专题10 相似三角形判定定理的证明（重难点讲义）数学新教材北师大版九年级上册

本讲义聚焦相似三角形判定定理的证明，系统梳理AA、SAS、SSS三大定理的推导脉络，以全等三角形判定为基础类比过渡，通过“截取相等→作平行线→先证相似→再证全等→传递结论”的统一策略构建学习支架，强化平行线分线段成比例定理的应用逻辑。 资料以类比、转化思想为核心，通过构造中间桥梁三角形培养推理意识，结合易错点分析（如对应关系、辅助线作法）提升几何直观。课中助力教师系统授课，课后通过分层题型（基础证明、综合应用）帮助学生独立推理，查漏补缺，发展严谨的数学思维与创新意识。

专题10 相似三角形判定定理的证明 1、理解相似三角形三大判定定理的证明思路，掌握构造全等三角形完成推导的核心方法。 2、熟练运用平行线分线段成比例定理作为证明依据，理清几何证明的逻辑链条。 3、能够看懂定理完整证明过程，模仿严谨推理格式，独立完成简单相关推理论证。 4、加深对判定定理本质的理解，避免机械套用定理，减少对应关系出错等问题。 1. 三个判定定理的证明： 定理1：两角分别相等的两个三角形相似（AA） 定理2：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似（SAS） 定理3：三边成比例的两个三角形相似（SSS） 💡 统一策略总结：三个定理的证明都采用了“截取相等 → 作平行线 → 先证相似（预备定理）→ 再证全等（ASA/SAS/SSS）→ 传递结论”的路线，其核心是构造一个与其中一个三角形全等、又与另一个三角形相似的“中间桥梁三角形”。 2. 核心思想与方法: 思想方法 具体体现 类比思想 将全等三角形的判定（ASA、SAS、SSS）“放宽”为相似三角形的判定（AA、SAS、SSS），证明过程中也类比全等证明的构造方式 转化思想 将“证明两个三角形相似”转化为“证明一个中间三角形与一个三角形全等，同时与另一个三角形相似”，实现降维 构造辅助线 通过截取相等线段和作平行线，人为制造出所需的等量关系和比例关系 逻辑闭环 从已知出发，严格按照定义和已有定理推导，确保每一步都有理有据，避免循环论证 3. 易错点总结: 易错点 说明与预防 ① 循环论证 证明判定定理时，不能使用该定理本身作为依据，只能使用定义和已证明的定理。必须严格按逻辑顺序 ② 辅助线添加不当 辅助线的目的是构造全等桥梁，标准的作法是“在较大三角形的一边上截取与较小三角形对应边相等的线段，然后作平行线”，不可随意添加 ③ 对应关系混乱 相似三角形中，对应顶点、对应边、对应角必须严格对应。在书写比例式时，分子分母的顶点顺序要一致 ④ 忽略平行线产生的角相等 由DE∥BC，可得∠ADE = ∠B（同位角）和∠AED = ∠C（同位角），这是证明角相等的重要来源，不可忽略 ⑤ 全等判定方法选错 根据已得的等量关系，正确选择ASA、SAS或SSS，不要混淆（如用SSS去证只有两边一角相等的三角形） ⑥ 比例式变形错误 由相似三角形得到比例式后，进行等量代换或交叉相乘时，必须保持对应关系不变，避免写错位置 题型01由平行判断成比例的线段 【典例】如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，四边形是平行四边形，且，均为格点，，均为竖格线上的点，点是边与竖格线的交点． (1)如图①，在线段上取点，连结，使得； (2)如图②，点是边上任意一点，仅用无刻度的直尺在边上画出点，连结，使得． 【变式】综合与探究 【问题情境】 如图，有一块平行四边形铁板，经测量可知，，平行四边形的面积为． 【实践操作】 点是对角线上的一动点（点与点，不重合）．将平行四边形铁板分别沿，剪成三块，并按图所示拼接成钻石五边形（注：图中的①，②是将图中的①，②翻转背面朝上，再拼接而成的）． (1)求的长； (2)当点是的中点时，求的长； (3)当是以为腰的等腰三角形时，求此时的长； 【拓展延伸】 (4)根据以上裁剪方法，拼接成的钻石五边形的对角线是否存在最小值？若存在，请求出这个最小值，若不存在，请说明理由． 题型02由平行截线求相关线段的长或比值 【典例】如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．的三个顶点都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示． (1)在图（1）中，，分别是边，与网格线的交点．先将点绕点旋转得到点，画出点，再在上画点，使； (2)在图（1）中，是边上一点，．先将绕点逆时针旋转，得到线段，画出线段，再画点，使，两点关于直线对称． 【变式】综合与探究：某数学兴趣小组探究平行线分线段成比例定理的应用． (1)【初步探究】在中，、分别为、的动点，若，，连接，交于点．如图1，若过作，交于，则与的比值为__________；与的比值为__________； (2)在（1）的条件下，求出与的比值； (3)【拓展提高】如图2，在平行四边形中，点为的中点，点为上一点，与、分别交于点、，若，的面积为3，则的面积为__________ 题型03利用平行判定相似 【典例】在中，按以下步骤作图：①以点B为圆心，以适当长为半径作弧，分别交、BC于点M，N；②分别以M、N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点O；③作射线，交于点E，CD的延长线于点F．已知，，下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【变式】如图，在中，点在上，，点在上，，，相交于，则（   ） A． B． C． D． 【巩固训练】 1．图①是小明家摆放绿植的花架，它的侧面可抽象成如图②所示的图形，其中，已知，，则的长度是（     ）． A．30 B．36 C．45 D．56.25 2．如图，直线，直线分别交、、于点，，，过点的直线分别交，于点，．若，，，则线段的长为（     ） A． B． C． D． 3．在中，点、分别是、边上的点，下列条件能判断与平行的是（     ） A．，，， B．， C．，，， D．， 4．如图，在中，，，对角线相交于点，是内一点，且，，则的长为（     ） A． B． C． D． 5．如图，在平面直角坐标系中，，点，．为的中点，连接．把线段沿射线平移至，使点落在轴上，则四边形的面积是（   ） A． B． C． D． 6．如图，已知，以点为圆心，适当长为半径作弧，交于点，交于点；分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点；作射线交于点；分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点；作直线交于点，交于点．依据以上作图，若，，，则的长为（     ） A． B．1 C． D． 7．如图，在四边形中，，，，点H，F分别在边上移动（不与端点重合），连接，则下列为定值的是（    ） A．的大小 B．四边形的周长 C．线段的长 D．四边形的面积 8．如图，在中，点E是的中点，连接交对角线于点M，交于点N．若，则的长是（   ） A． B． C． D． 9．将直角三角形纸片按如图方式折叠两次再展开，折痕为和．下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 10．如图，在梯形中，，对角线交于点，过点作，分别交于点．下列结论不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 11．如图，在中，点是边的中点，点、是边的三等分点，与、分别交于点、，则（　　） A． B． C． D． 12．如图，在正方形中，，分别在边，上，，相交于点，若，，则的值是（   ） A． B． C． D． 13．如图，在正方形中，，分别是，上的点（不与点，重合），，与交于点，取的中点，连接，，则的值为（   ） A． B． C． D． 14．在中，按以下步骤作图：①以点B为圆心，以适当长为半径作弧，分别交，于点M，N；②分别以M，N为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点O；③作射线，交于点E，交延长线于点F．若，下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 15．如图，梯形中，，，，交两腰于、．则下列结论： （1），． （2）． （3），． （4）． 其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 16．如图，在中，，，，分别以点和点为圆心、大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点，作直线交于点，连接，则的长是________． 17．如图，若，，则的长为_____． 18．如图，在正方形中，和相交于点，点为线段的中点，连接并延长交于点．若，则的长为_____． 19．如图，在中，是上一点，交于点，的延长线交的延长线于点，，，则的长为______． 20．如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点、、都在网格小正方形的顶点上．、是线段、与小正方形边的交点．那么的长为__________． 21．如图，在菱形中，，点E，F分别是边上任意点（不与端点重合），且，连接与相交于点G，连接与相交于点H，下列结论：①；②的大小为定值；③与一定不垂直；④若，则，其中正确的结论有______． 22．如图，已知：在与中，，．求证：． 23．如图，在中，延长至点D，使，在上取一点F，连接交于点E，过F点作交于点H，已知， 2． (1)________； (2)求的长． 24．如图，在中，点D在边上，点F、E在边上，且 ，． (1)求证：； (2)如果，，求的值． 25．已知：如图，在中，，点为上的一点，且． 求证：． 26．问题提出： 如图1，在四边形中，，E，F分别为，的中点．求证：． 问题探究： (1)小明同学进行了如下的推理：连结并延长，交的延长线于点G． ，，． 又为的中点，． ． 证明过程缺失 请你帮助小明补全上述证明过程 应用： (2)如图2，，点E在线段上且．若，，则线段的长为________． 拓展： (3)如图3，在四边形中，，点F在线段上，且，连结、．若，，与之间的距离为3，则的面积为________． 27．阅读与思考 下面是小陈同学的数学日记，请认真阅读，并完成相应的任务． 年月日  星期六 利用平行线探究角平分线分线段成比例 今天，我在书店一本书上看到一个重要的补充：三角形一个内角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两邻边对应成比例． 我和小组的同学研究了一番，写出的题目如下：如图1，在中，平分交于点，求证： 【自主探究】通过查阅资料，我们找到了方法，下面是我们的证明过程（不完整）： 证明：过点作，交的延长线于点． （依据），，． 平分，． ．． ，即． 【拓展探究】我有如下思考：如图2，在中，外角的平分线与的延长线交于点，那么能不能参照上述方法求出线段，，，之间的比例关系呢？ …… 任务： (1)【自主探究】的证明过程中的“依据”是指__________． (2)如图3，在中，，请你作出边的一个三等分点（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，标明字母）． (3)求出【拓展探究】中，线段，，，之间的比例关系． 【强化训练】 1．如图，在中，，，点D，点E分别是边上两点（D在E的右侧），，连接，F为中点，若，则的长为（     ） A．12 B．6 C．12 D．15 2．如图，在正方形中，点为边上一点，点为边延长线上一点且，连，点为的中点，连，，，．有下列结论： ①； ②； ③直线垂直平分； ④若，则．其中正确的有几个（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 在直角中，是中点，故； 在直角中，是中点，故， 3．如图，的对角线，交于点，，，，分别为线段，上两点，连接，，，，．下列说法中：①为的角平分线；②；③；④，正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．如图，在正方形中，于点，连接，且在上，，若，则为（　　）    A． B． C． D． 5．如图，在矩形中，，，、分别为线段、边上的动点，且，对角线、交于点，分别交、于、两点，为中点，连接．下列结论中正确的有（） ①； ②当时，为等腰直角三角形； ③当平分时，则； ④若沿翻折得到，则的最小值为2． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．如图，等边三角形纸片的边长为10，点，分别为，边上的点．将沿折叠，若点恰好落在该纸片边的中点处，则四边形的周长是____________． 7．如图，在四边形中，，以点为旋转中心，将边绕点顺时针旋转，使点的对应点恰好落在边上，连接，取的中点，连接，若，，则的长为_________． 8．平行四边形的面积为，点E，H在边上，点F，G在边上，，连接对角线，分别交，于点N，Q，连结交于点M，连结，，若，则图中与的面积和为________． 9．如图，在中，是的角平分线，过点作，交于点，点在线段上，且，连接，． （1）若，，则______； （2）下列结论正确的是_______．（写出所有正确答案的序号） ①若，则； ②若，则； ③若，，则． 10．如图，在等腰 中，，点 是延长线上一点，，过点 作于点 交 于点 ． (1)求证：； (2)若， ，求线段 的长； (3)若，，请直接写出的值． 11．如图①，直线，直线l和m被这组平行线所截，两直线相交于点O，直线l和m与直线a、b、c分别交于A、B、C、D、E、F．点D是直线a上的动点，已知，，直线l与直线a所成的锐角为． (1)求的值． (2)用圆规和无刻度的直尺，在图②中作出点D，使． (3)当时，求的长． (4)作点B关于直线m的对称点，当点三点共线时，直接写出的长． 12．综合与实践 如图，一副直角三角板满足，，，． 【操作】将三角板的直角顶点放置于三角板的斜边上，再将三角板绕点旋转，并使边与边交于点，边与边交于点． (1)【探究一】在旋转过程中， ①如图2，当时，猜想线段与的数量关系________． ②如图3，当时，与满足怎样的数量关系？并说明理由． ③根据你对（1）、（2）的探究结果，试写出当时，与满足的数量关系式为________， (2)【探究二】若且，连接，设的面积为，直接写出在旋转过程中的最大值是________，最小值是________． 13．综合与探究 某数学兴趣小组探究平行线分线段成比例定理的应用．       【初步探究】 (1)在中，、分别为、的动点，若，．连接，交于点．如图1，若过作，交于，则与的比值为________；与的比值为________； (2)在（1）的条件下，求出与的比值； 【拓展提高】 (3)如图2，在中，，，是上一点，，将沿折叠，恰好落在上，的对应点为，求的长． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题10 相似三角形判定定理的证明 攻 重难目标 1、理解相似三角形三大判定定理的证明思路，掌握构造全等三角形完成推导的核心方法。 2、熟练运用平行线分线段成比例定理作为证明依据，理清几何证明的逻辑链条。 3、能够看懂定理完整证明过程，模仿严谨推理格式，独立完成简单相关推理论证。 4、加深对判定定理本质的理解，避免机械套用定理，减少对应关系出错等问题。 重难知识 1.三个判定定理的证明： 定理1：两角分别相等的两个三角形相似(AA) 定理2：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似(SAS) 定理3：三边成比例的两个三角形相似(SSS) ?统一策略总结：三个定理的证明都采用了“截取相等→作平行线→先证相似（预 备定理)→再证全等(ASA/SAS/SSS)→传递结论”的路线，其核心是构造一个与其中 一个三角形全等、又与另一个三角形相似的“中间桥梁三角形”。 2.核心思想与方法： 思想方 法 具体体现 类比思 将全等三角形的判定(ASA、SAS、SSS)“放宽”为相似三角形的判定(AA、SAS、SSS),证 想 明过程中也类比全等证明的构造方式 转化思 将“证明两个三角形相似”转化为“证明一个中间三角形与一个三角形全等，同时与另一个三 想 角形相似”，实现降维 构造辅 通过截取相等线段和作平行线，人为制造出所需的等量关系和比例关系 助线 逻辑闭 从已知出发，严格按照定义和已有定理推导，确保每一步都有理有据，避免循环论证 环 3. 易错点总结： 易错点 说明与预防 ①循环论证 证明判定定理时，不能使用该定理本身作为依据，只能使用定义和已证明的定理。必 须严格按逻辑顺序 1/83 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 易错点 说明与预防 ②辅助线添加不 辅助线的目的是构造全等桥梁，标准的作法是“在较大三角形的一边上截取与较小三 当 角形对应边相等的线段，然后作平行线”，不可随意添加 ③对应关系混乱 相似三角形中，对应顶点、对应边、对应角必须严格对应。在书写比例式时，分子分 母的顶点顺序要一致 ④忽略平行线产 由DE∥BC,可得∠ADE=∠B(同位角)和∠AED=∠C(同位角)，这是证明角相等 生的角相等 的重要来源，不可忽略 ⑤全等判定方法 根据已得的等量关系，正确选择ASA、SAS或SSS,不要混淆（如用SSS去证只有两边 选错 角相等的三角形) ⑥比例式变形错 由相似三角形得到比例式后，进行等量代换或交叉相乘时，必须保持对应关系不变， 误 避免写错位置 重难题型 题型01由平行判断成比例的线段 【典例】如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，四边形ABCD是平行四边形，且A,B均为格点， C,D均为竖格线上的点，点E是边AD与竖格线的交点， B 图① 图② (1)如图①，在线段BC上取点F,连结EF,使得EF‖AB: (2)如图②，点G是边AB上任意一点，仅用无刻度的直尺在边CD上画出点H,连结GH,使得GH‖AD 【答案】(1)解：所求图形如图所示： 2/83 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E B (2)解：所求图形如图所示. 【分析】(1)取BC与格线的交点F,连接EF即可； (2)同(1)取AD,BC与格线的交点E,F,连接EF,DG,EF与DG交于点O,连接AO并延长交 CD于点H,连接GH即可. 【详解】(1)解：如图， G H E B 由网格特点可得GEHD,AG=GH, =Ac-1, ED GH ..AE=ED ∴.点E是AD的中点， AE-AD. 3/83 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 同理可得点F是BC的中点， B-BC. :在口ABCD中，AD‖BC,AD=BC, ..AE=BF .四边形ABFE是平行四边形， .EF‖AB (2)解：如图， 由(1)同理可得点E,F分别是AD,BC的中点，EF‖AB‖CD, AO_AE OH ED 1, GO AE OD DE =1, ∴.AO=OH,G0=OD ∴四边形AGHD是平行四边形， ..GH AD 【变式】综合与探究 【问题情境】 如图1，有一块平行四边形铁板，经测量可知AB=6,∠BCD=45°，平行四边形ABCD的面积为24. M D D ① ③ ① ③ ② ② B 图1 图2 备用图 【实践操作】 点P是对角线BD上的一动点（点P与点B,D不重合），将平行四边形铁板分别沿BD,AP剪成三块，并 4/83 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 按图2所示拼接成钻石五边形CMDBN(注：图2中的①，②是将图1中的①，②翻转背面朝上，再拼接而 成的)· (1)求AD的长； (2)当点P是BD的中点时，求AP的长； (3)当△APD是以AD为腰的等腰三角形时，求此时BP的长； 【拓展延伸】 (4)根据以上裁剪方法，拼接成的钻石五边形CMDBN的对角线MN是否存在最小值？若存在，请求出这个 最小值，若不存在，请说明理由 【答案】(1)AD=4V2 (2)AP=V29 (3)BP=295 5 MN的最小值是120 5 【分析】(1)过点D作DH⊥AB于点H,根据平行四边形的面积求出DH=4,∠BCD=45°，四边形 ABCD是平行四边形，得到∠BAD=∠BCD=45°，推出AH=DH=4,即可求解： (2)连接AC交BD于P,根据平行四边形的性质得到PD=PB,即点P是BD的中点，过点D作 DH⊥AB于点H,过点P作PE⊥AB于E,根据平行线分线段成比例得到PE= DH=2, 1 HE=BE=号B班=1，进而求得AE=5,解直角三角形即可得到结论 (3)过点D作DH⊥AB于H,过点A作AG⊥BD于G,由(1)知，AH=DH=4,AD=4V2, BH=2,根据勾股定理求出BD=2V5<AD,推出当△APD是以AD为腰的等腰三角形时，只有 AD=AP=4V2,设DG=GP=X,则BG=2V5-X,BP=25-2x,根据勾股定理列方程求出X,即可 求解： (4)由题意得，由题意得CM=CN=AP,∠MCD=∠PAB,∠NCB=∠PAD,于是得到 ∠MCN=90°，当AP⊥BD时，MN的长最小， 过D作DH LAB于H,由(3)得BD=25,DH=4,根据三角形的面积公式得到AP=125 5,根据 勾股定理即可得到结论 【详解】(1)解：如图，过点D作DH⊥AB于点H, 5/83 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .平行四边形ABCD的面积为24，AB=6, :DH=24=24=4, AB 6 .·∠BCD=45°，四边形ABCD是平行四边形， ∴.∠BAD=∠BCD=45°， .∴.AH=DH=4, ∴.AD=V2DH=4V/2: D ① 」p③ ② H B 图1 (2)解：连接AC交BD于P, .四边形ABCD是平行四边形， ∴.PD=PB,即点P是BD的中点， 过点D作DH⊥AB于点H,过点P作PE⊥AB于E, 由(1)知，AH=DH=4, .PE DH,BH=AB-AH=6-4=2, 既既恐 PEDH-2.HE-BEB-1. ..AE=AH+HE=4+1=5, ∴.AP=AE2+PE2=52+2=V29 D A HE B (3)过点D作DH⊥AB于H,过点A作AG⊥BD于G, 由(1)知，AH=DH=4,AD=4V2, .∴.BH=AB-AH=6-4=2, 6/83 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .BD=VDH2+BH=V42+2=25 ∴.AD>BD, .当△APD是以AD为腰的等腰三角形时，只有AD=AP=4V2, DG=GP=x,BG=BD-DG=25-x,BP=BD-DP=2/5-2x, AG=AD-DG2,AG2=AB2-BG2, .AD2-DG2=AB2-BG2,即4/2-x2=6225-x2, 解得x=4 5, BP=26-2×4525 5 5 G B (4)解：由题意得CM=CN=AP,∠MCD=∠PAB,∠NCB=∠PAD, ∴.∠MCD+∠NCB=∠PAB+∠PAD=∠BAD=45, ∴.∠MCN=∠MCD+∠NCB+∠BCD=45°+45°=90°， 当AP⊥BD时，MN的长最小， 过D作DH⊥AB于H, 由(3)得BD=2√5，DH=4, SAm号ABDH=BDAP,即2×6×4=号×2S5AP, .AP=125 5 .CM=CN=AP=125 5, .MN=CM2+CN=12/0 5, ∴.MN的最小值是 210 5 7/83 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 M D ② ①1 p ③ ① 图2 题型02由平行截线求相关线段的长或比值 【典例】如图是由小正方形组成的9×6网格，每个小正方形的顶点叫做格点.△ABC的三个顶点都是格 点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示. B (1) (1)在图(1)中，D,E分别是边AB,AC与网格线的交点.先将点B绕点E旋转180°得到点F,画出点F, 再在AC上画点G,使DG‖BC: (2)在图(1)中，P是边AB上一点，∠BAC=C.先将AB绕点A逆时针旋转2a,得到线段AH,画出线 段AH,再画点Q,使P,Q两点关于直线AC对称. 【答案】(1)如图，点F和点G即为所求， (2)如图，线段AH和点Q即为所求， 8/83 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【分析】(1)取格点F,构造平行四边形ABCP即可解决问题，连接CP,CF交格线于点M,连接DM 交AC于点G,点G,点F即为所求： (2)取格点D、E,连接DE,取格点R,连接BR并延长BR交DE于一点H,连接AH,此线段即为所求 作线段：连接PH交AC于点M,连接BM并延长交AH于点Q,则该点就是点P关于AC直线的对称点. 【详解】(1)解：连接AF,BF,BF交AC于点E, :AF‖BC且AF=BC, ∴.四边形ABCF是平行四边形， ..BE=EF, ∴点F即为所求的点： 取格点K,N, ,四边形ABCF是平行四边形， .AB=CF,AB‖CF, ∴.∠DAK=∠MFN ,AK=FN=2,∠DKA=∠MNF=90°， ∴.△DAK≌△MFN ASA,, ∴.AD=FM, ∴.AB-AD=CF-FM, ∴.BD=CM, 9/83 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴四边形BCMD是平行四边形， ∴.DMBC即DGBC: (2)解：取格点W,BH与AC相交于点K, .BC=CW=4,∠BCR=∠AWC=90°，CR=AW, ∴.△AWC≌△RCB SAS, .∠WAC=∠CRB :∠WAC+∠ACW=90° ∴，∠CRB+∠ACW=90°， ∴∠RKC=90°， .AC⊥BH, :DH‖CK, .BK=BC 'BH BD :点C是BD的中点， ∴.点K是BH的中点，即BK=KH, “.AC垂直平分BH, ∴.AB=AH,MB=MH. .∠PAM=∠QAM,∠BMK=∠HMK, :.∠BMK=∠AMQ=∠HMK=∠AMP, ∴.△AMP≌△AMQ ASA, ..AP=AQ ∴P,Q两点关于直线AC对称， 【变式】综合与探究：某数学兴趣小组探究平行线分线段成比例定理的应用. 10183 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 G D 图1 图2 (I)【初步探究】在△ABC中，D、E分别为BC、AC的动点，若BD=DC,AE=EC,连接AD,BE 交于点G.如图1，若过D作DF‖BE,交AC于F,则CF与FE的比值为 AG与AD的比值 为 (2)在(1)的条件下，求出BG与GE的比值； (3)【拓展提高】如图2，在平行四边形ABCD中，点E为BC的中点，点F为CD上一点，BF与AE、AC 分别交于点G、M,若CF=DF,△BEG的面积为3，则口ABCD的面积为 【答案】()1：2 (2)3 (3)60 【分析】(1)因为DF‖BE,BD=DC,所以用平行线分线段成比例定理可得F是EC中点，得到CF与 FE的比值；再结合AE与EC的比例关系，用平行线分线段成比例定理可求AG与AD的比值： (2)可利用(1)中得到的线段比例关系，结合DFBE,推导BG与GE的比值： (3)先利用平行四边形对边平行且相等的性质，结合E是BC中点、CF=DF的条件，用全等三角形，三 角形中位线定理，平行线分线段成比例定理得到线段AM与CM,AG与GE的比例，再根据同高三角形面 积比等于底边长的比，逐步推导各部分面积与△BEG面积的关系，最终求出平行四边形的面积. 【详解】(1)解：：DF‖BE,BD=DC, CF CD ·FEBD 1 ∴CF=FE, ..EC=2FE, 6C, ∴.EC=2AE, ..AE=FE. 11/83 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AG=AE=1. ·GDF ..AG=GD. AD-AGTGD2 AG-1 B (2)解：：D是BC的中点，F是EC的中点， .DF是△BEC的中位线， 0r号 又G是AD的中点，E是AF的中点， ∴.GE是△ADF的中位线， .=DF=1BE. .BE=BG+≥U, BG=BE- BE-3BE. E 因此BC.4 GE 1BE =3. 4 (3)解：延长AD交BF延长线于H, :平行四边形ABCD中，AD‖BC, ∴.∠CBF=∠H, ,∠BFC=∠HFD,CF=DF, .△BCF≌△HDF AAS, 12183 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ..BC=DH, .AD=BC, ..AD=DH 取HM的中点N,连接DN, 则AM=2DN,DN‖AM, '.∠NDF=MCF, .CF=DF,∠CFM=∠DFN, ,∴.△CFM≌△DFN ASA, ..CM=DN, ∴.AM=2CM, 延长AC到点P,使MP=AM, 则MP=2CM, ∴.CP=CM, 在BF上取点T,Q,使U=BG,MQ=GM,连接CT,PQ, ,∠AMG=∠PMQ ∴.△AGM≌△PQM SAS, .AG=PQ,∠GAM=∠P, ∴.AG‖PQ, E是BC中点， ..BE=CE. .CT=2EG,CT‖EG, .CT‖PQ, ..MT-MC-1. TQ CP ..MT=TQ, ∴.PQ=2CT=4EG, ∴.AG=4EG. ..AE=AG+EG=5EG, ',△ABE的边AE上的高和△BEG的边EG上的高相同， SAABE-5SABEG: 13/83 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 SABEG=3, .∴S。ABCD=2S△ABc=4 SAABE=20 SABEG=60 题型03利用平行判定相似 【典例】在口ABCD中，按以下步骤作图：①以点B为圆心，以适当长为半径作弧，分别交AB、BC于点 M从②分别以MN为圆心，大于号MN的长为半径作弧，两弧相交于点O:@作射线B0,交ADT 点E,CD的延长线于点F.已知AB=3,DE=2,下列结论错误的是() A B A.∠ABE=∠CBE B.BC=5 C.DE=DF D. BE5 EF 3 【答案】D 【分析】根据题意可得BO平分∠ABC,再根据平行四边形的性质以及平行线分线段成比例逐一进行判断 即可 【详解】解：根据题意可得BO平分∠ABC, .∠ABE=∠CBE,选项A不符合题意： .口ABCD, .∴.AB=CD=3,BC=AD,AB‖CD,AD‖BC, .∴.∠CBE=∠AEB, ∴.∠ABE=∠AEB ∴.AE=AB=3, .AD=AE+DE=3+2=5, ∴.BC=5,选项B不符合题意； .AB‖CD ∴.∠F=∠ABE .∠AEB=∠就 ∴∠g=∠F 14183 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .DE=DF=2,选项C不符合题意： ,DE‖BC, “二品多选厦0符合冠意 【变式】如图，在△ABC中，点E在BC上，EC:BE=1:3,点F在AC上，AF:CF=3:2,AE,BF相 交于D,则FD:BD=() B A.1:4 B.1:5 c.1:6 D.2:15 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，过点B作BG∥AC,交AF延长线于点G,利用平行线构 造相似三角形是解题的关键； 过点B作BG‖AC,交AF延长线于点G,利用BG‖AC可得△BEG一△CEA,△BDG一△FDA,再 利用相似三角形的性质求解即可， 【详解】解：如图，过点B作BG‖AC,交AF的延长线于点G, G B 设AF=3a,CF=2a,则AC=AF+CF=5a, .BG AC, .△BEG一△CEA,△BDG一△FDA, 15183 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 由△BEG一△CEA,可得 G=BE-3. Ac CE ∴.BG=3AC=15a, 由△BDG一△FDA,可得 FD_AF_3a_1 BD BG 15a 即FD:BD=1:5 故选：B 练 分层训练 【巩固训练】 1.图①是小明家摆放绿植的花架，它的侧面可抽象成如图②所示的图形，其中ABCD‖EF,已知 CE=45 cm, 则AC的长度是()cm. BD 4 E 图① 图② A.30 B.36 C.45 D.56.25 【答案】B 【详解】解：AB‖CD‖EF, .BD=AC DE CE .CE=45 cm, BD4 DF 5' 4AC 54 ∴.AC=36cm 2.如图，直线l1‖l2‖13，直线AC分别交l1、12、13于点A,B,C,过点B的直线DE分别交1,13于点D, 16183 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E.若AB=2,BC=4,DE=9,则线段DB的长为() A.3 B.4 c.5 D.6 【答案】A 【分析】设BD=X,根据平行线分线段成比例定理得出 AB_BD BC BE ,解分式方程求出x的值即可得出答案. 【详解】解：设BD=X, ,DE=9, ..BE=DE-BD=9-x, l1l2|13,AB=2,BC=4, .AB=BD an2-x BC BE 解得：X=3, 经检验：X=3是分式方程的解， ∴线段DB的长为3. 3.在△ABC中，点D、E分别是AB、AC边上的点，下列条件能判断DE与BC平行的是() B A.AD=3cm,AB=4cm,AE=1.8cm,CE=2.4cm B.AD=2BD,AC=3CE C.AD=6cm,DE=9cm,AE=4cm,AC=10cm D.AB=2BD,BC=2DE 【答案】B 【分析】利用DE‖BC时， 品能治能 AC' 逐一判断即可. 17183 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解1解：当DE‖BC时， 品批*0 由此可得： A::AD=3,AB=4, ∴.BD=AB-AD=4-3=1, ÷40=3=3, AE1.83 BD 1 EC2.441 AD≠ BD EC. 故A错误； B:.AD=2 BD, AD =2 BD .AC=3CE, ∴.AE=2CE .AE=2 CE AD_AE BD CE 故B正确： G:缺少AB或BD长度，无法计第品与能的此值关系，无法斯，故C错误： BD D:由AB=2BD可知D为AB中点，但仅凭BC=2DE无法确定E点位置及比例关系，无法判断，故D错 误： 4.如图，在口ABCD中，AB=3,AD=8,对角线AC,BD相交于点O,E是口ABCD内一点，且 OE‖BC,∠AEB=90°，则OE的长为() A.1 B. 5 2 C.2 D. 【答案】D 【分析】延长OE交AB于点F,由平行四边形的性质得BC=AD=8,OA=OC,由平行线等分线段定理 得AF=BF,即得OF是△ABC的中位线，得到OF=号BC=-4,又由直角三角形的性质得EF=号AB= 2 再根据线段的和差关系解答即可求解. 18183 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】解：如图，延长OE交AB于点F, F ',四边形ABCD是平行四边形， ∴.BC=AD=8,OA=OC, 又，OE‖BC, ∴.AF=BF, .OF是△ABC的中位线， :.OF=BC=4. 在Rt△AEB中，∠AEB=90°，AF=BF, ∴EF=号AB=3 2 ∴OE=OF-EF=4.3=5 22 5.如图，在平面直角坐标系中，∠AOB=90°，点A0,6,B4,0.C为AB的中点，连接OC,把线段 OC沿射线BO平移至DE,使点D落在y轴上，则四边形OCDE的面积是() YA A.3 B.6 C.9 D.12 【答案】B 【分析1根据题意可得OCDE,OC=DE,AC=号AB,OA=6,OB=4,根据平行四边形的判定和 性质得出CDB5,根据子行线分线段成比例得出品A治分即可得出点D是AO的中点。 OD=之A0=3,根据三角形中位线的定义和性质得出CD=OB=2,结合平行四边形的性质即可求解， 19183 西学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【详解1解：根据题意可得，OC‖DE,OC=DE,AC=号AB,OA=6,OB=4, “.四边形OCDE是平行四边形， CD‖BE, AD_AC_1 AO AB 2' 即点D是A0的中点，OD=号A0=3, ∴.CD是△AOB的中位线。 CD-0B=2, ∴.平行四边形OCDE的面积为CD·OD=2×3=6. 6.如图，已知△ABC,以点A为圆心，适当长为半径作弧，交AC于点M,交AB于点N;分别以点M, N为圆心，大于号MN的长为半径作弧，两弧在△ABC的内部相交于点P,作射线AP交BC于点D:分别 以点A和点D为圆心，大于AD的长为半径作弧，两弧相交于G,H两点：作直线GH交AC于点E,交 以上作图，若AF=2,CE=3,BD=号，则C A G D A品 5 B.1 C. D.2V2 【答案】C CD CE 【分析】连接DE,DF,先证出四边形AEDF是菱形，则AE=AF=2,再根据ABDE可得BDA记 代入计算即可. 【详解】解：如图，连接DE,DF, 20183 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A D 由题意得：GH垂直平分AD,AD平分∠BAC, .AE=DE,∠BAD=∠CAD, .∠ADE=∠CAD ∴.∠ADE=∠BAD, .AB‖DE, 同理可得：DF‖AC, ,∴.四边形AEDF是平行四边形， 又，AE=DE, ∴.平行四边形AEDF是菱形， .AE=AF=2, 又AB‖DE, CD=CE BD AE CE=3.BD-5 CD_3 52, 3 解得CD= 2 7.如图，在四边形ABCD中，AD‖BC,AE=号AB,DG=号DC,点H,F分别在边AD,BC上移动 (不与端点重合)，连接FH,则下列为定值的是() HD 21183 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.∠EFG的大小 B.四边形EFGH的周长 C.线段FH的长 D.四边形EFGH的面积 【答案】D 【分析】如图所示，设梯形的高为h,连接EG,过点H作HK⊥EG,过点F作FL⊥EG,首先得到 ADEGIBC,然后利用四边形EFGH的面积-S6GA+SAEe 求解即可 【详解】解：如图所示，设梯形的高为h,连接EG,过点H作HK⊥EG,过点F作FL⊥EG, B .AE=DG_1 AB CD 3' ∴.AD‖EG‖BC ÷四边形EFGH的面积=S。a+Sae号EG~HK+号EG-FL=号EGh. ∴四边形EFGH的面积为定值」 8.如图，在口ABCD中，点E是BC的中点，连接AE交对角线BD于点M,MN‖AD交AB于点N.若 AD=5,则MN的长是() A号 B. 5 C.3 D. 【答案】A 【分析】本题考查平行四边形的性质，平行线分线段成比例，掌握知识点是解题的关键。 先断MND1C,BEc号务宽器器0管1沿 AB 2N=Ag进而得到N=1.2N,求出MN=号，即可解答。 5 AB 5 5 【详解】解：在口ABCD中，AD‖BC,AD=BC=5, 22183 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :MN‖AD,点E是BC的中点， MN I AD BC.BE-C-3 MNBN MNAN ”ADAB'BE AB' 即MN-AB-ANMN-AN 5 AB 2.5AB 则MW=1.AY 2MN AN 5 AB' 5AB .MN=1.2 5 5 解得MN= 故选：A. 9.将直角三角形纸片ABC∠B=90°按如图方式折叠两次再展开，折痕为MN和PQ.下列结论错误的 是() 折叠 再折叠 展开、M P------ B A.AM=AN 。恕怨 C.AB=AM D. AN_MN AB AC AC NQ NQ PQ 【答案】D 【分析】本题考查了折叠的性质、平行线分线段成比例定理，关键是知识点的灵活应用； 由折叠可得AM=MP=PB,MN‖PQ‖BC,据此逐一判断各选项即可. 【详解】解：由折叠可得：AM=MP=PB,∠AMN=∠PMN,∠MPQ=∠QPB, :∠AMN+∠PMN=180°，∠MPQ+∠QPB=180°， .∠AMN=∠NMP=∠APQ=∠QPB=∠B=90°， .MN‖PQ‖BC, .MN‖BC, .AM=AN AB AC' A选项正确，不符合题意： 23183 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 MN‖PQ, .AP=AQ MP NO B选项正确，不符合题意： ,MN‖PQ‖BC, 漂得 ..AM=MP=BP, ..AN=NQ. .AM=AN AB AC' 即：AB=AM AC NQ C选项正确，不符合题意： :'MN‖PQ ∴·△AMN一△APQ AN MN D选项错误，符合题意； AO PO 故选：D 10.如图，在梯形ABCD中，AD‖BC,对角线AC、BD交于点O,过点O作EF‖AD,分别交 AB、CD于点E、F.下列结论不一定正确的是() F B AE_DF A. B.OE=OF c.0E+0s=1 D.OA=OD EB FC AD BC 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例，解题的关键是掌握该性质， 根据平行线分线段成比例逐项进行判断即可. 【详解】解：AAD‖BC,EF‖AD, AE DF EBFC' 该选项正确： 24183 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B.AD BC'EF AD' OE BE CFOF AD AB CD AD ∴OE=OF: 该选项正确： C.AD BC'EF‖AD .OE-BE OE_AE AD AB'BC AB :0E+5-照+A5=1, AD BC AB AB 该选项正确： D.根据给出条件无法得出OA=OD, 该选项不一定正确： 故选：D 11.如图，在△ABC中，点D是边BC的中点，点E、F是边AC的三等分点，AD与BE、BF分别交于点 G、H,则AG:GH:HD=() G H D A.2:3:1B.5:3:2 C.3:2:1 D.2:3:2 【答案】B 【分析】本题主要考查相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例，三角形中位线定理等知识，过点 E作EMBC交AD于点M,证明△AEM一△ACD,得 M1 CD=3,再证明△EMG一△BDG得 )6=3,设MG三=X,则DG=3x,MD=4x,再证明△AME一△ADC,得AM=2x,AG=3x,连 25183 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 接DF,则DF为△BEC的中位线，=号DF,BE=2DR,求出BG=号DF,E明△GBH-△DFH 自2品-3，求出DH9xGHx,从而可求出AG:G:D=532 【详解】解：过点E作EM‖BC交AD于点M,如图， y M G H B D ,点E是边AC的三等分点， 船- .EM DC, ∴.△AEM~△ACD, ..AM=EM=AE_1 AD CD AC3 ,D为BC的中点， .BD=CD. y BD-3' .EM‖BD, ∴.△EMG一△BDG, EM_MG_1 BD DG 3 设MG=x,则DG=3x, ∴.MD=MG+DG=x+3x=4x, :EMBC,即EMDC, ∴.△AEM一△ACD, 淄怎} 26183 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AM1 DM2 AM-DM-2x. ∴.AG=AM+MG=3x: 连接DF, ,点D是边BC的中点，点F是边AC的三等分点，即F为CE的中点， .DF是△CBE的中位线， .DF‖BE,BE=2DF, 又AG=3xDG=3x, .AG=DG,即G为AD的中点， 又点E为AF的中点， ∴GE为△ADF的中位线， :.=-DF, :BG=BE-≥=2DF-DF=3DF :DF‖BE, △DFH一△GBH, DF_DH-DF-2 BG GH 3DF 3. 2 Dn-号Dcx3x=9cn-号D0-目x3x ， AG:GH:HD=3x:x:9x=5:3:2 5 故选：B. 12.如图，在正方形ABCD中，E,F分别在边AD,CD上，AF,BE相交于点G,若AE=3ED, DF=CF,则 G 的值是() GE 27183 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B A 6 4 D. 6 【答案】c 【分析】本题考查正方形的性质、平行线分线段成比例定理、三角形中位线定理，相似三角形判定与性质 等知识.添加合适辅助线，构造平行线是解题的关键。 如图：作FN‖AD,交AB于N,交BE于M设DE=a,则AE=3a,利用平行线分线段成比例定理解决 问题即可 【详解】解：如图：作FN‖AD,交AB于N,交BE于M E D G ABCD 四边形 是正方形， ∴.AB‖CD,∠D=90, .FN‖AD .四边形ANFD是平行四边形， ,∠D=90°， '.四边形ANFD是矩形， AE=3DE 设DE=a,则AE=3a,AD=AB=CD=FN=4a,AN=DF=2a DF=CF, ∴.AN=BN, 又.MN‖AE .∴.BM=ME ∴.MN是△ABE的中位线， :M=0 28183 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.FM=4a- 3 .AE‖FM ∴.△AEG~△FMG AG_AE3a_6 GF FM 5.5. 故选：C 13.如图，在正方形ABCD中，P,Q分别是AD,BC上的点（不与点D,C重合），PQAB,BD与 PQ交于点E,取DE的中点E,连接AQ,FQ,则的值为( A D B O C A.3 B. 3 c.2 D. 4 【答案】C 【分析】本题考查了正方形的性质，平行线分线段成比例，全等三角形的性质与判定，勾股定理：过点F 作AB的平行线，分别交AD,BC于点M,N,连接AF.证明四边形ABNM,四边形PQNM是矩形，进 而证明FM是△DEP的中位线，得出DM=PM,则DM=NQ,证明△AFM≌△FQN,进而证明 ∠AFQ=90°得出△AFQ是等腰直角三角形，即可求解. 【详解】解：如图，过点F作AB的平行线，分别交AD,BC于点M,N,连接AF A P M D ABCD B QNC四边形 是正方形， .∴.∠BAD=∠ABC=90°， 29183 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .MN‖AB,PQ‖AB, ∴.四边形ABNM,四边形PQNM是矩形， ∴.AM=BN,PM=QN,∠AMF=∠FNQ=90°， .QP‖MF F是DE的中点， FD=MD=1 FE PM ∴.DM=PM, ∴.DM=NQ, 由正方形性质可知∠CBD=∠ADB=45°， ∴.△BFN,△DFM是等腰直角三角形， .BN=NF,MF=DM, ∴.AM=NF,NQ=MF, 在△AFM和△FQN中， .∴.△AFM≌△FQN, ∴.AF=FQ,∠AFM=∠FQN, .∠FQN+∠NFQ=90°， ∴.∠AFM+∠NFQ=90°， ∴.∠AFQ=90°， ∴.△AFQ是等腰直角三角形， AQ=2 QF 故选：C 14.在口ABCD中，按以下步骤作图：①以点B为圆心，以适当长为半径作弧，分别交BA,BC于点 M:②分别以M,N为圆心，以大于号MN的长为半径作弧，两弧在∠ABC内交于点O:@作射线B0, 交AD于点E,交CD延长线于点F.若CD=6,DE=4,下列结论错误的是() 30183 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.∠ABE=∠CBE B.BC=10 C.DE=DF D. BF_5 EF3 【答案】D 【分析】本题考查了作图-基本作图，平行四边形的性质，平行线分线段成比例，等腰三角形的判定和性 质，直接利用基本作图对A选项进行判断；根据平行四边形的性质得到AB=CD=6,BC=AD AB‖CD,AD‖BC,再利用平行线的性质证明∠ABE=∠AEB得到AE=AB=6,则AD=10,所以 BC=10,于是可对B选项进行判断；接着利用平行线的性质证明∠g=∠F得到DE=DF=4,则可对C 选项进行判断；由于DEBC,则根据平行线分线段成比例定理可对D选项进行判断熟练利用平行四边形 的性质是解题的关键 【详解】解：由作法得BO平分∠ABC, ∴.∠ABE=∠CBE,所以A选项不符合题意： .四边形ABCD为平行四边形， ∴.AB=CD=6,BC=AD,AB‖CD,AD‖BC, ,AD‖BC, ∴.∠CBE=∠AEB, ∴.∠ABE=∠AEB, .∴.AE=AB=6, ∴.AD=AE+DE=10 ∴.BC=10,所以B选项不符合题意： AB CD .∠F=∠ABE, .∠AEB=∠g就， ∴.上=∠F, .DE=DF=4,所以C选项不符合题意： .AB‖CD, BEAE3 EF ED 2' 31183 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .BF_ 3 所以D选项符合题意。 EF 故选：D. 15.如图，梯形ABCD中，AD‖BC,AH=HC,DG=GB,GH交两腰于E、F.则下列结论： (1)AE=EB,DF=FC. (2)AD‖EF‖BC (3)EH=GF=BC.EG=HF-]AD (4)GH=(BC-AD). 其中正确的有() G A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】D 【分析】本题考查了平行的判定与性质，平行分线段成比例，相似三角形的判定与性质，三角形的中位线， 熟练掌握以上知识点是解题的关键.连接DH,延长DH交BC于M,先证明△ADH一△CMH,得到 AH-DA=L,从而判定GH是△DBM的中位线，从而推出EFBC,从而知道②正确：接着利用平行 CH HM 分线段成比例，可知=1，PDC=DP=1,从而知道0正确，EH是△ABC的中位线，GF是 BE CH BG CF △DBC的中位线，接着利用三角形中位线的性质，可得到③正确，最后利用GH=EH-EG得到④正确. 【详解】解：连接DH,延长DH交BC于M,如图所示： AD BC M ∴.∠ADH=∠HMC,∠DAH=∠MCH 32183 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .△ADH-△CMH, AHDH CH HM AH=HC, .DH=1, HM ∴.DH=HM, .DG=BG. ∴.GH是△DBM的中位线， ∴.GH‖BM, ,AD‖BC, .AD‖EF‖BC,故②正确： .AR-AH-1.DC-DF=1 ·BECH BG CF ∴.EH是△ABC的中位线，GF是△DBC的中位线，AE=EB,DF=FC,故①正确： .EH-BC,GF-BC ∴EH=GF=BC 同理可证EG=HF=之AD,故③正确： :GH=EH-EG,EH=号BC,EG=号AD GH-(BC-AD). ④正确： 综上分析可知：正确的有4个， 故选：D 16.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6,BC=8,分别以点B和点C为圆心、大于号BC的长 为半径作弧，两弧相交于E,F两点，作直线EF交AB于点D,连接CD,则CD的长是 33183 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【答案】5 【分析】由作图痕迹可知直线EF是线段BC的垂直平分线，根据垂直于同一直线的两直线平行可得 EF‖AC,根据平行线分线段成比例可判定D为AB的中点，利用勾股定理求出AB的长，再根据直角三角 形斜边上的中线等于斜边的一半即可求解. 【详解】解：如图， 由作图可知，直线EF是线段BC的垂直平分线， ∴.EF⊥BC,CG=BG, .'∠ACB=90°，即AC⊥BC, ∴.EF‖AC, 器瓷1 ∴.D为AB的中点， 在Rt△ABC中，AB=√AC2+BC=/6+8=10' .∠ACB=90°，D为AB的中点， .CD=2AB=5. 17.如图，若l11213,AB=6,BC=4,DF=15,则EF的长为· 34183 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【答案】6 【分析】根据平行线分线段成比例得 BC-EE AB DE 再代入数值计算即可。 【详解】解：以12‖l3, 没器 .AB=6,BC=4,DF=15, 号 解得EF=6. 18.如图，在正方形ABCD中，AC和BD相交于点O,点P为线段OD的中点，连接AP并延长交CD于点 E.若BC=6,则CE的长为· D D 【答案】 4 【分析】过点O作OF‖AE交CD于点F,利用平行线分线段成比例定理即可求解. 【详解】解：过点O作OF‖AE交CD于点F, ,正方形ABCD中，CO=AO, CO-CF=1 AO EF ∴.CF=EF, :点P为线段OD的中点，PE‖OF, 35183 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 DP-DE=1 OPEF ∴DE=EF, .DE=EF=CF, ,正方形ABCD中，CD=BC=6, ∴.CE=2CD=4 D P E B 19.如图，在口ABCD中，F是AD上一点，CF交BD于点E,CF的延长线交BA的延长线于点G, EF=1,EC=4,则GF的长为 G 【答案】15 【分析】本题考查了平行四边形的性质，平行线分线段成比例的性质，熟练掌握其性质是解题的关键.由 GF AG EG BG 平行四边形的性质可得 EC AR'ECCD 设GF=X,则EG=EF+GF=1+X,BG=AG+CD, 代入比例式中求解即可得解。 【详解】解：，四边形ABCD为平行四边形， ∴.AB‖CD,AB=CD .GF_AG EG BG ·FC-AB'EC-CD EF=1,EC=4, .∴.FC=EF+EC=5, 36183 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 设GF=X,则EG=EF+GF=1+X,BG=AG+CD, .x-AG_AG 1+x-AG+AB-AG+CD-AG+1. 5 AB CD'4 CD CD CD ·1+X=X+1,解得x=15, 45 即GF=15 故答案为：15 20.如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A、B、C都在网格小正方形的顶点上.D、 E是线段AC、AB与小正方形边的交点.那么DE的长为 【答案】 5 3 【分析】本题考查了勾股定理，平行线分线段成比例，相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相关 知识：连接BC,在格点上取F、G、M、N,使得OM AN,.EFBG,得到AP-MN= CD CM 2 BEGF2推出”-AE=1 AE_AF_1 AB明△DAE一△CAB,得到光-A把-根据勾股定理 BC,即可求解。 【详解】解：如图，连接BC,在格点取F、G、M、N,使得DM‖AN,EF‖BG, N M B 由图可知MN=1,CM=2,AF=1,FG=2, .·DM‖AN,EFBG, ADMN_1 AE_AF_1 CD CM 2'BE GF2' 37183 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AD_AE_1 CD BE2 AD_AE1 AC AB 3' ∠DAE=∠CAB, ∴.△DAE一△CAB, DE_AD_1 BC AC 3 BC=V22+42=2V51 DE=号BC=2 3 3, 故答案为： 25 3 21.如图，在菱形ABCD中，AB=BD,点E,F分别是边AB,AD上任意点（不与端点重合），且 AE=DF,连接BF与DE相交于点G,连接CG与BD相交于点H,下列结论：①△AED≌△DFB;② ∠BGE的大小为定值；③CG与BD一定不垂直；④若AF=3DF,则BG=6GF,其中正确的结论有 D G 【答案】①② 【分析】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质等知识，证明三角形全等 是解题的关键.根据菱形的性质，再结合全等三角形的判定与性质，对每个结论一一判断求解即可. 【详解】解：①，四边形ABCD是菱形 ..AD=AB 又AB=BD, ∴.AD=AB=BD ∴，△ABD是等边三角形， ∴.∠A=∠ADB=60°， 在△AED与△DFB中， 38183 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 , ∴.△AED≌△DFB|SAS, ..DE=BF, ∴①符合题意 ②由①得△AED≌△DFB. ·∠ADE=∠DBF, ,△ABD是等边三角形， .∠ADB=60°， ∴.∠BGE=∠BDE+∠DBF=∠BDE+∠ADE=∠ADB=60°， ∴∠BGE的大小为定值 ②符合题意； ③当点E,F分别是AB,AD中点时， 由①知，△ABD,△BDC为等边三角形， ,点E,F分别是AB,AD中点， ,∠BDE=∠DBG=30°， ..DG=BG, 在△GDC和△GBC中， 乙， .△GDC≌△GBC SSS, :.∠DCG=∠BCG, .BC=CD, ∴CH⊥BD,即CG⊥BD, .③不符合题意： ④过点F作FP‖AE交DE于P点，如图， D .AF=3DF. ..FP:AE=DF:DA=1:4. 39183 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .AE=DF,AB=AD. ..BE=3AE, ..FP:BE=FP:3AE=1:12. ,FP‖AE, .PF‖BE, ..FG:BG=FP:BE=1:12 即BG=12GF,故本选项不符合题意： ∴.正确的结论是①② 故答案为：①② 22.如图，已知：在△ABC与△A1BC1中，∠A=∠A1,∠B=∠B.求证：△ABC一△A1B,C1 A D B B C 【答案】证明：不妨假设AB>A1B,在AB上截取AD=A1B,在AC上截取AE=A1C1,连接DE,如 图所示 .∠A=∠A1,AD=A1B1,AE=A1C1, ∴.△ADE≌△AB,C1|SSS .∠ADE=∠A1B,C1,∠AED=∠C1,DE=BC1, .∠B=∠B A E ∴.∠ADE=∠B B G ∴.DE‖BC, 40183 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ·AD_AE ·ABAC 过点E作EF‖AB,交BC于点E, 则四边形DEFB是平行四边形， ∴DE=FB EF‖AB, BFAE ·BCAC DE_AE ·BCAC .AD=DE=AR AB BC AC AB=BCI=AC AB BC AC ,∠A=∠A1,∠B=∠B1, ∴.∠C=∠C1, .△ABC~△A1B1C1. 【分折1在AB上栽取AD=A,B,在AC上截取AE=A,C,证明AB=B,C=A,C,∠A=∠A. AB BC AC ∠B=∠B∠C=∠C1:解答即可： 【详解】略 23.如图，在△ABC中，延长CB至点D,使BD=BC,在AC上取一点F,连接DF交AB于点E,过F 点作FH‖AB交CD于点H,己知AC=DE=3,EF=2. B H ()DB:DH= (2)求AF的长. 41/83 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【答案】(1)3：5 (2)AF=2 【分析】(1)利用平行线分线段成比例得到DB:BH=DE:EF=3:2即可求解； (2)由(1)得BC:BH=3:2,再根据平行线分线段成比例得到AC:AF=BC:BH=3:2,进而可求解. 【详解】(1)解：因为DE=3,EF=2, 所以DE:EF=3:2, 又因为FH‖AB, 所以DB:BH=DE:EF=3:2, 所以DB:DH=3:5: (2)解：因为BD=BC,DB:BH=3:2 所以BC:BH=3:2 因为FH‖AB 所以AC:AF=BC:BH=3:2, 又因为AC=3 所以AF=2. 24.知图，在△ABC中，点D在边AB上，点N、B在边AC上，且DFBE,C是 AFAE (1)求证：DEBC: ☒果记 S△兰=3，求SAABCE的值. 【答案】(1)证明：DF‖BE, AFAD ·FEDB 部 ADAE ·DB CE 42183 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ·AD-AE ·ABAC 又∠DAE=∠BAC, ∴.△ADE-△ABC, ∴.∠ADE=∠ABC, .DE‖BC 唔 【分析】(1)由DF‖BE可得A识=AD FE-DR 再结合己知比例，可利沿2瓷E明△ADE一△ABC, 即可解答： (2)由图可知△ADE与△竺乙等高，根据等高的两个三角形面积比等于底边的比，再由DE‖BC,得出 △ADE一△ABC,利用相似三角形的面积比等于相似比的平方求解. 【详解】(1)略 2》解：=2 FE 3 EF3 AE 5 ,△就与△ADE同高， S△兰=3， .SAADE=5, .AF-AE FE CE 兰影 .AE_2 AC5 :△ADE一△ABC, S△ADEF AE4, AC 25 43183 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 Sa=125 25.已知：如图，在△ABC中，DE‖BC,点F为AD上的一点，且AD=AB·AF. 求证：EF‖CD. E B 【答案】证明：DE‖BC, 、=g AC :AD=AB·AF, 治尚 A迟=AE AD AC .∠A=∠A, ∴.△AFE-△ADC, .∠AFE=∠ADC, .EF‖CD 【分折1利用平行线分线段成比例可得治怎。由已知条行变形可 AD AF AF AE ABAD进而可得ADAC 即可证明△AFE一△ADC,推出∠AFE=∠ADC,即得结论. 【详解】解：略 26.问题提出： 如图1，在四边形ABCD中，ADBC,B,F分别为AB,CD的中点.求证：EF=号AD+BC. E B 图1 图2 图3 44183 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 问题探究： (1)小明同学进行了如下的推理：连结AF并延长，交BC的延长线于点G .AD‖BC,∴.∠D=∠FCG,∠DAF=∠G 又，F为CD的中点，.DF=CF. ∴.△ADF≌△GCFAAS. 证明过程缺失 请你帮助小明补全上述证明过程 应用： (2)如图2，AD‖EF‖BC,点E在线段AB上且3AE=2BE.若AD=2,BC=3,则线段EF的长为 拓展： (3)如图3，在四边形ABCD中，ADBC,点F在线段CD上，且CF=3DF,连结AF、BF.若BC=3, AD=1,AD与BC之间的距离为3，则△ABF的面积为 【答案】(1)证明：∴.AF=FG,AD=CG, .点E是AB的中点，∴.AE=EB, .EF为△ABG的中位线， EF-BG, EF-(BC+CG .EF(AD+BG). 唱 号 【分析】(1)连结AF并延长，交BC的延长线于点G,构造..△ADF≌△GCF AAS,得到 AF=FG,AD=CG,再根据中位线定理进行等量代换，得出结论： (2)类比(1)中辅助线的做法，连结DE并延长，交CB的延长线于点M,利用AD‖EF‖BC,得到 △ADE一△BME和△g一△DMC,再根据相似三角形的性质得到EF的长： (3)延长AF,交BC的延长线于点M,过点F作FH⊥AD,延长HF交BC的延长线于点G,根据 45183 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AD‖BC得到△ADF一△MCF,再根据相似三角形的性质：对应边之比等于对应高之比，得到S△ABM 和SA BFM,作差得到△ABF的面积. 【详解】(1)略 (2)解：连结DE并延长，交CB的延长线于点M, AD BC, ∴.∠A=∠EBM,∠ADE=∠M, ∴.△ADE~△BME, ·AD_DE_AE BM ME BE .3AE=2BE, ·AD=DE=AE-2 BM ME BE 3' 即ME3DE,BM=AD-号2=3 .EF‖BC, ∴.∠=∠M,∠DFE=∠C ∴.△g一△DMC, EF DE DE DE DE2 ·C DM DE+ME DE+3DE 5, .'MC=BC+BM=3+3=6, 2 12 ∴.EF=二MC=∈×6= 5 5 5 M 图2 (3)解：延长AF,交BC的延长线于点M,过点F作FH⊥AD,延长HF交BC的延长线于点G, ,FH⊥AD .∴.∠AHF=90°， AD BC, 46183 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠MGF=∠AHF=90°， .AD‖BC ∴.∠D=∠FCM,∠DAF=∠M, ∴.△ADF△MCF, AD_DF HF ·CMCF-GF CF=3DF, ADDFHF1 CM CF GF 3 即CM=3AD=3×1=3,GF=3HF, ,AD与BC之间的距离为3， ∴.HF+GF=3, 即HF+3HF=3, F-子GF-是 4 .BC=3,CM=3, '.BM=BC+CM=3+3=6, .AD与BC之间的距离为3， Sm号8Mxh=克x6×3=9, :Sanr=BM×GF=3×6×g2 44 S%ar=56w-5aw=9.2=9 44 B 图3 27.阅读与思考 下面是小陈同学的数学日记，请认真阅读，并完成相应的任务， ×年×月×日星期六 47183 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 利用平行线探究角平分线分线段成比例 今天，我在书店一本书上看到一个重要的补充：三角形一个内角的平分线分对边 所成的两条线段与这个角的两邻边对应成比例， 我和小组的同学研究了一番，写出的题目如下：如图1，在△ABC中，AD平分 ∠BAC交BC于点D,求证：AC-DC AB BD P A D B D 图1 图2 【自主探究】通过查阅资料，我们找到了 方法，下面是我们的证明过程（不完整）： 证明：过点C作CE‖AD,交BA的延长线于点E. ·BA-BD ·AEDC (依据)，∠BAD=∠E,∠ACE=∠CAD. .·AD平分∠BAC,∴.∠BAD=∠CAD .∠E=∠ACE.∴.AC=AE. ·照股 即AB、BD PAC DC 【拓展探究】我有如下思考：如图2，在△ABC中，外角∠PAC的平分线与BC的延长 线交于点D,那么能不能参照上述方法求出线段AB,AC,BD,DC之间的比例关系 呢？ 任务： (1)【自主探究】的证明过程中的“依据”是指 (2)如图3，在△ABC中， AC2,请你作出边BC的一个三等分点D(要求：尺规作图，不写作法，保 AB1 留作图痕迹，标明字母)· 48183 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A C 图3 (3)求出【拓展探究】中，线段AB,AC,BD,DC之间的比例关系. 【答案】(1)平行线分线段成比例的推论（或平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成 比例) (2)答案不唯一， 如答图1，点D即为所求 B D 答图1 (3)AB=BD AC DC 【分析】(1)根据题中证明过程填写依据即可： (2)根据题意，作角平分线即可： 3》过点C作CEAD,交M于点E,则是肥进而证明AE=AC,即可每出C-B肥 AE DC Ac DC 【详解】(1)解：平行线分线段成比例的推论（或平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对 应线段成比例)： (2)略 (3)如答图2，过点C作CE‖AD,交BA于点E. P A BA BD ∠AEC=∠PAD∠ACE=∠DAC AE DC B 答图2 .AD平分∠PAC, ..∠PAD=∠DAC. ∴.∠AEC=∠ACE. 49183 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ..AE=AC ABBD ·ACDC 【强化训练】 1.如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=6,点D,点E分别是AC边上两点(D在E的右侧)AD=10, AE=2,连接BE,F为BE中点，若∠EDF=45°，则AB的长为() F A.12 B.6V5 c.12V2 D.15 【答案】B 【分析】作BK上AC于太，先证FK是△BCE的中位线，得PK=BC=×6=3,CE=2EK,再证 △FKD是等腰直角三角形，求出AC后，利用勾股定理即可求解. 【详解】解：作FK⊥AC于K, ,∠C=90°，即BC⊥AC, FK‖BC EK EF CK BF .F为BE中点， .K为CE中点， .FK是△BCE的中位线， :FK=BC=×6=3,CE=2EK, 又，∠EDF=45°， ∴，△FKD是等腰直角三角形， ..DK=FK=3, 50183 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .AD=10,AE=2, .DE=AD-AE=10-2=8, .EK=DE-DK=8-3=5, “.CE=2EK=10, ∴.AC=CE+AE=10+2=12, AB-AC2+BC2-122+62-685 2.如图，在正方形ABCD中，点E为AD边上一点，点F为DC边延长线上一点且AE=CF,连EF,点O 为EF的中点，连BE,BD,BF,OC.有下列结论： F E B ①△EAB≌△FCB: ②∠EBD+2∠CBF+∠DFE=90°： ③直线OC垂直平分BD: ④若0C=2-1,则DE=2-2.其中正确的有几个() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】D 【分析】对于结论①，因为正方形的边AB=BC,且∠A=∠BCF=90°，又已知AE=CF,所以可依据 SAS判定定理判断两个三角形是否全等： 对于结论②，先由①的全等可得BE=BF、∠ABE=∠CBF,可推出△BEF是等腰直角三角形，再结合 正方形对角线分角为5°、△EDF是直角三角形的角度关系，推导角的和是否为90°： 对于结论③，因为直角三角形斜边中线等于斜边的一半，所以可得OC=OE=OF,再结合正方形顶点到 BD两端距离相等，判断OC是否在BD的垂直平分线上； 对于结论④，过点O作OG⊥CD交CD于点G,可得中位线OG与DE的关系，用③的结论可证△OCG的 形状，从而得到OC与OG的关系，因此结合OC的长度求解DE的长度， 【详解】①：正方形ABCD中，AB=CB,∠A=∠BCF=90°，已知AE=CF,根据SAS全等判定，可 得△EAB≌△FCB,故①正确 51183 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ②：由①得：BE=BF,∠ABE=∠CBF,∠ABC=90°， .∠ABE+∠EBC=90°， ∴.∠CBF+∠EBC=∠EBF=90° ∴△EBF是等腰直角三角形，∠BEF=45°， :正方形对角线BD平分∠ABC, .∠ABD=45°=∠ABE+∠EBD=∠CBF+∠EBD, 即2∠CBF+2∠EBD=90°， 又，△EDF是直角三角形， ∠DFE+∠=90°， 而∠整=180°-∠AEB-∠BEF=180°-(90°-∠CBF)-45°=45+∠CBF ∠DFE=90-(45+∠CBF)=45-∠CBF=∠EBD ,∴.∠EBD+2∠CBF+∠DFE=2∠EBD+2∠CBF=90°，故②正确： ③：连接OB、OD D △EBF O EF BO=IEF B 在直角 中，是中点，故 在直角△EDF中，O是EF中点，故OD=EF, ∴OD=OB ∴点O在BD的垂直平分线上， .CB=CD, “点C在BD的垂直平分线上， ∴.OC垂直平分BD,③正确： ④：过点O作OG⊥CD交CD于点G, 52183 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 G E 由③得，直线OC垂直平分BD,且BD为正方形的对角线， .OC平分∠BCD, ∴.∠0CG=45°， .0C=V20G, 0G=V2-1, 则0G=0C=1. V2 2 2 :点O为EF的中点，且OG‖DE, OF_FG=1 OE DG ∴.点G为DF的中点， ∴.OG为△就的中位线， .DE=20G=2-2,故④正确， 四个结论全部正确，正确的个数为4。 3.如图，口ABCD的对角线AC,BD交于点O,AB=AC,BD=6,E,F分别为线段BO,OD上两点， 连接AE,AF,CE,BE=2,BF=4.下列说法中：①AE为∠BAC的角平分线：②AE⊥AD;③ CE=AF:④AF=3,正确的个数是() B E A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】C 【分析】由平行四边形的性质可得B0=OD=号BD=号×6=3，且OA=OC,AD‖BC.再结合线段的 2 53183 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 和差可知E0=0F=1、EF=FD=2,ED=4:①易符A9-,E0= AB 2'EB 2' 如图：过B作BGAE交OA延长线于G,利用平行线等分线段定理以及平行线的性质可得A0=EO-。 AG EB 2 ∠EAO=∠G,∠ABG=∠BAE,进而得到AG=AB,即∠G=∠ABG,从而得到∠EAO=∠BAE, 即可判断①：②利用等腰三角形三线合一的性质可得AE⊥BC,再结合AD‖BC可得AE⊥AD,即可 判断②：③如图：连接CF,易证四边形AECF是平行四边形，利用平行四边形的性质可判断③：由 EF=FD=2,ED=4、AE⊥AD,再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得AF=2,即可判 断④. 【详解】解：，口ABCD的对角线AC,BD交于点O,BD=6, B0=0D=BD3×6=3.且OA=0C,ADBC. BE=2, .E0=BO-BE=3-2=1: BF=4, ..OF=BF-BO=4-3=1,FD=BD-BF=2 ..EO=OF=1,EF=2, ..EF=FD=2,ED=4. 1.AB=AC,OA=OC,BE=2,EO=1. :A0-1.E01 AB 2'EB 2' 如图：过B作BG‖AE交OA延长线于G, :A0=E0=1 AGEB2∠EA0=∠G,∠ABG=∠BAE, A0=A0=1 AG AB 2' 即AG=AB, ∴.∠G=∠ABG, .∠EAO=∠BAE,即AE为∠BAC的角平分线，故①正确； 54183 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B O ②，AB=AC, “△ABC是等腰三角形， :AE为∠BAC的角平分线， ∴.AE⊥BC, .AD BC, ∴AE⊥AD,即②正确： ③如图：连接CF, OA=OC.EO=OF=1, ∴.四边形AECF是平行四边形， .EC=AF,即③正确： B ④，在Rt△AED中，EF=FD=2,ED=4, :AP=ED=2≠3，即@错误， 综上，正确结论有①、②、③，共3个，即选项C符合题意. 4.如图，在正方形ABCD中，AE⊥FG于点H,连接BH,且BA=BH,K在CD上，∠KGF=45°， 若BG=EK,为2聚为() 55183 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D H E B G 2V2 910 2 B. C.5 D. 5 2 【答案】B 【分析】本题主要考查了正方形的性质、等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、平行 线分线段成比例等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键， 延长CB至点M,使得BM=DE,连接AM,EM,易证△AME为等腰直角三角形，所以AMGF, ∠AME=∠AEM=45°，再根据∠AME=∠FGK=45°，可证∠EMC=∠KGC,从而GK‖ME, CG_CK 由平行线分线段成比例可得C出CE,进而设参求解可知G、K分别为CM、CE中点，由中位线可得 GK=号ME=2AB,即可求解 【详解】解：如图，延长FG,AB交于点N, G .'AB=BH∴.∠BAH=∠BHA --- .∵GF⊥AE,∴.∠AHN=90 ∴.90°-∠BAH=90°-∠BHA,即∠DAE=∠BHN=∠N. ∴.BN=BH=BA=AD .△DAE≌△BNG ASA,.∴.DE=BG 如图，延长CB至点M,使得BM=DE,连接AM,EM, ,'∠ABM=∠D=90°，AB=AD 56183 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.△ABM≌△ADE SAS. ∴.∠BAM=∠DAE,AM=AE ∴.∠BAM+∠BAE=∠DAE+∠BAE=90°. '.△AME为等腰直角三角形， ∴.∠AME=∠AEM=45°. .GF⊥AE,.AMGF. ∴.∠AMB=∠HGC .∠AME=∠FGK=45°， ∴.∠EMC=∠KGC. ∴.GM‖KE BG=DE=BM=EK=x,CK=y, DE=BG,CD=CB, ∴.GC=CE=x+y ∴.CM=x+y+x+x=3x+y. CG_CK 由平行线分线段成比例可得CMCE' .x+y=_ 3x+y x+y ，解得x=y, .'CG=MG=2x,DE=EK=CK=x. .∴.AD=CD=3x AE=AD2+DE2-3x+x2=10x .'ME=VA E2+A M2=25x ∴.G、K分别为CM、CE中点， ∴GK=号ME=5x. .BC‖AD ·NB=BG=1 ·NAAF2 ∴.AF=2BG=2X 57183 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :c0s∠DAE=AD=3x=3/10 AE 10x 10, .cos∠H=AL-A-3/10 AF2x=10, 解得AH=3/10 . 六HE=AE-AH=/10x.30X=20、 5 5七 2V10 X HE 5 _22 ·GK 9V5x5 故选：B. 5.如图，在矩形ABCD中，AB=3,BC=4,M、N分别为线段BC、CD边上的动点，且 ∠MAN=45°，对角线AC、BD交于点O,BD分别交AM、AN于E、F两点，G为AN中点，连接GO 下列结论中正确的有() ①BE2+DF2=EF2: ②当BM=1时，△AMN为等腰直角三角形： ®当AN平分∠DAC时，则CN=5,OF=5 =3'FD8 @若△ABM沿AM翻折得到△ABM则BC的最小值为2. F E M A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】C 【分析】本题考查矩形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，一元二次方程，三角形的三边关系， 平行线分线段成比例，等腰三角形的判定与性质，掌握知识点是解题的关键， 过点D作DP⊥BD,且PD=BE,在AD上截取DH=AB=3,连接PF,AP,证明△ABE≌△HDP, 得到∠PHD=∠BAE,即∠PHD+∠DAN=45°，推导出∠PAF<45°，即∠PAF≠∠MAN,得到 △AEF与△PAF不全等，即EF≠PF,则BE+DF2=PF2≠EF2,故①错误；过点M作MQ⊥AN于 58183 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 点Q,求出AQ=5得到MQ=R5:设CN为x,则DN=3-X,得到AW=AD'+DN=25-6x+X: 由S是形8cD=S6Aa+Saam+S+S6ADN:列出方程并化简，得到5×25-6X+X=9+X求出 x1=1,X2=11(舍去)，继而证明△ABM≌△MCN,可推导出△AMN是等腰直角三角形，故②正确： 过点N作WL⊥AC于点L,证明△ADN≌△ALN,设CN为x,则NL=DN=3-x,得到 CN=N2+C求出X景得到CN-号DN-学建面推号出0GCN,且OG-号CN-吾得到 5 0F_0G_6_5 DFDN 4 8 故③正确；当点B不在AC上时，推导出BC>2,当点B在AC上时，得到 3 BC=AC-AB=2则BC≥2即BC的最小值为2，故④正确. 【详解】解：如图，过点D作DP⊥BD,且PD=BE,在AD上截取DH=AB=3,连接PF,AP, G 0 E M :∠HDP+∠ADB=90°，∠PDF=90°， ,四边形ABCD是矩形，∠EAF=45°， :∠BAD=90°，AB=CD,BO=DO=BD,BD=AC, :.∠ABD+∠ADB=90°，∠BAM+∠DAN=∠BAD-∠EAF=45° ∴.∠ABE=∠HDP, ∴△ABE≌△HDP, ∴.∠PHD=∠BAE,即∠PHD+∠DAN=45°， ∴.∠PAF=∠PAD+∠DAF<∠HAD+∠DAF, 即∠PAF<45°， 59183 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠PAF≠∠MAN, ∴.△AEF与△PAF不全等，即EF≠PF, “.BE2+DF2=PF≠EF2,故①错误 过点M作MQ⊥AN于点Q,如图 D GO E 有AM=VAB'+BM=32+1=10,△AQM是等腰直角三角形，且AQ=MQ ..AQ2+MQ2=A M2,CM=BC-BM=3. 即AQ2+AQ=(RV10} AQ=5或-5（舍去） ∴.MQ=V5 设CN为x,则DN=3-x, AN=AD+DN2-4+(3-x =/25-6x+x2 :S矩形ABCD=S△ABM+SACMN+S△AMW+SAADN ×3×1+号×3x+号x43-x)+号×95x25-6x+7-3×4 2 即5xV25-6x+x=9+x (95×V25-6x+x22=(9+x2: 125-30x+5x2=81+18x+x2, x2-12x+11=0, X1=1,x2=11(舍去) ..CN=BM=1,AB=CM=3, ∠ABM=∠MCN=90°， 60183 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .△ABM≌△MCN, ∴.AM=MN, ∴.∠MNA=∠MAN=45°， 即∠AMN=90°， ∴.△AMN是等腰直角三角形， 故②正确 过点N作NL⊥AC于点L,如图 G E :AN平分∠CAD,∠ADN=90°， .∠DAN=∠LAN,∠ALN=∠ADN=90°， AN=AN, .△ADN≌△ALN, ∴.AL=AD=4,DN=NL, AC=VAD2+CD2=5 ..CL=AC-AL=1,BD=5,OD=2.5 设CN为x,则NL=DN=3-x, .CN2=NL2+CL2, X2=(3-x2+12 w,0w号 ,点G是AN的中点，点O是AC的中点 OcCN,且oG=cN=S 6 61183 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 5 0F-0G6=5 DF DN 4 8 3 故③正确 由翻折，得AB=AB=3,AC=5, 当点B不在AC上时，如图 D G ,BC>AC-AB B M ∴.BC>2, 当点B在AC上时，如图 D G N O BC=AC-AB=2 E M .BC≥2 即BC的最小值为2 故④正确， 综上所述，正确的有②③④，共3个. 故选C. 6.如图，等边三角形纸片ABC的边长为10，点E,F分别为AB,AC边上的点.将∠BAC沿EF折叠， 若点A恰好落在该纸片BC边的中点D处，则四边形EBDF的周长是 62183 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【答案】20 【分折1连接AD交EF于点0，由三线合一得BD=CD=号BC=5,AD1BC。由折叠的性质可知， OA=OD,AE=DE,AF=DF,AD⊥EF,可得EFBC,由平行线分线段成比例求出 AE=B证=号AB=5,AF=CF=DF=AC=5,再根据三角形中位线的性质求出EF=号BC=5即可求解。 【详解】解：如图，连接AD交EF于点O, .△ABC 10 D 是等边三角形，边长为 .AB=BC=AC=10, .点D是BC边的中点 .BD=CD=-BC=5.AD L BC. 由折叠的性质可知，OA=OD,AE=DE,AF=DF,AD⊥EF, ..EF BC Ag=A5-0A=1 BE CF OD .AE-BE--AB-5,AF-CF-DF-AC-5. EF-BC5. ,∴.四边形EBDF的周长=BD+DF+EF+BE=5+5+5+5=20 63183 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 7.如图，在四边形ABCD中，AD‖BC,∠B=90°，以点D为旋转中心，将DC边绕点D顺时针旋转， 使点C的对应点F恰好落在AB边上，连接CF,取CF的中点E,连接AE,若AB=AD=3,BC=4,则 AE的长为 E B 【答案】2V2 【分析】过D作DG⊥BC于G,构造矩形ABGD,利用旋转性质DF=DC求出AF长度：再构造辅助线， 利用中点E结合中位线及直角三角形斜边中线定理求解AE 【详解】提示：如图，过点D作DG⊥BC于点G,过点E作EH⊥AB于点H, H--- .AD‖BG C ∴.∠BAD=∠B=90°=∠BGD, .四边形ABGD是矩形， AB=AD .四边形ABGD是正方形， .AB=BG=GD=AD=3, .BC=4, .CG=BC-BG=4-3=1, ∴.DF=DC=V3+1=V101 ,AD=3 AF=V10-32=1' .FB=AB-AF=3-1=2, 由题意可知EH‖BC,E是CF的中点， 64183 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 EF FH 1 根据平行线分线段成比例，则 FC FB 2 ∴H是FB的中点， .EH是△FBC的中位线， ∴FH=FB=1,EH=BC=2, ∴.AH=AF+FH=2, .AE=AH2+EH=V2+2=22 8.平行四边形ABCD的面积为6O,点B,H在边AD上，点R,G在边BC上，EF‖HG‖AB,连接对 角线BD,分别交EF,HG于点NQ,连结AQ交EF于点M连结CN,CQ,若AE=}EH=D, 则图中△BMQ与△CNQ的面积和为 D B F 【答案】30 【分析】利用线段比例关系确定点M和点Q在图形中的相对位置，进而利用“等高模型”将不规则三角形 面积转化为已知平行四边形面积的一部分即可. 【详解】解：由题意知，设AE=a,则EH=3a,HD=2a,AD=6a, .HQ‖EM :-H3 AQ AH 4' ∴.SAMBO= 41 :HQ‖cD :A9-B照-4a=2 AD BD 6a 3 :SABAQ-3 SAmD: 65183 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 SMBO= ×25子×号××60=15， 3 432 NF‖GQ, :9-FC-3a=3 BQ BG 4a 4' 36 SACNQ-SAO GQ‖CD, 品瓷般号 c Sm号5 =3×2×1×60=15, 5AcN04×3 SABCD432 ∴S△BM0+SACNQ=15+15=30, 9.如图，在△ABC中，AD是△ABC的角平分线，过点B作BE⊥AD,交AC于点E,点F在线段CD 上，且DF=DB,连接DE,FE. (1)若AB=4,CE=3,则AC= （2)下列结论正确的是 ·(写出所有正确答案的序号) ①若∠ABE=67°，则∠CEF=23: ②若AB=kBD,则CE=kCF: ③若AB=V5BD,ED⊥BD,则BD=2FC. 【答案】 2 ①② 【分析】(1)证明△BAG≌△EAG ASA,推出AE=AB=4,据此计算即可： (2)①先证明EFAD,据此计算即可求解；②利用平行线分线段成比例求解即可：③设 DF=DE=BD=X,证明△BEF是等腰直角三角形，求得BE=EF=2X,AG=32 2 ,AD=22x, 66183 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 证明△CEF一△CAD,据此计算即可判断. 【详解】解：(1)记AD与BE交于点G, E B ,AD是△ABC的角平分线， ∴.∠BAG=∠EAG, .BE⊥AD, ∴.∠AGB=∠AGE=90°， .AG=AG. ·.△BAG≌△EAG ASA, ..AE=AB=4, ∴.AC=AE+CE=4+3=7: (2),△BAG≌△EAG, ∴.BD=DE, ∴.∠DBE=∠DEB, DF=DB. ..DF=DE. ∠DFE=∠g就， ,∠DFE+∠+∠DBE+∠DEB=180°， .∠BEF=90°， ,BE⊥AD, .EF‖AD, ①.∠ABE=67°， ∴.∠EAG=∠BAG=90°-∠ABE=23°， EF‖AD, :.∠CEF=23°，故①说法正确： ②，AE=AB,DF=DB,AB=kBD 67183 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ..AE=kDF, EF‖AD, 需票 即CF=DF DF_1 CE AE kDF k' .CE=kCF,故②说法正确： ③，∠BEF=90°，ED⊥BD,DF=DE=BD, B 设DF=DE=BD=X, “△BEF是等腰直角三角形， ÷BE=EF=2x,DG=2x ,△BAG≌△EAG, :EG=号B跳= 2x 2 AB=5 BD. ..AE=5x, AG-AE-GE2-9R5x 2x 3V2x, ÷AD=32x+2x=22x, 2 :EF‖AD, ∴.△CEF~△CAD, CF EF2x1 CDAD22x2,即CF=DF=x, ∴BD=FC,故③说法错误： 综上，正确的有①②： 10.如图，在等腰△ABC中，AB=AC,点D是CA延长线上一点，AD<AC,过点D作DF⊥BC于 68183 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 点F交AB于点E. (1)求证：AD=AE: 2若AD=AC,BC=8,求线段BF的长： (3)若∠BAC=45°，EF=BC,请直接写出 AD AC 的值. 【答案】(1)证明：，AB=AC, ∠B=∠C, DF⊥BC, ∠DFC=∠DFB=90, ∴.∠D+∠C=90°，∠B+∠BEF=90°， ∴∠D=∠BEF 又，∠BEF=∠AED, ∴∠D=∠AED, .AD=AE (23 33-2V2 【分析】(1)由AB=AC得∠B=∠C,结合DF⊥BC,利用等角的余角相等得出∠D=∠BEF,再 通过对顶角相等代换得∠D=∠AED,根据等角对等边即可证明AD=AE; (2)先由AD=AC,结合AB=AC和(1)中AD=AE的结论，用AD表示BE与CD:再通过两角对应 4 相等证明△BFE一△CFD,得到 二号最后结合BC长，按比例分E求出BF即可： BF_BE_3 (3)在EF上截取BF=FH构造等腰直角△BFH,设BF=1求出BH的长度：再由等腰三角形底角度数推 出∠EBH=∠BEF,证得EH=BH,进而求出EF即BC的长度；过A作AG⊥BC,由三线合一得到 69183 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 BG、CG的长度，算出FG的长，最后根据DFAG,利用平行线分线段成比例得出 ACCG AD FG 化简计 算即可 【详解】(1)略 (2)解：：AD=AC,AB=AC, .AB=AC=4AD,CD=AC+AD=5AD, 由(1)得AD=AE, ..BE=AB-AE=3 AD ,∠B=∠C,∠DFC=∠DFB=90°， .△BFE一△CFD 器器8 .BF+CF=BC=8, BF=23x8=3: 3+5 (3)解：如图，在EF上截取BF=FH, B FG ,∠DFB=90°， .∠HBF=45°， 设BF=1,则FH=1, BH=BE2+FH2=2 ,AB=AC,∠BAC=45°， ∠ABC=180°-∠BAC=67.5°， 2 .∠EBH=∠ABC-∠HBF=22.5°，∠BEF=90°-∠ABC=22.5°， ∴.∠EBH=∠BEF, 70183 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ..EH=BH=2, ∴EF=EH+FH=V2+1, 过点A作AG⊥BC于点G, 又.AB=AC, BG=CG=号BC=2+1 2 FG-BG-BF=2-1 2 :DF⊥BC,AG⊥BC, DF‖AG, V2-1 AD FG AC CG 2+1 2-1=R2-1f=3-22. 2+1 2 11.如图①，直线a‖b‖c,直线1和m被这组平行线所截，两直线相交于点O,直线1和m与直线a、 b、c分别交于A、B、C、D、E、F.点D是直线a上的动点，已知AB=4,BC=BE=3,直线1与直线a 所成的锐角为60°. m B 图① 图② a*2名江 (2)用圆规和无刻度的直尺，在图②中作出点D,使OE=EF 3)当CF=5时，求AD的长， (4)作点B关于直线m的对称点B,当点A、E、B三点共线时，直接写出CF的长. 【路案1 (2)如图，点D即为所求： 71183 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 m 图② 间AD的长为号支号 21+3/13.21-3V13 (4)CF的长为 -或 【分析】(1)根据平行线分线段成比例求解； (2)以点E为圆心，BE为半径画弧，交AB于点O,作直线OE交a于点D,交c于点F即可； (3)当点F在I右边时，证明△OBE一△OCP,得到OB=BS OC CE 求出OB=号OA=OB-AB= 0C=0B+BC=号证明△OAD-△0CR,相到心-0A 然后代入求解：当点F在I左边时，同 理求解即可： 《4)过点A作AG1BE于点G,求出BG=AB=2,进一步利用勾股定理求出 AE=VAG2+GE=/13'当点B在线段AE上时，过点O作OH⊥BE于点H,过点O作OI1AE于点 I,过点E作EJ⊥AB于点J,由对称的性质得到∠BEO=∠AEO,然后得到OH=OI,然后利用等面积 得到A能-A0-3设A0=式3，B0=3t,求出t=3-3,得到0B=31 OC=313-6,然后利用相似三角形的性质求解；当点B在线段AE延长线上时，同理求解即可. 【详解】(1)解：：a‖b‖c,AB=4,BC=BE=3, 器漫 (2)解：作图略： 由作图得，BE=OE, ,直线1与直线a所成的锐角为60°，ab 72183 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.∠ABE=60 ∴，△OBE是等边三角形 ∴.OB=BE=OE BC=BE=3, ..OB=BC b‖c 0B=0E=1 BC EF ..OE=EF; (3)解：如图，当点F在1右边时， -a E F blc ·△OBE一△OCF .OB_BE OC CF OB 3 0B+35 0B=号 80A=OB-AB=号4今 -20C=0B+8c-号3-号 2 alc ·△OAD~△OCF .AD-OA CE OC 1 .AD 2 515 2 73183 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :AD=合 如图，当点F在1左边时， m A D -a E b b‖c ·△OBE~△OCF ..OB_BE OC CF .OB=3 3-OB5 08-号 0A=OB+AB=9+4=8,0C=BC-OB=3.95 8 88 .alc .∴·△OAD一△OCF AD OA CF OC 1 .AD_8 515 8 AD= 3 1 41 综上所述，AD的长为3或 (4)解：如图，过点A作AG⊥BE于点G, .∠ABE=60°，AG⊥BE .∴.∠BAG=30° 74183 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 BG-号AB-2 =BE-BG=3-2=1'AG=AB2-BG2=23 AE=AG2+GE2=V13 当点B在线段AE上时，过点O作OH⊥BE于点H,过点O作OI⊥AE于点I,过点E作EJ⊥AB于点 J,如图， B 作点B关于直线m的对称点B,当点A、E、B三点共线时， ∴，∠BEO=∠AEO .OH⊥BE,OI⊥AE ..OH=OI :EJ⊥AB -01 1AO.EJ 2 SABOE 1BE.OH 2 1BO·EJ Ag=A0-13 BE BO 3 设AO=V13t,B0=3t .AO+BO=AB ∴.9V13t+3t=4 ∴t=V13-3 0B=313-3=313-9 .0C=0B+BC=3V13-9+3=3V13-6 .blc 75183 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴·△OBE一△OCF OB_BE OC CF 3V13-9-3 3V13-6CF :CF=21+3/13 4 如图，当点B在线段AE延长线上时，过点O作OH⊥BE于点H,过点O作OI⊥AE于点I,过点E作 EJ⊥AB于点J, m 作点B关于直线m的对称点B,当点A、E、B三点共线时， .∠BEO=∠BEO :OH⊥BE,OI⊥AE ..OH=OI :EJ⊥AB 5.2AE-0 1A0·EJ SABOE 1BE·OH 1B0·EJ .AE_A0_/13 BE BO 3 设A0=V13t,B0=3t .AO=BO+AB ∴.9V13t=3t+4 ∴.t=9V/13+3 “0B=3V13+3=3V13+9 ∴.0C=0B-BC=3V13+9-3=313+6 76183 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ".bc ∴.△OBE一△OCF OB_BE OC CF 3V13+9=3 3V13+6CF :CF=21-3V3 X 综上所述，CF的长为21+3/321-33 4 4 12.综合与实践 如图，一副直角三角板满足AB=BC,AC=DE,∠ABC=∠=90°，∠EDF=30°. 【操作】将三角板DEF的直角顶点E放置于三角板ABC的斜边AC上，再将三角板DEF绕点E旋转，并使 边DE与边AB交于点P,边EF与边BC交于点Q. A(D) B C(E) 图1 图2 图3 (1)【探究一】在旋转过程中， ①如图2，当CE EA =1时，猜想线段EP与EQ的数量关系 ②如图3， CE=2时，EP与EQ满足怎样的数量关系？并说明理由. E ③根据你对(1)、(2)的探究结果，试写出当C =m时，EP与EQ满足的数量关系式为 EA 2【探究二】若A E =2且AC=30cm,连接PQ,设△EPQ的面积为Scm,直接写出在旋转过程中S 的最大值是 cm2,最小值是 cm 【答案】(1) EP 1 ①EP=EQ:② EQ2’ 理由如下： 77183 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 解：如图2，作EG⊥AB于G,作EH⊥BC于H, A G D ∴.∠EGB=∠EHB=90° B H F 图2 由①知，∠PEG=∠HEQ,四边形BHEG是矩形， ∴.△EGP~△EHQ,EH=BG, EPEG EQ EH .·∠ABC=90°，AB=AC, .∠A=∠C=45, ∴.∠AEG=90°-∠A=45, ∴.∠A=∠AEG, .∴.EG=AG, .EG⊥AH,∠ABC=90°， ∴.EG‖BC, AG_AE_1 ·BGCE21 :既 EP 1 ·E02 ③EP=1 EQ m (2)75:50 【分析】(1)①作EG⊥AB于G,作EH⊥BC于H,证明△EGP≌△EHQ|AAS,因此EP=EQ: ②作EG⊥AB于G,作EH⊥BC于H,证明△EGP一△EHQ,得到EOEH EP_EG 由已知条件求出 EG EH 即可得到 EP Q 78183 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 EP EG EG ③作EG⊥AB于G,作EH⊥BC于H,证明△EGP一△EHQ,得到 EQ EH' 由已知条件求出 EH 即可得到 EQ (2)结合②以及已知条件写出S关于EP的表达式，根据位置关系判断最值， 【详解】(1)①证明：如图1， B 图1 作EG⊥AB于G,作EH⊥BC于H, ∴.∠EGB=ㄥEHB=90°， AB=AC,AE=CE, .BE平分∠ABC, ∴.EG=EH, .∵∠ABC=90°， 四边形BHEG是矩形， ∴.∠HEG=90°， ,∠g=90 ∴.∠HEG=∠g就， .∠HEG-∠PEH=∠.∠PEH, ∴.∠PEG=∠HEQ, .∴.△EGP≌△EHQ AAS, ∴.EP=EQ: ②略： ③如图2，作EG⊥AB于G,作EH⊥BC于H, 79/83 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 Gh.. E D B HF 图2 EP EG 由②知， EQ EG‖BC, AG EA 1 BG ECm EG1 EH m EP=1 EQ m (2)解：S存在最大值或最小值，理由如下： CE=2且AC=30cm, E :AE=号AC=10am, 3 由②知， EP_1 EQ 2' s=P-B0=Er ∴.当EP⊥AB时，S最小， 此时，EP=2AE=52cm, ∴.S展=5/2}=50cm2, 当EQ最大时，即EQ=DE·tan∠EDF=30tan30°=103cm, 即EP=53cm时，S大=53}=75am2, 13.综合与探究 某数学兴趣小组探究平行线分线段成比例定理的应用. 80183 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 G分 B B D M 图1 图2 【初步探究】 1在△ABC中，D、E分别为BC、AC的动点，若BD=DC,AE=号EC.连接AD,BE交于点G.如 图1，若过D作DF‖BE,交AC于F,则CF与FE的比值为 AG与GD的比值为 (2)在(1)的条件下，求出BG与GE的比值； 【拓展提高】 (3)如图2，在△ABC中，AB=3,AC=4,M是BC上一点，∠BAM=∠C,将△ABC沿AM折叠， AB恰好落在AC上，B的对应点为E,求AM的长. 【答案】(1)1：1 (2)3 421 7 【分析】(1)根据平行线分线段成比例直接计算即可； (2)过E作EH‖AD,交BC于点H,由平行可得S识=CE=2,则CD=3,结合BD=DC可得 HD AE HD BG_BD BD=3,因此GE-D方=3y HD (3)连接BE交AM于点L,作EN‖AM交BC于点N,由折叠可知，AB=AE=3,BL=EL, ∠BAM=∠CAM,则CE=1.由平行可 Cy=CE=⊥.BM=BL=1,因此BM=MN=3CN.设 NM AE 3'MN LE CN=t,则BM=MN=3t,BC=7t,容易证明△MBA一△ABC,则BM·BC=AB=9,计算得 t= V21 7 由∠BAM=∠C,∠BAM=∠CAM,可得∠CAM=∠C,因此AM=CM=42I 7 【详解】(1)解：DF‖BE, CF CD FEBD 1 81183 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :.FE=1EC, AE=EC, ..AE=FE, :DF‖BE, .AG=AE=1: GD FE (2)解：如图，过E作EH‖AD,交BC于点H, G B .EH AD, CH_CE=2. HD AE CD : =3, .BD=DC, BD :HD =3, EH‖AD, BG_BD 3: GE DH (3)解：连接BE交AM于点L,作EN‖AM交BC于点N, E B N 由折叠可知，AB=AE=3,BL=EL,∠BAM=∠CAM, 82183 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ..CE=AC-AE=1, ,EN‖AM, 器 即MN=3CN, :LM‖EN, BM-BL=1. MN LE ∴.BM=MN=3CN, 设CN=t,则BM=MN=3t,BC=BM+MN+CN=7t, :∠BAM=∠C,∠MBA=∠ABC, ∴.△MBA-△ABC, BM AB ABBC' BM·BC=AB2=3=9, .3t×7t=9, 解得( 7,5.21 7 (负值，舍去)， CM=MN+CN=4t-4V21 7 .,∠BAM=∠C,∠BAM=∠CAM, ∴.∠CAM=∠C, ·AM=CM=4V21 7 83183