3.1 相似多边形 同步讲义 2026--2027学年北师大版九年级数学上册

本讲义聚焦“相似多边形”核心知识点，系统梳理比例的性质（含基本性质、合比等）、比例线段判定、相似图形概念（形状相同）及相似多边形性质（对应角相等、对应边成比例），构建从基础到应用的学习支架。 资料以“解题知识+典例+变式”设计，结合非遗剪纸、斐波那契数列等实例，培养抽象能力与推理意识，课中辅助教师高效教学，课后通过分层练习帮助学生巩固知识，查漏补缺。

3.1 相似多边形 内 容 导 航 题型1 比例的性质 题型2 比例线段 题型3 相似图形 题型4 相似多边形的性质 考 点 演 练 题型1 比例的性质 解｜题｜知｜识 （1）比例的基本性质：组成比例的四个数，叫做比例的项．两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项． （2）常用的性质有： ①内项之积等于外项之积．若，则ad＝bc． ②合比性质．若，则． ③分比性质．若，则． ④合分比性质．若，则． ⑤等比性质．若（b+d+…+n≠0），则． 【典例1】如果5m＝6n（n≠0），那么下列比例式成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：A、∵，∴6m＝5n，不符合题意； B、∵，∴5m＝6n，符合题意； C、∵，∴6m＝5n，不符合题意； D、∵，∴mn＝30，不符合题意． 故选：B． 【变式1】已知，则下列结论一定正确的是（　　） A．x＝2，y＝3 B．2x＝3y C． D． 【答案】D 【解答】解：∵， ∴3x＝2y， ∴A、B选项错误； ∵， ∴yx ∴， ∴C选项错误； ∵， ∴11， ∴D选项正确； 故选：D． 【变式2】已知，那么下列等式中，不一定正确的是（　　） A． B．2x＝3y C． D． 【答案】A 【解答】解：∵， ∴2x＝3y， ， ， ∴， 无法得到． 故选：A． 【变式3】若2x＝3y，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：∵2x＝3y， ∴． 故选：C． 题型2 比例线段 解｜题｜知｜识 （1）对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如 a：b＝c：d（即ad＝bc），我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段． （2）判定四条线段是否成比例，只要把四条线段按大小顺序排列好，判断前两条线段之比与后两条线段之比是否相等即可，求线段之比时，要先统一线段的长度单位，最后的结果与所选取的单位无关系． 【典例1】下面四组线段中不能成比例线段的是（　　） A．3、6、2、4 B．4、6、8、10 C．1、、、 D．、、2、 【答案】B 【解答】解：A．2×6＝3×4，能成比例，不符合题意； B．4×10≠6×8，不能成比例，符合题意； C．，能成比例，不符合题意； D．，能成比例，不符合题意． 故选：B． 【变式1】下列各组中的四条线段a，b，c，d是成比例线段的是（　　） A．a＝1，b＝1，c＝1，d＝5 B．a＝2，，， C．a＝1，，，d＝8 D．，b＝3，c＝2，d＝8 【答案】B 【解答】解：A、5×1≠1×1，四条线段不成比例，故本选项不符合题意； B、，四条线段成比例，故本选项符合题意； C、，四条线段不成比例，故本选项不符合题意； D、，四条线段不成比例，故本选项不符合题意； 故选：B． 【变式2】已知a，b，c，d是成比例线段，其中a＝2cm，b＝1cm，c＝8cm，则线段d的长为（　　） A．3cm B．4cm C．5cm D．11cm 【答案】B 【解答】解：∵a，b，c，d是成比例线段， ∴a：b＝c：d， 而a＝2cm，b＝1cm，c＝8cm， ∴d4（cm）． 故选：B． 【变式3】下列各组中的四条线段成比例的是（　　） A．4cm、2cm、1cm、3cm B．2cm、3cm、5cm、6cm C．1cm、2cm、20cm、40cm D．25cm、35cm、45cm、55cm 【答案】C 【解答】解：A、∵4×3≠2×1， ∴4cm，2cm，1cm，3cm四条线段不成比例，不符合题意； B、∵2×6≠3×5， ∴2cm，3cm，5cm，6cm四条线段不成比例，不符合题意； C、∵1×40＝2×20， ∴1cm，2cm，20cm，40cm四条线段成比例，符合题意； D、∵25×55≠35×45， ∴25cm，35cm，45cm，55cm四条线段不成比例，不符合题意； 故选：C． 题型3 相似图形 解｜题｜知｜识 （1）相似图形 我们把形状相同的图形称为相似图形． （2）相似图形在现实生活中应用非常广泛，对于相似图形，应注意： ①相似图形的形状必须完全相同； ②相似图形的大小不一定相同； ③两个物体形状相同、大小相同时它们是全等的，全等是相似的一种特殊情况． （3）相似三角形 对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形． 【典例1】湖南望城剪纸是国家级非物质文化遗产，内容淳朴秀美，具有浓郁的生活气息．剪纸艺人常为不同用途（如窗花、礼品装饰）创作同款“鲤鱼跃龙门”图案，其造型完全一致，仅整体尺寸根据需求放大或缩小，这体现了数学中（　　） A．图形的平移 B．图形的轴对称 C．图形的相似 D．图形的旋转 【答案】C 【解答】解：∵图形形状相同但大小改变， ∴湖南望城剪纸是国家级非物质文化遗产，内容淳朴秀美，具有浓郁的生活气息．剪纸艺人常为不同用途（如窗花、礼品装饰）创作同款“鲤鱼跃龙门”图案，其造型完全一致，仅整体尺寸根据需求放大或缩小，这体现了数学中图形的相似， 故选：C． 【变式1】下列各选项中内外两个图形，是相似图形的为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：A、内外两个图形的形状不同，故不是相似图形，不符合题意； B、内外两个图形的形状相同，大小不同，故是相似图形，符合题意； C、内外两个图形的形状不同，故不是相似图形，不符合题意； D、内外两个图形的形状不同，故不是相似图形，不符合题意． 故选：B． 【变式2】湖南望城剪纸是国家级非物质文化遗产，内容淳朴秀美，具有浓郁的生活气息．剪纸艺人常为不同用途（如窗花、礼品装饰）创作同款“鲤鱼跃龙门”图案，其造型完全一致，仅整体尺寸根据需求放大或缩小，这体现了数学中（　　） A．图形的平移 B．图形的轴对称 C．图形的相似 D．图形的旋转 【答案】C 【解答】解：∵剪纸艺人常为不同用途（如窗花、礼品装饰）创作同款“鲤鱼跃龙门”图案，其造型完全一致，仅整体尺寸根据需求放大或缩小， ∴图形相似，即体现了数学中图形的相似． 故选：C． 【变式3】在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下： 甲：将邻边边长为5和8的矩形按图①的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形相似． 乙：将边长5、12、13的三角形按图②的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距为1，则新三角形与原三角形相似． 对于两人的观点，下列说法正确的是（　　） A．两人都对 B．两人都不对 C．甲对、乙不对 D．甲不对，乙对 【答案】D 【解答】解：由题意可得新矩形边长为：7和10， ， 故两矩形不相似， 当新三角形的对应边间距离均为1时，则两三角形的对应边平行，且对应点连线相交于一点，故两三角形位似，即相似， 故选：D． 题型4 相似多边形的性质 解｜题｜知｜识 （1）如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，则这两个多边形是相似多边形． （2）相似多边形对应边的比叫做相似比． （3）全等多边形的相似比为1或相似比为1的相似多边形是全等形． （4）相似多边形的性质为： ①对应角相等； ②对应边的比相等． 【典例1】如图，四边形ABCD∽四边形A'B'C'D'，AB⊥BC，∠A＝80°，∠D'＝55°，则∠C的度数为（　　） A．125° B．135° C．115° D．120° 【答案】B 【解答】解：∵四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′， ∴∠D＝∠D′＝55°， ∵AB⊥BC， ∴∠B＝90°， ∴∠C＝360°﹣∠A﹣∠B﹣∠D＝135°， 故选：B． 【变式1】若两个相似六边形的面积比为1：4，则它们的相似比为（　　） A．2：1 B．1：2 C．1：4 D．4：1 【答案】B 【解答】解：根据相似图形的面积比等于相似比的平方可得： 相似比的平方为1：4， ∴相似比为1：2． 故选：B． 【变式2】在书香校园文化建设中，某班制作了一块1.8m×0.8m的长方形成果展板，其成本是a元．在每平方米制作成本相同的情况下，若将此展板的四边都扩大到原来的1.2倍，那么扩大后长方形展板的成本是（　　） A．2.4a元 B．1.2a元 C．1.44a元 D．1.728a元 【答案】C 【解答】解：∵将此展板的四边都扩大为原来的1.2倍， ∴面积扩大为原来的1.22＝1.44（倍）， ∵一块1.8m×0.8m的长方形成果展板，其成本是a元， ∴扩大后展板的成本为1.44a（元）， 故选：C． 【变式3】矩形相邻的两边长分别为25和x（x＜25），把它按如图所示的方式分割成五个全等的小矩形，每一个小矩形均与原矩形相似，则x的值为（　　） A．5 B．5 C．5 D．10 【答案】B 【解答】解：∵原矩形的长为25，宽为x， ∴小矩形的长为x，宽为5， ∵小矩形与原矩形相似， ∴， 解得：x＝5或﹣5（舍去）， 故选：B． 过 关 验 收 1．已知2a＝3b（b≠0），则下列比例式中正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：A、，则2a＝3b，故正确，符合题意； B、，则3a＝2b，故错误，不符合题意； C、，则ab＝6，故错误，不符合题意； D、，则3a＝2b，故错误，不符合题意． 故选：A． 2．已知3a＝4b（a，b均不为0），则下列比例式中正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：A、∵， ∴3b＝4a， 故A不符合题意； B、∵， ∴4b＝3a， 故B符合题意； C、∵， ∴ab＝12， 故C不符合题意； D、∵， ∴4a＝3b， 故D不符合题意； 故选：B． 3．若，则的值为 　　 ． 【答案】 【解答】解：∵， ∴ab， ∴． 故答案为：． 4．若3，则的值为 　　 ． 【答案】4 【解答】解：∵， ∴， 故答案为：4 5．已知，则　 ． 【答案】 【解答】解：∵， ∴3a＝2b， ∴ba， ∴． 故答案为：． 6．如果（b+d≠0），那么 　　 ． 【答案】． 【解答】解：∵， ∴． 故答案为：． 7．若，则 　 ． 【答案】 【解答】解：∵， ∴xy， ∴． 故答案为：． 8．若3，且b+d+f＝4，则a+c+e＝　　 ． 【答案】12． 【解答】解：由可得， ∵b+d+f＝4， ∴a+c+e＝12， 故答案为：12． 9．已知，则的值是　 ． 【答案】． 【解答】解：设 a＝2k，b＝3k，c＝4k（k≠0），代入 得： 分子：2×2k+3k﹣4k＝4k+3k﹣4k＝3k， 分母：2k+2×3k+4k＝2k+6k+4k＝12k， 所以 ； 故答案为：． 10．已知，且2x+3y﹣z＝18，求x+y+z的值． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：设k，则x＝2k，y＝3k，z＝4k， ∵2x+3y﹣z＝18， ∴4k+9k﹣4k＝18， ∴k＝2， ∴x＝4，y＝6，z＝8， ∴x+y+z＝4+6+8＝18． 11．已知a、b、c分别是△ABC的三条边的边长，且a：b：c＝5：7：8，3a﹣2b+c＝9，求△ABC的周长． 【答案】20． 【解答】解：设a＝5k，b＝7k，c＝8k， 代入3a﹣2b+c＝9得， 15k﹣14k+8k＝9， 解得：k＝1， 则a＝5，b＝7，c＝8， 所以△ABC的周长是：5+7+8＝20． 12．已知，求的值． 【答案】． 【解答】解：设t，则x＝4t，y＝6t，z＝7t， 所以原式． 13．若线段a，b，c，d是成比例线段，且a＝2cm，b＝4cm，c＝3cm，则d＝（　　） A．6cm B． C．1.5cm D．3cm 【答案】A 【解答】解：∵线段a，b，c，d是成比例线段， ∴a：b＝c：d， 即2：4＝3：d， 解得d＝6（cm）． 故选：A． 14．下列各组线段是成比例线段的是（　　） A．2，3，4，5 B．2，4，6，12 C．3，6，8，12 D．2，4，6，8 【答案】B 【解答】解：在四条线段中，如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段， A、2×5≠3×4，故A选项不符合题意； B、2×12＝4×6，故B选项符合题意； C、3×12≠6×8，故C选项不符合题意； D、2×8≠4×6，故D选项不符合题意． 故选：B． 15．下列各组线段中，能够组成比例的是（　　） A．a＝2，，c＝3，d＝6 B．a＝2，b＝4，c＝6，d＝8 C．a＝1，，c＝2， D．a＝100，b＝20，c＝4，d＝1 【答案】C 【解答】解：A、，故此选项中四条线段不成比例，不符合题意； B、2×8≠6×4，故此选项中四条线段不成比例，不符合题意； C、，故此选项中四条线段成比例，符合题意； D、100×1≠4×20，故此选项中四条线段不成比例，不符合题意， 故选：C． 16．已知a、b、c、d是成比例线段，其中a＝3，b＝6，c＝2，则d＝　　 ． 【答案】4． 【解答】解：由题知， 因为a、b、c、d是成比例线段， 所以ad＝bc． 因为a＝3，b＝6，c＝2， 所以3×d＝6×2， 解得d＝4． 故答案为：4． 17．已知线段a、b、c满足a：b：c＝3：2：4，且a+2b+c＝33． （1）求a、b、c的值； （2）若线段x是线段a、b的比例中项，求x的值． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵a：b：c＝3：2：4， ∴可以假设a＝3k，b＝2k，c＝4k， ∵a+2b+c＝33， ∴3k+4k+4k＝33， ∴k＝3， ∴a＝9，b＝6，c＝12； （2）由题意x2＝ab＝54， ∴x＝3（负根已经舍去）． 18．已知线段a、b、c满足，且a+2b+c＝26．求a、b、c的值． 【答案】a＝6，b＝4，c＝12． 【解答】解：∵线段a、b、c满足， ∴设，则a＝3k，b＝2k，c＝6k． ∵a+2b+c＝26， ∴3k+2×2k+6k＝26， 解得k＝2， ∴a＝3×2＝6，b＝2×2＝4，c＝6×2＝12． 19．书面装裱，是指为书画配上衬纸、卷轴以便张贴、欣赏和收藏，是我国具有民族传统的一门特殊艺术，如图，一幅书画在装裱前的大小是1.2m×0.8m，装裱后，上、下、左、右边衬的宽度分别是am、bm、cm、dm，若装裱后AB与AD的比是16：10，且a＝b，c＝d，c＝2a，求a的值． 【答案】a的值为0.1m． 【解答】解：∵AB＝1.2+c+d＝1.2+2c＝1.2+4a，AD＝0.8+a+b＝0.8+2a， ∴， ∴a＝0.1， 经检验a＝0.1是原方程的解． ∴a的值为0.1m． 20．已知线段a，b，c满足，且a+b+c＝30． （1）求线段a，b，c的长； （2）若线段k是线段a，b的比例中项，求线段k的长． 【答案】（1）a＝6，b＝15，c＝9； （2）3． 【解答】解：（1）设，则a＝2k，b＝5k，c＝3k， 又a+b+c＝30， ∴2k+5k+3k＝30， 解得k＝3， ∴a＝2k＝2×3＝6，b＝5k＝5×3＝15，c＝3k＝3×3＝9，即a＝6，b＝15，c＝9； （2）∵线段k是线段a，b的比例中项， ∴k2＝ab＝6×15＝90， 解得或（舍去）， ∴线段． 21．如图，网格中小正方形的边长均为1，阴影部分图形分别记作甲、乙、丙、丁，其中是相似图形的为（　　） A．甲和乙 B．丙和丁 C．乙和丙 D．甲和丁 【答案】D 【解答】解：观察可得：甲和丁对应角相等，对应边成比例，且形状相同，大小不同， 故选：D． 22．下列说法中错误的是（　　） A．所有等边三角形都相似 B．和同一个三角形相似的两个三角形也相似 C．所有菱形都相似 D．所有的正方形都相似 【答案】C 【解答】解：A、∵等边三角形的角都为60°，∴所有等边三角形都相似，故不符合题意； B、相似三角形对应角相等，则和同一个三角形相似的两个三角形也相似，故不符合题意； C、菱形的对应角不一定相等，则所有菱形不一定相似，故符合题意； D、∵正方形的每个内角都为90°，∴所有的正方形都相似，故不符合题意， 故选：C． 23．下列说法正确的个数有（　　） ①所有正方形都相似； ②所有的矩形都相似； ③所有的菱形都相似； ④所有的等腰三角形都相似． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【解答】解：①所有正方形都相似，故此选项符合题意； ②所有的矩形都相似，矩形对应边不一定成比例，故此选项不合题意； ③所有的菱形都相似，菱形对应角不一定相等，故此选项不合题意； ④所有的等腰三角形都相似，等腰对应边不一定成比例，对应角不一定相等，故此选项不合题意． 故选：A． 24．甲说：将三角形各边向内平移1个单位并适当缩短，得到如图1所示的图形，变化前后的两个三角形相似． 乙说：将矩形（长和宽不相等）各边向内平移1个单位并适当缩短，得到如图2所示的图形，变化前后的两个矩形相似． 对于两人的观点，下列说法正确的是（　　） A．两人都对 B．两人都不对 C．甲对，乙不对 D．甲不对，乙对 【答案】C 【解答】解：∵三角形边长改变后对应比值仍相等，且对应角相等， ∴变化前后的两个三角形相似． ∵矩形对应边外平移1个单位后，对应边的比值不一定相等， ∴变化前后的两个矩形不相似， 故选：C． 25．下列说法不正确的是（　　） A．含30°角的直角三角形与含60°角的直角三角形是相似的 B．所有的矩形是相似的 C．所有边数相等的正多边形是相似的 D．所有的等边三角形都是相似的 【答案】B 【解答】解：A、两三角形对应角相等，故相似； B、所有的矩形的对应角相等，对应边的比不相等，故不相似； C、所有边数相等的正多边形相似的； D、所有的等边三角形都相似． 故选：B． 26．秋天红透的枫叶，总能牵动人们无尽的思绪，所以诗人杜牧说：“停车坐爱枫林晚，霜叶红于二月花”如图是两片形状相同的枫叶图案，则x的值为 　　 ． 【答案】11 【解答】解：由两个枫叶图案相似， 可得， 解得x＝11， 即x的值为11． 故答案为：11． 27．同学们可能听说过斐波那契数列和黄金分割，现在我们就用所学的二次根式、二次方程和相似形等知识探究以下问题． （1）数列：1，1，2，3，5，8，13，…，记第n项为an，那么（其中n≥1）． ①试求a10＝　　 ，连续三项an、an+1、an+2的关系是an+2＝an+an+1 ； ②当n非常大时，前一项与后一项的比值变化非常小，，几乎相等．设这个比值为x，请列出方程，并化成一元二次方程（不必解方程）； （2）在矩形ABCD中，AB＜AD，点E、F在边AD和BC上，四边形EFCD是正方形，已知矩形BFEA与矩形ABCD相似，设比值为x，求x的值（结果保留根号）； （3）在等腰△ABC中，AB＝AC，如果，（x与上面（2）中的一致），那么猜一猜∠A＝　　 度，然后完成推算过程．（提示：可以以点C为圆心，CB长为半径画弧交AB于点D，连接CD） 【答案】（1）①55，an+an+1；②，x2+x﹣1＝0； （2）； （3）36， 由，不妨设BC＝x，AB＝1， 又AB＝AC， 故AB＝AC＝1， 以点C为圆心，CB长为半径画弧交AB于点D，连接CD， 根据题意，CD＝BC＝x， 又BD＝AB﹣AD＝1﹣AD，且x与上面（2）中的一致， ∴， ∴， ∴AD＝x， ∴AD＝CD＝BC， ∴∠A＝∠ACD，∠B＝∠BDC， 又∠BDC＝∠A+∠ACD＝2∠A， ∴∠B＝∠ACB＝2∠A， ∴∠A+2∠A+2∠A＝180°， 解得∠A＝36°． 【解答】解：（1）①1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89， 故a10＝55； 根据题意，得第n项为， ，， 故 ＝an+2， 故答案为：55；an+an+1． ②根据前面的解答，得知an+an+1＝an+2， 等式的两边同时除以an+1，得， 继续变形得：， 又， 故， 整理，得x2+x﹣1＝0． （2）设， 则， 在矩形ABCD中， 得AB＝CD，AD＝BC， 又四边形EFCD是正方形， 故EF＝FC＝CD＝DE， 故AB＝EF＝FC＝CD＝DE， 故， 又矩形BFEA与矩形ABCD相似， 故， ∴， ∴， ∴， 整理，得x2+x﹣1＝0， 解得， ∴，（舍去）， 经检验，是分式方程的根， 故x的值为． （3）由，不妨设BC＝x，AB＝1， 又AB＝AC， 故AB＝AC＝1， 以点C为圆心，CB长为半径画弧交AB于点D，连接CD， 根据题意，CD＝BC＝x， 又BD＝AB﹣AD＝1﹣AD，且x与上面（2）中的一致， ∴， ∴， ∴AD＝x， ∴AD＝CD＝BC， ∴∠A＝∠ACD，∠B＝∠BDC， 又∠BDC＝∠A+∠ACD＝2∠A， ∴∠B＝∠ACB＝2∠A， ∴∠A+2∠A+2∠A＝180°， 解得∠A＝36°， 故答案为：36． 28．如图，已知矩形ABCD中，AB＝3，BE＝2，EF⊥BC．若四边形EFDC与四边形BEFA相似而不全等，则CE＝（　　） A．3 B．3.5 C．4 D．4.5 【答案】D 【解答】解：设CE＝x， ∵四边形EFDC与四边形BEFA相似， ∴， ∵AB＝3，BE＝2，EF＝AB， ∴， 解得：x＝4.5， 故选：D． 29．如图，已知▱ABCD∽▱EMFC，点E在边CD的延长线上，点F在边BC的延长线上，AB＝4，BC＝6，且∠A＝130°． （1）求∠M的度数； （2）若ME＝3，求DE的长． 【答案】（1）50°； （2）． 【解答】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠B＝180°﹣∠A＝180°﹣130°＝50°， ∵▱ABCD∽▱EMFC， ∴∠M＝∠B＝50°； 故答案为：50； （2）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC，AB＝CD ∵▱ABCD∽▱EMFC， ∴ ∵AB＝4，BC＝6，ME＝3， ∴， ∴， ∴． 30．综合与实践 学校组织“数学文化节”，启航小组承担了校园宣传栏主题展板的设计任务，活动报告如下： 活动任务 设计数学文化节展板 成员 组长：×××组员：×××，×××，××× 基本信息 有两张标准矩形KT板（一种制作展板的常用材料），尺寸为120cm×240cm． 版面规划 用矩形ABCD（AB＜BC）表示整张KT板． 展板一：如图1，在展板上下边缘各留宽为acm的空白，左右边缘各留宽为bcm的空白，中间（即矩形EFGH）为图案区域． 展板二：如图2，在展板上下边缘各留宽为acm的空白，左右边缘各留宽为bcm的空白，中间部分纵向分割成四个全等的矩形图案区域，且每相邻两个矩形区域之间的间隔均为bcm． 问题解决 确定版面图案区域的具体信息，如下：… （1）根据版面规划，若展板一中a＝10，且图案区域与整块展板相似（即矩形EFGH∽矩形ABCD），求b的值； （2）根据版面规划，若展板二中的四个矩形图案区域都与整块展板相似（如矩形MNGH∽矩形ABCD），则的值为　　 ． 【答案】（1）20； （2）． 【解答】解：（1）由题意得AB＝120cm，AD＝240cm． ∵矩形EFGH∽矩形ABCD， ∴， ∵a＝10， ∴EF＝AB﹣2a＝120﹣10×2＝100cm． ∵EH＝AD﹣2b＝（240﹣2b）cm， ∴， 解得b＝20． 答：b的值为20． （2）∵矩形MNGH∽矩形ABCD， ∴， ∴， ∵AD＝240cm，AB＝120cm， ∴， 由图可得，， ∴， ， ﹣4a＝﹣5b， ， 故答案为：． 31．如图，已知四边形ABCD∽四边形A1B1C1D1，求x，y和∠C1． 【答案】∠C1＝75°，x＝24，y＝28． 【解答】解：∵四边形ABCD∽四边形A1B1C1D1， ∴∠A＝∠A1＝70°，∠D＝∠D1＝85°， ∵∠B1＝130°， ∴∠C1＝360°﹣∠A1﹣∠B1﹣∠D1＝75°， ∵四边形ABCD∽四边形A1B1C1D1， ∴， 解得：x＝24，y＝28． 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.1 相似多边形 内 容 导 航 题型1 比例的性质 题型2 比例线段 题型3 相似图形 题型4 相似多边形的性质 考 点 演 练 题型1 比例的性质 解｜题｜知｜识 （1）比例的基本性质：组成比例的四个数，叫做比例的项．两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项． （2）常用的性质有： ①内项之积等于外项之积．若，则ad＝bc． ②合比性质．若，则． ③分比性质．若，则． ④合分比性质．若，则． ⑤等比性质．若（b+d+…+n≠0），则． 【典例1】如果5m＝6n（n≠0），那么下列比例式成立的是（　　） A． B． C． D． 【变式1】已知，则下列结论一定正确的是（　　） A．x＝2，y＝3 B．2x＝3y C． D． 【变式2】已知，那么下列等式中，不一定正确的是（　　） A． B．2x＝3y C． D． 【变式3】若2x＝3y，则的值为（　　） A． B． C． D． 题型2 比例线段 解｜题｜知｜识 （1）对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如 a：b＝c：d（即ad＝bc），我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段． （2）判定四条线段是否成比例，只要把四条线段按大小顺序排列好，判断前两条线段之比与后两条线段之比是否相等即可，求线段之比时，要先统一线段的长度单位，最后的结果与所选取的单位无关系． 【典例1】下面四组线段中不能成比例线段的是（　　） A．3、6、2、4 B．4、6、8、10 C．1、、、 D．、、2、 【变式1】下列各组中的四条线段a，b，c，d是成比例线段的是（　　） A．a＝1，b＝1，c＝1，d＝5 B．a＝2，，， C．a＝1，，，d＝8 D．，b＝3，c＝2，d＝8 【变式2】已知a，b，c，d是成比例线段，其中a＝2cm，b＝1cm，c＝8cm，则线段d的长为（　　） A．3cm B．4cm C．5cm D．11cm 【变式3】下列各组中的四条线段成比例的是（　　） A．4cm、2cm、1cm、3cm B．2cm、3cm、5cm、6cm C．1cm、2cm、20cm、40cm D．25cm、35cm、45cm、55cm 题型3 相似图形 解｜题｜知｜识 （1）相似图形 我们把形状相同的图形称为相似图形． （2）相似图形在现实生活中应用非常广泛，对于相似图形，应注意： ①相似图形的形状必须完全相同； ②相似图形的大小不一定相同； ③两个物体形状相同、大小相同时它们是全等的，全等是相似的一种特殊情况． （3）相似三角形 对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形． 【典例1】湖南望城剪纸是国家级非物质文化遗产，内容淳朴秀美，具有浓郁的生活气息．剪纸艺人常为不同用途（如窗花、礼品装饰）创作同款“鲤鱼跃龙门”图案，其造型完全一致，仅整体尺寸根据需求放大或缩小，这体现了数学中（　　） A．图形的平移 B．图形的轴对称 C．图形的相似 D．图形的旋转 【变式1】下列各选项中内外两个图形，是相似图形的为（　　） A． B． C． D． 【变式2】湖南望城剪纸是国家级非物质文化遗产，内容淳朴秀美，具有浓郁的生活气息．剪纸艺人常为不同用途（如窗花、礼品装饰）创作同款“鲤鱼跃龙门”图案，其造型完全一致，仅整体尺寸根据需求放大或缩小，这体现了数学中（　　） A．图形的平移 B．图形的轴对称 C．图形的相似 D．图形的旋转 【变式3】在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下： 甲：将邻边边长为5和8的矩形按图①的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形相似． 乙：将边长5、12、13的三角形按图②的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距为1，则新三角形与原三角形相似． 对于两人的观点，下列说法正确的是（　　） A．两人都对 B．两人都不对 C．甲对、乙不对 D．甲不对，乙对 题型4 相似多边形的性质 解｜题｜知｜识 （1）如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，则这两个多边形是相似多边形． （2）相似多边形对应边的比叫做相似比． （3）全等多边形的相似比为1或相似比为1的相似多边形是全等形． （4）相似多边形的性质为： ①对应角相等； ②对应边的比相等． 【典例1】如图，四边形ABCD∽四边形A'B'C'D'，AB⊥BC，∠A＝80°，∠D'＝55°，则∠C的度数为（　　） A．125° B．135° C．115° D．120° 【变式1】若两个相似六边形的面积比为1：4，则它们的相似比为（　　） A．2：1 B．1：2 C．1：4 D．4：1 【变式2】在书香校园文化建设中，某班制作了一块1.8m×0.8m的长方形成果展板，其成本是a元．在每平方米制作成本相同的情况下，若将此展板的四边都扩大到原来的1.2倍，那么扩大后长方形展板的成本是（　　） A．2.4a元 B．1.2a元 C．1.44a元 D．1.728a元 【变式3】矩形相邻的两边长分别为25和x（x＜25），把它按如图所示的方式分割成五个全等的小矩形，每一个小矩形均与原矩形相似，则x的值为（　　） A．5 B．5 C．5 D．10 过 关 验 收 1．已知2a＝3b（b≠0），则下列比例式中正确的是（　　） A． B． C． D． 2．已知3a＝4b（a，b均不为0），则下列比例式中正确的是（　　） A． B． C． D． 3．若，则的值为 　　 ． 4．若3，则的值为 　　 ． 5．已知，则　 ． 6．如果（b+d≠0），那么 　　 ． 7．若，则 　 ． 8．若3，且b+d+f＝4，则a+c+e＝　　 ． 9．已知，则的值是　 ． 10．已知，且2x+3y﹣z＝18，求x+y+z的值． 11．已知a、b、c分别是△ABC的三条边的边长，且a：b：c＝5：7：8，3a﹣2b+c＝9，求△ABC的周长． 12．已知，求的值． 13．若线段a，b，c，d是成比例线段，且a＝2cm，b＝4cm，c＝3cm，则d＝（　　） A．6cm B． C．1.5cm D．3cm 14．下列各组线段是成比例线段的是（　　） A．2，3，4，5 B．2，4，6，12 C．3，6，8，12 D．2，4，6，8 15．下列各组线段中，能够组成比例的是（　　） A．a＝2，，c＝3，d＝6 B．a＝2，b＝4，c＝6，d＝8 C．a＝1，，c＝2， D．a＝100，b＝20，c＝4，d＝1 16．已知a、b、c、d是成比例线段，其中a＝3，b＝6，c＝2，则d＝　　 ． 17．已知线段a、b、c满足a：b：c＝3：2：4，且a+2b+c＝33． （1）求a、b、c的值； （2）若线段x是线段a、b的比例中项，求x的值． 18．已知线段a、b、c满足，且a+2b+c＝26．求a、b、c的值． 19．书面装裱，是指为书画配上衬纸、卷轴以便张贴、欣赏和收藏，是我国具有民族传统的一门特殊艺术，如图，一幅书画在装裱前的大小是1.2m×0.8m，装裱后，上、下、左、右边衬的宽度分别是am、bm、cm、dm，若装裱后AB与AD的比是16：10，且a＝b，c＝d，c＝2a，求a的值． 20．已知线段a，b，c满足，且a+b+c＝30． （1）求线段a，b，c的长； （2）若线段k是线段a，b的比例中项，求线段k的长． 21．如图，网格中小正方形的边长均为1，阴影部分图形分别记作甲、乙、丙、丁，其中是相似图形的为（　　） A．甲和乙 B．丙和丁 C．乙和丙 D．甲和丁 22．下列说法中错误的是（　　） A．所有等边三角形都相似 B．和同一个三角形相似的两个三角形也相似 C．所有菱形都相似 D．所有的正方形都相似 23．下列说法正确的个数有（　　） ①所有正方形都相似； ②所有的矩形都相似； ③所有的菱形都相似； ④所有的等腰三角形都相似． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 24．甲说：将三角形各边向内平移1个单位并适当缩短，得到如图1所示的图形，变化前后的两个三角形相似． 乙说：将矩形（长和宽不相等）各边向内平移1个单位并适当缩短，得到如图2所示的图形，变化前后的两个矩形相似． 对于两人的观点，下列说法正确的是（　　） A．两人都对 B．两人都不对 C．甲对，乙不对 D．甲不对，乙对 25．下列说法不正确的是（　　） A．含30°角的直角三角形与含60°角的直角三角形是相似的 B．所有的矩形是相似的 C．所有边数相等的正多边形是相似的 D．所有的等边三角形都是相似的 26．秋天红透的枫叶，总能牵动人们无尽的思绪，所以诗人杜牧说：“停车坐爱枫林晚，霜叶红于二月花”如图是两片形状相同的枫叶图案，则x的值为 　　 ． 27．同学们可能听说过斐波那契数列和黄金分割，现在我们就用所学的二次根式、二次方程和相似形等知识探究以下问题． （1）数列：1，1，2，3，5，8，13，…，记第n项为an，那么（其中n≥1）． ①试求a10＝　　 ，连续三项an、an+1、an+2的关系是an+2＝an+an+1 ； ②当n非常大时，前一项与后一项的比值变化非常小，，几乎相等．设这个比值为x，请列出方程，并化成一元二次方程（不必解方程）； （2）在矩形ABCD中，AB＜AD，点E、F在边AD和BC上，四边形EFCD是正方形，已知矩形BFEA与矩形ABCD相似，设比值为x，求x的值（结果保留根号）； （3）在等腰△ABC中，AB＝AC，如果，（x与上面（2）中的一致），那么猜一猜∠A＝　　 度，然后完成推算过程．（提示：可以以点C为圆心，CB长为半径画弧交AB于点D，连接CD） 28．如图，已知矩形ABCD中，AB＝3，BE＝2，EF⊥BC．若四边形EFDC与四边形BEFA相似而不全等，则CE＝（　　） A．3 B．3.5 C．4 D．4.5 29．如图，已知▱ABCD∽▱EMFC，点E在边CD的延长线上，点F在边BC的延长线上，AB＝4，BC＝6，且∠A＝130°． （1）求∠M的度数； （2）若ME＝3，求DE的长． 30．综合与实践 学校组织“数学文化节”，启航小组承担了校园宣传栏主题展板的设计任务，活动报告如下： 活动任务 设计数学文化节展板 成员 组长：×××组员：×××，×××，××× 基本信息 有两张标准矩形KT板（一种制作展板的常用材料），尺寸为120cm×240cm． 版面规划 用矩形ABCD（AB＜BC）表示整张KT板． 展板一：如图1，在展板上下边缘各留宽为acm的空白，左右边缘各留宽为bcm的空白，中间（即矩形EFGH）为图案区域． 展板二：如图2，在展板上下边缘各留宽为acm的空白，左右边缘各留宽为bcm的空白，中间部分纵向分割成四个全等的矩形图案区域，且每相邻两个矩形区域之间的间隔均为bcm． 问题解决 确定版面图案区域的具体信息，如下：… （1）根据版面规划，若展板一中a＝10，且图案区域与整块展板相似（即矩形EFGH∽矩形ABCD），求b的值； （2）根据版面规划，若展板二中的四个矩形图案区域都与整块展板相似（如矩形MNGH∽矩形ABCD），则的值为　　 ． 31．如图，已知四边形ABCD∽四边形A1B1C1D1，求x，y和∠C1． 学科网（北京）股份有限公司 $