2.1 认识一元二次方程 同步讲义 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

本初中数学讲义聚焦一元二次方程的认识，系统梳理定义（含整式方程、一个未知数、最高次数2三个条件）、一般形式（ax²+bx+c=0，a≠0）及解的意义，构建从概念理解到形式转化再到应用判断的学习支架。 资料通过题型分类（定义、一般形式、解），结合解题知识解析、典例与变式训练，培养学生抽象能力（数学眼光）、运算能力（数学思维）和数据意识（数学语言）。课中辅助教师分层教学，课后助力学生通过过关验收查漏补缺，强化知识应用。

2.1 认识一元二次方程 内 容 导 航 题型1 一元二次方程的定义 题型2 一元二次方程的一般形式 题型3 一元二次方程的解 考 点 演 练 题型1 一元二次方程的定义 解｜题｜知｜识 （1）一元二次方程的定义： 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程． （2）概念解析： 一元二次方程必须同时满足三个条件： ①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数； ②只含有一个未知数； ③未知数的最高次数是2． （3）判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”． 【典例1】下列不是一元二次方程的是（　　） A．3x+2＝5x﹣3 B．x2＝4 C．2x﹣1＝x2 D．x2﹣4＝2（x+2）2 【变式1】下列方程是一元二次方程的是（　　） A．x+2＝1 B．x2+y＝2 C．2x2+x＝1 D． 【变式2】下列方程是一元二次方程的是（　　） A．x+2y＝1 B．x＝2x3﹣3 C．x2﹣2＝0 D．3x1 【变式3】下列方程中，一定是关于x的一元二次方程的是（　　） A．ax2+bx+c＝0 B．5x﹣2x2+7＝0 C．2y2﹣x﹣3＝0 D．mx2﹣2x＝x2+1 题型2 一元二次方程的一般形式 解｜题｜知｜识 （1）一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c＝0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式． 其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项．一次项系数b和常数项c可取任意实数，二次项系数a是不等于0的实数，这是因为当a＝0时，方程中就没有二次项了，所以，此方程就不是一元二次方程了． （2）要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式． 【典例1】将一元二次方程3x2﹣x＝2化成一般形式是（　　） A．3x2﹣x+2＝0 B．3x2+x﹣2＝0 C．﹣3x2﹣x+2＝0 D．3x2﹣x﹣2＝0 【变式1】一元二次方程2x2＝x+3的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　　） A．2，﹣1，﹣3 B．2，1，3 C．2，0，﹣3 D．2，0，3 【变式2】一元二次方程x2﹣5x+2＝0的二次项系数为1，则一次项系数和常数项分别为（　　） A．5，2 B．5，﹣2 C．﹣5，2 D．﹣5，﹣2 【变式3】将一元二次方程2x2+1＝5x化为一般形式后，常数项是1，则二次项系数和一次项系数分别是（　　） A．2、﹣5 B．2、5 C．2、1 D．2x2、﹣5x 题型3 一元二次方程的解 解｜题｜知｜识 （1）一元二次方程的解（根）的意义： 能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根． （2）一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解．这x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量． ax12+bx1+c＝0（a≠0），ax22+bx2+c＝0（a≠0）． 【典例1】已知α、β是方程x2﹣2x﹣4＝0的两个实数根，则α3+8β+6的值为（　　） A．﹣1 B．2 C．22 D．30 【变式1】若关于x的一元二次方程x2+mx﹣3＝0的一个根是x＝1，则m的值为（　　） A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2 【变式2】如果2是方程x2﹣cx+2＝0的一个根，那么c的值是（　　） A．3 B．2 C．﹣2 D．﹣3 【变式3】根据下列表格的对应值： x 1 1.1 1.2 1.3 x2+12x﹣15 ﹣2 ﹣0.59 0.84 2.29 由此可判断方程x2+12x﹣15＝0必有一个根满足（　　） A．1＜x＜1.1 B．1.1＜x＜1.2 C．1.2＜x＜1.3 D．x＞1.3 过 关 验 收 1．下列方程一定是关于x的一元二次方程的是（　　） A． B．5x2﹣6y﹣3＝0 C．ax2﹣x+2＝0 D．（a2+1）x2+bx+c＝0 2．下列等式中，是一元二次方程的是（　　） A．x2+3＝﹣2x B．x+3＝﹣2x C．x+3＝﹣2y D． 3．下列方程中，关于x的一元二次方程是（　　） A． B．3x2+x＝20 C．ax2+bx+c＝0 D．x2+2x＝x2﹣1 4．若关于x的方程是一元二次方程，则m的值是（　　） A．0 B．﹣1 C．1 D．±1 5．下列方程中是一元二次方程的是（　　） A．（x+3）（x﹣2）＝x B． C．ax2+bx+c＝0 D．x3+x2+1＝0 6．下列方程中，一定是一元二次方程的是（　　） A． B．（x+2）（2x﹣1）＝2x2 C．5x2﹣1＝0 D．ax2+bx+c＝0（a，b，c为常数） 7．下列方程中，关于x的一元二次方程有（　　） ①x2＝0；②；③；④（x+1）2＝x2﹣9；⑤． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 8．已知关于x的方程是一元二次方程，则m＝　　 ． 9．关于x的方程x2﹣6x+3＝0，下列说法错误的是（　　） A．二次项系数为1 B．一次项系数为﹣6 C．常数项为0 D．它是一元二次方程 10．将一元二次方程（x+a）2＝b，化成x2﹣8x﹣5＝0的形式，则a，b的值分别是（　　） A．﹣4，21 B．﹣4，11 C．4，21 D．﹣8，69 11．关于x的一元二次方程x2﹣6x＝7的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（　　） A．1，﹣6，7 B．1，6，﹣7 C．1，6，7 D．1，﹣6，﹣7 12．一元二次方程3x2+2＝﹣6x化成一般形式后二次项系数为3，则一次项系数和常数项分别是（　　） A．﹣6，2 B．6，2 C．﹣6x，2 D．6x，2 13．对于一元二次方程2x2+1＝3x，下列说法错误的是（　　） A．二次项系数是2 B．一次项系数是3 C．常数项是1 D．x＝1是它的一个根 14．将方程7x﹣3＝2x2化为一般形式后，常数项为3，则一次项系数为（　　） A．7 B．﹣7 C．7x D．﹣7x 15．若关于x的一元二次方程（m+2）x2+x+m2﹣4＝0的常数项等于0，则m的值为 　　 ． 16．将一元二次方程5x2﹣6＝3x化成一般形式后，若二次项的系数是5，则一次项的系数是　 　 ． 17．一元二次方程2x2﹣3x+2＝4的常数项是　 　 ． 18．将一元二次方程（x﹣2）（2x+1）＝x2﹣4化为一般形式是 　 ． 19．关于x的一元二次方程2x2﹣3x﹣a＝0的一个根为1，则（a，3）在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 20．若x＝1是方程x2+mx+1＝0的一个解，则m的值为（　　） A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2 21．如表是代数式x2+12x﹣15的部分值的情况． x 1.1 1.2 1.3 1.4 x2+12x﹣15 ﹣0.59 0.84 2.29 3.76 根据表格中的数据，则关于方程x2+12x﹣15＝0的一个正根x1的判断正确的是（　　） A．x1＜1.1 B．1.1＜x1＜1.2 C．1.2＜x1＜1.3 D．1.3＜x1＜1.4 22．已知关于x的一元二次方程x2+mx﹣3＝0的一个根为1，则m＝　　 ． 23．若m是方程x2﹣3x﹣1＝0的一个根，则﹣2m2+6m+19的值为 　　 ． 24．定义：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足a﹣b+c＝0，那么我们称这个方程为“黄金方程”． （1）下列方程中：①x2＝1；②（x﹣1）（x+2）＝0；③x2﹣2x﹣3＝0，是黄金方程的为　 　 （填序号）． （2）已知3x2﹣ax+b＝0是关于x的黄金方程，若x＝a是此黄金方程的一个根，求a的值． （3）已知关于x的一元二次方程2x2+bx+c＝0（c≠0）是“黄金方程”，求代数式b2﹣2c+1的最小值． 25．已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0，如果a，b，c满足3a﹣2b+c＝0，我们就称这个一元二次方程为美妙方程． （1）判断方程2x2﹣x﹣8＝0是否为美妙方程，并说明理由． （2）已知关于x的美妙方程ax2+2x+c＝0的一个根是﹣1，求这个美妙方程． 26．有人说：“数学是思维的体操”，运用和掌握必要的“数学思想”和“数学方法”是学习数学的重要法宝． 阅读下列例题： 设a3+a﹣1＝0，求a3+a+2018的值． 解：由a3+a﹣1＝0得a3+a＝1， 代入，有a3+a+2018＝1+2018＝2019（整体代入或换元思想） 试一试：当a是一元二次方程x2﹣2018x+1＝0的一个根时， 求：的值． 27．已知关于x的一元二次方程x2+5x﹣m＝0的一个根是2，求方程的另一个根． 28．如果x＝1是一元二次方程x2+bx﹣3＝0的一个解，求另外一个解和b值． 29．先化简，再求值：，其中m满足方程m2+3m+1＝0． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.1 认识一元二次方程 内 容 导 航 题型1 一元二次方程的定义 题型2 一元二次方程的一般形式 题型3 一元二次方程的解 考 点 演 练 题型1 一元二次方程的定义 解｜题｜知｜识 （1）一元二次方程的定义： 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程． （2）概念解析： 一元二次方程必须同时满足三个条件： ①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数； ②只含有一个未知数； ③未知数的最高次数是2． （3）判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”． 【典例1】下列不是一元二次方程的是（　　） A．3x+2＝5x﹣3 B．x2＝4 C．2x﹣1＝x2 D．x2﹣4＝2（x+2）2 【答案】A 【解答】解：A．3x+2＝5x﹣3是一元一次方程，符合题意； B．x2＝4是一元二次方程，不符合题意； C．2x﹣1＝x2是一元二次方程，不符合题意； D．x2﹣4＝2（x+2）2是一元二次方程，不符合题意． 故选：A． 【变式1】下列方程是一元二次方程的是（　　） A．x+2＝1 B．x2+y＝2 C．2x2+x＝1 D． 【答案】C 【解答】解：A、是一元一次方程，故此选项不符合题意； B、含有两个未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； C、是一元二次方程，故此选项符合题意； D、不是整式方程，故此选项不符合题意； 故选：C． 【变式2】下列方程是一元二次方程的是（　　） A．x+2y＝1 B．x＝2x3﹣3 C．x2﹣2＝0 D．3x1 【答案】C 【解答】解：A．是二元一次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； B．是一元三次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； C．是一元二次方程，故本选项符合题意； D．是分式方程，不是整式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； 故选：C． 【变式3】下列方程中，一定是关于x的一元二次方程的是（　　） A．ax2+bx+c＝0 B．5x﹣2x2+7＝0 C．2y2﹣x﹣3＝0 D．mx2﹣2x＝x2+1 【答案】B 【解答】解：A、当a＝0时，不是一元二次方程，故本选项错误； B、符合一元二次方程的定义，故本选项正确； C、是二元二次方程，故本选项错误； D、当m＝1时，是一元一次方程，故本选项错误． 故选：B． 题型2 一元二次方程的一般形式 解｜题｜知｜识 （1）一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c＝0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式． 其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项．一次项系数b和常数项c可取任意实数，二次项系数a是不等于0的实数，这是因为当a＝0时，方程中就没有二次项了，所以，此方程就不是一元二次方程了． （2）要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式． 【典例1】将一元二次方程3x2﹣x＝2化成一般形式是（　　） A．3x2﹣x+2＝0 B．3x2+x﹣2＝0 C．﹣3x2﹣x+2＝0 D．3x2﹣x﹣2＝0 【答案】D 【解答】解：将原方程整理得3x2﹣x﹣2＝0； 故选：D． 【变式1】一元二次方程2x2＝x+3的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　　） A．2，﹣1，﹣3 B．2，1，3 C．2，0，﹣3 D．2，0，3 【答案】A 【解答】解：2x2＝x+3化为一般形式为2x2﹣x﹣3＝0， 2x2﹣x﹣3＝0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是：2，﹣1，﹣3． 故选：A． 【变式2】一元二次方程x2﹣5x+2＝0的二次项系数为1，则一次项系数和常数项分别为（　　） A．5，2 B．5，﹣2 C．﹣5，2 D．﹣5，﹣2 【答案】C 【解答】解：由题意可得：一次项系数为﹣5，常数项为2， 故选：C． 【变式3】将一元二次方程2x2+1＝5x化为一般形式后，常数项是1，则二次项系数和一次项系数分别是（　　） A．2、﹣5 B．2、5 C．2、1 D．2x2、﹣5x 【答案】A 【解答】解：2x2+1＝5x， 移项得：2x2﹣5x+1＝0， 此时常数项为1， 二次项系数为：2，一次项系数为：﹣5， 故选：A． 题型3 一元二次方程的解 解｜题｜知｜识 （1）一元二次方程的解（根）的意义： 能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根． （2）一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解．这x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量． ax12+bx1+c＝0（a≠0），ax22+bx2+c＝0（a≠0）． 【典例1】已知α、β是方程x2﹣2x﹣4＝0的两个实数根，则α3+8β+6的值为（　　） A．﹣1 B．2 C．22 D．30 【答案】D 【解答】解：∵α、β是方程x2﹣2x﹣4＝0的两个实数根， ∴α+β＝2，α2﹣2α﹣4＝0， ∴α2＝2α+4 ∴α3+8β+6＝α•α2+8β+6 ＝α•（2α+4）+8β+6 ＝2α2+4α+8β+6 ＝2（2α+4）+4α+8β+6 ＝8α+8β+14 ＝8（α+β）+14＝30， 故选：D． 【变式1】若关于x的一元二次方程x2+mx﹣3＝0的一个根是x＝1，则m的值为（　　） A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2 【答案】C 【解答】解：把x＝1代入方程x2+mx﹣3＝0得1+m﹣3＝0， 解得m＝2． 故选：C． 【变式2】如果2是方程x2﹣cx+2＝0的一个根，那么c的值是（　　） A．3 B．2 C．﹣2 D．﹣3 【答案】A 【解答】解：∵2是方程x2﹣cx+2＝0的一个根， ∴22﹣2c+2＝0， 解得c＝3， 故选：A． 【变式3】根据下列表格的对应值： x 1 1.1 1.2 1.3 x2+12x﹣15 ﹣2 ﹣0.59 0.84 2.29 由此可判断方程x2+12x﹣15＝0必有一个根满足（　　） A．1＜x＜1.1 B．1.1＜x＜1.2 C．1.2＜x＜1.3 D．x＞1.3 【答案】B 【解答】解：∵x＝1.1时，x2+12x﹣15＝﹣0.59＜0， x＝1.2时，x2+12x﹣15＝0.84＞0， ∴1.1＜x＜1.2时，x2+12x﹣15＝0， 即方程x2+12x﹣15＝0必有一个解x满足1.1＜x＜1.2， 故选：B． 过 关 验 收 1．下列方程一定是关于x的一元二次方程的是（　　） A． B．5x2﹣6y﹣3＝0 C．ax2﹣x+2＝0 D．（a2+1）x2+bx+c＝0 【答案】D 【解答】解：A、选项方程是分式方程，不合题意； B、选项方程含有2个未知数，不合题意； C、选项方程没有说明a的取值，不合题意； D、选项方程是只含有一个未知数，且未知数的最高次项的次数为2，系数不为0的整式方程，符合题意， 故选：D． 2．下列等式中，是一元二次方程的是（　　） A．x2+3＝﹣2x B．x+3＝﹣2x C．x+3＝﹣2y D． 【答案】A 【解答】解：A．x2+3＝﹣2x是一元二次方程，故本选项符合题意； B．x+3＝﹣2x是一元一次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； C．x+3＝﹣2y含有2个未知数，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； D．含有分式不是一元二次方程，故本选项不符合题意． 故选：A． 3．下列方程中，关于x的一元二次方程是（　　） A． B．3x2+x＝20 C．ax2+bx+c＝0 D．x2+2x＝x2﹣1 【答案】B 【解答】解：A．该选项的方程是分式方程，故本选项不符合题意； B．3x2+x＝20，是一元二次方程，故本选项符合题意； C．当a＝0时，ax2+bx+c＝0不是一元二次方程，故本选项不符合题意； D．x2+2x＝x2﹣1整理可得2x+1＝0，是一元一次方程，故本选项不合题意． 故选：B． 4．若关于x的方程是一元二次方程，则m的值是（　　） A．0 B．﹣1 C．1 D．±1 【答案】C 【解答】解：∵关于x的方程是一元二次方程， ∴m2+1＝2且m+1≠0， 解得：m＝1， 故选：C． 5．下列方程中是一元二次方程的是（　　） A．（x+3）（x﹣2）＝x B． C．ax2+bx+c＝0 D．x3+x2+1＝0 【答案】A 【解答】解：A．（x+3）（x﹣2）＝x，整理得：x2﹣6＝0，该方程是一元二次方程，故A符合题意； B．该方程不是整式方程，则该方程不是一元二次方程，故B不符合题意； C．若a≠0，则ax2+bx+c＝0是一元二次方程；若a＝0，则ax2+bx+c＝0不是一元二次方程，故C不符合题意； D．该方程未知数最高次数是3，则该方程不是一元二次方程，故D不符合题意． 故选：A． 6．下列方程中，一定是一元二次方程的是（　　） A． B．（x+2）（2x﹣1）＝2x2 C．5x2﹣1＝0 D．ax2+bx+c＝0（a，b，c为常数） 【答案】C 【解答】解：A、是分式方程，不是整式方程，故不是一元二次方程，不符合题意； B、（x+2）（2x﹣1）＝2x2可变形为3x﹣2＝0，不是一元二次方程，不符合题意； C、5x2﹣1＝0符合一元二次方程的定义，正确，符合题意； D、ax2+bx+c＝0（a，b，c为常数），当a＝0时，不是一元二次方程，不符合题意． 故选：C． 7．下列方程中，关于x的一元二次方程有（　　） ①x2＝0；②；③；④（x+1）2＝x2﹣9；⑤． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【解答】解：①x2＝0是一元二次方程，符合题意； ②不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意； ③是一元二次方程，符合题意； ④（x+1）2＝x2﹣9，整理得2x+1＝﹣9，不是一元二次方程，不符合题意； ⑤，当m＝1时，原方程不是一元二次方程，不符合题意． 故①③是一元二次方程，共2个， 故选：A． 8．已知关于x的方程是一元二次方程，则m＝　　 ． 【答案】2． 【解答】解：∵关于x的方程是一元二次方程， ∴， 解得：m＝2． 故答案为：2． 9．关于x的方程x2﹣6x+3＝0，下列说法错误的是（　　） A．二次项系数为1 B．一次项系数为﹣6 C．常数项为0 D．它是一元二次方程 【答案】C 【解答】解：A、关于x的方程x2﹣6x+3＝0，二次项系数为1，说法正确； B、关于x的方程x2﹣6x+3＝0，一次项系数为﹣6，说法正确； C、关于x的方程x2﹣6x+3＝0，常数项为3，说法错误； D、关于x的方程x2﹣6x+3＝0，它是一元二次方程，说法正确； 故选：C． 10．将一元二次方程（x+a）2＝b，化成x2﹣8x﹣5＝0的形式，则a，b的值分别是（　　） A．﹣4，21 B．﹣4，11 C．4，21 D．﹣8，69 【答案】A 【解答】解：（x+a）2＝b， 则x2+2ax+a2＝b， ∴x2+2ax+a2﹣b＝0， 由题意得：2a＝﹣8，a2﹣b＝﹣5， 解得：a＝﹣4，b＝21， 故选：A． 11．关于x的一元二次方程x2﹣6x＝7的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（　　） A．1，﹣6，7 B．1，6，﹣7 C．1，6，7 D．1，﹣6，﹣7 【答案】D 【解答】解：方程整理得：x2﹣6x﹣7＝0， 则二次项系数、一次项系数、常数项分别为1，﹣6，﹣7． 故选：D． 12．一元二次方程3x2+2＝﹣6x化成一般形式后二次项系数为3，则一次项系数和常数项分别是（　　） A．﹣6，2 B．6，2 C．﹣6x，2 D．6x，2 【答案】B 【解答】解：整理得：3x2+6x+2＝0， 方程的一次项系数和常数项分别是6，2． 故选：B． 13．对于一元二次方程2x2+1＝3x，下列说法错误的是（　　） A．二次项系数是2 B．一次项系数是3 C．常数项是1 D．x＝1是它的一个根 【答案】B 【解答】解：方程化为一般式为2x2﹣3x+1＝0， 二次项系数为2，一次项系数为﹣3，常数项为1， ∵x＝1时，左边＝3，右边＝3， ∴左边＝右边， ∴x＝1是方程的根， 故选：B． 14．将方程7x﹣3＝2x2化为一般形式后，常数项为3，则一次项系数为（　　） A．7 B．﹣7 C．7x D．﹣7x 【答案】B 【解答】解：由7x﹣3＝2x2，得2x2﹣7x+3＝0， 所以一次项系数是﹣7， 故选：B． 15．若关于x的一元二次方程（m+2）x2+x+m2﹣4＝0的常数项等于0，则m的值为 　　 ． 【答案】2． 【解答】解：根据题意，得 m2﹣4＝0， 解得，m＝±2； 又∵二次项系数m+2≠0，即m≠﹣2， ∴m＝2； 故答案为：2． 16．将一元二次方程5x2﹣6＝3x化成一般形式后，若二次项的系数是5，则一次项的系数是　 　 ． 【答案】﹣3． 【解答】解：5x2﹣6＝3x， 5x2﹣3x﹣6＝0， 其一次项为﹣3x，它的系数是﹣3． 故答案为：﹣3． 17．一元二次方程2x2﹣3x+2＝4的常数项是　 　 ． 【答案】﹣2． 【解答】解：方程整理成一般式为2x2﹣3x﹣2＝0， 故答案为：﹣2． 18．将一元二次方程（x﹣2）（2x+1）＝x2﹣4化为一般形式是 　 ． 【答案】x2﹣3x+2＝0 【解答】解：（x﹣2）（2x+1）＝x2﹣4， 则2x2﹣4x+x﹣2＝x2﹣4， 整理得：x2﹣3x+2＝0， 故答案为：x2﹣3x+2＝0． 19．关于x的一元二次方程2x2﹣3x﹣a＝0的一个根为1，则（a，3）在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【解答】解：由条件可得：2×1﹣3﹣a＝0， ∴a＝﹣1， ∴（﹣1，3）在第二象限． 故选：B． 20．若x＝1是方程x2+mx+1＝0的一个解，则m的值为（　　） A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2 【答案】D 【解答】解：∵x＝1是方程x2+mx+1＝0的一个解， ∴1+m+1＝0，解得m＝﹣2， 故选：D． 21．如表是代数式x2+12x﹣15的部分值的情况． x 1.1 1.2 1.3 1.4 x2+12x﹣15 ﹣0.59 0.84 2.29 3.76 根据表格中的数据，则关于方程x2+12x﹣15＝0的一个正根x1的判断正确的是（　　） A．x1＜1.1 B．1.1＜x1＜1.2 C．1.2＜x1＜1.3 D．1.3＜x1＜1.4 【答案】B 【解答】解：由表可知，当x＝1.1时，x2+12x﹣15＜0，当x＝1.2时，x2+12x﹣15＞0， ∴x2+12x﹣15＝0正根x1的范围是1.1＜x1＜1.2； 故选：B． 22．已知关于x的一元二次方程x2+mx﹣3＝0的一个根为1，则m＝　　 ． 【答案】2． 【解答】解：把x＝1代入方程x2+mx﹣3＝0得1+m﹣3＝0， 解得m＝2． 故答案为2． 23．若m是方程x2﹣3x﹣1＝0的一个根，则﹣2m2+6m+19的值为 　　 ． 【答案】17． 【解答】解：∵m是方程x2﹣3x﹣1＝0的一个根， ∴m2﹣3m﹣1＝0， 即m2﹣3m＝1． ∴﹣2m2+6m+19 ＝﹣2（m2﹣3m）+19 ＝﹣2×1+19 ＝﹣2+19 ＝17． 故答案为：17． 24．定义：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足a﹣b+c＝0，那么我们称这个方程为“黄金方程”． （1）下列方程中：①x2＝1；②（x﹣1）（x+2）＝0；③x2﹣2x﹣3＝0，是黄金方程的为　 　 （填序号）． （2）已知3x2﹣ax+b＝0是关于x的黄金方程，若x＝a是此黄金方程的一个根，求a的值． （3）已知关于x的一元二次方程2x2+bx+c＝0（c≠0）是“黄金方程”，求代数式b2﹣2c+1的最小值． 【答案】（1）①③； （2）a＝﹣1或； （3）4． 【解答】解：（1）①x2＝1是黄金方程，理由： ∵x2＝1， ∴x2﹣1＝0， ∴a＝1，b＝0，c＝﹣1 ∴a﹣b+c＝1﹣0﹣1＝0， ∴x2＝1是黄金方程； ②（x﹣1）（x+2）＝0不是黄金方程，理由： ∵（x﹣1）（x+2）＝0， ∴x2+x﹣2＝0， ∴a＝1，b＝1，c＝﹣2， ∴a﹣b+c＝1﹣1﹣2＝﹣2≠0， 故（x﹣1）（x+2）＝0不是黄金方程； ③x2﹣2x﹣3＝0是黄金方程， ∴a＝1，b＝﹣2，c＝﹣3， ∴a﹣b+c＝1﹣（﹣2）﹣3＝1+2﹣3＝0， ∴x2﹣2x﹣3＝0是黄金方程， 故答案为：①③； （2）由条件可知3+b﹣（﹣a）＝0， ∴b＝﹣a﹣3， ∴原方程为3x2﹣ax﹣a﹣3＝0， ∵a是此黄金方程的一个根， ∴3a2﹣a2﹣a﹣3＝0，即2a2﹣a﹣3＝0， ∴（a+1）（2a﹣3）＝0， 解得a＝﹣1或； （3）由条件可知2﹣b+c＝0， ∴c＝b﹣2， ∴b2﹣2c+1＝b2﹣2（b﹣2）+1＝b2﹣2b+1+4＝（b﹣1）2+4， ∵（b﹣1）2≥0， ∴（b﹣1）2+4≥4， ∴b2﹣2c+1的最小值为4． 25．已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0，如果a，b，c满足3a﹣2b+c＝0，我们就称这个一元二次方程为美妙方程． （1）判断方程2x2﹣x﹣8＝0是否为美妙方程，并说明理由． （2）已知关于x的美妙方程ax2+2x+c＝0的一个根是﹣1，求这个美妙方程． 【答案】（1）是美妙方程，理由见解析过程； （2）这个美妙方程为x2+2x+1＝0． 【解答】解：（1）是美妙方方程． ∵a＝2，b＝﹣1，c＝﹣8， ∴3a﹣2b+c＝6﹣（﹣2）+（﹣8）＝0． 故此方程为美妙方程． （2）将x＝﹣1代入原方程得， a﹣2+c＝0①， ∵此方程为美妙方方程， ∴3a﹣4+c＝0②， 由①②得， ∴这个美妙方程为x2+2x+1＝0． 26．有人说：“数学是思维的体操”，运用和掌握必要的“数学思想”和“数学方法”是学习数学的重要法宝． 阅读下列例题： 设a3+a﹣1＝0，求a3+a+2018的值． 解：由a3+a﹣1＝0得a3+a＝1， 代入，有a3+a+2018＝1+2018＝2019（整体代入或换元思想） 试一试：当a是一元二次方程x2﹣2018x+1＝0的一个根时， 求：的值． 【答案】2017． 【解答】解：由条件可知a2﹣2018a+1＝0， ∴a2+1＝2018a，a2﹣2017a＝a﹣1， ∴ ＝2018﹣1 ＝2017． 27．已知关于x的一元二次方程x2+5x﹣m＝0的一个根是2，求方程的另一个根． 【答案】﹣7． 【解答】解：由条件可得22+5×2﹣m＝0，解得m＝14， ∴原方程为x2+5x﹣14＝0， 解得x1＝﹣7，x2＝2， 故答案为：﹣7． 28．如果x＝1是一元二次方程x2+bx﹣3＝0的一个解，求另外一个解和b值． 【答案】另外一个解为x＝﹣3，b＝2． 【解答】解：由条件可得1+b﹣3＝0， 解得b＝2， 故一元二次方程为x2+2x﹣3＝0， 即（x+3）（x﹣1）＝0， 则另外一个解为x＝﹣3． 29．先化简，再求值：，其中m满足方程m2+3m+1＝0． 【答案】m（m+3）；﹣1． 【解答】解：原式 ＝m（m+3）， ∵m2+3m+1＝0， m2+3m＝﹣1， m（m+3）＝﹣1， 将m（m+3）＝﹣1代入得，m（m+3）＝﹣1． 学科网（北京）股份有限公司 $