2.1.1倾斜角与斜率（培优教学课件）高二数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦直线的倾斜角与斜率，通过楼梯倾斜程度的问题导入，结合初中一次函数与坐标系知识，构建从几何直观到代数表达的学习支架，帮助学生衔接前后知识。 其亮点在于以问题驱动探究，用向量法推导斜率公式，结合梯度题型训练，体现数学眼光观察倾斜程度、数学思维推理公式逻辑、数学语言表达斜率与倾斜角关系。学生能深化数形结合思想，教师可依托系统流程提升教学效率。

第二章 直线和圆的方程 2.1.1 倾斜角与斜率 章节导读 确定直线位置的几何要素：点、方向 直线的倾斜角和斜率 直线的 点斜式方程 直线的 两点式方程 直线的 一般式方程 点到直线、两平行直线间的距离 两条直线间的位置关系 直线与圆的位置关系 圆与圆的位置关系 确定圆的几何要素：圆心、半经 圆的标准方程 圆的一般方程 两点间的距离公式 两条直线 平行和垂直的判定 前情回顾 坐 标 系 “点” “数” 有序数对或数组 几何 代数 代 方 数 法 研究几何 图形性质 直线 圆 几何 要素 平面直角 坐标系 直线的方程 圆的方程 代数 方法 几何 问题 在初中，我们知道一次函数的图象是一条直线，一次函数是二元一次方程。 学 习 目 标 1 2 3 理解直线的倾斜角与直线斜率的概念和公式. 从形和数的角度刻画直线的倾斜程度，体会数形结合思想. 能掌握直线的倾斜角、斜率、方向向量之间的相互转换. 读教材 阅读课本P51-P54，5分钟后完成下列问题： 我们一起来探究“直线的倾斜角与斜率”吧！ 1. 确定一条直线的几何要素是什么？ 2. 直线的倾斜角的概念是什么？ 3. 直线的斜率的计算公式是什么？ 新课引入 1.以下两个楼梯有什么不同？ 2.用什么来刻画这种不同呢？ 倾斜角/高度与宽度的比值。 倾斜程度不同。 今天我们一起探究，如何刻画图中两条蓝色的直线的不同？ 学习过程 01 03 02 目录 1 直线的倾斜角 2 直线的斜率 3 题型训练 新知探究1 问题： 对于平面坐标系中的一条直线，如何利用坐标系确定它的位置？ o o 下面这些直线有什么区别？ 都过同一点， 但直线的方向不同。 直线的方向相同， 但直线不会经过同一点。 如何确定一条直线？ 两点确定 一条直线 O A B O P l1 l2 l3 l4 一个点和一个方向 确定一条直线 α4 过一点和确定一个方向 都不能确定一条直线 新知探究1 探究1 在直角坐标系中，过点P 的一条直线绕P点旋转，不管旋转多少周， 直线相对 x 轴的相对位置有几种情形？ o P o P o P o P 其它直线的方向向上 水平直线的方向向右 水平向右 右向上 垂直向上 左向上 直线的方向 概念 直线的倾斜角 直线的倾斜角： 直线方向不同 直线的倾斜程度不同 也就是直线与x轴所成的角不同 思考：怎样描述这种“倾斜程度”的不同? O P x l1 l2 l3 l4 α4 直线与轴相交时，取轴为基准， 轴正方向与直线向上方向之间 所成的角，叫做直线的倾斜角。 概念 直线的倾斜角 倾斜角的范围： 当直线与轴 平行或重合时， 倾斜角为 倾斜角为直角， 倾斜角为锐角， 倾斜角为钝角， 直线的倾斜角 α 的取值范围为 练习巩固 任何一条直线 练习1 判断正误. (1)在平面直角坐标系中，每一条直线都有一个确定的倾斜角.（ ） (2)方向相同的直线，其倾斜程度相同，倾斜角相等.（ ） (3)方向不同的直线，倾斜角可能相等.（ ） (4)不存在两条直线的倾斜角相同.（ ） √ × √ × 方向确定且唯一 倾斜角确定且唯一 同一倾斜角 方向确定且唯一 直线不唯一：平行 练习巩固 注意：倾斜角范围 练习2 设直线过原点且倾斜角为，若将直线绕原点逆时针旋转45 得到直线则求直线的倾斜角1？ l x y O 1 l x y O 1 解： 如图所示 练习巩固 练习3 已知直线向上方向与轴正向所成的角为30°，则直线的 倾斜角为____________. 注意：倾斜角范围 解： 如图所示 方法总结 直线的倾斜角 α 的取值范围为 两个特殊角度： (2)当直线轴垂直(与轴平行)时，直线的倾斜角 任何一条直线 方向确定且唯一 倾斜角确定且唯一 同一倾斜角 方向确定且唯一 直线不唯一：平行 (1)当直线轴平行或重合时，规定直线的倾斜角； 学习过程 01 03 02 目录 1 直线的倾斜角 2 直线的斜率 3 题型训练 新知探究2 思考 用什么来刻画这种不同呢？ 倾斜角或高度与宽度的比值。 x y o 对边比邻边 怎样刻画倾斜角呢？ 正切函数 新知探究2 问题 倾斜角可以刻画直线倾斜程度，是否还有其他方法刻画直线的倾斜程度呢？ l x y O P1 P2 猜测 接下来我们利用向量法探究直线上的点与直线倾斜角的联系 ① 这两点的坐标与直线的倾斜角一定有存在某种内在关系； ② 这两点的坐标可以直接刻画直线的倾斜程度。 因为两点确定一条直线， 所以直线经过 新知探究2 探究2 已知直线经过与点的坐标有什么关系？ 如果直线经过与的坐标又有什么关系？ O y x α α • • 两点确定一条直线 一个点和一个方向 O y x α 如图：向量，直线的倾斜角为，==. 如图：向量，平移向量到，则点坐标为，且的倾斜角也是，==. 新知探究2 思考：一般地，如果直线经过两点，，， 那么与，的坐标有怎样的关系？ O y x α α • • 我们把一条直线的的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率（slope） 斜率通常用小写字母表示，即：=tan. 直线斜率的定义： . 概念 直线的斜率 直线斜率的公式： x y O x y O 注：值与直线上两点的顺序无关，斜率是定值. 当直线与轴平行或重合时，公式是否成立？ 当直线与轴垂直时，公式是否成立？ x o y P1 P2 成立，此时斜率=0. 不成立，此时斜率不存在. =，斜率=0；=，斜率不存在。 ＝ tanα = 直线的方向向量() 概念 直线的斜率 倾斜角与斜率的变化规律： 图象 α 的大小 α = 0o 0o < α < 90o α = 90o 90o < α < 180o k 的范围 k = 0 k > 0 不存在 k < 0 k 的增减性   随α的增大而增大   随α 的增大而增大 倾斜角 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 斜率 不存在 练习巩固 练习1 (多选)下列说法正确的是( 　　) A．直线倾斜角的范围是[0，π)； B．斜率相等的两条直线的倾斜角一定相等； C．任何一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角； D．任何一条直线都有倾斜角和斜率． AB 解：任何直线都有倾斜角，但直线与x轴平行时斜率不存在， 故CD选项错误。 练习巩固 练习2 (1) 若直线的倾斜角为135°，则直线的斜率为______. (2) 经过两点 A (2 , 3)，B (4 , 5) 的直线的倾斜角为______. (3) 直线 l 的方向向量的坐标为(1，)，则直线 l 的斜率为______. ＝ tanα = ＝ ＝ tanα＝tan135° ＝－1 －1 练习巩固 练习3 若直线经过第二、四象限，则直线的倾斜角的取值范围是( ) A. B. C. D. C 解：直线经过第二、四象限，则斜率小于0，倾斜角 练习4 斜率为2的直线经过，三点，求，的值？ 方法总结 求直线的斜率的三种方法: (1) 已知直线的倾斜角为，且≠ 90°，则＝ tanα ； (2) 已知直线上两点坐标，则＝ tanα = ； (3) 已知直线的一个方向向量 (，)，则＝ 斜率=0 倾斜角α=0° = 直线与轴平行或重合 斜率不存在 倾斜角α=90° = 直线与轴垂直 两种特殊情况下的斜率问题: 学习过程 01 03 02 目录 1 直线的倾斜角 2 直线的斜率 3 题型训练 求倾斜角或斜率 题型1 题型探究 例1 若直线经过 两点,则直线 的倾斜角为( ) 解：设直线的倾斜角为因为直线经过 两点， 所以即 又因为所以 A. B. C. D. C 求倾斜角或斜率 题型1 题型探究 例2 如图示, 已知A(3, 2), B(－4, 1)， C(0, －1)， 求直线AB， BC,，CA的斜率， 并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角？ 解：直线的斜率； 直线的斜率； 直线的斜率. 由及可知，直线与的倾斜角均为锐角； 由可知，直线的倾斜角为钝角. 有关斜率的参数问题 题型2 题型探究 例3 (1)经过两点的直线的方向向量为则 解：由题意得 , ，解得 . (2)经过 解：设直线<ABA</m>A的斜率为</m>，则 整理得<m></m>，解得m<或 3 有关斜率的参数问题 题型2 题型探究 例4 已知点 ， ，若 ， 求直线 的倾斜角的取值范围？ 解：设直线 <m></m> 的倾斜角为 <m></m> ，直线 <m></m> 的斜率 <m></m> ， 因为 <m></m> ，所以 <m></m> 的取值范围为 <m></m> ， 即 <m></m> 的取值范围为 <m></m> ，又 <m></m> ， 所以 <m></m> . 斜率和倾斜角的范围问题 题型3 题型探究 例5 已知点，，过点的直线与线段有公共点. (1)求直线的斜率的取值范围；(2)求直线的倾斜角的取值范围？ 解：如图，由题意可知，， (1)要使与线段有公共点，则或， 即直线的斜率的取值范围是. (2)由题意可知直线的倾斜角介于直线与的倾斜角之间， 又的倾斜角是，的倾斜角是，∴的取值范围是. 斜率和倾斜角的范围问题 题型3 题型探究 例6 已知 ， 三点.若点 在线段 (包括端点) 上移动，求直线 的斜率的变化范围？ 解：如图所示， 由斜率公式可得直线的斜率 直线的斜率， 当由运动到时，直线的斜率由增大到， 所以直线的斜率的变化范围是. 斜率和倾斜角的范围问题 题型3 题型探究 例7 若已知点另有两点若过点的直线与 线段有交点，求直线的斜率取值范围？ 解： 所以直线的斜率取值范围是： 课堂小结 倾斜角 与斜率 倾斜角的定义 斜率的定义 斜率公式 直线与轴相交时,取轴为基准，轴正方向与直 线 向上方向之间所成的角，叫做直线的倾斜角。 我们把一条直线的的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率（slope） 斜率通常用小写字母表示，即：=tan. ＝ tanα = 直线的方向向量() 感谢聆听! 解: 由题意得解得 $