4.5.1　函数的零点与方程的解课件-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦函数的零点与方程的解，涵盖零点概念、与方程解及图象交点的联系、零点存在定理、零点个数判断等核心知识点，通过“填一填”“判一判”衔接指数函数等前置知识，搭建学习支架。 其亮点在于分类型例题结合方法总结，“判一判”辨析易错点，例3数形结合判断零点个数、例4参数问题体现数学思维与数学语言，帮助学生提升逻辑推理与数形结合能力，教师可直接使用结构清晰的内容提高教学效率。

第四章　指数函数与对数函数 4.5　函数的应用(二) 4.5.1　函数的零点与方程的解 题 库 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1.了解函数的零点、方程的解和图象与x轴的公共点的横坐标三者之间的联系. 2.会借助函数零点存在定理判断函数的零点所在的大致区间. 3.能借助函数单调性及图象判断零点个数． 学习目标 基础知识 f(x)＝0 x轴 f(x)＝0 【说明】　(1)零点不是点，是函数图象与x轴交点的横坐标． (2)求零点可转化为求对应方程的解． (3)不能用公式求解的方程，可以与函数联系起来，利用函数的图象和性质找零点，然后得到方程的解． 【说明】　(1)该定理只能用来判断函数的变号零点，比如y＝x2，有零点为0，但是该零点的两侧函数值的符号相同，故无法用该定理判断． (2)闭区间[a，b]上的连续函数y＝f(x)，且f(a)f(b)<0是函数有零点的充分不必要条件． 连续不断 f(a)f(b) f(c)＝0 判一判 (1)所有的函数都有零点．(　　) (2)若函数y＝f(x)在区间(a，b)上有零点，则一定有f(a)·f(b)<0.(　　) (3)若f(a)·f(b)>0，则f(x)在[a，b]内无零点.(　　) (4)若f(x)在[a，b]上为单调函数，且f(a)·f(b)<0，则f(x)在(a，b)内有且只有一个零点．(　　) × × × × 例题 类型一　求函数的零点 【例1】　(1)已知函数f(x)＝ 则函数f(x)的零点为 ． (2)如果函数f(x)＝x2＋mx＋m＋2的一个零点是0，则另一个零点是 ． [解析]　(1)当x≤0时，由f(x)＝x2＋x－2＝0，即(x－1)(x＋2)＝0，解得x＝－2或x＝1(舍)；当x>0时，由f(x)＝－1＋ln x＝0，解得x＝e.综上可得，函数f(x)的零点为－2，e. (2)函数f(x)＝x2＋mx＋m＋2的一个零点为0，即f(0)＝m＋2＝0，所以m＝－2，则f(x)＝x2－2x，由f(x)＝x2－2x＝0，解得x＝0或x＝2，于是另一个零点是2. －2，e 2 方法总结 探究函数零点的两种求法 (1)代数法：求方程f(x)＝0的实数根，若存在实数根，则函数存在零点，否则函数不存在零点． (2)几何法：与函数y＝f(x)的图象联系起来，图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点． [跟踪训练1]　(1)函数y＝ 的零点是 . (2)若函数f(x)＝log2(x＋a)的零点为－2，则a＝ ． 解析　 则(x－1)2＝0且x－3≠0，解得x＝1，所以函数f(x)的零点为1. (2)根据题意，若函数f(x)＝log2(x＋a)的零点为－2，则f(－2)＝log2(a－2)＝0，即a－2＝1，解得a＝3. 1 3 类型二　确定函数零点所在的区间 【例2】　(1)(多选)若定义在R上的连续不断的函数f(x)满足f(1)>0，f(2)<0，f(3)<0，则下列说法不正确的是(　 　) A．f(x)在区间(1，2)上有且只有一个零点 B．f(x)在区间(1，2)上有零点 C．f(x)在区间(1，3)上有且只有一个零点 D．f(x)在区间(2，3)上没有零点 ACD (2)(多选)用函数零点存在定理判断下列区间为函数f(x)＝ex－x－2的零点所在区间的是(　 　) A．(－2，－1) B．(－1，0) C．(0，1) D．(1，2) AD [解析]　(1)因为f(1)·f(2)<0，所以f(x)在区间(1，2)上有零点，但不确定有几个，故A错误，B正确；因为f(1)f(3)<0，所以f(x)在区间(1，3)上有零点，但不确定有几个，故C错误；因为f(2)f(3)>0，所以不能确定f(x)在区间(2，3)上是否有零点，故D错误． (2)由函数f(x)＝ex－x－2，可得f(－2)＝e-2＋2－2＝e-2>0，f(－1)＝e-1＋1－2＝e-1－1<0，f(0)＝e0－0－2＝－1<0，f(1)＝e1－1－2＝e－3<0，f(2)＝e2－2－2＝e2－4>0，可得f(－2)·f(－1)<0，f(1)f(2)<0，根据函数零点存在定理可知，f(x)在(－2，－1)和(1，2)上有零点． 方法总结 确定函数f(x)的零点所在区间的常用方法 (1)解方程法：当对应方程f(x)＝0易解时，可先解方程，再看求得的根是否落在给定区间上． (2)利用函数零点存在定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)f(b)<0.若f(a)f(b)<0，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点． (3)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断． [跟踪训练2]　函数f(x)＝lg x＋5x－11的零点所在区间是(　　) A．(0，1) B．(1，2) C．(2，3) D．(3，4) 解析　因为f(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以f(x)在(0，＋∞)上有且只有一个零点．当0<x<1时，lg x<0，5x－11<0，所以f(x)<0，则f(x)在(0，1)上无零点．因为f(1)＝－6<0，f(2)＝lg 2－1<0，f(3)＝lg 3＋4>0，f(4)＝lg 4＋9>0，所以根据函数零点存在定理可知，f(x)在(2，3)上有零点． C 类型三　函数零点的个数 角度1　判断函数零点的个数 【例3】　(1)函数f(x)＝12－2x－3x的零点有(　　) A．0个　　 B．1个 C．2个　 D．3个 (2)若0<a<1，则函数f(x)＝a|x|－|logax|的零点个数是(　　) A．1　　 B．2 C．3　　 D．4 B B [解析]　(1)f(x)＝12－2x－3x在R上单调递减，f(2)＝12－4－6＝2，f(3)＝12－8－9＝－5，f(2)·f(3)<0，所以零点所在的区间是(2，3)，所以该函数只有1个零点． (2)函数f(x)的零点个数即为方程a|x|＝|logax|的实根个数，即为函数y＝a|x|与y＝|logax|的图象的交点的个数，作出函数y＝a|x|与y＝|logax|的图象，如图所示，结合图象，可得两个函数的图象有2个不同的交点，即函数f(x)有2个零点． 方法总结 判断函数零点个数的三种常用方法 (1)令f(x)＝0，转化为解方程问题，方程有几个不同的实数解就有几个零点． (2)画出函数y＝f(x)的图象，判断它与x轴的交点个数，从而判断零点的个数． (3)转化成两个函数图象的交点个数问题． 角度2　根据零点的个数求参数 【例4】　(2024·甘肃白银期末)已知函数f(x)＝ 若函数y＝f(x)－m2有两个不同的零点，则实数m的取值范围为(　　) A．(0，1) B．{－1，0，1} C．[0，1] D．{0，1} B [解析]　y＝f(x)－m2有两个不同的零点，即方程f(x)＝m2有两个不同的解，即函数y＝f(x)与y＝m2的图象有两个不同的交点，画出函数y＝f(x)的图象，如图所示，结合图象可得m2＝1或m2＝0，解得m＝±1或m＝0，故m的取值范围为{－1，0，1}． 方法总结 已知函数有零点(方程有根)求参数常用的方法 (1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决； (3)数形结合法：先对解析式变形，转化成两个函数图象的交点问题，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后观察求解. [跟踪训练3]　(1)函数f(x)＝4x－log3(－x)的零点个数是(　　) A．3　　 B．2 C．1　　 D．0 (2)若函数f(x)＝|ex－1|＋m有两个零点，则实数m的取值范围是(　　) A．(－1，2) B．(－1，1) C．(0，1) D．(－1，0) C D 解析　(1)分别作出函数y1＝4x和函数y2＝log3(－x)的图象，如图所示，由图象可知，两个函数的交点个数是1，所以函数f(x)＝4x－log3(－x)的零点个数是1. (2)函数f(x)＝|ex－1|＋m有两个零点，即y＝|ex－1|与y＝－m的图象有两个交点，令－m＝n，作出y＝|ex－1|与y＝n的大致图象如图所示，由图可知0<n<1，则0<－m<1，故实数m的取值范围是(－1，0). 课堂小结 1．知识清单 (1)函数零点的概念． (2)函数的零点与方程的解的关系． (3)函数零点存在定理． (4)函数零点个数的判断． 2．核心提示 (1)零点是数，不是点；函数零点存在定理只能用来判断函数的变号零点． (2)方法归纳：数形结合法(如例4). 当堂检测 1．(2023·福建三明期中)函数f(x)＝3x－1的零点为(　　) A．(0，0) B．(1，1) C．0 D．1 解析　令f(x)＝3x－1＝0，解得x＝0，故选C. C 2．已知函数y＝f(x)的图象是连续不断的，有对应值如表： 则函数y＝f(x)在区间[1，6]上的零点至少有(　　) A．2个　 B．3个 C．4个　 D．5个 解析　因为函数y＝f(x)的图象是连续不断的，且f(2)>0，f(3)<0，由函数零点存在定理得，(2，3)内至少存在1个零点，因为f(3)<0，f(4)>0，由函数零点存在定理得，(3，4)内至少存在1个零点，因为f(4)>0，f(5)<0，由函数零点存在定理得，(4，5)内至少存在1个零点．综上，函数y＝f(x)在区间[1，6]上的零点至少有3个． B x 1 2 3 4 5 6 y 123.56 21.45 －7.82 11.45 －53.76 －128.88 3．(2024·广东广州期末)若函数f(x)＝x2－2x＋a只有一个零点，则实数a的值为 ． 解析　因为函数f(x)＝x2－2x＋a只有一个零点，所以Δ＝4－4a＝0，解得a＝1. 1 4．函数f(x)＝x－3＋ln x的零点的个数为 . 解析　解法一：令f(x)＝x－3＋ln x＝0，则ln x＝3－x，在同一平面直角坐标系中分别画出函数y＝ln x与y＝－x＋3的图象，如图所示． 由图可知函数y＝ln x与y＝－x＋3的图象只有一个交点，即函数f(x)＝x－3＋ln x只有1个零点． 1 解法二：因为f(x)＝x－3＋ln x，f(3)＝ln 3>0，f(2)＝－1＋ln 2＝ln <0，所以f(3)f(2)<0，说明函数f(x)＝x－3＋ln x在区间(2，3)内有零点．又f(x)＝x－3＋ln x在区间(0，＋∞)上是增函数，所以函数f(x)＝x－3＋ln x只有1个零点． Thank you for watching. 题 库 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 填一填 1．函数的零点 (1)概念：对于一般函数y＝f(x)，把使 的实数x叫做函数y＝f(x)的零点． (2)函数的零点、函数的图象与x轴的公共点的横坐标、对应方程的根的关系： 2．函数零点存在定理 (1)条件：①函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条 的曲线； ② <0. (2)结论：函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得 ，这个c也就是方程f(x)＝0的解． $