2.3 一元二次方程的根与系数的关系（课件）-2026-2027学年北师大版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），通过回顾求根公式和判别式，结合合作探究验证方程因式分解与根的关系，搭建新旧知识衔接的学习支架，引导学生理解定理推导过程。 其亮点在于以探究式学习培养数学眼光（抽象能力、创新意识），通过例题（如已知根求参数、构造方程）和变式练习发展数学思维（推理能力、运算能力），总结解题步骤和易错点强化数学语言（模型意识、应用意识），助力学生提升解题能力，教师可高效开展培优教学。

北师大版数学9年级上册培优精做课件 授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 2026年7月3日 2.3 一元二次方程的根与系数的关系 第二章 一元二次方程 2.3 一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理） 本节为一元二次方程核心拔高考点，俗称韦达定理。不需要解方程，可直接通过系数 $$a、b、c$$ 求出两根之和、两根之积，常用于代数式求值、已知根求参数、已知两根构造方程，是中考填空、选择、解答高频考点。 一、韦达定理核心公式（必背） 对于一元二次方程 $$ax^2+bx+c=0\ (a eq0)$$，当 $$\boldsymbol{\Delta\ge0}$$ 时有两个实数根 $$x_1、x_2$$，则： $$\boldsymbol{x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}}$$ $$\boldsymbol{x_1x_2=\dfrac{c}{a}}$$ 重要前提：必须保证方程有实数根，即 $$\Delta\ge0$$，否则韦达定理不成立。 二、两种特殊情况 1. 简化方程：$$x^2+px+q=0$$ $$x_1+x_2=-p,\quad x_1x_2=q$$ 2. 常数项为0：$$ax^2+bx=0$$ 两根：$$0、-\dfrac{b}{a}$$，即 $$x_1+x_2=-\dfrac{b}{a},\ x_1x_2=0$$ 三、常见代数式变形（考试必考） 不用解方程，直接整体代换，是本节最大考点： 1. $$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2$$ 2. $$\dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}=\dfrac{x_1+x_2}{x_1x_2}$$ 3. $$(x_1-x_2)^2=(x_1+x_2)^2-4x_1x_2$$ 4. $$|x_1-x_2|=\sqrt{(x_1+x_2)^2-4x_1x_2}$$ 四、经典例题精讲 例1 基础求值 已知方程 $$x^2-4x+2=0$$ 的两根为 $$x_1、x_2$$，求 $$x_1+x_2、x_1x_2$$。 解：$$a=1,b=-4,c=2$$ $$x_1+x_2=4,\quad x_1x_2=2$$ 例2 代数式整体代换（高频） 同上方程，求$$x_1^2+x_2^2$$ 的值。 解：原式$$=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=4^2-2\times2=16-4=12$$ 例3 已知一根求参数 已知方程 $$x^2+kx-6=0$$ 有一个根为2，求另一根和 $$k$$ 的值。 解：设另一根为 $$x_2$$ 由 $$x_1x_2=-6$$ 得：$$2\cdot x_2=-6$$，得 $$x_2=-3$$ 由 $$x_1+x_2=-k$$ 得：$$2+(-3)=-k$$，得 $$k=1$$ 例4 构造一元二次方程 已知两根为3和-2，求对应的一元二次方程。 解：$$x_1+x_2=1,\ x_1x_2=-6$$ 方程：$$x^2-x-6=0$$ 五、考试满分解题步骤 1. 写出 $$a、b、c$$； 2. 计算 $$\Delta$$，验证有实数根； 3. 代入韦达定理求出 $$x_1+x_2、x_1x_2$$； 4. 对所求式子变形，整体代入计算结果。 六、本节致命易错点 1. 两根之和一定带负号：$$-\dfrac{b}{a}$$，最容易丢负号； 2. 不判断 $$\Delta$$ 直接用公式，无实根时题目无解； 3. 代数式变形记混公式，尤其是平方和、差的平方； 4. 参数题最后一定要回代检验判别式。 七、同步专项练习题（含答案） 1. 方程 $$x^2-5x+3=0$$，则 $$x_1+x_2=$$____，$$x_1x_2=$$____。 答案：5，3 2. 已知 $$x^2-3x-1=0$$，求 $$\dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}$$。 答案：$$-3$$ 3. 方程 $$2x^2+mx-4=0$$ 一根为1，求另一根与 $$m$$。 答案：另一根$$-4$$，$$m=6$$ 4. 两根为4、-1，写出对应一元二次方程：________。 答案：$$x^2-3x-4=0$$ 1. 探索一元二次方程的根与系数的关系.（难点） 2. 利用一元二次方程的根与系数的关系解决问题.（重点） 学习目标 1. 一元二次方程的求根公式是什么？ 想一想：方程的根与系数 a，b，c 之间还有其他关系吗？ 2. 如何用判别式来判断一元二次方程根的情况？ 对于一元二次方程 ax2 + bx +c = 0 (a ≠ 0)，其判别式 Δ = b2 - 4ac. 当 Δ＞0 时，方程有两个不相等的实数根； 当 Δ = 0 时，方程有两个相等的实数根； 当 Δ＜0 时，方程无实数根. 由前面的学习我们知道，如果 ax2 + bx + c = a(x - x1)(x - x2) (a≠0，x1，x2 是实数)， 那么一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 必有两个实数根， x = x1，x = x2。 反过来，如果 x1，x2 是一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 的两个实数根，那么 ax2 + bx + c = a(x - x1)(x - x2) 一定成立吗？ 探究点1：一元二次方程根与系数的关系 (1) 2x² - 3x + 1 = 0 的两根为 x1 = ，x2 = 1，那么 2x² - 3x + 1 和 2(x - )(x - 1) 相等吗？ 换几个一元二次方程再试一试。 2(x - )(x - 1) = 2(x² - x - x + ) = 2(x² - x + ) = 2x² - 3x + 1 相等。 【合作探究】 探究点1：一元二次方程根与系数的关系 试一试：下列几个一元二次方程是否有上述结论. ①方程 x² - 5x + 6 = 0； ②方程 3x² - 7x + 2 = 0. 求根：x1 = 2，x2 = 3. 因式分解： (x − 2)(x − 3) = x² - 5x + 6， 与原多项式相等。 求根：x1 = ，x2 = 2. 因式分解： 3(x − )(x − 2) = 3x² - 7x + 2，与原多项式相等。 探究点1：一元二次方程根与系数的关系 (2) 你认为 ax2 + bx + c = a(x - x1)(x - x2)是否一定成立？与同伴进行交流。 如果 x1，x2 是一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 的两个实数根，那么 ax2 + bx + c = a(x - x1)(x - x2)。 探究点1：一元二次方程根与系数的关系 思考 · 交流 如果一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 有两个实数根 x1，x2 ，那么这两个实数根与该方程的系数有怎样的关系呢？与同伴进行交流。 事实上，因为 ax2 + bx + c = a(x - x1)(x - x2)，而a(x - x1)(x - x2) = ax2 - a(x1 + x2) x + ax1·x2 ， 所以 b = - a(x1 + x2)， c = ax1x2 能证明它们为什么成立吗？ 探究点1：一元二次方程根与系数的关系 所以 x1＋x2＝ 因为 x1＝ ，x2＝ . x1·x2＝ ＝ . 于是 探究点1：一元二次方程根与系数的关系 如果方程 ax2 + bx + c = 0 (a≠0) 的两个实数根 x1，x2 ，那么 由此我们可以得到一元二次方程的根与系数的关系： 【归纳总结】 满足上述关系的前提条件 b2 - 4ac≥0. 探究点1：一元二次方程根与系数的关系 例1 利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积. (1) x2 + 7x + 6 = 0； 解：这里 a = 1，b = 7， c = 6 . Δ = b2 - 4ac = 72 – 4 × 1 ×6 = 49 – 24 = 25＞0. 所以方程有两个实数根. 设方程的两个实数根是 x1， x2，那么 x1 + x2 = –7， x1 x2 = 6. 探究点2：一元二次方程的根与系数的关系的应用 (2) 2x2 - 3x - 2 = 0. x1 + x2 = ， x1 x2 = -1. 解：这里 a = 2，b = –3， c = -2. Δ = b2 − 4ac = (−3)2 – 4×2×(−2) = 9 + 16 = 25 ＞ 0， 所以方程有两个实数根。 设方程的两个实数根是 x1，x2，那么 探究点2：一元二次方程的根与系数的关系的应用 所以 x1·x2 = 2x2 = ，即 x2 = 由于 x1 + x2 = 2 + = ， 解得 k = -7. 答：方程的另一个根是 ，k 的值为 -7. 例2 已知关于 x 的方程 5x2 + kx - 6 = 0 的一个根是 2，求它的另一个根及 k 的值. 解： 因方程有两个实数根，故 Δ = k² + 120，则 k 是任意数. 设方程的两根分别是 x1，x2，其中 x1 = 2. 探究点2：一元二次方程的根与系数的关系的应用 例3 不解方程，求方程 2x2 + 3x - 1 = 0 的两根的平方和、倒数和. 解：根据根与系数的关系可知 探究点2：一元二次方程的根与系数的关系的应用 【知识拓展】常见的求值式子如下： 探究点2：一元二次方程的根与系数的关系的应用 15 1.设 x1，x2 为方程 x2 - 4x + 1 = 0 的两个根，则 (1) x1 + x2 = ； (2) x1·x2 = ； (3) ； (4) (x1 - x2)2 = . 4 1 14 12 归纳：求与方程的根有关的代数式的值时，一般先将所求的代数式化成含两根之和，两根之积的形式，再整体代入. 【练一练】 探究点2：一元二次方程的根与系数的关系的应用 2. 已知 x1，x2 是方程 x2 - x - 2026 = 0 的两个实数根，则代数式 x13 - 2026x1 + x22 的值是 ( ) A. 4053 B. 4052 C. 2026 D. 2025 A x12-x1-2026=0 x12 -2026= x1 x13-2026x1+x22 x1(x12-2026)+x22 x12+x22 (x1+x2)2-2x1x2 x2-x-2026=0 x1+x2=1，x1x2 =-2026 4053 探究点2：一元二次方程的根与系数的关系的应用 知识点1 一元二次方程的根与系数的关系 1. 若一元二次方程的两个实数根为， ， 则下列结论正确的是( ) A A. B. C. D. 返回 考试考法 18 2. 关于的方程（ 为常数）的根的 情况，下列结论中正确的是( ) C A. 两个正根 B. 两个负根 C. 一个正根，一个负根 D. 无实数根 【点拨】化简关于的方程 （为常数），得 ， ， 方程有两个不 相等的实数根.根据根与系数的关系，得方程的两个根的积为 ， 方程有一个正根，一个负根，故选C. 返回 考试考法 19 知识点2 一元二次方程的根与系数的关系的应用 3. [2025河北] 若一元二次方程 的两根之和 与两根之积分别为，，则点 在平面直角坐标系中位 于( ) C A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 返回 考试考法 20 4.[2025泸州] 若一元二次方程的两根为 , ，则 的值为____. 10 【点拨】 一元二次方程的两根为 , ， ， . 返回 考试考法 21 5.已知 ， 是方程 的两根，不解方程，求 下列代数式的值： 【解】 ， 是方程 的两根， ， . （1） ； . （2） ； . 考试考法 22 （3） . , 或 . 返回 考试考法 23 知识点3 用一元二次方程根与系数的关系求字母的值 6. 若关于的一元二次方程的两根为, ， 且，则 的值为( ) A A. B. C. D. 6 返回 考试考法 24 7.已知关于的一元二次方程 有两个实 数根， . （1）求 的取值范围； 【解】 关于的一元二次方程 有两个 实数根， ， ，解得 . 考试考法 25 （2）若，求 的值. , . , ， ，解得 . 返回 考试考法 26 8. 小影与小冬一起写作业，在解一道一元二次 方程时，小影在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的 两个根是6和1；小冬在化简过程中写错了一次项的系数，因 而得到方程的两个根是和 ，则原来的方程是( ) B A. B. C. D. 考试考法 27 【点拨】设原来的方程为 ，由题 知，,， ， 原来的方程为.当 时， 方程为 .故选B. 返回 考试考法 28 9. 已知关于的一元二次方程 .下列 说法中正确的有( ) ①若，则方程 有一个根是1； ②若方程的两根为和2，则有 成立； ③若是方程的一个根，则有 成立； ④若方程的两根为， ，且满足 ，则方程，必有实根， . D A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 考试考法 29 【点拨】当时，， 方程 有一个根是1，正确，故①符合要求； 方 程的两根为和2，，即 ，正确，故 ②符合要求；是方程 的一个根， ，即 ， ，， ，正确，故③符合要求； 方程的两根为， ，且满足 考试考法 30 ，， ， ， ，即可得出方程 ，必有实根， ，故④符合要求.故选D. 返回 考试考法 10. 若，，则 的值等 于________. 2或 考试考法 32 一元二次方程的根与系数的关系 内 容 如果 x1，x2 是一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 的两个实数根 ，那么 应 用 …… 课堂小结 $