第三章-图形的相似-平行线分线段成比例 讲义 2026--2027学年北师大版九年级数学上册

本讲义聚焦“平行线分线段成比例”核心知识点，先从线段的比、成比例线段明确概念及判断方法，再学习比例的基本性质、合分比性质、等比性质，最后探究平行线分线段成比例定理及其推论，构建从概念到性质再到定理应用的完整学习支架。 资料特色在于融合数学眼光、思维与语言，通过钓鱼岛地图比例尺、影长测量等现实情境培养抽象能力与几何直观，典例分析和分层练习（课堂狙击、中考真题）提升推理能力，规范比例式书写与图形变形强化数学表达。课中助力教师系统授课，课后帮助学生巩固知识、查漏补缺，提升应用意识。

学科教师辅导讲义 学员编号： 年 级：九年级 课 时 数：3 学员姓名： 辅导科目：数 学 学科教师： 授课主题 平行线分线段成比例 授课类型 T同步课堂 P实战演练 S归纳总结 教学目标 1 掌握比例的性质及其简单应用； 2 结合现实情境感受学习线段的比的必要性，借助几何直观了解线段的比和成比例线段； 3 探索并掌握基本事实“两直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例”及其推论； 4 进一步体会由特殊到一般的归纳推理的思想和方法。 授课日期及时段 T（Textbook-Based）——同步课堂 ( 体系搭建 ) 1、 知识框架 2、 知识概念 （一）线段的比 如果选用同一个长度单位量得两条线段AB，CD的长度分别是m，n，那么这两条线段的比就是它们长度的比，即AB：CD=m：n，或写成=，其中AB，CD分别叫做这个线段比的前项和后项。 1.确定两条线段的比的关键是两条线段的长度单位要统一 2.两条线段的比值是长度比，所以结果是正数，没有单位 3.图上距离与实际长度的比值通常称为比例尺 （二）成比例线段 四条线段a，b，c，d中，如果a与b的比等于c与d的比，即＝，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段． 1. 四条线段a，b，c，d成比例，只能记作＝ 或a：b=c：d，不能写成其他形式。四条线段成比例时，一定要将这四条线段按顺序写出。 2.判断给定的四条线段是否成比例的方法 （1）排：先将四条线段的长度统一单位，再按大小顺序排列好； （2）算：分别求出前两条线段的长度之比与后两条线段的长度之比； （3）判：若这两个比相等，则这四条线段是成比例线段，否则不是。 （三）比例的性质 1.基本性质：如果＝，那么ad＝bc；如果＝，那么b2=a c，b叫做a、 c 的比例中项 2.合分比性质：如果＝，那么＝ 3.等比性质：如果＝＝…＝(b＋d＋…＋n≠0)，那么＝. （四）平行线分线段成比例定理 1.两条直线被一组平行线所截，所得的线段成比例。 2.如右图所示，所得的对应线段成比例的有：= ，，等等。 3.所得的线段必须是对应的，否则不成比例。 4.平行线段分线段成比例定理的常见变形如下图所示： （五）平行线分线段成比例定理的推论 平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例。 1.一定要注意三边的对应的关系，不要写错 2.平行于三角形的一边的直线可以与三角形的两边相交，也可以与三角形的两边的延长线相交，如下图所示，若DE∥BC，则有 　　　　　　　　　 ( 典例分析 ) 考点一：线段的比 例1、已知a＝0.2，b＝1.6，c＝4，d＝，则下列各式中正确的是(　　) A．a∶b＝c∶d B．a∶c＝d∶b C．a∶b＝d∶c D．b∶a＝d∶c 【解析】C 例2、2013版《中华人民共和国全图》在左下角特别配有一幅放大的钓鱼岛插图，比例尺为1∶1 500 000，已知钓鱼岛东西方长约3.5公里，则在地图上的东西方长约为(　　) A．0.002 3 cm B．0.23 cm C．4.29 cm D．0.042 9 cm 【解析】B 考点二：成比例线段 例1、已知点P是线段AB上的点，且AP∶PB＝1∶2，则AP∶AB＝____． 【解析】1∶3 例2、已知a，b，c，d四条线段依次成比例，其中a＝3 cm，b＝(x－1)cm，c＝5 cm，d＝(x＋1)cm.求x的值． 【解析】依题意，得＝，解得x＝4，经检验，x＝4是原方程的解，∴x＝4　 例3、在同一时刻，身高1.6米的小强在阳光下的影长为0.8米，一棵大树的影长为4.8米，则这棵树的高度为____米． 【解析】9.6 考点三：比例的性质 例1、将式子ab＝cd(a，b，c，d都不等于0)写成比例式，错误的是(　　) A. ＝ B.＝ C.＝ D.＝ 【解析】D 例2、若a∶b＝2∶3，则下列式子一定成立的是(　　) A．2a＝3b B．b－a＝1 C.＝ D.＝ 【解析】D 例3、已知＝＝＝(b＋d＋f≠0)，则＝____． 【解析】 考点四：平行线分线段成比例定理及其推论 例1、如图，l1∥l2∥l3，下列比例式错误的是(　　) A.＝　　　 B.＝ C.＝ D.＝ 【解析】D 例2、如图，直线l1∥l2∥l3，已知AG＝0.6 cm，BG＝1.2 cm，CD＝1.5 cm， 则CH＝____cm. 【解析】0.5 例3、如图，已知AB∥CD，下列结论不成立的是(　　) A.＝ B.＝ C.＝ D.＝ （第3题图)　　 （第4题图) 【解析】D 例4、如图，在三角形ABC中，点E，F分别是AB，AC边上的点，且有EF∥BC，如果＝，则＝(　　) A. 　　　　B.　　　　C.　　　　D. 【解析】C 例5、如图，D为△ABC的BC边的中点，E为AC边上的一点，AC=3CE，BE和AD交于G点，则AG：GD=（） A．2 B．3 C．3或4 D．4 【解析】过点D作DF∥AC，交BE于F，由D为△ABC的BC边的中点，根据平行线分线段成比例定理， 即可得，又由AC=3CE，即可得=4．此题难度适中，解题的关键是准确作出辅助线，注意对应线段的对应关系． P(Practice-Oriented)——实战演练 ( 第 3 题 ) ( 实战演练 ) · 课堂狙击 1、已知＝，则下列式子中正确的是(　　) A．a∶b＝c2∶d2 B．a∶b＝d∶c C．a∶b＝(a＋c)∶(b＋d) D．a∶b＝(a－d)∶(b－d) 【解析】C 2、两条直角边为6和8的直角三角形斜边与斜边上的高之比为(　　) A．3∶4 B．4∶3 C．25∶12 D．12∶25 【解析】C 3、如图，已知在△ABC中，点D，E，F分别是边AB，AC，BC上的点，DE∥BC，EF∥AB，且AD∶DB＝3∶5，那么CF∶CB等于(　　) A．5∶8　　 　B．3∶8　　　 C．3∶5　　　 D．2 ( 第 5 题 ) ( 第 4 题 ) 【解析】A 4、如图，已知直线l1∥l2∥l3，直线AC和DF分别与l1，l2，l3相交于点A，B，C和点D，E，F，如果AB＝1，EF＝3，那么下列各式中，正确的是(　　) A．BC∶DE＝3 B．BC∶DE＝1∶3 C．BC·DE＝3 D．BC·DE＝ 【解析】C 5、如图，在△ABC中，已知MN∥BC，DN∥MC.小红同学由此得出了以下四个结论： ①＝；②＝；③＝；④＝.其中正确结论的个数为(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【解析】C 6、已知三条线段的长分别为1 cm，2 cm， cm，如果另外一条线段与它们是成比例线段，试求出另外一条线段的长． 【解析】设另一条线段长为x cm，有三种情况：①1×2＝x，解得x＝；②2×＝1·x，解得x＝2；③1×＝2x，解得x＝.综上所述，另外一条线段的长是2 cm或 cm或 cm　 7、若＝＝，且2a－b＋3c＝21.试求a∶b∶c. 【解析】令＝＝＝m，则a＋2＝3m，b＝4m，c＋5＝6m，∴a＝3m－2，b＝4m，c＝6m－5.∵2a－b＋3c＝21，∴2(3m－2)－4m＋3(6m－5)＝21，即20m＝40，解得m＝2，∴a＝3m－2＝4，b＝4m＝8，c＝6m－5＝7.∴a∶b∶c＝4∶8∶7　 8、如图，l1∥l2∥l3，＝，DF＝15，则DE＝____，EF＝____． 【解析】6，9 9、如图，△ABC中有菱形AMPN，如果 ＝，那么＝____． 【解析】 10、如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，DE⊥BC于点E.AD＝5，DB＝10，CE＝4.求DE，AC的长度． 【解析】∵∠C＝90°，DE⊥BC，∴DE∥AC.∴＝，即＝.∴BE＝8. 由勾股定理可得DE＝6.BC＝BE＋CE＝8＋4＝12，AB＝BD＋AD＝10＋5＝15， 由勾股定理可得AC＝9　 · 课后反击 1、若2a＝3b＝4c，且abc≠0，则的值是(　　) A．2　　　B．－2　　　C．3　　　　D．－3 【解析】B 2、已知线段a，b，c，求作线段x使ax＝bc，下列每个图中的两条虚线都是平行线，则作法正确的是(　　) 【解析】A 3、已知△ABC的三边长分别为a，b，c，且(a－c)∶(a＋b)∶(c－b)＝－2∶7∶1，则△ABC是(　 　) A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【解析】C 4、已知线段a，b，c，且＝＝. (1)求的值； (2)若线段a，b，c满足a＋b＋c＝27，求a，b，c的值． 【解析】(1)∵＝，∴＝，∴＝　 (2)设＝＝＝k，则a＝2k，b＝3k，c＝4k， ∵a＋b＋c＝27，∴2k＋3k＋4k＝27， ∴k＝3，∴a＝6，b＝9，c＝12　 5、如图所示，若点P在线段AB上，点Q在线段AB的延长线上，AB＝10，＝＝，求线段PQ的长． 【解析】设AP＝3x，BP＝2x.∵AB＝10，∴AB＝AP＋BP＝3x＋2x＝5x，即5x＝10. ∴x＝1.∴AP＝6，BP＝4.∵＝，∴可设BQ＝y，则AQ＝AB＋BQ＝10＋y. ∴＝.解得y＝20.∴PQ＝PB＋BQ＝4＋20＝24 6、如图，已知AD∥BE∥CF，它们依次交直线l1，l2于点A，B，C和点D，E，F，如果AB＝6，BC＝8，DF＝21，求DE的长． 【解析】设DE为x，则EF＝21－x，∵AD∥BE∥CF，∴＝，即＝. 解得x＝9，经检验，x＝9是原分式方程的解，∴DE＝9　 7、如图，点E是▱ABCD的边AB延长线上的一点，DE交BC于点F，＝， EF＝2，BF＝1.5.求DF，BC的长． 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴＝，∴＝， ∴DF＝又∵CD∥BE，∴＝，∴＝，∴CF＝4.5，∴BC＝FC＋BF＝6　 8、如图，点E为AC的中点，点F在AB上，且AF∶AB＝2∶5，FE与BC的延长线交于点D，求EF∶ED的值． 【解析】作EG∥BC交AB于点G，∵点E为AC的中点，EG∥BC， ∴AG＝BG，又∵AF∶AB＝2∶5，即AF∶FB＝2∶3， ∴FG∶BG＝0.5∶2.5＝1∶5， 又∵EG∥BC，∴＝， 即EF∶ED＝1∶5 ( 直击中考 ) 1、【牡丹江】若x：y=1：3，2y=3z，则的值是（　　） A． ﹣5 B．﹣ C． D．5 【解析】A 2、【山西】若互不相等的四条线段的长a、b、c、d满足，m是任意实数，则下列各式中，一定成立的是（　　） A． B． C． D． 【解析】D 3、【成都】如图，在△ABC中，DE∥BC，AD=6，DB=3，AE=4， 则EC的长为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【解析】B 4、【嘉兴】如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交l1，l2，l3于点A，B，C；直线DF分别交l1，l2，l3于点D，E，F．AC与DF相交于点H，且AH=2，HB=1，BC=5，则的值为（　　） 第4题 第5题 A. B．2 C． D． 【解析】D 5、【淄博】如图，直线l1∥l2∥l3，一等腰直角三角形ABC的三个顶点A，B，C分别在l1，l2，l3上，∠ACB=90°，AC交l2于点D，已知l1与l2的距离为1，l2与l3的距离为3，则的值为（　　） A． B． C． D． 【解析】A 6、【兰州】如果===k（b+d+f≠0），且a+c+e=3（b+d+f），那么k=　　　　　　． 【解析】3 7、【大庆】已知=，则的值为　　　　　　． 【解析】﹣． 8、【毕节地区】已知，则k的值是　　　　　　． 【解析】2或﹣1． 9、【扬州】如图，练习本中的横格线都平行，且相邻两条横格线间的距离都相等，同一条直线上的三个点A、B、C都在横格线上．若线段AB=4cm， 则线段BC=　　　　　　cm． 【解析】12． 10、【河北】已知，求的值． 【解析】设=k，则x=3k，y=4k，z=6k， ∴=． S(Summary-Embedded)——归纳总结 ( 重点回顾 ) 如果＝，那么ad＝bc.如果ad＝bc(a，b，c，d都不等于0)，那么____． 如果＝，那么＝.如果＝＝…＝(b＋d＋…＋n≠0)，那么____. ( 名师点拨 ) 平行线分线段成比例是相似三角形证明的基础，要掌握平行线分线段的性质，便于相似三角形的学习。 ( 学霸经验 ) · 本节课我学到了 · 我需要努力的地方是 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 学科教师辅导讲义 学员编号： 年 级：九年级 课 时 数：3 学员姓名： 辅导科目：数 学 学科教师： 授课主题 平行线分线段成比例 授课类型 T同步课堂 P实战演练 S归纳总结 教学目标 1 掌握比例的性质及其简单应用； 2 结合现实情境感受学习线段的比的必要性，借助几何直观了解线段的比和成比例线段； 3 探索并掌握基本事实“两直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例”及其推论； 4 进一步体会由特殊到一般的归纳推理的思想和方法。 授课日期及时段 T（Textbook-Based）——同步课堂 ( 体系搭建 ) 1、 知识框架 2、 知识概念 （一）线段的比 如果选用同一个长度单位量得两条线段AB，CD的长度分别是m，n，那么这两条线段的比就是它们长度的比，即AB：CD=m：n，或写成=，其中AB，CD分别叫做这个线段比的前项和后项。 1.确定两条线段的比的关键是两条线段的长度单位要统一 2.两条线段的比值是长度比，所以结果是正数，没有单位 3.图上距离与实际长度的比值通常称为比例尺 （二）成比例线段 四条线段a，b，c，d中，如果a与b的比等于c与d的比，即＝，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段． 1. 四条线段a，b，c，d成比例，只能记作＝ 或a：b=c：d，不能写成其他形式。四条线段成比例时，一定要将这四条线段按顺序写出。 2.判断给定的四条线段是否成比例的方法 （1）排：先将四条线段的长度统一单位，再按大小顺序排列好； （2）算：分别求出前两条线段的长度之比与后两条线段的长度之比； （3）判：若这两个比相等，则这四条线段是成比例线段，否则不是。 （三）比例的性质 1.基本性质：如果＝，那么ad＝bc；如果＝，那么b2=a c，b叫做a、 c 的比例中项 2.合分比性质：如果＝，那么＝ 3.等比性质：如果＝＝…＝(b＋d＋…＋n≠0)，那么＝. （四）平行线分线段成比例定理 1.两条直线被一组平行线所截，所得的线段成比例。 2.如下图所示，所得的对应线段成比例的有：= ，，等等。 3.所得的线段必须是对应的，否则不成比例。 4.平行线段分线段成比例定理的常见变形如下图所示： （五）平行线分线段成比例定理的推论 平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例。 1.一定要注意三边的对应的关系，不要写错 2.平行于三角形的一边的直线可以与三角形的两边相交，也可以与三角形的两边的延长线相交，如下图所示，若DE∥BC，则有 　　　　　　　　　 ( 典例分析 ) 考点一：线段的比 例1、已知a＝0.2，b＝1.6，c＝4，d＝，则下列各式中正确的是(　　) A．a∶b＝c∶d B．a∶c＝d∶b C．a∶b＝d∶c D．b∶a＝d∶c 例2、2013版《中华人民共和国全图》在左下角特别配有一幅放大的钓鱼岛插图，比例尺为1∶1 500 000，已知钓鱼岛东西方长约3.5公里，则在地图上的东西方长约为(　　) A．0.002 3 cm B．0.23 cmC．4.29 cm D．0.042 9 cm 考点二：成比例线段 例1、已知点P是线段AB上的点，且AP∶PB＝1∶2，则AP∶AB＝____． 例2、已知a，b，c，d四条线段依次成比例，其中a＝3 cm，b＝(x－1)cm，c＝5 cm，d＝(x＋1)cm.求x的值． 例3、在同一时刻，身高1.6米的小强在阳光下的影长为0.8米，一棵大树的影长为4.8米，则这棵树的高度为____米． 考点三：比例的性质 例1、将式子ab＝cd(a，b，c，d都不等于0)写成比例式，错误的是(　　) A. ＝ B.＝ C.＝ D.＝ 例2、若a∶b＝2∶3，则下列式子一定成立的是(　　) A．2a＝3b B．b－a＝1 C.＝ D.＝ 例3、已知＝＝＝(b＋d＋f≠0)，则＝____． 考点四：平行线分线段成比例定理及其推论 例1．如图，l1∥l2∥l3，下列比例式错误的是(　　) A.＝　　　 B.＝ C.＝ D.＝ 例2、如图，直线l1∥l2∥l3，已知AG＝0.6 cm，BG＝1.2 cm，CD＝1.5 cm， 则CH＝____cm. 例3、如图，已知AB∥CD，下列结论不成立的是(　　) A.＝ B.＝ C.＝ D.＝ 例4、如图，在三角形ABC中，点E，F分别是AB，AC边上的点，且有EF∥BC， 如果＝，则＝(　　) A. 　　　　B.　　　　C.　　　　D. 例5、如图，D为△ABC的BC边的中点，E为AC边上的一点，AC=3CE，BE和AD交于G点，则AG：GD=（ ） A．2 B．3 C．3或4 D．4 P(Practice-Oriented)——实战演练 ( 第 3 题 ) ( 实战演练 ) · 课堂狙击 1、已知＝，则下列式子中正确的是(　　) A．a∶b＝c2∶d2 B．a∶b＝d∶c C．a∶b＝(a＋c)∶(b＋d) D．a∶b＝(a－d)∶(b－d) 2、两条直角边为6和8的直角三角形斜边与斜边上的高之比为(　　) A．3∶4 B．4∶3 C．25∶12 D．12∶25 3、如图，已知在△ABC中，点D，E，F分别是边AB，AC，BC上的点，DE∥BC，EF∥AB，且AD∶DB＝3∶5，那么CF∶CB等于(　　) A．5∶8　　 　B．3∶8　　　 C．3∶5　　　 D．2 4、如图，已知直线l1∥l2∥l3，直线AC和DF分别与l1，l2，l3相交于点A，B，C 和点D，E，F，如果AB＝1，EF＝3，那么下列各式中，正确的是(　　) A．BC∶DE＝3 B．BC∶DE＝1∶3 C．BC·DE＝3 D．BC·DE＝ 5、如图，在△ABC中，已知MN∥BC，DN∥MC.小红同学由此得出了以下四个结论： ①＝；②＝；③＝；④＝.其中正确结论的个数为(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6、已知三条线段的长分别为1 cm，2 cm， cm，如果另外一条线段与它们是成比例线段，试求出另外一条线段的长． 7、若＝＝，且2a－b＋3c＝21.试求a∶b∶c. 8、如图，l1∥l2∥l3，＝，DF＝15，则DE＝____，EF＝____ ( 第 9 题 ) ( 第 8 题 )9、如图，△ABC中有菱形AMPN，如果 ＝，那么＝____． 10、如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，DE⊥BC于点E.AD＝5，DB＝10，CE＝4.求DE，AC的长度． · 课后反击 1、若2a＝3b＝4c，且abc≠0，则的值是(　　) A．2　　　B．－2　　　C．3　　　　D．－3 2、已知线段a，b，c，求作线段x使ax＝bc，下列每个图中的两条虚线都是平行线，则作法正确的是(　　) 3、已知△ABC的三边长分别为a，b，c，且(a－c)∶(a＋b)∶(c－b)＝－2∶7∶1，则△ABC是(　 　) A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 4、已知线段a，b，c，且＝＝. (1)求的值； (2)若线段a，b，c满足a＋b＋c＝27，求a，b，c的值． 5、如图所示，若点P在线段AB上，点Q在线段AB的延长线上，AB＝10，＝＝，求线段PQ的长． 6、如图，已知AD∥BE∥CF，它们依次交直线l1，l2于点A，B，C和点D，E，F，如果AB＝6，BC＝8，DF＝21，求DE的长 7、如图，点E是▱ABCD的边AB延长线上的一点，DE交BC于点F，＝，EF＝2，BF＝1.5.求DF，BC的长． 8、如图，点E为AC的中点，点F在AB上，且AF∶AB＝2∶5，FE与BC的延长线交于点D，求EF∶ED的值． ( 直击中考 ) 1、【牡丹江】若x：y=1：3，2y=3z，则的值是（　　） A． ﹣5 B．﹣ C． D．5 2、【成都】如图，在△ABC中，DE∥BC，AD=6，DB=3，AE=4， 则EC的长为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 3、【嘉兴】如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交l1，l2，l3于点A，B，C；直线DF分别交l1，l2，l3于点D，E，F．AC与DF相交于点H，且AH=2，HB=1，BC=5，则的值为（　　） 第4题 第5题 A. B．2 C． D． 4、【淄博】如图，直线l1∥l2∥l3，一等腰直角三角形ABC的三个顶点A，B，C分别在l1，l2，l3上，∠ACB=90°，AC交l2于点D，已知l1与l2的距离为1，l2与l3的距离为3，则的值为（　　） A． B． C． D． 5、【兰州】如果===k（b+d+f≠0），且a+c+e=3（b+d+f），那么k=　　　　　　． 6、【大庆】已知=，则的值为　　　　　　． 7、【毕节地区】已知，则k的值是　　　　　　． 8、【扬州】如图，练习本中的横格线都平行，且相邻两条横格线间的距离都相等，同一条直线上的三个点A、B、C都在横格线上．若线段AB=4cm， 则线段BC=　　　　　　cm． 10、【河北】已知，求的值． S(Summary-Embedded)——归纳总结 ( 重点回顾 ) 如果＝，那么ad＝bc.如果ad＝bc(a，b，c，d都不等于0)，那么____．如果＝，那么＝.如果＝＝…＝(b＋d＋…＋n≠0)，那么____. ( 名师点拨 ) 平行线分线段成比例是相似三角形证明的基础，要掌握平行线分线段的性质，便于相似三角形的学习。 ( 学霸经验 ) · 本节课我学到了 · 我需要努力的地方是 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $