1.2 菱形的性质与判定 讲义 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

本讲义聚焦菱形的性质与判定核心知识点，系统梳理菱形定义、四边相等和对角线垂直平分等性质、三种判定方法，承接平行四边形基础，通过“邻边相等”特殊化构建知识支架，为后续正方形学习铺垫。 资料以知识导图整合体系，分层题型（基础求边长角度、提升判定证明、拓展折叠综合）适配学生发展，易错点警示与转化思想（菱形化直角三角形）培养几何直观与推理能力，结合中考实例，课中助教师高效授课，课后助学生查漏补缺。

【北师大版九年级数学上册 | 学生版】 第一章 特殊平行四边形 1.2 菱形的性质与判定 一、学习目标与考情透视 【学习目标】 1. 理解菱形的定义，掌握菱形的性质定理与判定定理； 2. 能运用菱形的性质和判定进行有关的计算与证明。 【重点难点】 ★ 重点：菱形的性质定理与判定定理的推导及应用。 ★ 难点：菱形性质与判定的灵活选用、综合应用。 【考情透视】 菱形是中考的高频考点，常以选择题、填空题、证明题的形式出现。考查内容主要包括：菱形的性质（边、对角线、面积）、菱形的判定、菱形与三角形/面积计算的综合应用。在压轴题中，菱形常与动点、折叠、坐标系等结合考查。 二、知识导图 三、知识点精讲 【知识点1】菱形的定义 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。 几何语言： ∵ 四边形ABCD是平行四边形，且AB = BC ∴ 四边形ABCD是菱形 【要点解读】 ① 菱形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的一切性质； ② 「邻边相等」是菱形区别于一般平行四边形的关键特征； ③ 定义具有双重性：既是菱形的性质，也是菱形的判定方法。 【知识点2】菱形的性质 性质1：边的性质——四条边都相等 几何语言：∵ 四边形ABCD是菱形 ∴ AB = BC = CD = DA 性质2：对角线的性质——对角线互相垂直，且每条对角线平分一组对角 几何语言：∵ 四边形ABCD是菱形 ∴ AC⊥BD，AC平分∠BAD和∠BCD，BD平分∠ABC和∠ADC 性质3：对称性——轴对称图形 + 中心对称图形 轴对称：有2条对称轴，分别是两条对角线所在的直线； 中心对称：对称中心是对角线的交点。 性质4：面积与周长 周长：L = 4a（a为边长） 面积：S = 底 × 高 = ½ × d₁ × d₂（d₁、d₂为两条对角线长） 【重要结论】菱形被两条对角线分成四个全等的直角三角形。 这个结论非常重要！很多菱形的问题都可以转化为直角三角形的问题来解决。 【知识点3】菱形的判定 判定方法1（定义法）：一组邻边相等的平行四边形是菱形 几何语言：∵ 四边形ABCD是平行四边形，且AB = BC ∴ 四边形ABCD是菱形 判定方法2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形 几何语言：∵ 四边形ABCD是平行四边形，且AC⊥BD ∴ 四边形ABCD是菱形 判定方法3：四条边都相等的四边形是菱形 几何语言：∵ AB = BC = CD = DA ∴ 四边形ABCD是菱形 【判定方法选择技巧】 已知条件 推荐判定方法 已知是平行四边形 证一组邻边相等 / 证对角线垂直 已知是一般四边形 证四条边相等 / 先证平行四边形再证菱形 四、题型分层突破 🔹 基础篇：夯实基础 题型1：利用菱形性质求边长/周长 【方法点拨】菱形四边相等，周长 = 4 × 边长。已知周长直接除以4得边长；已知对角线长，利用勾股定理求边长。 【例1】（2026•扬州三模）菱形的两条对角线的长分别为10和24，则边的长为（　　） A．10 B．12 C．13 D．17 【例2】（2025•安徽模拟）在菱形中，点是对角线上一点，且，，则的长为（　　） A．1 B．2 C． D． 【例3】（2023春•望花区期末）两张全等的矩形纸片，按如图所示的方式交叉叠放，，．与交于点，与交于点，且，，则四边形的周长为（　　） A．4 B．8 C．12 D．16 题型2：利用菱形性质求角度 【方法点拨】对角线平分一组对角 + 邻角互补 + 等腰三角形性质。 【例4】（2026春•天水校级期末）在菱形中如图，，，则（　　） A． B． C． D． 【例5】（2026春•聊城期中）如图，是菱形的对角线，作的垂直平分线分别交、于点、，连接、，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 题型3：菱形面积计算 【方法点拨】两种面积公式灵活选用：S = 底 × 高 = ½ × 对角线乘积。 【例6】（2026•望奎县一模）如图，菱形中，，，则菱形的面积是（　　） A．3 B． C． D．6 【例7】（2024•琼山区校级一模）已知菱形的周长为20，一条对角线长为8，则菱形的面积为 　24　． 🔹 提升篇：能力提升 题型4：菱形的判定证明 【方法点拨】根据已知条件选择合适的判定方法。 【例8】（2024·四川攀枝花）四边形ABCD是平行四边形，给出下列四个条件： ① AB = BC；② AC = BD；③ AC⊥BD；④ AC平分∠BAD。 若添加其中一个条件，不能使四边形ABCD是菱形的为（ ） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 【例9】（2026•昭阳区校级模拟）如图，在四边形中，，平分，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，△的周长为18，求菱形的面积． 题型5：菱形与平移/坐标综合 【方法点拨】平移不改变图形的形状和大小，结合菱形判定条件列方程求解。 【例10】（2026•济源校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点与原点重合，点在轴正半轴上，点，过点作于点，于点，将△沿着轴正方向平移，当边经过点时，平移的距离为_____________． 题型6：菱形与三角形综合 【例11】（2026春•虹口区期末）已知四边形是菱形，，如果用剪刀将该菱形只剪两刀，则可以得到三个等腰三角形，那么的度数为_____________． 【例12】（2020•松北区一模）在四边形中，，平分，平分． （1）如图1，求证：四边形是菱形； （2）如图2，过点作交延长线于点，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中所有与面积相等的三角形除外） 🔹 拓展篇：培优拔尖 题型7：菱形中的折叠问题 【方法点拨】折叠前后对应边相等、对应角相等，结合菱形性质列方程。 【例13】（2022•邓州市一模）如图（1）是一张菱形纸片，其中，，点为边上一动点．如图（2），将纸片沿翻折，点的对应点为；如图（3），将纸片再沿折叠，点的对应点为．当与菱形的边垂直时，的长为 ____________． 【例14】（2013春•龙岗区校级月考）如图，将平行四边形纸片沿折叠，使点与点重合，点落在点处． （1）求证：； （2）连接，若平行四边形的面积为8，，求的值． 五、易错点警示 易错点 典型错误 避坑指南 对角线性质理解不全 只记住「对角线垂直」，忘了「平分一组对角」 完整记忆：垂直 + 平分 + 平分对角 判定条件不完整 「对角线垂直的四边形是菱形」（漏了平行四边形前提） 先判断是否为平行四边形，再看判定条件 面积公式记错 面积 = 对角线乘积（忘了乘½） 联想四个直角三角形面积之和 对称轴数量错判 认为有4条对称轴 只有2条（对角线所在直线） 混淆性质与判定 把判定当性质用，或反之 性质：已知菱形→推出结论；判定：已知条件→推出是菱形 六、解题方法与技巧归纳 【常用技巧】 1. 一个菱形四个Rt△ 菱形对角线分出四个全等的直角三角形，很多问题转化为直角三角形问题解决。这是最常用的转化思想！ 2. 面积法 求菱形高时，用“面积 = 底 × 高 = ½对角线乘积”建立等式，是求高的常用方法。 3. 判定选择口诀 已知平行四边形 → 邻边相等 或 对角线垂直 已知普通四边形 → 四边相等 或 先证平行四边形 4. 方程思想 菱形中求未知线段长度时，常设未知数列方程（勾股定理）。 5. 60°菱形 菱形中有一个角是60°时，会出现等边三角形，这是高频考点模型！ 七、课堂巩固练习 A组（基础达标） 1．（2026•双流区校级模拟）如图，在菱形中，对角线与相交于点，则下列结论一定正确的是（　　） A． B． C． D． 2．（2026春•金寨县期末）如图，在平行四边形中，对角线、相交于点，添加下列条件，不能使其成为菱形的是（　　） A． B． C． D．平分 3．（2026春•韩城市期末）如图，菱形的对角线，相交于点，点是边的中点，点是边的中点，连接，若，，则的长为（　　） A．16 B． C．20 D． 4．（2026春•天水校级期末）在菱形中如图，，，则（　　） A． B． C． D． 5．（2026春•聊城期中）如图，是菱形的对角线，作的垂直平分线分别交、于点、，连接、，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 6．（2026春•裕安区校级同步）如图，小明在参观故宫时，被太和殿窗棂的三交六椀菱花图案所吸引，他从中提取出一个含的菱形．若，则菱形的面积为（　　） A．2 B．4 C． D． 7．（2026•深圳校级模拟）如图，菱形的对角线相交于点，过点且与边，分别相交于点，．若，，则△与△的面积之和为（　　） A．1 B．2 C．4 D． 8．（2026•湖北模拟）如图，菱形的对角线交点在原点．若，则点的坐标是（　　） A． B． C． D． 9．（2026春•临泉县期末）如图，在四边形中，，分别是，的中点，，分别是对角线，的中点，若四边形是菱形，则四边形应满足的条件是（　　） A． B． C． D． B组（能力提升） 10．（2026春•赫山区期末）如图，菱形中，对角线与交于点，于点，为线段上一点，若，，，则线段的长度为（　　） A．5 B．4 C．3 D．2 11．（2026春•红谷滩区校级期末）如图，在菱形中，，，线段（点在点的左侧）在直线上移动，且，当△为直角三角形时，的长为_____________．． 12．（2026春•海安市期末）如图，在菱形中，，交于点，于点，，，则菱形的面积为_____________． 13．（2026春•庐江县校级期末）如图，在菱形中，，分别是边，上的动点，连接，，，分别为，的中点，连接．若，，则： （1）对角线的长为_____________． （2）的最小值为_____________． 14．（2026春•天心区校级期中）如图，在四边形中，，，对角线，交于点，平分． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，过点作交的延长线于点，连接，求的长． 15．（2026春•扬州期末）如图，已知平行四边形中，对角线，交点，是延长线上的点，且是等边三角形． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，求四边形的面积． C组（拓展挑战） 16．（2026•榆林二模）我国古代数学家刘徽将勾股形分割成一个正方形和两对全等的三角形（如图①．现对该图形改编如下：如图②，在△中，，、分别平分、，点、分别在、上，连接、，四边形是菱形，延长交于点，若，，则菱形的面积为（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 17．（2026春•同步）如图，点，分别是矩形的边，的中点，两条平行线，分别经过菱形的顶点，和边，的中点，，已知菱形的面积为，则图中阴影部分的面积和为 _____________．（用含的代数式表示） 18．（2026春•西安校级期末）如图，在菱形中，，过点作，垂足为，过点作，分别交，于点，，，分别是，的中点，连接，若，则的长为_____________． 19．（2026春•北辰区期中）如图，菱形的对角线、相交于点，过点作且，连接交于点，连接． （1）求证：； （2）若菱形的边长为4，，求的长． 20．（2026春•温江区校级期末）如图，四边形为平行四边形，为对角线的中点，过点作分别交边，于点，，垂足为． （1）求证：四边形为菱形； （2）在的延长线上取一点，使，连接．若为的中点，且，，求线段的长度，并求出△ 的面积． 学科网（北京）股份有限公司 $【北师大版九年级数学上册|教师版（含详解）】 第一章特殊平行四边形 1.2菱形的性质与判定 一、学习目标与考情透视 【学习目标】 1.理解菱形的定义，掌握菱形的性质定理与判定定理； 2.能运用菱形的性质和判定进行有关的计算与证明。 【重点难点】 ★重点：菱形的性质定理与判定定理的推导及应用。 ★难点：菱形性质与判定的灵活选用、综合应用。 【考情透视】 菱形是中考的高频考点，常以选择题、填空题、证明题的形式出现。考查内容主 要包括：菱形的性质（边、对角线、面积）、菱形的判定、菱形与三角形/面积计算的 综合应用。在压轴题中，菱形常与动点、折叠、坐标系等结合考查。 二、知识导图 定义 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形 具备一般平行四边形的所有性质 性质 四条边相等一菱形的周长等于边长的4倍 对角线互相垂直平分且每条对角线平分一组对角 菱形 定义一 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形 判定 四边相等的四边形是菱形 定理 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 底乘高 面积求法 对角线长乘积的一半 【北师大版九年级数学上册|教师版（含详解）】 三、知识点精讲 【知识点1】菱形的定义 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。 几何语言： ,四边形ABCD是平行四边形，且AB=BC ∴.四边形ABCD是菱形 【要点解读】 ①菱形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的一切性质： ②「邻边相等」是菱形区别于一般平行四边形的关键特征 ③定义具有双重性：既是菱形的性质，也是菱形的判定方法。 【知识点2】菱形的性质 性质1：边的性质—四条边都相等 几何语言：，'四边形ABCD是菱形∴.AB=BC=CD=DA 性质2：对角线的性质—对角线互相垂直，且每条对角线平分一组对角 几何语言：'四边形ABCD是菱形 ∴.AC⊥BD,AC平分∠BAD和∠BCD,BD平分∠ABC和∠ADC 性质3：对称性—轴对称图形+中心对称图形 轴对称：有2条对称轴，分别是两条对角线所在的直线： 中心对称：对称中心是对角线的交点。 性质4：面积与周长 周长：L=4a(a为边长) 面积：S=底×高=%×d1×d2(d1、d2为两条对角线长) 【重要结论】菱形被两条对角线分成四个全等的直角三角形： 这个结论非常重要！很多菱形的问题都可以转化为直角三角形的问题来解决。 【知识点3】菱形的判定 判定方法1（定义法）：一组邻边相等的平行四边形是菱形 几何语言：，'四边形ABCD是平行四边形，且AB=BC∴.四边形ABCD是菱形 判定方法2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形 【北师大版九年级数学上册|教师版（含详解）】 几何语言：.'四边形ABCD是平行四边形，且AC⊥BD∴.四边形ABCD是菱形 判定方法3：四条边都相等的四边形是菱形 几何语言：AB=BC=CD=DA.四边形ABCD是菱形 【判定方法选择技巧】 已知条件 推荐判定方法 己知是平行四边形 证一组邻边相等/证对角线垂直 己知是一般四边形 证四条边相等/先证平行四边形再证菱形 四、题型分层突破 ◇基础篇：夯实基础 题型1：利用菱形性质求边长/周长 【方法点拨】菱形四边相等，周长=4×边长。已知周长直接除以4得边长；已知对 角线长，利用勾股定理求边长。 【例1】(2026·扬州三模)菱形 的两条对角线的长分别为10和24，则边 的长 为() A.10 B.12 C.13 D.17 【解答】解： 菱形对角线互相垂直平分， △ 为直角三角形，且 故选： 【北师大版九年级数学上册丨教师版（含详解）】 【北师大版九年级数学上册|教师版（含详解）】 【例2】（2025·安徽模拟)在菱形 中，点是对角线上一点，且 ,则 的长为() A.1 B.2 c D 【解答】解：根据题意，作图如下，设对角线， 交于点， P B 四边形 是菱形， 解得： (不符合题意，舍去)， 【北师大版九年级数学上册丨教师版（含详解）】 ，即 故选：· 【北师大版九年级数学上册|教师版（含详解）】 【例3】(2023春·望花区期末)两张全等的矩形纸片 按如图所示的方式交 叉叠放， 与 交于点， 与交于点，且 ,则四边形 的周长为() H D 9 G C E A.4 B.8 C.12 D.16 【解答】解： 四边形 和四边形 是矩形， 四边形 是平行四边形， 在△ 和△ 中， △ △ 平行四边形 是菱形， 四边形 的周长为 故选： 【北师大版九年级数学上册丨教师版（含详解）】 题型2：利用菱形性质求角度 【方法点拨】对角线平分一组对角+邻角互补+等腰三角形性质。 【例4】(2026春·天水校级期末)在菱形 中如图， ,则 () A B D E C A. B c D 【解答】解：四边形 是菱形， 在△ 中， 故选： 【例5】(2026春·聊城期中)如图， 是菱形 的对角线，作 的垂直平分线分 别交 、于点、，连接 、,若 ,则 的度数为 () A D E B. C. D 【北师大版九年级数学上册丨教师版（含详解）】 【解答】解：四边形 为菱形， 在△ 和△ 中， △ △ 垂直平分， 故选： 题型3：菱形面积计算 【方法点拨】两种面积公式灵活选用：S=底×高=×对角线乘积。 【例6】(2026望奎县一模)如图，菱形中， ,则菱形 的面积是() D A.3 B. C. D.6 【解答】解：菱形 中， 【北师大版九年级数学上册|教师版（含详解）】 △ 是等边三角形， 菱形 的面积 故选： 【例7】(2024琼山区校级一模)已知菱形的周长为20，一条对角线长为8，则菱形的面 积为24- 【解答】解： ,则 菱形周长为20，则 菱形对角线互相垂直平分， 故菱形的面积 故答案为24. A B ◇提升篇：能力提升 题型4：菱形的判定证明 【方法点拨】根据已知条件选择合适的判定方法。 【北师大版九年级数学上册|教师版（含详解）】 【例8】(2024四川攀枝花)四边形ABCD是平行四边形，给出下列四个条件： ①AB=BC;②AC=BD:③AC⊥BD;④AC平分∠BAD。 若添加其中一个条件，不能使四边形ABCD是菱形的为() A.①B.②C.③D.④ 【答案】B【解析】 ①AB=BC:一组邻边相等的平行四边形是菱形√ ②AC=BD:对角线相等的平行四边形是矩形，不是菱形X ⑥：口对角线互相垂直的平行四边形是菱形√ ④AC平分∠BAD:可推出AB=BC,是菱形√ 故选B。 【例9】(2026昭阳区校级模拟)如图，在四边形 中， 平分 (1)求证：四边形 是菱形： (2)若 ，△ 的周长为18，求菱形 的面积. D 0 A B E 【解答】(1)证明： 平分 (角平分线的定义)， (等边对等角)， (等量代换)， 【北师大版九年级数学上册丨教师版（含详解）】 (内错角相等，两直线平行)· 又 四边形 是平行四边形， 四边形 是菱形 (2)解： 四边形 是菱形， ,△ 的周长为18， ,则 在△ 中， 。 菱形 的面积为 题型5：菱形与平移/坐标综合 【方法点拨】平移不改变图形的形状和大小，结合菱形判定条件列方程求解。 【例10】(2026~济源校级模拟)如图，在平面直角坐标系中，菱形 的顶点与原 点重合，点在轴正半轴上，点 ，过点作 于点， 于点， 将△ 沿着轴正方向平移，当边经过点时，平移的距离为 y 【解答】解：过点作 轴于点，如图， 【北师大版九年级数学上册丨教师版（含详解）】 E 四边形 是菱形， △ △ 即 当边经过点时，平移的距离为， 【北师大版九年级数学上册丨教师版（含详解）】 故答案为：· 题型6：菱形与三角形综合 【例11】(2026春•虹口区期末)己知四边形 是菱形， ,如果用剪刀将 该菱形只剪两刀，则可以得到三个等腰三角形，那么 的度数为或或 【解答】解：连接，在上取一点，使 ,且 D E 四边形 是菱形， ,则△，△，△ 是等腰三 角形， 设 ,则 即 【北师大版九年级数学上册丨教师版（含详解）】 解得 ,即 连接，在 上取一点，使 ,且 D 、 ----1-----> E 设 ,则 四边形 是菱形， ，且 9 解得 连接，在上取一点，使 ,且 0 B 四边形 是菱形， ,则△，△，△ 是等腰三 角形， 设 ,则 【北师大版九年级数学上册|教师版（含详解）】 即 解得 ，即 所以 的度数为 或 或 故答案为： 或或 【例12】（2020·松北区一模)在四边形 中， ,平分 平 分 (1)如图1，求证：四边形 是菱形： (2)如图2，过点作 交 延长线于点，在不添加任何辅助线的情况下，请 直接写出图中所有与 面积相等的三角形 除外) D D B 图1 B 图2 C 【解答】(1)证明： 平分 【北师大版九年级数学上册丨教师版（含详解）】 设、 相交于点， 又 平分 在 和 中， 四边形 是平行四边形， 又 四边形 是菱形； (2) 四边形 是平行四边形， 图中所有与 面积相等的三角形有 D B ◇拓展篇：培优拔尖 题型7：菱形中的折叠问题 【北师大版九年级数学上册丨教师版（含详解）】 【方法点拨】折叠前后对应边相等、对应角相等，结合菱形性质列方程。 【例13】(2022•邓州市一模)如图(1)是一张菱形纸片，其中 点为边上一动点.如图(2)，将纸片沿翻折，点的对应点为；如图 (3)，将纸片再沿折叠，点的对应点为·当与菱形的边垂直时，的长 为一或 ⊙ E ⊙ C E C B D A y 图(1) 图(2) 图3) 【解答】解： 分两种情况讨论：①当 时，如图， E --B A 图(3) 设 交于点， 则 【北师大版九年级数学上册|教师版（含详解）】 ②当 时，如图， B E B 则 过点作 于点， 设 ,则 解得， 综上可知， 的长为或 故答案为： 或 【例14】(2013春·龙岗区校级月考)如图，将平行四边形 纸片沿 折叠，使点 与点重合，点落在点处 (1)求证： 【北师大版九年级数学上册|教师版（含详解）】 (2)连接，若平行四边形 的面积为8， ，求 的值. G D 【解答】(1)证明：在 中， 纸片沿折叠，点与点重合，点落在点处， 在 和 中， (2)解：连接， 根据翻折的性质 又 四边形 是平行四边形， 根据翻折后点、 重合， 是菱形， 菱形 的面积， 的面积， 【北师大版九年级数学上册|教师版（含详解）】 的面积 菱形 的面积等于 菱形 的面积. G 五、易错点警示 易错点 典型错误 避坑指南 对角线性质理解不全 只记住「对角线垂直」，忘了「平分 完整记忆：垂直+平分+ 一组对角」 平分对角 判定条件不完整 「对角线垂直的四边形是菱形」（漏 先判断是否为平行四边形， 了平行四边形前提) 再看判定条件 面积公式记错 面积=对角线乘积（忘了乘） 联想四个直角三角形面积之 和 对称轴数量错判 认为有4条对称轴 只有2条（对角线所在直 线) 混淆性质与判定 把判定当性质用，或反之 性质：己知菱形→推出结 论；判定：己知条件→推出 是菱形 六、解题方法与技巧归纳 【常用技巧】 1.「一个菱形四个Rt△」技巧 菱形对角线分出四个全等的直角三角形，很多问题转化为直角三角形问题解决。 【北师大版九年级数学上册|教师版（含详解）】 这是最常用的转化思想！ 2.面积法 求菱形高时，用「面积=底×高=⅓对角线乘积」建立等式，是求高的常用方 法。 3.判定选择口诀 己知平行四边形→邻边相等或对角线垂直 己知普通四边形→四边相等或先证平行四边形 4.方程思想 菱形中求未知线段长度时，常设未知数列方程（勾股定理）。 5.「60°菱形」模型 菱形中有一个角是60°时，会出现等边三角形，这是高频考点模型！ 七、课堂巩固练习 A组（基础达标） 1.（2026·双流区校级模拟)如图，在菱形 中，对角线与 相交于点，则 下列结论一定正确的是( D A B. c D 【解答】解：、错误.菱形的对角线互相平分且垂直，但不一定相等，不合题意： 、错误.菱形的对角线互相平分且垂直，但不一定相等，不合题意： 、正确.菱形的对角线互相平分且垂直，符合题意： 、错误.菱形的对角相等，但邻角不一定相等，不合题意： 故选： 2.(2026春·金寨县期末)如图，在平行四边形 中，对角线、 相交于点， 添加下列条件，不能使其成为菱形的是() A 【北师大版九年级数学上册丨教师版（含详解）】 A. B C. D. 平分 【解答】解：、 四边形 是平行四边形， 平行四边形 是菱形，不符合题意； 、 四边形 是平行四边形， 平行四边形 是菱形，不符合题意； 、 四边形 是平行四边形， ,不能证明平行四边形 是菱形，符合 题意： 、 四边形 是平行四边形， 平分 平行四边形 是菱形，不符合题意： 故选： 3.(2026春·韩城市期末)如图，菱形 的对角线， 相交于点，点是边 的中点，点是边的中点，连接，若 ,则 的长为 0 A.16 B. C.20 D. 【解答】解：菱形 的对角线， 相交于点，、分别是，的中 点， 【北师大版九年级数学上册|教师版（含详解）】 在△ 中， 故选： 4.(2026春·天水校级期末)在菱形 中如图， ,则 () A B D E A. B. C. D 【解答】解： 四边形 是菱形， 在△ 中， 故选： 5.(2026春·聊城期中)如图， 是菱形 的对角线，作 的垂直平分线分别交 于点、，连接 、 ,若 ,则 的度数为() A E B F 【北师大版九年级数学上册丨教师版（含详解）】 A. B. C. D. 【解答】解： 四边形 为菱形， 在△ 和△ 中， △ △ 垂直平分 故选： 6.(2026春·裕安区校级同步)如图，小明在参观故宫时，被太和殿窗棂的三交六椀菱花 图案所吸引，他从中提取出一个含的菱形 .若 ,则菱形 的面积为 () A B<60 太和殿窗棂 图1 A.2 B.4 D 【解答】解：如图：连接交于， 【北师大版九年级数学上册丨教师版（含详解）】 B60 C 四边形 是菱形， ,△ 为等边三角形， 故选： 7.(2026·深圳校级模拟)如图，菱形 的对角线相交于点， 过点且与边 分别相交于点，·若 ,则△ 与△ 的面积之和为 ( D O B A.1 B.2 C.4 D 【解答】解：四边形 是菱形， △ △ 【北师大版九年级数学上册|教师版（含详解）】 故选： 8.(2026·湖北模拟)如图，菱形 的对角线交点在原点.若 ,则点的坐 标是（ y D B A B c D 【解答】解：四边形 是菱形， 点和点关于原点对称， 故选： 9.(2026春•临泉县期末)如图，在四边形 中，，分别是 的中点， ，分别是对角线， 的中点，若四边形 是菱形，则四边形 应满足 的条件是( D A H A B C. D 【北师大版九年级数学上册丨教师版（含详解）】 【解答】解： 分别是，的中点， 是△ 的中位线， 同理， 四边形 是平行四边形， 分别是， 的中点， 是△ 的中位线， 时， 四边形 是菱形， 若四边形 为菱形，则四边形 需满足的条件是 故选：· B组（能力提升） 10.(2026春~赫山区期末)如图，菱形 中，对角线与交于点， 于点，为线段上一点，若 ,则线段 的长度为( ) B O F A.5 B.4 C.3 D.2 【解答】解：四边形 是菱形， 【北师大版九年级数学上册|教师版（含详解）】 由勾股定理得到： 于点， 菱形 的面积 由勾股定理得到： 故选： 11.(2026春·红谷滩区校级期末)如图，在菱形 中， ，线段 (点在点的左侧)在直线上移动，且 ,当△ 为直角三角形时， 的长为 或2或 A E F B 【解答】解：如图，连接，与交于点， D A C o B 【北师大版九年级数学上册丨教师版（含详解）】 ,四边形 是菱形， 9 当 即点与点重合时，如图， D O(E) B 当 即点与点重合时，如图， D A O(F) B 当 时，如图， D A C E 0 】 B 设 ,则 △ 是直角三角形， 【北师大版九年级数学上册丨教师版（含详解）】 解得 故答案为： 或2或. 12.(2026春·海安市期末)如图，在菱形 中，，交于点， 于 点 ,则菱形 的面积为24· D E B 【解答】解： 四边形 是菱形， 设 菱形 的面积 【北师大版九年级数学上册丨教师版（含详解）】 故答案为：24. 13.(2026春·庐江县校级期末)如图，在菱形 中，，分别是边， 上的 动点，连接，，，分别为， 的中点，连接·若 ,则： (1)对角线 的长为 (2) 的最小值为一· D Q B F 【解答】解：(1)过点作 ,交的延长线于点，如图1所示： A D E Q B 图1 四边形 是菱形， 在△ 中， 由勾股定理得： 【北师大版九年级数学上册丨教师版（含详解）】 在△ 中， 由勾股定理得： 故答案为： (2)连接，过点作 于点，如图2所示： A E Q B FP 图2 四边形 是菱形， 在△ 中， 由勾股定理得： ，分别为， 的中点， 是△ 的中位线， 当为最小时，则 为最小， 根据“垂线段最短”得： 当点与点重合时，为最小，最小时为 【北师大版九年级数学上册丨教师版（含详解）】 此时 的最小值为 故答案为： 14.(2026春·天心区校级期中)如图，在四边形 中， ,对角 线 交于点，平分 （1)求证：四边形 是菱形： （2)若 ,过点作 交 的延长线于点，连接，求 的 长 D 0 A B 【解答】(1)证明： 平分 四边形 是平行四边形： 四边形 是菱形； (2)解： ,四边形 是菱形， 【北师大版九年级数学上册|教师版（含详解）】 是直角三角形斜边上的中线， 15.(2026春·扬州期末)如图，己知平行四边形 中，对角线， 交点， 是 延长线上的点，且 是等边三角形. (1)求证：四边形 是菱形： (2)若 ,求四边形 的面积. E y B C 【解答】(1)证明： 是等边三角形， 四边形 是平行四边形， 即 是菱形： (2)解： 是等边三角形， 由(1)知， 是直角三角形， 【北师大版九年级数学上册|教师版（含详解）】 四边形 是菱形， 菱形 是正方形， 四边形 的面积 C组（拓展挑战） 16.(2026·榆林二模)我国古代数学家刘徽将勾股形分割成一个正方形和两对全等的三角 形（如图①·现对该图形改编如下：如图②，在△中， 分 别平分 ，点、分别在、上，连接 、，四边形 是 菱形，延长交于点，若 ,则菱形 的面积为() 图① 图② A.2 B.4 C.6 D.8 【解答】解： 四边形 是菱形，延长交于点， ,即 ，即 如图，过点作 A D B 【北师大版九年级数学上册|教师版（含详解）】 平分 故选： 17.(2026春·同步)如图，点，分别是矩形 的边， 的中点，两条平行 线， 分别经过菱形 的顶点，和边 的中点，，己知菱形 的面积为，则图中阴影部分的面积和为一一（用含的代数式表示） C G H M B F 【解答】解：如图，连接、 交于点，设交于点，交于点，连接 四边形 是矩形， 、分别是、 的中点， 四边形 是平行四边形， 四边形 是矩形， 四边形 是菱形， 【北师大版九年级数学上册丨教师版（含详解）】 点是的中点， 在 和 中， 点 是矩形 的中心，即、、三点在同一条直线上， 在 中， 四边形 是平行四边形， 同理，四边形 是平行四边形， 【北师大版九年级数学上册|教师版（含详解）】 同理可得， 菱形 的面积为， 故答案为： E G H M B F 18.（2026春·西安校级期末)如图，在菱形 中， ,过点作 ,垂足为，过点作 ,分别交 ，于点，，，分别 是，的中点，连接，若 ,则的长为 【北师大版九年级数学上册丨教师版（含详解）】 D N 4 G A E B 【解答】解：在菱形 中， 四边形 是平行四边形， 连接，则△ 是等边三角形， 【北师大版九年级数学上册丨教师版（含详解）】 D Q N M A E B 取 中点，连接 并延长交于，连接， 是 的中点， 是△ 的中位线， 的中点， 是△ 的中位线， 【北师大版九年级数学上册丨教师版（含详解）】 故答案为： 19. (2026春·北辰区期中)如图，菱形 的对角线、 相交于点，过点作 且 ,连接交于点，连接 (1)求证： (2)若菱形 的边长为4， ，求的长. A D B 【解答】(1)证明：四边形 是菱形， 四边形 是平行四边形， （2)如图，连接 F 0 B 菱形 的边长为4， 【北师大版九年级数学上册|教师版（含详解）】 △ 为等边三角形， 由(1)可知， 四边形 是平行四边形， 在△ 中，由勾股定理得： 答： 的长为 20.(2026春·温江区校级期末)如图，四边形 为平行四边形， 为对角线 的 中点，过点作 分别交边 于点，，垂足为· (1)求证：四边形 为菱形： (2)在的延长线上取一点，使 ，连接·若为 的中点，且 ,求线段 的长度，并求出△ 的面积. ② C G 【解答】(1)证明：点为的中点， ,垂足为， 是的垂直平分线， 四边形 是平行四边形， 【北师大版九年级数学上册丨教师版（含详解）】 在△ 和△ 中， △ △ 四边形 为菱形： (2)解：过点作 于点，如图所示： A 内 0 0 B F H G 点在 的延长线上， 是△ 的外角， 四边形 为菱形， 点为的中点，为 的中点， 是△ 的中位线， 在△ 中， 【北师大版九年级数学上册丨教师版（含详解）】 由勾股定理得： 在△ 中， ☑ 的面积为： 线段 的长度为6：并求出△ 的面积为