第18章 勾股定理及其逆定理（高效培优单元自测·强化卷）数学新教材沪科版八年级下册

第18章 勾股定理及其逆定理（高效培优单元自测·强化卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．下列各组数中能作为直角三角形的三边长的是（    ） A．1，2，3 B．3，4，5 C． D． 2．我国古代数学家赵爽巧妙地用“弦图”证明了勾股定理，体现了中国古代的数学成就．如图所示的“弦图”是由四个全等的直角三角形和中间的一个小正方形拼成的一个大正方形．直角三角形的斜边长为13，一条直角边长为12，则小正方形的面积是（    ） A．25 B．36 C．49 D．64 3．跳绳时，小红按照老师教的方法调节绳长（如图1）：双脚踩住绳中央，大臂紧贴身体，小臂水平，两肘弯曲．将绳拉直，此时绳长为合适长度．将双脚抽象看作一点，得到图2，数据如图所示，则适合的绳长为（    ） A． B． C． D． 4．如图是一株美丽的“勾股树”，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形，，，的面积分别为，，，，则正方形的面积为（   ）． A． B． C． D． 5．如图，四边形中，对角线，相交于点，且．若，，则的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 6．在中，，．若，则的周长为（   ） A． B． C． D． 7．如图，在中，，垂直平分，若，，则的长为（    ） A． B． C．6 D．8 8．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点都在格点上，以为圆心，的长为半径画弧，交于点，则的长为（   ） A． B． C． D． 9．如图，圆柱形玻璃杯高为，底面周长为．在杯内离杯底的点C处有滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜C点的最短距离为（   ） A． B． C． D． 10．如图，在中，，，，于点D，动点P从点A出发以每秒的速度在线段上向终点D运动．设动点运动的时间为t秒，动点M从点C出发以每秒的速度在射线上运动．若点M与点P同时出发，且当点P运动到终点D时，点M也停止运动，若存在t，使得，则t的值为（   ） A．2或 B．2或 C．2或 D．2或12.5 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11．若，且a，b，c为的三边，则的面积为_____． 12．如图，点为数轴的原点，点表示，等腰直角三角形．现以点为圆心，斜边长为半径作弧，交数轴于点，则数轴上点表示的数为_________． 13．已知一个直角三角形的两条边长分别为6和8，则它的第三条边长为________． 14．如图，在中，，，， （1）______； （2）将沿着折叠，使点B的对应点落在边上的D点处，若是以为腰的等腰三角形，则______． 三.解答题（本大题共9题，满分90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．某单位大门装有红外线自动感应门，红外线感应器安装在门正上方A处（如图所示），感应器离地面的距离米，当身高为1.8米的人走到离门水平距离0.8米的地方时（即米），大门就会自动打开，求感应器的感应距离是多少？ 16．古希腊的几何学家海伦在研究中发现：如果一个三角形的三边长分别为，那么三角形的面积S与之间的关系式是：①． 已知的三边的长分别为．请借助这个具体的三角形验证关系式①是正确的． 17．已知中，cm，cm，边上的高是，请画出图形并求出边的长． 18．如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点． (1)在网格图中，以格点为顶点画一个，使三边长，，； (2)求出图中的面积． 19．如图，阴影部分是某学校八（6）班的班级菜园，经测量，，，，． (1)求证：是直角三角形． (2)八（6）班计划将班级菜园全部种植西红柿，已知购买每平方米土地上栽种的西红柿苗需要9元，求购买西红柿苗总共需要的费用． 20．如图，在中，，垂足为，，延长至，使得，连接． (1)求证：； (2)若，，求的周长和面积． 21．中，，于，， (1)求长； (2)求长． 22．已知，如图①，在中，，，点D、E分别为线段上两动点，在点D、E运动过程中，始终是．探究线段、、三条线段之间的数量关系． (1)请猜想、、三条线段之间的数量关系，直接写出结果． (2)深入思考：当动点E在线段上，动点D运动到线段的延长线上时，如图②，其它条件不变，（1）中的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明． (3)结论应用：若； ①在图1中，，求出和的长． ②在图2中，若，直接写出： ， ． 23．如图，在中，，，，，是边上的两个动点，点从点开始沿方向运动且速度为，点从点开始沿方向运动，在边上的运动速度是，在边上的运动速度是．，两点同时出发，当点到达点时，点也随之停止运动．设运动时间为（单位：），请解答： (1)边的长为______． (2)当时，求的面积． (3)当时，求的长． (4)当时，求的值． 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 第18章 勾股定理及其逆定理（高效培优单元自测·强化卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．下列各组数中能作为直角三角形的三边长的是（    ） A．1，2，3 B．3，4，5 C． D． 【答案】B 【详解】解：A、，不能构成直角三角形，故此选项不符合题意； B、，能构成直角三角形，故此选项符合题意； C、，不能构成直角三角形，故此选项不符合题意； D、，不能构成直角三角形，故此选项不符合题意； 故选：B． 2．我国古代数学家赵爽巧妙地用“弦图”证明了勾股定理，体现了中国古代的数学成就．如图所示的“弦图”是由四个全等的直角三角形和中间的一个小正方形拼成的一个大正方形．直角三角形的斜边长为13，一条直角边长为12，则小正方形的面积是（    ） A．25 B．36 C．49 D．64 【答案】C 【详解】解：如图所示： 直角三角形的斜边长为13，一条直角边长为12， 由勾股定理可知，另一条直角边为， 小正方形的边长为，则小正方形的面积是， 故选：C． 3．跳绳时，小红按照老师教的方法调节绳长（如图1）：双脚踩住绳中央，大臂紧贴身体，小臂水平，两肘弯曲．将绳拉直，此时绳长为合适长度．将双脚抽象看作一点，得到图2，数据如图所示，则适合的绳长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图， 过点A作于D，则， 由题意可知，， ∴， ∴， ∴适合小红的绳长为． 4．如图是一株美丽的“勾股树”，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形，，，的面积分别为，，，，则正方形的面积为（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图， 在中，， ∴， 同理可得，， ∴． 5．如图，四边形中，对角线，相交于点，且．若，，则的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【详解】解：因为，所以， 由勾股定理得， ， 所以，所以． 因为，， 所以， 故选：B． 6．在中，，．若，则的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵在中，，， ∴，即， 设，则， 由勾股定理得 ，即， 整理得， ∵边长为正数，解得， ∴，， ∴的周长为． 7．如图，在中，，垂直平分，若，，则的长为（    ） A． B． C．6 D．8 【答案】A 【详解】解：∵垂直平分， ∴， ． 在中，，由勾股定理得：； 在中，，由勾股定理得：； 8．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点都在格点上，以为圆心，的长为半径画弧，交于点，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：根据题意，得，，，， ∴， ∴． 9．如图，圆柱形玻璃杯高为，底面周长为．在杯内离杯底的点C处有滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜C点的最短距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图，将圆柱的侧面展开，    根据题意，， ∴ 作点Ａ关于直线的对称点G，连接，则为所求最短距离， 则， 过点作，交的延长线于点E， 则四边形是矩形， 故， 故， 故， ∴蚂蚁到达蜂蜜C点的最短距离为． 故选：C 10．如图，在中，，，，于点D，动点P从点A出发以每秒的速度在线段上向终点D运动．设动点运动的时间为t秒，动点M从点C出发以每秒的速度在射线上运动．若点M与点P同时出发，且当点P运动到终点D时，点M也停止运动，若存在t，使得，则t的值为（   ） A．2或 B．2或 C．2或 D．2或12.5 【答案】C 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 当点M在点D左侧时，， 解得：或（舍去）； 当点M在点D右侧时，， 解得：； 综上，t的值为2或． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11．若，且a，b，c为的三边，则的面积为_____． 【答案】24 【详解】解：∵， ∴，，， ∴，，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴的面积为， 故答案为：24． 12．如图，点为数轴的原点，点表示，等腰直角三角形．现以点为圆心，斜边长为半径作弧，交数轴于点，则数轴上点表示的数为_________． 【答案】 【详解】解：点表示，等腰直角三角形， ， ， ， 根据作图步骤可知，， 数轴上点表示的数为． 13．已知一个直角三角形的两条边长分别为6和8，则它的第三条边长为________． 【答案】10或 【详解】解：在直角三角形中，若两条边6和8均为直角边，则斜边长由勾股定理得； 若8为斜边，则另一条直角边长由勾股定理得． 综上所述，第三边长为10或． 故答案为：10或． 14．如图，在中，，，， （1）______； （2）将沿着折叠，使点B的对应点落在边上的D点处，若是以为腰的等腰三角形，则______． 【答案】 8 4或4 【详解】（1）解：在中，，，， ； （2）解：在中，， 由折叠的性质知，，， 设，则、， 是以为腰的等腰三角形， 分两种情况讨论： ①当时， ， 解得， ； ②当时，， 、， 、， ， ， ， 点与重合， 如图： ， 在中，由勾股定理得：， ， ， 综上所述，的长为4或． 三.解答题（本大题共9题，满分90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．某单位大门装有红外线自动感应门，红外线感应器安装在门正上方A处（如图所示），感应器离地面的距离米，当身高为1.8米的人走到离门水平距离0.8米的地方时（即米），大门就会自动打开，求感应器的感应距离是多少？ 【详解】解：由题知：，， 在中，， ∴， ∴感应器的感应距离是1米． 16．古希腊的几何学家海伦在研究中发现：如果一个三角形的三边长分别为，那么三角形的面积S与之间的关系式是：①． 已知的三边的长分别为．请借助这个具体的三角形验证关系式①是正确的． 【详解】解：中，，即， 是直角三角形， ． 将代入关系式①，得 ． 故可以验证关系式①是正确的． 17．已知中，cm，cm，边上的高是，请画出图形并求出边的长． 【详解】解：设边上的高为，为垂足，，分两种情况讨论： 情况1：高在内部（垂足在线段上），如图所示： 在中，， 在中，， ∴； 情况2：高在外部（垂足在的延长线上），如图所示： 在中，， 在中，， ∴， 综上，的长为或． 18．如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点． (1)在网格图中，以格点为顶点画一个，使三边长，，； (2)求出图中的面积． 【详解】（1）解：如图，即为所求； ，，； （2）解：的面积． 19．如图，阴影部分是某学校八（6）班的班级菜园，经测量，，，，． (1)求证：是直角三角形． (2)八（6）班计划将班级菜园全部种植西红柿，已知购买每平方米土地上栽种的西红柿苗需要9元，求购买西红柿苗总共需要的费用． 【详解】（1）证明：，，， ， 是直角三角形． （2）解：过作交于， ，， 为中点，， ， ， 是直角三角形， ， ， 则（元）， 答：购买西红柿苗总共需要元． 20．如图，在中，，垂足为，，延长至，使得，连接． (1)求证：； (2)若，，求的周长和面积． 【详解】（1）解：证明：，， 垂直平分， ， ； （2）解：由（1）可知，， ，， ， 在中，， ，， ，， 在中，， 的周长， 的面积． 21．中，，于，， (1)求长； (2)求长． 【详解】（1）解：根据勾股定理可得； （2）解：设，则可得， 在中，， 在中，， 则可得， 解得， ． 22．已知，如图①，在中，，，点D、E分别为线段上两动点，在点D、E运动过程中，始终是．探究线段、、三条线段之间的数量关系． (1)请猜想、、三条线段之间的数量关系，直接写出结果． (2)深入思考：当动点E在线段上，动点D运动到线段的延长线上时，如图②，其它条件不变，（1）中的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明． (3)结论应用：若； ①在图1中，，求出和的长． ②在图2中，若，直接写出： ， ． 【详解】（1）解：，证明如下： 将绕A顺时针旋转后得，连接， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴； （2）解：关系式仍然成立． 证明：将绕点A顺时针旋转得到．连接． ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：①∵，， ∴， ∵， ∴①， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴②， 联立①②，解得，； ②∵， ∴①， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴②， 联立①②，解得，． 23．如图，在中，，，，，是边上的两个动点，点从点开始沿方向运动且速度为，点从点开始沿方向运动，在边上的运动速度是，在边上的运动速度是．，两点同时出发，当点到达点时，点也随之停止运动．设运动时间为（单位：），请解答： (1)边的长为______． (2)当时，求的面积． (3)当时，求的长． (4)当时，求的值． 【详解】（1）解：∵在中，，，， ∴， ∴边的长为； （2）解：∵，是边上的两个动点，点从点开始沿方向运动且速度为，点从点开始沿方向运动，在边上的运动速度是，在边上的运动速度是，，两点同时出发，当点到达点时，点也随之停止运动，设运动时间为（单位：）， ∴点从点到点的运动时间为：， 点从点到点的运动时间为：， ∴， 当时，，， ∴，此时点在线段上，如图， ∴， ∴的面积为； （3）解：如图，设运动时间为时，， ∴， ∵，，，， ∴， 在中，， ∴， 解得：， 此时点在线段上， ∴， ∴； （4）解：如图，设运动时间为时，，连接， 此时点在线段上， ∴，， ∵，，，， ∴，， 在中，， 在中，， 在中，， ∴， 即， ∴， 解得：． 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $