第07讲 代数式 期考讲义 2026-2027学年七年级数学上册期末复习

第07讲 代数式 （核心知识+2易错辨析+12典例精讲+课后作业） 【知识点01】代数式的定义 用运算符号（加、减、乘、除、乘方）把数和表示数的字母连接而成的式子叫做代数式。单独一个数或者单独一个字母，也是代数式。 关键判定：代数式中不含等号、不等号；含有=、>、<、≥、≤的式子不是代数式（等式、不等式不属于代数式）。 【知识点02】代数式标准书写规范（必考） 数字与字母相乘：数字在前，省略乘号，如a×3规范写作3a，禁止写a3； 字母与字母相乘：直接省略乘号，如a×b规范写作ab； 带分数与字母相乘：必须将带分数化为假分数，如1a规范写作a，代数式中禁止使用带分数，避免计算错误； 除法运算：统一写成分数形式，如a÷2规范写作，禁止保留除号； 带单位的代数式：若式子为加减运算，整体必须加括号，如(x+2)米，不能写x+2米。 【知识点03】列代数式核心方法 本质是将文字语言转化为代数语言，抓取关键词，确定运算顺序： 基础运算：和（+）、差（-）、积（×）、商（÷）； 数量描述：比…大/多（加）、比…小/少（减）、几倍（乘）、几分之几（对应分数乘法）； 语序优先级：严格遵循文字顺序，A与B的差为A-B，B与A的差为B-A，语序不同，式子不同。 【知识点04】常用基础数量关系模型 行程问题：路程=速度×时间； 价格问题：总价=单价×数量； 增减变化：原量为a，增长率为x，现量为a(1+x)；下降率为x，现量为a(1-x)； 整数表示：偶数2n、奇数2n+1（n为整数）。 【知识点05】代数式的值定义 用指定数值代替代数式中的字母，按照代数式的运算规则计算出的结果，叫做代数式的值。 【知识点06】求代数式的值标准步骤 第一步：代入：将字母替换为对应数值，负数、分数代入乘方运算时，必须添加括号； 第二步：计算：遵循有理数运算顺序，先乘方、再乘除、最后加减，有括号先算括号内。 标准答题格式示范：当x=2时，求2x-1的值 解：当x=2时 原式=2×2-1=4-1=3 【知识点07】字母取值的实际意义 在实际问题中，字母取值必须符合现实逻辑，如人数、物品数量只能为正整数，不能为负数、小数。 3.1 列代数式表示数量关系 书写顺序错误：易错将a的3倍写成a3，正确写法为3a； 带分数不化简：易错写2x，代数式中严禁带分数，必须化为假分数x； 运算顺序混淆：混淆“差的平方”和“平方的差” ✅ a与b差的平方：(a-b)²（先求差，再平方） ✅ a与b平方的差：a²-b²（先平方，再求差） 除与除以混淆（分式高频易错）： a除b 列式为： a除以b 列式为： 口诀：除字倒写，除以顺写 单位书写不规范：加减代数式带单位未加括号，易错写x+5元，正确为(x+5)元； 概念判定错误：误将等式、方程当作代数式，如2x+1=5是方程，不是代数式。 3.2 代数式的值 负数乘方括号易错：当x=-2时，易错算x²=-2²=-4（先算2²再添负号，实为负的2的平方）；正确算法：x²=(-2)²=4（负2整体的平方）。 分数乘方分式易错（核心错题）：当x=时，典型错误：x²=（仅对分母平方，原式等价于，书写逻辑错误）；正确运算：()²=（分子分母整体同时平方）。结论：分数参与乘方，必须给整体加括号。 答题格式不规范：省略“当……时”条件，直接计算数值，考试会扣分； 整体代入出错：已知a-b=2，求3a-3b时，易错算3+2，正确：3(a-b)=3×2=6； 忽略取值限制：实际问题中随意取值，违背生活常识（如人数取小数、负数）。 【题型一】用字母表示数 【例1】．（25-26七年级上·河北石家庄·期中）一个两位数，十位数字是b，个位数字是a，这个两位数可表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】用字母表示数 【分析】本题考查用字母表示两位数，关键是掌握十进制中十位和个位的位值原理． 根据两位数的表示方法，十位数字乘以10加上个位数字即可得到该数． 【详解】解：∵十位数字是， ∴表示； ∵个位数字是， ∴表示； ∴这个两位数为． 故选：D． 【变式1】．（24-25七年级上·四川泸州·期末）北京是全球首个既举办过夏季奥运会又举办过冬季奥运会的城市．在冬季奥运会前，某赛场计划造雪，每天造雪量与造雪天数成反比例关系．具体如下表，则表中的值是（    ）． 每天造雪量 5000 5200 6500 造雪天数 50 40 A．50 B．52 C．60 D．65 【答案】B 【知识点】用字母表示数 【分析】本题考查了用字母表示数，根据每天造雪量与造雪天数成反比例关系，得出,即可求解． 【详解】解：依题意，, 解得：， 故选：B． 【变式2】．（25-26七年级上·云南昭通·期中）一盒糖有颗，盒糖共有_____颗． 【答案】 【知识点】用字母表示数 【分析】本题考查的是用字母表示数，理解“数量关系”是解题的关键．根据“总数每盒数量盒数”的基本关系，结合已知的每盒颗糖，进而得出盒糖的总数表达式． 【详解】解：每盒糖有颗，盒糖共有颗． 故答案为：． 【变式3】．（25-26七年级上·全国·课后作业）仓库里存有货物180吨，运走了12车，每车x吨．表示_________________ ，表示___________ ，这里x的最大值是_________ ． 【答案】 12车运走货物的吨数 运走12车后仓库剩余货物的吨数 15 【知识点】用字母表示数 【分析】本题考查用字母表示数的应用，掌握知识点是解题的关键． 表示运走的总吨数，表示剩余吨数，x的最大值由运走总吨数不超过原有货物量决定． 【详解】解：运走了12车，每车x吨，因此表示运走的货物总吨数． 仓库原有货物180吨，运走12x吨后，剩余货物为吨． 由于运走的货物总吨数不能超过原有货物量，则运走的货物总吨数最大为吨， 此时（吨）， ∴x的最大值为15． 故答案为：12车运走货物的吨数；运走12车后仓库剩余货物的吨数；15． 【题型二】列代数式 【例2】．（24-25七年级上·宁夏银川·期中）某班有女生x人，其中男生人数占全班人数的，那么全班总人数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】列代数式 【分析】先根据男生占全班的比例求出女生占全班总人数的比例，再根据女生人数计算全班总人数即可. 【详解】解：∵男生人数占全班人数的， ∴女生人数占全班总人数的比例为 ， ∵女生人数为x人，且全班总人数女生占比女生人数， ∴全班总人数为. 【变式1】．（25-26七年级上·湖北荆州·期末）智慧农业大棚采用自动温控系统．某日棚内温度变化规律为：每小时上升或下降．若初始温度为，经过小时后的温度可能表示为（     ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【知识点】列代数式 【分析】分两种情况：①若某日棚内温度变化规律为：每小时上升，②若某日棚内温度变化规律为：每小时下降，分别列出代数式即可得． 【详解】解：①若某日棚内温度变化规律为：每小时上升， 则经过小时后的温度可能表示为； ②若某日棚内温度变化规律为：每小时下降， 则经过小时后的温度可能表示为； 综上，经过小时后的温度可能表示为或． 【变式2】．（24-25七年级上·广东茂名·期末）某校现需购买甲、乙两种读本共80本供学生阅读，其中甲种读本的价格为10元/本，乙种读本的价格为8元/本，若购买甲种读本本，则购买乙种读本的费用为________元． 【答案】 【知识点】列代数式 【分析】先根据总本数求出乙种读本的数量，再乘以乙的单价得到总费用． 【详解】解：购买乙种读本的费用为元． 【变式3】．（25-26七年级上·福建漳州·期末）为鼓励人们节约用水，某地实行阶梯式计量水价（如表所示）． 级别 月用水量 水价 第1级 20吨以下（含20吨） 2元/吨 第2级 20吨至30吨（含30吨） 超过20吨部分按2.4元/吨 第3级 30吨以上 超过30吨部分按4.8元/吨 (1)若小明家4月份用水量为16吨，则该月需缴纳水费多少元； (2)若小红家5月份用水量为a吨，请计算该月需缴纳水费多少元？（用含a的代数式表示） 【答案】(1)32元 (2)当时，水费为2a元；当时，水费为元；当时，水费为元 【知识点】列代数式 【分析】本题主要考查了用代数式表示， 对于（1），根据可知水价每吨2元，即可得出答案； 对于（2），分三种情况分别得出代数式即可． 【详解】（1）解：∵， ∴（元）． 答：该月需缴水费为32元； （2）解：当时，水费为元， 当时，水费为元， 当时，水费为元． 【题型三】正（反）比例关系 【例3】．（25-26七年级上·河南商丘·期末）已知压力F、受力面积S、压强P之间的关系是．则当压强一定时，与的关系和当压力一定时，与的关系分别是（   ） A．正比例关系，正比例关系 B．正比例关系，反比例关系 C．反比例关系，正比例关系 D．反比例关系，反比例关系 【答案】B 【知识点】正（反）比例关系 【分析】本题考查了正比例和反比例，根据正比例关系与反比例关系的定义，对压强公式变形后判断变量间的关系即可． 【详解】解：∵ ∴当压强一定时，与的比值为定值，根据正比例关系的定义，两个相关联的量比值一定则成正比例关系， ∴与成正比例关系． 又∵， ∴当压力一定时， ∴当压力一定时，与的乘积为定值，根据反比例关系的定义，两个相关联的量乘积一定则成反比例关系， ∴与成反比例关系． 故选B． 【变式1】．（25-26七年级上·山东德州·期末）已知如表所示的和两个量成反比例关系，则“”处应填（    ） 6 5 A． B．3 C． D．5 【答案】A 【知识点】正（反）比例关系 【分析】本题考查了反比例关系的定义与应用，解题的关键是利用反比例关系中两个量的乘积为定值这一核心性质，建立方程求解未知量． 【详解】解：∵ 和 成反比例关系， ∴ ． 设“”处的值为 ，则有：，，． 此选项符合题意． 故选：A． 【变式2】．（25-26七年级上·江西赣州·期末）若下表中的和两个量成反比例关系，则的值为___________． 6 【答案】2 【知识点】正（反）比例关系 【分析】本题考查了反比例关系．根据反比例关系的定义，x与y的乘积为常数，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵x和y两个量成反比例关系 ∴根据反比例关系的定义，可得为定值 即， 解得． 故答案为：2 【变式3】．（25-26七年级上·河北唐山·期末）某机床要加工一批零件，每小时加工的件数与加工的时间如下表： 每小时加工的件数 63 42 35 30 … 加工时间（） 10 15 21 … (1)这批零件共________件； (2)表中________； (3)用表示每小时加工零件的件数，用表示加工时间，用式子表示与之间的关系．与成什么比例关系？ 【答案】(1) (2) (3)；与成反比例关系． 【知识点】正（反）比例关系 【分析】本题考查了反比例函数的实际应用，合理从表格中获取相关信息是解题的关键． （1）根据工作时间工作效率总数解答即可； （2）根据工作时间工作效率总数解答即可； （3）列出函数式子判断即可． 【详解】（1）解：（件）， 故答案为：件； （2）解：由题意可得：， 解得：， 故答案为：； （3）解：由题意可得：， ∴， ∴与成反比例关系． 【题型四】用代数式表示数、图形的规律 【例4】．（25-26七年级上·广西崇左·期末）按一定规律排列的多项式：，，，，，…，第个多项式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】用代数式表示数、图形的规律 【详解】解：观察所给多项式，的指数依次为1，3，5，7，9，…，是从1开始的连续奇数，可表示为； 的指数依次为1，2，3，4，5，…，是从1开始的连续正整数，可表示为； 因此第个多项式为，对应选项A． 【变式1】．（25-26七年级上·甘肃甘南·期末）现用围棋中的黑子摆出如图所示的图案，则第个图案中黑子的个数为（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【知识点】用代数式表示数、图形的规律 【分析】观察示例图形，探索规律是解题的关键．由所给图形，可推出第n个图形黑子的个数即可． 【详解】解：依题意，观察图形，得第1个图案，黑子有个； 第2个图案，黑子有个； 第3个图案，黑子有个； …… 第n个图案，黑子个， 【变式2】．（25-26七年级上·新疆乌鲁木齐·期末）如图，小王沿虚线对正方形进行裁剪，第一次裁剪后手里有4张纸片，依图继续裁剪，当裁剪到第n次时，手里共有______个纸片．（用含n的代数式表示） 【答案】 【知识点】用代数式表示数、图形的规律 【分析】本题考查了正方形中的数字规律，熟练掌握规律的探索是解题的关键．第一次有个纸片，第二次有个纸片，第三次有个纸片，第n次有个纸片，解答即可． 【详解】解：第一次有个纸片，第二次有个纸片，第三次有个纸片，第n次有个纸片， 故答案为：． 【变式3】．（25-26七年级上·内蒙古赤峰·期末）探索规律，观察如图，回答问题： (1)第五个图形有_____个点 (2)第个图形，有_____个点； (3)当点数为210时，为多少？ 【答案】(1)15 (2) (3) 【知识点】列代数式、用代数式表示数、图形的规律 【分析】本题主要考查了用代数式表示，图形类变化规律问题， （1）直接数出点数即可； （2）根据前五个图形数字变化特点得出规律解答即可； （3）根据两个连续正整数相乘结果等于420 解答可得答案． 【详解】（1）解：第一个图形有1个点； 第二个图形有个点； 第三个图形有个点； 第四个图形有个点； 所以第五个图形有个点； 故答案为：15； （2）解：第一个图形有1个点； 第二个图形有个点； 第三个图形有个点； 第四个图形有个点； 第五个图形有个点； 所以第n个图形有个点； 故答案为：； （3）解：根据题意，得， 即， 解得， 所以． 【题型五】代数式的概念 【例5】．（25-26七年级上·河南周口·期末）下列选项中，不是代数式的是（   ） A． B．5 C． D． 【答案】A 【知识点】代数式的概念 【分析】本题考查代数式的定义，需依据代数式的概念判断各选项，代数式是不含等号、不等号等关系符号的式子． 【详解】解：∵代数式是由数、字母和运算符号组成的式子，且不包含等号、不等号等关系符号， ∴选项A是等式，含有等号，不属于代数式， 选项B是单独的数，属于代数式， 选项C、D是由数、字母和运算符号组成的式子，属于代数式， ∴不是代数式的是A选项， 故选：A． 【变式1】．（25-26七年级上·湖北省直辖县级单位·期末）有下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦，其中代数式有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【知识点】代数式的概念 【分析】本题考查代数式的判断，掌握用运算符号连接数或字母的式子叫代数式，单独的数或字母也是代数式．依据代数式的定义：由运算符号连接数或字母的式子，或单独的数、字母，含有等号、不等号的式子不是代数式，据此判断即可． 【详解】解：∵代数式是指用运算符号连接数或字母的式子，或单独的数、字母，含有等号、不等号的式子不是代数式 ∴①（单独的数）是代数式， ②（数与字母的乘积）是代数式， ④（数与字母的除法）是代数式， ⑦（字母的乘方）是代数式， ③（含等号，是方程）不是代数式， ⑤（含等号，是公式）不是代数式， ⑥（含不等号，是不等式）不是代数式， 综上，代数式有①②④⑦，共个． 故选：C． 【变式2】．（25-26七年级上·河南周口·阶段检测）下列各式：，其中是代数式的有____________个． 【答案】6/六 【知识点】代数式的概念 【分析】本题主要考查了代数式的识别，掌握代数式的定义进行判定即可求解．代数式：用基本的运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子，单独的一个数或一个字母也是代数式，由此即可求解． 【详解】解：是代数式；是代数式；是方程，不是代数式；是代数式；0是代数式；是代数式；是代数式；是不等式，不是代数式；是不等式，不是代数式，则，其中是代数式的有个． 故答案为：6． 【变式3】．（24-25七年级上·全国·单元测试）下列各式，哪些是代数式？ （1）；                （2）；                （3）；         （4）0；                    （5）；                            （6）； （7）；            （8）；                    （9）；     （10）；    （11）；        （12）． 【答案】（1）、（4）、（5）、（7）、（9）、（10）、（11） 【知识点】代数式的概念 【分析】根据代数式的概念解答即可． 【详解】解：（1）；（4）0；（5）；（7）；（9）；（10）；（11）；是代数式． （2）；是等式，不是代数式； （3）；（6）；（8）；是不等式，不是代数式； （12），带单位，不是代数式； （1）、（4）、（5）、（7）、（9）、（10）、（11）是代数式． 【点睛】此题考查代数式问题，解题的关键是掌握代数式的定义解答．用运算符号把数字与字母连接而成的式子叫做代数式．单独的一个数或一个字母也是代数式． 【题型六】代数式书写方法 【例6】．（25-26七年级上·福建漳州·期中）下列各式中，符合代数式书写规范的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】代数式书写方法 【分析】本题考查代数式的书写规范，根据代数式书写的基本规则对各选项逐一判断即可． 【详解】解：∵ 带分数作系数时需要化为假分数，A选项使用带分数， 因此A不符合书写规范． ∵ 除法运算需要写成分数形式，B选项保留除号， 因此B不符合书写规范． ∵ 数字与字母相乘时，乘号需要省略且数字要写在字母前方，C选项保留乘号， 因此C不符合书写规范． ∵ 符合代数式书写规范，因此D正确． ∴ 答案选D． 【变式1】．（24-25七年级上·黑龙江鹤岗·期中）下列各式中：①；②；③人；④；⑤．其中符合代数式书写要求的个数有(    ) A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】C 【知识点】代数式书写方法 【详解】解：①带分数作字母系数时，必须化为假分数，因此不符合要求； ②代数式中除法运算需要写成分数形式，不能直接使用除号，因此不符合要求； ③加减形式的代数式带单位时，需要给整体代数式加括号，因此人不符合要求； ④数字与数字相乘不能使用点乘，必须用乘号连接，因此不符合要求； ⑤符合代数式的书写要求． ∴符合书写要求的式子共1个，故选C． 【变式2】．（25-26七年级上·湖北孝感·期末）下列各式：，，，，，，其中不符合代数式书写规范的有________个． 【答案】/四 【知识点】代数式书写方法 【分析】本题主要考查代数式的书写，熟练掌握代数式的书写是解题的关键；根据代数式书写规范，数字与字母相乘时数字应写在字母前面且省略乘号，除法运算应写成分数形式，带分数应避免使用，然后问题可求解． 【详解】解：是带分数，不符合规范，应写成假分数； 符合代数式书写规范； 使用了除法符号，不符合规范，应写成分数形式； 中数字1与相乘，数字应省略或写在前，不符合规范； 数字写在字母后面，不符合规范，应写成； 符合代数式书写规范； 故不符合规范的有4个； 故答案为4． 【变式3】．（24-25七年级上·重庆·期中），，，，，中，其中符合书写要求的代数式的个数为________． 【答案】 【知识点】代数式书写方法 【分析】此题考查了代数式的书写要求：（1）在代数式中出现的乘号，通常简写成“”或者省略不写；（2）数字与字母相乘时，数字要写在字母的前面；（3）在代数式中出现的除法运算，一般按照分数的写法来写．带分数要写成假分数的形式．解题关键是掌握代数式的书写要求．根据代数式的书写要求分别进行判断即可． 【详解】解：用字母表示数的式子中，符合书写要求的有：，，，共3个， 应该写成或，应该写成， 应该写成中， 故答案为：． 【题型七】代数式表示的实际意义 【例7】．（25-26七年级上·四川凉山·期末）下列代数式的意义叙述错误的是（    ） A．的意义是的倍与的和 B．的意义是的平方与的差 C．的意义是与的积的倍 D．的意义是与的和的平方 【答案】D 【知识点】代数式表示的实际意义 【分析】根据运算顺序准确理解代数式所表达的数量关系，需逐一分析各选项的叙述是否匹配代数式的运算逻辑． 【详解】解：选项A：的意义是的2倍与3的和，叙述正确； 选项B：的意义是的平方与1的差，叙述正确； 选项C：的意义是与的积的5倍，叙述正确； 选项D：表示与的平方的和，而“与的和的平方”对应的代数式是，两者运算顺序不同，该叙述错误． 【变式1】．（25-26七年级上·福建泉州·期末）元旦期间，某服装店举办“折上再打折”促销活动．若某套衣服原价元，现价元，则下列说法正确的是（    ） A．原价先减50元，再打六折 B．原价先打六折，再减50元 C．原价先减50元，再打四折 D．原价先打四折，再减50元 【答案】B 【知识点】代数式表示的实际意义 【详解】解：A、：原价先减50元，再打六折，价格为，与题意不符； B、原价先打六折，再减50元，价格为，与题目给出的现价一致； C、原价先减50元，再打四折，价格为，与题意不符； D、原价先打四折，再减50元，价格为，与题意不符． 【变式2】．（25-26七年级上·河南洛阳·期末）某景区国庆假期第一天网络预约游客m人，第二天网络预约的游客人数比第一天的少300人，则代数式“”表示的意义是______． 【答案】第二天网络预约的人数 【知识点】代数式表示的实际意义 【分析】根据题意，第二天网络预约的游客人数比第一天少300人，因此第二天人数可表示为，故代数式表示第二天人数． 本题考查了代数式的意义，熟练掌握意义是解题的关键． 【详解】解：第一天网络预约游客m人，第二天比第一天少300人， 则第二天人数为， 所以代数式“”表示第二天网络预约的人数． 故答案为：第二天网络预约的人数． 【变式3】．（25-26七年级上·河北邢台·阶段检测）指出下列各代数式的意义： (1)； (2)． 【答案】(1)的平方与2的和 (2)与的积乘以与的和 【知识点】代数式表示的实际意义 【分析】本题考查了代数式的意义，熟练掌握运算关系是解题关键． （1）根据平方、和运算顺序解答即可得； （2）根据乘积、和、括号运算解答即可得． 【详解】（1）解：表示的意义是的平方与2的和． （2）解：表示的意义是与的积乘以与的和． 【题型八】已知字母的值 ，求代数式的值 【例8】．（24-25七年级上·宁夏银川·期中）已知，则代数式的值为 （    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】直接将已知的值代入代数式，按照有理数运算法则计算即可． 【详解】解： 将代入代数式，得： 原式 ． 【变式1】．（22-23七年级上·全国·期中）当时，代数式的值是_____． 【答案】 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值 【详解】解：当时，． 【变式2】．（25-26七年级上·四川宜宾·期中）当时，求下列代数式的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)1 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】（1）代入计算即可求解； （2）代入计算即可求解． 【详解】（1）解：当时， 原式 ； （2）解：当时， 原式 ； 【变式3】．（25-26七年级上·四川宜宾·期中）对于任意的两个有理数a、b，定义． (1)计算的结果； (2)计算的结果． 【答案】(1)30 (2) 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】（1）根据定义，代入求解即可； （2）根据定义，代入求解即可． 【详解】（1）解：根据， 得 ； （2）解：根据， 得， ； 故； 【题型九】已知式子的值，求代数式的值 【例9】．（25-26七年级上·四川宜宾·期中）若，则的值是（     ） A．5 B．1 C． D． 【答案】D 【知识点】已知式子的值，求代数式的值 【详解】解：∵ ， ∴． 【变式1】．（2025七年级上·陕西汉中·期末）当时，多项式值等于，那么当时，该多项式的值等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】已知式子的值，求代数式的值 【分析】先将代入多项式，整理得到含、的整体关系式，再代入计算多项式的值即可． 【详解】解：当时，多项式值等于， ， 整理得， 将代入多项式得． 【变式2】．（24-25七年级上·广东茂名·期末）已知，则的值为________． 【答案】 【知识点】已知式子的值，求代数式的值 【分析】由变形得到的整体数值，待求式可变形为，所以将的整体数值代入该变形后的式子即可得到结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 把代入得，． 【变式3】．（24-25七年级上·北京·期中）已知代数式的值为5，求的值． 【答案】 【知识点】已知式子的值，求代数式的值 【分析】先求出的值，再整体代入代数式中即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 【题型十】程序流程图与代数式求值 【例10】．（25-26七年级上·湖北孝感·期中）如图，是一个运算程序的示意图，若开始输入的值为，则第次输出的结果为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】程序流程图与代数式求值 【分析】本题主要考查了代数式的求值和有理数的计算，根据题目给出的程序运算图找出输出结果的规律是解决本题的关键． 根据运算程序，第一次运算结果为125，第二次运算结果为25，第三次运算结果为5，第四次运算结果为1，…发现规律从第三次开始每两次为一个循环，再根据题目所给625的次运算即可得出答案． 【详解】解：第一次运算结果为：； 第二次运算结果为：； 第三次运算结果为：； 第四次运算结果为：； 第五次运算结果为：； 第六次运算结果为：； … 由此可得出运算结果从第三次开始为和循环，奇数次运算结果为，偶数次运算结果为，因为为奇数，所以运算结果为， 故选B． 【变式1】．（26-27七年级·全国·暑假作业）程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》，如图所示的程序框图，当输入的值是20时，根据程序计算，第一次输出的结果为10，第二次输出的结果为5……这样下去，第2026次输出的结果为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】程序流程图与代数式求值、数字类规律探索 【详解】解：由题意知，第1次输出的结果为10， 第2次输出的结果为， 第3次输出的结果为， 第4次输出的结果为， 第5次输出的结果为， 第6次输出的结果为， 第7次输出的结果为 第8次输出的结果为， 第9次输出的结果为， …… 这列数除前2个数外，每4个数为一个周期， ， ∴第2026次计算输出的结果是. 【变式2】．（25-26七年级上·山东滨州·期末）按如图所示的程序计算：若开始输入的值为，则最后输出的结果是______． 【答案】 【知识点】程序流程图与代数式求值 【分析】根据运算步骤输入，按照逻辑图逐步计算至输出结果，得到答案． 【详解】解：当时， ∵， ∴计算， ∵， ∴当时， ∵， ∴计算， ∵， ∴当时， ∵， ∴计算， ∵， ∴结果为． 【变式3】．（25-26七年级上·陕西汉中·期末）程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．如图是一个数值运算程序． (1)用含的代数式表示输出的结果；（结果化为最简） (2)当输入的值为时，求输出的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、程序流程图与代数式求值 【分析】本题考查程序流程图与代数式求值： （1）根据流程图，列出代数式即可； （2）把代入（1）中的代数式进行求解即可． 【详解】（1）解： ． （2）解：当时，． 【题型十一】数字类规律探索 【例11】．（25-26七年级上·四川宜宾·期中）已知有理数，我们把称为的“差倒数”，如：2的“差倒数”是，的“差倒数”是．若，是的“差倒数”，是的“差倒数”，是的“差倒数”，…，依此类推，则的值是(     ) A． B． C．4 D． 【答案】C 【知识点】数字类规律探索 【分析】根据差倒数的定义计算前几项，找出数列的循环规律，再通过除法运算得到余数，根据规律得出的值． 【详解】解：∵ ∴ ∴该数列以三个数为一个周期循环 ∵，刚好整除 ∴ 故选：C． 【变式1】．（25-26七年级上·福建福州·期末）下列各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，的值为（     ）． A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】数字类规律探索 【分析】观察可知，右上角的数左下角的数，左下角的数左上角的数，根据右上角的数求的值，再判断出右下角的数左下角的数与右上角的数的积左上角的数，得到，即可求解． 【详解】如图， ∵左下角的数依次为，右上角的数依次为， ∴右上角的数左下角的数，即，解得：， ∵左上角的数依次为，左下角的数依次为， ∴左下角的数左上角的数，即，解得：， ∵根据()可得：， 根据()可得：， 根据()可得：， ∴推出第()个式子为：， ∴． 【变式2】．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）有一组算式：那么，第100个算式的得数是________． 【答案】699 【知识点】数字类规律探索 【分析】分别找出每个算式中第一个加数和第二个加数的变化规律，根据规律求出第100个算式的两个加数，再计算和即可． 【详解】解：观察算式可得第一个加数依次为，后一项比前一项大， 则第个算式的第一个加数为， 因此第个算式的第一个加数为； 第二个加数依次为，后一项比前一项大， 则第个算式的第二个加数为， 因此第个算式的第二个加数为； 所以第个算式的得数为． 【变式3】．（24-25七年级上·福建龙岩·阶段检测）观察下列等式： ，．．．． (1)猜想并写出： _________； (2)直接写出下列各式的计算结果： ①___________． ②___________． (3)探究并计算，请写出计算过程：． 【答案】(1) (2)①；② (3) 【知识点】数字类规律探索 【分析】（1）观察题目给出的等式：可得分子为1，分母为两个相邻整数的乘积的分数可化为这两个整数的倒数之差，即可得解； （2）①根据规律把各分数转化，再进行分数的加减运算即可； ②先提取，然后按照前面的运算方法计算即可； （3）将算式中每一项进行裂项变形，如，再利用裂项相消法计算即可． 【详解】（1）解：根据题意可得，； （2）解：① ； ② ； （3）解： ． 【题型十二】图形类规律探索 【例12】．（26-27七年级上·全国·期中）观察图中每个大三角形中白色三角形的排列规律，则第⑥个大三角形中白色的三角形有（     ）个． A．121 B．154 C．364 D．467 【答案】C 【知识点】图形类规律探索 【分析】观察可知第2个图在第1个图的基础上增加3个白色三角形，第3个图在第2个图的基础上增加个三角形，第4个图在第3个图的基础上增加个三角形，，第n个图在第个图的基础上增加个三角形，据此规律求解即可． 【详解】解：第①个大三角形中白色三角形有个， 第②个大三角形中白色三角形有个， 第③个大三角形中白色三角形有个， ， 以此类推可知，第个大三角形中白色三角形有个， ∴第⑥个大三角形中白色的三角形有个． 【变式1】．（25-26七年级上·河南开封·期末）如图，用相等长度的火柴棒摆成如图所示的一组图形，按照此规律，摆第个图形要用的火柴棒的根数为（    ）． A． B．12m C． D． 【答案】D 【知识点】图形类规律探索 【分析】找出图形的变化规律，进行解答即可． 【详解】解：第1个图形需要12根火柴； 第2个图形需要20根火柴； 第3个图形需要28根火柴； 即每次增加8根火柴，则第m个图形需要根火柴． 【变式2】．（25-26七年级上·山西吕梁·期末）下列图案是晋商大院窗格的一部分，其中“○”代表窗纸上所贴的剪纸，则第个图中所贴剪纸“○”的个数为________． 【答案】 【知识点】图形类规律探索 【分析】观察图形，得出第个图中所贴剪纸“〇”的个数为个，据此求解即可． 【详解】解：当时，剪纸“○”的个数有个； 当时，剪纸“○”的个数有个； 当时，剪纸“○”的个数有个； … 从而可以探究：第n个图案所贴剪纸“○”的个数为个， ∴第个图中所贴剪纸“○”的个数为个． 【变式3】．（25-26七年级上·四川成都·期末）用长度相同的小棒按图所示的方式摆正方形，从上往下数，第2层起，每层比上一层多一个正方形，第1个图形需要4根小棒，第2个图形需要10根小棒，第3个图形需要18根小棒． 【特例感知】（1）第4个图形比第3个图形多_____根小棒； 【探索规律】（2）第个图形需要的小棒根数比第个图形多100根，求的值； 【拓展运用】（3）若第个图形竖放小棒根数是其序号的倍，请用含的代数式表示． 【答案】（1）10；（2）49；（3） 【知识点】用代数式表示数、图形的规律、图形类规律探索 【分析】本题考查图形类规律探索，找出图形变化规律是解题的关键． （1）根据前3组数据找出变化规律，利用规律求解； （2）第个图形需要的小棒根数比第个图形多根小棒，由此列方程求解； （3）第n个图形有n层，每层竖放小棒数为 【详解】解：（1）由题意知，第2个图形比第1个图形多6根小棒，， 第3个图形比第2个图形多8根小棒，， 以此类推，第4个图形比第3个图形多：根小棒， 故答案为：10； （2）由（1）知第个图形需要的小棒根数比第个图形多根小棒， 令， 解得； （3）由题意得，第n个图形竖放小棒根数为， 解得． 1. 知识核心梳理 代数式：数与字母通过运算符号连接而成，单独数、字母也为代数式，无等号、不等号，严格遵循书写规范； 列代数式：抓关键词、辨语序，区分易混淆运算表述，带单位的加减式子需加括号； 代数式求值：遵循“代入—计算”步骤，负数、分数乘方必加括号；掌握直接代入、整体代入两种核心方法； 取值原则：字母取值需符合式子运算要求和实际生活意义。 2. 解题方法提炼 列代数式：先定运算类型，再判运算顺序，重点规避语序、表述混淆陷阱； 求值计算：优先观察式子结构，能整体代入则整体替换，简化计算，重点检查括号使用。 3. 考试重点提醒 本章核心丢分点集中在：代数式书写格式、除与除以的区分、平方运算语序陷阱、负数与分数代入括号规范、整体代入求值，是选择、填空、解答题高频考点，需重点掌握。 一、单选题 1．在下列各式中，不是代数式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据代数式的概念：用运算符号（、、、、乘方）将数与表示数的字母连接起来的式子叫做代数式．单独一个数或者一个字母也称代数式．据此逐一进行判断即可得到答案． 【详解】解：A、是代数式，不符合题意，选项错误； B、，含有等号，不是代数式，符合题意，选项正确； C、是代数式，不符合题意，选项错误； D、是代数式，不符合题意，选项错误， 故选B． 【点睛】本题考查了代数式的概念，准确理解代数式的概念是解题关键． 2．已知，，则代数式的值为（   ） A． B．3 C． D．4 【答案】D 【分析】本题考查了代数式求值，把，代入求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， 故选：D． 3．一个三位数，百位上的数是，十位上的数是，个位上的数是，这个三位数用字母表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了列代数式，也就是把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来； 百位上的数字是，表示个百，十位上的数字是，表示个十，个位上的数字是，表示个一，所以表示这个三位数的式子应该是． 【详解】因为百位上的数字是，表示个百，即， 因为十位上的数字是，表示个十，即， 因为个位上的数字是，表示个一，即， 所以表示这个三位数的式子应该是． 故选：D． 4．某服装店出售一件衣服，标价为m元，由于市场行情的变化，服装店进行了一次调价，在此基础上又进行了第二次调价，下列四种方案中，两次调价后售价最低的是（    ） A．连续两次降价 B．第一次提价，第二次降价 C．第一次提价，第二次降价 D．第一次提价，第二次降价 【答案】A 【分析】本题考查了列代数式，根据题意分别表示出每种方案调价后的售价，然后进行比较即可求解． 【详解】A. 连续两次降价， 可列式为：； B. 一次提价，第二次降价， 可列式为：； C. 第一次提价，第二次降价， 可列式为：； D. 第一次提价，第二次降价， 可列式为：， ， 连续两次降价后售价最低， 故选：A． 5．下列问题中的两个量成反比例关系的是（） A．驾驶汽车3小时，行驶里程（单位：公里）与平均时速（单位：公里/小时） B．长方形的周长一定，长方形的长与宽 C．长方形的面积一定，长方形的长与宽 D．每天阅读半小时，阅读总时长与天数 【答案】C 【分析】本题考查了反比例关系．判断两个量是否成反比例关系，需检查它们的乘积是否为常数． 【详解】解：A∶行驶里程=平均时速×时间，时间固定为3小时，∴行驶里程与平均时速成正比，不成反比． B∶周长=2(长+宽)，周长一定，∴长+宽=常数，和一定，不成反比． C∶面积=长×宽，面积一定，∴长×宽=常数，成反比例关系． D∶阅读总时长=每天阅读时间×天数，每天阅读时间固定为0.5小时，∴阅读总时长与天数成正比，不成反比． 故选：C． 6．如图是一个数值转换机的示意图，若输入x的值为3，y的值为，则输出的结果为（   ） A． B．5 C． D．6 【答案】B 【分析】本题主要考查了求代数式的值，有理数的混合运算，本题是操作型题目，利用程序图中的程序得到代数式是解题的关键．由题意得到程序运算的代数式，分别将，y的值代入，运算即可． 【详解】解：由题意得 图中运算程序为 当输入的值为3，y的值为时， ． 故选：B 7．在下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥中，符合代数式书写要求的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【分析】本题考查代数式的书写，根据代数式的书写规则，逐一进行判断即可． 【详解】解：应写出，故①错误； ，书写正确，故②正确； ，应写成：，故③错误； ，书写正确，故④正确； ，书写错误，故⑤错误； 应写成，故⑥错误； 则符合代数式书写要求的有2个． 故选：A． 8．下列说法：①a是代数式，1不是代数式；②表示数a，b，的积的代数式是；③代数式的意义是a与4的差除以b的商；④a，b两数平方的差与两数的积的4倍的和用代数式表示是，其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查代数式的定义、书写规范及含义的理解，逐一判断各说法的正确性． 【详解】∵ 代数式是由数字、字母和运算符号组成的式子，单独的数字或字母也是代数式， ∴ 说法①中“a是代数式”正确，但“1不是代数式”错误，故①错误； ∵ 带分数在代数式中应化为假分数，应写为， ∴ 表示a，b，的积的代数式应为，而非，故②错误； ∵ 代数式的运算顺序是先求差再求商， ∴ 其含义是a与4的差除以b的商，故③正确； ∵ “两数平方的差”指，“两数的积的4倍”指， ∴ 它们的和应为，而， 两者不等，故④错误． 故选：A． 9．将相同的长方形卡片按如图方式摆放在一个直角上，每个长方形卡片长为2，宽为1，摆放1个时实线部分长为3，摆放2个时实线部分长为5，摆放3个时实线部分长为8，依此类推摆放2026个时，实线部分长为（） A．5068 B．5060 C．5063 D．5065 【答案】D 【分析】本题考查了图形变化类规律，列代数式，解题关键是通过观察前几个图形的长度数据，归纳出奇偶项对应的长度公式，再代入具体数值计算．通过观察摆放1个、2个、3个长方形卡片时实线部分的长度，归纳出长度随卡片数量变化的规律，再利用该规律计算摆放2026个时的实线长度． 【详解】解：观察已知条件： 摆放1个时，实线部分长为3： 摆放2个时，实线部分长为5： 摆放3个时，实线部分长为8： 摆放4个时，实线部分长为10， 当卡片数为偶数时，设,实线长度为(验证：时，时，,符合规律)； 因为2026是偶数，令,则； 将代入偶数项公式,得： 故选：D． 二、填空题 10．若，则_____． 【答案】2 【分析】本题主要考查了代数式求值，注意整体思想的应用．由，得出，然后整体代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：2． 11．下列各式 ①：；②：；③：；④：中最符合书写规范的是_______. 【答案】②， 【分析】代数式的书写要求：在代数式中出现的乘号，通常简写成“”或者省略不写；数字与字母相乘时，数字要写在字母的前面；在代数式中出现的除法运算，一般按照分数的写法来写，带分数要写成假分数的形式；根据代数式的书写要求逐项判断即可得解， 本题考查了代数式，熟练掌握代数式的书写要求是解此题的关键. 【详解】解：①：中的乘号应省略不写，且写在前面， 故①错误，不符合题意； ②：符合书写规范，故②正确，符合题意； ③：应按照分数的写法来写， 故③错误，不符合题意； ④：中带分数要写成假分数的形式， 故④错误，不符合题意； 故答案为：②．. 12．已知下表中的和两个量成反比例关系，则“☆”处应填______． 8 ☆ 5 2 【答案】20 【分析】本题考查反比例关系的定义，有理数的混合运算，抓住乘积相等是解题的关键． 若两个量乘积一定，则它们成反比例关系，据此列式解答即可． 【详解】解：由题意得，． 故答案为：20． 13．一组按规律排列式子：，第n个式子是_________． 【答案】 【分析】本题主要考查代数式规律问题，解题的关键是得到代数式的一般规律；由题意易得奇数项为负数，偶数项为正数，分母符合，分子的指数则符合，进而问题可求解． 【详解】解：由可知： ， ∴第n个式子是； 故答案为：． 14．某产品试销阶段每件产品的销售价x（元）与产品的日销售量y（件）之间的关系如表，则日销售量y（件）与销售价x（元）之间的关系式是_______ x/元 … 15 20 25 … y/件 … 25 20 15 … 【答案】 【分析】本题考查了列代数式，由表格可知，销售价x（元）每增加5元，日销售量y（件）减少5件，据此即可列出关系式． 【详解】解：由表格可知，销售价x（元）每增加5元，日销售量y（件）减少5件， ∴， ∴日销售量y（件）与销售价x（元）之间的关系式是． 故答案为：． 15．用菱形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有2个菱形，第②个图案中有5个菱形，第③个图案中有8个菱形，第④个图案中有11个菱形，…，按此规律，则第⑧个图案中菱形的个数是______个． 【答案】23 【分析】本题考查图形类规律探究，观察可知，后一个图形比前一个图形多3个菱形，进而求出第个图形中菱形的个数，进行求解即可． 【详解】解：第①个图案中有2个菱形，第②个图案中有5个菱形，第③个图案中有8个菱形，第④个图案中有11个菱形， 故后一个图形比前一个图形多3个菱形， 所以第个图形中有个菱形， ∴第⑧个图案中菱形的个数是个； 故答案为：23． 16．如图所示，已知长方形的长，宽，内有边长相等的小正方形和小正方形，其重叠部分为长方形．若长方形的周长为，给出以下结论：①；②小正方形的边长；③；④阴影部分的周长和为．上述结论中，所有正确结论的序号是___________． 【答案】①②④ 【分析】本题主要考查了长方形与正方形的边长关系、周长计算，熟练掌握通过设未知数结合图形线段的等量关系分析是解题的关键．设小正方形边长为，结合长方形的周长列方程求，进而从图形线段的直接关系出发，逐一验证四个结论． 【详解】解：设小正方形和的边长为． 由长方形得：，． 长方形的宽为，长为． ∵长方形的周长为， ∴， 化简得：， ， ， ， 解得． ∵， ， ∴，①正确． ∵小正方形边长， ∴②正确． ∵， ∴③错误． 阴影部分的周长和为 ， ∴④正确． 故答案为：①②④． 三、解答题 17．给定整数a，b，c满足，，是三个相邻的整数． 证明：a，b，c是三个相邻的整数． 【答案】 证明：，，是三个相邻的整数，且a，b，c为整数， ， ， ， 是三个相邻的整数， a，b，c是三个相邻的整数，且． 【分析】本题考查代数式，根据题意利用b分别表示出a，c，即可证明结论． 18．人的体重指数BMI可以用公式计算，其中w为人的体重（单位：kg），h为身高（单位：m）．由此可以用身高h的平方乘以体重指数BMI，得到体重w．中国成年人体重指数的标准如下： 当时，为体重不足； 当时，为健康体重； 当时，为超重； 当时，为肥胖． 小明爸爸的身高为1.73m，体重为75kg．通过计算解答下列问题（注：计算时取）． (1)小明爸爸的体重指数BMI是多少？ (2)当小明爸爸减掉3.5kg之后，他的体重是否成为了健康体重？说明理由． 【答案】(1)25.1 (2)是， 理由：当小明爸爸减掉3.5kg之后， 则小明爸爸的身高为1.73m，体重为71.5kg，则w=71.5，h=1.73， ∴， ， ∴小明爸爸的体重成为了健康体重． 【分析】（1）直接利用公式计算即可求解； （2）先计算减掉3.5kg之后的体重，再利用公式计算即可求解． 【详解】（1）解：∵小明爸爸的身高为1.73m，体重为75kg，即w=75，h=1.73， ∴， ∴小明爸爸的体重指数BMI是25.1； （2）略 【点睛】本题主要考查代数式的求值，解题的关键是代数式的求值能力． 19．如图，池塘边有一块长为，宽为的长方形土地，现在将其余三面留出宽都是的小路，中间余下的长方形部分做菜地，用代数式表示： (1)菜地的长为 ，宽为 ； (2)菜地的面积为多少平方米？ 【答案】(1)；； (2)． 【分析】本题考查了列代数式． （1）根据题干图列代数式即可； （2）将（1）中两代数式相乘即可． 【详解】（1）解：菜地的长为，宽为， 故答案为：，； （2）解：菜地的面积为． 20．七年级选取了部分同学参加广播体操表演，按每排人数相等的规定排列，每排的人数与站的排数如下表所示． 每排的人数/人 5 10 20 25 … 排数/排 20 10 5 4 … (1)参加广播体操表演的同学共有______人． (2)若每排的人数记为，排数记为，请你写出，之间的数量关系，请问，成反比例关系吗？为什么？ 【答案】(1)100 (2) 解：∵总人数=每排的人数×排数， ． ∴与的积是定值， ∴，成反比例关系． 【分析】本题主要考查了反比例的定义，有理数乘法的实际应用，解题的关键是掌握反比例的定义和有理数的乘法运算． （1）用每排的人数乘以排数求解即可； （2）根据总人数=每排的人数×排数列式即可得出结果． 【详解】（1）解：由题意得，（人）， ∴参加广播体操表演的同学共100名． 故答案为：100． 21．我们定义：若两个有理数的积等于这两个有理数的和，则称这两个数互为“友好数”．如：有理数与5，因为，所以与5互为“友好数”． (1)判断与3是否互为“友好数”，并说明理由； (2)若有理数a与b互为“友好数”，求代数式的值． (3)对于有理数x（且），设x的“友好数”为；的倒数为；的“友好数”为；的倒数为；…；依次按如上的操作，得到一组数．当时，请直接写出的值为______． 【答案】(1) 解：与3互为“友好数”，理由如下： ，， ， 与3互为“友好数”； (2) (3) 【分析】本题考查了对新定义“友好数”的理解与应用、代数式的化简求值以及数字循环规律的探究，解题的关键是紧扣“友好数”的定义（两数积等于两数和）和代数式化简方法及循环规律求解各问． （1）根据“友好数”定义，分别计算与3的和、积，若两者相等则互为“友好数”； （2）由“友好数”定义得，将其代入代数式展开化简，消去未知量即可求值； （3）从开始，依次求出至，找出数字循环周期，用2025除以周期得余数，根据余数确定对应的值． 【详解】（1）略 （2）解：与互为“友好数”， ； ∴ ； （3）解：当时， 由“友好数”定义：，解得； 是的倒数：； 由“友好数”定义：，解得； 是的倒数：； 由“友好数”定义：，解得； 是的倒数：． 观察得：数列以为周期循环，周期为6． ， ． 故答案为：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第07讲 代数式 （核心知识+2易错辨析+12典例精讲+课后作业） 【知识点01】代数式的定义 用运算符号（加、减、乘、除、乘方）把数和表示数的字母连接而成的式子叫做代数式。单独一个数或者单独一个字母，也是代数式。 关键判定：代数式中不含等号、不等号；含有=、>、<、≥、≤的式子不是代数式（等式、不等式不属于代数式）。 【知识点02】代数式标准书写规范（必考） 数字与字母相乘：数字在前，省略乘号，如a×3规范写作3a，禁止写a3； 字母与字母相乘：直接省略乘号，如a×b规范写作ab； 带分数与字母相乘：必须将带分数化为假分数，如1a规范写作a，代数式中禁止使用带分数，避免计算错误； 除法运算：统一写成分数形式，如a÷2规范写作，禁止保留除号； 带单位的代数式：若式子为加减运算，整体必须加括号，如(x+2)米，不能写x+2米。 【知识点03】列代数式核心方法 本质是将文字语言转化为代数语言，抓取关键词，确定运算顺序： 基础运算：和（+）、差（-）、积（×）、商（÷）； 数量描述：比…大/多（加）、比…小/少（减）、几倍（乘）、几分之几（对应分数乘法）； 语序优先级：严格遵循文字顺序，A与B的差为A-B，B与A的差为B-A，语序不同，式子不同。 【知识点04】常用基础数量关系模型 行程问题：路程=速度×时间； 价格问题：总价=单价×数量； 增减变化：原量为a，增长率为x，现量为a(1+x)；下降率为x，现量为a(1-x)； 整数表示：偶数2n、奇数2n+1（n为整数）。 【知识点05】代数式的值定义 用指定数值代替代数式中的字母，按照代数式的运算规则计算出的结果，叫做代数式的值。 【知识点06】求代数式的值标准步骤 第一步：代入：将字母替换为对应数值，负数、分数代入乘方运算时，必须添加括号； 第二步：计算：遵循有理数运算顺序，先乘方、再乘除、最后加减，有括号先算括号内。 标准答题格式示范：当x=2时，求2x-1的值 解：当x=2时 原式=2×2-1=4-1=3 【知识点07】字母取值的实际意义 在实际问题中，字母取值必须符合现实逻辑，如人数、物品数量只能为正整数，不能为负数、小数。 3.1 列代数式表示数量关系 书写顺序错误：易错将a的3倍写成a3，正确写法为3a； 带分数不化简：易错写2x，代数式中严禁带分数，必须化为假分数x； 运算顺序混淆：混淆“差的平方”和“平方的差” ✅ a与b差的平方：(a-b)²（先求差，再平方） ✅ a与b平方的差：a²-b²（先平方，再求差） 除与除以混淆（分式高频易错）： a除b 列式为： a除以b 列式为： 口诀：除字倒写，除以顺写 单位书写不规范：加减代数式带单位未加括号，易错写x+5元，正确为(x+5)元； 概念判定错误：误将等式、方程当作代数式，如2x+1=5是方程，不是代数式。 3.2 代数式的值 负数乘方括号易错：当x=-2时，易错算x²=-2²=-4（先算2²再添负号，实为负的2的平方）；正确算法：x²=(-2)²=4（负2整体的平方）。 分数乘方分式易错（核心错题）：当x=时，典型错误：x²=（仅对分母平方，原式等价于，书写逻辑错误）；正确运算：()²=（分子分母整体同时平方）。结论：分数参与乘方，必须给整体加括号。 答题格式不规范：省略“当……时”条件，直接计算数值，考试会扣分； 整体代入出错：已知a-b=2，求3a-3b时，易错算3+2，正确：3(a-b)=3×2=6； 忽略取值限制：实际问题中随意取值，违背生活常识（如人数取小数、负数）。 【题型一】用字母表示数 【例1】．（25-26七年级上·河北石家庄·期中）一个两位数，十位数字是b，个位数字是a，这个两位数可表示为（    ） A． B． C． D． 【变式1】．（24-25七年级上·四川泸州·期末）北京是全球首个既举办过夏季奥运会又举办过冬季奥运会的城市．在冬季奥运会前，某赛场计划造雪，每天造雪量与造雪天数成反比例关系．具体如下表，则表中的值是（    ）． 每天造雪量 5000 5200 6500 造雪天数 50 40 A．50 B．52 C．60 D．65 【变式2】．（25-26七年级上·云南昭通·期中）一盒糖有颗，盒糖共有_____颗． 【变式3】．（25-26七年级上·全国·课后作业）仓库里存有货物180吨，运走了12车，每车x吨．表示_________________ ，表示___________ ，这里x的最大值是_________ ． 【题型二】列代数式 【例2】．（24-25七年级上·宁夏银川·期中）某班有女生x人，其中男生人数占全班人数的，那么全班总人数是（    ） A． B． C． D． 【变式1】．（25-26七年级上·湖北荆州·期末）智慧农业大棚采用自动温控系统．某日棚内温度变化规律为：每小时上升或下降．若初始温度为，经过小时后的温度可能表示为（     ） A． B． C．或 D． 【变式2】．（24-25七年级上·广东茂名·期末）某校现需购买甲、乙两种读本共80本供学生阅读，其中甲种读本的价格为10元/本，乙种读本的价格为8元/本，若购买甲种读本本，则购买乙种读本的费用为________元． 【变式3】．（25-26七年级上·福建漳州·期末）为鼓励人们节约用水，某地实行阶梯式计量水价（如表所示）． 级别 月用水量 水价 第1级 20吨以下（含20吨） 2元/吨 第2级 20吨至30吨（含30吨） 超过20吨部分按2.4元/吨 第3级 30吨以上 超过30吨部分按4.8元/吨 (1)若小明家4月份用水量为16吨，则该月需缴纳水费多少元； (2)若小红家5月份用水量为a吨，请计算该月需缴纳水费多少元？（用含a的代数式表示） 【题型三】正（反）比例关系 【例3】．（25-26七年级上·河南商丘·期末）已知压力F、受力面积S、压强P之间的关系是．则当压强一定时，与的关系和当压力一定时，与的关系分别是（   ） A．正比例关系，正比例关系 B．正比例关系，反比例关系 C．反比例关系，正比例关系 D．反比例关系，反比例关系 【变式1】．（25-26七年级上·山东德州·期末）已知如表所示的和两个量成反比例关系，则“”处应填（    ） 6 5 A． B．3 C． D．5 【变式2】．（25-26七年级上·江西赣州·期末）若下表中的和两个量成反比例关系，则的值为___________． 6 【变式3】．（25-26七年级上·河北唐山·期末）某机床要加工一批零件，每小时加工的件数与加工的时间如下表： 每小时加工的件数 63 42 35 30 … 加工时间（） 10 15 21 … (1)这批零件共________件； (2)表中________； (3)用表示每小时加工零件的件数，用表示加工时间，用式子表示与之间的关系．与成什么比例关系？ 【题型四】用代数式表示数、图形的规律 【例4】．（25-26七年级上·广西崇左·期末）按一定规律排列的多项式：，，，，，…，第个多项式是（   ） A． B． C． D． 【变式1】．（25-26七年级上·甘肃甘南·期末）现用围棋中的黑子摆出如图所示的图案，则第个图案中黑子的个数为（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【变式2】．（25-26七年级上·新疆乌鲁木齐·期末）如图，小王沿虚线对正方形进行裁剪，第一次裁剪后手里有4张纸片，依图继续裁剪，当裁剪到第n次时，手里共有______个纸片．（用含n的代数式表示） 【变式3】．（25-26七年级上·内蒙古赤峰·期末）探索规律，观察如图，回答问题： (1)第五个图形有_____个点 (2)第个图形，有_____个点； (3)当点数为210时，为多少？ 【题型五】代数式的概念 【例5】．（25-26七年级上·河南周口·期末）下列选项中，不是代数式的是（   ） A． B．5 C． D． 【变式1】．（25-26七年级上·湖北省直辖县级单位·期末）有下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦，其中代数式有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【变式2】．（25-26七年级上·河南周口·阶段检测）下列各式：，其中是代数式的有____________个． 【变式3】．（24-25七年级上·全国·单元测试）下列各式，哪些是代数式？ （1）；                （2）；                （3）；         （4）0；                    （5）；                            （6）； （7）；            （8）；                    （9）；     （10）；    （11）；        （12）． 【题型六】代数式书写方法 【例6】．（25-26七年级上·福建漳州·期中）下列各式中，符合代数式书写规范的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】．（24-25七年级上·黑龙江鹤岗·期中）下列各式中：①；②；③人；④；⑤．其中符合代数式书写要求的个数有(    ) A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【变式2】．（25-26七年级上·湖北孝感·期末）下列各式：，，，，，，其中不符合代数式书写规范的有________个． 【变式3】．（24-25七年级上·重庆·期中），，，，，中，其中符合书写要求的代数式的个数为________． 【题型七】代数式表示的实际意义 【例7】．（25-26七年级上·四川凉山·期末）下列代数式的意义叙述错误的是（    ） A．的意义是的倍与的和 B．的意义是的平方与的差 C．的意义是与的积的倍 D．的意义是与的和的平方 【变式1】．（25-26七年级上·福建泉州·期末）元旦期间，某服装店举办“折上再打折”促销活动．若某套衣服原价元，现价元，则下列说法正确的是（    ） A．原价先减50元，再打六折 B．原价先打六折，再减50元 C．原价先减50元，再打四折 D．原价先打四折，再减50元 【变式2】．（25-26七年级上·河南洛阳·期末）某景区国庆假期第一天网络预约游客m人，第二天网络预约的游客人数比第一天的少300人，则代数式“”表示的意义是______． 【变式3】．（25-26七年级上·河北邢台·阶段检测）指出下列各代数式的意义： (1)； (2)． 【题型八】已知字母的值 ，求代数式的值 【例8】．（24-25七年级上·宁夏银川·期中）已知，则代数式的值为 （    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式1】．（22-23七年级上·全国·期中）当时，代数式的值是_____． 【变式2】．（25-26七年级上·四川宜宾·期中）当时，求下列代数式的值： (1)； (2)． 【变式3】．（25-26七年级上·四川宜宾·期中）对于任意的两个有理数a、b，定义． (1)计算的结果； (2)计算的结果． 【题型九】已知式子的值，求代数式的值 【例9】．（25-26七年级上·四川宜宾·期中）若，则的值是（     ） A．5 B．1 C． D． 【变式1】．（2025七年级上·陕西汉中·期末）当时，多项式值等于，那么当时，该多项式的值等于（   ） A． B． C． D． 【变式2】．（24-25七年级上·广东茂名·期末）已知，则的值为________． 【变式3】．（24-25七年级上·北京·期中）已知代数式的值为5，求的值． 【题型十】程序流程图与代数式求值 【例10】．（25-26七年级上·湖北孝感·期中）如图，是一个运算程序的示意图，若开始输入的值为，则第次输出的结果为（　　） A． B． C． D． 【变式1】．（26-27七年级·全国·暑假作业）程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》，如图所示的程序框图，当输入的值是20时，根据程序计算，第一次输出的结果为10，第二次输出的结果为5……这样下去，第2026次输出的结果为（     ） A． B． C． D． 【变式2】．（25-26七年级上·山东滨州·期末）按如图所示的程序计算：若开始输入的值为，则最后输出的结果是______． 【变式3】．（25-26七年级上·陕西汉中·期末）程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．如图是一个数值运算程序． (1)用含的代数式表示输出的结果；（结果化为最简） (2)当输入的值为时，求输出的值． 【题型十一】数字类规律探索 【例11】．（25-26七年级上·四川宜宾·期中）已知有理数，我们把称为的“差倒数”，如：2的“差倒数”是，的“差倒数”是．若，是的“差倒数”，是的“差倒数”，是的“差倒数”，…，依此类推，则的值是(     ) A． B． C．4 D． 【变式1】．（25-26七年级上·福建福州·期末）下列各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，的值为（     ）． A． B． C． D． 【变式2】．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）有一组算式：那么，第100个算式的得数是________． 【变式3】．（24-25七年级上·福建龙岩·阶段检测）观察下列等式： ，．．．． (1)猜想并写出： _________； (2)直接写出下列各式的计算结果： ①___________． ②___________． (3)探究并计算，请写出计算过程：． 【题型十二】图形类规律探索 【例12】．（26-27七年级上·全国·期中）观察图中每个大三角形中白色三角形的排列规律，则第⑥个大三角形中白色的三角形有（     ）个． A．121 B．154 C．364 D．467 【变式1】．（25-26七年级上·河南开封·期末）如图，用相等长度的火柴棒摆成如图所示的一组图形，按照此规律，摆第个图形要用的火柴棒的根数为（    ）． A． B．12m C． D． 【变式2】．（25-26七年级上·山西吕梁·期末）下列图案是晋商大院窗格的一部分，其中“○”代表窗纸上所贴的剪纸，则第个图中所贴剪纸“○”的个数为________． 【变式3】．（25-26七年级上·四川成都·期末）用长度相同的小棒按图所示的方式摆正方形，从上往下数，第2层起，每层比上一层多一个正方形，第1个图形需要4根小棒，第2个图形需要10根小棒，第3个图形需要18根小棒． 【特例感知】（1）第4个图形比第3个图形多_____根小棒； 【探索规律】（2）第个图形需要的小棒根数比第个图形多100根，求的值； 【拓展运用】（3）若第个图形竖放小棒根数是其序号的倍，请用含的代数式表示． 1. 知识核心梳理 代数式：数与字母通过运算符号连接而成，单独数、字母也为代数式，无等号、不等号，严格遵循书写规范； 列代数式：抓关键词、辨语序，区分易混淆运算表述，带单位的加减式子需加括号； 代数式求值：遵循“代入—计算”步骤，负数、分数乘方必加括号；掌握直接代入、整体代入两种核心方法； 取值原则：字母取值需符合式子运算要求和实际生活意义。 2. 解题方法提炼 列代数式：先定运算类型，再判运算顺序，重点规避语序、表述混淆陷阱； 求值计算：优先观察式子结构，能整体代入则整体替换，简化计算，重点检查括号使用。 3. 考试重点提醒 本章核心丢分点集中在：代数式书写格式、除与除以的区分、平方运算语序陷阱、负数与分数代入括号规范、整体代入求值，是选择、填空、解答题高频考点，需重点掌握。 一、单选题 1．在下列各式中，不是代数式的是（    ） A． B． C． D． 2．已知，，则代数式的值为（   ） A． B．3 C． D．4 3．一个三位数，百位上的数是，十位上的数是，个位上的数是，这个三位数用字母表示为（    ） A． B． C． D． 4．某服装店出售一件衣服，标价为m元，由于市场行情的变化，服装店进行了一次调价，在此基础上又进行了第二次调价，下列四种方案中，两次调价后售价最低的是（    ） A．连续两次降价 B．第一次提价，第二次降价 C．第一次提价，第二次降价 D．第一次提价，第二次降价 5．下列问题中的两个量成反比例关系的是（） A．驾驶汽车3小时，行驶里程（单位：公里）与平均时速（单位：公里/小时） B．长方形的周长一定，长方形的长与宽 C．长方形的面积一定，长方形的长与宽 D．每天阅读半小时，阅读总时长与天数 6．如图是一个数值转换机的示意图，若输入x的值为3，y的值为，则输出的结果为（   ） A． B．5 C． D．6 7．在下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥中，符合代数式书写要求的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 8．下列说法：①a是代数式，1不是代数式；②表示数a，b，的积的代数式是；③代数式的意义是a与4的差除以b的商；④a，b两数平方的差与两数的积的4倍的和用代数式表示是，其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9．将相同的长方形卡片按如图方式摆放在一个直角上，每个长方形卡片长为2，宽为1，摆放1个时实线部分长为3，摆放2个时实线部分长为5，摆放3个时实线部分长为8，依此类推摆放2026个时，实线部分长为（） A．5068 B．5060 C．5063 D．5065 二、填空题 10．若，则_____． 11．下列各式 ①：；②：；③：；④：中最符合书写规范的是_______. 12．已知下表中的和两个量成反比例关系，则“☆”处应填______． 8 ☆ 5 2 13．一组按规律排列式子：，第n个式子是_________． 14．某产品试销阶段每件产品的销售价x（元）与产品的日销售量y（件）之间的关系如表，则日销售量y（件）与销售价x（元）之间的关系式是_______ x/元 … 15 20 25 … y/件 … 25 20 15 … 15．用菱形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有2个菱形，第②个图案中有5个菱形，第③个图案中有8个菱形，第④个图案中有11个菱形，…，按此规律，则第⑧个图案中菱形的个数是______个． 16．如图所示，已知长方形的长，宽，内有边长相等的小正方形和小正方形，其重叠部分为长方形．若长方形的周长为，给出以下结论：①；②小正方形的边长；③；④阴影部分的周长和为．上述结论中，所有正确结论的序号是___________． 三、解答题 17．给定整数a，b，c满足，，是三个相邻的整数． 证明：a，b，c是三个相邻的整数． 18．人的体重指数BMI可以用公式计算，其中w为人的体重（单位：kg），h为身高（单位：m）．由此可以用身高h的平方乘以体重指数BMI，得到体重w．中国成年人体重指数的标准如下： 当时，为体重不足； 当时，为健康体重； 当时，为超重； 当时，为肥胖． 小明爸爸的身高为1.73m，体重为75kg．通过计算解答下列问题（注：计算时取）． (1)小明爸爸的体重指数BMI是多少？ (2)当小明爸爸减掉3.5kg之后，他的体重是否成为了健康体重？说明理由． 19．如图，池塘边有一块长为，宽为的长方形土地，现在将其余三面留出宽都是的小路，中间余下的长方形部分做菜地，用代数式表示： (1)菜地的长为 ，宽为 ； (2)菜地的面积为多少平方米？ 20．七年级选取了部分同学参加广播体操表演，按每排人数相等的规定排列，每排的人数与站的排数如下表所示． 每排的人数/人 5 10 20 25 … 排数/排 20 10 5 4 … (1)参加广播体操表演的同学共有______人． (2)若每排的人数记为，排数记为，请你写出，之间的数量关系，请问，成反比例关系吗？为什么？ 21．我们定义：若两个有理数的积等于这两个有理数的和，则称这两个数互为“友好数”．如：有理数与5，因为，所以与5互为“友好数”． (1)判断与3是否互为“友好数”，并说明理由； (2)若有理数a与b互为“友好数”，求代数式的值． (3)对于有理数x（且），设x的“友好数”为；的倒数为；的“友好数”为；的倒数为；…；依次按如上的操作，得到一组数．当时，请直接写出的值为______． 1 学科网（北京）股份有限公司 $