30.3 正多边形与圆 同步练习 2026-2027学年人教版数学九年级上册

**基本信息** 本同步练习分层清晰，从正多边形与圆的基础概念辨析到综合几何应用，梯度进阶，培养几何直观与推理能力，适配新授课知识巩固需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|正多边形概念、中心角计算、面积公式|单选2辨析正多边形定义，填空9直接应用正六边形面积公式，夯实基础| |中档|内接正多边形性质、圆周角定理|单选5结合圆心角求边数，解答16推理动态点角度，深化知识关联| |提高|图形变换与综合应用|填空12正方形滚动轨迹，填空13翻折与圆综合，发展空间观念与创新意识|

30.3正多边形与圆同步练习 一、单选题 1.若一个正六边形的外接圆半径为2，则该正六边形的周长为() A.2 B.6 C.63 D.12 2.下列说法不正确的是() 360° A.正n边形的中心角为n B.各边相等、各角相等的多边形是正多边形 C.正多边形的外角和为360° D.各角相等的多边形是正多边形 3.如图，在一个边长为m的正六边形纸板中截去一个边长为m的等边三角形后，余下部 分的面积与所截去的等边三角形的面积之比为() A.3:1 B.4:1 C.5:1 D.6:1 4.如图，正六边形与正方形的中心都是点O,且顶点A,B重合，则∠CAD的度数为 () B A.10° B.15o C.20° D.25° 5.如图，在o0中，点C为B上的点，C=2C.若4CB=120°，且4C是o0的内 接正n边形的一边，则n的值为() 试卷第1页，共3页 B A.8 B.9 C.10 D.12 6.如图，O0与正六边形O1BCDE的边OA0E分别交于点RG,则FG 对的圆周角 ∠FPG的大小为() B D O A.30° B.45° C.60° D.75 7.如图，⊙O是正五边形ABCDE的内切圆，点M,N,F分别是边AE,AB,CD与 ⊙0 ∠MFN 的切点，则 的度数为() N E O A.36 B.35° C.34° D.33° 二、填空题 8.如图，点O为正八边形ABCDEFGH的中心，连接OD、OF,则∠DOF的度数为 试卷第2页，共3页 9.如图，正六边形ABCDEF内接于O0,若正六边形的半径为6，则正六边形ABCDEF 的面积为 10.如图，正五边形ABCDE内接于⊙O中，P是劣弧BE上一点，则∠DPC的度数为 P B 0 I1.如图，正六边形ABCDEF内接于O0,对角线AE、BF交于点G,已知O0的半径为 3 FG 则0的长为 12.如图，正方形ABCD与正六边形的边长相等，先将正方形ABCD与正六边形的某条边 重合，再将该正方形绕正六边形按顺时针方向滚动一周.若正方形ABCD的边长为2，则 试卷第3页，共3页 在滚动过程中点A距出发点的最大距离为 B 13.如图，正方形ABCD的边长为2，以AB边上的动点O为圆心，OB为半径作圆，将 △AOD沿OD翻折至△A'OD,若⊙O过△A'OD一边上的中点，则O0的半径为 B 三、解答题 ABCDEFGH 42,.⊙0 14.如图，已知正八边形 是半径为 的内接八边形，求阴影部分图形 的面积. 15.如图，点A是⊙0上一点.请利用直尺和圆规完成下列作图.（不写作法，保留作图 痕迹) 试卷第4页，共3页 A 0 0 备用图 (1)画出⊙O的内接正△ABC. (2)在⊙0上画出M、N两点，使得∠MAW=30°.（画一种即可） 16.如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O, A D 若P是CD上的动点，连接BP,FP,求∠BPF 度数； ②已知△1DF的面积为2V5,求 的面积. 试卷第5页，共3页 17.如图，正方形ABCD内接于⊙O,M为AD上的一点，连接BM,CM. A D B C (I)若BM=CM,求证：M为AD的中点. (2)若正方形的面积为4，请直接写出⊙0的半径 试卷第6页，共3页 参考答案 1.D 2.D 3.C 4.B 5.B 6.C 7.A 8.90 54V5 9. 10.36° 11.1 【分析】先由圆与内接正六边形性质得到△AOF是等边三角形，OG是线段AF的垂直平 分线，从而确定 HA=HF= 2,在Rt△FGH中，由含30°的直角三角形性质、勾股定理即 可得到答案。 【详解】解：连接OA、OF,连接OG并延长，交AF于H,如图所示： 0 B 在正六边形ABCDEF中，对角线AE=BF,且每一个内角均为120°， .·AB=AF,FA=FE ∠ABF=∠AFB=30°，∠AEF=∠AFE=30°， 答案第1页，共2页 .∠FAG=∠FGA,则GA=GF, :正六边形ABCDEF内接于OO, 0A=0F,且∠A0F=360° 6=60°，则△40F是等边三角形， .AF=OF=3 .OA=OF,GA=GF OG是线段4F的垂直平分线，则HM=HE,即A=你s③ 2, 在Rt FGH中，∠GHF=90°，∠GFH=30°，设GH=x,则GF=2x,由勾股定理可得 wy 1 ∴.FG=2x=1, 故答案为：1. 12.25+2222+25 【分析】本题考查旋转变换，正多边形与圆，正方形的性质，正六边形的性质，解直角三 角形等知识，作出点A的运动轨迹是图中红线，延长AE交弧线于H,线段AH的长，即为 点A在滚动过程中到出发点的最大距离，解题的关键是理解题意，学会正确寻找点A的运 动轨迹，属于中考填空题中的压轴题. 【详解】解：如图， A(h 答案第2页，共2页 根据正六边形，可得乙AEr=∠EAF=∠NME=360°÷2=30，∠NEr=1S0-36=120, 6 6 ∴∠AFE=120°，∠AEN=90°， :正方形ABCD的边长为2， .AN =2NE =6,AE=3NE=23 .AM=AN+MN=8. EA=VEF2+EA2=22 ∴.EH=EA,=22 .AH=2V3+22>AM ·在滚动过程中点A距出发点的最大距离为 5+2W2 2W3+22 故答案为： 252V7-2 13.3或4或3 【分析】分三种情况讨论，设⊙0的半径为r,分别根据勾股定理，即可求解. 【详解】设⊙0的半径为r,当⊙0经过A0的中点，即经过A0的中点， r=4B=2 1 3 3 当o0经过OD的中点，则r=OB=)0D, .OD=2r,AO=AB-OB=2-r, 在Rt△AOD中，AD2+AO2=OD2 :2+(2-r=(2r} r=2w-2 解得： 3(负值舍去) 当OO经过AD的中点，即经过AD的中点，设AD的中点为M, 答案第3页，共2页 M D C A0=2-r,AM=1,OM=r :(2-r}+12=2 解得：7月 252W7-2 综上所述，半径为3、4、3 252W7-2 故答案为：3或4或3. 14.例=32π-64V2 【分析】本题考查了正多边形和圆，扇形的面积.作AP⊥OB,求得∠AOB=∠OAP=45°， 利用扇形的面积公式以及三角形的面积公式即可求解， 【详解】解：如图，连接OA、OB,作AP⊥OB,垂足为P, A D 由题意得∠A0B=360°÷8=45°，则∠0AP=45°， 0A=0B=4V2 .AP=OP=4. 45π-(42 ∴.S扇形01B 360 2=4n,Saon=0B×AP=82, :S刚影=8(4r-8V2)=32π-64V2 答案第4页，共2页 15. 【详解】(1)解：如图，△ABC为所作； A 0 B (2)解：如图，作直径AM,再以M点圆心，OM为半径画弧交⊙O于N,则 ∠MAN=30° 16.(1)60 (2)4π 【分析】此题考查了圆内解正六边形问题，解题的关键是掌握圆内解正六边形的性质及弦 和圆周角之间的关系。 (凸在CD取一点P,述接R、AP.FP.PO,利用弦和圆周角的关系即可求出∠BP 的 值； (2)证明△10F 是等边三角形，利用三角函数求 DF=5AF,AD=2AF,再根据 △ADF 的面积为 v3 求出圆的半径，即可求出面积. 【详解】(1)如图所示，在CD取一点P,连接BP.AP.FP.F0 答案第5页，共2页 A D ,六边形ABCDEF是正六边形， 六AF=AB,∠40F=36 -=60° 6 aMr40r=30, AF AB, .∠APB=∠APF=30° .∠BPF=∠APB+∠APF=60°： (2).∠A0F=60°，A0=F0, ∴△AOF是等边三角形， .∠DAF=60°： DF-AF AD=24F :S5=4F×DF=4F=2 .AF=2, 即⊙0的半径为2. 面积为：π×2=4z 17.(1)见解析 g岭 【分析】本题考查正方形的性质、正多边形与圆等知识，推导出B=D 是解题的关键。 )由正方形MBCD得4B=CD,可得AB=DC,由BM=CM得BM=CM,由 答案第6页，共2页 BM-B=CM-CD得M=DM,从而可得结论； (2)由正方形的面积为4得正方形的边长为2，连接OCOD得△OCD是等腰直角三角形， 可求出. 【详解】(1)证明：，四边形ABCD是正方形， .AB=CD. AB=DC .BM=CM, .BM=CM BM-AB=CM-CD :AM-DM ∴.M为AD的中点 (2)解：正方形的面积为4， .正方形的边长为2， 连接OC、OD, M D o B :.△OCD是等腰直角三角形， ·OG=N2CD-v6 2 ,即圆的半径为√2. 答案第7页，共2页