3.2 探索三角形相似的条件 同步讲义 2026--2027学年北师大版九年级数学上册

本讲义聚焦“探索三角形相似的条件”，核心知识点涵盖相似三角形性质（对应角相等、对应边成比例，周长比与对应线段比等于相似比，面积比等于相似比平方）及黄金分割（定义、黄金三角形、黄金矩形），构建从定义到性质再到应用的学习支架。 资料通过典例与变式题（如相似三角形周长和面积计算）培养推理能力（数学思维），结合鹦鹉螺、银杏叶等自然实例渗透几何直观（数学眼光）。分层题型设计，课中辅助教师讲解，课后助力学生查漏补缺，提升应用意识（数学语言）。

3.2 探索三角形相似的条件 内 容 导 航 题型1 相似三角形的性质 题型2 黄金分割 考 点 演 练 题型1 相似三角形的性质 解｜题｜知｜识 相似三角形的定义：如果两个三角形的对应边的比相等，对应角相等，那么这两个三角形相似． （1）相似三角形的对应角相等，对应边的比相等． （2）相似三角形（多边形）的周长的比等于相似比； 相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比也等于相似比． （3）相似三角形的面积的比等于相似比的平方． 由三角形的面积公式和相似三角形对应线段的比等于相似比可以推出相似三角形面积的比等于相似比的平方． 【典例1】两个相似三角形的最长边分别是10cm和6cm，并且它们的周长之和为48cm，那么较小三角形的周长是（　　） A．14cm B．18cm C．30cm D．34cm 【变式1】如图，已知△ADE与△ABC的相似比为1：2，若△ADE的面积为1，则四边形BCED的面积为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式2】若△ABC∽△DEF，且S△ABC：S△DEF＝3：4，则△ABC与△DEF的周长比为（　　） A．3：4 B．4：3 C．：2 D．2： 【变式3】如图，把△AOB放大后得到△COD，则△AOB与△COD的相似比是（　　） A．1：1 B．1：2 C．1：3 D．1：4 题型2 黄金分割 解｜题｜知｜识 （1）黄金分割的定义： 如图所示，把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC＝AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点． 其中ACAB≈0.618AB，并且线段AB的黄金分割点有两个． （2）黄金三角形：黄金三角形是一个等腰三角形，其腰与底的长度比为黄金比值． 黄金三角形分两种：①等腰三角形，两个底角为72°，顶角为36°．这样的三角形的底与一腰之长之比为黄金比：；②等腰三角形，两个底角为36°，顶角为108°；这种三角形一腰与底边之长之比为黄金比：． （3）黄金矩形：黄金矩形的宽与长之比确切值为． 【典例1】鹦鹉螺的贝壳呈现出等角螺线，其相邻半径之比是一个常数，展现了自然界精妙的数学规律．如图，已知点P是线段AB的黄金分割点（AP＞BP），若AB的长为8，则AP的长为（　　） A． B． C． D． 【变式1】大自然是美的设计师，如图是一片银杏叶，点P是线段AB的黄金分割点（AP＞BP），若AB＝4cm，则AP的长为（　　） A． B． C． D． 【变式2】把2米长的线段进行黄金分割，则分成的较短线段的长为（　　）米 A．3 B．1 C．1 D．2 【变式3】已知点C是线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，若AB＝6，则BC的值为（　　） A． B． C． D． 过 关 验 收 1．如图，△ABC∽△DAC，下列结论错误的是（　　） A．∠BAC＝∠ADC B．CA平分∠BCD C． D．AC2＝BC•CD 2．△ABC的三边长分别为5，12，13，与它相似的△DEF的最小边长为15，则△DEF的周长是（　　） A．15 B．90 C．10 D．60 3．两个相似三角形的一组对应边的长分别是15和23，它们周长的差是40，则这两个三角形的周长分别为（　　） A．75，115 B．60，100 C．85，125 D．45，85 4．如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC上的点，△ADE∽△ABC，且相似比为3：5，则（　　） A． B． C． D． 5．若两个相似三角形周长的比为1：4，则这两个三角形对应边的比是（　　） A．1：2 B．1：4 C．1：8 D．1：16 6．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D为线段BC上一动点（不与点B，C重合），连接AD，作∠ADE＝∠B＝40°，DE交线段AC于点E． 下面是某学习小组根据题意得到的结论： 甲同学：△ABD∽△DCE； 乙同学：若AD＝DE，则BD＝CE； 丙同学：当DE⊥AC时，D为BC的中点． 则下列说法正确的是（　　） A．只有甲同学正确 B．乙和丙同学都正确 C．甲和丙同学正确 D．三个同学都正确 7．如图，△OAB∽△OCD，OA：OC＝3：2，△OAB与△OCD的面积分别是S1与S2，周长分别是C1与C2，则下列说法正确的是（　　） A． B． C． D． 8．已知△ABC∽△A1B1C1，且．若△ABC的面积为4，则△A1B1C1的面积是（　　） A． B．6 C．9 D．18 9．如图，已知△AOB∽△DOC，下列比例式正确的是（　　） A． B． C． D． 10．已知两个相似三角形的相似比为2：3，那么这两个三角形的面积之比为　　 ． 11．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm．动点M从点B出发，在BA边上以每秒3cm的速度向定点A运动，同时动点N从点C出发，在CB边上以每秒2cm的速度向点B运动，运动时间为t秒，连接MN．若△BMN与△ABC相似，求t的值为 　　 ． 12．若△ABC∽△DEF，且，则△ABC和△DEF对应边上的中线比为　　 ． 13．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝5，点D在边BC边上，BD＝2，CD＝4，将线段DA绕点D逆时针旋转得线段DE，DE交AB边于点F，连接AE，若△AEF与△BDF相似，则AE的值是　　 ． 14．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，BC＝5，AB＝3，点D是线段BC上一动点，连接AD，以AD为边作△ADE∽△ABC，点N是AC的中点，连接NE，当线段NE最短时，线段CD的长为 　　 ． 15．两个相似三角形的面积比是4：9，那么这两个三角形最大角的角平分线之比为　　 ． 16．如图，在△ABC中，AB＝4cm，AC＝8cm，点P从A出发，以2cm/s的速度向B运动，同时点Q从C出发，以3cm/s的速度向A运动，当其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，当以A，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似时，则运动时间为　 ． 17．如图，若△AED∽△ACB，且AE＝6，EB＝3，AD＝7．则AC＝　　 ． 18．若△ABC与△DEF的相似比为2：3，且两个三角形的周长之和为45，则较大三角形的周长为　　 ． 19．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，D是BC边的中点．在AB上找一点E，使得△BDE∽△BAC，求DE＝ 　　 ． 20．两个相似三角形面积比是9：25，其中面积较小的三角形的周长为36cm，则另一个三角形的周长是 　　 cm． 21． 如图，在等腰△ABC中，AB＝ACcm，∠BAC＝120°，AD⊥BC于点D，点P是BC边上的一个动点，以AP为边向右作△APQ∽△ABC，连接DQ，则DQ的最小值为 　 　 cm． 22．如果两个相似三角形的面积比为1：4，那么它们的周长比为 　　 ． 23．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是平行四边形，AD＝6，若OA，OB的长是关于x的一元二次方程x2﹣7x+12＝0的两个根，且OA＞OB． （1）直接写出：OA＝　　 ，OB＝　　 ； （2）若点E为x轴上的点，且△AOE∽△DAO．求此时点E的坐标． 24．随着电视剧《沉默的荣耀》热播，剧中主人公吴石将军位于福州仓山区螺洲镇的故居也迎来参观热潮．故居前的广场上，吴石雕像巍然屹立．为增加视觉美感，设计雕像时采用了黄金分割比，使雕像腰部以上高度与腰部以下高度的比等于腰部以下高度与整个雕像高度的比．如图，雕像总高度为2m，那么该雕像腰部以下的高度约是（　　） （结果精确到0.01m．参考数据：） A．0.73m B．1.24m C．1.37m D．1.42m 25．如图，在△ABC中，∠BAC＝108°，∠B＝36°，分别以点A、C为圆心，以大于AC长为半径画弧，两弧交于点D、E，作直线DE分别交AC、BC于点F、G，以G为圆心，GC长为半径作弧，交BC于点H，连结AG，AH，下面结论错误的是 （　　） A．AH＝2GF B．∠C＝2∠BAH C．BG2＝BC•CG D． 26．大自然鬼斧神工，一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”的美．如图，P为线段AB的黄金分割点（AP＞PB）．如果AB的长度为10cm，那么AP的长度是（　　） A． B． C．6.18cm D． 27．如图，将正方形ABCD的边CD向右平移到EF得到矩形ABEF，如果CE与BC的比等于AB与BE的比，那么就称这个矩形ABEF为黄金矩形，黄金矩形能够给画面带来美感，令人愉悦．某小区开发商想在小区空地设计一个周长为16米的黄金矩形花坛ABEF，则BE的长是（　　） A． B． C． D． 28．如图，点C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC），下列结论错误的是（　　） A． B．BC2＝AC•AB C． D． 29．主持人主持节目时，站在舞台的黄金分割点处最自然得体．如图所示，如果舞台AB的长为12米，一名主持人现在站在A处，则她至少走（　　）米才最理想． A．18﹣6 B．66 C．66 D．18﹣6或66 30．大自然是美的设计师，即使是一个小小的盆景，经常也会产生最具美感的黄金分割比（黄金分割比．如图，B为AC的黄金分割点（AB＞BC），若AC＝20cm，则BC的长为 　　 cm．（结果保留根号） 31．鹦鹉螺曲线的每个半径和后一个半径的比都是黄金比例，是自然界最美的鬼斧神工，如图，P是AB的黄金分割点（AP＞BP），若线段AB的长为4cm，则AP的长为 　　 cm． 32． 黄金分割是汉字结构基本的规律．借助如图的正方形习字格书写的汉字“彩”端庄稳重、舒展美观，已知点C为AB的黄金分割点，且，若AB＝4cm，则AC的长为　 　 cm．（结果保留根号） 33．已知线段AB＝2．若点C将线段AB黄金分割，且AC＜BC，则AC＝　　 ． 34．如图，在正方形ABCD中，点G为边BC延长线上一动点，连接AG交对角线BD于点H，△ADH的面积记为S1，四边形DHCG的面积记为S2．如果点C是线段BG的黄金分割点，则的值为　　 ． 35．如图，乐器上的一根弦AB的长度为18cm，两个端点A、B固定在乐器板面上，支撑点C是弦AB靠近点B的黄金分割点，则线段BC的长度为 　　 cm． 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.2 探索三角形相似的条件 内 容 导 航 题型1 相似三角形的性质 题型2 黄金分割 考 点 演 练 题型1 相似三角形的性质 解｜题｜知｜识 相似三角形的定义：如果两个三角形的对应边的比相等，对应角相等，那么这两个三角形相似． （1）相似三角形的对应角相等，对应边的比相等． （2）相似三角形（多边形）的周长的比等于相似比； 相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比也等于相似比． （3）相似三角形的面积的比等于相似比的平方． 由三角形的面积公式和相似三角形对应线段的比等于相似比可以推出相似三角形面积的比等于相似比的平方． 【典例1】两个相似三角形的最长边分别是10cm和6cm，并且它们的周长之和为48cm，那么较小三角形的周长是（　　） A．14cm B．18cm C．30cm D．34cm 【答案】B 【解答】解：设较小三角形的周长为xcm，则较大三角形的周长为（48﹣x）cm， ∵两个相似三角形的最长边分别是10cm和6cm， ∴x：（48﹣x）＝6：10， 解得x＝18， 即较小三角形的周长为18cm． 故选：B． 【变式1】如图，已知△ADE与△ABC的相似比为1：2，若△ADE的面积为1，则四边形BCED的面积为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【解答】解：∵△ADE∽△ABC，且相似比为1：2， ∴S△ADE：S△ABC＝1：4， ∵S四边形BCED＝S△ABC﹣S△ADE， ∴S△ADE：S四边形BCED＝1：3， ∵△ADE的面积为1， ∴S四边形BCED＝3， 故选：B． 【变式2】若△ABC∽△DEF，且S△ABC：S△DEF＝3：4，则△ABC与△DEF的周长比为（　　） A．3：4 B．4：3 C．：2 D．2： 【答案】C 【解答】解：∵△ABC∽△DEF，S△ABC：S△DEF＝3：4， ∴△ABC与△DEF的相似比为：：2， ∴△ABC与△DEF的周长比为：：2． 故选：C． 【变式3】如图，把△AOB放大后得到△COD，则△AOB与△COD的相似比是（　　） A．1：1 B．1：2 C．1：3 D．1：4 【答案】C 【解答】解：由题意得，△AOB∽△COD， ∵OB＝2，OD＝6， ∴△AOB与△COD的相似比为OB：OD＝2：6＝1：3， 故选：C． 题型2 黄金分割 解｜题｜知｜识 （1）黄金分割的定义： 如图所示，把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC＝AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点． 其中ACAB≈0.618AB，并且线段AB的黄金分割点有两个． （2）黄金三角形：黄金三角形是一个等腰三角形，其腰与底的长度比为黄金比值． 黄金三角形分两种：①等腰三角形，两个底角为72°，顶角为36°．这样的三角形的底与一腰之长之比为黄金比：；②等腰三角形，两个底角为36°，顶角为108°；这种三角形一腰与底边之长之比为黄金比：． （3）黄金矩形：黄金矩形的宽与长之比确切值为． 【典例1】鹦鹉螺的贝壳呈现出等角螺线，其相邻半径之比是一个常数，展现了自然界精妙的数学规律．如图，已知点P是线段AB的黄金分割点（AP＞BP），若AB的长为8，则AP的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：由题知， 因为已知点P是线段AB的黄金分割点（AP＞BP）， 所以． 因为AB的长为8， 所以AP． 故选：D． 【变式1】大自然是美的设计师，如图是一片银杏叶，点P是线段AB的黄金分割点（AP＞BP），若AB＝4cm，则AP的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：由条件可得， ∵AB＝4cm， ∴， 故选：B． 【变式2】把2米长的线段进行黄金分割，则分成的较短线段的长为（　　）米 A．3 B．1 C．1 D．2 【答案】A 【解答】解：把2米长的线段进行黄金分割，则分成的较长线段的长为21， 则较短线段的长为：2﹣（1）＝3， 故选：A． 【变式3】已知点C是线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，若AB＝6，则BC的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：∵点C是线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，AB＝6， ∴， ∴， ∴已知点C是线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，若AB＝6，则BC的值为9﹣3， 故选：D． 过 关 验 收 1．如图，△ABC∽△DAC，下列结论错误的是（　　） A．∠BAC＝∠ADC B．CA平分∠BCD C． D．AC2＝BC•CD 【答案】C 【解答】解：∵△ABC∽△DAC， ∴∠BAC＝∠ADC，∠ACB＝∠DCB，，， ∴CA平分∠BCD，AC2＝BC•CD， ∴A、B、D正确，C错误． 故选：C． 2．△ABC的三边长分别为5，12，13，与它相似的△DEF的最小边长为15，则△DEF的周长是（　　） A．15 B．90 C．10 D．60 【答案】B 【解答】解：∵△ABC的三边长分别为5，12，13， ∴5+12+13＝30，即△ABC的周长为30， ∵△ABC与△DEF相似，且最小边对应，△ABC最小边长为5，△DEF最小边长为15， ∴△DEF与△ABC的相似比为15：5＝3：1， ∴△DEF的周长与△ABC的周长比为3：1， ∴30×3＝90，即△DEF的周长为90， 故选：B． 3．两个相似三角形的一组对应边的长分别是15和23，它们周长的差是40，则这两个三角形的周长分别为（　　） A．75，115 B．60，100 C．85，125 D．45，85 【答案】A 【解答】解：∵两相似三角形的一组对应边为15和23， ∴两相似三角形的周长比为15：23， 设较小的三角形的周长为15a，则较大三角形的周长为23a， 依题意，有：23a﹣15a＝40，a＝5， ∴15a＝75，23a＝115， 因此这两个三角形的周长分别为75，115． 故选：A． 4．如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC上的点，△ADE∽△ABC，且相似比为3：5，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：∵△ADE∽△ABC，且相似比为3：5， ∴（）2， ∴． 故选：A． 5．若两个相似三角形周长的比为1：4，则这两个三角形对应边的比是（　　） A．1：2 B．1：4 C．1：8 D．1：16 【答案】B 【解答】解：∵两个相似三角形周长的比为1：4， ∴这两个三角形对应边的比为1：4， 故选：B． 6．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D为线段BC上一动点（不与点B，C重合），连接AD，作∠ADE＝∠B＝40°，DE交线段AC于点E． 下面是某学习小组根据题意得到的结论： 甲同学：△ABD∽△DCE； 乙同学：若AD＝DE，则BD＝CE； 丙同学：当DE⊥AC时，D为BC的中点． 则下列说法正确的是（　　） A．只有甲同学正确 B．乙和丙同学都正确 C．甲和丙同学正确 D．三个同学都正确 【答案】D 【解答】解：在△ABC中， ∵AB＝AC， ∴∠C＝∠B＝40°， ∵∠B+∠BAD＝∠CDE+∠ADE，∠ADE＝∠B＝40°， ∴∠BAD＝∠CDE， ∴△ABD∽△DCE， 甲同学正确； ∵∠C＝∠B，∠BAD＝∠CDE，AD＝DE， ∴△ABD≌△DCE， ∴BD＝CE， 乙同学正确； 当DE⊥AC时， ∴∠DEC＝90°， ∴∠EDC＝90°﹣∠C＝50°， ∴∠ADC＝∠ADE+∠EDC＝90°， ∴AD⊥BC， ∵AB＝AC， ∴BD＝CD， D为BC的中点， 丙同学正确； 综上所述：三个同学都正确． 故选：D． 7．如图，△OAB∽△OCD，OA：OC＝3：2，△OAB与△OCD的面积分别是S1与S2，周长分别是C1与C2，则下列说法正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：∵△OAB∽△OCD，OA：OC＝3：2， ∴，A正确； ∴，B错误； ∴，C错误； ∴OA：OC＝3：2，D错误； 故选：A． 8．已知△ABC∽△A1B1C1，且．若△ABC的面积为4，则△A1B1C1的面积是（　　） A． B．6 C．9 D．18 【答案】C 【解答】解：∵△ABC∽△A1B1C1，， ∴（）2， ∵△ABC的面积为4， ∴△A1B1C1的面积为9， 故选：C． 9．如图，已知△AOB∽△DOC，下列比例式正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：∵△AOB∽△DOC， ∴， ∴， ∴C正确，符合题意；A、B、D错误，不符合题意． 故选：C． 10．已知两个相似三角形的相似比为2：3，那么这两个三角形的面积之比为　　 ． 【答案】4：9． 【解答】解：两个三角形的面积之比为4：9， 故答案为：4：9． 11．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm．动点M从点B出发，在BA边上以每秒3cm的速度向定点A运动，同时动点N从点C出发，在CB边上以每秒2cm的速度向点B运动，运动时间为t秒，连接MN．若△BMN与△ABC相似，求t的值为 　　 ． 【答案】或． 【解答】解：由题意知，BM＝3tcm，CN＝2tcm， ∴BN＝（8﹣2t）cm，， 当△BMN∽△BAC时，， ∴， 解得：； 当△BMN∽△BCA时，， ∴， 解得：， 故答案为：或． 12．若△ABC∽△DEF，且，则△ABC和△DEF对应边上的中线比为　　 ． 【答案】． 【解答】解：∵，△ABC∽△DEF， ∴相似比为， 又∵相似三角形对应边上的中线比等于相似比， ∴△ABC和△DEF对应边上的中线比为， 故答案为：． 13．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝5，点D在边BC边上，BD＝2，CD＝4，将线段DA绕点D逆时针旋转得线段DE，DE交AB边于点F，连接AE，若△AEF与△BDF相似，则AE的值是　　 ． 【答案】2或． 【解答】解：过点A作AE⊥BC于点E，如图， ∵BD＝2，CD＝4， ∴BC＝6， ∵AB＝AC＝5，AE⊥BC， ∴BE＝CEBC＝3， ∴DE＝1，AE4， ∴AD． ∵将线段DA绕点D逆时针旋转得线段DE，DE交AB边于点F， ∴DE＝AD． ①当△AEF∽△BDF时，如图， 则∠E＝∠BDF， ∴AE∥BD， ∴∠EAD＝∠ADC， ∵DE＝AD， ∴∠E＝∠DAE， ∴∠ADC＝∠FDB， ∵AB＝AC， ∴∠C＝∠B， ∴△ADC∽△FDB， ∴， ∴BFAC＝2.5， ∴BF＝AF， ∴△AEF≌△BDF， ∴AE＝BD＝2． ②当△AEF∽△DBF时，如图， 则∠E＝∠B， ∵DE＝AD， ∴∠E＝∠DAE， ∵∠C＝∠B， ∴∠E＝∠B＝∠C＝∠DAE， ∴△DAE∽△ABC， ∴， ∴， ∴AE． 综上，AE的值是2或． 故答案为：2或． 14．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，BC＝5，AB＝3，点D是线段BC上一动点，连接AD，以AD为边作△ADE∽△ABC，点N是AC的中点，连接NE，当线段NE最短时，线段CD的长为 　　 ． 【答案】 【解答】解：如图，连接EC，作AH⊥BC于H． ∵△ABC∽△ADE， ∴∠AED＝∠ACD， ∴A，D，C，E四点共圆， ∴∠DAE+∠DCE＝180°， ∴∠DCE＝∠DAE＝90°， ∴EC⊥BC， ∴NE⊥EC时，EN的值最小，作AG⊥CE交CE的延长线于G． 在Rt△ABC中，∵BC＝5，AB＝3， ∴AC＝4， ∵△ENC∽△ACB， ∴， ∴， ∴EC， ∴AH＝CG，CH＝AG， ∵NE∥AG，AN＝NC， ∴GE＝EC， ∵∠HAG＝∠DAE， ∴∠DAH＝∠EAG，∵∠AHD＝∠G＝90°， ∴△AHD∽△AGE， ∴， ∴， ∴DH， ∴CD＝DH+CH． （求出CE＝1.2后，利用△ABD∽△ACE，AB＝3，AC＝4，CE＝1.2，求出BD＝0.9，从而CD＝4.1） 故答案为． 15．两个相似三角形的面积比是4：9，那么这两个三角形最大角的角平分线之比为　　 ． 【答案】2：3． 【解答】两个相似三角形的面积比是4：9，那么这两个三角形最大角的角平分线之比为2：3． 故答案为：2：3． 16．如图，在△ABC中，AB＝4cm，AC＝8cm，点P从A出发，以2cm/s的速度向B运动，同时点Q从C出发，以3cm/s的速度向A运动，当其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，当以A，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似时，则运动时间为　 ． 【答案】或2s． 【解答】解：∵点P从A出发，以2cm/s的速度向B运动，同时点Q从C出发，以3cm/s的速度向A运动，AB＝4cm，AC＝8cm， ∴点P：A→B的时间为4÷2＝2（s），点Q：C→A的时间为， 设当以A，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似时运动时间为ts， ∴AP＝2t（cm），CQ＝3t（cm），则AQ＝AC﹣CQ＝8﹣3t（cm）， 当△APQ∽△ABC时，， ∴， 解得； 当△APQ∽△ACB时，， ∴， 解得t＝2（s）； 综上所述，当以A，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似时，则运动时间为或2s． 故答案为：或2s． 17．如图，若△AED∽△ACB，且AE＝6，EB＝3，AD＝7．则AC＝　　 ． 【答案】． 【解答】解：∵AE＝6，EB＝3，AD＝7， ∴AB＝AE+EB＝6+3＝9， ∵△AED∽△ACB， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 18．若△ABC与△DEF的相似比为2：3，且两个三角形的周长之和为45，则较大三角形的周长为　　 ． 【答案】27 【解答】解：设△DEF的周长是3x，则△ABC的周长是2x， 则3x+2x＝45， 解得x＝9， 那么较大三角形的周长是3x＝27， 故答案为：27． 19．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，D是BC边的中点．在AB上找一点E，使得△BDE∽△BAC，求DE＝ 　　 ． 【答案】． 【解答】解：如图所示，过D作DE⊥AB于E， ∴△BDE∽△BAC， ∵在△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12， ∴AB13， ∵D是BC边的中点， ∴BDBC12＝6， ∵△BDE∽△BAC， ∴， ∴， ∴． 即DE的值为． 故答案为：． 20．两个相似三角形面积比是9：25，其中面积较小的三角形的周长为36cm，则另一个三角形的周长是 　　 cm． 【答案】60． 【解答】解：∵两个相似三角形面积比是9：25， ∴它们的相似比为3：5， ∴它们的周长比为3：5， ∵面积较小的三角形的周长为36cm， ∴另一个三角形的周长是60cm． 故答案为：60． 21． 如图，在等腰△ABC中，AB＝ACcm，∠BAC＝120°，AD⊥BC于点D，点P是BC边上的一个动点，以AP为边向右作△APQ∽△ABC，连接DQ，则DQ的最小值为 　 　 cm． 【答案】． 【解答】解：连接CQ，过点D作DH⊥CQ，垂足为H，如图所示： ∵△APQ∽△ABC， ∴∠PAQ＝∠BAC，AP：AB＝AQ：AC， ∴∠BAP＝∠CAQ， ∵AB＝AC， ∴AP＝AQ， 在△ABP和△ACQ中， ， ∴△ABP≌△ACQ（SAS）， ∴∠ACQ＝∠ACB， ∵∠BAC＝120°， ∴∠ABC＝∠ACB＝30°， ∴∠ACQ＝30°， ∴∠DCQ＝60°， ∴∠CDH＝30°， ∵AB＝ACcm，∠BAC＝120°， ∴AC＝6， ∵AD⊥BC， ∴CD＝3， ∴CH，DH． ∴DQ的最小值即为． 故答案为：． 22．如果两个相似三角形的面积比为1：4，那么它们的周长比为 　　 ． 【答案】1：2． 【解答】解：∵两个相似三角形的面积比为1：4， ∴它们的相似比为1：2， ∴它们的周长比为1：2． 故答案为：1：2． 23．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是平行四边形，AD＝6，若OA，OB的长是关于x的一元二次方程x2﹣7x+12＝0的两个根，且OA＞OB． （1）直接写出：OA＝　　 ，OB＝　　 ； （2）若点E为x轴上的点，且△AOE∽△DAO．求此时点E的坐标． 【答案】（1）4，3；（2）（，0）或（，0）． 【解答】解：（1）方程x2﹣7x+12＝0， 分解因式得：（x﹣3）（x﹣4）＝0， 可得：x﹣3＝0或x﹣4＝0， 解得：x1＝3，x2＝4， ∵OA＞OB， ∴OA＝4，OB＝3； 故答案为4，3； （2）设点E的坐标为（m，0）， 则OE＝|m|， ∵△AOE∽△DAO， ∴， ∴， ∴|m|， ∴m＝±， ∴点E的坐标为：（，0）或（，0）． 24．随着电视剧《沉默的荣耀》热播，剧中主人公吴石将军位于福州仓山区螺洲镇的故居也迎来参观热潮．故居前的广场上，吴石雕像巍然屹立．为增加视觉美感，设计雕像时采用了黄金分割比，使雕像腰部以上高度与腰部以下高度的比等于腰部以下高度与整个雕像高度的比．如图，雕像总高度为2m，那么该雕像腰部以下的高度约是（　　） （结果精确到0.01m．参考数据：） A．0.73m B．1.24m C．1.37m D．1.42m 【答案】B 【解答】解：∵雕像腰部以上高度与腰部以下高度的比等于腰部以下高度与整个雕像高度的比， ∴该雕像腰部以下的高度与整个雕像的高度的比值为， ∴该雕像腰部以下的高度为， 故选：B． 25．如图，在△ABC中，∠BAC＝108°，∠B＝36°，分别以点A、C为圆心，以大于AC长为半径画弧，两弧交于点D、E，作直线DE分别交AC、BC于点F、G，以G为圆心，GC长为半径作弧，交BC于点H，连结AG，AH，下面结论错误的是 （　　） A．AH＝2GF B．∠C＝2∠BAH C．BG2＝BC•CG D． 【答案】D 【解答】解：由作图可知DE是AC的垂直平分线， ∴点F是AC的中点， 以G为圆心，GC长为半径作弧，交BC于点H，连结AG，AH， ∴CG＝HG， ∴点G是CH的中点， ∴GF是△CAH的中位线， ∴AH＝2GF， 故A选项正确； 由作图可知DE是AC的垂直平分线， ∴GF⊥AC， ∴∠CFG＝90°， ∵GF是△CAH的中位线， ∴GF∥AH， ∴∠CFG＝∠CAH＝90°， ∵∠BAC＝108°， ∴∠BAH＝∠BAC﹣∠CAH＝108°﹣90°＝18°， ∵在△ABC中，∠BAC＝108°，∠B＝36°， ∴∠C＝180°﹣∠BAC﹣∠B＝180°﹣108°﹣36°＝36°， ∴∠C＝2∠BAH，故B选项正确； ∵DE是AC的垂直平分线， ∴GC＝AG， ∴∠CAG＝∠C＝36°， ∴∠C＝∠C，∠CAG＝∠B， ∴△GCA∽△ACB， ∴， ∴AC2＝BC•CG， ∵∠BAG＝∠BAC﹣∠CAG＝108°﹣36°，∠AGB＝∠CAG+∠C＝36°+36°＝72°， ∴∠BAG＝∠BGA， ∴BG＝BA， ∵AB＝AC， ∴BG＝AC， ∴BG2＝BC•CG，故C选项正确； ∵BG2＝BC•CG， 设BC＝a，CG＝b，则BG＝BC﹣CG＝a﹣b， ∴（a﹣b）2＝ab， 整理得：a2﹣3ab+b2＝0， ∴或（不符合题意，舍去）， ∴，故D选项错误． 故选：D． 26．大自然鬼斧神工，一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”的美．如图，P为线段AB的黄金分割点（AP＞PB）．如果AB的长度为10cm，那么AP的长度是（　　） A． B． C．6.18cm D． 【答案】A 【解答】解：根据黄金分割的定义进行计算得： ∴， 故选：A． 27．如图，将正方形ABCD的边CD向右平移到EF得到矩形ABEF，如果CE与BC的比等于AB与BE的比，那么就称这个矩形ABEF为黄金矩形，黄金矩形能够给画面带来美感，令人愉悦．某小区开发商想在小区空地设计一个周长为16米的黄金矩形花坛ABEF，则BE的长是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：由条件可得AB＝BC＝CD＝EF，BE＝AF， ∵矩形ABEF的周长为16，设BE＝x， ∴， ∴CE＝BE﹣BC＝x﹣8+x＝2x﹣8， ∵， ∴， ∴BC2＝CE•BE， ∴（8﹣x）2＝x（2x﹣8）， ∴或（舍去）， ∴， 故选：C． 28．如图，点C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC），下列结论错误的是（　　） A． B．BC2＝AC•AB C． D． 【答案】B 【解答】解：∵点C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC）， ∴， ∴AC2＝AB•BC， ∴BC2＝AC•AB是错误的， 故上列结论ACD都正确，B错误， 故选：B． 29．主持人主持节目时，站在舞台的黄金分割点处最自然得体．如图所示，如果舞台AB的长为12米，一名主持人现在站在A处，则她至少走（　　）米才最理想． A．18﹣6 B．66 C．66 D．18﹣6或66 【答案】A 【解答】解：如图所示：AP＜BP， ， ∵BPAB＝12×（）＝（66）m． ∴AP＝AB﹣BP＝（18﹣6）m． 故选：A． 30．大自然是美的设计师，即使是一个小小的盆景，经常也会产生最具美感的黄金分割比（黄金分割比．如图，B为AC的黄金分割点（AB＞BC），若AC＝20cm，则BC的长为 　　 cm．（结果保留根号） 【答案】． 【解答】解：∵B为AC的黄金分割点（AB＞BC），AC＝20cm， ∴ABAC20＝（1010）cm， ∴BC＝AC﹣AB＝20﹣（1010）＝（30﹣10）cm， 故答案为：． 31．鹦鹉螺曲线的每个半径和后一个半径的比都是黄金比例，是自然界最美的鬼斧神工，如图，P是AB的黄金分割点（AP＞BP），若线段AB的长为4cm，则AP的长为 　　 cm． 【答案】（22）． 【解答】解：∵P是AB的黄金分割点（AP＞BP），AB＝4cm， ∴， 故答案为：（22）． 32． 黄金分割是汉字结构基本的规律．借助如图的正方形习字格书写的汉字“彩”端庄稳重、舒展美观，已知点C为AB的黄金分割点，且，若AB＝4cm，则AC的长为　 　 cm．（结果保留根号） 【答案】（）． 【解答】解：由黄金分割性质可知： ，AB＝4cm， ∴， ∴， 故答案为：（）． 33．已知线段AB＝2．若点C将线段AB黄金分割，且AC＜BC，则AC＝　　 ． 【答案】3． 【解答】解：∵线段AB＝2，点C将线段AB黄金分割，且AC＜BC， ∴BCAB21， ∴AC＝AB﹣BC＝2﹣（1）＝3， 故答案为：3． 34．如图，在正方形ABCD中，点G为边BC延长线上一动点，连接AG交对角线BD于点H，△ADH的面积记为S1，四边形DHCG的面积记为S2．如果点C是线段BG的黄金分割点，则的值为　　 ． 【答案】或． 【解答】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝CB，AD∥BC，∠ABH＝∠CBH＝45°， 又∵BH＝BH， ∴△AHB≌△CHB（SAS）， ∴△ABH的面积＝△BCH的面积， 又∵△ABD与△AGD等底等高， ∴△ABD的面积＝△AGD的面积， ∴△AHB的面积+△ADH的面积＝△DHG的面积+△ADH的面积， ∴△AHB的面积＝△DHG的面积， ∴△BCH的面积＝△DHG的面积， ∴S2＝△DHG的面积+△CGH的面积＝△GBH的面积， ∵AD∥BC， ∴△ADH∽△GBH， ∴， 分两种情况： ①点C是线段BG的黄金分割点，BC＞CG，则， ∴； ②点C是线段BG的黄金分割点，BC＜CG，则， ∴； 故答案为：或． 35．如图，乐器上的一根弦AB的长度为18cm，两个端点A、B固定在乐器板面上，支撑点C是弦AB靠近点B的黄金分割点，则线段BC的长度为 　　 cm． 【答案】． 【解答】解：∵点C是弦AB靠近点B的黄金分割点，AB＝18cm， ∴cm， ∴cm， 故答案为：． 学科网（北京）股份有限公司 $