2.1 认识一元二次方程（讲义）数学新教材北师大版九年级上册

本讲义聚焦一元二次方程的概念（含定义、一般式及二次项、一次项、常数项名称）和估算解（含解的定义、表格法、二分法），构建从基础概念到应用方法的学习支架。 特色在于“即学即练+题型分类（典例+变式）”设计，通过化一般形式步骤指导、参数范围逻辑推理培养运算能力与推理意识，估算根用表格数据逼近发展数据意识，课中辅助分层教学，课后助力查漏补缺。

第二章 一元二次方程 2.1 认识一元二次方程 知识点一 一元二次方程的概念 1.概念：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程。 2.一般式： 二次项：ax2；二次项系数a；一次项bx：一次项系数：b；常数项：c 即学即练 1.下列方程中，是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； B、不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意； C、只含一个未知数，未知数最高次数为2，且是整式方程，是一元二次方程，符合题意； D、未知数最高次数为1，是一元一次方程，不是一元二次方程，不符合题意. 2．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）下列方程是关于x的一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：选项中的未知数最高次数为， 不是一元二次方程； 选项中满足只含一个未知数，未知数最高次数为，且是整式方程， 是一元二次方程； 选项中整理方程得，未知数最高次数为， 不是一元二次方程； 选项中的未知数最高次数为， 不是一元二次方程． 故选：． 3．（25-26八年级下·安徽马鞍山·期末）一元二次方程的一次项系数是（     ） A．1 B．2 C．3 D． 【答案】D 【详解】解：∵一元二次方程为，对应一般形式可得， ∴一次项系数为． 4．（25-26八年级下·安徽六安·期末）将一元二次方程化成一般式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（     ） A．3，， B．3，，1 C．3，2，1 D．3，2， 【答案】D 【详解】解：将原方程移项整理为一般形式， 移项可得， 二次项系数为，一次项系数为，常数项为． 5．下列方程，是一元二次方程的有_________________________ ①，②，③，④． 【答案】①④/④① 【详解】解：只含有一个未知数，且未知数的最高次数为的整式方程是一元二次方程． ①，只含有一个未知数，未知数最高次数为，且是整式方程，符合一元二次方程的定义； ②，含有和两个未知数，不符合一元二次方程的定义； ③，分母中含有未知数，不符合一元二次方程的定义； ④，只含有一个未知数，未知数最高次数为，且是整式方程，符合一元二次方程的定义； 综上所述，是一元二次方程的有①④． 知识点二 估算一元二次方程的解 1.一元二次方程的解：使方程成立的未知数 x 的值。 2.估算一元二次方程的解的方法： （1）表格法：估计x的一个数值代入方程，根据结果选择合适的数值（有正有负在两个数之间部分取值，逐步逼近）代入，最终确定一个结果最接近0的x即可；先确定整数部分，再确定小数部分的十分位和百分位。 （2）二分法：①估计x的大致范围；②缩小x的范围：取第①步的中间值 即学即练 1．（25-26八年级上·福建福州·期末）已知代数式的值如下表，则关于的一元二次方程的根为(   ) A． B． C．或 D．或 【答案】C 【详解】解：当时，代数式的值为；当时，代数式的值也为， 方程的根为或． 故选：C． 2．（25-26九年级上·广东深圳·阶段检测）如表是某同学求代数式（a，b为常数）的值的情况．根据表格中数据，可知关于x的方程的实数根是（   ） x … 0 1 2 … … 6 2 0 0 2 … A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【详解】∵当时，； 当时，， ∴方程的实数根为，, 故选： A． 3．（25-26九年级上·安徽芜湖·期中）能使方程成立的x的值可以为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【详解】解：∵， ∴，因式分解得：， ∴或， ∴或， 故选：C． 题型01 化一元二次方程的一般形式 ·步骤：去分母（去括号）→ 移项（必须右边为0）→ 合并同类项 → 按降幂排列（ax2+bx+c=0）。 ·难点突破：若含分数或小数，先化整；去括号时谨防漏乘。一般形式只要求“右边为0”，不要刻意把a化为正数（除非题目要求）。 典｜例｜精｜析 1．（25-26八年级下·浙江宁波·期末）将一元二次方程化为一般形式，正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：原方程为， ∵展开方程左边，得， 合并同类项得， 移项整理为一般形式，两边同乘得 2．（25-26九年级上·安徽阜阳·期末）方程展开为一般形式后，一次项系数是（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】A 【难度】0.94 【分析】此题考查了一元二次方程的一般形式和系数，其一般形式为．方程整理为一般形式，确定出一次项系数即可． 【详解】解：方程整理得：， 则方程的一次项系数是． 故选：A． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级下·浙江杭州·期末）把一元二次方程化为一般形式，正确的是（） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵ 展开左边得 移项得 合并同类项得． 2．将一元二次方程化为一般形式是(        ) A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵原方程为 先去括号，可得 将所有项移到等号左侧，移项变号得 合并同类项得． 3．（25-26九年级上·广东江门·阶段检测）一元二次方程的一次项系数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解： ∴ ∵一元二次方程的一般形式为（），其中为一次项系数 ∴该方程的一次项系数是， 故选：D． 4．把一元二次方程化为一般形式为______________________ 【答案】 【详解】解：， ∴， ∴. 题型02 根据一元二次方程的定义求参数范围 ·核心——紧扣定义：①最高次数为2，②二次项系数≠0。 ·思路：先令指数含参的式子等于2，解出参数，再代回系数验证≠0。 ·难点突破： ①当指数是含参绝对值或多项式（如|m|+1=2）时，解出多个值，必须逐一回代；若系数本身含参（如m-1），②解出后要排除使系数为0的值； 典｜例｜精｜析 1．若关于x的方程是一元二次方程，则m的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：方程是一元二次方程， ∴且， 解得且， ∴． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·云南保山·期末）若关于x的方程是一元二次方程，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵关于x的方程是一元二次方程， ∴二次项系数， ∴， 故选：A． 2．方程是关于x的一元二次方程，n满足的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】∵方程是关于x的一元二次方程， ∴，即，解得或. 又∵二次项系数， ∴， ∴． 故选：D． 3．（25-26八年级下·安徽合肥·期末）若关于x的方程的一个根为，则实数a的值为（） A． B． C．1 D．4 【答案】C 【详解】解：∵是方程的根， ∴将代入原方程得：， 化简得， 解得． 题型03 估算一元二次方程的根 · 方法：利用连续逼近（二分法思想）。 ①若要求精确到0.1，就试到小数点后一位，保证区间两端值异号且区间长度≤0.1。 ②根可能在两个区间内（初中阶段通常只考唯一根估算）。 典｜例｜精｜析 1．（24-25九年级上·山西·阶段检测）根据下表得知估算一元二次方程的一个根的范围是（   ） x … … … … A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵当时，， 当时，， ∴一元二次方程的一个根的范围是， 故选：D． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·山西太原·阶段检测）我们可以通过不断缩小范围的方法求一元二次方程的近似解，即找出使方程成立的一个初始范围，在该范围内提高精确度，得到一个新的范围，再对新的范围进行操作．例如在求时，根据以下表格，可知道其中一个解的大致范围是（　　） x 1 1.1 1.2 1.3 1.4 98 99.41 100.84 102.29 103.76 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵方程， ∴． 由表格： 当时，， 当时，， ∴在和之间，值从99.41增加到100.84，必然经过100， ∴方程的一个解在范围内． 故选：B． 2．（25-26九年级上·黑龙江大庆·期中）根据下面表格中列出来的数据，你猜想方程有一个根大约是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵ 当时，； 当时，； ∴ 方程根在和之间． 故选：C 3．（25-26九年级上·山西太原·阶段检测）下列表格是关于代数式在取部分值时的对应情况． 1.1 1.2 1.3 1.4 0.84 2.29 3.76 请根据表格判断，关于方程的一个正根的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由表可知， 当时，， 当时，， ∴方程的一个根的范围是． 故选：B． 题型04 一元二次方程根的代入与整体思想 ·降次：将根x0代入得ax02+bx0+c=0，变形为x02 = -px0 - q； ·整体构造：若目标式含参（如求m的值），通常是将两个根代入后作差/加减，构造整体等式。 降次时只顾替换平方项，忘了乘上前面的系数；或者用x0粗暴代替x2时，符号写反。 典｜例｜精｜析 1．（25-26九年级上·河北石家庄·期中）已知一元二次方程，，，满足，，则一元二次方程的根为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【详解】解：∵一元二次方程，，，满足，， ∴当时，；当时，， ∴方程的根是，． 故选：D． 2．（25-26八年级上·上海黄浦·期中）若是方程的一个根，则代数式的值为______． 【答案】 【详解】解：是方程的一个根， ∴， ， ， 故答案为：． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级下·浙江温州·期中）若关于的一元二次方程中的，，满足，则方程必有根（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：当时，代入方程左边得： ， ， 满足方程，因此方程必有一根为． 2．（25-26八年级下·浙江宁波·期末）一元二次方程的一个解是，则的值是______． 【答案】 【详解】解：是一元二次方程的一个解， 满足一元二次方程， 将代入方程得， 整理得， 移项得． 3．（25-26八年级下·江苏淮安·期末）如果a是方程的一个实数根，则的值为________． 【答案】2027 【详解】解：∵a是方程的一个实数根， ∴， ∴， ∴． 4．（22-23八年级下·浙江丽水·阶段检测）已知m是的一个解，则__________． 【答案】 【详解】解 ：是的一个解 ， 将代入方程得 ， ∴， ∴原式． 5．（25-26八年级下·浙江温州·期中）已知是一元二次方程的一个实数根，求的值为________． 【答案】2028 【详解】解：是方程的一个实数根， ， 即， ∴． 题型05 一元二次方程根的代入与分式变形 ·思路： ①代入得等式后，先判断x≠0（常数项不为0则根必不为0）； ②将等式两边同除以x（或x2），构造出或这些整体结构，再代入目标分式。 ③若目标分式是，分子分母同时除以x，瞬间化为； ④若是，则除以x2化为（倒数和）形式。 ①忽略x=0的讨论（虽多数题可排除，但必须提一句“显然不为0”）； ②通分或除以x时漏掉常数项； ③变形后整体代回时把系数算岔。 典｜例｜精｜析 1．（25-26九年级下·黑龙江绥化·期中）若一元二次方程的两根为m，n，则的值为______． 【答案】3 【详解】解：∵一元二次方程的两根为，， ∴由方程根的定义可得， ，即 ， 同理可得，， 将代入方程左边，得 ，因此， 将两边同时除以，得 ，整理得 ， 因此 ， 故答案为． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·福建福州·阶段检测）已知实数，满足，（），则的值是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：设，则， ∵ ∴ ∴， ∴ ∴是方程的根， ∵， ∴是方程的根， ∵， ∴两边同时除以得， 即， ∵， ∴ ∵ ∴，是方程的两个根， ∵是方程的根， ∴或， 当时，，不成立； 当时， ． 故选：D． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 一元二次方程 2.1 认识一元二次方程 知识点一 一元二次方程的概念 1.概念：只含有，且未知数的最高次数是的。 2.一般式： 二次项： ；二次项系数 ；一次项 ：一次项系数： ；常数项： 即学即练 1.下列方程中，是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）下列方程是关于x的一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·安徽马鞍山·期末）一元二次方程的一次项系数是（     ） A．1 B．2 C．3 D． 4．（25-26八年级下·安徽六安·期末）将一元二次方程化成一般式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（     ） A．3，， B．3，，1 C．3，2，1 D．3，2， 5．下列方程，是一元二次方程的有_________________________ ①，②，③，④． 知识点二 估算一元二次方程的解 1.一元二次方程的解：使方程 成立的未知数 x 的值。 2.估算一元二次方程的解的方法： （1）表格法：估计x的一个数值代入方程，根据结果选择合适的数值（有正有负在两个数之间部分取值，逐步逼近）代入，最终确定一个结果最接近0的x即可；先确定 ，再确定小数部分的 和 。 （2）二分法：①估计x的大致范围；②缩小x的范围：取第①步的中间值 即学即练 1．（25-26八年级上·福建福州·期末）已知代数式的值如下表，则关于的一元二次方程的根为(   ) A． B． C．或 D．或 2．（25-26九年级上·广东深圳·阶段检测）如表是某同学求代数式（a，b为常数）的值的情况．根据表格中数据，可知关于x的方程的实数根是（   ） x … 0 1 2 … … 6 2 0 0 2 … A．， B．， C．， D．， 3．（25-26九年级上·安徽芜湖·期中）能使方程成立的x的值可以为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 题型01 化一元二次方程的一般形式 ·步骤：去分母（去括号）→ 移项（必须右边为0）→ 合并同类项 → 按降幂排列（ax2+bx+c=0）。 ·难点突破：若含分数或小数，先化整；去括号时谨防漏乘。一般形式只要求“右边为0”，不要刻意把a化为正数（除非题目要求）。 典｜例｜精｜析 1．（25-26八年级下·浙江宁波·期末）将一元二次方程化为一般形式，正确的是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·安徽阜阳·期末）方程展开为一般形式后，一次项系数是（   ） A． B．1 C． D．2 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级下·浙江杭州·期末）把一元二次方程化为一般形式，正确的是（） A． B． C． D． 2．将一元二次方程化为一般形式是(        ) A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·广东江门·阶段检测）一元二次方程的一次项系数是（   ） A． B． C． D． 4．把一元二次方程化为一般形式为______________________ 题型02 根据一元二次方程的定义求参数范围 ·核心——紧扣定义：①最高次数为2，②二次项系数≠0。 ·思路：先令指数含参的式子等于2，解出参数，再代回系数验证≠0。 ①当指数是含参绝对值或多项式（如|m|+1=2）时，解出多个值，必须逐一回代；若系数本身含参（如m-1），②解出后要排除使系数为0的值； 典｜例｜精｜析 1．若关于x的方程是一元二次方程，则m的值是（    ） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 1．若关于x的方程是一元二次方程，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．方程是关于x的一元二次方程，n满足的条件是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·安徽合肥·期末）若关于x的方程的一个根为，则实数a的值为（） A． B． C．1 D．4 题型03 估算一元二次方程的根 · 方法：利用连续逼近（二分法思想）。 ①若要求精确到0.1，就试到小数点后一位，保证区间两端值异号且区间长度≤0.1。 ②根可能在两个区间内（初中阶段通常只考唯一根估算）。 典｜例｜精｜析 1．（24-25九年级上·山西·阶段检测）根据下表得知估算一元二次方程的一个根的范围是（   ） x … … … … A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·山西太原·阶段检测）我们可以通过不断缩小范围的方法求一元二次方程的近似解，即找出使方程成立的一个初始范围，在该范围内提高精确度，得到一个新的范围，再对新的范围进行操作．例如在求时，根据以下表格，可知道其中一个解的大致范围是（　　） x 1 1.1 1.2 1.3 1.4 98 99.41 100.84 102.29 103.76 A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·黑龙江大庆·期中）根据下面表格中列出来的数据，你猜想方程有一个根大约是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·山西太原·阶段检测）下列表格是关于代数式在取部分值时的对应情况． 1.1 1.2 1.3 1.4 0.84 2.29 3.76 请根据表格判断，关于方程的一个正根的范围是（    ） A． B． C． D． 题型04 一元二次方程根的代入与整体思想 ·降次：将根x0代入得ax02+bx0+c=0，变形为x02 = -px0 - q； ·整体构造：若目标式含参（如求m的值），通常是将两个根代入后作差/加减，构造整体等式。 降次时只顾替换平方项，忘了乘上前面的系数；或者用x0粗暴代替x2时，符号写反。 典｜例｜精｜析 1．（25-26九年级上·河北石家庄·期中）已知一元二次方程，，，满足，，则一元二次方程的根为（    ） A．， B．， C．， D．， 2．（25-26八年级上·上海黄浦·期中）若是方程的一个根，则代数式的值为______． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级下·浙江温州·期中）若关于的一元二次方程中的，，满足，则方程必有根（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·浙江宁波·期末）一元二次方程的一个解是，则的值是______． 3．（25-26八年级下·江苏淮安·期末）如果a是方程的一个实数根，则的值为________． 4．（22-23八年级下·浙江丽水·阶段检测）已知m是的一个解，则__________． 5．（25-26八年级下·浙江温州·期中）已知是一元二次方程的一个实数根，求的值为________． 题型05 一元二次方程根的代入与分式变形 ·思路： ①代入得等式后，先判断x≠0（常数项不为0则根必不为0）； ②将等式两边同除以x（或x2），构造出或这些整体结构，再代入目标分式。 ③若目标分式是，分子分母同时除以x，瞬间化为； ④若是，则除以x2化为（倒数和）形式。 ①忽略x=0的讨论（虽多数题可排除，但必须提一句“显然不为0”）； ②通分或除以x时漏掉常数项； ③变形后整体代回时把系数算岔。 典｜例｜精｜析 1．（25-26九年级下·黑龙江绥化·期中）若一元二次方程的两根为m，n，则的值为______． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·福建福州·阶段检测）已知实数，满足，（），则的值是（ ） A． B． C． D． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $