第01讲 有理数基础概念（核心知识+5易错辨析+10典例精讲+课后作业）2026-2027学年人教版七年级数学上册秋期复习+ 期考讲义专项

本讲义系统梳理有理数基础概念，涵盖正数与负数（定义、0的特殊性、相反意义的量及分类）、数轴（三要素、与有理数关系）、相反数（定义、代数几何意义及性质）、绝对值（定义、法则及非负性）、有理数大小比较（数轴法、符号规则），形成层层递进的学习支架。 资料以“核心知识+5易错辨析+10典例精讲+课后作业”为特色，易错辨析纠正“带负号的数是负数”等认知误区，典例含数轴规律探究等题型，结合中考真题培养推理能力与几何直观，课后作业分层巩固，助力学生查漏补缺，提升应用意识。

第01讲 有理数基础概念（核心知识+5易错辨析+10典例精讲+课后作业） 【知识点01】正数与负数 1. 定义：大于0的数叫做正数；在正数前面加上符号“−”（负号）的数叫做负数。 2. 0的特殊性：0既不是正数，也不是负数，是正数和负数的分界点。 3. 相反意义的量：生活中具有相反意义的量可以用正、负数表示。常见对应关系：上升/下降、收入/支出、盈利/亏损、向东/向西、零上/零下、增加/减少。 4. 有理数分类 按定义分：有理数分为整数（正整数、0、负整数）和分数（正分数、负分数）； 按符号分：有理数分为正有理数（正整数、正分数）、0、负有理数（负整数、负分数）。 注意：有限小数和无限循环小数都可以化为分数，属于有理数。 【知识点02】数轴 1. 定义：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。 2. 三要素（缺一不可） 原点：数轴上表示0的点； 正方向：通常规定向右为正方向（箭头向右）； 单位长度：统一的、固定的长度标准。 3. 数轴与有理数的关系：所有的有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的点不都表示有理数（还可以表示无理数）。 4. 分布规律：原点右侧的点表示正数，左侧的点表示负数，原点表示0。 【知识点03】相反数 1. 定义：只有符号不同的两个数叫做互为相反数。 2. 代数意义：a的相反数是−a；特别地，0的相反数是0。 3. 几何意义：在数轴上，表示互为相反数的两个点，位于原点两侧，且到原点的距离相等。 4. 性质：若a、b互为相反数，则a + b = 0；反之，若a + b = 0，则a、b互为相反数。 5. 多重符号化简规则：负号个数为偶数，结果为正；负号个数为奇数，结果为负。（奇负偶正） 【知识点04】绝对值 1. 定义：数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|。 2. 绝对值法则 正数的绝对值是它本身：若a > 0，则|a| = a； 负数的绝对值是它的相反数：若a < 0，则|a| = −a； 0的绝对值是0：若a = 0，则|a| = 0。 3. 核心性质（非负性）：任何数的绝对值都是非负数，即|a| ≥ 0。 4. 重要结论：绝对值等于本身的数是非负数（正数和0）；绝对值等于相反数的数是非正数（负数和0）。 5. 几何结论：绝对值越大，数轴上的点离原点越远。 【知识点05】有理数大小比较 1. 数轴比较法（通用方法）：在数轴上，右边的数总比左边的数大。 2. 符号比较规则 正数大于0，0大于负数，正数大于负数； 两个正数比较，绝对值大的数大； 两个负数比较，绝对值大的数反而小。 3. 大小关系总结：正数 > 0 > 负数。 一、正数与负数 1. 易错认知：带“−”号的数就是负数。 纠正：不一定。如−0不是负数，−a的正负由a决定，a为负数时，−a是正数。 2. 易错认知：0是正数。 纠正：0是非正非负的中性数，是唯一的中性有理数。 3. 易错点：混淆“相反意义的量”，忽略单位或意义不相反。 纠正：相反意义的量必须是同类量、意义完全相反，如“收入50元”和“支出30元”是相反意义的量，“收入50元”和“身高170cm”不是。 4. 易错点：认为无限小数是有理数。 纠正：只有无限循环小数是有理数，无限不循环小数（如π）不是有理数。 二、数轴 1. 易错点：画数轴缺少三要素、单位长度不统一、没有正方向箭头。 纠正：三要素必须完整，单位长度全程一致，正方向必须标注箭头。 2. 易错认知：数轴是射线。 纠正：数轴是直线，向两端无限延伸。 3. 易错认知：数轴上的点都是有理数。 纠正：数轴上的点与实数一一对应，除有理数外，还有无理数。 4. 易错点：标注数时正负位置颠倒。 纠正：右正左负，越往右数越大，越往左数越小。 三、相反数 1. 易错认知：相反数就是符号相反的数。 纠正：必须只有符号不同，数字本身完全相同，如2和−3不是相反数。 2. 易错点：认为0没有相反数。 纠正：0的相反数是0，是唯一相反数等于本身的数。 3. 易错化简：−(−a) = −a。 纠正：多重符号化简看负号个数，−(−a)=a，−(+a)=−a。 4. 易错认知：互为相反数的两个数一定一正一负。 纠正：0和0互为相反数，既不正也不负。 四、绝对值 1. 易错认知：绝对值等于本身的数是正数。 纠正：0的绝对值也是本身，所以是非负数。 2. 易错点：已知|x|=5，误认为x=5。 纠正：绝对值为正数的数有两个，互为相反数，x=5或x=−5。 3. 易错认知：绝对值越大，数越大。 纠正：仅正数成立；负数绝对值越大，数越小（如|−5|>|−2|，但−5<−2）。 4. 易错计算：化简负数绝对值出错，如|−3|=−3。 纠正：绝对值结果一定非负，|−3|=3。 5. 易错忽略非负性：若|a|+|b|=0，不会应用性质。 纠正：两个非负数相加为0，则各自为0，即a=0，b=0。 五、有理数大小比较 1. 易错点：两个负数比较大小，直接比绝对值。 纠正：负数比较大小，绝对值越大，数值越小，如−7 < −4。 2. 易错认知：最小的有理数是0。 纠正：没有最小的有理数，负数可以无限小；0是最小的非负数。 3. 易错认知：最大的负整数是−1。（易混淆考点） 纠正：该结论正确，−1是所有负整数中最大的，没有最小的负整数。 4. 易错点：多个数排序时忽略符号、混淆顺序。 纠正：先区分正负，正数最大、0居中、负数最小，负数再按绝对值反向排序。 【题型一】正数和负数 【例1】．（25-26七年级上·福建漳州·期中）在，0，，，2五个数中，负数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【例2】．（25-26七年级上·福建福州·期末）我国古代数学名著《九章算术》中已经用正负数来表示相反意义的量．若将向南行走5步记作“”，则“”表示（     ） A．向东行走7步 B．向南行走7步 C．向北行走7步 D．向西行走7步 【例3】．（25-26七年级上·宁夏固原·阶段检测）如果运进粮食记作：，那么运出粮食记作：_________． 【变式1】．（24-25七年级上·宁夏银川·期中）某品牌乒乓球的标准质量为2.7克，误差为克，下列取出的乒乓球中哪些是合格的？（    ） A．2.06克 B．3克 C．2克 D．2.72克 【变式2】．（22-23七年级上·全国·期末）一次考试中，得120分记为分，那么96分记为______；李明的成绩记为，那么他的实际得分______． 【变式3】．（25-26七年级上·全国·课后作业）下列各数，哪些是整数但不是正数，哪些是分数但不是负数？ 2，，0，，，，． 【变式4】．（25-26七年级上·全国·期末）如图，一只甲虫在的方格（每小格边长为）上沿着网格线运动，它从处出发去看望，，处的甲虫，规定：向上、向右走为正，向下、向左走为负．例如从到记为：，从到记为：，其中第一个数表示左右方向，第二个数表示上下方向． (1)图中 ， ， ； (2)若这只甲虫从处去处的行走路线依次为，，，，请在图中标出的位置． 【题型二】有理数的概念 【例4】．（24-25七年级上·福建龙岩·阶段检测）在数中，有理数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【例5】．（25-26七年级上·湖北武汉·阶段检测）下面关于0的说法，正确的个数是（    ） ①0既不是正数也不是负数；②0是最小的自然数；③0是最小的正数；④0是最小的非负数；⑤0既不是奇数也不是偶数． A．4 B．3 C．2 D．1 【例6】．（24-25七年级上·河南开封·阶段检测）在，这些数中，有理数有__________个． 【例7】．（25-26七年级上·湖南益阳·期中）有理数的分类 ，，，，，，，． 整数集合：（    ） 负有理数集合：（    ） 非负整数集合：（    ） 【变式1】．（25-26七年级上·重庆·期中）下列各数中：1，，2.8，，，是分数的有（   ）个 A．2 B．3 C．4 D．5 【变式2】．（25-26七年级上·河南南阳·阶段检测）在，，，，，中，非负数有（） A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 【变式3】．（25-26七年级上·全国·单元测试）下列关于“0”的说法正确的有________个． ①0是正数和负数的分界点；②0是正数；③0是自然数；④不存在既不是正数也不是负数的数；⑤0既是整数也是偶数；⑥0不是负数． 【变式4】．（24-25七年级上·四川达州·阶段检测）下列有理数中：12，，，，0，，，是非负数的有______个． 【变式5】．（24-25七年级上·河南开封·阶段检测）将下列各数填入适当的括号内： ，5，，，8.9，19， ，，0 有理数集：{                      …）； 整数集：{                  …}； 非正数集：{                       …}． 【题型三】数轴的三要素及其画法 【例8】．（24-25七年级上·云南·单元测试）下列数轴表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】．（25-26七年级上·辽宁大连·阶段检测）关于规范的数轴，下列说法正确的是（    ） A．无原点 B．无正方向 C．有原点、正方向、单位长度一致 D．正负标反 【变式2】．（23-24七年级上·江苏泰州·阶段检测）规定了原点、正方向和_____的直线叫做数轴． 【变式3】．（22-23七年级上·全国·课前预习）画数轴： ①画一条直线（一般水平方向），标出一点为原点，在原点下边标上“O”． ②规定正方向（一般规定从原点向右的方向为正），用箭头表示． ③选择适当的长度为单位长度． 【题型四】用数轴上的点表示有理数 【例9】．（25-26七年级上·浙江丽水·期末）如图，数轴上表示数1的点是（    ） A．M B．N C．P D．Q 【变式1】．（25-26七年级上·河北保定·期末）如图，圆的周长为个单位长度，在该圆的等分点处分别标上，，，，先让圆周上表示数字的点与数轴上表示的点重合，再将圆沿着数轴向右滚动，则数轴上表示的点与圆周上重合的点表示的数字是（   ） A． B． C． D． 【变式2】．（25-26七年级上·广东广州·阶段检测）点在数轴上，位于原点的右侧，距离原点5个单位长度，则此点对应数值为________． 【变式3】．（25-26七年级上·河南驻马店·期末）在数轴上表示下列各数：，，，，，，． 【题型五】利用数轴比较有理数的大小 【例10】．（24-25七年级上·云南德宏·期末）如图，数轴上的点 A，B，C，D所表示的数中最小的是（　　） A．点A B．点B C．点C D．点D 【变式1】．（25-26七年级上·福建宁德·期末）如图，数轴上四个点表示的有理数分别是a，b，c，d，则其中最小的有理数是（   ） A．a B．b C．c D．d 【变式2】．（25-26七年级上·湖南郴州·期末）有理数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示，那么a________b．（填“>”、“<”或“=”）． 【变式3】．（25-26七年级上·全国·课后作业）请在数轴上表示3.5，，0，并将它们按从小到大的顺序用“”连接起来． 【题型六】数轴上整点覆盖问题 【例11】．（2025七年级上·江苏泰州·专题练习）数轴上表示整数的点称为整点，某数轴的单位长度是，若在这个数轴上任意画出一条长为的线段，则线段盖住的整点个数为（    ） A．3个 B．4个 C．3个或4个 D．4个或5个 【变式1】．（25-26七年级上·山东临沂·期中）如图，是王老师在黑板上画的一个数轴，若王老师用直尺将数轴的一部分遮挡，则直尺遮挡的整数个数为（   ） A．26 B．25 C．24 D．23 【变式2】．（25-26七年级上·湖南岳阳·期中）如图，小明在写作业时不慎将墨水滴在数轴上，可以确定墨迹盖住的整数有________个． 【变式3】．（2025七年级上·广东广州·专题练习）若a为有理数，数轴上表示a与的点之间（不包含a与）共有2021个整数点，求a的取值范围___________． 【题型七】数轴上的规律探究 【例12】．（25-26七年级上·海南海口·期中）如图，把周长为3个单位长度的圆放到数轴（单位长度为上，，，三点将圆三等分，将点与数轴上表示1的点重合，然后将圆沿着数轴正方向滚动，依次为点与数轴上表示2的点重合，点与数轴上表示3的点重合，点与数轴上表示4的点重合，若当圆停止运动时点正好落到数轴上，则点对应的数轴上的数可能为（   ） A．2025 B．2024 C．2023 D．2022 【变式1】．（25-26七年级上·广东广州·期中）如图，等边三角形的周长为3个单位长度，三个顶点分别标上A、B、C，先将三角形如图位置摆放，将三角形沿着数轴向右翻滚，在翻滚过程中，下列数轴上的哪个数能与三角形上的重合（　　） A．2018 B．2019 C．2020 D．2021 【变式2】．（25-26七年级上·广东深圳·期中）如图，数轴上点A的初始位置表示的数为2，将点A做如下移动：第1次点A向左移动2个单位长度至点，第2次从点向右移动4个单位长度至点，第3次从点向左移动6个单位长度至点，…按照这种移动方式进行下去，如果点与原点的距离等于1114，那么n的值是________． 【变式3】．（25-26七年级上·江苏镇江·期末）如图，圆的周长为个单位长度，在该圆的四等分点处分别标上数字，，，，先让圆周上表示数字的点与数轴上表示的点重合，再将圆沿着数轴向右滚动，则数轴上表示的点与圆周上表示________的点重合． 【题型八】相反数 【例13】．（25-26七年级上·辽宁大连·阶段检测）下列各组数中互为相反数的是（    ） A． 和 B．和 C．和 D．和 【例14】．（2025七年级上·全国·专题练习）化简：_______． 【例15】．（25-26七年级上·全国·课后作业）请化简下列各数： ，，，． 【变式1】．（24-25七年级上·河南开封·阶段检测）下列各式中，化简正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】．（25-26七年级上·辽宁大连·阶段检测）的相反数是______． 【变式3】．（25-26七年级上·陕西西安·阶段检测）用“”，“”定义新运算：对于任意有理数，都有和．例如，，，则______． 【变式4】．（23-24七年级上·全国·课后作业）如图，图中数轴的单位长度为1.请回答下列问题：    (1)如果点，表示的数是互为相反数，那么原点对应的点是________； (2)如果点，表示的数是互为相反数，那么图中数轴上的5个点所对应的有理数为： 点 对应数 【题型九】绝对值 【例16】．（24-25七年级上·云南昆明·阶段检测）绝对值等于5的数是（    ） A．5 B． C．5或 D．0 【例17】．（25-26七年级上·甘肃·期末）若，一定是（　　） A．正数 B．负数 C．非正数 D．非负数 【例18】．（24-25七年级上·山东青岛·开学考试）绝对值不大于1的整数有____________． 【变式1】．（25-26七年级上·内蒙古巴彦淖尔·期末）如图，检测4个足球，其中超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，从轻重的角度看，最接近标准的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】．（25-26七年级上·广西桂林·期末）若，则______． 【变式3】．（25-26七年级上·全国·期末）检查5个篮球的质量，把超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，检查的结果如下表： 篮球编号 1 2 3 4 5 与标准质量的差/ (1)几号篮球最接近标准质量？ (2)如果对两个篮球作上述检查，检查的结果分别为和，请利用学过的绝对值的知识指出哪个篮球的质量好一些？ 【题型十】有理数的大小比较 【例19】．（2024·河北石家庄·模拟预测）下列四个数中，最小的数是（    ） A． B． C． D． 【例20】．（25-26七年级上·河南郑州·期末）三种液体在标准大气压下的沸点如表：其中沸点最低的液体是_________． 液体名称 液态氧 液态酒精 液态氨 沸点/℃ 78 【例21】．（25-26七年级上·广西崇左·阶段检测）将，，按从小到大的顺序排列起来． 【变式1】．（25-26七年级上·河南驻马店·期中）初中常用部分元素常见化合价如下表所示，其中化合价最小的元素是（   ） 元素 氧O 镁Mg 氯 铝 化合价 A．氧 B．镁 C．氯 D．铝 【变式2】．（25-26七年级上·宁夏吴忠·期末）比较大小：_______． 【变式3】．（22-23七年级上·广东汕头·期末）某年哈尔滨的月平均气温（）如下表所示： 月 月 月 月 月 月 月 月 月 月 月 月 请将月份按月平均气温从低到高的顺序重新排列． 1. 两个特殊：0非正非负，是分界数；0的相反数、绝对值都是0。 2. 数轴三要素：原点、正方向、单位长度，缺一不可，右大左小。 3. 相反数核心：符号相反、数值相同，和为0，几何上关于原点对称。 4. 绝对值核心：距离定义，结果非负；正数为本、负数为反、0为0。 5. 大小比较口诀：正数大于零，零大于负数；正数比绝对值，负数反向比。 6. 高频解题思路：遇数想数轴、遇符号化简、遇绝对值分类讨论、遇非负性直接归零。 一、单选题 1．8的相反数是（    ） A． B．8 C． D． 2．如图，数轴的单位长度为1，如果点表示的数是，那么点表示的数是（    ）    A．1 B．0 C． D．2 3．正负数可以表示一组具有相反意义的量，如果将小明在图书馆借书10本记作，那么还书5本可以记作（　　） A． B． C． D． 4．小宇同学在数轴上表示时，由于粗心，将画在了它相反数的位置并确定原点，要想把数轴画正确，原点应（    ） A．向左移6个单位 B．向右移6个单位 C．向左移3个单位 D．向右移3个单位 5．下列说法正确的是（    ） A．一个有理数不是正数就是负数 B．一个有理数不是整数就是分数 C．有理数是指整数、分数、正有理数、负有理数和0这五类 D．负有理数既是分数，又是负数 6．在这四个数中，最小的数是（    ） A． B． C．0 D． 7．下列各组有理数比较大小正确的是（    ） A． B． C． D． 8．有理数a，b满足a＞0，b＜0，，则下列结论正确的是（　　） A．﹣a＜b＜﹣b＜a B．b＜﹣a＜a＜﹣b C．﹣a＜﹣b＜b＜a D．b＜﹣a＜﹣b＜a 二、填空题 9．_____________． 10．若温度上升5℃记作，则温度下降9℃记作________℃． 11．比较大小：________．(填“”“”或“”) 12．有理数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，那么这三个数中绝对值最大的数是_____ ． 13．的相反数是________；的相反数是________；0的相反数是________． 14．写出一个与“盈利600元”构成具有相反意义的量：______． 15．如图，分别写出数轴上点A、B、C、D表示的数： A：__________B：__________C：__________D：__________． 三、解答题 16．请画一条数轴，并在数轴上标出表示下列各数的点： ，，1，0，3，． 17．在数轴上表示下列各题：并用“＜”号连接．3.5，，0，2，4， 18．国庆节上午，出租车司机小王在东西走向的锦绣大道上拉客，如果规定向东为正，向西为负，那么： (1)向东行和向西行各怎么表示？ (2)，各表示什么意思？ 19．比较下列各组数的大小： (1)和； (2)和． 20．把下列各数的序号填在相应的大括号内： ①12，②．③，④，⑤0，⑥，⑦3.14，⑧；⑨． (1)正有理数集合；｛____________________…｝ (2)负有理数集合：｛____________________…｝ (3)整数集合：｛____________________…｝ 21．如图，数轴上每个刻度为1个单位长度，点表示的数是． (1)在数轴上标出原点，并指出点所表示的数是__________； (2)补全数轴，并在数轴上表示下列各数，然后用“”号把这些数按从小到大连接起来． 2.5，，，． 22．一种实验器材的标准质量是15g，质检员抽查了7件样品的质量，把超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，结果记录如下表． 序号 1 2 3 4 5 6 7 与标准质量的差/g (1)哪件实验器材的质量最接近标准质量？ (2)如果规定误差的绝对值在0.8g（含0.8g）之内是合格品；误差的绝对值在（含1.0g）之间的是次品；误差的绝对值超过1.0g的视为废品，那么在上述7件样品中，哪些是合格品？哪些是次品？哪些是废品？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第01讲 有理数基础概念（核心知识+5易错辨析+10典例精讲+课后作业） 【知识点01】正数与负数 1. 定义：大于0的数叫做正数；在正数前面加上符号“−”（负号）的数叫做负数。 2. 0的特殊性：0既不是正数，也不是负数，是正数和负数的分界点。 3. 相反意义的量：生活中具有相反意义的量可以用正、负数表示。常见对应关系：上升/下降、收入/支出、盈利/亏损、向东/向西、零上/零下、增加/减少。 4. 有理数分类 按定义分：有理数分为整数（正整数、0、负整数）和分数（正分数、负分数）； 按符号分：有理数分为正有理数（正整数、正分数）、0、负有理数（负整数、负分数）。 注意：有限小数和无限循环小数都可以化为分数，属于有理数。 【知识点02】数轴 1. 定义：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。 2. 三要素（缺一不可） 原点：数轴上表示0的点； 正方向：通常规定向右为正方向（箭头向右）； 单位长度：统一的、固定的长度标准。 3. 数轴与有理数的关系：所有的有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的点不都表示有理数（还可以表示无理数）。 4. 分布规律：原点右侧的点表示正数，左侧的点表示负数，原点表示0。 【知识点03】相反数 1. 定义：只有符号不同的两个数叫做互为相反数。 2. 代数意义：a的相反数是−a；特别地，0的相反数是0。 3. 几何意义：在数轴上，表示互为相反数的两个点，位于原点两侧，且到原点的距离相等。 4. 性质：若a、b互为相反数，则a + b = 0；反之，若a + b = 0，则a、b互为相反数。 5. 多重符号化简规则：负号个数为偶数，结果为正；负号个数为奇数，结果为负。（奇负偶正） 【知识点04】绝对值 1. 定义：数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|。 2. 绝对值法则 正数的绝对值是它本身：若a > 0，则|a| = a； 负数的绝对值是它的相反数：若a < 0，则|a| = −a； 0的绝对值是0：若a = 0，则|a| = 0。 3. 核心性质（非负性）：任何数的绝对值都是非负数，即|a| ≥ 0。 4. 重要结论：绝对值等于本身的数是非负数（正数和0）；绝对值等于相反数的数是非正数（负数和0）。 5. 几何结论：绝对值越大，数轴上的点离原点越远。 【知识点05】有理数大小比较 1. 数轴比较法（通用方法）：在数轴上，右边的数总比左边的数大。 2. 符号比较规则 正数大于0，0大于负数，正数大于负数； 两个正数比较，绝对值大的数大； 两个负数比较，绝对值大的数反而小。 3. 大小关系总结：正数 > 0 > 负数。 一、正数与负数 1. 易错认知：带“−”号的数就是负数。 纠正：不一定。如−0不是负数，−a的正负由a决定，a为负数时，−a是正数。 2. 易错认知：0是正数。 纠正：0是非正非负的中性数，是唯一的中性有理数。 3. 易错点：混淆“相反意义的量”，忽略单位或意义不相反。 纠正：相反意义的量必须是同类量、意义完全相反，如“收入50元”和“支出30元”是相反意义的量，“收入50元”和“身高170cm”不是。 4. 易错点：认为无限小数是有理数。 纠正：只有无限循环小数是有理数，无限不循环小数（如π）不是有理数。 二、数轴 1. 易错点：画数轴缺少三要素、单位长度不统一、没有正方向箭头。 纠正：三要素必须完整，单位长度全程一致，正方向必须标注箭头。 2. 易错认知：数轴是射线。 纠正：数轴是直线，向两端无限延伸。 3. 易错认知：数轴上的点都是有理数。 纠正：数轴上的点与实数一一对应，除有理数外，还有无理数。 4. 易错点：标注数时正负位置颠倒。 纠正：右正左负，越往右数越大，越往左数越小。 三、相反数 1. 易错认知：相反数就是符号相反的数。 纠正：必须只有符号不同，数字本身完全相同，如2和−3不是相反数。 2. 易错点：认为0没有相反数。 纠正：0的相反数是0，是唯一相反数等于本身的数。 3. 易错化简：−(−a) = −a。 纠正：多重符号化简看负号个数，−(−a)=a，−(+a)=−a。 4. 易错认知：互为相反数的两个数一定一正一负。 纠正：0和0互为相反数，既不正也不负。 四、绝对值 1. 易错认知：绝对值等于本身的数是正数。 纠正：0的绝对值也是本身，所以是非负数。 2. 易错点：已知|x|=5，误认为x=5。 纠正：绝对值为正数的数有两个，互为相反数，x=5或x=−5。 3. 易错认知：绝对值越大，数越大。 纠正：仅正数成立；负数绝对值越大，数越小（如|−5|>|−2|，但−5<−2）。 4. 易错计算：化简负数绝对值出错，如|−3|=−3。 纠正：绝对值结果一定非负，|−3|=3。 5. 易错忽略非负性：若|a|+|b|=0，不会应用性质。 纠正：两个非负数相加为0，则各自为0，即a=0，b=0。 五、有理数大小比较 1. 易错点：两个负数比较大小，直接比绝对值。 纠正：负数比较大小，绝对值越大，数值越小，如−7 < −4。 2. 易错认知：最小的有理数是0。 纠正：没有最小的有理数，负数可以无限小；0是最小的非负数。 3. 易错认知：最大的负整数是−1。（易混淆考点） 纠正：该结论正确，−1是所有负整数中最大的，没有最小的负整数。 4. 易错点：多个数排序时忽略符号、混淆顺序。 纠正：先区分正负，正数最大、0居中、负数最小，负数再按绝对值反向排序。 【题型一】正数和负数 【例1】．（25-26七年级上·福建漳州·期中）在，0，，，2五个数中，负数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【知识点】正负数的定义 【分析】本题根据负数的定义，即小于0的数是负数，逐个判断给出的数，统计负数的个数即可得到答案． 【详解】解：根据负数的定义：小于0的数是负数. 是负数，既不是正数也不是负数， 是负数， 是正数， 是正数． ∴ 负数共有个． 因此答案选B． 【例2】．（25-26七年级上·福建福州·期末）我国古代数学名著《九章算术》中已经用正负数来表示相反意义的量．若将向南行走5步记作“”，则“”表示（     ） A．向东行走7步 B．向南行走7步 C．向北行走7步 D．向西行走7步 【答案】C 【知识点】相反意义的量 【详解】解：∵题目规定向南行走步记作， 又∵向南与向北是一对相反意义的方向， ∴表示向北行走步． 【例3】．（25-26七年级上·宁夏固原·阶段检测）如果运进粮食记作：，那么运出粮食记作：_________． 【答案】 【知识点】相反意义的量、正负数的实际应用 【详解】解：∵运进粮食记作，即运进记为正， ∴运出粮食记作． 【变式1】．（24-25七年级上·宁夏银川·期中）某品牌乒乓球的标准质量为2.7克，误差为克，下列取出的乒乓球中哪些是合格的？（    ） A．2.06克 B．3克 C．2克 D．2.72克 【答案】D 【知识点】正负数的实际应用 【分析】先根据标准质量及误差得出符合题意的范围，再判断答案即可． 【详解】解：∵乒乓球的标准质量为2.7克，且误差为， ∴， 所以乒乓球合格的范围是， 可知2.72克符合题意． 【变式2】．（22-23七年级上·全国·期末）一次考试中，得120分记为分，那么96分记为______；李明的成绩记为，那么他的实际得分______． 【答案】 88 分 【知识点】正负数的实际应用 【详解】解：∵得120分记为分 ∴100分记为0，超过100分的部分记为“+”，不足100分的部分记为“” ∴96分记为； 李明的成绩记为，则他的实际得分为：分． 【变式3】．（25-26七年级上·全国·课后作业）下列各数，哪些是整数但不是正数，哪些是分数但不是负数？ 2，，0，，，，． 【答案】0，是整数但不是正数；，是分数但不是负数 【知识点】正负数的定义 【分析】本题考查整数、正数、分数、负数的定义，熟练掌握有理数的分类是解题的关键．先从给定数中筛选出符合条件的整数，再筛选出符合条件的分数，注意区分整数和分数的定义，以及正负数的判断标准． 【详解】解：是整数但不是正数的有：0，； 是分数但不是负数的有：，． 【变式4】．（25-26七年级上·全国·期末）如图，一只甲虫在的方格（每小格边长为）上沿着网格线运动，它从处出发去看望，，处的甲虫，规定：向上、向右走为正，向下、向左走为负．例如从到记为：，从到记为：，其中第一个数表示左右方向，第二个数表示上下方向． (1)图中 ， ， ； (2)若这只甲虫从处去处的行走路线依次为，，，，请在图中标出的位置． 【答案】(1)，， (2)见解析 【知识点】正负数的实际应用 【分析】本题考查了正数、负数的意义，掌握“正负数可以用来表示相反意义的量”是解题的关键． （1）从，先向右走格，对应，再向上走格，对应；从开始先向左走格，再向下走格，到达处； （2）从开始先向右走格，向上走格，接着向右走格，向下走格，之后向左走格，向上走格，最后向左走格，向下走格，即可明确的位置． 【详解】（1）解：因为向上、向右走为正，向下、向左走为负， 所以到记为，到记为； （2）解：点位置如图所示： 【题型二】有理数的概念 【例4】．（24-25七年级上·福建龙岩·阶段检测）在数中，有理数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【知识点】有理数的定义 【分析】根据整数和分数统称有理数，无限循环小数属于有理数． 【详解】解：是分数，属于有理数； 是无限不循环小数，不属于有理数； 是无限不循环小数，不属于有理数； 是无限循环小数，可化为分数，属于有理数； 则有理数共有2个． 【例5】．（25-26七年级上·湖北武汉·阶段检测）下面关于0的说法，正确的个数是（    ） ①0既不是正数也不是负数；②0是最小的自然数；③0是最小的正数；④0是最小的非负数；⑤0既不是奇数也不是偶数． A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【知识点】0的意义 【分析】本题考查了零的意义、有理数的分类，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据相关知识点逐项判断即可． 【详解】解：∵0既不是正数也不是负数，∴①正确； ∵自然数包括0和正整数，且0是最小的自然数，∴②正确； ∵正数大于0，0不是正数，∴③错误； ∵非负数包括0和正数，0是最小的非负数，∴④正确； ∵0能被2整除，属于偶数，∴⑤错误． 综上，正确说法为①、②、④，共3个． 故选：B． 【例6】．（24-25七年级上·河南开封·阶段检测）在，这些数中，有理数有__________个． 【答案】8 【知识点】有理数的定义 【分析】本题主要考查了有理数的知识，依据有理数的定义，区分所给数中的有理数与无理数，再统计有理数的个数，有理数包含整数和分数，分数涵盖有限小数、无限循环小数，无理数为无限不循环小数． 【详解】解：有理数是整数（正整数、0、负整数）和分数的统称，分数包括有限小数、无限循环小数，无理数是无限不循环小数， 对所给数逐一判断： 在，这些数中， 是分数，属于有理数； 0是整数，属于有理数； 2021是正整数，属于有理数； 是分数，属于有理数； 可化为，是有限小数，属于有理数； 0.67是有限小数，属于有理数； 属于无理数； 是无限不循环小数，属于无理数； 是负整数，属于有理数； 是无限循环小数，属于有理数． 综上所述，有理数共有8个． 故答案为：8． 【例7】．（25-26七年级上·湖南益阳·期中）有理数的分类 ，，，，，，，． 整数集合：（    ） 负有理数集合：（    ） 非负整数集合：（    ） 【答案】 见解析 【知识点】有理数的分类、带“非”字的有理数 【分析】本题主要考查了有理数的分类，整数集合包括正整数、、负整数；负有理数集合包括负整数、负分数；非负整数包括正整数和． 【详解】解：整数集合：，，，； 负有理数集合：，，，； 非负整数集合：，． 【变式1】．（25-26七年级上·重庆·期中）下列各数中：1，，2.8，，，是分数的有（   ）个 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【知识点】有理数的分类 【分析】根据有理数分类中分数的定义判断各数，初中数学中有限小数和无限循环小数都属于分数，统计符合条件的数的个数即可得到答案． 【详解】解：1是整数，不是分数； 是负分数，属于分数； 是有限小数，可化为分数，属于分数； ，是整数，则不属于分数； ，是有限小数，可化为分数，则属于分数； 是无限循环小数，可化为分数，属于分数； 综上，属于分数的数共有个． 【变式2】．（25-26七年级上·河南南阳·阶段检测）在，，，，，中，非负数有（） A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 【答案】C 【知识点】带“非”字的有理数 【分析】本题考查非负数的概念，解题思路是先明确非负数的定义，非负数指大于或等于的数，包括和正数．再逐个判断给出的数，统计符合要求的数的个数即可． 【详解】解： ，，二者为负数，不符合要求． ，，，，四个数均满足大于或等于，属于非负数． 非负数共有个． 【变式3】．（25-26七年级上·全国·单元测试）下列关于“0”的说法正确的有________个． ①0是正数和负数的分界点；②0是正数；③0是自然数；④不存在既不是正数也不是负数的数；⑤0既是整数也是偶数；⑥0不是负数． 【答案】4 【知识点】0的意义、有理数的分类 【分析】本题考查了对数字0的认识，注意：负数都小于零，正数都大于零，零既不是正数也不是负数，整数包括正整数、零、负整数；零不仅表示没有，还表示一个介于负数与正数之间的一个数． 依据题意，零大于负数，小于正数，零既不是正数也不是负数，整数包括正整数、零、负整数，零是自然数，零是偶数，从而即可根据以上内容判断求解． 【详解】0是正数和负数的分界点，故①正确； 0既不是正数，也不是负数，故②错误，⑥正确； 0是自然数，故③正确； 存在既不是正数也不是负数的数，即0，故④错误； 0既是整数也是偶数，故⑤正确； 故答案为：4． 【变式4】．（24-25七年级上·四川达州·阶段检测）下列有理数中：12，，，，0，，，是非负数的有______个． 【答案】6 【知识点】有理数的分类、带“非”字的有理数 【分析】根据非负数的定义，找出题目中符合要求的数，统计其个数即可得到结果． 【详解】解：非负数为：，，，，，，共有个． 【变式5】．（24-25七年级上·河南开封·阶段检测）将下列各数填入适当的括号内： ，5，，，8.9，19， ，，0 有理数集：{                      …）； 整数集：{                  …}； 非正数集：{                       …}． 【答案】 5，，，8.9，19，，，0；5，，19，0；，，，0 【知识点】有理数的定义、有理数的分类 【分析】本题考查有理数的定义及分类，根据有理数的分类，即可解答． 【详解】解：有理数集：{5，，，8.9，19，，，0…} 整数集：{5，，19，0…} 非正数集：{，，，0…}． 【题型三】数轴的三要素及其画法 【例8】．（24-25七年级上·云南·单元测试）下列数轴表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】数轴的三要素及其画法 【分析】根据数轴的三要素即规定了原点，正方向，单位长度的直线叫做数轴，解答即可． 本题考查了数轴的三要素，熟练掌握数轴三要素是解题的关键． 【详解】 解：A． 单位长度不同， 该选项错误，不符合题意； B． 负数的标记位置错误， 该选项错误，不符合题意； C． 没有原点， 该选项错误，不符合题意； D． 表示正确， 该选项正确，符合题意； 故选：D． 【变式1】．（25-26七年级上·辽宁大连·阶段检测）关于规范的数轴，下列说法正确的是（    ） A．无原点 B．无正方向 C．有原点、正方向、单位长度一致 D．正负标反 【答案】C 【知识点】数轴的三要素及其画法 【分析】数轴的三要素为原点、正方向、统一的单位长度，只有同时满足三要素才是规范的数轴，据此判断各选项即可． 【详解】解：A．缺少原点，不符合要求，故A错误； B．缺少正方向，不符合要求，故B错误； C．具备原点、正方向，且单位长度一致，符合数轴定义，故C正确； D．正负方向标错，不符合要求，故D错误． 【变式2】．（23-24七年级上·江苏泰州·阶段检测）规定了原点、正方向和_____的直线叫做数轴． 【答案】单位长度 【知识点】数轴的三要素及其画法 【分析】根据数轴的定义，作答即可． 【详解】解：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴； 故答案为：单位长度． 【点睛】本题考查数轴的定义，牢记数轴的三要素：原点，单位长度，正方向，是解题的关键． 【变式3】．（22-23七年级上·全国·课前预习）画数轴： ①画一条直线（一般水平方向），标出一点为原点，在原点下边标上“O”． ②规定正方向（一般规定从原点向右的方向为正），用箭头表示． ③选择适当的长度为单位长度． 【答案】①见解析；②见解析；③见解析 【知识点】数轴的三要素及其画法 【详解】解:作图如下： 【题型四】用数轴上的点表示有理数 【例9】．（25-26七年级上·浙江丽水·期末）如图，数轴上表示数1的点是（    ） A．M B．N C．P D．Q 【答案】C 【知识点】用数轴上的点表示有理数 【详解】解：数轴上表示数1的点是点P． 故选：C． 【变式1】．（25-26七年级上·河北保定·期末）如图，圆的周长为个单位长度，在该圆的等分点处分别标上，，，，先让圆周上表示数字的点与数轴上表示的点重合，再将圆沿着数轴向右滚动，则数轴上表示的点与圆周上重合的点表示的数字是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】用数轴上的点表示有理数 【分析】本题考查了数轴上数字类的规律探索，关键是找出圆滚动的规律与数轴上的数字的对应关系；圆沿着数轴每向右滚动一圈后，都向右前进个单位长度，那么每一圈的滚动过程中数轴上从开始的整数分别对应圆上的、、、，据此规律求解即可． 【详解】解：由图可知，数轴上表示的数字与圆上表示的点重合， 数轴上表示的点与圆上表示的点重合， 数轴上表示的点与圆上表示的点重合， 数轴上表示的点与圆上表示的点重合， 数轴上表示的点与圆上表示的点重合， ∴数轴上的数从开始每个一循环，分别与圆上的、、、重合， ∵， ∴数轴上表示的数与圆上表示的点重合， 故选：A ． 【变式2】．（25-26七年级上·广东广州·阶段检测）点在数轴上，位于原点的右侧，距离原点5个单位长度，则此点对应数值为________． 【答案】 【知识点】用数轴上的点表示有理数 【详解】解：数轴上原点的右侧5个单位长度的点对应数值为5． 【变式3】．（25-26七年级上·河南驻马店·期末）在数轴上表示下列各数：，，，，，，． 【答案】见解析 【知识点】用数轴上的点表示有理数 【分析】本题考查了用数轴表示出有理数，画出数轴在数轴上表示出各数即可． 【详解】解：画出数轴并在数轴上表示出各数如图所示： 【题型五】利用数轴比较有理数的大小 【例10】．（24-25七年级上·云南德宏·期末）如图，数轴上的点 A，B，C，D所表示的数中最小的是（　　） A．点A B．点B C．点C D．点D 【答案】D 【知识点】利用数轴比较有理数的大小 【分析】一般地，数轴上左边的点表示的数总比右边的点表示的数要小． 【详解】解：∵在这个数轴上，正方向向右，且点位于最左边， ∴在这四个点中，点表示的数最小． 【变式1】．（25-26七年级上·福建宁德·期末）如图，数轴上四个点表示的有理数分别是a，b，c，d，则其中最小的有理数是（   ） A．a B．b C．c D．d 【答案】A 【知识点】用数轴上的点表示有理数、利用数轴比较有理数的大小 【分析】本题考查了数轴上有理数的大小比较，解题的关键是理解数轴上的点从左到右表示的数依次增大． 根据数轴上点的位置，判断出四个数的大小关系，即可确定最小的有理数． 【详解】解：在数轴上，点的位置从左到右依次为a，b，0，c，d， 因此对应的有理数大小关系为． 所以最小的有理数是a． 故选：A． 【变式2】．（25-26七年级上·湖南郴州·期末）有理数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示，那么a________b．（填“>”、“<”或“=”）． 【答案】< 【知识点】利用数轴比较有理数的大小 【分析】本题主要考查的是数轴以及有理数大小比较．数轴上的有理数的大小关系为：数轴上原点左边的数都小于0，右边的数都大于0，右边的数总大于左边的数．根据数轴以及有理数大小比较的规律即可求解，即数轴上的有理数的大小关系为：数轴上右边的数总大于左边的数． 【详解】解：因为数轴上右边表示的数总比左边的数大，故． 故答案为：<． 【变式3】．（25-26七年级上·全国·课后作业）请在数轴上表示3.5，，0，并将它们按从小到大的顺序用“”连接起来． 【答案】见解析 【知识点】用数轴上的点表示有理数、利用数轴比较有理数的大小 【分析】本题主要考查了在数轴上表示数，利用数轴比较有理数的大小，正确掌握在数轴上表示数的方法是解题的关键． 【详解】解：如图所示： 由图可知：． 【题型六】数轴上整点覆盖问题 【例11】．（2025七年级上·江苏泰州·专题练习）数轴上表示整数的点称为整点，某数轴的单位长度是，若在这个数轴上任意画出一条长为的线段，则线段盖住的整点个数为（    ） A．3个 B．4个 C．3个或4个 D．4个或5个 【答案】D 【知识点】数轴上整点覆盖问题 【分析】本题考查了数轴，解题的关键是掌握数轴知识．利用数轴知识解答． 【详解】解：当起点在整点时，盖住的整点个数为； 当起点不在整点时，设线段的区间为，其中a不是整数，则盖住的整点个数为． 线段盖住的整点个数为4或5． 故选：D． 【变式1】．（25-26七年级上·山东临沂·期中）如图，是王老师在黑板上画的一个数轴，若王老师用直尺将数轴的一部分遮挡，则直尺遮挡的整数个数为（   ） A．26 B．25 C．24 D．23 【答案】B 【知识点】数轴上整点覆盖问题 【分析】本题考查了数轴的概念以及整数的范围确定．确定遮挡的整数范围是解题的关键． 数轴是一条规定了原点、正方向和单位长度的直线． 遮挡的区间是到，数出该区间的整数即可解答． 【详解】解：到之间的整数有个， 故选B． 【变式2】．（25-26七年级上·湖南岳阳·期中）如图，小明在写作业时不慎将墨水滴在数轴上，可以确定墨迹盖住的整数有________个． 【答案】8 【知识点】数轴上整点覆盖问题 【分析】本题主要考查了数轴，解题的关键是熟练掌握数轴的定义．观察数轴得墨迹盖住的整数有，即可． 【详解】解：根据图中数值，确定墨迹盖住的整数有，共8个， 故答案为：8． 【变式3】．（2025七年级上·广东广州·专题练习）若a为有理数，数轴上表示a与的点之间（不包含a与）共有2021个整数点，求a的取值范围___________． 【答案】或 【知识点】数轴上整点覆盖问题 【分析】本题考查了数轴的整数点覆盖问题，数形结合是解题的关键．根据题意，可知a与关于原点对称，那么除了原点，还有2020个整数点，0的左边有1010个，0的右边有1010个，从而推出a的取值范围． 【详解】解：数轴上表示a与的点之间（不包含a与）共有2021个整数点，a与关于原点对称， ∴除了原点，还有2020个整数点，0的左边有1010个，0的右边有1010个， ∵不包含a与， ∴或， 故答案为：或． 【题型七】数轴上的规律探究 【例12】．（25-26七年级上·海南海口·期中）如图，把周长为3个单位长度的圆放到数轴（单位长度为上，，，三点将圆三等分，将点与数轴上表示1的点重合，然后将圆沿着数轴正方向滚动，依次为点与数轴上表示2的点重合，点与数轴上表示3的点重合，点与数轴上表示4的点重合，若当圆停止运动时点正好落到数轴上，则点对应的数轴上的数可能为（   ） A．2025 B．2024 C．2023 D．2022 【答案】B 【知识点】数轴上的规律探究 【分析】本题主要考查数轴，以及找规律问题，找到圆的滚动规律是解题的关键．根据圆的滚动规律可知3次一个循环，将各选项中的数字除以3，根据余数可判定求解． 【详解】解：由题意得：圆沿着数轴正方向滚动一次按点，点，点的顺序排列， 即圆的滚动规律为3次一个循环，则： ，所以此时点正好落在数轴上； ，所以此时点正好落在数轴上； ，所以此时点正好落在数轴上； ，所以此时点正好落在数轴上； 点对应的数轴上的数可能为2024. 故选：B． 【变式1】．（25-26七年级上·广东广州·期中）如图，等边三角形的周长为3个单位长度，三个顶点分别标上A、B、C，先将三角形如图位置摆放，将三角形沿着数轴向右翻滚，在翻滚过程中，下列数轴上的哪个数能与三角形上的重合（　　） A．2018 B．2019 C．2020 D．2021 【答案】B 【知识点】数轴上的规律探究 【分析】本题考查了利用数轴上的点表示有理数、图形类规律探索，由题意可得，由等边三角形上重合的点以3个字母循环出现，第一个为B，第二个为C，第三个为A.，再根据各个选项逐项判断即可得解． 【详解】解：由等边三角形上重合的点以3个字母循环出现，第一个为B，第二个为C，第三个为A. A、，，故与三角形上的A重合，不符合题意； B、，，故2019与三角形上的B重合，符合题意； C、，，故2020与三角形上的C重合，不符合题意； D、，，故与三角形上的A重合，不符合题意； 故选：B． 【变式2】．（25-26七年级上·广东深圳·期中）如图，数轴上点A的初始位置表示的数为2，将点A做如下移动：第1次点A向左移动2个单位长度至点，第2次从点向右移动4个单位长度至点，第3次从点向左移动6个单位长度至点，…按照这种移动方式进行下去，如果点与原点的距离等于1114，那么n的值是________． 【答案】或/1112或1115 【知识点】数轴上的规律探究 【分析】本题考查了数轴上的动点问题．根据点的运动情况，可知第奇数次移动的点表示的数是，第偶数次移动的点表示的数是，再分两种情况分别求n的值即可． 【详解】解：∵第1次点A向左移动2个单位长度至点，第2次从点向右移动4个单位长度至点，第3次从点向左移动6个单位长度至点，…， ∴第奇数次移动的点表示的数是， 第偶数次移动的点表示的数是， ∵点与原点的距离等于， ∴当n是奇数时， ，解得， 当n是偶数时， ，解得， 故答案为：或． 【变式3】．（25-26七年级上·江苏镇江·期末）如图，圆的周长为个单位长度，在该圆的四等分点处分别标上数字，，，，先让圆周上表示数字的点与数轴上表示的点重合，再将圆沿着数轴向右滚动，则数轴上表示的点与圆周上表示________的点重合． 【答案】 【知识点】数轴上的规律探究 【分析】本题考查了数轴，解决本题的关键是找出圆滚动的规律与数轴上的数字的对应关系，表示圆从数轴上表示的位置开始滚动了周，又滚动了个单位长度，所以数轴上表示的数与圆上表示的点重合． 【详解】解：由图可知，数轴上表示的数字与圆上表示的点重合， 数轴上表示的点与圆上表示的点重合， 数轴上表示的点与圆上表示的点重合， 数轴上表示的点与圆上表示的点重合， 数轴上表示的点与圆上表示的点重合， 数轴上的数从开始每个一循环，分别与圆上的、、、重合， ， 表示圆在数轴上滚动了个循环，第个循环滚动了个数， 数轴上表示的数与圆上表示的点重合． 故答案为：． 【题型八】相反数 【例13】．（25-26七年级上·辽宁大连·阶段检测）下列各组数中互为相反数的是（    ） A． 和 B．和 C．和 D．和 【答案】C 【知识点】相反数的定义 【分析】化简各选项中的数后，根据“只有符号不同的两个数互为相反数”判断即可． 【详解】解：选项A中，，两个数相等，不满足相反数定义，A不符合要求； 选项B中，和绝对值不相等，不满足相反数定义，B不符合要求； 选项C中，，和只有符号不同，满足相反数的定义，C符合要求； 选项D中，和符号相同，不满足相反数定义，D不符合要求． 【例14】．（2025七年级上·全国·专题练习）化简：_______． 【答案】 【知识点】化简多重符号 【分析】本题考查了化简多重符号．从内向外依次计算括号内的表达式，利用负负得正的规则进行化简． 【详解】解：， 故答案为：． 【例15】．（25-26七年级上·全国·课后作业）请化简下列各数： ，，，． 【答案】；，， 【知识点】化简多重符号 【分析】本题主要考查了化简多重符号．根据同号为正，异号为负进行化简即可． 【详解】解：；，，． 【变式1】．（24-25七年级上·河南开封·阶段检测）下列各式中，化简正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】化简多重符号 【分析】本题考查相反数的化简规则，依据“负负得正、正负得负、正正得正”的符号化简法则，对各选项逐一判断即可． 【详解】解：A. 负负得正，故，选项A化简正确，符合题意； B. 正负得负，故，选项B化简错误，不符合题意； C. 正号不改变数的符号，故，选项C化简错误，不符合题意； D. 先化简内层，，再化简外层，，故， 选项D化简错误，不符合题意． 故选：A． 【变式2】．（25-26七年级上·辽宁大连·阶段检测）的相反数是______． 【答案】0.4/ 【知识点】相反数的定义 【详解】解：的相反数是． 【变式3】．（25-26七年级上·陕西西安·阶段检测）用“”，“”定义新运算：对于任意有理数，都有和．例如，，，则______． 【答案】 【知识点】相反数的应用 【分析】本题考查了有理数的新定义运算，相反数的定义，根据新定义可得，，进而即可求解，理解新定义是解题的关键． 【详解】解：由题意得，，， ∴， 故答案为：． 【变式4】．（23-24七年级上·全国·课后作业）如图，图中数轴的单位长度为1.请回答下列问题：    (1)如果点，表示的数是互为相反数，那么原点对应的点是________； (2)如果点，表示的数是互为相反数，那么图中数轴上的5个点所对应的有理数为： 点 对应数 【答案】(1)C (2)见解析 【知识点】相反数的定义、相反数的应用 【分析】（1）互为相反数的两个数到原点的距离相等，据此可知原点在点，的正中间，据此作答即可； （2）根据（1）的方法找到原点，问题随之得解． 【详解】（1）如果点，表示的数是互为相反数， 那么原点在线段的中点，即为点， 故答案为：C （2）如果点，表示的数是互为相反数， 原点就应该是线段的中点﹐即在点右边一格， 各点表示的数见下表： 点 对应数 【点睛】本题考查了相反数的定义，掌握互为相反数的两个数到原点的距离相等，是解答本题的关键． 【题型九】绝对值 【例16】．（24-25七年级上·云南昆明·阶段检测）绝对值等于5的数是（    ） A．5 B． C．5或 D．0 【答案】C 【知识点】求一个数的绝对值 【详解】解：绝对值等于5的数是5或． 【例17】．（25-26七年级上·甘肃·期末）若，一定是（　　） A．正数 B．负数 C．非正数 D．非负数 【答案】C 【知识点】绝对值非负性 【分析】本题考查绝对值的性质．根据绝对值的定义分析a的取值范围即可求解． 【详解】解：∵ ∴ ∴ 即a一定是非正数． 故选：C 【例18】．（24-25七年级上·山东青岛·开学考试）绝对值不大于1的整数有____________． 【答案】 【知识点】求一个数的绝对值 【分析】根据绝对值的意义，明确绝对值不大于1即为绝对值小于或等于1，找出该范围内的所有整数即可． 【详解】解：设这个整数为，根据题意可得： ， 去绝对值得， 又因为是整数，因此满足条件的整数为． 【变式1】．（25-26七年级上·内蒙古巴彦淖尔·期末）如图，检测4个足球，其中超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，从轻重的角度看，最接近标准的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】绝对值的其他应用 【分析】比较四个足球上方的数的绝对值的大小，即可得出结论． 【详解】解：∵，，，，， ∴， ∴最接近标准的是选项C足球． 【变式2】．（25-26七年级上·广西桂林·期末）若，则______． 【答案】 【知识点】绝对值的几何意义 【分析】本题考查绝对值的定义，掌握该知识点是解题的关键． 根据绝对值的定义，一个数的绝对值表示它到原点的距离，因此当绝对值等于一个正数时，该数可以是正数或负数． 【详解】解：由绝对值的性质，若（其中），则或． 本题中， 所以或． 故答案为：． 【变式3】．（25-26七年级上·全国·期末）检查5个篮球的质量，把超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，检查的结果如下表： 篮球编号 1 2 3 4 5 与标准质量的差/ (1)几号篮球最接近标准质量？ (2)如果对两个篮球作上述检查，检查的结果分别为和，请利用学过的绝对值的知识指出哪个篮球的质量好一些？ 【答案】(1)3号篮球最接近标准质量 (2)的篮球的质量好一些 【知识点】正负数的实际应用、绝对值的其他应用 【分析】本题主要考查正负数，绝对值的运用，理解题意是关键． （1） 利用绝对值比较大小，值越小，越接近； （2）利用绝对值比较大小，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴3号篮球最接近标准质量． （2）解：∵， ∴结果为的篮球的质量好一些． 【题型十】有理数的大小比较 【例19】．（2024·河北石家庄·模拟预测）下列四个数中，最小的数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】有理数大小比较 【分析】本题考查有理数的大小比较，利用有理数大小比较法则即可求解，负数小于0和正数，两个负数比较，绝对值更大的数更小． 【详解】解：∵根据有理数大小比较法则，所有负数小于0，0小于正数 ∴排除正数A选项的和C选项的，只需比较两个负数和 ∵，，且 ∴ 可得四个数大小关系为 ∴最小的数是． 【例20】．（25-26七年级上·河南郑州·期末）三种液体在标准大气压下的沸点如表：其中沸点最低的液体是_________． 液体名称 液态氧 液态酒精 液态氨 沸点/℃ 78 【答案】液态氧 【知识点】有理数大小比较的实际应用 【分析】本题考查正数和负数，根据有理数的大小比较方法，比较三种液体的沸点温度． 【详解】解：由表可知，液态氧的沸点为，液态酒精的沸点为，液态氨的沸点为． 由于， 因此液态氧的沸点最低． 故答案为：液态氧． 【例21】．（25-26七年级上·广西崇左·阶段检测）将，，按从小到大的顺序排列起来． 【答案】 【知识点】有理数大小比较 【分析】本题考查有理数比较大小，掌握相关知识是解决问题的关键。负数比较时，绝对值大的负数反而小。 【详解】解　，， ， ∴， 按从小到大的顺序排列起来为． 【变式1】．（25-26七年级上·河南驻马店·期中）初中常用部分元素常见化合价如下表所示，其中化合价最小的元素是（   ） 元素 氧O 镁Mg 氯 铝 化合价 A．氧 B．镁 C．氯 D．铝 【答案】A 【知识点】有理数大小比较的实际应用 【分析】本题考查了有理数大小比较的应用．负数小于正数；两个负数，绝对值大的反而小，据此解答． 【详解】解：∵， ∴化合价最小的元素是氧． 故选：A 【变式2】．（25-26七年级上·宁夏吴忠·期末）比较大小：_______． 【答案】 【知识点】有理数大小比较 【详解】解：，，且 ， ． 【变式3】．（22-23七年级上·广东汕头·期末）某年哈尔滨的月平均气温（）如下表所示： 月 月 月 月 月 月 月 月 月 月 月 月 请将月份按月平均气温从低到高的顺序重新排列． 【答案】见解析 【知识点】有理数大小比较的实际应用 【分析】本题主要考查了有理数的大小比较．比较有理数的大小的方法有两种：()利用数轴直观比较有理数的大小．数轴上，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大；正数大于，负数小于，正数大于负数；()利用绝对值的知识比较有理数的大小：①两个正数，绝对值大的正数大；②两个负数，绝对值大的负数反而小． 【详解】解：∵， ∴月份气温由低到高排列如下图所示： 4.1 6.0 14.2 14.7 19.7 21.3 22.3 月 月 月 月 月 10月 月 月 月 月 月 月 1. 两个特殊：0非正非负，是分界数；0的相反数、绝对值都是0。 2. 数轴三要素：原点、正方向、单位长度，缺一不可，右大左小。 3. 相反数核心：符号相反、数值相同，和为0，几何上关于原点对称。 4. 绝对值核心：距离定义，结果非负；正数为本、负数为反、0为0。 5. 大小比较口诀：正数大于零，零大于负数；正数比绝对值，负数反向比。 6. 高频解题思路：遇数想数轴、遇符号化简、遇绝对值分类讨论、遇非负性直接归零。 一、单选题 1．8的相反数是（    ） A． B．8 C． D． 【答案】A 【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数进行解答即可得． 【详解】解：8的相反数是， 故选A． 【点睛】本题考查了相反数的定义，掌握相反数的定义是解题的关键． 2．如图，数轴的单位长度为1，如果点表示的数是，那么点表示的数是（    ）    A．1 B．0 C． D．2 【答案】D 【分析】本题考查的是利用数轴表示有理数，理解数轴的有理数的表示方法是解本题的关键． 【详解】解：数轴的单位长度为1，如果点表示的数是，那么点表示的数是； 故选D 3．正负数可以表示一组具有相反意义的量，如果将小明在图书馆借书10本记作，那么还书5本可以记作（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查正数和负数，理解具有相反意义的量是解题的关键．正数和负数是一组具有相反意义的量，据此即可求得答案． 【详解】解：借书10本记作，那么还书5本可以记作， 故选：C． 4．小宇同学在数轴上表示时，由于粗心，将画在了它相反数的位置并确定原点，要想把数轴画正确，原点应（    ） A．向左移6个单位 B．向右移6个单位 C．向左移3个单位 D．向右移3个单位 【答案】B 【分析】根据互为相反数的两个数到原点的距离相等解答． 【详解】解：∵的相反数是3，与3到原点的距离相等， ∴要想把数轴画正确，原点应向右移6个单位． 故选：B． 【点睛】本题考查了相反数的定义，数轴，熟练掌握互为相反数的两个数到原点的距离相等是解题的关键． 5．下列说法正确的是（    ） A．一个有理数不是正数就是负数 B．一个有理数不是整数就是分数 C．有理数是指整数、分数、正有理数、负有理数和0这五类 D．负有理数既是分数，又是负数 【答案】B 【分析】本题考查有理数的分类和相关定义，熟练掌握有理数的相关定义是解题的关键．利用有理数的相关定义逐一判断即可． 【详解】解：A中，一个有理数如果不是正数，那么可能是负数或0，选项错误，故不符合题意； B中，一个有理数不是整数就是分数，选项正确，故符合题意； C中，有理数是可以分为整数、分数两类；也可以分为正有理数、负有理数和0三类，故选项错误，故不符合题意； D中，负有理数是负数，可能是分数，也可能是整数，故选项错误，故不符合题意； 故选：B． 6．在这四个数中，最小的数是（    ） A． B． C．0 D． 【答案】A 【分析】依据比较有理数大小的法则进行比较即可． 【详解】解：∵，是负数， ∴它们小于0和； 又∵， ∴， ∴， ∴最小． 故选A． 【点睛】本题考查了有理数大小的比较，正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数，两个负数比较大小，其绝对值大的反而小． 7．下列各组有理数比较大小正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是有理数的大小比较，即正数都大于0；负数都小于0；正数大于一切负数； 两个负数，绝对值大的其值反而小．根据有理数比较大小的法则对各选项进行比较即可． 【详解】解：A、，故本选项不符合题意； B、因为，，，所以，故本选项不符合题意； C、因为，，所以，故本选项符合题意； D、因为，，，所以，故本选项不符合题意； 故选：C. 8．有理数a，b满足a＞0，b＜0，，则下列结论正确的是（　　） A．﹣a＜b＜﹣b＜a B．b＜﹣a＜a＜﹣b C．﹣a＜﹣b＜b＜a D．b＜﹣a＜﹣b＜a 【答案】B 【分析】结合绝对值的性质以及数轴的性质，通过数轴比较即可． 【详解】解：∵，，， ∴在数轴上表示出，， 然后根据相反数的定义分别表示出，对应的位置，如图所示： 由数轴的性质可得：， 故选：B． 【点睛】本题考查有理数的绝对值，利用数轴比较大小等知识点，掌握利用数轴的方法比较有理数的大小关心是解题关键． 二、填空题 9．_____________． 【答案】/ 【分析】先判断的正负性，再根据绝对值的性质化简即可得到结果. 【详解】解：∵， ∴. 10．若温度上升5℃记作，则温度下降9℃记作________℃． 【答案】 【分析】本题考查正负数表示具有相反意义的量，已知温度上升记为正数，可得温度下降记为负数，据此即可求解． 【详解】解： 温度上升记作， 温度下降记作． 11．比较大小：________．(填“”“”或“”) 【答案】 【分析】本题考查有理数的大小比较，涉及相反数与绝对值的化简，先化简两个数，再根据两个负数比较大小，绝对值越大的负数越小的规则进行比较即可． 【详解】解：先化简两个数，． 计算两个数的绝对值，． 因为，可得， 根据两个负数比较大小，绝对值大的数反而小，可得，即． 12．有理数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，那么这三个数中绝对值最大的数是_____ ． 【答案】b 【分析】观察数轴上a、b、c三点到原点的距离，距离原点最远的数即为绝对值最大的数． 【详解】解：观察数轴上a、b、c三点到原点的距离，点b到原点O的距离最长，点a次之，点c最短． ∴绝对值最大的是b． 13．的相反数是________；的相反数是________；0的相反数是________． 【答案】 2 0 【分析】根据相反数的定义进行求解即可． 【详解】解：的相反数是2，的相反数是，0的相反数是0， 故答案为：2；；0． 【点睛】本题主要考查了求一个数的相反数，熟知相反数的定义是解题的关键：只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0． 14．写出一个与“盈利600元”构成具有相反意义的量：______． 【答案】亏损元（答案不唯一） 【分析】本题考查了正数和负数的意义，在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． 【详解】解：盈利600元与亏损元具有相反意义 ， 故答案为：亏损元（答案不唯一）． 15．如图，分别写出数轴上点A、B、C、D表示的数： A：__________B：__________C：__________D：__________． 【答案】 【分析】根据数轴上点A、B、C、D的位置，得出点分别表示的数． 此题主要考查了数轴上的点表示的数，熟练掌握数轴上的点表示的数的特点，是解决问题的关键． 【详解】点A在原点的右侧，且到原点2个单位，因此点A所表示的数为：2； 点B在原点的左侧，且到原点4个单位，因此点B所表示的数为：； 点C在原点的左侧，且到原点大约2.5个单位，因此点C所表示的数为：； 点D在原点的左侧，且到原点大约0.8个单位，因此点D所表示的数为：； 故答案为：2，，，． 三、解答题 16．请画一条数轴，并在数轴上标出表示下列各数的点： ，，1，0，3，． 【答案】答案见解析 【分析】本题主要考查了在数轴上表示数，直接将数表示在数轴上即可． 【详解】解：如图所示： 17．在数轴上表示下列各题：并用“＜”号连接．3.5，，0，2，4， 【答案】解：在数轴上表示各数如图， 用“＜”号连接：， 【详解】略 18．国庆节上午，出租车司机小王在东西走向的锦绣大道上拉客，如果规定向东为正，向西为负，那么： (1)向东行和向西行各怎么表示？ (2)，各表示什么意思？ 【答案】(1)向东行用表示，向西行用表示 (2)表示向东行，表示向西行 【分析】本题考查了正数和负数的意义，在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． （1）根据规定向东为正，向西为负，即可求解； （2）根据规定向东为正，向西为负，即可求解． 【详解】（1）解：规定向东为正，向西为负，向东行用表示，向西行用表示， （2）解：表示向东行，表示向西行 19．比较下列各组数的大小： (1)和； (2)和． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是有理数的大小比较，求解绝对值； （1）先求解两数的绝对值，再根据两个负数绝对值大的反而小可得答案； （2）先化简各数，再根据正数大于负数即可比较大小． 【详解】（1）解：∵，，， ∴； （2）解：∵，， ∴ ∴． 20．把下列各数的序号填在相应的大括号内： ①12，②．③，④，⑤0，⑥，⑦3.14，⑧；⑨． (1)正有理数集合；｛____________________…｝ (2)负有理数集合：｛____________________…｝ (3)整数集合：｛____________________…｝ 【答案】(1)①，④，⑦，⑨ (2)②，③，⑥ (3)①，③，⑤ 【分析】根据正有理数、负有理数、整数的定义对各数逐一分类即可． 【详解】（1）解：π是无限不循环小数，不属于有理数，正有理数是大于0的有理数， 因此正有理数集合：｛①，④，⑦，⑨…｝. （2）解：负有理数是小于0的有理数，因此负有理数集合：｛②，③，⑥，…｝； （3）解：整数包括正整数，0和负整数，因此整数集合：｛①，③，⑤，…｝． 21．如图，数轴上每个刻度为1个单位长度，点表示的数是． (1)在数轴上标出原点，并指出点所表示的数是__________； (2)补全数轴，并在数轴上表示下列各数，然后用“”号把这些数按从小到大连接起来． 2.5，，，． 【答案】(1)；4； (2)， 【分析】（1）根据点A表示即可得原点位置，进一步得到点B所表示的数； （2）先化简，，再在数轴上确定表示各数的点的位置，最后根据在数轴上右边的数总比左边的数大，用“”号把这些数连接起来即可． 【详解】（1）略 （2）略 22．一种实验器材的标准质量是15g，质检员抽查了7件样品的质量，把超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，结果记录如下表． 序号 1 2 3 4 5 6 7 与标准质量的差/g (1)哪件实验器材的质量最接近标准质量？ (2)如果规定误差的绝对值在0.8g（含0.8g）之内是合格品；误差的绝对值在（含1.0g）之间的是次品；误差的绝对值超过1.0g的视为废品，那么在上述7件样品中，哪些是合格品？哪些是次品？哪些是废品？ 【答案】(1)6号实验器材的质量最接近标准质量； (2)2号，4号，6号，7号是合格品；3号是次品；1号，5号是废品． 【分析】本题考查比较有理数大小的实际应用，求一个数的绝对值： （1）找到与标准质量的差的绝对值最小的序号即可； （2）根据规定，进行判断即可． 【详解】（1）解：， ∴6号实验器材的质量最接近标准质量； （2）∵ ∴2号，4号，6号，7号是合格品； ∵， ∴3号是次品； ∵，， ∴1号，5号是废品. 1 学科网（北京）股份有限公司 $