2.2《求解一元二次方程》第2课时 课件 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦配方法解二次项系数不为1的一元二次方程及求最值，以小区健身区改造问题导入，先复习二次项系数为1的解法，再通过改造方案引出新方程，引导学生思考转化方法，搭建从已知到未知的学习支架。 其亮点是以“生活-数学-生活”闭环情境贯穿，通过问题链驱动转化思想，如健身区改造方程转化、小球高度最值计算等实例。体现数学眼光（抽象现实问题）、数学思维（转化与推理）、数学语言（代数式表达最值），帮助学生提升代数变形和应用能力，为教师提供完整情境与问题链，便于教学实施。

第二章 一元二次方程 第2课 求解一元二次方程 新版北师大数学九年级上册数学 第2课时 配方法解二次项系数不为1的方程 学习目标 1.通过解决小区健身区升级改造的实际问题,经历将二次项系数化为1再配方的探究过程,掌握配方法解二次项系数不为1的一元二次方程的完整步骤. 2.通过对比二次项系数为1与不为1的配方法差异,深化对"转化" 数学思想的理解,提升代数恒等变形和逻辑推理能力. 3.通过用配方法解决健身区面积最大化的实际问题,掌握配方法求二次代数式最值的基本方法,感受数学在生活中的应用价值,完成 "生活-数学-生活"的闭环转化. 情境启航 问题构建 协作破冰 教师示范 巩固拓展 当堂检测 反思总结 作业设计 目录 情境启航 上节课我们解决了小明家楼下长方形健身区的宽度问题:长比宽多8m,面积9m²,求出宽为1m,长为9m.现在小区物业收到居民反馈,健身区面积太小,决定对其进行升级改造,同时还要利用小区另一块空地新建一个更大的综合健身区. 如何将二次项系数不为1的一元二次方程转化为我们已经会解的形式？配方法除了解方程,还能解决生活中的哪些最值问题？ 问题构建 问题1:请用配方法解方程：x²+10x-18=0，并回忆二次项系数为1的配方法步骤. 移项,得x²+10x=18， 配方,得(x+5)²=43， 开平方,得x=-5± 步骤：移项→配方→变形→开平方→求解. 问题2:物业提出第一个改造方案：将原健身区的长增加2x米,宽增加x米,使改造后的面积是原来的4倍.请列出方程并观察它与上节课方程的区别? (9+2x)(1+x)=36,展开得2x²+11x-27=0. 区别：二次项系数不为1,无法直接配方. 问题构建 问题3:我们已经会解二次项系数为1的方程，如何将2x²+11x-27=0转化为这种形式？依据是什么？ 方程两边同时除以二次项系数2,依据是等式的基本性质2,得到x²+x-=0. 追问1:请尝试用配方法解这个转化后的方程,并判断哪个解符合实际意义 移项得x²+x=，配方得(x+)²=，开平方得x=舍去负根,x≈1.84m，即长增加约3.68m，宽增加约1.84m 问题构建 追问2:结合刚才的解题过程,小组讨论：用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程的完整步骤是什么？比上节课多了哪一步？ 步骤为①化1（两边除以二次项系数）→②移项→③配方→④变形→⑤开平方→⑥求解.多了第一步 "化1" 请用完整步骤解课本例题：3x²+8x-3=0（课本P37例2） 解：两边除以3，得：x²+x-1=0 移项，得:x²+x=1 配方,得:(x+)²= 开平方,得x+=± 所以x₁=，x₂=-3 问题构建 问题4:一个小球从地面以15m/s的初速度竖直向上弹出,它在空中的高度h（单位：m）与时间 t（单位：s）满足关系：h=15t-5t² 问:小球何时能达到10m高？ 令h=10得:15t-5t²=10， 整理得:5t²-15t+10=0， 化1得t²-3t+2=0， 配方得(t-)²=， 解得t₁=1s，t₂=2s 追问1:刚才我们求出小球在1s和2s时都达到10m高,这个10m是小球到达的最大高度吗？ 显然不是，最大高度时，小球速度为0 问题构建 追问2:将现实情境中的最大高度转化为等式h=-5t²+15t右边代数式进行研究，需要对代数式进行怎样的研究？ 随着t值的改变，需要找到代数式-5t²+15t能取得的最大值就是现实情境中的最大高度. 追问3:对一元二次方程的配方大家比较熟悉，代数式的配方和等式的配方又怎样的区别？你有类似的学习经验吗？ 等式的配方依据等式的基本性质，代数式的配方要借助分解因式，我们有类似恒等变形的学习经验. 追问4:你能尝试借助分解因式中学习的知识，对代数式-5t²+15t进行变形吗？ 问题构建 -5t²+15t 解:原式=-5() =-5[)] =-5 ∵ 0 ∴ -5≤0 ∴-5≤ ∴小球能到达的最大高度是11.25m,此时t=1.5s 协作破冰 练习：用配方法对代数式恒等变形，尝试找到它的最值 解:原式=2()-7 =2 (+1-1)-7 =2 =2 ∵ 0 ∴ 0 ∴2-9 ∴该代数式最小值等于-9，此时x=-1 协作破冰 问题5：配方法求最值的原理是什么？对于二次代数式ax²+bx+c（a≠0），什么时候有最大值？什么时候有最小值？ 原理是完全平方式的非负性.当a>0 时,代数式有最小值；当 a<0时,代数式有最大值. 求代数式2x²-4x+1的最小值解法： 2x²-4x+1=2(x²-2x)+1=2(x-1)²+1 错误原因：配方时只给括号内加了1，没有乘以系数2再减去，导致代数式的值改变 正确解法：2(x²-2x+1-1)+1=2(x-1)²-2+1=2 (x-1)²-1，最小值为-1 注意事项： 1.提取二次项系数时，括号内每一项都要除以该系数 2.配方时"先加后减"的数要乘以提取的二次项系数 3.提取负号后，括号内所有项的符号都要改变 教师示范 改造后的健身区已经确定了大小，物业现在要在里面划出一块长方形区域放置乒乓球台，并用16m长的彩色隔离带围出这个区域（四周都围） 追问1:怎样设计这个长方形器材区的长和宽，才能让它的面积最大？最大面积是多少？ 追问2:如果设长方形的长为xm，长方形的宽为多少？16m这个条件又怎样的作用，你能得出面积的关系式吗？自己动手，完成你的解题过程. 教师示范 设长方形的长为xm，则宽为(8-x)m 面积S=x(8-x)=-x²+8x 配方：S=-(x²-8x) =-(x-4)²+16 结论：当x=4m时，S取得最大值16m²，此时长和宽都是4m（正方形） 规律总结：周长固定的长方形,当长和宽相等（即为正方形）时,面积最大 刚才我们解决了四周都围隔离带的情况，但实际生活中，我们经常会遇到一边靠墙的情况，这时候又该怎么设计呢？ 巩固拓展 问题6：回到生活主线：物业要用36m长的围栏围一个长方形综合健身区，一边靠墙（墙足够长）.设垂直于墙的边长为xm，健身区面积为Sm²,求S的最大值及此时的长和宽. S=x(36-2x)=-2x²+36x， 配方得S=-2(x-9)²+162. 当x=9m时，S最大为162m²,此时平行于墙的边长为18m. 当堂检测 1.用配方法解方程2x²-4x-1=0,配方正确的是（ ） 2(x-1)²=1 2(x-1)²=3 (x-1)²= D. (x-1)²= D 注意一定要把二次项系数化为1. 当堂检测 2.代数式-2x²+8x-3的最大值是_____ 5 -2x²+8x-3 =-2()-3 =-2()-3 =-2[-4]-3 =-2+5 ∵-2≤0 ∴-2+5≤5 ∴原式最大值为5 当堂检测 3.用配方法解方程：3x²-6x+2=0 解:两边除以3,得 x²-2x+=0， 移项,得 x²-2x=-， 配方,得(x-1)²=， 开平方,得x=1±， 即x₁=1+ ，x₂=1- 当堂检测 4.某商店销售一批T恤,每件进价40元.市场调查发现：售价为50元时,每天可售出200件；售价每提高1元,销售量就减少10件. (1)设每件售价提高x元,销售量减少 10x 200-10x 10+x (10+x)(200-10x) (2)此时单件商品的利润是 (4)此时所有商品的总利润是 (3)此时商品的总销售量是 连线左边的问题和右边对应的结果，你能尝试计算出该商店能获得的最大利润吗？ 反思总结 1.用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程时,最容易出错的步骤是什么？如何避免？ 2.配方法的本质是什么？本节课我们经历了哪些"转化"过程？ 3.配方法除了解一元二次方程,还能解决哪些类型的问题？请举例说明. 作业设计 一、基础巩固作业： 课本第38页 第1题 二、素养类作业 拓展阅读：一元二次方程的几何解法,尝试自己举例并用两种方法求解. 作业要求：书写规范、图形标准、按时上交、及时订错. $