2.1.1 倾斜角与斜率 课件-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦直线的倾斜角与斜率，从交通工程“坡度”实例导入，通过回顾平面几何综合法过渡到坐标法，以问题链（确定直线位置、倾斜角定义、斜率与坐标关系）搭建学习支架，衔接前后知识。 其亮点在于融合数学眼光、思维与语言，用坡度抽象斜率体现数学眼光，例题中倾斜角旋转分类讨论培养数学思维，斜率公式推导与线段交点问题应用强化数学语言。含动态演示辅助理解，丰富例题和分层练习帮助学生深化概念，教师可高效开展教学。

倾斜角与斜率 第二章　§2.1　2.1.1 学习目标 1.在平面直角坐标系中，结合具体图形探索确定直线位置的几何要素. 2.理解直线的倾斜角和斜率的概念. 3.经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式. 交通工程上一般用“坡度”来描述一段道路对于水 平方向的倾斜程度，如图，一辆汽车沿某条道路从 A点前进到B点，在水平方向前进的距离为AD，竖直 方向上升的高度为DB(如果是下降，则DB的值为负实数)，则坡度k ==.若k>0，则表示上坡，若k<0，则表示下坡，为了实 际应用与安全，在道路铺设时常要规划坡度的大小.那么“坡度”是如何来刻画道路的倾斜程度的呢？本节课我们就来学习一下. 导语 3 内容索引 01 02 05 03 直线的斜率 倾斜角和斜率的应用 随堂演练 直线的倾斜角 04 课时对点练 01 直线的倾斜角 问题 1 提示　点、直线、三角形、四边形、圆等；综合法.本章我们采用坐标法研究几何图形的性质. 回顾平面几何的学习，我们主要研究了哪些类型的图形？所用的研究方法是什么？ 问题 2 提示　两点确定一条直线，一点和一个方向也可以确定一条直线. 在平面中，怎样才能确定一条直线？ 问题 3 提示　直线的方向不同，相对于x轴的倾斜程度不同. 在平面直角坐标系中，规定水平直线的方向向右，其他直线向上的方向为这条直线的方向，图中过点P的直线有什么区别？ 1.倾斜角的定义： (1)当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴　　　与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角. (2)当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为　　. 2.倾斜角的范围：直线的倾斜角α的取值范围为　　　　　　　. 知识梳理 正向 0° 0°≤α<180° (1)从运动变化的观点来看，当直线l与x轴相交时，直线l的倾斜角是由x轴绕直线l与x轴的交点按逆时针方向旋转到与直线l重合时所得到的最小正角；未作旋转时，倾斜角为0°. (2)倾斜角从“形”的方面直观地体现了直线对x轴正向的倾斜程度. (3)一条直线的倾斜角必存在且唯一. 注意点 10 　(1)(多选)下列命题中，正确的是 A.任意一条直线都有唯一的倾斜角 B.一条直线的倾斜角可以为-30° C.倾斜角为0°的直线有无数条 D.若直线的倾斜角为α，则sin α∈(0，1) √ 例1 √ 解析： 任意一条直线都有唯一的倾斜角，故A正确； 倾斜角不可能为负，故B错误； 倾斜角为0°的直线有无数条，它们都垂直于y轴，故C正确； 当α=0°时，sin α=0；当α=90°时，sin α=1，故D错误. 11 (2)(多选)设直线l过坐标原点，它的倾斜角为α，如果将l绕坐标原点按逆时针方向旋转45°，得到直线l1，那么l1的倾斜角可能为 A.α+45° B.α-135° C.135°-α D.α-45° √ √ 解析： 根据题意，画出图形，如图所示. 通过图象可知， 当0°≤α<135°时，l1的倾斜角为α+45°； 当135°≤α<180°时， l1的倾斜角为45°+α-180°=α-135°. 12 直线倾斜角的概念和范围 (1)直线的倾斜角主要根据定义来求，其关键是根据题意画出图形，找准倾斜角，有时要根据情况分类讨论. (2)注意倾斜角的范围. 反思感悟 14 　(1)已知直线l向上的方向与y轴正向所成的角为30°，则直线l的倾斜角为　　　　　　. 跟踪训练1 60°或120° 解析： 有两种情况：①如图(1)， 直线l向上的方向与x轴正向所成的角为60°， 即直线l的倾斜角为60°. ②如图(2)，直线l向上的方向与x轴正向所成的 角为120°，即直线l的倾斜角为120°. (1)　　　　　(2) 15 (2)已知直线l1的倾斜角α1=15°，直线l1与l2的交点为A，直线l1和l2向上的方向所成的角为120°，如图，则直线l2的倾斜角为　　　　. 135° 解析： 设直线l2的倾斜角为α2， l1和l2向上的方向所成的角为120°， 所以∠BAC=120°，所以α2=120°+α1=135°. 16 02 直线的斜率 问题 4 提示　tan α==. 在平面直角坐标系中，设直线l的倾斜角为α. (1)已知直线l经过O(0，0)，P(，1)，α的正切与O，P的坐标有什么关系？ 问题 4 提示　tan α==1-. 在平面直角坐标系中，设直线l的倾斜角为α. (2)类似地，如果直线l经过P1(-1，1)，P2(，0)，α的正切与P1，P2的坐标有什么关系？ 问题 4 提示　tan α=. 在平面直角坐标系中，设直线l的倾斜角为α. (3)一般地，如果直线l经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，x1≠x2，那么α的正切与P1，P2的坐标有什么关系？ 1.把一条直线的倾斜角α的　　　　叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k=　　　. 2.经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k=　　　， 当x1=x2时，直线P1P2的斜率不存在. 3.直线的方向向量与斜率的关系： (1)直线P1P2的方向向量=(x2-x1，y2-y1)，当x1≠x2时，直线P1P2与x轴不垂直，其一个方向向量为=(1，k)，其中k为直线P1P2的斜率. (2)当x1=x2时，直线P1P2与x轴垂直，直线没有斜率，其一个方向向量为(0，1). 知识梳理 正切值 tan α 注意点 (1)当x1=x2时，直线的斜率不存在，倾斜角为90°. (2)当y1=y2时，直线斜率为0，倾斜角为0°. (3)斜率公式中k的值与P1，P2两点在该直线上的位置无关. (4)斜率公式中两纵坐标和两横坐标在公式中的顺序可以同时调换. (5)直线的方向向量与斜率的关系：若直线l的斜率为k，它的一个方 向向量的坐标为(x，y)，则k=. (6)在日常生活中，常用“坡度”表示倾斜面的倾斜程度：坡度= .当直线的倾斜角为锐角时，直线的斜率与坡度是类似的. 22 　(课本例1)如图，已知A(3，2)，B(-4，1)，C(0，-1)，求直线AB，BC，CA的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角. 例2 解： 直线AB的斜率kAB==； 直线BC的斜率kBC===-； 直线CA的斜率kCA===1. 由kAB>0及kCA>0可知，直线AB与CA的倾斜角均为锐角； 由kBC<0可知，直线BC的倾斜角为钝角. 23 经过下列两点的直线的斜率是否存在？如果存在，求其斜率，并确定直线的倾斜角. (1)A(2，3)，B(4，5)； 解： 存在.直线AB的斜率kAB==1， 则直线AB的倾斜角α满足tan α=1， 又0°≤α<180°，所以倾斜角α=45°. 例2 24 经过下列两点的直线的斜率是否存在？如果存在，求其斜率，并确定直线的倾斜角. (2)P(-3，1)，Q(-3，10)； 解： 不存在.因为xP=xQ=-3， 所以直线PQ的斜率不存在，倾斜角α=90°. 例2 25 经过下列两点的直线的斜率是否存在？如果存在，求其斜率，并确定直线的倾斜角. (3)M(2，4)，N(-3，4). 解： 存在.因为yM=yN=4， 所以直线MN的斜率为0，倾斜角α=0°. 例2 26 求直线的斜率的两种方法 (1)利用定义：已知直线的倾斜角为α，且α≠90°，则k=tan α. (2)利用斜率公式：k=(x1≠x2). 反思感悟 27 　(1)若直线的倾斜角为120°，则直线的斜率为　　　. 跟踪训练2 - (2)若过点P(-2，m)，Q(m，4)的直线的斜率为1，则m的值为　　. 1 解析： 由斜率公式k==1，得m=1. (3)已知直线l的方向向量的坐标为(1，)，则直线l的倾斜角为　　 . 解析： 设直线l的斜率为k， 则k=，所以直线的倾斜角为. 28 03 倾斜角和斜率的应用 问题 5 提示　当倾斜角为锐角时，斜率为正，而且斜率随着倾斜角的增大而增大；当倾斜角为钝角时，斜率为负，而且斜率随着倾斜角的增大而增大. 当直线的倾斜角由0°逐渐增大到180°，其斜率如何变化？ 设直线的倾斜角为α，斜率为k. 知识梳理 α的大小 0° 0°<α<90° 90° 90°<α<180° k的范围 k=0 _____ 不存在 _____ k的增减性 — 随α的增 大而_____ — 随α的增 大而_____ k>0 k<0 增大 增大 已知两点A(-3，4)，B(3，2)，过点P(1，0)的直线l与线段AB有公共点. (1)求直线l的斜率k的取值范围； 例3 解： 如图，由题意可知kPA==-1，kPB==1. 要使直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是(-∞，-1]∪[1，+∞). 32 已知两点A(-3，4)，B(3，2)，过点P(1，0)的直线l与线段AB有公共点. (2)求直线l的倾斜角α的取值范围. 例3 解： 由题意可知直线l的倾斜角介于直线PB与PA的倾斜角之间，又直线PB的倾斜角是45°，直线PA的倾斜角是135°， 所以α的取值范围是45°≤α≤135°. 33 将例3中的点“P(1，0)”改为“P(4，0)”，求直线l的斜率k的取值范围. 延伸探究1 解： 如图，由题意可知 kPA==-，kPB==-2. 所以要使直线l与线段AB有公共点， 则直线l的斜率k的取值范围为. 34 将例3中的点“P(1，0)”改为“P(-5，3)”，求直线l的斜率k的取值范围. 解： 延伸探究2 如图，由题意可知 kPA==，kPB==-. 所以要使直线l与线段AB有公共点， 则直线l的斜率k的取值范围为. 35 已知两点A(-3，4)，B(3，2)，点M(x，y)为线段AB上的动点，求的取值范围. 解： 延伸探究3 的几何意义是过M(x，y)，P(1，0)两点的直线的斜率k，又因为点M(x，y)为线段AB上的动点，如图所示，则k≥kPB或k≤kPA， 又kPB==1，kPA==-1， 所以k≥1或k≤-1， 故的取值范围为(-∞，-1]∪[1，+∞). 36 倾斜角和斜率的应用 (1)倾斜角和斜率都可以表示直线的倾斜程度，二者相互联系. (2)涉及直线与线段有交点问题常通过数形结合利用公式求解. 反思感悟 37 课堂小结 1.知识清单： (1)直线的倾斜角及其范围. (2)直线斜率的定义和斜率公式. 2.方法归纳：数形结合法、分类讨论. 3.常见误区：忽视倾斜角范围，图形理解不清. 38 04 随堂演练 1 2 3 4 1.(多选)下列说法正确的是 A.若α是直线l的倾斜角，则0°≤α<180° B.若k是直线的斜率，则k∈R C.任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率 D.任意一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角 √ √ √ 2.已知直线l的倾斜角为，且直线l经过P(-1，)，Q(m，0)两点，则实数m的值为 A.-2 B.0 C.1 D.2 √ 解析： 直线l的倾斜角为，故其斜率k=tan =-， 所以=-，解得m=0. 1 2 3 4 1 2 3 4 3.若直线l的一个方向向量为(2，3)，则直线l的斜率k=　　 . 解析： 因为直线l的一个方向向量为(2，3)，所以直线l的斜率k=. 1 2 3 4 4.已知m≥1，则经过A(m，3)，B(1，2)两点的直线的倾斜角α的取值范围是　　　　　　. 解析： 当m=1时，倾斜角α=90°； 当m>1时，tan α=>0， ∴0°<α<90°.故0°<α≤90°. 0°<α≤90° 05 课时对点练 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 对一对 13 14 题号 1 2 3 4 5 6 7 9 答案 D AC A ABD C 2或 - AB 题号 10 11 13 14 答案 A B 8. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 在菱形OBCD中，OD∥BC，∠BOD=60°， 所以直线OD，BC的倾斜角相等，都为60°， 所以kOD=kBC=tan 60°=. 因为CD∥OB，且OB在x轴上， 所以直线OB，CD的倾斜角相等，都为0°，所以kOB=kCD=0， 由菱形的性质，知∠COB=30°，∠OBD=60°， 所以直线OC，BD的倾斜角分别为30°，120°， 所以kOC=tan 30°=，kBD=tan 120°=-. 13 14 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 由直线的倾斜角α的取值范围是，得当直线的斜率存在时，k< -1或k>1. 即当m≠2时，k==， ∴<-1或>1， 解得0<m<2或2<m<4； 当直线的斜率不存在时，m=2，符合题意. 综上，实数m的取值范围是(0，4). 12. 13 14 1.在平面直角坐标系中，若直线l为第一、三象限的角平分线，则直线l的倾斜角是 A.120° B.135° C.60° D.45° √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 基础巩固 13 14 解析： 因为直线l为第一、三象限的角平分线，所以直线l向上的方向与x轴正向所成的角为45°，故直线l的倾斜角是45°. 2.(多选)已知点A(2，-1)，若在坐标轴上存在一点P，使直线PA的倾斜角为45°，则点P的坐标可以为 A.(3，0) B.(-3，0) C.(0，-3) D.(0，3) √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 √ 解析： 设在x轴上点P的坐标为(m，0)或在y轴上点P的坐标为(0，n)，因为直线PA的倾斜角为45°，可得kPA=1，得==1， 解得m=3，n=-3，故点P的坐标为(3，0)或(0，-3). 3.如图，若直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则 A.k1<k3<k2 B.k3<k1<k2 C.k1<k2<k3 D.k3<k2<k1 √ 解析： 设直线l1，l2，l3的倾斜角分别为α1，α2，α3， 则由图知0°<α3<α2<90°<α1<180°， 所以tan α1<0，tan α2>tan α3>0， 即k1<0，k2>k3>0.故k1<k3<k2. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 4.(多选)已知直线l经过点A(-1，m)，B(m，1)，则下列结论正确的是 A.若直线l与x轴平行，则m=1 B.若直线l与y轴平行，则m=-1 C.若直线l的一个方向向量为(-3，1)，则m= D.若直线l的倾斜角为45°，则m=0 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 √ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解析： 若直线l与x轴平行，则直线l的斜率为=0，∴m=1，故A正确； 若直线l与y轴平行，则直线l的斜率不存在，∴m=-1，故B正确； 若直线l的一个方向向量为(-3，1)，故直线l的斜率为-，即=-，解得m=2，故C错误； 若直线l的倾斜角为45°，则直线l的斜率为1，即=1，解得m=0，故D正确. 5.若直线l的方向向量是(2，2cos θ)，则直线l的倾斜角α的取值范围是 A. B. C.∪ D.∪ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解析： 因为直线l的方向向量是(2，2cos θ)， 所以直线l的斜率k==cos θ， 因为-1≤cos θ≤1， 所以-1≤k≤1，又直线l的倾斜角为α，α∈[0，π)， 则-1≤tan α≤1， 所以0≤α≤或≤α<π，即α的取值范围为∪. 6.已知三点A(a，2)，B(3，7)，C(-2，-9a)在同一条直线上，则实数a的值 为　　　 . 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2或 解析： ∵三点A(a，2)，B(3，7)，C(-2，-9a)在同一条直线上， ∴kAB=kBC，∴=，∴9a2-20a+4=0， ∴a=2或a=. 7.在平面直角坐标系中，已知某直线沿x轴正方向平移3个单位长度，再沿y 轴负方向平移2个单位长度直线回到原来位置，则此直线的斜率k=　　. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 - 解析： 设直线l上任意一点P(x0，y0)，将直线l沿x轴正方向平移3个单位长度， 则点P移动后为P1(x0+3，y0)，再沿y轴负方向平移2个单位长度，则点P1移动后为P2(x0+3，y0-2). ∵P，P2都在直线l上， ∴直线l的斜率k==-. 8.如图所示，菱形OBCD的顶点O与坐标原点重合，OB边在x轴的正半轴上，已知∠BOD=60°，求菱形OBCD各边和两条对角线所在直线的倾斜角和斜率. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 在菱形OBCD中，OD∥BC，∠BOD=60°， 所以直线OD，BC的倾斜角相等，都为60°， 所以kOD=kBC=tan 60°=. 因为CD∥OB，且OB在x轴上， 所以直线OB，CD的倾斜角相等，都为0°， 解： 8.如图所示，菱形OBCD的顶点O与坐标原点重合，OB边在x轴的正半轴上，已知∠BOD=60°，求菱形OBCD各边和两条对角线所在直线的倾斜角和斜率. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 所以kOB=kCD=0， 由菱形的性质，知∠COB=30°，∠OBD=60°， 所以直线OC，BD的倾斜角分别为30°，120°， 所以kOC=tan 30°=，kBD=tan 120°=-. 解： 9.(多选)设直线l1过坐标原点，它的倾斜角为α，若直线l2也过坐标原点，且l1⊥l2，则直线l2的倾斜角可能为 A.α+90° B.α-90° C.α+45° D.α-45° 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 综合运用 √ √ 解析： 根据题意，画出图形，如图所示. 通过图象可知， 当0°≤α<90°时，l2的倾斜角为α+90°； 当90°≤α<180°时，l2的倾斜角为α-90°. 10.若经过两点A(m2+2，m2-3)，B(3-m-m2，2m)的直线的倾斜角为锐角，则实数m的取值范围是 A.(-∞，-1)∪∪(3，+∞) B.∪(3，+∞) C.(-∞，-3)∪∪(1，+∞) D. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 √ 解析： 由已知得kAB===>0， 所以解得 故实数m的取值范围是(-∞，-1)∪∪(3，+∞). 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 11.已知点A(2，3)，B(-3，-2)，若直线l过点P(1，1)，且与线段AB始终没 有交点，则直线l的斜率k的取值范围是　　　　. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解析： ∵kAP==2， kBP==，如图， 又直线l与线段AB始终没有交点， ∴斜率k的取值范围是. 12.过点A(2，1)，B(m，3)的直线的倾斜角α的取值范围是，求实数m的取值范围. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 由直线的倾斜角α的取值范围是，得当直线的斜率存在时，k<-1或k>1. 即当m≠2时，k==， ∴<-1或>1， 解得0<m<2或2<m<4； 当直线的斜率不存在时，m=2，符合题意. 综上，实数m的取值范围是(0，4). 解： 13.已知f(x)=log2(x+1)，且a>b>c>0，则，，的大小关系是 A.>> B.>> C.>> D.>> 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 拓广探究 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解析： 因为表示经过点O(0，0)和点A(x，f(x))的直线的 斜率，所以，，的几何意义可以表示为 3个斜率，作函数f(x)=log2(x+1)的图象，如图所示. 因为a>b>c>0，在函数图象上找到对应点(a，f(a))，(b，f(b))，(c，f(c))，将这三点与坐标原点O相连，如图所示，可得>>. 14.已知实数x，y满足y=x2-2x+2(-1≤x≤1)，则的取值范围是　　　. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解析： 作函数y=x2-2x+2(-1≤x≤1)的图象，如图，由=，可知它表示经 过定点P(-2，-3)与曲线段AB上任意一点(x，y)的直线的斜率k. 分别把x=±1代入y=x2-2x+2，即得A(1，1)，B(-1，5)， ∴kPA==，kPB==8. 由图可知kPA≤k≤kPB，即≤k≤8. 故的取值范围是. THANKS 本课结束 $