第二章 一元二次函数 、方程和不等式单元测试卷-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 本单元卷聚焦高中数学“一元二次函数、方程和不等式”单元复习，通过基础巩固、能力提升到创新应用的梯度设计，全面考查核心知识与数学思维，适配单元学情诊断与复习强化。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8题|比较大小、基本不等式求最值、集合与充分条件|基础概念辨析，突出数学抽象能力| |多选题|3题|不等式性质、充分必要条件判断|选项分层设计，考查逻辑推理严谨性| |填空题|3题|条件最值、二次函数解析式求法|强调数学符号表达，训练模型意识| |解答题|5题|函数图象与性质、实际应用题（绿地人行道面积）、不等式解集讨论|综合应用数学思维，如17题结合生活情境考查优化问题，体现应用意识与数学建模能力|

第二章 一元二次函数 方程和不等式单元测试卷 一、选择题：本大题共8小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．设，，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．与有关 【答案】A 【分析】利用作差法比较大小. 【详解】因为，， 所以，所以. 故选：A 2．已知，则的最小值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】令，化简得到，结合基本不等式，即可求解. 【详解】因为，令，则， 可得， 当且仅当时，即时，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：C. 3．已知集合，，若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用充分不必要条件的定义转化为集合间的基本关系，结合一元二次不等式的解法计算即可. 【详解】由“”是“”的充分不必要条件，得A是B的真子集. 又，则必有，即，所以. 故选:D. 4．若，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】对于变形后，结合已知可得和是方程的两个根，再利用根与系数的关系可得答案 【详解】由，得，则， 所以，即， 因为，， 所以和是方程的两个根， 所以，即， 故选：B 5．若命题“，”是真命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】二次不等式在上恒成立问题，利用判别式的符号列不等式求参数范围. 【详解】由命题“，”是真命题，则满足，解得． 故选：B 6．下列结论表述正确的是（    ） A．若，则恒成立 B．若，则恒成立 C．若，，则成立 D．若，则 【答案】C 【分析】运用基本不等式可判断A，运用特殊值法可判断B、D，运用作差法可判断C. 【详解】对于A：若，则恒成立，当且仅当时等号成立，故A错误； 对于B：若，则，则，故B错误； 对于C：因为， 又因为，故成立，故C正确； 对于D：若，则，此时，故D错误. 故选：C． 7．已知，则下列结论不正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】根据不等式的性质对选项一一判断即可得出答案. 【详解】对于A，若，则，则，故A正确； 对于B，若，不等式两边同时乘以，则，故B正确； 对于C，， 因为，所以， 所以，即，故C错误； 对于D，因为， 因为，所以，，，故D正确. 故选：C. 8．设，，，则（    ） A．有最大值8 B．有最小值6 C．ab有最大值16 D．ab有最小值12 【答案】C 【分析】根据等式，用表示可得，分别计算、，并由基本不等式确定最小值或最大值即可. 【详解】，，， 所以, 则 ，当且仅当，即时取等号， 所以有最小值8，排除A、B选项； ，当且仅当时取等号， 所以的最大值为， 故选：C. 【点睛】本题考查了根据等式条件，结合基本不等式求最值的简单应用，属于基础题. 二、多选题：本大题共3小题，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．，，，，则下列不等式不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】，，，，由，可判断，；运用不等式的性质可判断；由可判断． 【详解】解：，，，， 不成立，比如，； 不成立，比如，； 由，可得成立； 不成立，比如． 故选：ABD． 10．已知：，恒成立；：，恒成立，则（    ） A．“”是成立的充分不必要条件 B．“”是成立的必要不充分条件 C．“”是成立的充分不必要条件 D．“”是成立的必要不充分条件 【答案】BC 【分析】解，即可得出为真时，的范围，判断A、B项；根据基本不等式，得出为真时，的范围，判断C、D项. 【详解】对于A、B项，若为真，则，解得. 显然，所表示的范围小于所表示的范围， 所以，“”是成立的必要不充分条件，故A项错误，B项正确； 对于C、D项，若为真，显然， 则，当且仅当，即时等号成立. 又，恒成立，所以，解得. 显然，所表示的范围大于所表示的范围， 所以，“”是成立的充分不必要条件.故C项正确，D项错误. 故选：BC. 11．已知，下列结论正确的是（    ） A．对任意实数 B．若，则 C．若，则的最小值是 D．若，则 【答案】BC 【分析】举出反例即可判断AD；作差即可判断B；根据结合基本不等式即可判断C. 【详解】对于A，当时，，故A错误； 对于B，因为，， 所以，所以，故B正确； 对于C，因为，所以， 则， 当且仅当且，即时取等号， 所以的最小值是，故C正确； 对于D，当时，，，，故D错误. 故选：BC. 三、填空题：本大题共3小题。 12．已知，，且，则的最小值为_______． 【答案】4 【分析】利用基本不等式“1”的妙用即可求解． 【详解】因为，所以， 所以， 当且仅当，即，时，等号成立， 故的最小值为4． 故答案为：4． 13．已知二次函数的图象过点，图象向左平移个单位后的对称轴是轴，向下平移个单位后与轴只有一个交点，则此二次函数的解析式为__________． 【答案】 【分析】根据题意，结合二次函数的图象与性质，设，由二次函数的图象过点，代入求得的值，即可求解 【详解】因为二次函数图象向左平移个单位后的对称轴是轴， 再向下平移个单位后与轴只有一个交点， 所以二次函数的图象的顶点坐标为， 设二次函数的解析式为， 又因为二次函数的图象过点，代入可得， 所以二次函数的解析式为. 故答案为：. 14．已知，则的最小值为_______． 【答案】 【分析】“”的妙用，利用，再结合基本不等式即可求解. 【详解】． 当且仅当，即时取等号， 的最小值为， 故答案为：. 四、解答题：（本大题共5小题.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15．已知实数满足． (1)求的最大值； (2)求的最大值及最小值． 【答案】(1)最大值为6． (2)的最大值为，最小值为． 【分析】（1）由已知条件及基本不等式可求得的取值范围，进而得到其最大值. （2）将已知等式变形为，再结合基本不等式建立关于的不等式求解. 【详解】（1）因为，所以， 当且仅当时，等号成立． 故的最大值为6． （2）因为，所以， 解得，则， 当且仅当时，取得最大值，当且仅当时，取得最小值． 故的最大值为，最小值为． 16．画出函数f(x)＝－x2＋2x＋3的图象，并根据图象回答下列问题. （1）比较f(0)，f（1），f（3）的大小； （2）若x1<x2<1，比较f(x1)与f(x2)的大小； （3）求函数f(x)的值域； （4）若关于x的方程f(x)＝k在[－1，2]内仅有一个实根，求k的取值范围. 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）或. 【分析】（1）由题意结合二次函数的图象与性质画出函数图象，数形结合即可得解； （2）由函数图象可得函数在时的单调性，即可得解； （3）由函数图象数形结合即可得解； （4）转化条件为直线与函数在上的图象仅有一个交点，数形结合即可得解. 【详解】由题意， 可画出函数的图象如图： （1）由图象可知，，，， 所以； （2）根据图象可知，当时，函数单调递增， 因为，所以； （3）由图象可知，函数的最大值为， 所以函数的值域为； （4）若关于x的方程f(x)＝k在[－1，2]内仅有一个实根， 则直线与函数在上的图象仅有一个交点，且， 数形结合可知或. 【点睛】本题考查了二次函数图象的绘制及应用，考查了函数与方程的关系及数形结合思想、转化化归思想，属于基础题. 17．某新建居民小区欲建一面积为的矩形绿地，并在绿地四周铺设人行道，设计要求绿地外南北两侧人行道宽3m，东西两侧人行道宽4m，如图所示（图中单位：m）.设矩形绿地的南北侧边长为x米. (1)当人行道的占地面积不大于时，求x的取值范围； (2)问x取多少时，才能使人行道的占地面积最小. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）表达出人行道占地面积，得到不等式，求出； （2）在（1）的基础上，利用基本不等式求出面积最小值. 【详解】（1）矩形绿地东西侧边长为m， 则人行道占地面积为， 故，解得， 故x的取值范围为； （2） ， 当且仅当，即m时，等号成立， 故x为m时，才能使人行道的占地面积最小. 18．讨论关于的不等式的解集 【答案】1.当时，不等式化为. （1）当时，不等式解集为：； （2）当时，不等式解集为：； 2.当时，不等式化为：. （1）当时，不等式解集为; （2）当时，不等式解集为; 3.当时，设不等式对应方程两根. （1）当时，，不等式解集为：或； （2）当时，，不等式解集为：； 4.当时，不等式对应方程的根为. （1）当时，不等式解集为：或； （2）当时，不等式解集为：； 5.当时，不等式对应方程无解. （1）当时，不等式解集为：R； （2）当时，不等式解集为：. 【解析】略 19．（1）求函数的最小值. （2）已知，，且，求的最小值. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）利用配凑法再分离常数得到，利用基本不等式即可； （2）对条件变形得到，利用基本不等式“1”的妙用求最值. 【详解】（1）解： ， ， ， 当且仅当时，即时，函数有最小值； （2）由题意， ，又，， ， 当且仅当，即是等号成立， 结合，知时，有最小值为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 一元二次函数 方程和不等式单元测试卷 一、选择题：本大题共8小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．设，，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．与有关 2．已知，则的最小值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 3．已知集合，，若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．若，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 5．若命题“，”是真命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．下列结论表述正确的是（    ） A．若，则恒成立 B．若，则恒成立 C．若，，则成立 D．若，则 7．已知，则下列结论不正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 8．设，，，则（    ） A．有最大值8 B．有最小值6 C．ab有最大值16 D．ab有最小值12 二、多选题：本大题共3小题，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．，，，，则下列不等式不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 10．已知：，恒成立；：，恒成立，则（    ） A．“”是成立的充分不必要条件 B．“”是成立的必要不充分条件 C．“”是成立的充分不必要条件 D．“”是成立的必要不充分条件 11．已知，下列结论正确的是（    ） A．对任意实数 B．若，则 C．若，则的最小值是 D．若，则 三、填空题：本大题共3小题。 12．已知，，且，则的最小值为_______． 13．已知二次函数的图象过点，图象向左平移个单位后的对称轴是轴，向下平移个单位后与轴只有一个交点，则此二次函数的解析式为__________． 14．已知，则的最小值为_______． 四、解答题：（本大题共5小题.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15．已知实数满足． (1)求的最大值； (2)求的最大值及最小值． 16．画出函数f(x)＝－x2＋2x＋3的图象，并根据图象回答下列问题. （1）比较f(0)，f（1），f（3）的大小； （2）若x1<x2<1，比较f(x1)与f(x2)的大小； （3）求函数f(x)的值域； （4）若关于x的方程f(x)＝k在[－1，2]内仅有一个实根，求k的取值范围. 17．某新建居民小区欲建一面积为的矩形绿地，并在绿地四周铺设人行道，设计要求绿地外南北两侧人行道宽3m，东西两侧人行道宽4m，如图所示（图中单位：m）.设矩形绿地的南北侧边长为x米. (1)当人行道的占地面积不大于时，求x的取值范围； (2)问x取多少时，才能使人行道的占地面积最小. 18．讨论关于的不等式的解集 19．（1）求函数的最小值. （2）已知，，且，求的最小值. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $