29.2 圆的有关性质 同步练习 2026-2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 本同步练习通过基础概念辨析、性质综合应用及跨情境问题解决的三层设计，构建“概念理解—技能巩固—创新应用”的知识巩固路径，培养几何直观与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|圆心角/圆周角概念、垂径定理基础应用|以图形辨析题（如第1题圆心角判断）强化抽象能力，夯实概念认知| |中档|垂径定理与勾股定理综合、圆周角定理应用|结合拱桥钢索（第3题）等生活情境，培养模型意识与运算能力| |提升|圆的性质与轴对称、光的反射等跨学科综合|通过《九章算术》古题（第17题）及光反射路径（第19题），发展推理能力与创新意识|

29.2 圆的有关性质 同步练习2026-2027学年人教版 九年级数学上册 一、单选题 1．下图中的是圆心角的是（   ） A． B． C． D． 2．如图，是的直径，弦，垂足为P，，，则的长为（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 3．如图，拱桥可以近似地看作直径为的圆弧，桥拱和路面之间用数根钢索垂直相连，其正下方的路面长度为，那么这些钢索中最长的一根的长度为（　　） A． B． C． D． 4．如图，点A，B，C在上，C是的中点，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 5．下列各图中，为圆周角的是（　　） A． B． C． D． 6．如图，点，，在上，，的度数是（   ） A． B． C． D． 7．如图，是半圆的直径，，则等于（     ） A． B． C． D． 8．下列说法中正确的是（   ） A．平分弦的直径一定垂直于弦 B．同弦或等弦所对的圆周角相等 C．矩形的对角线相等且互相平分 D．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 9．如图，是的直径，为弦，于点，连接，，则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 10．如图，是的直径，、都是的弦，已知，，则的半径是（   ） A．2 B． C．3 D．4 二、填空题 11．如图，用直角曲尺检查半圆形的工件，第_______个半圆形是合格的，是因为_________． 12．“顶点在圆内的角叫做圆心角”是________的．（选填“正确”或“错误”） 13．⊙的半径为5cm，AB、CD是⊙的两条弦，，，．则和之间的距离为_______． 14．有学者研究表明，我国古代制作铜镜背面花纹时，所采用的四等分圆周的一种方法是：如图所示，先由圆心画出圆的一条直径，再用“矩”（一种直角曲尺，可以画直角）过圆心垂直于第一条直径画出第二条直径，则这两条直径的四个端点将圆周四等分．请用你学过的一个定理解释这种四等分圆周的方法的道理：______________． 15．如图，是的直径，点C、D在圆上，若，则______度． 三、解答题 16．如图，在平面直角坐标系中，，，． (1)在图中画出经过 ，， 三点的圆弧所在圆的圆心； (2)点的坐标为 ． 17．《九章算术》作为古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著，与古希腊的《几何原本》并称现代数学的两大源泉．在《九章算术》中记载有一类似问题“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深两寸，锯道长一尺二，问径几何?”小辉同学根据原文题意，画出圆材截面图如图所示，已知：锯口深为寸，锯道尺（尺寸），求该圆材的直径为多少寸 18．如图，点、、、都在上，，． (1)求的度数； (2)求的度数； 19．综合与实践 实践主题 光的反射在半圆中的路径问题 素材背景 如图1，为平面镜，入射光线经平面镜沿方向反射，过点 作 ，叫做法线，叫做入射角， 叫做反射角． 光的反射定理：反射角等于入射角（即 (1)如图2，反向延长得到，若 ，则的度数为__________ (2)如图3，为半圆O的直径，点C在半圆上，P为直径上的调节点．一束光线从C点射向上的P点，经反射后射出，反射光线经过半圆上的D点 连接，判断与之间的数量关系，并说明理由 20．如图，已知点是的平分线上的一点，以为圆心的圆和角的两边分别交于点、和、．求证： (1)； (2)． 试卷第1页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B A C D C A C B B 1．【答案】B 【知识点】圆心角概念辨析及简单运算 【分析】本题考查了圆心角的概念，解决本题的关键是掌握顶点在圆心的角叫作圆心角. 根据圆心角的概念判断即可. 【详解】解：A、顶点C不在圆心，不符合圆心角的概念，不符合题意； B、顶点C在圆心，符合圆心角的概念，符合题意； C、顶点C在圆内，不符合圆心角的概念，不符合题意； D、顶点C在圆外，不符合圆心角的概念，不符合题意； 故选：B ． 2．【答案】B 【知识点】用勾股定理解三角形、利用垂径定理求值 【分析】本题主要考查垂径定理，勾股定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键．连接，由垂径定理可得，由，，可得，在中，由即可求解． 【详解】解：连接，如图所示：    ∵，， ∴， ， ， 在中，， ∵是的直径，弦， ∴ 故选：B． 3．【答案】A 【知识点】用勾股定理解三角形、垂径定理的实际应用 【分析】设圆弧的圆心为O，过O作于C，交于D，连接，先由垂径定理得，再由勾股定理求出，然后求出的长即可． 【详解】解：设圆弧的圆心为O，过O作于C，交于D，连接， 则，， ∴， ∴， 即这些钢索中最长的一根为， 故选：A． 【点睛】本题考查了垂径定理和勾股定理等知识；熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键． 4．【答案】C 【知识点】等边对等角、利用弧、弦、圆心角的关系求解 【分析】本题考查圆心角与弧的关系，圆心角与圆周角的关系．连接，由点是劣弧的中点得，故，再由得到即可． 【详解】解：如图，连接， 点是劣弧的中点， ， ， ， ， ∵， ∴． 故选：C． 5．【答案】D 【知识点】圆周角的概念辨析及简单运算 【分析】此题考查了圆周角定义．顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角，此题比较简单，解题的关键是理解圆周角的定义． 根据由圆周角的定义逐项判定即可． 【详解】解：A、的边不是与圆相交所得，所以不是圆周角，故此选项不符合题意； B、的边、都不是与圆相交所得，所以不是圆周角，故此选项不符合题意； C、的顶点没在圆上，所以不是圆周角，故此选项不符合题意； D、符合圆周角定义，是圆周角，故此选项符合题意； 故选：D． 6．【答案】C 【知识点】圆周角定理 【分析】利用圆周角定理可知，从而求解． 【详解】解：∵和是弧所对的圆心角和圆周角， ∴， ∴的度数是． 7．【答案】A 【知识点】已知圆内接四边形求角度 【详解】解：四边形是圆的内接四边形， ， ， ． 8．【答案】C 【知识点】判断能否构成平行四边形、矩形的判定定理理解、垂径定理的推论、同弧或等弧所对的圆周角相等 【分析】本题考查了垂径定理、圆周角定理、矩形的性质、平行四边形的判定，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据垂径定理、圆周角定理、矩形的性质、平行四边形的判定，逐项分析判断即可得出答案． 【详解】解：A、当弦为直径时，平分弦的直径不一定垂直于弦，故此选项错误，不符合题意； B、同弦所对的圆周角可能互补，不一定相等，故此选项错误，不符合题意； C、矩形的对角线相等且互相平分，故此选项正确，符合题意； D、一组对边平行且另一组对边相等的四边形可能是等腰梯形，不一定是平行四边形，故此选项错误，不符合题意； 故选：C． 9．【答案】B 【知识点】垂径定理的推论 【分析】本题主要考查了垂径定理，掌握垂径定理是解题的关键． 根据垂径定理可得、 ，，无法得到，，据此即可解答． 【详解】解：如图：连接、， ∵是的直径，为弦，于点， ∴，，， ∴，， ∴B选项结论成立，符合题意；A选项结论不成立，不符合题意； 证明缺少条件，即C选项结论不成立，不符合题意， 无法判断，即D选项结论不成立，不符合题意． 故选：B． 10．【答案】B 【知识点】用勾股定理解三角形、半圆（直径）所对的圆周角是直角 【分析】本题考查了圆周角定理，勾股定理．先证明，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∵，， ∴， ∴的半径是， 故选：B． 11．【答案】 二 圆周角所对的弦是直径 【知识点】90度的圆周角所对的弦是直径 【分析】本题考查了圆周角所对的弦是直径，掌握圆周角所对的弦是直径的知识，数形结合分析是关键．结合图形，根据圆周角所对的弦是直径即可求解． 【详解】解：根据图示，第二个半圆是合格的，是因为圆周角所对的弦是直径， 故答案为：①二；②圆周角所对的弦是直径 ． 12．【答案】错误 【知识点】圆心角概念辨析及简单运算 【分析】顶点在圆心的角是圆心角，根据圆心角的定义即可求解. 【详解】∵顶点在圆心的角是圆心角， ∴顶点在圆内的角叫做圆心角说法错误， 故答案为：错误. 【点睛】本题主要考查圆心角的定义，解决本题的关键是要熟练掌握圆心角的定义. 13．【答案】1cm或7cm． 【知识点】利用垂径定理求平行弦问题 【分析】分两种情况：①弦AB和CD在圆心同侧；②弦AB和CD在圆心异侧；分别作出半径和弦心距，利用勾股定理和垂径定理求解即可． 【详解】解：①当弦AB和CD在圆心同侧时，如图1 ∵AB＝8cm，CD＝6cm， ∴AE＝4cm，CF＝3cm， ∵OA＝OC＝5cm， ∴EO＝3cm，OF＝4cm， ∴EF＝4−3＝1cm； ②当弦AB和CD在圆心异侧时，如图2， ∵AB＝8cm，CD＝6cm， ∴AE＝4cm，CF＝3cm， ∵OA＝OC＝5cm， ∴EO＝3cm，OF＝4cm， ∴EF＝OF＋OE＝7cm． ∴AB与CD之间的距离为1cm或7cm． 故填1cm或7cm． 【点睛】本题考查了勾股定理和垂径定理的应用，正确作出辅助线、灵活运用垂径定理以及分类讨论思想和数形结合思想是解答本题的关键． 14．【答案】在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等 【知识点】利用弧、弦、圆心角的关系求解 【分析】本题考查了圆心角定理，解题的关键是掌握在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等． 【详解】解：采用的四等分圆周的一种方法，可以利用圆心角定理来解释， 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等， 故答案为：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等． 15．【答案】28 【知识点】同弧或等弧所对的圆周角相等 【分析】本题考查了在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等，据此即可求解． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：． 16．【答案】(1) 如图，点M即为所求， (2) 【知识点】垂径定理的推论、写出直角坐标系中点的坐标 【分析】本题考查了确定圆的条件和坐标与图形性质的知识点，解决本题的关键是能够根据垂径定理的推论得到圆心的位置． （1）作弦和的垂直平分线，交点即为圆心； （2）根据点M的位置写出坐标即可． 【详解】（1）略 （2）如图所示，则圆心为， 故答案为：． 17．【答案】该圆材的直径为20寸 【知识点】用勾股定理解三角形、垂径定理的实际应用 【分析】本题考查垂径定理和勾股定理，过点作 于点，交于点，连接，设半径为，则，由勾股定理建立方程即可求得，从而求得圆的直径． 【详解】解：设该圆材的半径为寸． 如图所示，过点作 于点，交于点，连接， 则寸， 设寸，尺寸， 所以 寸． 在中， 即 解得， 则，即该圆材的直径为寸． 18．【答案】(1) (2) 【知识点】同弧或等弧所对的圆周角相等、已知圆内接四边形求角度、利用垂径定理求值 【分析】此题主要考查了圆内接四边形的性质，垂径定理和圆周角定理等知识； （1）根据垂径定理得出，再利用圆周角定理得出的度数: （2）连接，根据圆内接四边形的性质便可求得结果． 【详解】（1）解：∵点、、、都在上，， ∴， ∵， ∴， ∴的度数为 （2）解：连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ 19．【答案】(1) (2)， 理由：如解图，过点P作法线，补全，作点C关于的对称点，连接，， ． ∴是线段的垂直平分线， ． 点在上． 由反射定理，可得 ， ． 由对称，可知， ． ． ，P，D三点共线． 设， ， ． 又， ． 【知识点】轴对称中的光线反射问题、线段垂直平分线的性质、同弧或等弧所对的圆周角相等 【分析】（1）由垂直得到，然后根据反射定律结合对顶角相等即可求解； （2）过点P作法线，补全，作点C关于的对称点，连接，， ，先证明，P，D三点共线．设，则 ，，由圆周角定理可得，即可证明． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵ ∴； （2）略 20．【答案】(1)证明：，理由如下： 过点分别作，，垂足分别为、， ，， 和是直角三角形， ， ， 在和中， ， ， ． (2)证明：， ， ，， ， ． 【知识点】利用垂径定理求解其他问题、全等的性质和HL综合（HL） 【分析】（1）过点分别作，，则可知，且，则可证得，可得出． （2）由，可得，再根据垂径定理即可证明． 【详解】（1）略 （2）略 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $