重难点培优01 三角函数及三角恒等变换中的常考公式（复习讲义）（全国通用）2027年高考数学一轮复习讲练测

该高中数学高考复习讲义聚焦三角函数及三角恒等变换核心考点，按弧度制、三角函数定义、同角关系、诱导公式、两角和差及倍半角公式等知识逻辑分层梳理，通过知识重构固根基、题型精研提能力、实战检测验成效的教学流程，帮助学生系统构建知识网络，突破公式应用难点。 讲义突出“技巧通法”与“分层突破”特色，如辅助角公式总结常见结论、给值求值强调配角技巧，培养学生数学思维与模型观念。设置基础巩固与创新提升分层练习，配合题型精讲与即时反馈，助力学生高效掌握公式应用规律，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供有力支持。

重难点培优01 三角函数及三角恒等变换中的常考公式 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01 知识重构·重难梳理固根基 1 02 题型精研·技巧通法提能力 4 题型01 扇形的弧长和面积公式、三角函数定义（★★★） 4 题型02 同角三角函数的关系（含知一求二、弦切齐次化等）（★★★★★） 6 题型03 诱导公式求值与化简（★★★★） 7 题型04 二倍角、半角、降幂公式（★★★★★） 8 题型05 辅助角公式（★★★★★） 10 题型06 给值求值问题（★★★★★） 11 题型07 给值求角问题（★★★★） 12 题型08 积化和差、和差化积公式（★★★★） 13 03 实战检测·分层突破验成效 15 重难知识巩固 15 创新能力提升 20 知识重构·重难梳理固根基 知识点01 弧度制 1、弧度制 (1)1弧度角：把长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角. (2)弧度公式： （为圆的半径，弧长为 的弧所对的圆心角为）。 (3)弧长公式：. (4)角度与弧度换算： ；。 (5)扇形面积公式：.（为圆的半径，扇形弧长为，圆心角为） 知识点02 三角函数的概念 1、三角函数定义2：设点（不与原点重合）为角终边上任意一点，点P与原点的距离为：，则：，，. 2、三角函数在各象限中的符号：口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦. 第一象限： sin0,cos0,tan0, 第二象限： sin0,cos0,tan0, 第三象限： sin0,cos0,tan0, 第四象限： sin0,cos0,tan0, 3、同角三角函数的基本关系式: 平方关系：；商数关系：. 知识点03 诱导公式 诱导公式（其中：） 1、 诱导公式一： 2、 诱导公式二： 3、诱导公式三： 4、诱导公式四： 5、诱导公式五： 6.诱导公式六： , 注意：①同角三角函数关系式的常用变形(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α；sin α＝tan α·cos α. ②“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化．；. ③解决给角求值的基本原则：负化正，大化小，化到锐角为终了． 知识点04 两角和与差的正弦、余弦、正切公式 1、两角和与差的正弦： :； :； 2、两角和与差的余弦： :； :； 3、两角和与差的正切： :； :. 知识点05 倍角、半角、辅助角公式 1、倍角公式 (1)，变形：. (2). 变形：降幂公式： ； (3). 2、半角公式：sin ＝±，cos ＝±， tan ＝±＝＝. 注意：(1)由于tan ＝＝，不涉及符号问题，使用方便，但需要注意该公式成立的条件． (2)涉及函数的升降幂及角的二倍关系的题目时，常用sin2＝和cos2＝. 3、辅助角公式（异名化同名） （其中,). （其中,). 4、有关公式的逆用、变形等 (1)tan α±tanβ＝tan(α±β)(1∓tanα tanβ)． (2)cos 2α＝，sin 2α＝. (3)1±sin2α＝(sinα±cosα)2、 (4)sinα±cosα＝sin . 知识点06 化简、求值、证明问题 1、化简、求值、证明问题：看角（二倍、互余、互补或特殊角关系）；看名（同名时，联想公式即可；异名时，切化弦或弦化切）；看结构特征（联想公式）. 绝招：配角（即将已知角和目标角进行“加加减减”运算） ①“显性”互余关系；②“隐性”互余关系; ③互补关系；④二倍关系；⑤特殊角关系. （1）时，；（2）时，； （3）时，，；（4）； （5）； （6）1的代换：； （7）． 2、弦化切. (1)； (2)（转化为分式）； (3)（转化为齐次式）； (4)； (5)； . 题型精研·技巧通法提能力 题型01 扇形的弧长和面积公式、三角函数定义 【技巧通法·提分快招】 1、弧长公式：. 2、扇形面积公式：.（为圆的半径，扇形弧长为，圆心角为） 3、三角函数定义：设点（不与原点重合）为角终边上任意一点，点P与原点的距离为：，则：，，. 1．（25-26高三下·广西桂林·阶段检测）若，则为（    ） A．第一或第二象限角 B．第二或第三象限角 C．第二或第四象限角 D．第三或第四象限角 2．（25-26高三上·浙江金华·期末）已知弧长为1cm的扇形面积是，则其圆心角大小为（   ） A． B．1 C． D． 3．（25-26高三下·山西太原·阶段检测）已知角的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，点在角的终边上，则角可以为（    ） A． B． C． D． 4．（2025·四川德阳·一模）若圆锥底面半径为1，高为，则圆锥侧面展开扇形圆心角的弧度数是（   ） A． B． C．2 D．3 5．（2026·河北保定·二模）已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边落在直线上，则（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高三上·天津南开·开学考试）已知某扇形的周长为8，则当此扇形的面积最大时，半径为（   ） A．2 B．4 C．0.5 D．0.25 7．（25-26高三上·河北沧州·期末）已知扇形（为圆心）的周长为4，弧的长为2，则该扇形的面积为______. 8．（2025高三上·安徽六安·专题练习）已知在扇形中，2rad的圆心角所对的弦长为2，则这个圆心角所对的弧长为________． 9．已知角的终边经过点，且，则实数______． 10．（2025·江苏·模拟预测）中国传统折扇文化有着极其深厚的底蕴，“数摺聚清风，一捻生秋意”是宋朝朱翌描写折扇的诗句．如图，假设这把折扇是从一个大圆中剪下一个扇形，再在该扇形内剪下一个同心小扇形（作为扇骨留白），形成扇环形状的扇面．当扇子扇形的圆心角为时，扇面看上去形状较为美观．已知，弧的长为，则此扇面的面积为______． 题型02 同角三角函数的关系（含知一求二、弦切齐次化等） 【技巧通法·提分快招】 1、利用sin2α＋cos2α＝1可实现α的正弦、余弦的互化，利用＝tan α可以实现角α的弦切互化． 2、由一个角的任意一个三角函数值可求出这个角的另外两个三角函数值，因为利用”平方关系”公式，需求平方根，会出现两解，需根据角所在的象限判断符号，当角所在的象限不明确时，要进行分类讨论. 已知角α的正切值,求由sinα和cosα构成的代数式的值,构成的代数式通常是分式齐次式或整式齐次式. (1)形如 的分式,可将分子、分母同时除以cosα;形如 的分式,可将分子、分母同时除以cos2α,将正、余弦转化为正切求值. (2)形如asin2α+bsin αcos α+ccos2α(a,b,c不全为0)的齐次式,可以将分母看作是1=sin2α+cos2α,转化为的分式求值. 注意:涉及常数时,如sin2α+k,则将k转化为ksin2α+kcos2α后转化为(2)的形式,但涉及(k,t为常数),则需转化为(1)求解. 3、已知sin α±cos α,sin αcos α求值问题,一般利用三角恒等式,采用整体代入的方法求解,涉及的三角恒等式有: (1)(sin α+cos α)2=1+2sin αcos α; (2)(sin α-cos α)2=1-2sin αcos α; (3)(sin α+cos α)2+(sin α-cos α)2=2; (4)(sin α-cos α)2=(sin α+cos α)2-4sin αcos α. 上述三角恒等式告诉我们,若已知sin α+cos α,sin α-cos α,sin αcos α中的任何一个,则另两个式子的值均可求出. 1．已知为锐角，，则（    ） A． B． C． D． 2．已知，求的值（ ） A． B． C． D． 3．已知，，则（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高三上·河北衡水·期中）若，且，则（   ） A． B． C． D． 5．（多选题）已知，下列式子中正确的有（    ） A． B． C． D． 6．（多选题）已知，则下列选项中正确的有（   ） A． B． C． D． 7．（多选题）已知，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 8．已知，计算 (1)； (2)； (3) 题型03 诱导公式求值与化简 【技巧通法·提分快招】 利用诱导公式把任意角的三角函数转化为锐角三角函数的步骤 也就是：“负化正，大化小，化到锐角就好了”． 1．求下列三角函数值: (1)cos (2)cos(-240°） (3)sin (4)sin 2．化简求值 (1)； (2)． 3．化简并求值：（其中）． 4．已知函数． (1)化简函数； (2)若是第二象限角，且，求的值． 题型04 二倍角、半角、降幂公式 【技巧通法·提分快招】 1、二倍角的正弦（）：． 2、二倍角的余弦（）：． 3、二倍角的正切（）：． 4、降幂公式：；；；． 1．若，则（   ） A． B． C． D． 2．已知，，则（   ） A． B． C． D． 3．已知，则（    ） A． B． C． D． 4．已知，，则（   ） A． B． C． D． 5．已知 ，则 （     ） A． B．      C． D． 6．（    ） A． B． C． D． 7．已知，，则（    ） A． B． C． D． 8．已知为第二象限角，且，则（    ） A． B． C． D． 9．（多选题）下列有关三角函数的公式中，正确的有（    ） A． B． C． D． 题型05 辅助角公式 【技巧通法·提分快招】 常见辅助角结论 （1）； （2）； （3）； （4）． 1．求下列函数的最大值和最小值． (1)； (2)； (3)． 2．（2026·湖北·三模）（ ） A． B． C． D． 3．（25-26高三下·贵州遵义·阶段检测）已知，则（   ） A． B． C． D． 4．（2026·福建福州·模拟预测）当函数取得最小值时，（    ） A． B． C． D． 5．函数 的最大值为（    ） A． B．1 C． D． 6．（25-26高三上·湖北·期中）函数的最大值为（    ） A．1 B．2 C．-2 D．3 题型06 给值求值问题 【技巧通法·提分快招】 给值求值问题一般策略 （1）关键是把“所求角”用“已知角”表示． ①当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式； ②当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系． （2）常见的配角技巧： ①；； ②； ③； ④； ⑤． 1．已知，则（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高三下·浙江·开学考试）若，，则的值为（    ） A． B．2 C． D． 3．（2026·河南周口·三模）若，则（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高三下·江西赣州·期中），则（    ） A． B． C． D． 5．（2026·辽宁鞍山·二模）若，，则（   ） A． B． C． D． 6．已知，则（   ） A． B． C． D． 7．（25-26高三上·河北·阶段检测）若，则的值为（   ） A． B． C． D． 8．（2026·湖南岳阳·一模）已知，则（    ） A． B． C． D．或 9．（多选题）已知、均为第一象限角，且，，则下列选项正确的有（   ） A． B． C． D． 10．（多选题）已知，其中为锐角，则（    ） A． B． C． D． 题型07 给值求角问题 【技巧通法·提分快招】 三角函数给值求角问题一般策略 实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，最后确定角． 遵照以下原则： （1）已知正切函数值，选正切函数； （2）已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是，选正、余弦皆可； 若角的范围是，选余弦较好；若角的范围是，选正弦较好． 1．已知，，，则（    ） A． B． C． D． 2．已知都是锐角，，则（    ） A． B． C． D． 3．已知，为锐角，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 4．已知，且，则（   ） A． B． C． D． 5．若，，且，，则（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高三上·湖南长沙·期末）设且则（    ） A． B． C． D． 题型08 积化和差、和差化积公式 【技巧通法·提分快招】 1、积化和差公式： ； ； ； . 口诀： 积化和差得和差，余弦在后要相加； 异名函数取正弦，正弦相乘取负号。 证明：由两角和与差的正弦公式得 两式相加可得， 两式相减可得． 同理，由两角和与差的余弦公式可得其他公式. 2、和差化积公式: 口诀： 正弦＋正弦,正弦在前； 正弦－正弦,正弦在后； 余弦＋余弦,余弦并肩； 余弦－余弦，余弦靠边。 证明：由，，得 .其他同理可证. 1．可化简为（   ） A． B． C． D． 2．已知是的两个解，且，则（    ） A．－3 B． C． D． 3．已知锐角满足，则（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高三下·安徽安庆·阶段检测）的值为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高三上·陕西西安·期末）若锐角满足，则______. 6．（2026高三下·新疆·竞赛）__________. 实战检测·分层突破验成效 重难知识巩固 1．（2026·安徽·模拟预测）已知平面直角坐标系中，角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边过点，则（    ） A． B． C． D． 2．若，则（   ） A． B． C． D． 3．（2026·江西宜春·一模）在平面直角坐标系中，角的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点，则（   ） A．4 B．2 C． D． 4．（2026·广西·模拟预测）已知某扇形的周长为6，面积为2，圆心角为锐角，则其弧长为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．函数的最大值为（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高三上·安徽滁州·期末）有一圆心角为，半径为2的扇形，将其围成一个圆锥，则此圆锥的体积为（   ） A． B． C． D． 7．（25-26高三上·河北衡水·阶段检测）函数的最小正周期是（    ） A． B． C． D． 8．（2025·河南·模拟预测）圆环被同圆心的扇形截取的一部分叫作扇环．如图所示，扇环的外圆弧的长为，圆心为，点分别为的中点，扇环的面积为，则（   ）    A． B．2 C． D．4 9．若，则（   ） A． B． C． D． 10．（2026·河南·模拟预测）已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边过点，，则（   ） A． B． C． D． 11．（2025·广东肇庆·二模）已知是锐角，，则（    ） A． B． C． D． 12．已知，，则（    ） A．3 B． C． D． 13．（25-26高三上·贵州黔西南·阶段检测）已知，则（    ） A． B． C． D． 14．（25-26高三上·河北·阶段检测）设，则（   ） A． B． C． D． 15．已知为第二象限角，且，则（   ） A． B． C． D． 16．（2026·海南海口·模拟预测）已知，则（    ） A． B． C． D． 17．已知，则（    ） A． B． C． D． 18．已知，且，，则的值为（    ） A． B． C． D． 19．（24-25高三上·江苏·阶段检测）已知，则（   ） A． B． C． D． 20．甲、乙两个扇形的半径相等，圆心角之和为3弧度，扇形面积分别为和，周长分别为和.若，则（   ） A． B． C． D． 21．已知，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 22．已知为三角形的两个内角，，则＝（ ） A． B． C． D． 23．（24-25高三上·湖北荆州·阶段检测）已知且，，则（    ） A． B． C． D． 24．（24-25高三上·山东·期中）若，，且，，则（    ） A． B． C． D． 25．已知，且，，是在内的三个不同零点，下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 26．（多选题）已知，则的可能取值为（    ） A． B．1 C．2 D．不存在 27．（多选题）（25-26高三上·黑龙江·阶段检测）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 28．（多选题）（25-26高三上·内蒙古包头·阶段检测）已知，，则下列正确的是（    ） A． B． C． D． 29．（多选题）（2026·广东佛山·模拟预测）已知，则（     ） A． B． C． D． 30．（多选题）（25-26高三上·江西·阶段检测）已知，则（    ） A． B． C． D． 31．（多选题）（25-26高三下·安徽·期中）已知为锐角，若，则（    ） A． B． C． D． 32．（多选题）（2024·辽宁·模拟预测）已知，则（    ） A． B． C． D． 33．（多选题）若，，且，，则以下说法正确的是（    ） A． B． C． D． 34．（多选题）下列关系式成立的是（   ） A． B． C． D． 35．（2026·湖南长沙·一模）将一个圆心角为 120°、半径为3 的扇形纸板作为侧面围成一个圆锥，则该圆锥的体积为________. 36．（2026·浙江·模拟预测）已知，则__________. 37．（25-26高三上·河北邯郸·期中）若，，则___________. 38．已知，则______． 39．化简： (1)； (2)． 40．已知. (1)化简； (2)若，求的值. 创新能力提升 1．（2026·陕西榆林·模拟预测）若，，则（    ） A． B． C． D． 2．（2026·江西南昌·二模）若圆锥的侧面展开图是一个半径为3，圆心角为的扇形，则过圆锥顶点的截面中，截面面积的最大值为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·广东深圳·阶段检测）若为锐角，，则的值为（    ） A．0 B． C． D． 4．已知，，，，则（    ） A． B． C． D． 5．（2026·山东枣庄·一模）记函数，的两个零点为和，则（   ） A． B． C． D． 6．（多选题）已知角的终边经过点，将角的终边绕坐标原点逆时针旋转得到角的终边，则下列说法正确的有（    ） A． B． C．若，则 D．对任意 7．（多选题）（25-26高三下·江苏无锡·阶段检测）若，且，，则（    ） A． B． C． D． 8．（多选题）已知，则可以是（    ） A． B． C． D． 9．（2026·河北承德·模拟预测）已知，，且，，则的值为_______． 10．（2026·黑龙江哈尔滨·三模）已知，，则______. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点培优01 三角函数及三角恒等变换中的常考公式 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01 知识重构·重难梳理固根基 1 02 题型精研·技巧通法提能力 4 题型01 扇形的弧长和面积公式、三角函数定义（★★★） 4 题型02 同角三角函数的关系（含知一求二、弦切齐次化等）（★★★★★） 8 题型03 诱导公式求值与化简（★★★★） 12 题型04 二倍角、半角、降幂公式（★★★★★） 15 题型05 辅助角公式（★★★★★） 19 题型06 给值求值问题（★★★★★） 21 题型07 给值求角问题（★★★★） 26 题型08 积化和差、和差化积公式（★★★★） 29 03 实战检测·分层突破验成效 34 重难知识巩固 34 创新能力提升 53 知识重构·重难梳理固根基 知识点01 弧度制 1、弧度制 (1)1弧度角：把长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角. (2)弧度公式： （为圆的半径，弧长为 的弧所对的圆心角为）。 (3)弧长公式：. (4)角度与弧度换算： ；。 (5)扇形面积公式：.（为圆的半径，扇形弧长为，圆心角为） 知识点02 三角函数的概念 1、三角函数定义2：设点（不与原点重合）为角终边上任意一点，点P与原点的距离为：，则：，，. 2、三角函数在各象限中的符号：口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦. 第一象限： sin0,cos0,tan0, 第二象限： sin0,cos0,tan0, 第三象限： sin0,cos0,tan0, 第四象限： sin0,cos0,tan0, 3、同角三角函数的基本关系式: 平方关系：；商数关系：. 知识点03 诱导公式 诱导公式（其中：） 1、 诱导公式一： 2、 诱导公式二： 3、诱导公式三： 4、诱导公式四： 5、诱导公式五： 6.诱导公式六： , 注意：①同角三角函数关系式的常用变形(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α；sin α＝tan α·cos α. ②“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化．；. ③解决给角求值的基本原则：负化正，大化小，化到锐角为终了． 知识点04 两角和与差的正弦、余弦、正切公式 1、两角和与差的正弦： :； :； 2、两角和与差的余弦： :； :； 3、两角和与差的正切： :； :. 知识点05 倍角、半角、辅助角公式 1、倍角公式 (1)，变形：. (2). 变形：降幂公式： ； (3). 2、半角公式：sin ＝±，cos ＝±， tan ＝±＝＝. 注意：(1)由于tan ＝＝，不涉及符号问题，使用方便，但需要注意该公式成立的条件． (2)涉及函数的升降幂及角的二倍关系的题目时，常用sin2＝和cos2＝. 3、辅助角公式（异名化同名） （其中,). （其中,). 4、有关公式的逆用、变形等 (1)tan α±tanβ＝tan(α±β)(1∓tanα tanβ)． (2)cos 2α＝，sin 2α＝. (3)1±sin2α＝(sinα±cosα)2、 (4)sinα±cosα＝sin . 知识点06 化简、求值、证明问题 1、化简、求值、证明问题：看角（二倍、互余、互补或特殊角关系）；看名（同名时，联想公式即可；异名时，切化弦或弦化切）；看结构特征（联想公式）. 绝招：配角（即将已知角和目标角进行“加加减减”运算） ①“显性”互余关系；②“隐性”互余关系; ③互补关系；④二倍关系；⑤特殊角关系. （1）时，；（2）时，； （3）时，，；（4）； （5）； （6）1的代换：； （7）． 2、弦化切. (1)； (2)（转化为分式）； (3)（转化为齐次式）； (4)； (5)； . 题型精研·技巧通法提能力 题型01 扇形的弧长和面积公式、三角函数定义 【技巧通法·提分快招】 1、弧长公式：. 2、扇形面积公式：.（为圆的半径，扇形弧长为，圆心角为） 3、三角函数定义：设点（不与原点重合）为角终边上任意一点，点P与原点的距离为：，则：，，. 1．（25-26高三下·广西桂林·阶段检测）若，则为（    ） A．第一或第二象限角 B．第二或第三象限角 C．第二或第四象限角 D．第三或第四象限角 【答案】B 【详解】由题知，， 若是第一象限角，则，，故，不满足题意； 若是第二象限角，则，，故，满足题意； 若是第三象限角，则，，故，满足题意； 若是第四象限角，则，，故，不满足题意. 综上，为第二或第三象限角. 故选:B. 2．（25-26高三上·浙江金华·期末）已知弧长为1cm的扇形面积是，则其圆心角大小为（   ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【分析】利用扇形的面积公式及弧长公式即可求解. 【详解】设扇形的半径为， 由扇形面积公式及题意得，解得， 由圆心角公式得圆心角大小为. 故选：A. 3．（25-26高三下·山西太原·阶段检测）已知角的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，点在角的终边上，则角可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意，, 且为第四象限角，则， 根据各选项逐一代值检验，只有C项符合题意. 4．（2025·四川德阳·一模）若圆锥底面半径为1，高为，则圆锥侧面展开扇形圆心角的弧度数是（   ） A． B． C．2 D．3 【答案】A 【分析】求出圆锥侧面展开扇形半径和弧长即可由弧度定义公式求解. 【详解】由题可得圆锥侧面展开扇形半径为圆锥母线长为， 圆锥侧面展开扇形弧长为圆锥底面圆周长为， 所以圆锥侧面展开扇形圆心角的弧度数是. 故选：A 5．（2026·河北保定·二模）已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边落在直线上，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二倍角的正弦公式，结合正弦和余弦的定义分类讨论进行求解即可. 【详解】当角的终边落在第二象限时，取一点， 则， 所以； 当角的终边落在第四象限时，取一点， 则， 所以， 综上所述：. 6．（25-26高三上·天津南开·开学考试）已知某扇形的周长为8，则当此扇形的面积最大时，半径为（   ） A．2 B．4 C．0.5 D．0.25 【答案】A 【分析】设扇形所在圆的半径为，弧长为，得到，结合扇形的面积公式和二次函数的性质，即可求解. 【详解】设扇形所在圆的半径为，弧长为，可得， 所以扇形的面积为， 于是，当时，扇形的面积最大. 故选：A 7．（25-26高三上·河北沧州·期末）已知扇形（为圆心）的周长为4，弧的长为2，则该扇形的面积为______. 【答案】1 【分析】由扇形周长及对应弧长可得扇形半径，据此可得答案. 【详解】设扇形的半径为，弧长为，周长为. 由题意可得，则该扇形的面积. 故答案为：. 8．（2025高三上·安徽六安·专题练习）已知在扇形中，2rad的圆心角所对的弦长为2，则这个圆心角所对的弧长为________． 【答案】 【分析】利用垂径定理，结合直角三角形的正弦函数即可求出扇形的半径，再利用弧长公式即可求出弧长. 【详解】 过圆心作弦的垂线，垂足为，则，且， 所以由正弦函数可得， 即这个圆心角所对的弧长：， 故答案为： 9．已知角的终边经过点，且，则实数______． 【答案】 【分析】根据任意角的三角函数定义计算求参即可. 【详解】由题设，可知，且，即， ，则， 解得（舍）或，综上，． 故答案为： 10．（2025·江苏·模拟预测）中国传统折扇文化有着极其深厚的底蕴，“数摺聚清风，一捻生秋意”是宋朝朱翌描写折扇的诗句．如图，假设这把折扇是从一个大圆中剪下一个扇形，再在该扇形内剪下一个同心小扇形（作为扇骨留白），形成扇环形状的扇面．当扇子扇形的圆心角为时，扇面看上去形状较为美观．已知，弧的长为，则此扇面的面积为______． 【答案】 【分析】利用弧长公式求出的长，利用扇形面积公式求出大、小扇形面积，最后作差求出扇面面积. 【详解】设，因为圆心角，弧的长为，代入弧长公式可得，解得. 由扇形面积公式可得：， ， 所以此扇面的面积为. 故答案为：. 题型02 同角三角函数的关系（含知一求二、弦切齐次化等） 【技巧通法·提分快招】 1、利用sin2α＋cos2α＝1可实现α的正弦、余弦的互化，利用＝tan α可以实现角α的弦切互化． 2、由一个角的任意一个三角函数值可求出这个角的另外两个三角函数值，因为利用”平方关系”公式，需求平方根，会出现两解，需根据角所在的象限判断符号，当角所在的象限不明确时，要进行分类讨论. 已知角α的正切值,求由sinα和cosα构成的代数式的值,构成的代数式通常是分式齐次式或整式齐次式. (1)形如 的分式,可将分子、分母同时除以cosα;形如 的分式,可将分子、分母同时除以cos2α,将正、余弦转化为正切求值. (2)形如asin2α+bsin αcos α+ccos2α(a,b,c不全为0)的齐次式,可以将分母看作是1=sin2α+cos2α,转化为的分式求值. 注意:涉及常数时,如sin2α+k,则将k转化为ksin2α+kcos2α后转化为(2)的形式,但涉及(k,t为常数),则需转化为(1)求解. 3、已知sin α±cos α,sin αcos α求值问题,一般利用三角恒等式,采用整体代入的方法求解,涉及的三角恒等式有: (1)(sin α+cos α)2=1+2sin αcos α; (2)(sin α-cos α)2=1-2sin αcos α; (3)(sin α+cos α)2+(sin α-cos α)2=2; (4)(sin α-cos α)2=(sin α+cos α)2-4sin αcos α. 上述三角恒等式告诉我们,若已知sin α+cos α,sin α-cos α,sin αcos α中的任何一个,则另两个式子的值均可求出. 1．已知为锐角，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】已知为锐角，，则， 故． 2．已知，求的值（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为， 则， 可得，所以. 3．已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，可得， 代入，化简得， 又，，所以， 则有，. 4．（25-26高三上·河北衡水·期中）若，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将已知条件两侧平方整理得，结合求出，即可得. 【详解】由题设， 所以，即， 而，则， 所以，即. 故选：A 5．（多选题）已知，下列式子中正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据诱导公式逐项计算后可得正确的选项. 【详解】对于A，，故， 故A成立； 对于B，，故B成立； 对于C，，而， 故，故C不成立； 对于D，，故D成立， 故选：ABD. 6．（多选题）已知，则下列选项中正确的有（   ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】根据同角三角函数的平方式，结合题意可得角的取值范围，建立方程组可得正弦值与余弦值，由同角三角函数的商式关系，逐项检验，可得答案. 【详解】将两边同时平方，整理得， 所以．故D正确． 又，所以， 所以由解得故C正确， 所以，故A，B错误． 故选：CD. 7．（多选题）已知，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】由，，得，，则，故A正确； 由，两边平方可得，， 则，故B正确； ，，， 则， ，故C错误； 联立，解得，则； ，故D正确． 8．已知，计算 (1)； (2)； (3) 【答案】(1)2 (2)1 (3) 【分析】（1）利用同角三角函数商的关系即可求解； （2）利用同角三角函数的平方关系和商的关系将弦化为正切即可求解； （3）利用二倍角公式和同角三角函数基本关系的商的关系即可求解. 【详解】（1）由题意有，所以，解得； （2） （3） 题型03 诱导公式求值与化简 【技巧通法·提分快招】 利用诱导公式把任意角的三角函数转化为锐角三角函数的步骤 也就是：“负化正，大化小，化到锐角就好了”． 1．求下列三角函数值: (1)cos (2)cos(-240°） (3)sin (4)sin 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】利用诱导公式先将角化成锐角，再利用特殊角的三角函数值求解即可. 【详解】（1）由诱导公式知， （2）由诱导公式知， （3）由诱导公式知， （4）由诱导公式知， 2．化简求值 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】由诱导公式化简原式即可求解（1）（2）. 【详解】（1）原式． （2）原式 ． 3．化简并求值：（其中）． 【答案】 【分析】利用诱导公式化简所求式即可. 【详解】 . 4．已知函数． (1)化简函数； (2)若是第二象限角，且，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先利用诱导公式逐步化简，再代入原式求解； （2）利用是第二象限角结合求出，再利用两角和的余弦公式计算求解． 【详解】（1）， ，，，， ． （2），是第二象限角，且， ，即， ，是第二象限角， ，， ． 题型04 二倍角、半角、降幂公式 【技巧通法·提分快招】 1、二倍角的正弦（）：． 2、二倍角的余弦（）：． 3、二倍角的正切（）：． 4、降幂公式：；；；． 1．若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由于，所以， 则 2．已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由正弦二倍角公式，对原式化简，可求得，再结合正余弦的平方关系，即可求解. 【详解】由正弦二倍角公式，可得， 所以， 又，所以， 所以化简得，解得， 所以. 3．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用降幂公式和诱导公式化简可得答案. 【详解】，解得：， 故选：D 4．已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以. 所以. . 5．已知 ，则 （     ） A． B．      C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以， 所以， 所以， 所以. 6．（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】解法一：利用降幂公式运算求解即可；解法二：利用诱导公式可得，结合倍角公式运算求解. 【详解】解法一：． 解法二：， 所以． 故选：B. 7．已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据的范围确定半角为锐角，由半角正弦求出半角余弦，再利用二倍角公式算出，，最后代入两角差的余弦公式求值． 【详解】由，得， 又，所以， 所以， ， 所以． 8．已知为第二象限角，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二倍角的正弦、余弦公式可求出的值，结合为第二象限角，以及同角三角函数的基本关系可得出、的值，即可得出所求代数式的值. 【详解】因为为第二象限角，所以，， 由，即， 整理可得，所以，故， 因为，，所以，， 故. 9．（多选题）下列有关三角函数的公式中，正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】由二倍角公式及诱导公式求解． 【详解】由， 得，故A，B两项正确； ，故C项正确； ，故D项错误， 故选：ABC 题型05 辅助角公式 【技巧通法·提分快招】 常见辅助角结论 （1）； （2）； （3）； （4）． 1．求下列函数的最大值和最小值． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)见解析 【分析】根据两角和与差的正弦函数、余弦函数公式化简函数解析式，利用正弦函数、余弦函数的图象和性质即可得到最值，进而用五点法即可画出函数图象． 【详解】（1），其中； 函数的最大值为13、最小值为 （2）； 函数的最大值为2、最小值为  （3）． 函数的最大值为2、最小值为   2．（2026·湖北·三模）（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意可得：. 3．（25-26高三下·贵州遵义·阶段检测）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先通过辅助角公式，结合两角和的正弦公式对已知条件进行化简，再利用诱导公式将所求式子转化为正弦值进行求解即可. 【详解】因为，所以， 即，所以， 所以. 4．（2026·福建福州·模拟预测）当函数取得最小值时，（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】根据辅助角公式，，其中，， 当，时，取得最小值，， 所以. 5．函数 的最大值为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【分析】利用二倍角正、余弦公式以及辅助角公式将函数变形为，从而求解函数的最大值即可. 【详解】 ， 因为，所以， 当时，取得最大值，即. 故选：A. 6．（25-26高三上·湖北·期中）函数的最大值为（    ） A．1 B．2 C．-2 D．3 【答案】B 【分析】利用两角和的余弦值公式、二倍角公式以及辅助角公式化简函数 ，结合正弦函数的最值即可求解. 【详解】因为， 当，即时，， 所以的最大值为2. 故选：B 题型06 给值求值问题 【技巧通法·提分快招】 给值求值问题一般策略 （1）关键是把“所求角”用“已知角”表示． ①当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式； ②当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系． （2）常见的配角技巧： ①；； ②； ③； ④； ⑤． 1．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直接根据诱导公式计算可得结果. 【详解】因为， 所以由诱导公式得． 故选：A 2．（25-26高三下·浙江·开学考试）若，，则的值为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】对进行变换可得，再结合两角差的正切展开公式求解. 【详解】因为， 所以． 3．（2026·河南周口·三模）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用角的整体代换，将表示成，再利用诱导公式和二倍角公式，即可求出的值. 【详解】由题意得 ， 因为， 所以. 4．（25-26高三下·江西赣州·期中），则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由辅助角公式及诱导公式计算即可． 【详解】 ． 5．（2026·辽宁鞍山·二模）若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据同角三角函数关系求，再根据结合两角和差公式运算求解. 【详解】因为，，则， 可得， 所以. 6．已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】观察已知式与待求式的关系，将已知式展开后根据两角和差的正弦公式可得到的正弦值，最后根据余弦的倍角公式即可求解. 【详解】因为， 所以， 所以. 7．（25-26高三上·河北·阶段检测）若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由二倍角公式，同角三角函数的平方关系及商数关系求得，再由二倍角公式求解． 【详解】因为， 所以，则. 故选：A． 8．（2026·湖南岳阳·一模）已知，则（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】由平方关系分别求出，利用，由两角差的余弦公式求解. 【详解】因为，所以，所以， 因为，，所以， 又，所以，， 所以， 所以， 故选：C. 9．（多选题）已知、均为第一象限角，且，，则下列选项正确的有（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【详解】，， 结合为第一象限角可得，故A正确； 由可得， 、均为第一象限角，，故，故B正确； ，故C正确； 由为第一象限角可得，，故D错误． 10．（多选题）已知，其中为锐角，则（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【详解】选项A，因为为锐角，所以，得，，A错误； 选项B，因为为锐角，所以，， 则， ，B错误； ， 选项C，由B选项可知，C正确； 选项D，由B选项可知，D正确 题型07 给值求角问题 【技巧通法·提分快招】 三角函数给值求角问题一般策略 实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，最后确定角． 遵照以下原则： （1）已知正切函数值，选正切函数； （2）已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是，选正、余弦皆可； 若角的范围是，选余弦较好；若角的范围是，选正弦较好． 1．已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用两角和余弦公式求出，再根据角的范围求角. 【详解】因为，，， 所以， 所以， 因为，所以， 所以. 2．已知都是锐角，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据两角差的余弦公式，结合同角三角函数关系式进行求解即可. 【详解】因为都是锐角， 所以，又因为， 所以， ， 因此 ， 因为是锐角， 所以. 故选：B 3．已知，为锐角，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由，为锐角，同角三角函数的关系及两角和的正弦公式即可求解． 【详解】因为，为锐角，，， 所以，， 所以， 则 ， 所以， 故选：A． 4．已知，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】， 所以或， 即或. 由于，故. 5．若，，且，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据角的范围和题设条件求出与的值，再由和角的余弦公式求出，即可求得. 【详解】由可得， 因，则， 又，则， 因， 则， 故 ， 因，故. 故选：B. 6．（25-26高三上·湖南长沙·期末）设且则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由题设切化弦、结合两角和正弦公式和诱导公式得到即可分析计算求解. 【详解】由题， 所以， 因为，， 所以，，， 所以或， 解得或（舍去）. 故选：A 题型08 积化和差、和差化积公式 【技巧通法·提分快招】 1、积化和差公式： ； ； ； . 口诀： 积化和差得和差，余弦在后要相加； 异名函数取正弦，正弦相乘取负号。 证明：由两角和与差的正弦公式得 两式相加可得， 两式相减可得． 同理，由两角和与差的余弦公式可得其他公式. 2、和差化积公式: 口诀： 正弦＋正弦,正弦在前； 正弦－正弦,正弦在后； 余弦＋余弦,余弦并肩； 余弦－余弦，余弦靠边。 证明：由，，得 .其他同理可证. 1．可化简为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用诱导公式将转化为，统一函数名称，再利用和差化积公式对进行变形，最后利用余弦偶函数性质和特殊角三角函数值化简即可得解. 【详解】． 故选：C. 2．已知是的两个解，且，则（    ） A．－3 B． C． D． 【答案】C 【分析】利用辅助角公式化简原式，根据是方程的解，得到两个关于的三角等式，进而利用和差化积公式对、变形求出的值，再利用正切的二倍角公式计算. 【详解】因为是的两个解， 所以：， 两式相等移项得：. 因为， 所以代入等式得： ， 因为，所以， 所以, 令，可得. 3．已知锐角满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由和差化积公式结合题设可得：，然后 结合为锐角，二倍角的正切公式可得答案. 【详解】因， 可得， 则， 得到，又结合为锐角， 可得，从而， 得到， 结合，可得. 4．（24-25高三下·安徽安庆·阶段检测）的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合题意对目标式合理变形，再利用积化和差公式化简求值即可. 【详解】首先，我们先对合理变形， 得到， ， 由积化和差公式得， 同理可得， ， 则， 得到，故A正确. 故选：A 5．（25-26高三上·陕西西安·期末）若锐角满足，则______. 【答案】 【分析】利用三角诱导公式,积化和差，辅助角公式计算可得. 【详解】由,, ， 则，移项得, 而， 所以,因为，所以， 故，解得. 故答案为： 6．（2026高三下·新疆·竞赛）__________. 【答案】/0.75 【分析】根据正弦和余弦的关系，结合二倍角的余弦公式以及和差化积公式、积化和差公式依次化简即可求解. 【详解】根据二倍角的余弦公式，有，， 根据和差化积公式，有， 根据积化和差公式，有， 因此. 实战检测·分层突破验成效 重难知识巩固 1．（2026·安徽·模拟预测）已知平面直角坐标系中，角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边过点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】依题意，，故，故C正确． 2．若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由同角正弦，余弦关系结合题设可得答案. 【详解】由题得整理可得，注意到，则． 3．（2026·江西宜春·一模）在平面直角坐标系中，角的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点，则（   ） A．4 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】由三角函数的定义求得，再结合二倍角公式求解即可. 【详解】因为角的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点， 所以，所以 4．（2026·广西·模拟预测）已知某扇形的周长为6，面积为2，圆心角为锐角，则其弧长为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】利用弧长公式和面积公式求出弧长，再结合题意取舍即可. 【详解】设扇形的弧长为，扇形的半径为，圆心角为， 因为扇形的周长为6，面积为2， 所以，解得或， 当时，，不是锐角，故排除， 当时，，符合题意，故B正确. 故选：B 5．函数的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用三角恒等变换化简函数解析式，结合正弦函数的有界性可求得原函数的最大值. 【详解】因为， 故当，即时，函数取最大值. 故选：C. 6．（25-26高三上·安徽滁州·期末）有一圆心角为，半径为2的扇形，将其围成一个圆锥，则此圆锥的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据扇形的弧长求出圆锥底面半径与高，然后由圆锥的体积公式得到圆锥的体积. 【详解】设圆锥的高为，母线为，底面半径为 由题可得，，则； 则，此圆锥的体积为. 故选：B. 7．（25-26高三上·河北衡水·阶段检测）函数的最小正周期是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用辅助角公式将函数化简为单一正弦函数形式，再根据正弦函数的周期公式求解该函数的最小正周期. 【详解】函数化简得，其中，， 因为，正弦函数的周期公式为， 所以函数的最小正周期是. 故选：C. 8．（2025·河南·模拟预测）圆环被同圆心的扇形截取的一部分叫作扇环．如图所示，扇环的外圆弧的长为，圆心为，点分别为的中点，扇环的面积为，则（   ）    A． B．2 C． D．4 【答案】D 【分析】设，，则圆弧，代入扇形的弧长及面积公式，化简计算，即可得答案. 【详解】设，，则圆弧， 由题意得，解得， 所以. 故选：D 9．若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出，再利用倍角公式即可. 【详解】由得或. 因为，所以. 所以. 10．（2026·河南·模拟预测）已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边过点，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据任意角三角函数的定义以及三角恒等变换公式即可求解. 【详解】因为，所以，，所以为第四象限角. 因为，又，所以. 11．（2025·广东肇庆·二模）已知是锐角，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由联立可得. 【详解】由得， 由得， 化简得，得 故选：B. 12．已知，，则（    ） A．3 B． C． D． 【答案】A 【分析】由二倍角的余弦公式，同角三角形函数的平方关系及求出和，再根据二倍角的正弦公式及降幂公式化简，代入计算即可． 【详解】由题设有，即， 解得或，因为，所以，则， 则， 故选：A． 13．（25-26高三上·贵州黔西南·阶段检测）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用两角和正弦公式展开，再利用辅助角公式和诱导公式化简即可求值. 【详解】由 ， 则， 故选：B 14．（25-26高三上·河北·阶段检测）设，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先将条件平方求的值，再将正切转化为正弦和余弦，即可求解. 【详解】由条件可知，，可得， . 故选：D 15．已知为第二象限角，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用二倍角公式化简已知等式，求出和的值，再利用两角和的余弦公式进行求解即可. 【详解】因为，所以， 因为为第二象限角，所以，则， 整理得，又为第二象限角， 所以，， . 16．（2026·海南海口·模拟预测）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，得， 即，得， 则. 因为， 所以，. 17．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用三角恒等变换的应用可得，结合两角和的正切公式计算即可求解. 【详解】由， 得，所以， 又，所以， 即， 整理得，即， 所以一个钝角一个锐角，所以， 所以， 所以. 故选：C 18．已知，且，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以， 所以， 化简得，所以. 又由于，所以， 又，， 所以，所以. 19．（24-25高三上·江苏·阶段检测）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用两角和的余弦公式求出，从而求出，再由降幂公式及和差角的余弦公式计算可得. 【详解】因为，， 即，可得 所以 . 故选：D. 20．甲、乙两个扇形的半径相等，圆心角之和为3弧度，扇形面积分别为和，周长分别为和.若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由甲、乙两个扇形的半径相等，圆心角之和为3弧度，，求出圆心角，，再用半径和圆心角表示，计算即可. 【详解】甲、乙两个扇形的半径相等，圆心角之和为3弧度， 设甲、乙两个扇形的半径均为，圆心角分别为，，弧长分别为，. ， 又， 联立， 解得：，， ，， . 故选：B 21．已知，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将未知角转化为已知角，利用两角和差公式以及二倍角公式计算式子的值． 【详解】因为； ； 因为，则；则， 则； 代入可得． 22．已知为三角形的两个内角，，则＝（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知数据可得和的值，而，代入值计算可得． 【详解】因为三角形的两个内角，且， 则，， 因，， 得， 则， 故， 因，，则． 故选：B． 23．（24-25高三上·湖北荆州·阶段检测）已知且，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用两角差的正弦公式结合求，注意确定角的范围，然后得出结论． 【详解】因为且，函数在上单调递减， ，， 又，，所以， ， ，， 所以， 又，，所以，结合，可得， 所以，所以， 故选：A． 24．（24-25高三上·山东·期中）若，，且，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据已知角的范围确定三角函数值的正负，再利用两角和的余弦公式求出的值，最后根据的范围确定其具体值. 【详解】因，所以，又， 根据，得，同时也能确定. 因为，，，所以. . 将转化为. 所以 因为，，所以. 在这个区间内，时，. 故选：C. 25．已知，且，，是在内的三个不同零点，下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据方程，求出，，，再逐项验证即可得到答案. 【详解】由题意：，得：， 所以或，， 又，所以，，. 故A正确； ，故B错误； ，故C正确； .故D正确. 故选：B 26．（多选题）已知，则的可能取值为（    ） A． B．1 C．2 D．不存在 【答案】AD 【分析】由二倍角、半角公式即可求解. 【详解】， 当时，不存在， 当时，. 故选：AD. 27．（多选题）（25-26高三上·黑龙江·阶段检测）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据给定条件，利用同角三角函数的关系，结合正、余弦值的符号逐项计算判断. 【详解】由，得，所以， 又，所以，结合， 解得，所以. 故选：AC. 28．（多选题）（25-26高三上·内蒙古包头·阶段检测）已知，，则下列正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据题意，结合三角函数取值范围、二倍角公式、两角和差公式、同角三角函数关系等知识，即可得出结果. 【详解】对于A，因为，， 所以，所以， 所以，即，故A正确； 对于B，又，，则，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，，， . 故选：ABD. 29．（多选题）（2026·广东佛山·模拟预测）已知，则（     ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】本题考查三角恒等变换,结合已知,利用半角公式、二倍角公式、齐次式化简方法逐一验证选项即可. 【详解】选项A：设,则,代入得,整理得,解得,有两个可能取值,故A错误. 选项B：,故B正确. 选项C：,代入得,故C正确. 选项D：,代入得,故D错误. 30．（多选题）（25-26高三上·江西·阶段检测）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】借助同角三角函数基本关系、二倍角公式及两角差的余弦公式逐项计算即可得. 【详解】因为，所以， 所以，故A正确； 因为，所以，又， 所以，，故B正确； 因为，， 所以，故C错误； ，故D正确． 故选：ABD． 31．（多选题）（25-26高三下·安徽·期中）已知为锐角，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据结合题干式子可求出，根据同角三角关系可求出，可判断A；利用可判断B；根据齐次式转换可判断C；利用同角三角关系求出，结合辅助角公式可判断D. 【详解】由，得，解得， 因为为锐角，所以，所以， 所以，故A正确； ，故B错误； ，故C正确； ，又为锐角，解得， ， 故D错误. 32．（多选题）（2024·辽宁·模拟预测）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据题意利用可判断A选项；由和判断的取值范围，进而易得，可判断B选项；先求，然后利用可判断C选项；由可判断D选项. 【详解】对于A：因为，， 所以,故A错误； 对于B：，则又， 所以，所以，故B正确； 对于C：由，可得， ， 又，所以，故C错误； 对于D：根据C选项知， 所以,故D正确. 故选：BD． 33．（多选题）若，，且，，则以下说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】由的范围可以求出的范围，结合，可以将的范围缩小到一定的范围，从而求出的取值；再结合的取值范围，可以求得和的范围，求出值后，利用配凑法，求出的取值，最后结合其范围得出的值. 【详解】因为，所以，且因为， 所以，则， 则，所以正确； 由可得，又因为， 利用不等式的性质可得，， 所以， 则， 又因为，所以，所以正确. 故选: 34．（多选题）下列关系式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据和差化积公式判断A，B，利用积化和差公式判断C，D. 【详解】因为，所以，所以A正确； 因为，所以，所以B错误； 因为，所以，所以C正确； 因为，所以，所以D错误. 故选：AC. 35．（2026·湖南长沙·一模）将一个圆心角为 120°、半径为3 的扇形纸板作为侧面围成一个圆锥，则该圆锥的体积为________. 【答案】 【详解】设圆锥底面半径为，高为，母线为， 则， 由条件得，扇形弧长为，可得， 所以， 所以该圆锥的体积为. 36．（2026·浙江·模拟预测）已知，则__________. 【答案】/ 【分析】用降幂公式将半角转化为整角，化简题干等式；通过移项推导得到与的倍数关系；代入解出，最后结合二倍角公式即可得解. 【详解】因为，又， 所以 整理得，所以， 又，所以，解得， 因此. 故答案为：. 37．（25-26高三上·河北邯郸·期中）若，，则___________. 【答案】 【分析】由条件结合二倍角公式可得，解方程可求，再结合的范围排除增解可得结论. 【详解】因为，， 所以， 所以， 所以， 所以或， 因为，所以，故， 所以， 故答案为：. 38．已知，则______． 【答案】 【分析】利用三角恒等变换可化简求解. 【详解】解法一： 所以. 解法二：由积化和差公式得， 所以. 解法三：由和差化积公式得. 39．化简： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用诱导公式化简即得； （2）利用诱导公式化简计算即得. 【详解】（1）原式 ． （2）原式 ． 40．已知. (1)化简； (2)若，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用诱导公式及同角三角函数的商的关系化简即可. （2）利用齐次式法计算即可 【详解】（1） . （2），， ，即， . 创新能力提升 1．（2026·陕西榆林·模拟预测）若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用二倍角公式及两角和的正余弦公式可得 【详解】因为，所以，故．又， 所以，．所以． 所以． 2．（2026·江西南昌·二模）若圆锥的侧面展开图是一个半径为3，圆心角为的扇形，则过圆锥顶点的截面中，截面面积的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】可知侧面展开图是一个半径为3，圆心角为的扇形，则弧长为， 则底面直径为， 则圆锥轴截面是以为腰，为底的等腰三角形，此时顶角为， 则，所以， 则过圆锥顶点的截面是以为腰的等腰三角形，设顶角为， 此时面积，可知当时，即时，面积最大， 此时面积. 3．（25-26高三上·广东深圳·阶段检测）若为锐角，，则的值为（    ） A．0 B． C． D． 【答案】A 【分析】利用两角和差公式以及倍角公式可得，代入结合倍角公式运算求解即可. 【详解】因为， 又因为，即， 且为锐角，则，则， 可得，即. 4．已知，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】以，为整体，可得，结合三角恒等变换运算求解即可. 【详解】因为，则， 且，可得， 又因为，则， 且，可得， 所以 . 故选：A. 5．（2026·山东枣庄·一模）记函数，的两个零点为和，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令，即，列方程解，不妨设，可知，.利用诱导公式结合倍角公式逐项分析判断. 【详解】令，即， 联立方程，解得或， 不妨设，则，， 且，则，. 对于选项C：，故C错误； 对于选项D：，故D正确； 对于选项AB：因为，则， 且， 可得，， 则，故A错误； 且，故B错误； 故选：D. 6．（多选题）已知角的终边经过点，将角的终边绕坐标原点逆时针旋转得到角的终边，则下列说法正确的有（    ） A． B． C．若，则 D．对任意 【答案】BC 【分析】根据任意角三角函数的定义可判断A；根据与的关系可判断B；根据与的关系结合可判断C；分和可判断D. 【详解】对于A：或，故A错误； 对于B：因为角是由角的终边绕坐标原点逆时针旋转得到， 所以，，故B正确； 对于C：若，则点在第一象限且，所以， 又因为， 所以，故C正确； 对于D；由C可知，当时，， 当时，点在第三象限，， 则，此时， 所以对于任意，或，故D错误. 故选：BC 7．（多选题）（25-26高三下·江苏无锡·阶段检测）若，且，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据题意，结合同角基本关系式求出，再利用两角和差公式逐项判断. 【详解】根据题意，，，所以， 则，A错误； ， 因为，则， 所以，B正确； 由，则， 所以 ，C错误； 因为， 则，D正确. 8．（多选题）已知，则可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】利用积化和差和辅助角公式得到，即可求解得到或，，可求答案. 【详解】， ， ， ， ， ， ， ， 或，, ，，或，， 经检验，或符合，其它都不符合. 故选：AB. 9．（2026·河北承德·模拟预测）已知，，且，，则的值为_______． 【答案】24或 【分析】先由范围确定、的区间并判断三角函数符号,求出与,再把通分化简为,利用积化和差公式算出,最后代入数值计算得出结果. 【详解】 由角范围得：,. 由,所以 得,. 由,,得. 若,则 . 代入目标式：. 若 . 代入目标式：. 综上所述, 或 10．（2026·黑龙江哈尔滨·三模）已知，，则______. 【答案】/ 【分析】本题中的角可以看成，而所求角可以看成．令，，则已知条件变为，，所求为．利用两角和与差的余弦公式，并把化为，即可求出结果． 【详解】令，，则，． 因为，所以与均有意义，从而，． 由两角和的余弦公式，得． 又因为，，所以． 因此． 把代入，得． 又因为，所以，解得． 由两角差的余弦公式，得． 同理，，所以． 于是． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $