第03讲 有理数的乘法与除法 期考讲义专项 2026-2027学年苏科版七年级数学上册

本初中数学讲义聚焦有理数的乘法与除法，系统梳理乘法法则（两数及多个数相乘）、运算律（交换律、结合律、分配律）、倒数性质、除法法则（通用与转化法则）及乘除混合运算规则，构建从基础到综合的知识支架。 该资料通过6个易错辨析（如符号判断、运算顺序）突破难点，13个典例题型（含实际应用、密码问题、数轴翻折）融合生活情境，培养抽象能力与应用意识。课中变式训练提升运算能力，课后分层作业助力学生查漏补缺，强化知识应用。

第03讲 有理数的乘法与除法（核心知识+6易错辨析+13典例精讲+课后作业） 【知识点01】有理数乘法法则 1. 两数相乘法则：同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。任何数与0相乘，结果都为0。 符号语言：若a、b两数相乘，ab＞0，则a、b同正或同负；ab＜0，则a、b异号；ab=0，则a=0或b=0。 2. 多个有理数相乘法则： （1）多个非零有理数相乘，积的符号由负因数的个数决定：负因数个数为偶数时，积为正数；负因数个数为奇数时，积为负数，最终积的绝对值为所有因数绝对值的乘积。 （2）多个有理数相乘，只要有一个因数为0，积就为0。 【知识点02】有理数乘法运算律 1. 乘法交换律：a×b = b×a 2. 乘法结合律：(a×b)×c = a×(b×c) 3. 乘法分配律：a×(b+c) = a×b + a×c（可正向、逆向使用，是简便运算核心） 【知识点03】倒数的定义与性质 1. 定义：乘积为1的两个有理数互为倒数，即若ab=1，则a、b互为倒数。 2. 核心性质： （1）0没有倒数，1的倒数是1，-1的倒数是-1； （2）正数的倒数是正数，负数的倒数是负数（倒数与原数符号一致）； （3）整数的倒数为该整数分之一，分数的倒数为分子分母互换位置，带分数需先化为假分数再求倒数。 【知识点04】有理数除法法则 1. 法则一（通用法则）：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；0除以任何一个不为0的数，都得0。 2. 法则二（转化法则）：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即a÷b = a×（b≠0）。 3. 重要规定：0不能作为除数，无意义。 【知识点05】有理数乘除混合运算规则 1. 运算顺序：同级运算，从左到右依次计算；有括号先算括号内的。 2. 运算技巧：先将所有除法转化为乘法，再判断符号，最后计算绝对值的乘积，可灵活运用运算律简便计算。 易错点1：符号判断失误（最常见错误） ❌ 错误认知：多个负数相乘，凭直觉判断符号，数错负因数个数；认为奇数个负数相乘为正，偶数个为负。 ✅ 正确辨析：奇负偶正仅适用于非零有理数相乘，负因数个数奇数→积负，偶数→积正。 示例：(-2)×(-3)×(-4)=-24（3个负因数，奇数，积为负），(-2)×(-3)=6（2个负因数，偶数，积为正）。 易错点2：乘除运算顺序混乱 ❌ 错误认知：乘除混合运算中，先算右边、后算左边，随意调换运算顺序。 ✅ 正确辨析：乘除为同级运算，必须从左到右依次计算，不可擅自颠倒顺序，如需简便运算，必须连同数字前面的符号一起移动。 反例：错误计算 (-8)÷2×=(-8)÷1=-8；正确计算 (-8)÷2×=-4×=-2。 易错点3：忽略因数为0的特殊情况 ❌ 错误认知：多个数相乘时，忽略算式中的0因数，逐一计算所有因数乘积，浪费时间且易出错。 ✅ 正确辨析：多个有理数相乘，见0即得0，无需计算其他因数。 示例：(-5)×2026×0×(-13)=0。 易错点4：倒数概念混淆 ❌ 错误1：认为0的倒数是0；❌ 错误2：负数的倒数变号；❌ 错误3：混淆倒数与相反数。 ✅ 正确辨析：0无倒数；倒数符号不变，仅数值倒置；相反数是符号相反、数值相同，倒数是乘积为1。 示例：-2的倒数是，相反数是2，二者完全不同。 易错点5：除法误用分配律 ❌ 错误认知：除法可以直接套用乘法分配律，即a÷(b+c)=a÷b+a÷c。 ✅ 正确辨析：除法没有分配律，仅被除数可分配，除数不可分配。只有(b+c)÷a = b÷a + c÷a成立。 易错点6：书写格式不规范 ❌ 错误书写：5×-3、8÷-2（乘数、除数为负数时未加括号）。 ✅ 规范书写：5×(-3)、8÷(-2)，负数参与乘除运算必须加括号。 【题型一】两个有理数的乘法运算 【例1】．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【例2】．（25-26七年级上·江苏常州·期中）计算：______． 【例3】．（23-24七年级上·江苏宿迁·期中） 【变式1】．计算的结果等于（    ） A． B．1 C． D． 【变式2】．（24-25七年级上·江苏南京·期中）计算的结果是__________． 【变式3】．计算： (1)(－5)×(－4) (2) (3) 【题型二】多个有理数的乘法运算 【例4】．（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）下列算式中，积为正数的是（   ） A． B． C． D． 【例5】．（25-26七年级上·江苏连云港·期中）计算_______． 【例6】．计算： (1)； (2)． 【变式1】．（22-23七年级上·江苏镇江·阶段检测）计算：__________． 【变式2】．计算： (1)； (2)． 【变式3】．计算： (1)． (2)． (3)． (4)． 【题型三】有理数乘法的实际应用 【例7】．（23-24七年级上·江苏淮安）某音乐会预留了长米、宽米的长方形场地作为观众席．观众席场地上站满了观众．下面最有可能是观众席的人数的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】．（25-26七年级上·江苏徐州·期中）如图，学校数学兴趣小组活动室的门上安装了密码锁．请根据门上的小提示，确定正确的密码是________． 数学兴趣活动室欢迎你！ 6#4@7=284270 4#7@8=563288 8#4@6=244872 3#9@8=密码 【变式2】．（24-25七年级上·江苏南通·阶段检测）某食品厂从生产的袋装食品中抽样品20袋，检测每袋的质量是否符合标准，超过或不足的部分分别用正、负数来表示，记录如下表： 与标准质量的差值（单位： 0 1 3 6 袋数 1 4 4 4 5 2 (1)与标准质量比较，20袋样品总计超过多少克或不足多少克？ (2)若允许有的误差，那么请你估计一下900袋产品中有多少袋合格产品？ (3)在（2）的条件下，若每袋食品成本价是20元，食品厂以每袋35元的价格批发给贾老板810袋．在销售中不合格产品返厂重新加工（重加工费用忽略不计），食品厂将不合格产品的进价费用返还贾老板并承担每袋0.5元的返还运费．请你估计一下食品厂在这次销售中的利润是多少？ 【变式3】．（25-26七年级上·江苏徐州·阶段检测）规定一种新运算“※”，对于有理数a，b，有，例如：，根据上面的规定解答问题： (1)求的值； (2)和的值相等吗？ 【题型四】有理数乘法运算律 【例8】．（22-23七年级上·江苏扬州·周测）计算： (1)； (2)． 【例9】．（24-25七年级上·江苏宿迁·阶段检测）简便计算： (1) (2) 【变式1】．计算： (1)； (2)． 【变式2】．（25-26七年级上·江苏泰州·阶段检测）选择合适的方法计算： (1) (2) 【变式3】．（25-26七年级上·江苏宿迁·期中）学习有理数的乘法后，老师给同学们这样一道题目，计算：，看谁算得又快又对，有两位同学的解法如下： 聪聪：原式． 明明：原式=． (1)请用明明的方法计算：． (2)对于题目中老师所给的题目，除了聪聪和明明的做法之外，你认为还有更好的方法吗？如果有，请把它写出来． 【题型五】倒数 【例10】．（25-26七年级上·江苏扬州·期末）中国人最早使用负数，可追溯到两千多年前的秦汉时期，的倒数是（  ） A． B． C．2026 D． 【例11】．（25-26七年级上·江苏苏州·阶段检测）的倒数是______． 【变式1】．（25-26七年级上·江苏常州·期末）的倒数为（　　） A．3 B． C． D． 【变式2】．（22-23七年级上·江苏扬州·周测）的倒数是_____，绝对值是_______． 【变式3】．写出下列各数的倒数 （1）5；（2）－1；（3）；（4）0.3 【题型六】有理数的除法运算 【例12】．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【例13】．（26-27七年级·江苏·暑假作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【例14】．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； (8)； (9)； (10)． 【变式1】．计算：． 【变式2】．计算： (1)； (2)． 【变式3】．（23-24七年级上·江苏南京·阶段检测）计算 (1)填空： （依据是　①  ） =　  ②    ＋　  ③    （依据是　④  ） ＝    ⑤    ． (2)请用不同于（1）的方法计算： 【题型七】有理数除法的应用 【例15】．（24-25七年级上·江苏镇江·期末）丹阳某一个啤酒厂为了回收空啤酒瓶，规定每3个空啤酒瓶可以换一瓶啤酒，李琛3人一共买了一箱（共12瓶），可以借1个空瓶，那么他们还可以再兑换_____瓶啤酒． 【例16】．（24-25七年级上·江苏无锡·期中）同学们，请估计一下，（   ）接近你自己的年龄 A．600时 B．600日 C．600周 D．600月 【例17】．（23-24七年级上·江苏淮安·阶段检测）阅读下列材料：设，则，则由得：，即，所以．根据上述提供的方法把下列两个数化成分数．______． 【变式1】．（24-25七年级上·江苏连云港·阶段检测）教师发现学生平时喜欢玩洞洞乐，于是设计了一个洞洞乐游戏，游戏道具：每张A4纸上画满24个相同的圆圈，游戏规则：两人一组轮流用铅笔将圆圈戳洞，每个圆圈只戳一个洞，每人一次可戳一个或两个圆圈（不能多戳或不戳），谁将最后一个圆圈戳洞，谁就获胜． (1)先开始的人胜，还是后开始的人胜？你有必胜的方法吗？请你写出你的方法． (2)如果游戏规则改为一次只能戳一个或两个或三个或四个圆圈（最多四个），怎样才能必胜？请写出你的方法． 【变式2】．（24-25七年级上·江苏南京·阶段检测）规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，，等，类比有理数的乘方，我们把记作，读作“2的圈3次方”，记作，读作：“的圈4次方”．一般地，把n个a相除记作，读作“a的圈n次方”． (1)直接写出计算结果：______，______． (2)关于除方，下列说法错误的是______． A．任何非零数的圈2次方都等于1 B．对于任何正整数n，1的圈n次方都等于1 C． D．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数 【变式3】．（22-23七年级上·江苏苏州·阶段检测）车辆购置税就是指在购买汽车的过程中需要缴纳的税数，纳税规定如下表： 汽车排量 1.6升以上 1.6升及以下 纳税规定 计税价格 计税价格 (1)一辆2.0升排量的汽车，计税价格为40万元，应缴纳车辆购置税为_____________万元； (2)2022年5月31日，财政部、税务总局联合发布减征部分乘用车车辆购置税有关政策公告，对购置日期在2022年6月1日至2022年12月31日期间内且计税价格不超过30万元的2.0升及以下排量的乘用车，在原车辆购置税的基础上，再减少一半车辆购置税．2022年10月1日，东东爸爸购买了一辆1.5升的轿车，计税价格是28万元，按最新政策计算，东东爸爸比原来可以少缴多少车辆购置税？ 【题型八】有理数乘除混合运算 【例18】．（24-25七年级上·江苏徐州·阶段检测）计算：______． 【例19】．（25-26七年级上·江苏南京·阶段检测）计算： 【例20】．计算： (1)； (2)； (3)． 【变式1】．（25-26七年级上·江苏常州·阶段检测）计算：________． 【变式2】．（25-26七年级上·江苏常州·阶段检测）计算： 【变式3】．（24-25七年级上·江苏南通·阶段检测）计算： (1)； (2)． 【变式4】．（23-24七年级上·江苏扬州·阶段检测）计算： (1)； (2)． 【题型九】有理数乘除中的简便运算 【例21】．计算： 【例22】．计算：． 【变式1】．数学老师布置了一道思考题： “计算：，小明仔细思考了一番，用了一种特殊的方法解决了这个问题：原式的倒数为，所以请你运用小明的方法计算：． 【变式2】．下列各题，怎样简便就怎样算． (1) (2) (3) (4) 【变式3】．能简便计算的用简便方法计算． (1) (2) (3) (4) 【题型十】有理数四则混合运算 【例23】．（25-26七年级上·江苏宿迁·期中）密码学是研究编制和破译密码的规律的一门学科，它与数学有密切关系．现有破译规则如下：顺时针将依次排成圈，密文中的a用于破译，b是需要破译的次数，当a是奇数时，顺时针数3位得明文；当a是偶数时，逆时针数5位得明文，并将所得明文再次破译，共破译b次得到最终明文．例如：密文，第一次破译得6，再对6进行破译得1，则破译两次后的最终明文是1．现有密文，则对应的最终明文是（   ） A．7 B．5 C．2 D．0 【变式1】．（25-26七年级上·江苏南京·期末）计算＝_______ ． 【变式2】．（25-26七年级上·江苏·期中）计算：． 【变式3】．（25-26七年级上·江苏南通·期中）探究与发现 根据你发现的规律计算 (1) (2) (3) (4) 【题型十一】有理数四则混合运算的实际应用 【例24】．（25-26七年级上·江苏扬州·期中）周六，小巧和同学一行共10人相约一起去看电影，电影院的价目表显示，电影票45元/张，也可以购买套餐，套餐价格如下表所示，不论是单买或购买套餐，购买一定金额还可参加“满减”的优惠活动． 套餐 内容 价格（元） 优惠活动 套餐A 1张电影票桶爆米花 60 消费满300元，减25元 消费满600元，减60元 套餐B 1张电影票桶爆米花张主题纪念币 70 若全部同学都要进场看电影，其中有5位同学每人需要一个主题纪念币，还需要一些爆米花一起共享，则最少需要支付（    ）元． A．530 B．540 C．550 D．590 【例25】．（24-25七年级上·江苏泰州·阶段检测）国庆期间，小明到某便民阅读书店参加志愿者活动，并帮助记录每天借书情况如下表：（超过50册的部分记为“”，少于50册的部分记为“”） 10月1日 10月2日 10月3日 10月4日 10月5日 10月6日 10月7日 0 该便民阅读书店国庆期间平均每天借出______册书． 【变式1】．计算：． 【变式2】．（23-24七年级上·江苏扬州·阶段检测）观察下列等式：，将三个等式两边分别相加得：． (1)猜想并写出：______， (2)______， (3)探究并计算：．（写出计算过程） 【变式3】．观察下列两个等式：，给出定义如下：我们称使等式成立的一对有理数a，b为“共生有理数对”，记为． (1)通过计算判断对“，1”、“4，”是不是“共生有理数对”； (2)若是“共生有理数对”，求a的值； (3)若是“共生有理数对”，则“n，m” （填“是”或“不是”）“共生有理数对”，并说明理由； (4)如果是“共生有理数对”（其中，）请直接用含n的式子表示m． 【题型十二】根据点在数轴的位置判断式子的正负 【例26】．（25-26七年级上·江苏徐州·期末）数、在数轴上的大致位置如图所示，下列判断正确的是（ ） A． B． C． D． 【例27】．（25-26七年级上·江苏泰州·阶段检测）实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，比较大小：_______．（填，或） 【变式1】．（25-26七年级上·江苏宿迁·期中）有理数a，b的对应点在数轴上的位置如图所示，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】．（25-26七年级上·江苏苏州·期中）有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示． (1)用“>”“<”或“=”填空：______0，______0，______0． (2)化简：． 【变式3】．我们知道在化简的时候，需要判断a的正负：当时，；当时，． (1)已知a，b，c三个数在数轴上的对应的点如图所示： 用“”、“”或“”填空， _____0，______0，_______0， 化简：． (2)思维扩展：由“当时，；时，”可以推出： 当时，；当时，． 应用这个结论，解决下列问题： 已知x，y，z是有理数，，，化简：． 【题型十三】数轴上的翻折 【例28】．（25-26七年级上·江苏南通·阶段检测）已知在纸面上有一个数轴（如图），折叠纸面，若数轴上表示数1的点与表示数的点重合，则数轴上表示数的点与表示数2的点重合．折叠纸面，使数轴上表示数的点与表示数0的点重合，数轴上表示数3的点与表示数________的点重合；若数轴上M，N两点之间的距离为2024，并且M，N两点经折叠后重合，如果点M表示的数比点N表示的数大，则M表示的数为 ________； 【变式1】．（25-26七年级上·江苏扬州·阶段检测）操作探究： 已知在纸面上有一数轴， 操作一： （1）折叠纸面，使表示1的点与表示的点重合，则表示的点与______表示的点重合； 操作二： （2）折叠纸面，使表示的点与5表示的点重合，回答以下问题： ①11表示的点与数______表示的点重合； ②若数轴上A、B两点之间距离为23，（A在B的左侧），且A、B两点经折叠后重合，则点A表示的数是______，点B表示的数是______． 【变式2】．（23-24七年级上·江苏宿迁·期中）折叠纸面，若在数轴上表示的点与5表示的点重合，回答以下问题： (1)数轴上10表示的点与___________表示的点重合． (2)若数轴上、两点之间的距离为在的左侧），且、两点经折叠后重合，求、两点表示的数是多少？ (3)如图，边长为2的正方形有一顶点落在数轴上表示的点处，将正方形在数轴上向右滚动（无滑动），正方形的一边与数轴重合记为滚动一次，求正方形滚动2023次后，数轴上表示点的数与折叠后的哪个数重合？ 【变式3】．平移和翻折是初中数学两种重要的图形变换． (1)平移运动 ①把笔尖放在数轴的原点处，先向负方向移动4个单位长度，再向正方向移动1个单位长度，这时笔尖的位置表示什么数？用算式表示以上过程及结果是_______． A．    B．    C．    D． ②有一机器人从原点O开始，第1次向左跳1个单位，紧接着第2次向右跳2个单位，第3次向左跳3个单位，第4次向右跳4个单位，…，依此规律跳，当它跳2025次时，落在数轴上的点表示的数是_______． (2)翻折变换 ①若折叠纸条，表示的点与表示3的点重合，则表示2025的点与表示_______的点重合； ②一条数轴上有点A、B、C，其中点A、B表示的数分别是、8，现以点C为折点，将数轴向右对折，若点A对应的点落在数轴上，并且，求点C表示的数． 1. 核心法则统一：有理数乘法、除法符号规则一致，均为同号得正、异号得负，数值运算均转化为绝对值的乘除运算。 2. 除法核心思想：除法变乘法，所有除法运算均可转化为“乘除数的倒数”，统一为乘法运算后，可利用乘法运算律简便计算。 3. 三大关键前提：0无倒数、0不能做除数、多个数相乘见0得0，牢记特殊数运算规则，规避基础错误。 4. 运算核心步骤：先定符号，再算数值，最后化简结果，严格遵循从左到右的同级运算顺序，不滥用运算律。 5. 重难点总结：重点掌握多因数乘法符号判断、倒数求解、乘除混合简便运算；难点是区分乘除运算律适用条件，规避符号、顺序、特殊数三类高频错误。 一、单选题 1．的倒数等于（     ） A． B． C． D．5 2．下列各数与的乘积为负数的是（    ） A．1 B．0 C． D． 3．计算：结果是（   ） A． B．4 C．1 D．64 4．下列式子的计算结果与的结果相等的是（    ） A． B． C． D． 5．如果一对有理数a、b使等式成立，那么这对有理数a、b叫做“幻生有理数对”，记为根据上述定义，下列四对有理数中不是“幻生有理数对”的是（    ） A． B． C． D． 6．若，，，则下列结论正确的是（  ） A．，， B．，， C．，， D．，， 7．如图，小明将画在纸上的数轴对折，把表示的点与表示1的点重合，此时与表示的点重合的点表示的数是（   ） A．2024 B．2023 C．2022 D．2021 二、填空题 8．“五月天山雪，无花只有寒”，反映出地形对气温的影响．大致海拔每升高100米，气温约下降．有一座海拔为1850米的山，在这座山上海拔为350米的地方测得气温是，则此时山顶的气温约为_________． 9．计算：__________________． 10．已知，，且，，则______． 11．已知非零有理数，，满足且．则的值为________． 三、解答题 12．计算： (1)； (2)． 13．简便计算： (1)； (2) 14．已知、互为相反数且，、互为倒数，，求的值． 15．阅读下面的材料. 计算：． 解法一：原式． 解法二：原式． 解法三：原式的倒数为， 其值，原式． (1)上述解法中，你认为解法_____是错误的； (2)请用你认为简便的方法计算：． 16．已知A，B，C三点在数轴上的位置如图所示，它们表示的数分别是a，b，c． (1)填空： 0， 0， 0（填“”“ ”或“”）； (2)化简：． 17．现有一批杨梅共6盒，以每盒5千克为标准质量，超过或不足的千克数分别用正、负数表示，记录如下，其中一盒质量大于等于5千克的杨梅称为“精品杨梅”． 序号 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ 与标准质量的差值（单位：千克） (1)这6盒杨梅中“精品杨梅”有___________盒，最重的一盒杨梅___________千克； (2)若“精品杨梅”每千克售价50元，其他杨梅每千克售价40元，则出售这批杨梅总共多少元？ 18．阅读下列计算过程，发现规律，然后利用规律计算：   (1)利用上述规律计算： (2)计算： 19．数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系． 【阅读】表示与差的绝对值，也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示与的差的绝对值，也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． （1）数轴上表示和的两点之间的距离是__________； （2）若，则________； （3）若使所表示的点到表示和的点的距离之和为，所有符合条件的整数的和为______； 【动手折一折】小明在草稿纸上画了一条数轴进行操作探究： （4）折叠纸面，若表示的点和表示的点重合． 则表示的点和__________表示的点重合； 这时如果（在的右侧）两点之间的距离为，且两点经折叠后重合，则点表示的数是___________，点表示的数是___________． 20．阅读下面材料：点A、B在数轴上分别表示实数a、b，A、B两点之间的距离表示为．当A、B两点中有一点在原点时，不妨设点A在原点，如图1，． 当A、B两点都不在原点时， ①如图2，点A、B都在原点的右边； ②如图3，点A、B都在原点的左边； ③如图4，点A、B在原点的两边； 综上，数轴上A、B两点之间的距离． (1)回答下列问题： ①数轴上表示1和的两点之间的距离是 ． ②数轴上表示x和的两点A和B之间的距离是 ． (2)探索规律： 式子有最 （填“大”或“小”）值是 ． (3)规律应用 工厂加工车间工作流水线上依次间隔3米排着5个工作台A、B、C、D、E，一只配件箱应该放在工作台 处，能使工作台上的工作人员取配件所走的路程最短，所走的最短路程是 米． (4)知识迁移 式子有最值（最大值或最小值）吗？如果有，写出这个值并指出它是最大值还是最小值；如果没有，请说明你的理由． 21．乘积与位置 数轴上的点A，B，C，D分别表示数a，b，c，d． (1)①若点A，B的位置如图1所示，则表示数的点在原点的__________侧（填“左”或“右”）． ②若点在原点左侧，点在原点右侧，点对应整数，点对应整数，若，当取最大值时，的值是__________； (2)若它们的位置如图2所示，则表示数的点在点__________侧（填“左”或“右”），表示数的点与点__________最接近． (3)数轴上点E表示数，它与A，B在数轴上的位置如图3所示，在数轴上画出原点O和表示1的点的位置．（若有不同情况，每种情况应单独画一个图形） 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第03讲 有理数的乘法与除法（核心知识+6易错辨析+13典例精讲+课后作业） 【知识点01】有理数乘法法则 1. 两数相乘法则：同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。任何数与0相乘，结果都为0。 符号语言：若a、b两数相乘，ab＞0，则a、b同正或同负；ab＜0，则a、b异号；ab=0，则a=0或b=0。 2. 多个有理数相乘法则： （1）多个非零有理数相乘，积的符号由负因数的个数决定：负因数个数为偶数时，积为正数；负因数个数为奇数时，积为负数，最终积的绝对值为所有因数绝对值的乘积。 （2）多个有理数相乘，只要有一个因数为0，积就为0。 【知识点02】有理数乘法运算律 1. 乘法交换律：a×b = b×a 2. 乘法结合律：(a×b)×c = a×(b×c) 3. 乘法分配律：a×(b+c) = a×b + a×c（可正向、逆向使用，是简便运算核心） 【知识点03】倒数的定义与性质 1. 定义：乘积为1的两个有理数互为倒数，即若ab=1，则a、b互为倒数。 2. 核心性质： （1）0没有倒数，1的倒数是1，-1的倒数是-1； （2）正数的倒数是正数，负数的倒数是负数（倒数与原数符号一致）； （3）整数的倒数为该整数分之一，分数的倒数为分子分母互换位置，带分数需先化为假分数再求倒数。 【知识点04】有理数除法法则 1. 法则一（通用法则）：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；0除以任何一个不为0的数，都得0。 2. 法则二（转化法则）：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即a÷b = a×（b≠0）。 3. 重要规定：0不能作为除数，无意义。 【知识点05】有理数乘除混合运算规则 1. 运算顺序：同级运算，从左到右依次计算；有括号先算括号内的。 2. 运算技巧：先将所有除法转化为乘法，再判断符号，最后计算绝对值的乘积，可灵活运用运算律简便计算。 易错点1：符号判断失误（最常见错误） ❌ 错误认知：多个负数相乘，凭直觉判断符号，数错负因数个数；认为奇数个负数相乘为正，偶数个为负。 ✅ 正确辨析：奇负偶正仅适用于非零有理数相乘，负因数个数奇数→积负，偶数→积正。 示例：(-2)×(-3)×(-4)=-24（3个负因数，奇数，积为负），(-2)×(-3)=6（2个负因数，偶数，积为正）。 易错点2：乘除运算顺序混乱 ❌ 错误认知：乘除混合运算中，先算右边、后算左边，随意调换运算顺序。 ✅ 正确辨析：乘除为同级运算，必须从左到右依次计算，不可擅自颠倒顺序，如需简便运算，必须连同数字前面的符号一起移动。 反例：错误计算 (-8)÷2×=(-8)÷1=-8；正确计算 (-8)÷2×=-4×=-2。 易错点3：忽略因数为0的特殊情况 ❌ 错误认知：多个数相乘时，忽略算式中的0因数，逐一计算所有因数乘积，浪费时间且易出错。 ✅ 正确辨析：多个有理数相乘，见0即得0，无需计算其他因数。 示例：(-5)×2026×0×(-13)=0。 易错点4：倒数概念混淆 ❌ 错误1：认为0的倒数是0；❌ 错误2：负数的倒数变号；❌ 错误3：混淆倒数与相反数。 ✅ 正确辨析：0无倒数；倒数符号不变，仅数值倒置；相反数是符号相反、数值相同，倒数是乘积为1。 示例：-2的倒数是，相反数是2，二者完全不同。 易错点5：除法误用分配律 ❌ 错误认知：除法可以直接套用乘法分配律，即a÷(b+c)=a÷b+a÷c。 ✅ 正确辨析：除法没有分配律，仅被除数可分配，除数不可分配。只有(b+c)÷a = b÷a + c÷a成立。 易错点6：书写格式不规范 ❌ 错误书写：5×-3、8÷-2（乘数、除数为负数时未加括号）。 ✅ 规范书写：5×(-3)、8÷(-2)，负数参与乘除运算必须加括号。 【题型一】两个有理数的乘法运算 【例1】．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【答案】(1)； (2)45； (3)54； (4)0； (5)． 【知识点】两个有理数的乘法运算 【分析】(1)小题是异号两数相乘，先确定积的符号为“”，再把绝对值相乘； (2)小题是同号两数相乘，先确定积的符号为“”，再把绝对值相乘； (3)小题是同号两数相乘，先确定积的符号为“”，再把绝对值相乘； (4)小题是任何数同相乘，都得； (5)小题是异号两数相乘，先确定积的符号为“”，再把绝对值相乘． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：； （5）解： 【点睛】本题考查有理数的乘法法则，熟练掌握“两数相乘，同号得正，异号得负，任何数与相乘都得”是解题的关键． 【例2】．（25-26七年级上·江苏常州·期中）计算：______． 【答案】 【知识点】两个有理数的乘法运算 【分析】本题考查有理数的乘法运算，掌握知识点是解题的关键． 根据有理数乘法法则，异号两数相乘，结果为负，并将绝对值相乘． 【详解】解：原式． 故答案为：． 【例3】．（23-24七年级上·江苏宿迁·期中） 【答案】 【知识点】两个有理数的乘法运算 【分析】本题考查了有理数的混合运算；先算括号内的减法，再算乘法即可． 【详解】解：原式 ． 【变式1】．计算的结果等于（    ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【知识点】两个有理数的乘法运算 【分析】本题考查了有理数的乘法运算，根据有理数的乘法运算法则计算，即可作答． 【详解】解：， 故选：B． 【变式2】．（24-25七年级上·江苏南京·期中）计算的结果是__________． 【答案】 【知识点】两个有理数的乘法运算 【分析】本题主要考查了有理数的四则混合计算，先计算乘法，再计算减法即可得到答案． 【详解】解： ， 故答案为：． 【变式3】．计算： (1)(－5)×(－4) (2) (3) 【答案】(1)20 (2) (3)0 【知识点】两个有理数的乘法运算 【分析】（1）（2）（3）根据有理数的乘法法则可直接进行求解． 【详解】（1）解：原式=5×4=20． （2）解：原式=． （3）解：原式=0． 【点睛】本题主要考查有理数的乘法，熟练掌握有理数的乘法法则是解题的关键． 【题型二】多个有理数的乘法运算 【例4】．（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）下列算式中，积为正数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】多个有理数的乘法运算 【分析】本题考查了确定多个有理数相乘的积的符号，根据“几个非0数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当有奇数个负因数时，积为负数；当有偶数个负因数时，积为正数”，逐项判断即可求解． 【详解】解：A. 积为负，不符合题意； B. 积为负，不符合题意； C. 积为正，符合题意； D. 积为0，不符合题意； 故选：C． 【例5】．（25-26七年级上·江苏连云港·期中）计算_______． 【答案】21 【知识点】多个有理数的乘法运算 【分析】本题主要考查有理数的乘法，解答的关键是掌握运算法则． 根据有理数乘法法则，同号得正，异号得负，并将绝对值相乘，先计算前两个数的积，再与第三个数相乘． 【详解】解：． 故答案为：21． 【例6】．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】多个有理数的乘法运算 【分析】本题考查了有理数的乘法运算，解题的关键是掌握有理数的乘法运算法则． （1）根据有理数的乘法运算法则计算即可； （2）根据有理数的乘法运算法则计算即可． 【详解】（1）解： ； （2） ． 【变式1】．（22-23七年级上·江苏镇江·阶段检测）计算：__________． 【答案】0 【知识点】多个有理数的乘法运算 【分析】利用0乘以任何数等于0进行计算即可． 【详解】解：， 故答案为：0． 【点睛】本题考查了0乘以任何数等于0，解题的关键是掌握0乘以任何数等于0． 【变式2】．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】多个有理数的乘法运算 【详解】（1） ． （2） ． 【点睛】此题考查了有理数的乘法运算，正确掌握有理数乘法的计算法则是解题的关键． 【变式3】．计算： (1)． (2)． (3)． (4)． 【答案】(1)1； (2)； (3)； (4) 【知识点】多个有理数的乘法运算 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【点睛】本题考查多个有理数的乘法运算，正确计算是解题的关键． 【题型三】有理数乘法的实际应用 【例7】．（23-24七年级上·江苏淮安）某音乐会预留了长米、宽米的长方形场地作为观众席．观众席场地上站满了观众．下面最有可能是观众席的人数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】有理数乘法的实际应用 【分析】本题考查了数学常识，解答本题关键是估算出每平方米可以站的人数，然后再计算出总人数． 先计算出长方形场地的面积，再估算出每平方米可以站的人数是4人，用每平方米可以站的人数乘面积就是总人数． 【详解】解：（平方米） 根据每平方米可以站的人数约为人，可得（人） ∴最有可能是参加演唱会的观众总人数的是人． 故选：C． 【变式1】．（25-26七年级上·江苏徐州·期中）如图，学校数学兴趣小组活动室的门上安装了密码锁．请根据门上的小提示，确定正确的密码是________． 数学兴趣活动室欢迎你！ 6#4@7=284270 4#7@8=563288 8#4@6=244872 3#9@8=密码 【答案】 【知识点】有理数乘法的实际应用 【分析】本题考查了数字中的规律问题，理解题目中的规律是解题关键． 根据给定的三个例子，分析出的操作规则：结果是一个六位数，由三部分组成，前两位是b和c的乘积，中间两位是a和c的乘积，后两位是a与b的和与c的乘积． 【详解】由题意分析出的操作规则：结果是一个六位数，由三部分组成，前两位是b和c的乘积，中间两位是a和c的乘积，后两位是a与b的和与c的乘积， 所以对于，， 计算， ， ， 将连接，得到． 故答案为． 【变式2】．（24-25七年级上·江苏南通·阶段检测）某食品厂从生产的袋装食品中抽样品20袋，检测每袋的质量是否符合标准，超过或不足的部分分别用正、负数来表示，记录如下表： 与标准质量的差值（单位： 0 1 3 6 袋数 1 4 4 4 5 2 (1)与标准质量比较，20袋样品总计超过多少克或不足多少克？ (2)若允许有的误差，那么请你估计一下900袋产品中有多少袋合格产品？ (3)在（2）的条件下，若每袋食品成本价是20元，食品厂以每袋35元的价格批发给贾老板810袋．在销售中不合格产品返厂重新加工（重加工费用忽略不计），食品厂将不合格产品的进价费用返还贾老板并承担每袋0.5元的返还运费．请你估计一下食品厂在这次销售中的利润是多少？ 【答案】(1)这批样品总重比标准质量多 (2)900袋中有810袋合格 (3)食品厂的利润是9274.5元 【知识点】有理数乘法的实际应用、正负数的实际应用 【分析】本题主要考查了正负数的意义，有理数乘法的应用， 对于（1），分别用于标准的差值乘以对应的袋数，再相加可得答案； 对于（2），用总袋数乘以合格率，可得答案； 对于（3），用总售价减去总进价，再减去返还运费可得答案. 【详解】（1）解：（1）（克）． 这批样品总重比标准质量多18克； （2）解：（袋． 答：900袋中有810袋合格； （3）解：（元． 答：食品厂的利润是9274.5元． 【变式3】．（25-26七年级上·江苏徐州·阶段检测）规定一种新运算“※”，对于有理数a，b，有，例如：，根据上面的规定解答问题： (1)求的值； (2)和的值相等吗？ 【答案】(1)21 (2)不相等 【知识点】有理数乘法的实际应用 【分析】本题主要考查学生对有理数的四则运算，以及对类比思想的应用．本题难度不大，是基础题目，学生认真审题即可解答． （1）把所给定义式中的换成、换成代入计算即可． （2）根据（1）中所给的定义先分别计算出与的值，然后比较计算结果即可． 【详解】（1）解： ． （2）解：不相等．理由是： ，，， ∴与的值不相等． 【题型四】有理数乘法运算律 【例8】．（22-23七年级上·江苏扬州·周测）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】有理数乘法运算律 【分析】利用乘法分配律进行解答即可． 【详解】（1）解： （2）解： 【例9】．（24-25七年级上·江苏宿迁·阶段检测）简便计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】有理数乘法运算律 【分析】本题考查了乘法分配律． （1）直接根据乘法分配律计算即可； （2）将化为，再根据乘法分配律计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式1】．计算： (1)； (2)． 【答案】(1)7 (2) 【知识点】有理数乘法运算律 【分析】本题考查有理数的混合运算，乘法分配律及其逆应用，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）先用分配律将分别与括号内的四个分数相乘，再进行加法运算； （2）将除法转化为乘法，用乘法分配律的逆应用进行运算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式2】．（25-26七年级上·江苏泰州·阶段检测）选择合适的方法计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】有理数乘法运算律 【分析】本题考查了有理数乘法运算，熟练掌握是解题的关键； （1）直接利用乘法分配律计算即可； （2）将带分数拆分为“整数和真分数”的形式，然后利用乘法分配律即可解答． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【变式3】．（25-26七年级上·江苏宿迁·期中）学习有理数的乘法后，老师给同学们这样一道题目，计算：，看谁算得又快又对，有两位同学的解法如下： 聪聪：原式． 明明：原式=． (1)请用明明的方法计算：． (2)对于题目中老师所给的题目，除了聪聪和明明的做法之外，你认为还有更好的方法吗？如果有，请把它写出来． 【答案】(1) (2) 解：有更好的方法， ． 【知识点】有理数乘法运算律 【分析】本题考查了有理数的乘法运算律，解题的关键是熟练乘法分配律． （1）将原式变形为，再利用乘法分配律计算； （2）将原式变形为，再利用乘法分配律计算． 【详解】（1）解： ； （2）略 【题型五】倒数 【例10】．（25-26七年级上·江苏扬州·期末）中国人最早使用负数，可追溯到两千多年前的秦汉时期，的倒数是（  ） A． B． C．2026 D． 【答案】B 【知识点】倒数 【分析】根据倒数的定义计算即可得到结果． 【详解】解：根据倒数的定义， ∵ ， ∴ 的倒数是． 【例11】．（25-26七年级上·江苏苏州·阶段检测）的倒数是______． 【答案】 【知识点】倒数 【分析】本题主要考查了求一个数的倒数，乘积为1的两个数互为倒数，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴的倒数是， 故答案为：． 【变式1】．（25-26七年级上·江苏常州·期末）的倒数为（　　） A．3 B． C． D． 【答案】D 【知识点】倒数 【分析】本题主要考查倒数的定义，熟练掌握其定义是做题的关键．根据倒数的定义，进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴的倒数为． 故选：D． 【变式2】．（22-23七年级上·江苏扬州·周测）的倒数是_____，绝对值是_______． 【答案】 【知识点】求一个数的绝对值、倒数 【分析】先将带分数化为假分数，再根据倒数的定义求倒数，根据绝对值的性质计算得到所求绝对值． 【详解】解：∵， ∴的倒数为：， 绝对值为：． 【变式3】．写出下列各数的倒数 （1）5；（2）－1；（3）；（4）0.3 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【知识点】倒数 【分析】根据倒数的定义直接写出各数的倒数即可． 【详解】（1）5的倒数是； （2）－1的倒数是－1； （3）的倒数是； （4）0.3的倒数是． 【点睛】本题考查了倒数，如果两个数的乘积等于1，那么这两个数互为倒数，掌握倒数的定义是解题的关键． 【题型六】有理数的除法运算 【例12】．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【知识点】有理数的除法运算 【分析】本题考查有理数的除法，有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，特别注意有多个数相除时，一般先将除法转化为乘法再进行运算．理解和掌握有理数除法、乘法法则是解题的关键． （1）（2）（3）根据有理数的除法运算法则计算即可； （4）（5）几个数相除，先把除法化为乘法，再按乘法法则进行计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ． 【例13】．（26-27七年级·江苏·暑假作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)3 (2) (3) (4) 【知识点】有理数的除法运算 【分析】本题考查了有理数的除法运算．熟练掌握有理数的除法运算是解题的关键． （1）先将带分数化成假分数，然后进行除法运算即可； （2）直接进行除法运算即可； （3）先将带分数化成假分数，然后进行除法运算即可； （4）先将带分数化成假分数，然后进行除法运算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【例14】．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； (8)； (9)； (10)． 【答案】(1) (2)3 (3) (4) (5)5 (6) (7) (8) (9) (10) 【知识点】有理数的除法运算 【分析】本题考查了有理数的除法运算，1、除以一个不等于0的数等于乘以这个数的倒数；2、两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除（0除以任何一个非0的数，都得0）． （1）利用除法法则计算即可； （2）利用除法法则计算即可； （3）利用除法法则计算即可； （4）利用除法法则计算即可； （5）利用除法法则计算即可； （6）利用除法法则计算即可； （7）利用除法法则计算即可； （8）利用除法法则计算即可； （9）利用除法法则计算即可； （10）利用除法法则计算即可； 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ； （6）解： ； （7）解： ； （8）解： ； （9）解： ； （10）解： ． 【变式1】．计算：． 【答案】 【知识点】有理数的除法运算 【分析】根据有理数除法法则求解即可． 【详解】解： ． 【点睛】本题主要考查了有理数除法运算，熟练掌握相关运算法则是解题关键． 【变式2】．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】有理数的除法运算 【详解】（1）解： ； （2） 【点睛】此题考查了有理数的除法运算，有理数的除法运算通常利用除以一个数等于乘以这个数的倒数化为乘法运算来求． 【变式3】．（23-24七年级上·江苏南京·阶段检测）计算 (1)填空： （依据是　①  ） =　  ②    ＋　  ③    （依据是　④  ） ＝    ⑤    ． (2)请用不同于（1）的方法计算： 【答案】(1)除一个数等于乘这个数的倒数；；；乘法分配律； (2)见解析 【知识点】有理数的除法运算 【分析】（1）先将带分数分拆成一个整数与一个真分数的和的形式，除法转化成乘法，然后利用乘法分配律进行计算； （2）先将带分数分拆成一个整数与一个真分数差的形式，除法转化成乘法，然后利用乘法分配律进行计算． 【详解】（1）解： （依据是除一个数等于乘这个数的倒数） （依据是乘法分配律） ． （2）解： ． 【点睛】本题考查了有理数的混合运算，注意运算顺序和符号；在计算中巧妙运用加法运算律或乘法运算律往往使计算更简便． 【题型七】有理数除法的应用 【例15】．（24-25七年级上·江苏镇江·期末）丹阳某一个啤酒厂为了回收空啤酒瓶，规定每3个空啤酒瓶可以换一瓶啤酒，李琛3人一共买了一箱（共12瓶），可以借1个空瓶，那么他们还可以再兑换_____瓶啤酒． 【答案】6 【知识点】有理数除法的应用 【分析】本题考查了除法的应用．先把一箱啤酒共12瓶喝完，共得到12个空瓶，可以换瓶啤酒，再喝完，可以得4个空瓶，可以换，即得到1瓶啤酒余1个空瓶，喝完1瓶啤酒再加原来的1个空瓶，这时候剩2个空瓶，可以再借一个瓶子，换完啤酒后，喝掉一瓶，再还回去，由此即可求解． 【详解】解： (瓶) (瓶)…1(个) (瓶) (瓶) (瓶) 他们还可以再兑换6瓶啤酒． 故答案为：6． 【例16】．（24-25七年级上·江苏无锡·期中）同学们，请估计一下，（   ）接近你自己的年龄 A．600时 B．600日 C．600周 D．600月 【答案】C 【知识点】有理数除法的应用 【分析】本题考查了时间单位，有理数的除法运算的应用．将利用单位换算进行计算，可以估计出结果． 【详解】解：600时天， 600日岁， 600周岁， 600月岁， ∴只有600周符合学生的年龄， 故选：C． 【例17】．（23-24七年级上·江苏淮安·阶段检测）阅读下列材料：设，则，则由得：，即，所以．根据上述提供的方法把下列两个数化成分数．______． 【答案】 【知识点】有理数除法的应用 【分析】本题考查了无限循环小数和分数的转换，仿照题中给出的例子进行运算即可求解，理解题意，读懂阅读材料是解题的关键． 【详解】解：设，则， ∴得，， ∴， 即， 故答案为：． 【变式1】．（24-25七年级上·江苏连云港·阶段检测）教师发现学生平时喜欢玩洞洞乐，于是设计了一个洞洞乐游戏，游戏道具：每张A4纸上画满24个相同的圆圈，游戏规则：两人一组轮流用铅笔将圆圈戳洞，每个圆圈只戳一个洞，每人一次可戳一个或两个圆圈（不能多戳或不戳），谁将最后一个圆圈戳洞，谁就获胜． (1)先开始的人胜，还是后开始的人胜？你有必胜的方法吗？请你写出你的方法． (2)如果游戏规则改为一次只能戳一个或两个或三个或四个圆圈（最多四个），怎样才能必胜？请写出你的方法． 【答案】(1)后开始获胜，方法见解析 (2)先开始的人有必胜策略，方法见解析 【知识点】有理数除法的应用 【分析】本题考查了博弈策略，整数的除法运算及余数概念，熟练掌握整数的除法运算及余数概念是解题的关键； （1）根据每轮两人戳洞的总数情况，得出选择控制每轮两人一共戳3个洞（一人戳1个时另一人戳2个，或者一人戳2个时另一人戳1个）．根据不管先开始的人第一次戳1个还是2个圆圈，后开始的人都可以通过相应地戳2个或者1个圆圈，使得两人第一轮一共3戳个圆圈．然后在后续的每一轮中，后开始的人继续根据先开始的人戳洞的数量，保证每轮两人一共戳3个圆圈，这样经过8轮后，后开始的人就一定能戳到最后一个圆圈获胜． （2）根据两人一轮戳洞的数量之和可能是2到8个圆圈，同样要从24个圆圈总数出发，找到合适的每轮戳洞总数，让其能整除（或结合余数来控制局面），以确定必胜策略．分别计算除以每轮可能总数的情况发现，如果能保证每轮两人一共戳5个圆圈，经过4轮，在处理好开始的余数4个圆圈后，就能戳完所有圆圈． 【详解】（1）解：后开始的必胜， ∵每人一次可戳一个或两个圆圈， ∴两人一轮戳洞的数量之和存在三种可能情况： 若两人都戳一个圆圈，一轮共戳2个圆圈； 若一人戳一个，另一人戳两个，一轮共戳3个圆圈； 若两人都戳两个圆圈，一轮共戳4个圆圈． 通过计算分别除以每轮可能的总数情况： （轮）； （轮）； （轮）． 发现24能被3整除，这意味着如果能保证每轮两人一共3戳个圆圈，经过8轮就能戳完所有圆圈，并且可以通过先后手的策略来控制局面． 具体操作如下： 先开始的人先戳洞，不管先开始的人第一次戳1个还是1个圆圈，后开始的人都可以相应地戳2个或者1个圆圈，使得两人第一轮一共戳3个圆圈．然后在后续的每一轮中，后开始的人继续根据先开始的人戳洞的数量，保证每轮两人一共3戳个圆圈．这样经过8轮后，后开始的人就一定能戳到最后一个圆圈，从而获胜． （2）先开始的人有必胜策略． ∵游戏规则改为一次只能戳一个或两个或三个或四个圆圈（最多四个）， ∴两人一轮戳洞的数量之和可能是2到8个圆圈， ∴； ； ； ； ； ； ． 发现，即如果能保证每轮两人一共戳5个圆圈，经过4轮，在处理好开始的余数4个圆圈后，就能戳完所有圆圈． 具体操作如下： 先开始的人先戳4个圆圈，此时剩下个圆圈．然后不管后开始的人戳1个、2个、3个还是4个圆圈，先开始的人在后续的每一轮中，都根据后开始的人戳洞的数量，保证每轮两人一共戳5个圆圈．这样经过4轮后，先开始的人就可以戳到最后一个圆圈，进而获胜． 【变式2】．（24-25七年级上·江苏南京·阶段检测）规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，，等，类比有理数的乘方，我们把记作，读作“2的圈3次方”，记作，读作：“的圈4次方”．一般地，把n个a相除记作，读作“a的圈n次方”． (1)直接写出计算结果：______，______． (2)关于除方，下列说法错误的是______． A．任何非零数的圈2次方都等于1 B．对于任何正整数n，1的圈n次方都等于1 C． D．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数 【答案】(1)，； (2)C 【知识点】有理数除法的应用、有理数的除法运算 【分析】本题考查了有理数的除法，理解除方的定义是解题关键． （1）根据有理数除法法则计算即可； （2）根据除方的定义，结合有理数除法的运算法则逐一判断即可． 【详解】（1）解：， ， 故答案为：，； （2）解：A、任何非零数的圈2次方就是两个相同的数相除，即都等于1，说法正确，不符合题意； B、多少个1相除都是1，即对于任何正整数n，1的圈n次方都等于1，说法正确，不符合题意； C、，，，即，说法错误，符合题意； D、负数的圈奇数次方相当于奇数个负数相除，结果是负数；负数的圈偶数次方相当于偶数个负数相除，结果是正数，说法正确，不符合题意， 即说法错误的是C 【变式3】．（22-23七年级上·江苏苏州·阶段检测）车辆购置税就是指在购买汽车的过程中需要缴纳的税数，纳税规定如下表： 汽车排量 1.6升以上 1.6升及以下 纳税规定 计税价格 计税价格 (1)一辆2.0升排量的汽车，计税价格为40万元，应缴纳车辆购置税为_____________万元； (2)2022年5月31日，财政部、税务总局联合发布减征部分乘用车车辆购置税有关政策公告，对购置日期在2022年6月1日至2022年12月31日期间内且计税价格不超过30万元的2.0升及以下排量的乘用车，在原车辆购置税的基础上，再减少一半车辆购置税．2022年10月1日，东东爸爸购买了一辆1.5升的轿车，计税价格是28万元，按最新政策计算，东东爸爸比原来可以少缴多少车辆购置税？ 【答案】(1)4 (2)东东爸爸比原来可以少缴万元车辆购置税． 【知识点】有理数除法的应用、有理数乘法的实际应用 【分析】（1）按照计税价格计算即可； （2）按照计税价格的一半计算即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴（万元）； 故答案为：4； （2）解：∵， ∴（万元）； 答：东东爸爸比原来可以少缴万元车辆购置税． 【点睛】本题考查了有理数乘法的应用，理解题意，正确列式是解题的关键． 【题型八】有理数乘除混合运算 【例18】．（24-25七年级上·江苏徐州·阶段检测）计算：______． 【答案】 【知识点】有理数乘除混合运算 【分析】本题考查有理数的乘除，先将除法转化为乘法，再利用有理数的乘法运算法则求解即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 【例19】．（25-26七年级上·江苏南京·阶段检测）计算： 【答案】 【知识点】有理数乘除混合运算 【分析】本题考查了有理数的乘除混合运算，准确的计算是解决本题的关键． 根据有理数的乘除混合运算法则进行求解即可． 【详解】解： ． 【例20】．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】有理数乘除混合运算 【分析】本题考查有理数的乘除混合运算，掌握有理数乘除混合运算的运算法则是解题关键． （1）按照有理数乘除混合运算的法则进行计算即可； （2）按照有理数乘除混合运算的法则进行计算即可； （3）按照有理数乘除混合运算的法则进行计算即可． 【详解】（1）； （2）； （3）． 【变式1】．（25-26七年级上·江苏常州·阶段检测）计算：________． 【答案】 【知识点】有理数乘除混合运算 【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 根据有理数的乘除混合运算法则计算即可得出答案． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式2】．（25-26七年级上·江苏常州·阶段检测）计算： 【答案】 【知识点】有理数乘除混合运算 【分析】本题主要考查了有理数的乘除混合运算．根据有理数的乘除混合运算法则计算即可． 【详解】解： ． 【变式3】．（24-25七年级上·江苏南通·阶段检测）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】有理数乘除混合运算、有理数乘法运算律 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． （1）根据有理数乘除法运算法则计算即可． （2）先将除法转化为乘法，再运用乘法的分配律进行运算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：原式 ． 【变式4】．（23-24七年级上·江苏扬州·阶段检测）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)12 【知识点】有理数乘除混合运算 【分析】本题考查了有理数的乘除法运算，熟练掌握运算法则和运算顺序是解题的关键． （1）按从左到右的顺序计算有理数的乘除法即可； （2）按从左到右的顺序计算有理数的乘除法即可． 【详解】（1）解： （2） 【题型九】有理数乘除中的简便运算 【例21】．计算： 【答案】 【知识点】有理数乘除中的简便运算 【详解】解：原式 【例22】．计算：． 【答案】10 【知识点】有理数乘除中的简便运算 【分析】本题考查有理数的混合运算，先利用乘法分配律计算，然后求和，最后运算除法解答即可． 【详解】解：原式 ． 【变式1】．数学老师布置了一道思考题： “计算：，小明仔细思考了一番，用了一种特殊的方法解决了这个问题：原式的倒数为，所以请你运用小明的方法计算：． 【答案】 【知识点】有理数乘除中的简便运算 【分析】本题考查了有理数的混合运算． 的倒数为，求出其值，再求倒数即可． 【详解】解：的倒数为， ， 所以． 【变式2】．下列各题，怎样简便就怎样算． (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2)1 (3) (4) 【知识点】有理数乘除中的简便运算、有理数乘法运算律 【分析】本题考查运用运算律进行简便运算，掌握算理是解决问题的关键． （1）运用乘法分配律的逆应用将原式化为，进行简便计算即可； （2）运用乘法结合律将原式化为，进行简便计算即可； （3）运用运算律将原式化为，进行简便计算即可； （4）可以先求，再取倒数即可． 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）解：， ， ， ； （3）解：， ， ， ； （4）解：， ， ， ， ， ∴． 【变式3】．能简便计算的用简便方法计算． (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3)100 (4) 【知识点】有理数乘除中的简便运算、有理数加法运算律、有理数乘法运算律 【分析】本题考查了简便计算，解题的关键是掌握相关运算律． （1）把2024写成，然后根据乘法的分配律计算即可； （2）先把除法转化为乘法，然后根据乘法法则计算即可； （3）先把除法转化为乘法，然后逆用乘法的分配律计算即可； （4）根据加法的交换律和结合律，并逆用乘法的分配律计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． （4）解∶ ． 【题型十】有理数四则混合运算 【例23】．（25-26七年级上·江苏宿迁·期中）密码学是研究编制和破译密码的规律的一门学科，它与数学有密切关系．现有破译规则如下：顺时针将依次排成圈，密文中的a用于破译，b是需要破译的次数，当a是奇数时，顺时针数3位得明文；当a是偶数时，逆时针数5位得明文，并将所得明文再次破译，共破译b次得到最终明文．例如：密文，第一次破译得6，再对6进行破译得1，则破译两次后的最终明文是1．现有密文，则对应的最终明文是（   ） A．7 B．5 C．2 D．0 【答案】D 【知识点】有理数四则混合运算 【分析】本题主要考查了数字变化的规律，能通过计算得出从第1次破译的结果开始按4，9，2，7，0，5，8，3，6，1循环是解题的关键． 根据所给破译的方式，依次求出每次破译的结果，发现规律即可解决问题． 【详解】解：由题知， 密文第1次破译得4， 第2次破译得9， 第3次破译得2， 第4次破译得7， 第5次破译得0， 第6次破译得5， 第7次破译得8， 第8次破译得3， 第9次破译得6， 第10次破译得1， 第11次破译得4， ， 由此可见，从第1次破译的结果开始按4，9，2，7，0，5，8，3，6，1循环． 因为， 所以第2025次破译得0． 故选：D． 【变式1】．（25-26七年级上·江苏南京·期末）计算＝_______ ． 【答案】 【知识点】有理数四则混合运算 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，根据去括号法则去掉括号，再根据有理数的加法法则进行计算． 【详解】解： ． 故答案为：. 【变式2】．（25-26七年级上·江苏·期中）计算：． 【答案】4 【知识点】有理数四则混合运算 【分析】本题考查了有理数的混合运算，有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．先算小括号里面的减法，再算中括号里面的乘法，最后计算括号外面的除法． 【详解】解： ． 【变式3】．（25-26七年级上·江苏南通·期中）探究与发现 根据你发现的规律计算 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】有理数四则混合运算 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算： （1）原式变形后，利用拆项法计算即可得到结果； （2）原式变形后，利用拆项法计算即可得到结果； （3）原式变形后，利用拆项法计算即可得到结果； （4）原式变形后，利用拆项法计算即可得到结果． 【详解】（1） = ++                              = （2）… = ++…                 = （3）… =… =…              = （4） =          = =                           = ++ = 【题型十一】有理数四则混合运算的实际应用 【例24】．（25-26七年级上·江苏扬州·期中）周六，小巧和同学一行共10人相约一起去看电影，电影院的价目表显示，电影票45元/张，也可以购买套餐，套餐价格如下表所示，不论是单买或购买套餐，购买一定金额还可参加“满减”的优惠活动． 套餐 内容 价格（元） 优惠活动 套餐A 1张电影票桶爆米花 60 消费满300元，减25元 消费满600元，减60元 套餐B 1张电影票桶爆米花张主题纪念币 70 若全部同学都要进场看电影，其中有5位同学每人需要一个主题纪念币，还需要一些爆米花一起共享，则最少需要支付（    ）元． A．530 B．540 C．550 D．590 【答案】B 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用 【分析】本题考查有理数运算的实际应用．根据题意，至少需要5份套餐B以满足5个纪念币需求，但通过调整购买组合使总金额达到600元可享受更优惠的满减，从而最小化支付金额． 【详解】解：∵需要5个纪念币， ∴至少购买5份套餐B， 若购买5份套餐B和5张单票：总金额元，享受优惠后的费用为元， 若购买6份套餐B和4张单票：总金额元，享受优惠后的费用为元， 若购买5份套餐B、2份套餐A和3张单票：总金额元，优惠后为元， ∵一份套餐B的费用>一份套餐B的费用>一张单票的费用， ∴其他所有满足要求的买法，最终的总费用一定超过上述情况的花费， ∵， ∴最少支付540元， 故选：B． 【例25】．（24-25七年级上·江苏泰州·阶段检测）国庆期间，小明到某便民阅读书店参加志愿者活动，并帮助记录每天借书情况如下表：（超过50册的部分记为“”，少于50册的部分记为“”） 10月1日 10月2日 10月3日 10月4日 10月5日 10月6日 10月7日 0 该便民阅读书店国庆期间平均每天借出______册书． 【答案】53 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用 【分析】本题考查了有理数混合运算的应用，根据题意正确列式是解题关键．用50加上超出或少于的平均数，即可得到答案． 【详解】解： ， 即该便民阅读书店国庆期间平均每天借出53册书， 故答案为：53． 【变式1】．计算：． 【答案】1 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用 【分析】由“除以一个数等于乘以这个数的倒数”，将除法化为乘法，有括号可先算括号，再按有理数乘法法则进行计算即可． 【详解】解：原式 ． 【点睛】本题考查了有理数的混合运算，掌握运算法则是解题的关键． 【变式2】．（23-24七年级上·江苏扬州·阶段检测）观察下列等式：，将三个等式两边分别相加得：． (1)猜想并写出：______， (2)______， (3)探究并计算：．（写出计算过程） 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用、数字类规律探索 【分析】（1）结合题干，找到规律，即可解答； （2）利用题干中的规律，分别将原式每项裂开即可解答； （3）利用题干中的规律，分别将原式每项为裂开后乘，即可解答． 【详解】（1）解：结合题中的规律， 可得， 故答案为：； （2）解：， ， ， ， 故答案为：； （3）解： ， ， ， ． 【点睛】本题考查了整式的数字类规律，有理数的计算应用，结合题意得到规律是解题的关键． 【变式3】．观察下列两个等式：，给出定义如下：我们称使等式成立的一对有理数a，b为“共生有理数对”，记为． (1)通过计算判断对“，1”、“4，”是不是“共生有理数对”； (2)若是“共生有理数对”，求a的值； (3)若是“共生有理数对”，则“n，m” （填“是”或“不是”）“共生有理数对”，并说明理由； (4)如果是“共生有理数对”（其中，）请直接用含n的式子表示m． 【答案】(1)“，1”不是“共生有理数对”，“4，”是“共生有理数对” (2) (3)是，理由见解析 (4) 【知识点】有理数四则混合运算、有理数四则混合运算的实际应用 【分析】（1）根据“共生有理数对”的定义解决此题； （2）根据“共生有理数对”的定义解决此题； （3）根据“共生有理数对”的定义解决此题； （4）根据“共生有理数对”的定义解决此题． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴“，1”不是“共生有理数对”； ∵，， ∴， ∴“4，”是“共生有理数对”； （2）解：若是“共生有理数对”，则， ∴； （3）解：是，理由如下： 若是“共生有理数对”，则， ∴， ∴“n，m”是“共生有理数对”， 故答案为：是； （4）解：由题意得，， ∴． 【点睛】本题主要考查了有理数的混合运算，读懂题意，理解“共生有理数对”的定义是解题的关键． 【题型十二】根据点在数轴的位置判断式子的正负 【例26】．（25-26七年级上·江苏徐州·期末）数、在数轴上的大致位置如图所示，下列判断正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据点在数轴的位置判断式子的正负 【分析】本题考查数轴、绝对值，解答本题的关键是明确数轴的特点，利用数形结合的思想解答． 根据数轴，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题． 【详解】解：由数轴可得， ， ，故选项A不合题意； ，故选项B不合题意； ，故选项C不合题意， ，故选项D符合题意． 故选：D． 【例27】．（25-26七年级上·江苏泰州·阶段检测）实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，比较大小：_______．（填，或） 【答案】 【知识点】根据点在数轴的位置判断式子的正负 【分析】本题考查了根据点在数轴上的位置判断式子的正负，有理数的乘法法则，解题的关键是根据实数在数轴上的位置，正确判断出和的符号．由数轴可知，，，从而得到，，最后根据有理数的乘法法则即可得解． 【详解】解：由数轴可知，，， ，， ． 故答案为：． 【变式1】．（25-26七年级上·江苏宿迁·期中）有理数a，b的对应点在数轴上的位置如图所示，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据点在数轴的位置判断式子的正负 【分析】本题考查了根据点在数轴的位置判断式子的正负，由数轴可知：，即可判断AB；再由，即可判断CD； 【详解】解：由数轴可知：， ∴，；故A、B错误； ∵， ∴， ∴，即，故D错误； ∵， ∴，即，故C正确； 故选：C 【变式2】．（25-26七年级上·江苏苏州·期中）有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示． (1)用“>”“<”或“=”填空：______0，______0，______0． (2)化简：． 【答案】(1) (2) 【知识点】带有字母的绝对值化简问题、根据点在数轴的位置判断式子的正负 【分析】本题考查数轴上有理数的比较大小，绝对值的化简，整式的加减． （1）根据数轴上点的位置判断各式的正负； （2）根据绝对值的意义去掉绝对值符号并合并同类项． 【详解】（1）解：由数轴可知， ∴，，． 故答案为：； （2）解：      【变式3】．我们知道在化简的时候，需要判断a的正负：当时，；当时，． (1)已知a，b，c三个数在数轴上的对应的点如图所示： 用“”、“”或“”填空， _____0，______0，_______0， 化简：． (2)思维扩展：由“当时，；时，”可以推出： 当时，；当时，． 应用这个结论，解决下列问题： 已知x，y，z是有理数，，，化简：． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查了绝对值的化简，整式的加减运算，有理数的运算，解题的关键是熟练掌握绝对值的化简； （1）根据数轴可得，即可判断所求式子的正负，再化简绝对值即可； （2）由得，原式可化为：，根据，，可知x，y，z中一正两负或两正一负，据此化简即可． 【详解】（1）解：由数轴知：， ， 故答案为：， ， ； （2）解：， ， ， ，， 当x，y，z中一正两负时，， 当x，y，z中两正一负时，， 综上所述，的值为：． 【题型十三】数轴上的翻折 【例28】．（25-26七年级上·江苏南通·阶段检测）已知在纸面上有一个数轴（如图），折叠纸面，若数轴上表示数1的点与表示数的点重合，则数轴上表示数的点与表示数2的点重合．折叠纸面，使数轴上表示数的点与表示数0的点重合，数轴上表示数3的点与表示数________的点重合；若数轴上M，N两点之间的距离为2024，并且M，N两点经折叠后重合，如果点M表示的数比点N表示的数大，则M表示的数为 ________； 【答案】 【知识点】数轴上两点之间的距离、数轴上的翻折 【分析】本题考查了数轴上两点的距离，掌握数轴的定义和点的对称性是解题的关键． 数轴上数表示的点与数0表示的点关于点对称，，而即可解答；依据M、N两点之间的距离为2024，并且M、N两点经折叠后重合，M点表示的数比N点表示的数大，即可得到M点表示的数． 【详解】解：因为数轴上数表示的点与数表示的点关于点对称，，而，所以数轴上数表示的点与数表示的点重合． ∵，两点之间的距离为，并且，两点经折叠后重合， ∴，， 又∵点表示的数比点表示的数大， ∴点表示的数是，点表示的数是． 故答案为：，． 【变式1】．（25-26七年级上·江苏扬州·阶段检测）操作探究： 已知在纸面上有一数轴， 操作一： （1）折叠纸面，使表示1的点与表示的点重合，则表示的点与______表示的点重合； 操作二： （2）折叠纸面，使表示的点与5表示的点重合，回答以下问题： ①11表示的点与数______表示的点重合； ②若数轴上A、B两点之间距离为23，（A在B的左侧），且A、B两点经折叠后重合，则点A表示的数是______，点B表示的数是______． 【答案】（1）3；（2）①；②， 【知识点】数轴上两点之间的距离、数轴上的翻折 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，数轴的折叠问题等知识点，解题的关键是理解数轴的折叠问题． （1）确定折痕点为原点即可求解； （2）①先确定折痕点是表示的点，再由数轴上两点之间距离公式求解；②先确定，两点距离折痕点的距离为 ，再由数轴上两点之间距离公式求解． 【详解】解：（1）与重合， 折痕点为原点， 表示的点与表示的点重合． 故答案为：． （2）①∵折叠纸面，使表示的点与5表示的点重合 折痕点是表示， ∴， ， ∴11表示的点与数表示的点重合 故答案为：； ②由题意可得，，两点距离折痕点的距离为 ， 折痕点是表示的点， 、两点表示的数分别是，， 即、两点表示的数是和， 故答案为：，． 【变式2】．（23-24七年级上·江苏宿迁·期中）折叠纸面，若在数轴上表示的点与5表示的点重合，回答以下问题： (1)数轴上10表示的点与___________表示的点重合． (2)若数轴上、两点之间的距离为在的左侧），且、两点经折叠后重合，求、两点表示的数是多少？ (3)如图，边长为2的正方形有一顶点落在数轴上表示的点处，将正方形在数轴上向右滚动（无滑动），正方形的一边与数轴重合记为滚动一次，求正方形滚动2023次后，数轴上表示点的数与折叠后的哪个数重合？ 【答案】(1) (2)、两点表示的数是、 (3)正方形滚动次后，数轴上表示点的数与折叠后的重合 【知识点】数轴上的翻折、数轴上的规律探究 【分析】本题考查了数轴上两点的距离，数字类规律探究； （1）先求出和的中点，再根据对称列式计算即可求解； （2）根据中点定义求出的一半，然后分别列式计算即可； （3）根据边长为的正方形有一顶点落在数轴上表示的点处，正方形滚动一次后一个顶点落在表示的点处，正方形滚动次后一个顶点落在表示的点处，正方形滚动、4次后顶点A落在表示的点处，即可求出正方形滚动次后，顶点A落在表示的点处，进而即可求解． 【详解】（1）解：在数轴上表示的点与表示的点重合， 数轴上表示的点与表示的点的中点是表示的点． 数轴上表示的点与表示的点重合． 故答案为； （2）数轴上、两点之间的距离为， ， ， 点表示的数为， 点表示的数为． 答：、两点表示的数是、； （3）边长为的正方形有一顶点落在数轴上表示的点处， ∴正方形滚动第次、第次时，点落在数轴上表示7的点处 正方形滚动第次、第次时，点落在数轴上表示的点处 规律是：正方形滚动第（是正整数）次、第次时，点落在数轴上表示的点处 正方形滚动次后，顶点A落在表示的点处， 此时，点距离数轴上2表示的点的距离为：， 正方形滚动次后，数轴上表示点的数与折叠后的重合． 【变式3】．平移和翻折是初中数学两种重要的图形变换． (1)平移运动 ①把笔尖放在数轴的原点处，先向负方向移动4个单位长度，再向正方向移动1个单位长度，这时笔尖的位置表示什么数？用算式表示以上过程及结果是_______． A．    B．    C．    D． ②有一机器人从原点O开始，第1次向左跳1个单位，紧接着第2次向右跳2个单位，第3次向左跳3个单位，第4次向右跳4个单位，…，依此规律跳，当它跳2025次时，落在数轴上的点表示的数是_______． (2)翻折变换 ①若折叠纸条，表示的点与表示3的点重合，则表示2025的点与表示_______的点重合； ②一条数轴上有点A、B、C，其中点A、B表示的数分别是、8，现以点C为折点，将数轴向右对折，若点A对应的点落在数轴上，并且，求点C表示的数． 【答案】(1)①D；②； (2)①；②或． 【分析】本题考查了数轴、有理数的加减混合运算、折叠与平移，理解题意，灵活应用所学知识是解决问题的关键． （1）①根据笔尖的移动方向和长度列式即可； ②根据机器人跳动的过程列式计算即可； （2）①根据题意求出折痕处的点表示的数，即可求解； ②分两种情况求解：当点在点的左侧和右侧时，根据，求出点表示的数，在根据折叠求出点C表示的数即可． 【详解】（1）解：①把笔尖放在数轴的原点处，先向负方向移动4个单位长度，再向正方向移动1个单位长度，用算式表示以上过程及结果是， 故选：D； ②机器人跳动的过程可以表示为 ； （2）解：①表示的点与表示3的点重合， 折痕处的点表示的数为， ， 表示2025的点与表示的点重合， 故答案为：； ②当点在点的左侧时， ，点B表示的数是8， 点表示的数为， 点A表示的数是，以点C为折点，将数轴向右对折，点A对应的点落在数轴上， 点C表示的数为； 当点在点的右侧时， ，点B表示的数是8， 点表示的数为， 点A表示的数是，以点C为折点，将数轴向右对折，点A对应的点落在数轴上， 点C表示的数为； 综上可知，点C表示的数为或． 1. 核心法则统一：有理数乘法、除法符号规则一致，均为同号得正、异号得负，数值运算均转化为绝对值的乘除运算。 2. 除法核心思想：除法变乘法，所有除法运算均可转化为“乘除数的倒数”，统一为乘法运算后，可利用乘法运算律简便计算。 3. 三大关键前提：0无倒数、0不能做除数、多个数相乘见0得0，牢记特殊数运算规则，规避基础错误。 4. 运算核心步骤：先定符号，再算数值，最后化简结果，严格遵循从左到右的同级运算顺序，不滥用运算律。 5. 重难点总结：重点掌握多因数乘法符号判断、倒数求解、乘除混合简便运算；难点是区分乘除运算律适用条件，规避符号、顺序、特殊数三类高频错误。 一、单选题 1．的倒数等于（     ） A． B． C． D．5 【答案】A 【分析】根据乘积为的两个数互为倒数解答即可． 【详解】解：∵ ， ∴的倒数是． 2．下列各数与的乘积为负数的是（    ） A．1 B．0 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查有理数乘法的符号法则，正确理解有理数的乘法法则是解题的关键．依据“两数相乘，同号得正，异号得负”即可求解． 【详解】∵是负数， ∴乘以一个正数结果为负数， 在中，1为正数 ∴与乘积为负数的是1， 故选：A． 3．计算：结果是（   ） A． B．4 C．1 D．64 【答案】D 【分析】本题主要考查了有理数乘除混合运算，熟练掌握运算法则，是解题的关键．根据有理数乘除混合运算法则求解即可． 【详解】解： ． 故选：D． 4．下列式子的计算结果与的结果相等的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的乘法，将变形为，即可求解． 【详解】解：， 故选：C． 5．如果一对有理数a、b使等式成立，那么这对有理数a、b叫做“幻生有理数对”，记为根据上述定义，下列四对有理数中不是“幻生有理数对”的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的四则运算，理解“幻生有理数对”的定义是解题的关键．根据题意将各项列式计算后进行判断即可． 【详解】解：A．，，故是“幻生有理数对”； B．，，故不是“幻生有理数对”； C．，，故是“幻生有理数对”； D．，，故是“幻生有理数对”， 故选：B． 6．若，，，则下列结论正确的是（  ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】A 【分析】本题主要考查了有理数的乘法，由可知与异号；结合，可得：且；再由，结合、，可得：． 【详解】解：， 与异号， 又， ，， ，且、， ， ，，． 故选：A． 7．如图，小明将画在纸上的数轴对折，把表示的点与表示1的点重合，此时与表示的点重合的点表示的数是（   ） A．2024 B．2023 C．2022 D．2021 【答案】B 【分析】本题主要考查了数轴上两点之间的距离，解题的关键是熟练掌握数轴上两点间距离公式． 先求出折痕处的点表示的数为，然后再根据数轴上两点间距离公式进行解答即可． 【详解】解：将画在纸上的数轴上对折，表示的点与表示的点重合， 折痕处的点表示的数为， 与表示的点重合的数是， 故选：B． 二、填空题 8．“五月天山雪，无花只有寒”，反映出地形对气温的影响．大致海拔每升高100米，气温约下降．有一座海拔为1850米的山，在这座山上海拔为350米的地方测得气温是，则此时山顶的气温约为_________． 【答案】-3 【分析】本题考查了有理数的混合运算，根据每升高100米，气温约下降列出算式解答即可． 【详解】解：根据题意：， 故答案为：． 9．计算：__________________． 【答案】 【分析】本题考查有理数乘除的混合运算，先将除法转化为乘法，根据多个有理数的乘法法则计算即可． 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 10．已知，，且，，则______． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，根据题意，利用绝对值的代数意义，以及有理数的加法、乘法法则确定出a与b的值，代入原式计算即可求出值． 【详解】解：∵，， ∴ ∵，， ∴， ∴， 故答案为：7． 11．已知非零有理数，，满足且．则的值为________． 【答案】0 【分析】本题主要考查的绝对值化简，确定a、b、c中负数的个数是解题的关键． 根据非零有理数，，满足：且，可判断出，、、中负数的个数为1个，然后化简即可． 【详解】解：∵非零有理数，，，满足：，， ∴、、中负数的个数为1个， 令，，， 原式． 故答案为：0． 三、解答题 12．计算： (1)； (2)． 【答案】(1)51 (2)5 【分析】本题考查了有理数的乘除混合运算，有理数的乘法运算律，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据有理数的乘除混合运算法则进行计算，即可作答． （2）运用有理数的乘法运算律进行简便运算，即可作答． 【详解】（1）解：； （2）解： ． 13．简便计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了有理数四则混合运算及乘法分配律，熟练掌握乘法分配律是解题的关键． （1）根据有理数乘法分配律将括号内的每个数分别与相乘，再进行计算即可； （2）首先需要将带分数化为假分数，除法转化为乘法，然后观察到各项都含有这个因数，可利用乘法分配律的逆运算来简化计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 14．已知、互为相反数且，、互为倒数，，求的值． 【答案】0或 【分析】根据题意得：，，，，，分类讨论：当时和当时，将其值代入代数式即可求解． 【详解】解：∵、互为相反数且，、互为倒数，， ∴，，，， 当时， 代入得：； 当时， 代入得：． ∴的值为0或． 【点睛】本题考查了代数式求值、相反数、倒数及绝对值，熟练掌握相反数的意义、倒数的意义及去绝对值是解题的关键． 15．阅读下面的材料. 计算：． 解法一：原式． 解法二：原式． 解法三：原式的倒数为， 其值，原式． (1)上述解法中，你认为解法_____是错误的； (2)请用你认为简便的方法计算：． 【答案】(1)二 (2) 【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）观察解题过程可知，解法二是错误的，原因是除法没有分配律； （2）先计算，计算方法为先把除法变成乘法，再利用乘法分配律求解，求得的结果取倒数即为题目所求式子的值． 【详解】（1）解：上述解法中．我认为解法二是错误的，因为除法没有分配律； 故答案为：二； （2）解：的倒数为， ， ∴． 16．已知A，B，C三点在数轴上的位置如图所示，它们表示的数分别是a，b，c． (1)填空： 0， 0， 0（填“”“ ”或“”）； (2)化简：． 【答案】(1)，，； (2)． 【分析】本题考查的是有理数的大小比较，化简绝对值，整式的加减等知识，熟知数轴上右边的数总比左边的大是解题的关键． （1）根据各点在数轴上的位置判断出其符号及绝对值的大小，进而可得出结论； （2）根据（1）中的结论去绝对值符号，合并同类项即可． 【详解】（1）解：由数轴可知，，， ∴，， ∵， ∴， 故答案为：，，； （2）解：∵，， ∴，，， ∴ ． 17．现有一批杨梅共6盒，以每盒5千克为标准质量，超过或不足的千克数分别用正、负数表示，记录如下，其中一盒质量大于等于5千克的杨梅称为“精品杨梅”． 序号 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ 与标准质量的差值（单位：千克） (1)这6盒杨梅中“精品杨梅”有___________盒，最重的一盒杨梅___________千克； (2)若“精品杨梅”每千克售价50元，其他杨梅每千克售价40元，则出售这批杨梅总共多少元？ 【答案】(1)4； (2)1423元 【分析】（1）根据正、负数的意义进行判断即可； （2）根据每千克售价乘以重量列出算式进行计算即可． 【详解】（1）解：由题意可知，“精品杨梅”的质量大于等于5千克，即其与标准质量的差值大于等于0．表格中差值大于等于0的有，共4盒，所以“精品杨梅”有4盒， 最重的一盒杨梅（千克）． （2）解：由题意得： （元） 答：出售这批杨梅总共1423元． 18．阅读下列计算过程，发现规律，然后利用规律计算：   (1)利用上述规律计算： (2)计算： 【答案】(1)5151 (2) 【分析】本题考查了规律探索，有理数的混合运算，观察所给算式，得出运算的规律是解决问题的关键． （1）根据所给算式得出，然后代入计算即可； （2）利用规律对原式进行变形，然后计算即可． 【详解】（1）解：由题意得出规律：， ∴， 故答案为：5151； （2）解： ． 19．数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系． 【阅读】表示与差的绝对值，也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示与的差的绝对值，也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． （1）数轴上表示和的两点之间的距离是__________； （2）若，则________； （3）若使所表示的点到表示和的点的距离之和为，所有符合条件的整数的和为______； 【动手折一折】小明在草稿纸上画了一条数轴进行操作探究： （4）折叠纸面，若表示的点和表示的点重合． 则表示的点和__________表示的点重合； 这时如果（在的右侧）两点之间的距离为，且两点经折叠后重合，则点表示的数是___________，点表示的数是___________． 【答案】（）；（）或；（）；（）；，． 【分析】本题考查了数轴，两点间的距离，有理数加减运算，数轴上的翻折，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据两点之间的距离即可求解； （）根据题意得表示数与的距离，故有表示数与的距离为，然后通过有理数运算即可求解； （）由所表示的点到表示和的点的距离之和为，则，然后求出整数，再进行加法运算即可； （）根据数轴对折可得折叠的点表示的数是，再通过加减运算即可求解； 由，则有点表示的数是，点表示的数是，然后通过有理数加减运算法则即可求解． 【详解】解：（）根据两点之间的距离可得：， 故答案为：； （）根据题意得表示数与的距离， ∴表示数与的距离为， ∴或， 故答案为：或； （）∵所表示的点到表示和的点的距离之和为， ∴， ∴符合条件的整数为，，，，，，，， ∴和为， 故答案为：； （）∵表示的点和表示的点重合, ∴折叠的点表示的数是， ∴与表示的点重合的数为， 故答案为：； 由， ∴点表示的数是，点表示的数是， 故答案为：；，． 20．阅读下面材料：点A、B在数轴上分别表示实数a、b，A、B两点之间的距离表示为．当A、B两点中有一点在原点时，不妨设点A在原点，如图1，． 当A、B两点都不在原点时， ①如图2，点A、B都在原点的右边； ②如图3，点A、B都在原点的左边； ③如图4，点A、B在原点的两边； 综上，数轴上A、B两点之间的距离． (1)回答下列问题： ①数轴上表示1和的两点之间的距离是 ． ②数轴上表示x和的两点A和B之间的距离是 ． (2)探索规律： 式子有最 （填“大”或“小”）值是 ． (3)规律应用 工厂加工车间工作流水线上依次间隔3米排着5个工作台A、B、C、D、E，一只配件箱应该放在工作台 处，能使工作台上的工作人员取配件所走的路程最短，所走的最短路程是 米． (4)知识迁移 式子有最值（最大值或最小值）吗？如果有，写出这个值并指出它是最大值还是最小值；如果没有，请说明你的理由． 【答案】(1)①6；② (2)小，2 (3)C，18 (4)最小值，最大值9，理由见解析 【分析】本题主要考查了有理数与数轴．熟练掌握数轴上点的特征，两点间距离的求法，绝对值的化简，分类讨论，是解答此题的关键． （1）①根据两点间距离的求法直接求解即可；②根据两点间距离的求法直接写出即可；（2）当时，；当时，；当时，；可判断有最小值2； （3）以C点为原点，3米为一个单位长度，A、B、C、D、E、依次在数轴上排列，根据绝对值的几何意义，数轴上点的特点可知，当时，有最小值18； （4）分，，三种情况，对绝对值进行运算，再求最大值和最小值即可． 【详解】（1）解：①； 故答案为：6； ②； 故答案为：； （2）解：当时， ； 当时， ； 当时， ； ∴有最小值2； 故答案为：小，2； （3）解：以C点为原点，3米为一个单位长度，A、B、C、D、E、依次在数轴上排列， 则A点表示的数为，B点表示的数为，C点表示的数为0，D点表示的数为3，E点表示的数为6， 设配件箱应该放在数轴上表示x的数的位置， 当有最小值时，工作台上的工作人员取配件所走的路程最短， 由（2）知，当时， ，有最小值18， ∴配件箱应该放在工作台C处，最短路程为18米， 故答案为：C，18； （4）解：有最小值，最大值9，理由： 当时， ； 当时， ； ∴； 当时， ； ∴； 故有最小值，最大值9． 21．乘积与位置 数轴上的点A，B，C，D分别表示数a，b，c，d． (1)①若点A，B的位置如图1所示，则表示数的点在原点的__________侧（填“左”或“右”）． ②若点在原点左侧，点在原点右侧，点对应整数，点对应整数，若，当取最大值时，的值是__________； (2)若它们的位置如图2所示，则表示数的点在点__________侧（填“左”或“右”），表示数的点与点__________最接近． (3)数轴上点E表示数，它与A，B在数轴上的位置如图3所示，在数轴上画出原点O和表示1的点的位置．（若有不同情况，每种情况应单独画一个图形） 【答案】(1)左， (2)左，B (3)①见解析 ②见解析 【分析】本题考查了数轴上表示的数和有理数乘除法，解题关键是明确数轴上表示的数的符号和乘除法法则； （1）①根据异号得负即可判断在原点左侧；②先确定，然后由，即可确定； （2）先确定a，b，c，d所表示数的符号和表示数的大约值，再判断即可； （3）根据积的位置分类讨论，确定a，b的正负，再确定原点O和表示1的点的位置即可． 【详解】（1）解：①由数轴可得，则， ∴表示数的点在原点的左侧， 故答案为：左； ②∵， ∴， ∵点在原点左侧，点在原点右侧，且均为整数，取最大值时，则， ∴， 故答案为： （2）解：由数轴上的位置可知，，，d在附近，a在附近， 所以，接近1，故接近点B， 故答案为：左，B； （3）解：①时，因为， 所以，， 原点O和表示1的点的位置如图所示， ②时，因为， 所以，， 原点O和表示1的点的位置如图所示， 或 1 学科网（北京）股份有限公司 $