1.2 菱形的性质与判定 同步讲义 2026--2027学年北师大版九年级数学上册

本讲义聚焦菱形的性质与判定核心知识点，以平行四边形为基础，系统梳理菱形四边相等、对角线垂直等特殊性质，三种判定方法及性质与判定的综合应用，构建从基础到综合的学习支架。 资料通过典例与变式题分层设计，结合坐标系、面积计算等情境培养几何直观与推理能力，几何语言规范助力数学表达。课中辅助教师分层教学，课后通过过关验收题帮助学生查漏补缺，强化知识应用。

1.2 菱形的性质与判定 内 容 导 航 题型1 菱形的性质 题型2 菱形的判定 题型3 菱形的判定与性质 考 点 演 练 题型1 菱形的性质 解｜题｜知｜识 （1）菱形的性质 ①菱形具有平行四边形的一切性质； ②菱形的四条边都相等； ③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角； ④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线． （2）菱形的面积计算 ①利用平行四边形的面积公式． ②菱形面积ab．（a、b是两条对角线的长度） 【典例1】如图，菱形ABCD的对角线交于点O，过点C作CE⊥AB，交AB的延长线于点E，连接OE．若OB＝3，，则菱形ABCD的面积为（　　） A． B． C． D．9 【答案】B 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，OB＝3，， ∴BD＝2OB＝6，AO＝CO， ∵CE⊥AB， ∴∠AEC＝90°， ∴， ∴菱形ABCD的面积， 故选：B． 【变式1】如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，连接OE．若OB＝6，菱形ABCD的面积为54，则OE的长为（　　） A．4 B．4.5 C．5 D．5.5 【答案】B 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴OA＝OC，OB＝ODBD，BD⊥AC， ∴BD＝2OB＝12， ∵S菱形ABCDAC•BD＝54， ∴AC＝9， ∵AE⊥BC， ∴∠AEC＝90°， ∴OEAC＝4.5， 故选：B． 【变式2】如图，菱形ABCD的边BC在x轴上，点A在y轴上．已知AC＝6，BD＝8，则点D的坐标为（　　） A．（5，9.6） B．（5，4.8） C．（10，9.6） D．（10，4.8） 【答案】B 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴S菱形ABCD， ∴BC•AO＝24， ∴， ∴BC＝AD＝5， ∴， ∴点D的坐标（5，4.8）； 故选：B． 【变式3】如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，OE⊥AB，垂足为E，若∠BCD＝66°，则∠BOE的大小为（　　） A．33度 B．34度 C．57度 D．67度 【答案】A 【解答】解：∵四边形ABCD为菱形，∠BCD＝66°， ∴∠ABD＝∠CBD，AC⊥BD（菱形的对角线互相垂直），， ∴∠ABO＝∠CBO＝90°﹣∠BCO＝90°﹣33°＝57°， ∵OE⊥AB， ∴∠BOE＝90°﹣∠OBE＝33°， 故选：A． 题型2 菱形的判定 解｜题｜知｜识 ①菱形定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形（平行四边形+一组邻边相等＝菱形）； ②四条边都相等的四边形是菱形． 几何语言：∵AB＝BC＝CD＝DA∴四边形ABCD是菱形； ③对角线互相垂直的平行四边形是菱形（或“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”）． 几何语言：∵AC⊥BD，四边形ABCD是平行四边形∴平行四边形ABCD是菱形 【典例1】下列平行四边形中，根据图中所标出的数据，不一定是菱形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：根据等腰三角形的判定定理可得，平行四边形的一组邻边相等，即可判定该平行四边形是菱形， 故A不符合题意； 根据三角形内角和定理可得，平行四边形的对角线互相垂直，即可判定该平行四边形是菱形， 故B不符合题意； 一组邻角互补，不能判定该平行四边形是菱形， 故C符合题意； 根据平行四边形的邻角互补，对角线平分一个120°的角，可得平行四边形的一组邻边相等，即可判定该平行四边形是菱形， 故D不符合题意； 故选：C． 【变式1】如图，△ABC中，DE∥BC，DF∥AC，要判定四边形DFCE是菱形，还需要添加的条件是（　　） A．AB＝AC B．AE＝CE C．CD⊥AB D．CD平分∠ACB 【答案】D 【解答】解：当CD平分∠ACB时，四边形DECF是菱形， 理由：∵DE∥BC， ∴∠EDC＝∠DCB， ∵CD平分∠ACB， ∴∠ECD＝∠DCB， ∴∠EDC＝∠ECD， ∴ED＝EC， ∵DE∥BC，DF∥AC， ∴四边形DECF是平行四边形， ∵DE＝EC， ∴四边形DECF是菱形． 其余选项均无法判断四边形DECF是菱形， 故选：D． 【变式2】要检验一张四边形的纸片是否为菱形，下列方案中可行的是（　　） A．度量四个内角是否相等 B．测量两条对角线是否相等 C．测量两条对角线的交点到四个顶点的距离是否相等 D．将这纸片分别沿两条对角线对折，看对角线两侧的部分是否每次都完全重合 【答案】D 【解答】解：A、四个内角是否相等，只能判定矩形，不能判定菱形，故选项A不符合题意； B、对角线是否相等不能判定形状，故选项B不符合题意； C、两条对角线的交点到四个顶点的距离是否相等只能判定矩形，不能判定菱形，故选项C不符合题意； D、将这纸片分别沿两条对角线对折，看对角线两侧的部分是否每次都完全重合，能判定菱形，故选项D符合题意． 故选：D． 【变式3】如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，以下条件不能证明▱ABCD是菱形的是（　　） A．∠BAC＝∠BCA B．∠ABD＝∠CBD C．OA2+OB2＝AD2 D．AD2+OA2＝OD2 【答案】D 【解答】解：A、∵∠BAC＝∠BCA， ∴AB＝BC， ∴▱ABCD是菱形，故选项A不符合题意； B、∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠ADB＝∠CBD， ∵∠ABD＝∠CBD， ∴∠ABD＝∠ADB， ∴AB＝AD， ∴▱ABCD是菱形，故选项B不符合题意； C、∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OB＝OD， ∵OA2+OB2＝AD2， ∴OA2+OD2＝AD2， ∴∠AOD＝90°， ∴AC⊥BD， ∴▱ABCD是菱形，故选项C不符合题意， D、∵AD2+OA2＝OD2， ∴∠OAD＝90°， ∴OA⊥AD， ∴不能证得▱ABCD是菱形，故选项D符合题意； 故选：D． 题型3 菱形的判定与性质 解｜题｜知｜识 （1）依次连接四边形各边中点所得的四边形称为中点四边形．不管原四边形的形状怎样改变，中点四边形的形状始终是平行四边形． （2）菱形的中点四边形是矩形（对角线互相垂直的四边形的中点四边形定为矩形，对角线相等的四边形的中点四边形定为菱形．）　　 （3）菱形是在平行四边形的前提下定义的，首先它是平行四边形，但它是特殊的平行四边形，特殊之处就是“有一组邻边相等”，因而就增加了一些特殊的性质和不同于平行四边形的判定方法． （4）正方形是特殊的菱形，菱形不一定是正方形，所以，在同一平面上四边相等的图形不只是正方形． 【典例1】如图，小华剪了两条宽为1的纸条，交叉叠放在一起，且它们较小的交角为60°，则它们重叠部分的面积为（　　） A．1 B．2 C． D． 【答案】D 【解答】解：过点B作BE⊥AD于点E，BF⊥CD于点F， 根据题意得：AD∥BC，AB∥CD，BE＝BF＝1cm， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵∠BAD＝∠BCD＝60°， ∴∠ABE＝∠CBF＝30°， ∴AB＝2AE，BC＝2CF， ∵AB2＝AE2+BE2， ∴AB， 同理：BC， ∴AB＝BC， ∴四边形ABCD是菱形， ∴AD， ∴S菱形ABCD＝AD•BE． 故选：D． 【变式1】如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC．若AC＝4，则四边形CODE的周长是 　　 ． 【答案】8 【解答】解：∵CE∥BD，DE∥AC， ∴四边形CODE是平行四边形， ∵四边形ABCD是矩形， ∴OCAC＝2，ODBD，AC＝BD， ∴OC＝OD＝2， ∴四边形CODE是菱形， ∴DE＝CE＝OC＝OD＝2， ∴四边形CODE的周长＝2×4＝8； 故答案为：8． 【变式2】（如图所示）两个长宽分别为7cm、3cm的矩形如图叠放在一起，则图中阴影部分的面积是　 ． 【答案】cm2 【解答】解：如图：根据题意得：AD∥BC，BF∥DE， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵两个矩形等高， 即DH＝AB， ∴S▱BEDF＝BE•AB＝BF•DH， ∴BE＝BF， ∴四边形BEDF是菱形， ∴BF＝DF， 设BF＝xcm，则DF＝xcm，AF＝AD﹣DF＝7﹣x（cm）， 在Rt△ABF中，AB2+AF2＝BF2， ∴32+（7﹣x）2＝x2， 解得：x， ∴BEcm， ∴S菱形BEDF＝BE•ABcm2． 故答案为：cm2． 【变式3】如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AC平分∠BAD，过点D作DP∥AC，过点C作CP∥BD，DP、CP交于点P，连接OP． （1）求证：四边形ABCD是菱形； （2）若AC＝12，BD＝16，求OP的长． 【答案】见试题解答内容 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∵AC 平分∠BAD， ∴∠BAC＝∠DAC， ∵AD∥BC， ∴∠DAC＝∠ACB， ∴∠BAC＝∠ACB， ∴AB＝BC， ∴四边形ABCD是菱形； （2）解：在菱形ABCD中，AC＝12，BD＝16， ∴AC⊥BD，OD8，OCAC＝6， ∴CD10， ∵DP∥AC，CP∥BD， ∴四边形OCPD是平行四边形， ∵AC⊥BD， ∴四边形OCPD是矩形， ∴OP＝CD＝10． 过 关 验 收 1．如图①，将一个菱形截去一个边长为原来一半的菱形得到图②，用三个图②刚好拼出一个如图③所示的平面图形，则图③中∠ABC的度数是（　　） A．30° B．45° C．60° D．90° 【答案】C 【解答】解：如图， ∵∠DAE＝∠BAE＝∠BAD，∠DAE+∠BAE+∠BAD＝360°， ∴∠BAD＝120°， ∵AD∥BC， ∴∠ABC＝180°﹣∠BAD＝180°﹣120°＝60°， 故选：C． 2．如图，菱形OABC在平面直角坐标系中，，则点B的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：如图，作BD⊥x轴于点D， ∵四边形OABC是菱形， ∴， ∵四边形OABC是菱形， ∴AB∥OC， ∴∠BAD＝∠AOC＝45°， ∴∠ABD＝45°＝∠BAD， ∴AD＝BD， ∴， 解得，AD＝BD＝1， ∴， 故选：C． 3．如图，菱形ABCD的面积为20cm2，对角线BD长5cm，点O为BD的中点，过点A作AE垂直于CB交CB的延长线于点E，连接OE，则线段OE的长度是（　　） A．3cm B．4cm C．4.8cm D．5cm 【答案】B 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴BD⊥AC，点O是AC的中点， ∵BD＝5cm，， ∴AC＝8cm， ∵AE⊥BC， ∴∠AEC＝90°， ∴． 故选：B． 4．如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F．若∠B＝40°，则∠EAF的度数为（　　） A．50° B．42° C．40° D．30° 【答案】C 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∠B＝40°， ∴AB∥CD， ∴∠B+∠C＝180°， ∵AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F， ∴∠AEC＝∠AFC＝90°， ∴∠EAF+∠C＝360°﹣∠AEC﹣∠AFC＝180°， ∴∠EAF＝∠B＝40°， 故选：C． 5．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，OH＝4，若菱形ABCD的面积为32，则CD的长为（　　） A．4 B．4 C．8 D．8 【答案】C 【解答】解：∵DH⊥AB， ∴∠BHD＝90°， ∵四边形ABCD是菱形， ∴OB＝OD，OC＝OA，AC⊥BD， ∴OH＝OB＝OD（直角三角形斜边上中线等于斜边的一半）， ∴OD＝4，BD＝8， 由得， 32， ∴AC＝8， ∴OC4， ∴CD8， 故选C． 6．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC＝8，BD＝12，点E在线段OA上，AE＝2，点F在线段OC上，OF＝1．连接BE，点G为BE的中点，连接FG，则FG的长为（　　） A． B．13 C． D． 【答案】D 【解答】解：如图，取OE中点H，连接GH， 在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC＝8，BD＝12， ∴，，AC⊥BD， ∴∠BOA＝90°， ∵AE＝2， ∴OE＝OA﹣AE＝4﹣2＝2， ∴， ∵点G为BE的中点，点H为OE的中点， ∴，GH∥OB， ∴∠GHE＝∠BOA＝90°， ∵OF＝1， ∴HF＝OH+OF＝2， ∴GF2＝GH2+HF2＝32+22＝13， ∴（负值舍去）， 故选：D． 7．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，且AC＝6，DB＝8，AE⊥BC于点E，则AE＝　 　 ． 【答案】． 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴BD⊥AC，OC＝OA，OB＝OD， ∵AC＝6，DB＝8， ∴OC＝3，OB＝4， ∴BC5， ∵S菱形ABCDAC×BD＝BC×AE， ∴AE， 故答案为：． 8．如图，在▱ABCD中，AB＝13，AC＝10，当BD＝　 　 时，四边形ABCD是菱形． 【答案】24． 【解答】解：AC交BD于点O，如图： ∵四边形ABCD是菱形， ∴， 由勾股定理可得，， ∴BD＝2OB＝24， 故答案为：24． 9．如图，在菱形ABCD中，M为CD的中点，AM的延长线与BC的延长线交于点E，F为DC延长线上一点，且CF＝CD． （1）求证：△CME≌△DMA； （2）试判断四边形BDEF的形状，并证明你的结论． 【答案】（1）证明见解析； （2）矩形，证明见解析． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AD∥BC， ∴∠ECM＝∠ADM， ∵M为CD的中点， ∴CM＝DM， 在△CME和△DMA中， ， ∴△CME≌△DMA（ASA）； （2）解：四边形BDEF是矩形，证明如下： ∵四边形ABCD是菱形， ∴AD＝BC＝CD， 由（1）可知，△CME≌△DMA， ∴CE＝AD， ∴CE＝BC， ∵CF＝CD， ∴四边形BDEF是平行四边形， ∵CD＝BC， ∴DF＝BE， ∴平行四边形BDEF是矩形． 10．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相互垂直，则下列条件能判定四边形ABCD为菱形的是（　　） A．BA＝BC B．AC，BD相互平分 C．AC＝BD D．AB∥CD 【答案】B 【解答】解：A、根据已知AC⊥BD和BA＝BC不能推出四边形ABCD是平行四边形，即更不是菱形，故本选项错误； B、∵AC、BD互相平分， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵AC⊥BD（已知）， ∴平行四边形ABCD是菱形，故本选项正确； C、根据已知AC⊥BD和AC＝BD不能推出四边形ABCD是平行四边形，即更不是菱形，故本选项错误； D、根据已知AC⊥BD和AB∥DC不能推出四边形ABCD是平行四边形，即更不是菱形，故本选项错误； 故选：B． 11．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝4，BC＝6，将线段AB水平向右平移a个单位长度得到线段EF，若四边形ECDF为菱形时，则a的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，CE∥FD，CD＝AB＝4， ∵将线段AB水平向右平得到线段EF， ∴AB∥EF∥CD， ∴四边形ECDF为平行四边形， 当CD＝CE＝4时，▱ECDF为菱形， 此时a＝BE＝BC﹣CE＝6﹣4＝2． 故选：B． 12．如图，在四边形ABCD中，点E，F分别是AD，BC的中点，G，H分别是BD，AC的中点，AB，CD满足什么条件时，四边形EGFH是菱形（　　） A．AB＝CD B．AB∥CD C．AC＝BD D．AD＝BC 【答案】A 【解答】解：当AB＝CD时，四边形EGFH是菱形．理由如下： ∵点E，G分别是AD，BD的中点， ∴EG是△ABD的中位线， ∴EG∥AB，EGAB， 同理HF∥AB，HFAB，EH∥CD，EHCD， ∴EG∥HF，EG＝HF， ∴四边形EGFH是平行四边形， 又∵AB＝CD， ∴EG＝EH， ∴平行四边形EGFH是菱形． 故选：A． 13．如图，AE∥BF，BD平分∠ABF，且交AE于点D，过点D作DC∥AB交BF于点C．求证：四边形ABCD是菱形． 【答案】见试题解答内容 【解答】证明：∵AE∥BF，DC∥AB， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∴∠ADB＝∠DBC， ∴BD平分∠ABF， ∴∠ABD＝∠CBD， ∴∠ABD＝∠ADB， ∴AB＝AD， ∴平行四边形ABCD是菱形． 14．如图，在平行四边形ABCD中，∠B＝60°，∠BAD，∠BCD的平分线分别与BC，AD相交于点E，F． （1）求证：△ABE≌△CDF； （2）当AB与BC满足什么数量关系时，四边形AECF为菱形？请说明理由． 【答案】（1）见解答； （2）当 时，四边形AECF为菱形，见解答． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，AD∥BC，∠B＝∠D， ∵∠B＝60°， ∴∠D＝∠B＝60°，∠BAD＝∠BCD＝120°， 由题意可知： ，， ∴∠BAE＝∠FCD， ∴△ABE≌△CDF； （2）解：当 时，四边形AECF为菱形， 由题意可知：AD∥BC， 由（1）得结论可知： ∴∠D＝∠B＝600，∠BAE＝∠FCD＝60°， ∴△ABE和△CDF都是等边三角形， ∴AB＝BE＝AE， ∴∠BEA＝∠BCF＝60°， ∴AE∥CF， ∴AECF为平行四边形， 又 ， ， ∴E是BC的中点， ∴BE＝EC， ∴AE＝CE， ∴平行四边形AECF是菱形． 15．已知：在△ABC中，AD是BC边上的中线，点E是AD的中点；过点A作AF∥BC，交BE的延长线于F，连接CF． （1）求证：AF＝BD； （2）当△ABC满足 　 　 时，四边形ADCF是菱形，并说明理由． 【答案】（1）证明见解答； （2）∠BAC＝90°，理由见解答． 【解答】（1）证明：∵E是AD的中点， ∴AE＝DE， ∵AF∥BC， ∴∠AFE＝∠EBD， ∵∠BED＝∠AEF， ∴△AEF≌△DEF（AAS）， ∴AF＝BD； （2）解：△ABC满足：∠BAC＝90°时，四边形BDAF为菱形， 理由如下： ∵∠BAC＝90°，AD是BC边上的中线， ∴AD＝DC， 由（1）知四边形BDAF为平行四边形， ∴▱BDAF为菱形． 故答案为：∠BAC＝90°． 16．如图，在▱ABCD中，对角线AC平分∠BAD，点E、F在AC上，且CE＝AF．连接BE、BF、DE、DF．求证：四边形BEDF是菱形． 【答案】证明见解析过程． 【解答】证明：如图，连接BD交AC于点O， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴BO＝DO，AO＝CO， ∵CE＝AF， ∴EO＝FO， ∴四边形BEDF是平行四边形， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AB＝CD， ∴∠BAC＝∠ACD， ∵AC平分∠BAD， ∴∠BAC＝∠DAC， ∴∠ACD＝∠DAC， ∴AD＝CD， ∴AB＝AD， 在△ABF和△ADF中， ， ∴△ABF≌△ADF（SAS）， ∴BF＝DF， ∴四边形BEDF是菱形． 17．如图，在△ABC中，D是BC边的中点，F，E分别是AD及其延长线上的点，CF∥BE，连接BF，CE． （1）求证：四边形BFCE是平行四边形； （2）当边AB、AC满足什么条件时，四边形BECF是菱形？并说明理由． 【答案】见试题解答内容 【解答】（1）证明：∵在△ABC中，D是BC边的中点， ∴BD＝CD， ∵CF∥BE， ∴∠CFD＝∠BED， 在△CFD和△BED中， ， ∴△CFD≌△BED（AAS）， ∴CF＝BE， ∴四边形BFCE是平行四边形； （2）解：当AB＝AC时，四边形BECF是菱形；理由如下： ∵AB＝AC，D是BC边的中点， ∴AD⊥BC， ∴EF⊥BC， ∴四边形BECF是菱形． 18．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是斜边上的中线，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于F，连接CF． （1）求证：BD＝AF； （2）判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论． 【答案】见试题解答内容 【解答】（1）证明：∵AF∥BC， ∴∠AFE＝∠DBE， ∵E是AD的中点，AD是BC边上的中线， ∴AE＝DE，BD＝CD， 在△AFE和△DBE中，， ∴△AFE≌△DBE（AAS）， ∴BD＝AF； （2）解：四边形ADCF是菱形；理由如下： 由（1）知，AF＝DB． ∵DB＝DC， ∴AF＝CD． ∵AF∥BC， ∴四边形ADCF是平行四边形， ∵∠BAC＝90°，D是BC的中点， ∴AD＝DCBC， ∴四边形ADCF是菱形． 19．如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，E为OC中点，过点C作CF∥BD交BE的延长线于F，连接DF． （1）求证：△FCE≌△BOE； （2）当△ADC满足什么条件时，四边形OCFD为菱形？请说明理由． 【答案】（1）见解析； （2）当∠ADC＝90°时，四边形OCFD为菱形，理由见解析． 【解答】（1）证明：∵CF∥BD， ∴∠CFE＝∠OBE， ∵E为OC中点， ∴OE＝CE， 在△FCE和△BOE中， ， ∴△FCE≌△BOE（AAS）； （2）解：当∠ADC＝90°时，四边形OCFD为菱形， 理由如下： 由（1）可得：△FCE≌△BOE， ∴CF＝OB， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OD＝OB，OA＝OC， ∴CF＝OD， ∵CF∥BD， ∴四边形OCFD为平行四边形， ∵∠ADC＝90°，OA＝OC， ∴OD＝OC， ∴四边形OCFD为菱形． 20．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE． （1）求证：四边形ABCD是菱形； （2）若，BD＝2，求OE的长度． 【答案】见试题解答内容 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥DC， ∴∠BAC＝∠DCA， ∵AC为∠DAB的平分线， ∴∠BAC＝∠DAC， ∴∠DCA＝∠DAC， ∴AD＝CD， ∴平行四边形ABCD是菱形； （2）解：∵平行四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，AO＝CO，BO＝DO， ∴OBBD＝1， ∵CE⊥AB， ∴OE， 在Rt△AOB中，AO3， ∴OE＝AO＝3， 21．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＜BC，D是AC的中点，过点D作DE⊥AC交BC于点E，延长ED至F，使DF＝DE，连接AE，AF，CF． （1）求证：四边形AECF是菱形； （2）若BE＝1，EC＝4，求EF的长． 【答案】见试题解答内容 【解答】（1）证明：∵D是AC的中点， ∴AD＝CD， ∵DF＝DE， ∴四边形AECF是平行四边形， ∵DE⊥AC， ∴平行四边形AECF是菱形； （2）解：由（1）知四边形AECF是菱形， ∴AE＝CE＝4， ∵BE＝1，EC＝4， 在Rt△ABE中，AB， 在Rt△ABC中，AC， ∵， 即， ∴． 22．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点．BE＝2DE，延长DE到点F，使得EF＝BE，连接CF． （1）求证：四边形BCFE是菱形； （2）若CE＝4，∠BCF＝120°，求菱形BCFE的面积． 【答案】见试题解答内容 【解答】（1）证明：∵D、E分别是AB、AC的中点， ∴DE∥BC，且BC＝2DE． 又∵BE＝2DE，EF＝BE， ∴EF＝BC，EF∥BC． ∴四边形BCFE是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）． 又∵BE＝FE， ∴四边形BCFE是菱形（邻边相等的平行四边形是菱形）． （2）解：在菱形BCFE中，∠BCF＝∠BEF＝120°，BE＝BC， ∴∠EBC＝60°． ∴△EBC是等边三角形． ∴BE＝BC＝CE＝4． 过点E作EG⊥BC于点G． ∴BG＝2． ∴EG2． ∴S菱形BCFE＝BC•EG＝4×28． 23．如图，平行四边形ABCD，M，N分别是AD，BC的中点，∠AND＝90°，连接CM交DN于点O． （1）求证：四边形CDMN是菱形； （2）过点C作CE⊥MN于点E，交DN于点P．若PE＝1，∠1＝∠2，求AN的长． 【答案】（1）见解析；（2）． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD＝BC， ∵M，N分别是AD，BC的中点，∠AND＝90°， ∴，则MD＝CN， 又∵MD∥CN， ∴四边形CDMN是平行四边形， ∵MD＝MN， ∴四边形CDMN是菱形； （2）解：由（1）可知：四边形CDMN是菱形；则MD＝MN， ∴∠MND＝∠DNC， ∵∠1＝∠2， ∴∠MND＝∠1＝∠2， ∵CE⊥MN，∠MND+∠DNC+∠2＝90°， ∴∠MND＝∠DNC＝∠2＝30°， ∵PE＝1，∠ENP＝30°， ∴PN＝2PE＝2， ∴EN， 在Rt△NEC中， ∵EN，∠2＝30°， ∴， ∵∠MNC＝∠MND+∠DNC＝60°， ∴△MNC为等边三角形， ∵∠AND＝90°，M为AD的中点， ∴， ∴△AMN是等边三角形， ∴AN＝MC＝NC＝2， ∴AN的长为2． 24．如图，在△ABC中，AB＝CB，BD平分∠ABC交AC于点D，点E在线段BD上，点F在BD的延长线上，且DE＝DF，顺次连接A、E、C、F． （1）求证：四边形AECF是菱形． （2）若EF＝2，AC＝4，直接写出四边形AECF的周长． 【答案】（1）证明见解析； （2）4． 【解答】（1）证明：∵AB＝CB，BD平分∠ABC， ∴BD⊥AC，AD＝CD， ∵DE＝DF， ∴四边形AECF是菱形； （2）解：由（1）得：四边形AECF是菱形， ∴ADAC＝2，DEEF＝1，AE＝CE＝CF＝AF，∠ADE＝90°， 在Rt△ADE中，由勾股定理得：AE， ∴四边形AECF的周长为：4AE＝44． 25．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB上一点，∠DCB＝∠DBC，连接CD，E为CD中点，连接BE并延长到F使BE＝EF，连接AF，CF． （1）求证：四边形AFCD为菱形； （2）若AC＝6cm，AB＝8cm，求四边形AFCD的面积． 【答案】见试题解答内容 【解答】（1）证明：∵∠ACB＝90°， ∴∠ACD+∠DCB＝90°，∠CAB+∠ABC＝90°， ∵∠DCB＝∠DBC， ∴∠ACD＝∠CAB，CD＝BD， ∴AD＝CD， ∴AD＝CD＝BD， ∵E为CD的中点， ∴CE＝DE， 又∵BE＝EF，∠CEF＝∠DEB， ∴△CEF≌△DEB（SAS）， ∴CF＝BD，∠CFE＝∠DBE， ∴CF∥BD， ∵AD＝BD， ∴CF＝AD， ∴四边形AFCD为平行四边形， 又∵CD＝AD， ∴四边形AFCD为菱形； （2）解：∵AC＝6cm，AB＝8cm，∠ACB＝90°， ∴BC2（cm）， ∴S△ABC6（cm2）， ∴S△ADC3cm2， ∴四边形AFCD的面积＝2S△ADC＝6cm2． 26．如图，在菱形ABCD中，E，F是对角线AC上的两点，且AE＝CF． （1）求证：△ABE≌△CDF； （2）求证：四边形BEDF是菱形． 【答案】（1）证明见解析过程； （2）证明见解析过程． 【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝CD，AB∥CD， ∴∠BAE＝∠DCF， 在△ABE和△CDF中， ， ∴△ABE≌△CDF（SAS）； （2）如图，连接BD，交AC于O， ∵四边形ABCD是菱形， ∴BD⊥AC，AO＝CO，BO＝DO， ∵AE＝CF， ∴EO＝FO， ∴四边形BEDF是平行四边形， 又∵BD⊥EF， ∴平行四边形BEDF是菱形． 27．如图，在△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，过D作DE∥BC交AB于点E，DF∥AB交BC于点F，连接EF． （1）求证：四边形BFDE是菱形； （2）若AB＝8，AD＝4，求BF的长． 【答案】见试题解答内容 【解答】（1）证明：∵DE∥BC，DF∥AB， ∴四边形BFDE是平行四边形． ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠CBD． ∵DE∥BC， ∴∠CBD＝∠EDB． ∴∠ABD＝∠EDB． ∴EB＝ED． ∴平行四边形BFDE是菱形； （2）解：∵ED∥BF，∠C＝90°， ∴∠ADE＝90°． 设BF＝x， ∴DE＝BE＝x． ∴AE＝8﹣x． 在Rt△ADE中，AE2＝DE2+AD2 ∴（8﹣x）2＝x2+42 解得x＝3， ∴BF＝3． 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.2 菱形的性质与判定 内 容 导 航 题型1 菱形的性质 题型2 菱形的判定 题型3 菱形的判定与性质 考 点 演 练 题型1 菱形的性质 解｜题｜知｜识 （1）菱形的性质 ①菱形具有平行四边形的一切性质； ②菱形的四条边都相等； ③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角； ④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线． （2）菱形的面积计算 ①利用平行四边形的面积公式． ②菱形面积ab．（a、b是两条对角线的长度） 【典例1】如图，菱形ABCD的对角线交于点O，过点C作CE⊥AB，交AB的延长线于点E，连接OE．若OB＝3，，则菱形ABCD的面积为（　　） A． B． C． D．9 【变式1】如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，连接OE．若OB＝6，菱形ABCD的面积为54，则OE的长为（　　） A．4 B．4.5 C．5 D．5.5 【变式2】如图，菱形ABCD的边BC在x轴上，点A在y轴上．已知AC＝6，BD＝8，则点D的坐标为（　　） A．（5，9.6） B．（5，4.8） C．（10，9.6） D．（10，4.8） 【变式3】如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，OE⊥AB，垂足为E，若∠BCD＝66°，则∠BOE的大小为（　　） A．33度 B．34度 C．57度 D．67度 题型2 菱形的判定 解｜题｜知｜识 ①菱形定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形（平行四边形+一组邻边相等＝菱形）； ②四条边都相等的四边形是菱形． 几何语言：∵AB＝BC＝CD＝DA∴四边形ABCD是菱形； ③对角线互相垂直的平行四边形是菱形（或“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”）． 几何语言：∵AC⊥BD，四边形ABCD是平行四边形∴平行四边形ABCD是菱形 【典例1】下列平行四边形中，根据图中所标出的数据，不一定是菱形的是（　　） A． B． C． D． 【变式1】如图，△ABC中，DE∥BC，DF∥AC，要判定四边形DFCE是菱形，还需要添加的条件是（　　） A．AB＝AC B．AE＝CE C．CD⊥AB D．CD平分∠ACB 【变式2】要检验一张四边形的纸片是否为菱形，下列方案中可行的是（　　） A．度量四个内角是否相等 B．测量两条对角线是否相等 C．测量两条对角线的交点到四个顶点的距离是否相等 D．将这纸片分别沿两条对角线对折，看对角线两侧的部分是否每次都完全重合 【变式3】如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，以下条件不能证明▱ABCD是菱形的是（　　） A．∠BAC＝∠BCA B．∠ABD＝∠CBD C．OA2+OB2＝AD2 D．AD2+OA2＝OD2 题型3 菱形的判定与性质 解｜题｜知｜识 （1）依次连接四边形各边中点所得的四边形称为中点四边形．不管原四边形的形状怎样改变，中点四边形的形状始终是平行四边形． （2）菱形的中点四边形是矩形（对角线互相垂直的四边形的中点四边形定为矩形，对角线相等的四边形的中点四边形定为菱形．）　　 （3）菱形是在平行四边形的前提下定义的，首先它是平行四边形，但它是特殊的平行四边形，特殊之处就是“有一组邻边相等”，因而就增加了一些特殊的性质和不同于平行四边形的判定方法． （4）正方形是特殊的菱形，菱形不一定是正方形，所以，在同一平面上四边相等的图形不只是正方形． 【典例1】如图，小华剪了两条宽为1的纸条，交叉叠放在一起，且它们较小的交角为60°，则它们重叠部分的面积为（　　） A．1 B．2 C． D． 【变式1】如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC．若AC＝4，则四边形CODE的周长是 　　 ． 【变式2】（如图所示）两个长宽分别为7cm、3cm的矩形如图叠放在一起，则图中阴影部分的面积是　 ． 【变式3】如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AC平分∠BAD，过点D作DP∥AC，过点C作CP∥BD，DP、CP交于点P，连接OP． （1）求证：四边形ABCD是菱形； （2）若AC＝12，BD＝16，求OP的长． 过 关 验 收 1．如图①，将一个菱形截去一个边长为原来一半的菱形得到图②，用三个图②刚好拼出一个如图③所示的平面图形，则图③中∠ABC的度数是（　　） A．30° B．45° C．60° D．90° 2．如图，菱形OABC在平面直角坐标系中，，则点B的坐标为（　　） A． B． C． D． 3．如图，菱形ABCD的面积为20cm2，对角线BD长5cm，点O为BD的中点，过点A作AE垂直于CB交CB的延长线于点E，连接OE，则线段OE的长度是（　　） A．3cm B．4cm C．4.8cm D．5cm 4．如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F．若∠B＝40°，则∠EAF的度数为（　　） A．50° B．42° C．40° D．30° 5．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，OH＝4，若菱形ABCD的面积为32，则CD的长为（　　） A．4 B．4 C．8 D．8 6．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC＝8，BD＝12，点E在线段OA上，AE＝2，点F在线段OC上，OF＝1．连接BE，点G为BE的中点，连接FG，则FG的长为（　　） A． B．13 C． D． 7．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，且AC＝6，DB＝8，AE⊥BC于点E，则AE＝　 　 ． 8．如图，在▱ABCD中，AB＝13，AC＝10，当BD＝　 　 时，四边形ABCD是菱形． 9．如图，在菱形ABCD中，M为CD的中点，AM的延长线与BC的延长线交于点E，F为DC延长线上一点，且CF＝CD． （1）求证：△CME≌△DMA； （2）试判断四边形BDEF的形状，并证明你的结论． 10．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相互垂直，则下列条件能判定四边形ABCD为菱形的是（　　） A．BA＝BC B．AC，BD相互平分 C．AC＝BD D．AB∥CD 11．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝4，BC＝6，将线段AB水平向右平移a个单位长度得到线段EF，若四边形ECDF为菱形时，则a的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 12．如图，在四边形ABCD中，点E，F分别是AD，BC的中点，G，H分别是BD，AC的中点，AB，CD满足什么条件时，四边形EGFH是菱形（　　） A．AB＝CD B．AB∥CD C．AC＝BD D．AD＝BC 13．如图，AE∥BF，BD平分∠ABF，且交AE于点D，过点D作DC∥AB交BF于点C．求证：四边形ABCD是菱形． 14．如图，在平行四边形ABCD中，∠B＝60°，∠BAD，∠BCD的平分线分别与BC，AD相交于点E，F． （1）求证：△ABE≌△CDF； （2）当AB与BC满足什么数量关系时，四边形AECF为菱形？请说明理由． 15．已知：在△ABC中，AD是BC边上的中线，点E是AD的中点；过点A作AF∥BC，交BE的延长线于F，连接CF． （1）求证：AF＝BD； （2）当△ABC满足 　 　 时，四边形ADCF是菱形，并说明理由． 16．如图，在▱ABCD中，对角线AC平分∠BAD，点E、F在AC上，且CE＝AF．连接BE、BF、DE、DF．求证：四边形BEDF是菱形． 17．如图，在△ABC中，D是BC边的中点，F，E分别是AD及其延长线上的点，CF∥BE，连接BF，CE． （1）求证：四边形BFCE是平行四边形； （2）当边AB、AC满足什么条件时，四边形BECF是菱形？并说明理由． 18．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是斜边上的中线，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于F，连接CF． （1）求证：BD＝AF； （2）判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论． 19．如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，E为OC中点，过点C作CF∥BD交BE的延长线于F，连接DF． （1）求证：△FCE≌△BOE； （2）当△ADC满足什么条件时，四边形OCFD为菱形？请说明理由． 20．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE． （1）求证：四边形ABCD是菱形； （2）若，BD＝2，求OE的长度． 21．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＜BC，D是AC的中点，过点D作DE⊥AC交BC于点E，延长ED至F，使DF＝DE，连接AE，AF，CF． （1）求证：四边形AECF是菱形； （2）若BE＝1，EC＝4，求EF的长． 22．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点．BE＝2DE，延长DE到点F，使得EF＝BE，连接CF． （1）求证：四边形BCFE是菱形； （2）若CE＝4，∠BCF＝120°，求菱形BCFE的面积． 23．如图，平行四边形ABCD，M，N分别是AD，BC的中点，∠AND＝90°，连接CM交DN于点O． （1）求证：四边形CDMN是菱形； （2）过点C作CE⊥MN于点E，交DN于点P．若PE＝1，∠1＝∠2，求AN的长． 24．如图，在△ABC中，AB＝CB，BD平分∠ABC交AC于点D，点E在线段BD上，点F在BD的延长线上，且DE＝DF，顺次连接A、E、C、F． （1）求证：四边形AECF是菱形． （2）若EF＝2，AC＝4，直接写出四边形AECF的周长． 25．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB上一点，∠DCB＝∠DBC，连接CD，E为CD中点，连接BE并延长到F使BE＝EF，连接AF，CF． （1）求证：四边形AFCD为菱形； （2）若AC＝6cm，AB＝8cm，求四边形AFCD的面积． 26．如图，在菱形ABCD中，E，F是对角线AC上的两点，且AE＝CF． （1）求证：△ABE≌△CDF； （2）求证：四边形BEDF是菱形． 27．如图，在△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，过D作DE∥BC交AB于点E，DF∥AB交BC于点F，连接EF． （1）求证：四边形BFDE是菱形； （2）若AB＝8，AD＝4，求BF的长． 学科网（北京）股份有限公司 $