高中数学单元测试——第二章一元二次函数、方程和不等式（较难版01）

**基本信息** 本单元卷聚焦一元二次函数、方程和不等式，通过分层题型与现实情境题，提升学生数学思维与推理能力，适配单元复习巩固与拔高。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|不等式性质、解集、最值|基础巩固，如比较大小、解含参不等式| |多选题|3/18|方程根分布、基本不等式|能力辨析，如方程正根充要条件判断| |填空题|3/15|浓度问题抽象、最值计算|情境抽象，如盐水变咸提炼不等式| |解答题|5/67|函数不等式、证明、利润模型|综合应用，如公司利润函数建模与最值求解|

高中数学单元测试 —— 第二章 一元二次函数、方程和不等式（较难版01） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）已知，则下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据不等式的性质逐项判断即可. 【详解】对于A，因为，所以，故A错误； 对于B，若，则，故B错误； 对于C，若，则，故C错误； 对于D,因为，所以，故D正确. 故选：D 2．（本题5分）已知，，则与的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用作差法判断即可. 【详解】因为， 所以． 故选：C 3．（本题5分）不等式的解集为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【分析】整理可得，结合一元二次不等式运算求解即可. 【详解】因为，可得，解得， 所以不等式的解集为. 4．（本题5分）不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将所求不等式变形为，结合分式不等式的解法可得原不等式的解集. 【详解】即为，即，解得， 故原不等式的解集为． 5．（本题5分）若，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】由不等式的性质化简，然后由相应二次方程根的大小得出不等式的解． 【详解】因为，， 所以， 又不等式对应方程的根为：，且， 所以不等式的解为或， 故选：C． 6．（本题5分）已知，则的最大值为（   ） A． B．15 C． D．13 【答案】A 【分析】由题意设，从而求出，从而可得 【详解】由题意设， 则，解得， 因为，， 所以，则的最大值为，故A正确． 故选：A． 7．（本题5分）已知，，且，则的最小值是（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】根据已知得，代入目标式并应用基本不等式求最小值即可. 【详解】由，则，，，故， 所以， 当且仅当，此时取等号. 8．（本题5分）若不等式对任意正数恒成立，则实数的最大值为（    ） A． B．1 C．2 D． 【答案】A 【分析】由题意可得，由基本不等式可得的最小值等于，故，从而得到实数的最大值． 【详解】由不等式可得， 故的最小值． 因为，当且仅当时，等号成立， 故的最小值等于， 故，所以，则实数的最大值为. 故选：A． 二、多选题 9．（本题6分）若，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据给定条件，利用不等式的性质逐项分析判断. 【详解】对于A，由，得，A正确； 对于B，由，得，B错误； 对于C，由，得，C正确； 对于D，由，得，则，D错误. 故选：AC 10．（本题6分）已知关于的方程，则下列结论中正确的是（   ） A．方程有一个正根一个负根的充要条件是 B．方程有两个正根的充要条件是 C．方程无实数根的必要条件是 D．当时，方程的两个实数根之和为0 【答案】AB 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系可判断各选项. 【详解】因为，可得或， 所以方程有两个根的充要条件是或， 则方程有一个正根一个负根的充要条件是，故A正确； 方程有两个正根的充要条件是，故B正确； 方程无实根的充要条件是，所以必要条件不可能是，故C错误； 当时，方程无实数根，故D错误； 故选：AB. 11．（本题6分）下列说法正确的是（   ） A．若，则的最小值为4 B．的最小值为6 C．若，，且，则的最小值为 D．若，，且，则的最小值为 【答案】BC 【分析】由配凑法结合基本不等式即可求解判断AB；由进行配凑得到，再结合基本不等式常数“1”的等价代换法即可计算求解判断C；由基本不等式常数“1”的等价代换法即可计算求解判断D. 【详解】若，则， 所以， 当且仅当即时等号成立， 所以的最小值为，故A错误； ， 当且仅当即时等号成立， 所以的最小值为6，故B正确； 若，，且，则， 所以 ， 当且仅当即时等号成立， 所以的最小值为，故C正确； 若，，且，则， 当且仅当即时等号成立， 所以的最小值为.故D错误. 故选：BC 三、填空题 12．（本题5分）b克盐水中，有a克盐，若再添加m克盐则盐水就变咸了（浓度增加了），试根据这一事实提炼一个不等式：_________________. 【答案】 【分析】盐水变咸了，即含盐的浓度增大了即可得出． 【详解】由题意可得 ． 证明：当时， 故答案为：． 13．（本题5分）已知正实数a，b满足，则的最小值为___________. 【答案】21 【分析】根据题意利用乘“1”法结合基本不等式可得，即可得结果. 【详解】因为正实数a，b满足， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 即，可得， 所以的最小值为21. 故答案为：21 14．（本题5分）当时，关于的不等式恒成立，则实数的值为___________. 【答案】或 【分析】当时结合题意可得，再分、、三种情况，结合一元二次不等式求解. 【详解】由题意知，当时，有，即，得， 当时，不等式即， 显然当时，不等式恒成立； 当，时，恒成立， 则不等式可化为即， 欲使恒成立，则，即； 当时，不等式即， 由，得，得或，不符合题意； 综上可得或. 故答案为：或. 四、解答题 15．（本题13分）已知关于x的一元二次不等式的解集为． (1)求m，n的值； (2)当时，求的最小值． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据三个“二次”的关系，得到关于x的方程有两根1和3，由韦达定理即可求得； （2）利用基本不等式易得函数的最小值. 【详解】（1）依题意，关于x的方程的根为1和3， 由韦达定理，，解得； （2）由（1）可得， 因，由基本不等式，，当且仅当时，等号成立， 即当时，的最小值为. 16．（本题15分）选用恰当的证明方法证明下列不等式． (1)已知，求证：； (2)已知，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）由题设，应用基本不等式证明即可； （2）应用作差法比较大小，即可证明. 【详解】（1）由，得， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以； （2） ， 因为，所以，所以， 所以，即. 17．（本题15分）某公司经市场调研发现，若本季度在某材料上多投入x（）万元，则该材料的销售量可增加吨，每吨的销售价格为万元，另外生产p吨该材料还需要投入其他成本万元. (1)求出该公司本季度增加部分的利润y（单位：万元）与x之间的函数关系式； (2)当x为多少时，该公司在本季度增加部分的利润最大?最大为多少万元? 【答案】(1)， (2)当时，该公司在本季度增加的利润最大，最大为7.5万元 【分析】（1）根据题目中的等量关系列出函数关系式； （2）对函数关系式变形，利用基本不等式求解最值. 【详解】（1）由题意，列出函数关系式可得， ， 又因为， 所以； （2）由（1）知. 因为，所以， 所以，当且仅当，即时，等号成立， 所以， 所以当时，该公司在本季度增加的利润最大，最大为7.5万元. 18．（本题17分）已知函数. (1)若关于的不等式的解集为，求的取值范围； (2)记关于的不等式的解集为. （i）若，求的取值范围； （ii）求. 【答案】(1)； (2)（i）或；（ii）分类讨论，答案见解析. 【分析】（1）利用一元二次不等式恒成立列式求出范围. （2）（i）由建立不等式求出范围；（ii）按分类求解含参数的一元二次不等式. 【详解】（1）不等式，依题意，不等式的解集为， 则，解得，所以的取值范围是. （2）（i）不等式， 由，得，即，解得或， 所以的取值范围是或. （ii）由（i）得， 当时，，解得或； 当时，，解得或； 当时，，解得或， 所以当时，；当时，； 当时，. 19．（本题17分）已知二次函数. (1)若关于的不等式的解集为或，求； (2)在（1）的条件下，求不等式的解集； (3)设关于的方程有两实数根，，且满足，求的值. 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）结合题意并利用一元二次方程根与系数的关系求解即可. （2）结合题意将原不等式化为分式不等式，再求解解集即可. （3）对目标式合理变形，再结合韦达定理求解即可. 【详解】（1）因为不等式的解集为或， 所以，且，解得，故. （2）因为， 所以不等式，可化为，即， 而，，可得，解得且， 则不等式的解集为或. （3）由题意得关于的方程有两实数根， 则有两实数根， 所以，易知此式恒成立， 因为，由韦达定理，， 所以， 故. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $ 高中数学单元测试 —— 第二章 一元二次函数、方程和不等式（较难版01） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）已知，则下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 2．（本题5分）已知，，则与的大小关系为（   ） A． B． C． D． 3．（本题5分）不等式的解集为（   ） A． B． C．或 D．或 4．（本题5分）不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 5．（本题5分）若，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C．或 D．或 6．（本题5分）已知，则的最大值为（   ） A． B．15 C． D．13 7．（本题5分）已知，，且，则的最小值是（    ） A．2 B．4 C． D． 8．（本题5分）若不等式对任意正数恒成立，则实数的最大值为（    ） A． B．1 C．2 D． 二、多选题 9．（本题6分）若，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 10．（本题6分）已知关于的方程，则下列结论中正确的是（   ） A．方程有一个正根一个负根的充要条件是 B．方程有两个正根的充要条件是 C．方程无实数根的必要条件是 D．当时，方程的两个实数根之和为0 11．（本题6分）下列说法正确的是（   ） A．若，则的最小值为4 B．的最小值为6 C．若，，且，则的最小值为 D．若，，且，则的最小值为 三、填空题 12．（本题5分）b克盐水中，有a克盐，若再添加m克盐则盐水就变咸了（浓度增加了），试根据这一事实提炼一个不等式：_________________. 13．（本题5分）已知正实数a，b满足，则的最小值为___________. 14．（本题5分）当时，关于的不等式恒成立，则实数的值为___________. 四、解答题 15．（本题13分）已知关于x的一元二次不等式的解集为． (1)求m，n的值； (2)当时，求的最小值． 16．（本题15分）选用恰当的证明方法证明下列不等式． (1)已知，求证：； (2)已知，求证：． 17．（本题15分）某公司经市场调研发现，若本季度在某材料上多投入x（）万元，则该材料的销售量可增加吨，每吨的销售价格为万元，另外生产p吨该材料还需要投入其他成本万元. (1)求出该公司本季度增加部分的利润y（单位：万元）与x之间的函数关系式； (2)当x为多少时，该公司在本季度增加部分的利润最大?最大为多少万元? 18．（本题17分）已知函数. (1)若关于的不等式的解集为，求的取值范围； (2)记关于的不等式的解集为. （i）若，求的取值范围； （ii）求. 19．（本题17分）已知二次函数. (1)若关于的不等式的解集为或，求； (2)在（1）的条件下，求不等式的解集； (3)设关于的方程有两实数根，，且满足，求的值. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $