第一章 勾股定理 单元测试题 2026—2027学年北师大版八年级数学上册

**基本信息** 北师大版八年级数学上册勾股定理单元测试，A、B卷分层设计（150分），覆盖定理应用、实际情境与文化传承，体现数学眼光、思维与语言素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/32|勾股数、斜边性质、面积关系|基础巩固，如第7题《九章算术》芦苇问题| |填空题|10/40|最短路径、折叠问题、数组规律|能力提升，如第12题藤绕树展开图| |解答题|8/78|台风影响、赵爽弦图、支架稳定性|创新应用，如第17题实验探究滑轮问题|

第一章 勾股定理 单元测试题 2026—2027学年北师大版八年级数学上册 （全卷满分150分，考试时间120分钟） 全卷分A卷和B卷，A卷100分，B卷50分，全卷总分150分 A卷（共100分） 第Ⅰ卷（选择题，共32分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求） 1．下列各组数中，是勾股数的是（　　） A．03，0.4，0.5 B． C．4，5，6 D．9，40，41 2．在直角三角形ABC中，斜边AB＝1，则AC2+BC2的值是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 3．如图，一棵大树被大风刮断后，折断处离地面7.5m，树的顶端离树根4m，则这棵树在折断之前的高度是（　　） A．16m B．18m C．22m D．24m 4．三个正方形的面积如图所示，则S的值为（　　） A．3 B．12 C．9 D．4 5．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，AC＝6，BC＝8，则CD的长为（　　） A．10 B． C． D．5 6．一个三角形的三边长分别是a，b，c，且a，b满足（a+2b﹣19）2+|3a﹣b﹣1|＝0，则此三角形的边c的取值范围是（　　） A．3＜c＜8 B．5＜c＜11 C．3＜c D．c＜11 7．我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题．大意是：有一个水池，纵截面是一个边长为10尺的正方形．在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇径直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，如图．设芦苇长为x尺，那么可以列出方程为（　　） A．x2+52＝（x+1）2 B．x2+102＝（x+1）2 C．（x﹣1）2+102＝x2 D．（x﹣1）2+52＝x2 8．如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面直径是9cm，内壁高12cm．若这支铅笔长为18cm，设这支铅笔在笔筒外面部分长度为x，则x的取值范围是（　　） A．2cm＜x≤5cm B．3cm≤x≤6cm C．4cm＜x≤7cm D．5cm＜x≤8cm 第Ⅱ卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 9．如图（1），在某居民小区内有一块近似长方形的草坪，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在草坪内走出了一条“路”，仅仅少走了几步路，却踩伤了花草，如图（2），经过测量AC＝3m，AB＝4m，计算仅仅少走了 　　 步．（假设1米为2步） 10．如图，所有阴影四边形都是正方形，两个空白三角形均为直角三角形，且A、B、C三个正方形的面积分别为7、16、3，则正方形D的面积为　　 ． 11．如图，AD是△ABC的高，∠BAD＝45°，AC＝13cm，CD＝5cm，则S△ABC＝　 ． 12．有一棵树（将树看作一个圆柱）高14m，底面周长是4m，一条生长在树底下的藤从树底部开始均匀绕树7圈（如图），上端刚好与树顶端齐平，则这条藤的长度是　　 m． 13．如图，将长方形纸片ABCD沿AC折叠，使点D落在D′处，AD′交BC于点E，若AB＝3，BC＝4，则BE的长为 　 ． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分） 14．（8分）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，点D是BC延长线上的点，连接AD．若AC＝13，AB＝12，AD＝15，求CD的长． 15．（8分）如图，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13，求△ACD的面积． 16．（10分）不少家长在选择婴儿车时，不仅关注其舒适性和便捷性，更关注婴儿车的安全性．图1是某品牌婴儿车，图2为其简化结构示意图．根据安全标准需满足BC⊥CD，现测得AB＝CD＝10dm，BC＝5dm，AD＝15dm，其中AB与BD之间由一个固定为90°的零件连接（即∠ABD＝90°），通过计算说明该车是否符合安全标准． 17．（10分）实验探究： 实验情景示意图 实验使用装置 ①一根不可伸缩的绳子绕过定滑轮A，一端固定在滑块B上，另一端固定在物体C上；（A、B、C可以视作三个点） ②滑块B可在水平直轨道上左右滑动，以调节物体C的高度． 初始状态 （图1）物体C静止在轨道上，其到滑轮A的垂直距离为8dm，且AB+BC＝16dm． 实验条件 绳子始终绷紧，滑轮、滑块及物体的大小均可忽略． 任务 （1）求绳子的总长度； （2）（图2）若物体C升高7dm，求滑块B向左滑动的距离． 18.（12分）台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力，此时某台风中心在海域B处，在沿海城市A的正南方向240千米，其中心风力为12级，每远离台风中心25千米，台风就会减弱一级，如图所示，该台风中心正以20千米/时的速度沿北偏东30°方向向C移动，且台风中心的风力不变，若城市所受风力超过4级，则称受台风影响，（提示：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半）试问： （1）A城市是否会受到台风影响？ （2）若会受到台风影响，该城市受到台风影响的最大风力为几级？ （3）若会受到影响，那么台风影响该城市的持续时间有多长？ B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 19．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，以点B为圆心，BC的长为半径画弧，交AB于点D，再以点A为圆心，AD为半径画弧，交AC于点E，则CE的长为 　　 ． 20．（3分）若△ABC的三边a，b，c满足（a﹣b）2＝0，则△ABC的形状是 　　 ． 21．如果把a2+b2＝c2看作是a，b，c的方程，那么满足这个方程的正整数解a，b，c通常叫做勾股数组．毕达哥拉斯学派提出了一个构造勾股数组的公式，根据该公式可以构造出如下勾股数组：3，4，5；5，12，13；7，24，25；…．分析这些勾股数组可以发现，4＝1×（3+1），12＝2×（5+1），24＝3×（7+1），…．分析其中的规律，第6个勾股数组为　　 ． 22．如图，在四边形ABCD中，AD＝CD，∠ADC＝120°，∠CBA＝60°，BC＝2，AB＝5，则对角线BD的长是 　　 ． 23．在△ABC中，AB＝10，BC＝6，AC＝8，点D在线段BC上从点C向点B移动，同时，点E在线段AB上由点A向点B移动，当点D与点B重合时运动停止，已知它们的运动速度相同，连接AD，CE，则AD+CE的最小值为 　　 ． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分） 24．我国是最早了解勾股定理的国家之一，汉代数学家赵爽证明了勾股定理，它被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中，图1所示的“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形（两直角边长分别为a，b，斜边长为c）和一个小正方形拼成的一个大正方形． （1）请用两种不同方法表示图1中阴影部分面积S1． 方法1：S1＝_______； 方法2：S1＝_____．根据以上信息，可以得到等式：___________； （2）将图1中的2个直角三角形位置改变得到图2，若a＝10，b＝5，求图2中阴影部分的面积S2． （3）如图3，将这四个全等的直角三角形紧密地拼接形成风车状图案，直角顶点重合于点O，较大锐角的顶点为C，已知外围轮廓（实线）的周长为24，且OC＝3，求该风车状图案的总面积． 25．（10分）在学校组织的研学活动中，辰星小组合作搭建帐篷．图是他们搭建帐篷的支架示意图．在△ABC中，两根支架从帐篴顶点A支撑在水平的支架上，一根支架AD⊥BC于点D，另一根支架AE的端点E在线段BD上，且AE＝BE．经测量，知BD＝1.6m，AD＝1.2m，AC＝1.5m．根据测量结果，解答下列问题： （1）求AE的长； （2）按照要求，当帐篷支架AB与AC所夹的角度为直角时，帐篷最为稳定．请通过计算说明辰星小组搭建的帐篷是否符合要求． 26．（12分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，∠CBE＝45°，BE分别交AC，AD于点E、F， （1）如图1，若AB＝13，BC＝10，求AF的长度； （2）如图2，若AF＝BC．①求证：E是AC的中点； ②求证：BF2+EF2＝AE2． 参考答案 第一章 勾股定理 单元测试题 2026—2027学年北师大版八年级数学上册 （全卷满分150分，考试时间120分钟） 全卷分A卷和B卷，A卷100分，B卷50分，全卷总分150分 A卷（共100分） 第Ⅰ卷（选择题，共32分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求） 1．下列各组数中，是勾股数的是（　　） A．03，0.4，0.5 B． C．4，5，6 D．9，40，41 【解答】解：A．0.3，0.4，0.5，不是整数，不是勾股数； B． ，，不是整数，不是勾股数； C．42+52≠62，不是勾股数； D．92+402＝412，是勾股数； 故选：D． 2．在直角三角形ABC中，斜边AB＝1，则AC2+BC2的值是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【解答】解：在直角三角形ABC中，斜边AB＝1， ∴AC2+BC2＝AB2＝12＝1， 故选：A． 3．如图，一棵大树被大风刮断后，折断处离地面7.5m，树的顶端离树根4m，则这棵树在折断之前的高度是（　　） A．16m B．18m C．22m D．24m 【解答】解：如图： ∵BC＝7.5m，AC＝4m， ∵∠C＝90°， ∴AB2＝AC2+BC2， 即AB2＝42+7.52， ∴AB＝8.5m， ∴这棵树在折断之前的高度＝8.5+7.5＝16m． 故选：A． 4．三个正方形的面积如图所示，则S的值为（　　） A．3 B．12 C．9 D．4 【解答】解：如图， 由题意可得：AB＝4，AC＝5， ∵AC2＝AB2+BC2， ∴BC2＝25﹣16＝9， ∴S＝9， 故选：C． 5．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，AC＝6，BC＝8，则CD的长为（　　） A．10 B． C． D．5 【解答】解：在Rt△ABC中，AB10， ∵S△ABCAC×BCAB×CD，AC＝6，BC＝8， ∴CD． 故选：B． 6．一个三角形的三边长分别是a，b，c，且a，b满足（a+2b﹣19）2+|3a﹣b﹣1|＝0，则此三角形的边c的取值范围是（　　） A．3＜c＜8 B．5＜c＜11 C．3＜c D．c＜11 【解答】解：∵（a+2b﹣19）2+|3a﹣b﹣1|＝0， ∴（a+2b﹣19）2＝0，|3a﹣b﹣1|＝0， ∴， 解得， ∴c的取值范围是5＜c＜11， 故选B． 7．我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题．大意是：有一个水池，纵截面是一个边长为10尺的正方形．在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇径直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，如图．设芦苇长为x尺，那么可以列出方程为（　　） A．x2+52＝（x+1）2 B．x2+102＝（x+1）2 C．（x﹣1）2+102＝x2 D．（x﹣1）2+52＝x2 【解答】解：设芦苇长为x尺，由题意得： （x﹣1）2+52＝x2， 故选：D． 8．如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面直径是9cm，内壁高12cm．若这支铅笔长为18cm，设这支铅笔在笔筒外面部分长度为x，则x的取值范围是（　　） A．2cm＜x≤5cm B．3cm≤x≤6cm C．4cm＜x≤7cm D．5cm＜x≤8cm 【解答】解：根据题意可得图形：AB＝12cm，BC＝9cm， ∴AC15cm， ∵18﹣15＝3（cm），18﹣12＝6（cm）． 这支铅笔在笔筒外面部分长度在3cm≤x≤6cm． 故选：B． 第Ⅱ卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 9．如图（1），在某居民小区内有一块近似长方形的草坪，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在草坪内走出了一条“路”，仅仅少走了几步路，却踩伤了花草，如图（2），经过测量AC＝3m，AB＝4m，计算仅仅少走了 　4　 步．（假设1米为2步） 【解答】解：根据题意知：∠BAC＝90°，AC＝3m，AB＝4m， ∴， ∴3+4﹣5＝2（m）， ∵1米为2步， ∴2米为4步， ∴仅仅少走了4步． 故答案为：4． 10．如图，所有阴影四边形都是正方形，两个空白三角形均为直角三角形，且A、B、C三个正方形的面积分别为7、16、3，则正方形D的面积为　6　 ． 【解答】解：如图， 由勾股定理结合正方形的面积可知，SB﹣SA＝SE＝SC+SD， 又∵A、B、C三个正方形的面积分别为7、16、3， ∴正方形D的面积＝SB﹣SA﹣SC＝16﹣7﹣3＝6， 故答案为：6． 11．如图，AD是△ABC的高，∠BAD＝45°，AC＝13cm，CD＝5cm，则S△ABC＝　102cm2 ． 【解答】解：∵AD是△ABC的高， ∴∠ADC＝∠ADB＝90°， ∴在Rt△ACD中，AC＝13cm，CD＝5cm， 由勾股定理得：， ∵∠BAD＝45°，∠ADB＝90°， ∴∠BAD＝∠ABD＝45°， ∴AD＝BD＝12cm， ∴BC＝BD+CD＝12+5＝17（cm）， ∴∠BAD＝45°，AC＝13cm，CD＝5cm时，则△ABC的面积为：． 12．有一棵树（将树看作一个圆柱）高14m，底面周长是4m，一条生长在树底下的藤从树底部开始均匀绕树7圈（如图），上端刚好与树顶端齐平，则这条藤的长度是　14　 m． 【解答】解：把大树看作圆柱，其侧面展开图为矩形，则矩形的长为4m， 缠木七周，则长为28m， ∵大树高为14m， ∴这条腾条长度为（m）． 故答案为：14． 13．如图，将长方形纸片ABCD沿AC折叠，使点D落在D′处，AD′交BC于点E，若AB＝3，BC＝4，则BE的长为 　　 ． 【解答】解：由折叠得：CD＝CD′，∠D＝∠D′＝90°， 在矩形ABCD中，CD＝AB，∠B＝90°， ∴AB＝CD′，∠B＝∠D′＝90°， 又∵∠AEB＝∠CED′， ∴△ABE≌△CD′E（AAS）， ∴AE＝CE， 设BE＝x，则AE＝CE＝4﹣x， 在Rt△ABE中，AB2+BE2＝AE2， 即32+x2＝（4﹣x）2， 解得：，即BE的长为， 故答案为：． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分） 14．（8分）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，点D是BC延长线上的点，连接AD．若AC＝13，AB＝12，AD＝15，求CD的长． 【解答】解：∵∠ABC＝90°， 在Rt△ABC中，， 在Rt△ABD中，， ∴若AC＝13，AB＝12，AD＝15，则CD＝BD﹣BC＝4． 故答案为：4． 15．（8分）如图，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13，求△ACD的面积． 【解答】解：∵∠B＝90°，AB＝3，BC＝4， ∴根据勾股定理得：AC， 又∵CD＝12，AD＝13， ∴AD2＝132＝169＝CD2+AC2， ∴△ACD为直角三角形，∠ACD＝90°， ∴， 即△ACD的面积是30． 16．（10分）不少家长在选择婴儿车时，不仅关注其舒适性和便捷性，更关注婴儿车的安全性．图1是某品牌婴儿车，图2为其简化结构示意图．根据安全标准需满足BC⊥CD，现测得AB＝CD＝10dm，BC＝5dm，AD＝15dm，其中AB与BD之间由一个固定为90°的零件连接（即∠ABD＝90°），通过计算说明该车是否符合安全标准． 【解答】解：在Rt△ABD中， ∵AD＝15dm，∠ABD＝90°，AB＝10dm， ∴BD2＝AD2﹣AB2， BD2＝152﹣102 ＝225﹣100 ＝125． 在△BCD中， ∵BC＝5dm，CD＝10dm， ∴BC2+CD2＝25+100＝125．BC2+CD2＝52+102， ∴BC2+CD2＝BD2， ∴△BCD是直角三角形，且∠BCD＝90°， ∴BC⊥CD． 故该车符合安全标准． 17．（10分）实验探究： 实验情景示意图 实验使用装置 ①一根不可伸缩的绳子绕过定滑轮A，一端固定在滑块B上，另一端固定在物体C上；（A、B、C可以视作三个点） ②滑块B可在水平直轨道上左右滑动，以调节物体C的高度． 初始状态 （图1）物体C静止在轨道上，其到滑轮A的垂直距离为8dm，且AB+BC＝16dm． 实验条件 绳子始终绷紧，滑轮、滑块及物体的大小均可忽略． 任务 （1）求绳子的总长度； （2）（图2）若物体C升高7dm，求滑块B向左滑动的距离． 【解答】解：（1）∵物体C到定滑轮A的垂直距离是8dm，AB+BC＝16dm， 设AB＝xdm，则BC＝（16﹣x）dm， 在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC2+BC2＝AB2， ∴82+（16﹣x）2＝x2， 解得：x＝10， ∴AB＝10dm， ∴绳子长度＝AB+AC＝10+8＝18（dm）； （2）如图2， 若物体C升高7dm，则此时AB＝10+7＝17（cm）， 在Rt△ABD中，由勾股定理得：BD15（dm）， ∴BE＝BD﹣ED＝15﹣6＝9（dm）， 答：滑块B向左滑动的距离为9dm． 18.（12分）台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力，此时某台风中心在海域B处，在沿海城市A的正南方向240千米，其中心风力为12级，每远离台风中心25千米，台风就会减弱一级，如图所示，该台风中心正以20千米/时的速度沿北偏东30°方向向C移动，且台风中心的风力不变，若城市所受风力超过4级，则称受台风影响，（提示：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半）试问： （1）A城市是否会受到台风影响？ （2）若会受到台风影响，该城市受到台风影响的最大风力为几级？ （3）若会受到影响，那么台风影响该城市的持续时间有多长？ 【解答】解：（1）该城市会受到这次台风的影响． 理由是：如图，在Rt△ABD中，∠ABD＝30°，AB＝240千米， ∴ADAB＝120千米， ∵城市受到的风力超过四级，则称受台风影响， ∴受台风影响范围的半径为25×（12﹣4）＝200千米． ∵120＜200， ∴该城市会受到这次台风的影响． （2）∵AD距台风中心最近，AD＝120千米， 又∵120÷25）＝4.8≈5， ∴12﹣5＝7（级）， ∴该城市受到这次台风最大风力为7级． （3）如图以A为圆心，200为半径作⊙A交BC于E、F． 则AE＝AF＝200． ∴台风影响该市持续的路程为：EF＝2DE＝2320． ∴台风影响该市的持续时间t＝320÷20＝16（小时）． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 19．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，以点B为圆心，BC的长为半径画弧，交AB于点D，再以点A为圆心，AD为半径画弧，交AC于点E，则CE的长为 　2　 ． 【解答】解：由题意可知，BD＝BC＝3，AE＝AD， ∴AE＝AD＝AB﹣BD＝5﹣3＝2， ∵∠C＝90°，AB＝5，BC＝3， ∴AC4， ∴CE＝AC﹣AE＝4﹣2＝2， 故答案为：2． 20．（3分）若△ABC的三边a，b，c满足（a﹣b）2＝0，则△ABC的形状是 　等腰直角三角形　 ． 【解答】解：∵，（a﹣b）2≥0， 又∵（a﹣b）2＝0， ∴a2+b2﹣c2＝0，且a﹣b＝0， 由a2+b2﹣c2＝0，得：a2+b2＝c2， 此时△ABC是直角三角形， 由a﹣b＝0，得：a＝b， 此时△ABC是等腰三角形， 综上所述：△ABC是等腰直角三角形． 故答案为：等腰直角三角形． 21．如果把a2+b2＝c2看作是a，b，c的方程，那么满足这个方程的正整数解a，b，c通常叫做勾股数组．毕达哥拉斯学派提出了一个构造勾股数组的公式，根据该公式可以构造出如下勾股数组：3，4，5；5，12，13；7，24，25；…．分析这些勾股数组可以发现，4＝1×（3+1），12＝2×（5+1），24＝3×（7+1），…．分析其中的规律，第6个勾股数组为　13，84，85　 ． 【解答】解：由勾股数组：3，4，5；5，12，13；7，24，25；…可知，4＝1×（3+1），12＝2×（5+1），24＝3×（7+1），…， ∴第4组勾股数中间的数为4×（9+1）＝40，即勾股数组为：9，40，41， 第5组勾股数中间的数为：5×（11+1）＝60，即勾股数组为：11，60，61， 第6组勾股数中间的数为：6×（13+1）＝84，即勾股数组为：13，84，85， 故答案为：13，84，85． 22．如图，在四边形ABCD中，AD＝CD，∠ADC＝120°，∠CBA＝60°，BC＝2，AB＝5，则对角线BD的长是 　　 ． 【解答】解：把△BCD绕D顺时针旋转120°得到△C′DB′，过D作DH⊥AB垂足为H， ∴△BCD≌△B′C′D（SSS）， ∴BD＝B′D，∠CDB＝∠ADB′，∠DAB′＝∠C， ∵四边形内角和为360°， ∴∠C+∠CBA+∠BAD+∠CDA＝360°， ∵∠ADC＝120°，∠CBA＝60°， ∴∠C+∠BAD＝180°， ∴∠BAD+∠DC′B′＝180°， ∴点B、A、B′三点在同一条直线上， ∵∠ADC＝∠ADB+∠BDC ＝∠ADB+∠ADB ＝∠BDB′＝120°， ∵BD＝DB′， ∴∠B′＝∠DBA＝30°， ∵BB′＝BA+B′C′＝7，DH⊥AB，BD＝DB′， ∴HB′， 在Rt△BDH中，， ∴BD； 故答案为：． 23．在△ABC中，AB＝10，BC＝6，AC＝8，点D在线段BC上从点C向点B移动，同时，点E在线段AB上由点A向点B移动，当点D与点B重合时运动停止，已知它们的运动速度相同，连接AD，CE，则AD+CE的最小值为 　　 ． 【解答】解：∵AB＝10，BC＝6，AC＝8，则AB2＝BC2+AC2， ∴△ABC为直角三角形，则∠ACB＝90°， 作CF⊥AB交AB于F，作∠BCH＝∠BAC，并使得CH＝AC＝8，过点A作AG⊥HC交HC延长线于点G，连接AH，则∠G＝∠AFC＝90°，∠BAC+∠ACF＝90°， ∵∠ACF+∠BCF＝90°， ∴∠BCH＝∠BAC＝∠BCF， 又∵∠ACB＝90°， ∴∠ACG+∠BCH＝90°， ∴∠ACF＝∠ACG， ∵AC＝AC， ∴△ACF≌△ACG（AAS）， ∴CG＝CF，AG＝AF， 又∵， ∴， 则，， ∴， ∵点D，点E运动速度相同， ∴CD＝AE， 又∵∠BCH＝∠BAC，CH＝AC， ∴△ACE≌△CHD（SAS）， ∴CE＝DH， ∴，当点D在AH上时，取等号， ∴AD+CE的最小值为：． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分） 24．我国是最早了解勾股定理的国家之一，汉代数学家赵爽证明了勾股定理，它被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中，图1所示的“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形（两直角边长分别为a，b，斜边长为c）和一个小正方形拼成的一个大正方形． （1）请用两种不同方法表示图1中阴影部分面积S1． 方法1：S1＝ a2+b2 ； 方法2：S1＝ c2 ．根据以上信息，可以得到等式：a2+b2＝c2 ； （2）将图1中的2个直角三角形位置改变得到图2，若a＝10，b＝5，求图2中阴影部分的面积S2． （3）如图3，将这四个全等的直角三角形紧密地拼接形成风车状图案，直角顶点重合于点O，较大锐角的顶点为C，已知外围轮廓（实线）的周长为24，且OC＝3，求该风车状图案的总面积． 【解答】解：（1）方法1：， 方法2：， ∴a2+b2＝c2； 故答案为：a2+b2，c2，a2+b2＝c2； （2）， 当a＝10，b＝5时， ． （3）∵OC＝3，外围轮廓（实线）的周长为24， ∴b＝3，4c+4（a﹣b）＝4（a﹣b+c）＝24， ∴a+c＝9，c＝9﹣a， ∵a2+b2＝c2， ∴a2+9＝（9﹣a）2， 解得a＝4， ∴． 25．（10分）在学校组织的研学活动中，辰星小组合作搭建帐篷．图是他们搭建帐篷的支架示意图．在△ABC中，两根支架从帐篴顶点A支撑在水平的支架上，一根支架AD⊥BC于点D，另一根支架AE的端点E在线段BD上，且AE＝BE．经测量，知BD＝1.6m，AD＝1.2m，AC＝1.5m．根据测量结果，解答下列问题： （1）求AE的长； （2）按照要求，当帐篷支架AB与AC所夹的角度为直角时，帐篷最为稳定．请通过计算说明辰星小组搭建的帐篷是否符合要求． 【解答】解：（1）设AE＝xm，则BE＝AE＝xm，ED＝（1.6﹣x）m， ∵AD⊥BC， ∴∠ADB＝∠ADC＝90°， 在Rt△ADE中，AD2+ED2＝AE2， 1.22+（1.6﹣x）2＝x2，解得． ∴AE的长为； （2）帐篷符合要求． 理由如下： 在Rt△ABD中，BD＝1.6m，AD＝1.2m， ∴， 在Rt△ADC中，AD＝1.2m，AC＝1.5m， ∴， ∴BC＝BD+CD＝2.5m， ∵AB2+AC2＝22+1.52＝6.25，BC2＝2.52＝6.25， ∴AB2+AC2＝BC2． ∴△ABC是直角三角形，∠BAC＝90°． ∴帐篷符合要求． 26．（12分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，∠CBE＝45°，BE分别交AC，AD于点E、F， （1）如图1，若AB＝13，BC＝10，求AF的长度； （2）如图2，若AF＝BC．①求证：E是AC的中点； ②求证：BF2+EF2＝AE2． 【解答】（1）解：在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，BC＝10， ∴BD＝CDBC， ∵AB＝13， ∴BD＝CD＝5， 在Rt△ABD中，AB＝13， 由勾股定理得：， ∵∠CBE＝45°， ∴△BDF是等腰直角三角形， ∴DF＝BD＝5， ∴AF＝AD﹣DF＝12﹣5＝7； （2）证明：①如图2，AD⊥BC，∠CBE＝45°，在BF上取一点H，使BH＝EF，连接CF、CH， ∴∠FDB＝90°，∠DFB＝90°﹣∠CBE＝45°， ∵∠AFE＝∠DFB＝45°， ∴∠CBH＝∠AFE＝45°， 在△CHB和△AEF中， ， ∴△CHB≌△AEF（SAS）， ∴AE＝CH，∠AEF＝∠BHC， ∴∠CEF＝∠CHE， ∴CE＝CH， ∴AE＝CE，即E是AC的中点； ②∵AB＝AC，AD⊥BC， ∴BD＝CD， ∴CF＝BF，∠CFD＝∠BFD＝45°， ∴∠CFB＝90°， 由①可知，CE＝CH＝AE， ∴EF＝FH， 在Rt△CFH中，由勾股定理得：CF2+FH2＝CH2， ∴BF2+EF2＝AE2． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $