2.2《求解一元二次方程》第3课时 课件 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦公式法解一元二次方程及根的判别式，通过小区健身区改造的实际问题导入，从配方法的繁琐引出对一般形式方程配方推导求根公式的需求，构建从特殊到一般的学习支架。 其亮点是以真实情境驱动学习，通过问题链引导学生自主推导求根公式，培养数学思维中的推理能力。对比配方法与公式法的联系区别，结合根的判别式解决场地规划等问题，发展数学眼光和模型意识。学生能提升运算与应用能力，教师可依托结构化流程高效教学。

第二章 一元二次方程 第2课 求解一元二次方程 新版北师大数学九年级上册数学 第3课时 公式法解一元二次方程及根的判别式 学习目标 1.通过对一元二次方程一般形式(a≠0)进行配方推导，掌握求根公式的推导过程,能熟练运用公式法解一元二次方程. 2.通过探究方程有解、无解的条件,理解根的判别式=的意义,能准确判断一元二次方程实数根的情况. 3.通过用公式法和根的判别式解决健身区改造中的器材采购、场地规划等实际问题,体会“从特殊到一般再到特殊”的数学思想，感受数学工具的便捷性与实用性. 情境启航 问题构建 协作破冰 教师示范 巩固拓展 当堂检测 反思总结 作业设计 目录 情境启航 小区健身区改造进入器材采购和精细规划阶段,遇到了多种系数复杂的一元二次方程,例如？类似这样的方程如果继续使用配方法求解，计算复杂程度较高. 用配方法求解步骤繁琐且容易出错.我们能否借助从一般到特殊的思想，直接研究一元二次方程的一般形式，对其进行配方，看看会得到怎样的结果？ 你还记得一元二次方程的一般形式吗？ 问题构建 问题1:上节课我们用配方法算出了靠墙综合健身区的最大面积为162，现在物业开始核算器材采购成本和场地细分尺寸.工作人员小李在计算时列出了两个方程： 方程1：−7𝑥−18=0（计算健身器材的单价） 方程2：4+1=4𝑥（计算乒乓球台的摆放间距） 小李用配方法解第二个方程时,反复计算都出错了,抱怨道:“每个方程都要重新配方,太麻烦了,有没有更简单的办法？” 追问:请快速用配方法解第一个方程−7𝑥−18=0 ,并复述配方法解二次项系数不为1的方程的完整步骤? ​=9, ​=−2；步骤为①化1→②移项→③配方→④变形→⑤开平方→⑥求解 问题构建 如果所有一元二次方程都能像“代入公式算面积”一样,直接代入系数就能得到解,是不是会方便很多？我们能不能从配方法出发，推导出一个适用于所有一元二次方程的通用公式？ 问题2：写出一元二次方程的一般形式,要对它进行配方,第一步应该做什么？依据是什么？ 方法1：第一步两边同时除以a,将二次项系数化为1,依据是等式的基本性质2. 方法2：也可以先移常数项，再两边都是除以a，依据是等式的基本性质1和2 问题构建 问题3:请仿照配方法的步骤,对进行配方,写出每一步的变形过程. 解:移项 = 追问1:等式两边能直接开平方吗？需要满足什么条件？ 不能直接开平方,因为右边​必须是非负数,只需≥0即可开平方. 问题构建 追问2:当≥0时,对等式两边开平方,最终能得到什么结果？ 上面这个式子称为一元二次方程的求根公式.用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法. 追问3:观察公式法，可以得出公式法求根只需要得出哪些量即可开始计算？ 只需要知道二次项系数 问题构建 问题4:现在用求根公式解决小李遇到的两个方程,对比配方法,感受公式法的便捷性 (−7𝑥−18=0 (2)4+1=4𝑥 解：（1）a=1,b=−7,c=−18，Δ=−4×1×(−18)=121>0， 𝑥=​， 即​=9, （2）先化为一般形式4−4𝑥+1=0，a=4,b=−4,c=1， Δ=−4×4×1=0， 𝑥=​, 即= ​= ​ 追问:观察上面两个方程的解的情况,你有怎样的思考？ 我们发现有的方程有两个不相等的根,有的有两个相等的根 问题构建 问题5:刚才解方程时,我们发现有的方程有两个不相等的根,有的有两个相等的根.那有没有方程没有实数根呢？请尝试解方程+3=0,你遇到了什么问题？ 配方得=−2,由于完全平方式非负，等式不成立,因此方程没有实数根. 追问1:结合求根公式的推导过程,一元二次方程的实数根情况由哪个式子决定？具体有哪几种情况？ 由决定： >0→两个不相等的实数根 =0→两个相等的实数根 <0→没有实数根 协作破冰 由此可知,一元二次方程的根的情况可由来判定.我们把叫作一元二次方程的根的判别式,通常用希腊字母“Δ”来表示. 希腊字母“Δ”读作delta 追问2:在解决实际问题时,根的判别式有什么作用？ 可以提前判断方程是否有实数解,避免无意义的计算；同时可以检验实际问题的解是否存在. 练习：不解方程,判断下列一元二次方程根的情况,并说明理由. (1) (2) (3) 协作破冰 已知关于的方程 是一元二次方程,且有两个不相等的实数根.求的取值范围. 解:有两个不相等的实数根 ⇔ Δ>0 =−1,=2,=+3 Δ= −4(−1)(+3) =-8 由题意得：-8＞0 方程是一元二次方程，所以 ∴ 是 教师示范 物业要在综合健身区划出一块长方形区域放置健身路径,计划用18m长的围栏围出,且要求面积为20 问题6:设长方形的长为m,列出方程并判断能否围成这样的区域.若能，求出长和宽;若不能,请说明理由. 解:设宽为(9−𝑥)m， 列方程𝑥(9−𝑥)=20， 化为一般形式−9𝑥+20=0 Δ=−4×1×20=1>0，方程有两个不相等的实数根.代入公式得𝑥=， 即​=5, 当长为5m时,宽为4m；当长为4m时,宽为5m（舍去,长>宽） 因此能围成,长5m,宽4m. 教师示范 物业调整方案,打算利用一面长10m的墙围这个长方形区域,围栏总长仍为18m,要求面积为40. 问题7:设垂直于墙的边长为m,列出方程并判断这个方案是否可行? 解:平行于墙的边长为(18−2𝑥)m, 列方程𝑥(18−2𝑥)=40, 化为一般形式−18𝑥+40=0即−9𝑥+20=0解得​=5, 当𝑥=5时,平行于墙的边长为18−10=8m（8<10,符合）； 当𝑥=4时,平行于墙的边长为18−8=10m（10=10,符合） 因此方案可行,有两种设计： 垂直于墙5m、平行于墙8m;或垂直于墙4m、平行于墙10m. 巩固拓展 项目 配方法 公式法 核心思想 把方程化成 的形式 直接代入求根公式 解题步骤 步骤较多： 1.移常数项 2.化首项系数为1 3.配方 4.开方求解 步骤较少： 1. 确定 2. 计算Δ= 3. 代入公式 计算难度 中间运算较繁琐，容易算错 只需代公式,计算相对简单 适用范围 理论上适用于所有一元二次方程 同样适用于所有一元二次方程 优点 体现“配方”的数学思想,有助于理解公式来源 快速、直接，适合考试和复杂数字 缺点 步骤多、易出错 对公式记忆要求较高 联系 公式法就是由配方法推导出来的 两者本质相同,都是解一元二次方程的通用方法 问题8:对比配方法和公式法,说一说它们的区别与联系？ 当堂检测 1.下列关于𝑥的一元二次方程中,没有实数根的是（ ） −3=0 B. 2−4𝑥+1=0 C. −2𝑥+2=0 D. 3+5𝑥−2=0 C 选项C中Δ=−4×1×2=−4<0,没有实数根. 当堂检测 2.用公式法解方程2−5𝑥−3=0，则方程的解为_____ 解：a=2,b=−5,c=−3， Δ=25+24=49， 𝑥=​， 解得​=3， =− 当堂检测 3.用公式法解方程：3−𝑥+1=0 解：a=3,b=− ​,c=1， Δ−4×3×1=12−12=0， 𝑥== 仔细观察原方程的形式，你还有更快的求解方法吗？ 当堂检测 4.某商店销售健身器材,每件进价为100元，售价为130元时，每天可售出50件.市场调查发现：若每件售价每降低1元，每天可多售出5 件.商店想要每天盈利2000元,且尽可能让利于顾客,问每件售价应定为多少元？ 解：设每件售价降低𝑥元，列方程(130−𝑥−100)(50+5𝑥)=2000， 整理得−20𝑥+100=0 Δ=400−400=0， 解得​=10 因此售价为130−10=120元 反思总结 1.公式法与配方法有什么联系与区别？用公式法解方程时,最容易出错的步骤是什么？如何避免？ 2.根的判别式Δ=有哪些核心作用？请结合本节课的例子说明. 3.除了解方程和判断根的情况,公式法和根的判别式还能解决生活中的哪些实际问题？请举1-2个例子. 作业设计 一、基础巩固作业： 课本第42页 第1、2题 二、素养类作业 课本第42页 第3题 作业要求：书写规范、图形标准、按时上交、及时订错. $