3.2探索三角形相似的条件同步训练 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

**基本信息** 聚焦三角形相似判定与性质，通过基础巩固、中档综合、提升拓展三层设计，实现从单一知识点到复杂情境应用的递进，培养几何直观与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|相似判定条件（两角、两边夹角、三边）|选择题1-4直接考查判定方法，如剪拼图形相似性判断| |中档|性质应用与简单计算|填空题9-12结合黄金分割、边长计算，如古琴弦黄金分割点距离| |提升|多知识点综合与推理证明|解答题15-18含动态几何、多问递进，如梯形中相似与角度探究|

3.2探索三角形相似的条件同步训练北师大版2026一2027学年九年级数学上册 一、选择题 1.如图，△ABC中，∠A=65°，AB=6,AC=3,将△ABC沿下图中的虚线剪开，剪下的 三角形与原三角形不相似的是() X 65 65 B 65 65 B 2.如图，已知∠BAD=∠CAE,那么添加下列的一个条件后，仍无法判定△ABCn△ADE 的是() B AB AC A AD AE B.∠B=LD AB BC C.ADDE D.∠ACB=LE 3.如图，在梯形ABCD中，AD川BC,AC与BD交于点O,找出图中相似的三角形 () A.△AOB与△DOC B.△ABC与△DCB C.△DAB与△ADC D.△AOD与△COB 4.已知△ABC和△DEF的三边长，下列条件能判断它们相似的是() A,AB=4.BC=8.AC=10.DE=20,EF=16,DF=8 B.AB=3,BC=4,AC=6;DE=6,EF=8,DF=9 C.AB=12,BC=15,AC=24:DE=16,EF=30,DF=20 D.AB=3k,BC=4k,AC=sk,DE=6k EF=7k DF=8k(k>0) AC 5-1 5.如图，把线段AB分成两条线段AC和BC(4C>BC).若AB=2,则称点C为线 段AB的一个黄金分割点.主持人在主持节目时，站在舞台的黄金分割点处最自然得体. 已知舞台AB长为20米，主持人所站位置为点C(其中AC>BC),则BC的长为() C B A.(05-10)米B.(5+10)米c.(60-105)*D.(0-5)米 6.已知△ABC的三边长分别为6,7.5,9，△DEF的一边长为4Cm,当△DEF的另两边长 是下列哪一组时，这两个三角形相似（) A.2,3 B.4,5 c.5,6 D.6,7 7.下列两个三角形一定相似的是() A.两个直角三角形 B.有一个内角为40°的两个直角三角形 C.两个等腰三角形 D.有一个内角是40°的两个等腰三角形 8.如图，四边形ABCD是平行四边形，G是DC的延长线上一点，AG分别与DB,CB交 于点E,F,下列结论错误的是() D G B A.△ADG∽△FCG B.△ADE∽△FBE C.△ABE∽aGDE D.△ABF△GDE 二、填空题 9.已知三角形的三边长分别为4,5,6，画出与它相似的另一个三角形，使它的一边长为 2,可以画出 一个这样的三角形 AD CD 10.如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，且CD=BD,则∠4CB的度数为 AP BP 11.如图，在AMBC中，P是AC上的一点，连接BP:当ABCB 时， △ABP∽AACB B 12.如图，古琴，又称“琴”“瑶琴”“玉琴”“绿绮”或“丝桐”是中国传统拨弦乐器， 有三千年以上的历史，琴上的一根弦长AB=110cm,两个端点A、B固定在乐器板面上， 支撑点C是靠近点B的黄金分割点，支撑点D是靠近点A的黄金分割点，则C、D之间的 距离 cm A D C B 三、解答题 13.己知△ABC中，AB=AC,CD平分∠ACB交AB于点D,其中∠B=72°. (I)求∠BDC的度数： (2)将△DBC绕点D逆时针旋转至△DEF，其中点B的对应点E落在BC边上，先用尺规作 出△DEF(要求保留作图痕迹)，后标记EF与AC的交点G,求证：△CEG∽△BDE. 14.如图，在△ABC中，D为AC边上一点，BC2=CD·AC=6. D (I)求证：△CBD∽△CAB (2)若BD=AC=3,求AB的长. 15.如图所示，点D在直角三角形ABC的斜边BC上，连接AD,作DA⊥AE,使得 AB AC AD=AE,连接DE交AC于点P,若AC=6,AB=8: B (I)求证：△ABD~△ACE: (2)若∠EAC=30°，求BD的长度： AF 3)当BD=2时，求CF的比值。 16.如图，在△ABC和△EDC中，已知AB=6,DE=3,BC=8,DC=4, (I)求证：△ABC∽△EDC: (2)求AC与EC的长： (3)求△ABC和△EDC这两个三角形的面积比. 17.如图O,在梯形ABCD中，AB川CD,且AB=2CD,E是AB的中点，F是边BC上的 动点，EF与BD交于点M,连接DE. 图① 图② (I)求证：△EDM∽△FBM: (2)若F是BC的中点，BD=12,求BM的长； (3)如图②，若其他条件不变，且AD=BC,BD平分∠ABC,P是线段BD上的动点，则是否 存在点P,使得DPPB=BFCD？若存在，求出∠CPF的度数：若不存在，请说明理由， 18.己知四边形ABCD中，E、F分别是AB、AD边上的点，DE与CF交于点G. 图1 图2 图3 【问题发现】 DE ()如图L,若四边形ABCD是正方形，且DE⊥CF于G,则CF 【拓展研究】 DE (②)如图2，当四边形ABCD是矩形时，且DE1CF于G,AB=3,AD=5,则CF 【解决问题】 DE AD (3)如图3，若四边形ABCD是平行四边形，且∠B+∠EGC=180时，求证：CF CD 参考答案 1.C 2.C 3.D 4.A 5.C 6.C 7.B 8.D 9.3 10.90° 1. AB 12.(1105-220） 13.【详解】(1)解：：AB=AC,CD平分∠ACB交AB于点D,∠B=72°， 六∠ACB=∠B=72,∠BCD=)∠ACB=36e、 :∠BDC=180°-∠BCD-∠B=72°： (2)如图，△DEF即为所求： 证明：旋转， .BD=DE,∠DBC=∠DEF=72°， .∠BED=∠DBC=72°， .∠BDE=180°-2×72°=36°，∠CEG=180°-∠DEB-∠DEF=36°， .∠BDE=∠CEG 又，∠DBC=∠ECG=72°， ∴.△CEG∽△BDE 14.(1)证明：BC2=CD·AC=6, BC CD AC CB ∠C=∠C, ∴.△CBD∽△CAB (2)解：BC2=CD·AC=6,BD=AC=3, CD=2 BC=6 ,△CBD∽△CAB, BD CD 2 .ABCB√6， :B36 2. 15.(I)证明：，直角三角形ABC的斜边为BC,DA⊥AE, ∴.∠BAC=∠DAE=90°， .∠BAD+∠DAC=∠DAC+∠CAE=90°， ∴.∠BAD=∠CAE. AB AC 又：ADAE AB AD .AC AE .△ABD△ACE」 (2)解：如图，作DG⊥AB,垂足为G,设BD=5x, G B 在直角△MBC中，BC=VAB+AC=V82+6=10 .△ABD~△ACE,∠EAC=30°， .∠BAD=∠EAC=30°， :DG⊥AB,∠BAC=90° .∠BGD=∠AGD=90°=∠BAC, .∠DBG=∠CBA, ∴.△DBGn△CB4, .GD_B。BDD_B-BD AC=AB=BC,即6=8=10 :D=0=x,B= 在直角△ADG中，∠AGD=90°，∠GAD=30°， .AD 2GD 6x, 由勾股定理得，AG=VAD-GD2=V6x-(3x=V27x=35x AB AG+GB =8, 六344=8解得.×=248卫 11, :80=5x=1203-160 11: (3)解：如图，作FH⊥BC,垂足为H,设CF=5y, B D FH⊥BC, .∠CF=∠DH=90°=∠B4C, :∠FCH=∠BCA, .△HC∽△ABC, .CF。FC CF H HC CB=AB=AC,即10=8=6， :FH-4c=4y,G1= 3F=3y, BD=2, .DC=BC-BD=8. .DH DC HC =8-3y, 由(1)可知，△ABD~aACE, CE AC3 ∴∠ABD=∠ACE,BDAB4' 3 4×2=21.5, ,∠ABD+∠ACB=90°， .∠ACB+∠ACE=90°， .∠DCE=90°=∠DF, ,∠FDH=∠EDC, .△DFH~△DEC, DH FH m8-3=4 =C,即8 1.5 24 解得，y= 73’ .CF =5y 120 73 AC=6, ∴AF=AC-GF=6- 120-318 73 73’ AF31853 .GF12020 16.【详解】(1)证明：AB=6,DE=3,BC=8,DC=4, AB BC =2 .ED DC 设每小格的长度为a, EC=V(2a)+(3a)=13a.AC=(4a)+(6a)=2/13a 4C_213a=2 .EC 13a AB BC AC .ED DC EC .△ABCAEDC: (2)解：设每小格的长度为a, 则1B=(2a+(4a2=20a2 又AB2=62=36, .20a2=36 解得5 -5, 由(1)知BC=Ba.AC=2W13a .EC-x5365 4C=23×35_66丽 5 5 5 5； AB (3)解：△ABCAEDC'ED 2， S4BC=22=4 S.EDC 17.【详解】(1)证明：~AB=2CD,E是AB的中点， ∴DC=EB 又AB∥CD, ∴四边形BCDE是平行四边形， ∴.ED BC, ∴.∠EDM=∠FBM. 又：∠DME=∠BMF, .∴△EDM∽△FBM (2)由(1)知，△EDM∽△FBM, .DM_DE BM BF :F是BC的中点， :DE =BC=2BF, :DM=2BM, .BD=DM+BM=3BM 1 BD=12,∴.BM=5BD=5×12=4 3 3 (3)存在.理由如下： ABI CD, ∴.∠CDB=∠ABD BD平分∠ABC, ∠CBD=∠ABD, .∠CDB=∠CBD, ..DC=BC DP.PB=BF.CD DP CD BF=PB' .APDCAFBP, ∴.∠DCP=∠BPF :∠CPF+∠BPF=∠PDC+∠DCP, .∠PDC=∠CPF .AD=BC=DC=BE=AE,BC=DE. ∴△ADE是等边三角形， .∠AED=60°， .∠EDB=∠EBD=∠PDC=30°， .∠CPF=30° 18.【详解】(1)解：四边形ABCD是正方形， .∠A=∠FDC=90°，AD=DC, .∠AED+∠ADE=90°. DE⊥CF, ∴.∠DFC+∠ADE=90° .∠AED=∠DFC, ,.△AED≌△DFC(AAS) :DE=CF, .DE =1 (2)解：四边形ABCD是矩形， ∠A=∠FDC=90°，DC=AB=3, ∴.∠AED+∠ADE=90°， DE⊥CF, .∠DFC+∠ADE=90° .∠AED=∠DFC, .AEDADFC. DE AD 5 CF DC 3: (3)证明：：四边形ABCD是平行四边形， AD∥BC.∠B=∠CDF, .∠B+∠A=180°， ∠B+∠EGC=180°」 ∠EGD=∠A, :.∠EGD=∠DGF」 .∠DGF=∠A, :∠FDG=∠EDA, .AFDGAEDA. DG DF DA DE DG DA DF DE :∠B+∠EGC=180°，∠B=∠CDF, .∠CDF+∠EGC=180°， ∠CGD+∠EGC=180° :.LCGD=ZCDF, .'∠DCG=∠FCD ,∴.△DCG∽aFCD DG CD FDCF· .DA CD DE CF, DE AD CFCD·