3.3 第2课时 相似三角形判定定理的证明（讲解课件）-【优翼·学练优】2026-2027学年九年级数学上册同步备课（北师大版·新教材）

该初中数学课件聚焦相似三角形判定定理的证明与运用，通过复习导入回顾已学判定方法，新知探究环节逐步严谨证明“两角分别相等”“两边成比例且夹角相等”“三边成比例”三个定理，搭建从回顾到推理再到应用的学习支架。 其亮点在于以逻辑推理为主线，定理证明过程层层递进，如通过作平行线构造相似与全等转化，体现数学思维的严谨性。例题与当堂反馈注重分类讨论和实际应用，帮助学生发展推理意识与应用意识，教师使用可系统提升教学效率，助力学生掌握判定定理及运用。

第三章 图形的相似 第2课时 相似三角形判定定理的证明 3.3 相似三角形判定定理的证明 北师版 九年级（上） 1.会证明相似三角形的判定定理；（重点） 2.运用相似三角形的判定定理解决相关问题.（难点） 素养目标 问题：相似三角形的判定方法有哪些？ ① 两角对应相等，两三角形相似. ② 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似. ③ 三边对应成比例，两三角形相似. 复习导入 3 在上一节中，我们探索了三角形相似的条件，本节我们将对它们进行证明. 定理1：两角分别相等的两个三角形相似. 已知：如图，在 △ABC 和 △A'B'C' 中，∠A =∠A'， ∠B =∠B'. 求证：△ABC ∽△A'B'C'． A′ B′ C′ A B C 探究点1：证明相似三角形的判定定理 新知探究 4 证明：在 △ABC 的边 AB (或它的延长线) 上截取 AD = A'B'，过点 D 作 BC 的平行线，交 AC 于点 E，则∠1=∠B，∠2 =∠C， (平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例). 过点 D 作 AC 的平行线，交 BC 于点 F，则 (平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例). A′ B′ C′ A B C E D F 1 2 ∴ 探究点1：证明相似三角形的判定定理 新知探究 5 ∴ △ADE∽△ABC. A′ B′ C′ A B C E D F 1 2 ∴ DE = CF . ∴ ∵ DE∥BC，DF∥AC， ∴ 四边形 DFCE 是平行四边形． ∴ 而 ∠1 = ∠B，∠DAE = ∠BAC，∠2 =∠C， ∵ ∠A = ∠A'，∠ADE = ∠B =∠B'， AD = A'B'， ∴ △ADE≌△A'B'C' ． ∴ △ABC∽△A'B'C'. 探究点1：证明相似三角形的判定定理 新知探究 我们来证明一下前面得出的结论： 如图，在△ABC与△A′B′C′中，已知∠A= ∠A′， 证明：在△ABC 的边 AB (或它的延长线)上截取 AD = A′B′，过点 D 作BC 的平行线，交 AC 于点 E， 则∠B =∠ADE，∠C =∠AED， 求证：△ABC∽△A′B′C′. B' A' C' D E B A C 定理2：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似. ∴ △ABC∽△ADE (两角分别相等的两个三角形相似). 探究点1：证明相似三角形的判定定理 新知探究 7 ∴ AE = A′C′ . ∵ AD = A′B′， ∴ ∴ B' A' C' D E B A C ∴ 而 ∠A = ∠A′， ∴ △ADE ≌△A′B′C′. ∴ △ABC∽△A′B′C′. 探究点1：证明相似三角形的判定定理 新知探究 定理3：三边成比例的两个三角形相似. 已知：如图，在 △ABC 和△A'B'C' 中， . 求证：△ABC ∽ △A'B'C' . A′ B′ C′ A C E D B 探究点1：证明相似三角形的判定定理 新知探究 ∴ C′ B′ A′ 证明：在 △ABC 的边 AB，AC (或它们的延长线)，上分别截取 AD = A'B'，AE = A'C'，连接 DE. ∵ ，AD = A'B'，AE = A'C'. B C A D E 而 ∠BAC = ∠DAE. ∴△ABC ∽△ADE (两边成比例且夹角相等的两个三角形相似). ∴ . 探究点1：证明相似三角形的判定定理 新知探究 ∴ C′ B′ A′ ∴ DE = B′C′. ∴△ADE≌△A′B′C′， ∴△ABC∽△A′B′C′ . B C A D E 又 ，AD = A'B'， ∴ 探究点1：证明相似三角形的判定定理 新知探究 解：∵ ∠A = ∠A，∠ABD = ∠C， ∴ △ABD∽△ACB. ∴ AB : AC = AD : AB. ∴ AB² = AD · AC. ∵ AD = 2， AC = 8， ∴ AB = 4. 例1 如图，∠ABD = ∠C，AD = 2，AC = 8，求 AB. C D A B 探究点2：相似三角形判定定理的运用 新知探究 例2 如图，∠ACB =∠ADC = 90°，AD = 2，CD = ，当 AB 的长为 时，△ACB 与△ADC 相似． C A B D 解析：∵∠ADC = 90°，AD = 2，CD = ， 要使这两个直角三角形相似，有两种情况： ∴ 探究点2：相似三角形判定定理的运用 新知探究 ② 当 Rt△ACB ∽ Rt△CDA 时，有 AC : CD ＝AB : AC ， 即 : = AB : ，解得 AB = ． ① 当 Rt△ABC ∽ Rt△ACD 时，有 AC : AD ＝AB : AC， 即 : 2 = AB : ，解得 AB = 3； C A B D 2 ∴ 当 AB 的长为 3 或 时， 这两个直角三角形相似． 探究点2：相似三角形判定定理的运用 新知探究 1.在 Rt△ABC 和 Rt△A′B′C′ 中，∠C = ∠C′ = 90°，依据下列各组条件判定这两个三角形是否相似. (1) ∠A = 35°，∠B′ = 55°： ； (2) AC = 3，BC = 4，A′C′ = 6，B′C′ = 8： ； (3) AB = 10，AC = 8，A′B′ = 25，B′C′ = 15： . 相似 相似 相似 【练一练】 新知探究 相似三角形判定定理的证明 定理1：两角分别相等的两个三角形相似. 定理的运用 定理证明 定理2：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似. 定理3：三边成比例的两个三角形相似. 课堂小结 1. 如图，给出以下条件：①∠B＝∠ACD；② ∠ADC＝∠ACB；③ ＝ ；④AC2＝AD·AB. 其中能判定△ABC∽△ACD的有(　C　) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 C 当堂反馈 2. 已知△ABC的三边长为1， ，2，在下列给定 条件中，△DEF与△ABC不一定相似的是(　D　) A. DE＝2，EF＝4，DF＝2 B. ∠D＝30°，∠E＝90° C. DE＝2，EF＝4，∠E＝60° D. DE＝2，EF＝2 ，∠F＝30° D 当堂反馈 3. 如图，在大小为 4×4 的正方形网格中，三角形的 顶点都在网格点上，下列是相似三角形的是(　A　) A. ①和③ B. ②和③ C. ②和④ D. ①和④ A 当堂反馈 4. 如图，AB，CD 相交于点O，试添加一个条件使得△AOD∽△COB，你添加的条件 是 ⁠ (只需写一个). ∠A＝∠C(答案不唯一)　 当堂反馈 5. 在Rt△ABC 和Rt△A'B'C' 中，∠C＝∠C'＝90°，依据下列各组条件判定这两个三角形是否相似. (1)∠A＝35°，∠B'＝55°： ⁠； (2)AC＝3，BC＝4，A'C'＝6，B'C'＝8： ⁠ ⁠； (3)AB＝10，AC＝8，A'B'＝25，B'C'＝10： ⁠ ⁠. 相似　 相似 不相似 当堂反馈 6. 如图，在△ABC和△ADE中， ＝ ＝ . 求证：(1)∠BAD＝∠CAE. 证明：(1)在△ABC和△ADE中， ＝ ＝ ， ∴△ABC∽△ADE. ∴∠BAC＝∠DAE. ∴∠BAC－∠DAC＝∠DAE－∠DAC， 即∠BAD＝∠CAE. 当堂反馈 (2)△BAD∽△CAE. ＝∴△BAD∽△CAE. 证明：(2)∵ ＝ ，即 ＝ ， 又∠BAD＝∠CAE， ∴△BAD∽△CAE. 6. 如图，在△ABC和△ADE中， ＝ ＝ . 求证： 当堂反馈 7. 如图，在△ABC中，点D，E分别在边AC，AB 上，连接BD，CE，DE，且∠BEC＝∠CDB. (1)求证：△ABD∽△ACE； (1)证明：∵∠AEC＋∠BEC＝ 180°，∠ADB＋∠CDB＝180°， 且∠BEC＝∠CDB， ∴∠ADB＝∠AEC. ∵∠A＝∠A， ∴△ABD∽△ACE. (1)证明：∵∠AEC＋∠BEC＝180°， ∠ADB＋∠CDB＝180°， 且∠BEC＝∠CDB， ∴∠ADB＝∠AEC. ∵∠A＝∠A， ∴△ABD∽△ACE. 当堂反馈 (2)若 ＝ ，求 的值. 7. 如图，在△ABC中，点D，E分别在边AC，AB 上，连接BD，CE，DE，且∠BEC＝∠CDB. (2)解：∵△ABD∽△ACE， ∴ ＝ .∴ ＝ . ∵∠A＝∠A， ∴△ADE∽△ABC. ∴ ＝ ＝ ，即 的值为 . (2)解：∵△ABD∽△ACE， ∴ ＝ .∴ ＝ . ∵∠A＝∠A， ∴△ADE∽△ABC. ∴ ＝ ＝ ， 即 的值为 . 当堂反馈 本文件著作权为创作公司所有, 仅限于教师教学及其他非商业性和非盈利性用途。如发现盗用、转卖、网络传播等侵权行为, 本公司将依法追究其相应法律责任。 部分素材选自网络, 如有争议, 请联系删改。 声 明 $