第二十讲 用二分法求方程的近似解导学案-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学导学案聚焦“用二分法求方程的近似解”，核心知识点包括二分法定义、操作步骤及二次方程根与函数零点的分布。课堂导入从方程精确求解的现实困境出发，衔接函数零点概念，通过问题链引导学生逐步构建二分法思路，形成从理论到应用的学习支架。 该资料以“理解-操作-应用”为主线，分题型系统归纳二分法适用条件、步骤及精确度计算等，结合数据表分析和实际问题（如线路故障检测），培养学生数学思维（推理与运算能力）和数学语言表达能力（模型与应用意识），助力高效掌握核心内容。

第二十 讲 用二分法求方程的近似解 【学习目标】探索用二分法求方程近似解的思路并会画程序框图，能借助计算工具用二分 法求方程近似解，了解用二分法求方程近似解具有一般性． 理解并掌握二次方程根与二次函数零点的分布 【学习重点】用二分法求方程近似解的思路与步骤．二次方程根与二次函数零点的分布 【学习难点】用二分法求方程近似解的算法．二次方程根与二次函数零点分布的多种情况的辨析与应用. 必掌握知识点 1、二分法 对于区间上连续不断且的函数，通过不断地把函数的零点 所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点的近似值的方法叫做二分法.求方程的近似解就是求函数零点的近似值. 2、用二分法求函数零点近似值的步骤 （1）确定区间，验证，给定精度. （2）求区间的中点. （3）计算.若则就是函数的零点；若，则令（此时零点）.若，则令（此时零点） （4）判断是否达到精确度，即若，则函数零点的近似值为（或）；否则重复第（2）—（4）步. 用二分法求方程近似解的计算量较大，因此往往借助计算完成. 必考题型全归纳 题型一：二分法的适用条件（变号零点） 1.二分法定义：对于在区间上连续不断，且满足的函数，通过不断把区间一分为二，逐步逼近零点，得到零点近似值的方法叫做二分法。 二分法两大条件：连续不断 + 变号零点（），相切零点不能用二分法；2.可以用二分法：变号零点，零点左右两侧函数值正负相反，穿过轴。 3.不可以用二分法：不变号零点（切点零点），零点左右函数值符号相同，图像与轴相切，不小于 0。 重要提醒：二分法只能处理变号零点；二分法得到的结果有可能是准确零点，也可以是近 似值。次二分，区间长度变为；区间长度小于精确度，区间随便取一个数当作近似 解；二分法结果可以是准确零点，不全是近似值。 1．下列图像表示的函数中能用二分法求零点的是（    ） A． B． C． D． 2．下列函数中，与x轴均有交点，但不能用二分法求零点的是（   ） A． B． C． D． 3．下列方程中不能用二分法求近似解的是（    ） A． B． C． D． 4．已知函数的图象如图所示，可以用二分法求近似值的零点个数是（） A．1 B．2 C．3 D．4 题型二：二分法操作步骤 给定区间，精确度 ① 确定初始区间，验证； ② 求区间中点，计算； 如果，则就是准确零点； 如果，零点在； 如果，零点在； ③ 判断新区间长度，满足则停止，区间内任意数均可作为近似解；不满足继续重复取中点。关键点：每一次二分，区间长度变为原来。 5．用二分法求方程在上的近似解时，经过两次二分后，可确定近似解所在区间为（    ） A． B． C． D． 6．用二分法求函数零点近似值时，第一次所取区间，则第三次所取的区间可能是（    ） A． B． C． D． 7．若用二分法求函数在区间上零点的近似值，第一次取区间的中点为，则第二次应该取区间的中点为________． 8．若用二分法寻找函数的零点，在每一步中均将当前区间按中点进行二分，并取零点所在的子区间．已知前三次按上述规则确定零点所在的区间依次为、、，则________． 题型三：精确度与二分次数计算（高频计算题） 初始区间长度； 经过次二分后，新区间长度：； 要求精确度，需要满足不等式：，解出最小正整数，就是最少二分次数。 当区间两端距离小于精确度，区间中任意值都可以作为方程近似解。 9．已知函数，利用二分法求的零点的近似值，若零点的初值区间为，精确度为，则可以是（   ） A． B． C． D． 10．用二分法求函数在区间内的零点近似值，若要求精确度为0.1，则所需二分区间的次数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 11．用二分法求方程的近似解时，求得的部分函数值数据如表所示： 1 1.5 1.75 1.8125 1.875 2 0.5796 1.342 3 则当精确度为0.1时，方程的近似解可取（   ） A．1.6 B．1.7 C．1.8 D．1.9 12．已知函数，利用二分法求的零点的近似值，若零点的初值区间为，精确度为，则可以是（   ） A． B． C． D． 题型四：利用零点存在定理判断零点所在区间 构造函数，方程的解等价于函数零点。 若函数连续，，则零点落在；常结合函数单调性判断唯一零点。 13．利用二分法求方程的近似解，可以取的一个区间是（    ） A． B． C． D． 14．已知函数的零点为，则与最接近的数为（   ） A． B． C． D． 题型五：由数据表读取数据求近似解 根据表格给出各点函数值，找到满足两端函数值异号的区间，对比精确度，选取近似解。 15．若函数的一个零点（正数）附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表： 那么方程的一个近似解（精确到0.04）为______. 16．已知函数在区间内存在一个零点，用二分法计算这个零点的近似值时，给定精确度为，其参考数据如下： 则这个零点的近似值为___________．（精确到） 巩固提升： 1．用二分法求函数零点时，所求到的零点（    ） A．一定是近似值 B．一定不是近似值 C．一定不是准确值 D．可以是准确值 2．下列方程中不能用二分法求近似解的为（    ） A． B． C． D． 3．下列函数中不能用二分法求零点的是（    ） A． B． C． D． 4（多选）．下列命题正确的有（    ） A．函数的反函数是 B．函数过定点 C．对于函数，能用二分法求函数零点近似值 D．已知为奇函数，当时，，则时， 5．（多选）以下每个图象表示的函数都有零点，其中能用二分法求函数零点的是（    ） A．   B．   C．   D．   6（多选）．下列函数图象与轴均有交点，能用二分法求函数零点近似值的是（    ） A．   B．   C．   D．   7（多选）．．下列函数图象与轴均有交点，其中不能用二分法求其零点的是（    ） A．   B．   C．   D．   8（多选）．．下图个函数的图象的零点不能用二分法求近似值的是（    ） A．   B．   C．   D．   9．在一个风雨交加的夜晚，从某水库闸门到防洪指挥所的电话线路发生了故障，这是一条长为，大约有根电线杆的线路，试用二分法思想设计一个能迅速查出故障所在的方案，维修线路的工人师傅至多检测______次就能找出故障地点所在区域（精确到范围内）？ 10．已知函数在区间上存在唯一零点，若采用二分法进行求解，要求近似解的绝对误差不超过0.01，则至少需要计算中点函数值的次数为______. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十 讲 用二分法求方程的近似解 【学习目标】探索用二分法求方程近似解的思路并会画程序框图，能借助计算工具用二分 法求方程近似解，了解用二分法求方程近似解具有一般性． 理解并掌握二次方程根与二次函数零点的分布 【学习重点】用二分法求方程近似解的思路与步骤．二次方程根与二次函数零点的分布 【学习难点】用二分法求方程近似解的算法．二次方程根与二次函数零点分布的多种情况的辨析与应用. 必掌握知识点 1、二分法 对于区间上连续不断且的函数，通过不断地把函数的零点 所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点的近似值的方法叫做二分法.求方程的近似解就是求函数零点的近似值. 2、用二分法求函数零点近似值的步骤 （1）确定区间，验证，给定精度. （2）求区间的中点. （3）计算.若则就是函数的零点；若，则令（此时零点）.若，则令（此时零点） （4）判断是否达到精确度，即若，则函数零点的近似值为（或）；否则重复第（2）—（4）步. 用二分法求方程近似解的计算量较大，因此往往借助计算完成. 必考题型全归纳 题型一：二分法的适用条件（变号零点） 1.二分法定义：对于在区间上连续不断，且满足的函数，通过不断把区间一分为二，逐步逼近零点，得到零点近似值的方法叫做二分法。 二分法两大条件：连续不断 + 变号零点（），相切零点不能用二分法；2.可以用二分法：变号零点，零点左右两侧函数值正负相反，穿过轴。 3.不可以用二分法：不变号零点（切点零点），零点左右函数值符号相同，图像与轴相切，不小于 0。 重要提醒：二分法只能处理变号零点；二分法得到的结果有可能是准确零点，也可以是近 似值。次二分，区间长度变为；区间长度小于精确度，区间随便取一个数当作近似 解；二分法结果可以是准确零点，不全是近似值。 1．下列图像表示的函数中能用二分法求零点的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据零点的两侧函数值异号能用二分法判断. 【详解】A. 函数无零点，故错误； B.函数有零点1，当时， ，当 时， ，x=1的两侧同号，不能用二分法，故错误； C. 由图象知：两个零点的两侧函数值异号，能用二分法，故正确； D.由图象知：两个零点-1，2的两侧的函数值同号，不能用二分法，故错误； 故选：C 2．下列函数中，与x轴均有交点，但不能用二分法求零点的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】用二分法求函数的零点应具备的条件为：函数图象在零点附近连续不断，在该零点左右函数值异号， 对于A，单调递增，在零点处左右函数值异号，能用二分法求零点； 对于B，先减后增，在零点处左右函数值都为正，不能用二分法求零点； 对于C，单调递增，在零点处左右函数值异号，能用二分法求零点； 对于D，先减后增，在零点，处左右函数值异号，能用二分法求零点. 3．下列方程中不能用二分法求近似解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二分法的定义逐项判断即可. 【详解】根据二分法的定义，用二分法求近似解，需函数在上连续，且. 对于A，令，显然在其定义域上单调递增， ，所以可用二分法求方程近似解，所以A错误； 对于B，令，显然在其定义域上连续，，所以可用二分法求方程近似解，所以B错误； 对于C，令，显然在其定义域上连续， ，所以可用二分法求方程近似解，所以C错误； 对于D，令，所以不能用二分法求方程的近似解.所以D正确. 故选：D. 4．已知函数的图象如图所示，可以用二分法求近似值的零点个数是（） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据零点的概念以及二分法的概念，可得答案. 【详解】函数的图象与轴有4个交点，左右函数值异号的交点有3个，所以可以用二分法求近似值的零点个数为3. 故选：C. 题型二：二分法操作步骤 给定区间，精确度 ① 确定初始区间，验证； ② 求区间中点，计算； 如果，则就是准确零点； 如果，零点在； 如果，零点在； ③ 判断新区间长度，满足则停止，区间内任意数均可作为近似解；不满足继续重复取中点。关键点：每一次二分，区间长度变为原来。 5．用二分法求方程在上的近似解时，经过两次二分后，可确定近似解所在区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】构造，代入端点值以及中点处的函数值，结合二分法的定义求解. 【详解】记，由于均为上的单调递增函数，故为上的单调递增函数， 因为， 且，所以函数的零点落在区间内， 又因为， 所以， 所以函数的零点落在区间内， 即经过两次二分后，可确定近似解所在区间为. 故选：B. 6．用二分法求函数零点近似值时，第一次所取区间，则第三次所取的区间可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二分法求函数近似值的方法步骤可得. 【详解】因为第一次所取区间，取中点，所以第二次取的区间为或， 当第二次取的区间为时，取中点，所以第三次取的区间为或； 当第二次取的区间为时，取中点，所以第三次取的区间为或； 故选：D 7．若用二分法求函数在区间上零点的近似值，第一次取区间的中点为，则第二次应该取区间的中点为________． 【答案】 【分析】利用零点存在定理可求答案. 【详解】设，因为所以零点在区间内， 所以第二次应该取区间的中点为. 故答案为： 8．若用二分法寻找函数的零点，在每一步中均将当前区间按中点进行二分，并取零点所在的子区间．已知前三次按上述规则确定零点所在的区间依次为、、，则________． 【答案】 【分析】根据题意得出是区间的中点，即可得出答案. 【详解】由题意，第二次操作的区间为，其中点为， 第三次操作得到的区间为，是区间的左子区间， 故其右端点应等于原区间的中点，则有，解得. 故答案为： 题型三：精确度与二分次数计算（高频计算题） 初始区间长度； 经过次二分后，新区间长度：； 要求精确度，需要满足不等式：，解出最小正整数，就是最少二分次数。 当区间两端距离小于精确度，区间中任意值都可以作为方程近似解。 9．已知函数，利用二分法求的零点的近似值，若零点的初值区间为，精确度为，则可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据条件，计算出，再由零点存在定理和二分法求近似值的方法，即可求解. 【详解】因为，则，， 又，， 由零点存在定理知零点属于区间，且，满足精确度，所以可以是， 故选：C. 10．用二分法求函数在区间内的零点近似值，若要求精确度为0.1，则所需二分区间的次数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】根据二分法的原理计算即可. 【详解】因为区间的长度为1，经过二分法的一次操作，区间长度变为原来的一半， 所以经过次二分法的操作，区间的长度变为， 由，解得. 故选：C. 11．用二分法求方程的近似解时，求得的部分函数值数据如表所示： 1 1.5 1.75 1.8125 1.875 2 0.5796 1.342 3 则当精确度为0.1时，方程的近似解可取（   ） A．1.6 B．1.7 C．1.8 D．1.9 【答案】C 【分析】由零点存在定理及二分法求解即可. 【详解】由表格可得，函数的零点在区间（1.75，1.8125）内， 且， 结合选项可知，方程的近似解可取1.8． 故选：C． 12．已知函数，利用二分法求的零点的近似值，若零点的初值区间为，精确度为，则可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先通过函数的单调性及零点存在性定理可得函数有唯一零点，进而再用二分法及精确度可判断零点所在区间及零点的近似值. 【详解】因为函数和均为R上单调递增函数， 所以函数是R上单调递增函数， 且，所以函数在上有唯一零点. 取区间的中点，且， 所以零点在区间内且区间长度为. 再取区间的中点，且， 所以零点在区间内且区间长度. 对照选项只有在区间内，故可以是. 故选：C. 题型四：利用零点存在定理判断零点所在区间 构造函数，方程的解等价于函数零点。 若函数连续，，则零点落在；常结合函数单调性判断唯一零点。 13．利用二分法求方程的近似解，可以取的一个区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】构造函数，易知在上单调递增，进而根据，即可判断. 解：由得， 构造函数， 因为与在上单调递增， 所以在上单调递增， 因为， ， 所以的零点位于区间，也即方程的近似解在区间. 故选：C 14．已知函数的零点为，则与最接近的数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用二分法，结合选项确定所在区间即可. 【详解】函数在上单调递增，，则， 又，则，而，则， 又，因此，， 而，所以与最接近的数为. 故选：B 题型五：由数据表读取数据求近似解 根据表格给出各点函数值，找到满足两端函数值异号的区间，对比精确度，选取近似解。 15．若函数的一个零点（正数）附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表： 那么方程的一个近似解（精确到0.04）为______. 【答案】 【详解】由参考数据知， 且，所以方程的一个近似解可取为. 16．已知函数在区间内存在一个零点，用二分法计算这个零点的近似值时，给定精确度为，其参考数据如下： 则这个零点的近似值为___________．（精确到） 【答案】 【分析】先得到零点位于，由精确到，得到近似值. 【详解】，且， 函数在区间内存在一个零点，故零点位于， 精确到，故零点的近似值为. 故答案为： 巩固提升： 1．用二分法求函数零点时，所求到的零点（    ） A．一定是近似值 B．一定不是近似值 C．一定不是准确值 D．可以是准确值 【答案】D 【分析】利用二分法的定义分析即可. 【详解】由二分法的思想，采用二分法得到的零点可能是准确值，也可能是近似值. 故选：D 2．下列方程中不能用二分法求近似解的为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用二分法的定义一一判定即可. 【详解】根据二分法的要求，在上，有才能用二分法， 对于A，显然在定义域上单调递增，且， 可以使用二分法，故A错误； 对于B，在定义域上连续， 有，可以使用二分法，故B错误； 对于C，在定义域上连续， 且有， 可以使用二分法，故C错误； 对于D，， 且只有一个零点，故不可以使用二分法，故D正确. 故选：D 3．下列函数中不能用二分法求零点的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】能用二分法求零点的函数，必须满足函数在零点的左右两侧函数值异号，逐一检验各选项即可得出结论. 【详解】易知函数的零点为，而在零点左右两侧的函数值符号都为正，不是异号的，故不能用二分法求函数的零点； 而选项A、B、D中的函数，它们在各自的零点左右两侧的函数值符号相反，可以用二分法求函数的零点； 故选：C 4（多选）．下列命题正确的有（    ） A．函数的反函数是 B．函数过定点 C．对于函数，能用二分法求函数零点近似值 D．已知为奇函数，当时，，则时， 【答案】AB 【分析】选项A，根据反函数的定义判断；选项B，根据对数函数的性质求出定点；选项C，根据二分法的适用条件判断；选项D，根据奇函数的性质求出时的函数表达式. 【详解】选项A：函数，其定义域为，值域为， 且是单调递增函数，则它存在反函数， 两边取自然对数可得，将互换，得到， 所以函数的反函数是，故选项A正确； 选项B：对数函数 ，当 时，， 在函数 中， 令 ，即 ，此时 ， 因为 （ 且 ），所以 ， 即函数 过定点 ，故选项B正确； 选项C：对于函数 ， 令 ，即 ，解得 ， 当 时，，不存在区间 使得 ， 所以不能用二分法求函数零点近似值，故选项C错误； 选项D：因为 为奇函数，则 ， 当 时，， 当 时，，则 ， 因为 是奇函数，所以 ，而非 ，故选项D错误. 故选：AB. 5．（多选）以下每个图象表示的函数都有零点，其中能用二分法求函数零点的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】ABD 【分析】根据二分法的要求，即能用二分法求近似值的零点需满足为变号零点，由此一一判断各选项，即得答案. 【详解】根据二分法的思想，函数在区间上的图象连续不断，且， 即函数的零点是变号零点，才能将区间一分为二或多个小区间， 然后采用二分法逐步得到零点的近似值， 对各图象分析可知，A、B、D都符合条件， 而选项C不符合，因为图象经过零点时，零点两侧函数值的符号没有发生变化， 因此不能用二分法求函数零点， 故选：ABD 6（多选）．下列函数图象与轴均有交点，能用二分法求函数零点近似值的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】ABC 【分析】根据二分法的定义确定图象需满足的条件，依次判断各个选项即可. 【详解】根据二分法的定义，知函数在区间上的图象连续不断，且， 即函数的零点是变号零点，才能将区间一分为二，逐步得到零点的近似值． 对于ABC，三个函数图象均符合二分法求函数零点近似值的条件，ABC正确； 对于D，零点左右两侧的函数值不变号，不能用二分法求函数零点的近似值． 故选：ABC. 7（多选）．．下列函数图象与轴均有交点，其中不能用二分法求其零点的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】AC 【分析】根据函数零点存在原理、二分法逐一判断即可. 【详解】由选项AC中函数图象可知这两个函数的函数值没有负实数，即在零点左右函数值不变号， 选项BD中的函数图象可知这两个函数的函数值有负实数，即在零点左右函数值变号， 因此不能用二分法求其零点的是AC， 故选：AC 8（多选）．．下图个函数的图象的零点不能用二分法求近似值的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】ABC 【分析】根据二分法的定义可得出合适的选项. 【详解】根据零点存在定理可知，函数在上连续，且，则函数在上存在零点， 所以，不可以用二分法求零点的选项为ABC. 故选：ABC. 9．在一个风雨交加的夜晚，从某水库闸门到防洪指挥所的电话线路发生了故障，这是一条长为，大约有根电线杆的线路，试用二分法思想设计一个能迅速查出故障所在的方案，维修线路的工人师傅至多检测______次就能找出故障地点所在区域（精确到范围内）？ 【答案】 【分析】结合二分法即可得到，解不等式即可求出结果. 【详解】如图，工人师傅首先从中点检测，用随身带的话机向两端测试， 不妨设发现段正常，可见故障在段； 再从线段的中点检测，假设发现段正常，可见故障在段； 再从段的中点检测；， 由此类推，每查一次，可以把待查的线路长度缩减一半，可以算出经过次检测，所剩线路的长度为 m， 则有，即，由于，， 故至多检测次就能找到故障地点所在区域． 10．已知函数在区间上存在唯一零点，若采用二分法进行求解，要求近似解的绝对误差不超过0.01，则至少需要计算中点函数值的次数为______. 【答案】9 【分析】经过次二分以后区间长度为，若近似解的绝对误差不超过0.01，则，求解可得二分区间的次数，即至少需要计算中点函数值的次数. 【详解】设要使近似解的绝对误差不超过0.01，至少需要计算次中点函数值. 因为区间的长度为，所以经过次二分以后区间长度为. 所以，化简得. 因为，且，所以. 所以至少需要计算次中点函数值.故答案为：. 1 学科网（北京）股份有限公司 $