：①， ； ②设 则 即， ∴得， 即． 如图所示，． 【知识点】探索数与式的规律；有理数乘方的实际应用；探索规律-等式类规律 【解析】【解答】（1）解：； ； ， ； 故答案为：，； （2）解：设，则， 即， 得， 即． 故答案为：. 【分析】（1）根据前几个等式可得规律，再求解即可； （2） 设 ，则 ，再利用作差法求出即可； （3）①先将原式变形为，再计算即可； ②先画出图形，再参照（2）的计算方法列出算式求解即可. （1）解：； ； ， ； 故答案为：，； （2）解：设，则， 即， 得， 即． 故答案为：； （3）解：① ， ； ②设 则 即， ∴得， 即． 如图所示，． 20．【答案】（1）①4；②0或12 （2）点，之间的距离为5 【知识点】有理数在数轴上的表示；数轴上两点之间的距离；绝对值的概念与意义 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $