1.3 矩形的性质与判定讲义 2026--2027学年北师大版九年级数学上册

本讲义聚焦矩形的性质与判定核心知识点，以平行四边形为基础，通过动态转化引出矩形定义，梳理边、角、对角线、对称性等性质，证明四个角为直角及对角线相等，推导直角三角形斜边上的中线定理，进而探究三个直角的四边形、对角线相等的平行四边形等判定方法，形成完整知识脉络。 资料设计突出动态探究与逻辑推理，通过活动平行四边形观察变与不变培养几何直观，性质判定证明过程发展推理能力，几何语言规范表达强化数学语言。例题与分层习题结合生活实例，课中辅助教师引导探究，课后帮助学生巩固提升，查漏补缺。

1.3 矩形的性质与判定 复习回顾： 矩形的定义： 有一个角是直角的平行四边形叫作矩形 . · 利用一个活动的平行四边形(平行四边形的一个内角变化)，转化为矩形： 不变： 对边仍保持相等，对边仍分别平行，所以仍然是平行四边形 变： 角的大小 尝试·思考 你认为矩形有哪些特殊的性质？ 矩形的性质：边：对边平行且相等 角：对角相等 对角线：对角线互相平分 对称性：①中心对称图形(对称中心为对角线的交点)； ②轴对称图形(对称轴为对边中点的连线，有两条对称轴) · 可以发现：矩形的四个角都是直角，对角线相等.下面我们证明这些结论. 已知：如图，四边形ABCD是矩形，∠ABC＝90°，对角线AC与DB相交于点O. 求证：(1)∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝∠DAB＝90°；(2)AC＝DB. 证明：(1)∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC＝∠CDA，∠BCD＝∠DAB(矩形的对角相等)，AB∥DC(矩形的对边平行). ∴∠ABC＋∠BCD＝180° 又∵∠ABC＝90°，∴∠BCD＝90° ∴∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝∠DAB＝90° (2)∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝DC(矩形的对边相等)， 在△ABC和△DCB 中，∵AB＝DC，∠ABC＝∠DCB，BC＝CB. ∴△ABC≌△DCB.∴AC＝DB. · 定理： ①矩形的四个角都是直角 几何语言： ∵四边形ABCD是矩形 ∴∠DAB＝∠DCB＝∠ADC＝∠ABC＝90° ②矩形的对角线相等 几何语言： ∵四边形ABCD是矩形 ∴ AC＝DB 观察·思考 · 如图，在矩形纸片ABCD中，对角线AC与BD相交于点E.将矩形纸片沿AC剪开，得到如图所示的图形，BE是Rt△ABC中一条怎样的线段？它与AC有什么大小关系？由此你能得到什么结论？ · 定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 几何语言：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是斜边AB的中点. 可得：CD＝AB＝AD＝BD. · 请完成这个定理的证明： 证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AB＝DC(矩形的对边相等)， ∴BE＝DE＝AE＝CE， 在Rt△ABC中，AC为斜边，BE为斜边上中线， ∴BE＝AC. [例1] 如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠AOD＝120°，AB＝2.5，求这个矩形对角线的长. 解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠DAB＝90°(矩形的四个角都是直角)，AC＝BD(矩形的对角线相等)， OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD(矩形的对角线互相平分). ∴OA＝OD ∵∠AOD＝120°， ∴∠ODA＝∠OAD＝(180°－120°)＝30°. ∴BD＝2AB＝2×2.5＝5. 随堂练习： 1. 如图，在矩形ABCD中，两条对角线AC与BD相交于点O，AB＝6，OA＝4. 求BD与AD的长. 解：∵四边形 ABCD 是矩形， ∴ AC＝BD（矩形的对角线相等）， ∴BD＝2AO＝8， 在 Rt△ABD 中，AD2＋AB2＝BD2， AD2＋62＝82，∴AD＝2 思考·交流 · 矩形的角具有怎样的性质？你能写出它的逆命题吗？它是真命题吗？为什么？ 性质：矩形的四个角都是直角 逆命题：如果一个四边形的四个角都是直角，那么这个四边形是矩形. · (1)一个四边形至少有几个角是直角时，这个四边形就是矩形呢？ (1个直角) (2个直角) (3个直角) 猜想： 有三个角是直角的四边形是矩形 (2)随着∠α的变化两条对角线的长度将发生怎样的变化？当两条对角线的长度相等时平行四边形有什么特征？ ∠α＜90° ∠α＝90° ∠α＞90° 猜想： 对角线相等的平行四边形是矩形 · 可以发现：①有三个角是直角的四边形是矩形，②对角线相等的平行四边形是矩形. ①已知：如图，在四边形ABCD，∠A＝∠B＝∠C＝90°. 求证：四边形ABCD是矩形. 证明：∵∠A＝∠B＝∠C＝90°，∴∠A＋∠B＝180°，∠B＋∠C＝180°. ∴AD∥BC，AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形. ∴四边形ABCD是矩形. ②已知：如图，在□ABCD 中，AC ，DB是它的两条对角线，AC＝DB.求证：□ABCD是矩形. 证明：四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝DC，AB∥DC. 又∵BC＝CB，AC＝DB， ∴△ABC≌△DCB.∴∠ABC＝∠DCB. ∵AB∥DC，∴∠ABC＋∠DCB＝180°. ∴∠ABC＝∠DCB＝×180°＝90°. ∴□ABCD是矩形(矩形的定义) · 定理： ①有三个角是直角的四边形是矩形 几何语言： 在四边形ABCD中， ∵∠A＝∠B＝∠C＝90° ∴四边形ABCD是矩形 ②对角线相等的平行四边形是矩形 几何语言： ∵四边形 ABCD 是平行四边形，AC＝BD ∴四边形 ABCD 是矩形 [例2] 如图，在□ ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，△ABO是等边三角形，AB＝4，求□ ABCD的面积. 解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD. 又∵△ABO是等边三角形，∴OA＝OB＝AB＝4. ∴OA＝OB＝OC＝OD＝4. ∴AC＝BD＝2OA＝2×4＝8. ∴□ABCD是矩形(对角线相等的平行四边形是矩形). ∴∠ABC＝90°(矩形的四个角都是直角). 在Rt△ABC中，由勾股定理，得 AB2＋BC2＝AC2， ∴BC＝＝4 ∴S□ABCD＝AB·BC＝4×4＝16 随堂练习 1. 已知：如图，在□ABCD中，M是边AD的中点，且MB＝MC.求证：四边形ABCD是矩形. 证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD， ∴∠A＋∠D＝180°， ∵点M是AD的中点，∴AM＝DM， 又∵BM＝CM，∴△ABM≌△DCM(SSS)， ∴∠A＝∠D＝90°，∴平行四边形ABCD是矩形. 习题1.3 [知识技能] 1. 一个矩形的对角线长为6，对角线与一边的夹角是45°，求这个矩形的各边长. 解：∵四边形 ABCD 是矩形，∴ ∠A＝90°， 又∵∠ABD＝45°，∴△ABD是等腰直角三角形， ∴AB＝AD，AB2＋AD2＝62，∴AB＝AD＝BC＝CD＝3 2. 一个矩形的两条对角线的一个夹角为 60°，对角线长 为 15，求这个矩形较短边的长. 解：矩形较短边的长度＝7.5 3. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB的中点，AE∥CD，CE∥AB，试判断四边形ADCE的形状，并证明你的结论. 解：四边形ADCE是菱形，证明：∵AE∥CD，CE∥AB，∴四边形ADCE为平行四边形. 又∵在△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB中点，∴AD＝CD.∴四边形ADCE为菱形. 4. 如图，在△ABC中，AD为BC边上的中线，延长AD至E，使 DE＝AD，连接 BE，CE. (1)试判断四边形ABEC的形状； (2)当△ABC满足什么条件时，四边形ABEC是矩形？ 解：(1)四边形ABEC是平行四边形；(2)当△ABC满足∠BAC＝90°时，四边形 ABEC 是矩形. 5. 如图，点B在线段MN上，过线段AB的中点O作MN的平行线，分别交∠ABM的平分线和∠ABN的平分线于点 C，D.试判断四边形ACBD的形状，并证明你的结论. 证明: ∵CD∥MN ，BC，BD分别为∠MBA，∠ABN的平分线， ∴∠ABD＝∠DBN＝∠CDB， ∠ABC＝∠CBM＝∠DCB， 且∠CBD＝90°， ∴OC＝OB＝OD ＝OA. ∵∠AOD＝∠COB，∴△AOD≌△COB， 则∠DAO＝∠OBC， AD∥BC，AD＝BC，∴四边形ACBD为平行四边形． 又∵AB＝CD，∴四边形ACBD为矩形. [数学理解] 6. 证明：如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形. 证明：如图，在△ABC中，AC边的中线BD等于AC的一半，则 AD＝BD＝DC， ∴∠1＝∠A，∠2＝∠C. 又∵∠1＋∠A＋∠2＋∠C＝180°， ∴2(∠1＋∠2)＝180°，即∠ABC＝90°，故△ABC为直角三角形. 7. 如图，在矩形 ABCD 中，AD＝6，对角线AC与BD相交于点O， AE⊥BD，垂足为E，ED＝3BE，求AE的长. 解：AE＝3. [问题解决] 8. 如图，已知菱形ABCD，画一个矩形，使得A，B，C，D四点分别在矩形的四条边上，且矩形的面积为菱形ABCD 面积的2倍，并说明你画图的正确性. 9. 你有哪些方法检查你家(或教室)门框的形状是不是矩形？如果仅有一根足够长的绳子，你怎样检查？请说明检查方法的正确性. 10. 如图，在△ABC中，AB＝AC，AD 是△ABC的一条角平分线，AN为△ABC的外角∠CAM 的平分线，CE⊥AN，垂足为 E.连接DE，交AC于点 F. (1)试判断四边形ABDE的形状，并证明你的结论. (2)线段DF与AB有怎样的关系？请证明你的结论. 解：(1)四边形ABDE是平行四边形；(2) DF＝AB，DF∥AB. 11. 如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，将矩形纸片折叠，使点C与点A重合.请在图中画出折痕，并求折痕的长. 解：折痕的长＝7.5cm. 12. 如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝3，AD＝4，P 是AD上不与A与D重合的一个动点，过点P分别作AC和 BD的垂线，垂足为E，F.求 PE＋PF的值. 解：PE＋PF＝ 6 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.3 矩形的性质与判定 复习回顾： 矩形的定义： . · 利用一个活动的平行四边形(平行四边形的一个内角变化)，转化为矩形： 不变： 变： 尝试·思考 你认为矩形有哪些特殊的性质？ 矩形的性质：边：对边平行且相等 角：对角相等 对角线：对角线互相平分 对称性：①中心对称图形(对称中心为对角线的交点)； ②轴对称图形(对称轴为对边中点的连线，有两条对称轴) · 可以发现：矩形的四个角都是直角，对角线相等.下面我们证明这些结论. 已知：如图，四边形ABCD是矩形，∠ABC＝90°，对角线AC与DB相交于点O. 求证：(1)∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝∠DAB＝90°；(2)AC＝DB. · 定理： ①矩形的四个角都是直角 几何语言： ∵四边形ABCD是矩形 ∴∠DAB＝∠DCB＝∠ADC＝∠ABC＝90° ②矩形的对角线相等 几何语言： ∵四边形ABCD是矩形 ∴ AC＝DB 观察·思考 · 如图，在矩形纸片ABCD中，对角线AC与BD相交于点E.将矩形纸片沿AC剪开，得到如图所示的图形，BE是Rt△ABC中一条怎样的线段？它与AC有什么大小关系？由此你能得到什么结论？ · 定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 几何语言：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是斜边AB的中点. 可得：CD＝AB＝AD＝BD. · 请完成这个定理的证明： [例1] 如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠AOD＝120°，AB＝2.5，求这个矩形对角线的长. 随堂练习： 1. 如图，在矩形ABCD中，两条对角线AC与BD相交于点O，AB＝6，OA＝4. 求BD与AD的长. 思考·交流 · 矩形的角具有怎样的性质？你能写出它的逆命题吗？它是真命题吗？为什么？ · (1)一个四边形至少有几个角是直角时，这个四边形就是矩形呢？ (1个直角) (2个直角) (3个直角) 猜想： (2)随着∠α的变化两条对角线的长度将发生怎样的变化？当两条对角线的长度相等时平行四边形有什么特征？ ∠α＜90° ∠α＝90° ∠α＞90° 猜想： · 可以发现：①有三个角是直角的四边形是矩形，②对角线相等的平行四边形是矩形. ①已知：如图，在四边形ABCD，∠A＝∠B＝∠C＝90°. 求证：四边形ABCD是矩形. ②已知：如图，在□ABCD 中，AC ，DB是它的两条对角线，AC＝DB.求证：□ABCD是矩形. · 定理： ①有三个角是直角的四边形是矩形 几何语言： 在四边形ABCD中， ∵∠A＝∠B＝∠C＝90° ∴四边形ABCD是矩形 ②对角线相等的平行四边形是矩形 几何语言： ∵四边形 ABCD 是平行四边形，AC＝BD ∴四边形 ABCD 是矩形 [例2] 如图，在□ ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，△ABO是等边三角形，AB＝4，求□ ABCD的面积. 随堂练习 1. 已知：如图，在□ABCD中，M是边AD的中点，且MB＝MC.求证：四边形ABCD是矩形. 习题1.3 [知识技能] 1. 一个矩形的对角线长为6，对角线与一边的夹角是45°，求这个矩形的各边长. 2. 一个矩形的两条对角线的一个夹角为 60°，对角线长 为 15，求这个矩形较短边的长. 3. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB的中点，AE∥CD，CE∥AB，试判断四边形ADCE的形状，并证明你的结论. 4. 如图，在△ABC中，AD为BC边上的中线，延长AD至E，使 DE＝AD，连接 BE，CE. (1)试判断四边形ABEC的形状； (2)当△ABC满足什么条件时，四边形ABEC是矩形？ 5. 如图，点B在线段MN上，过线段AB的中点O作MN的平行线，分别交∠ABM的平分线和∠ABN的平分线于点 C，D.试判断四边形ACBD的形状，并证明你的结论. [数学理解] 6. 证明：如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形. 7. 如图，在矩形 ABCD 中，AD＝6，对角线AC与BD相交于点O， AE⊥BD，垂足为E，ED＝3BE，求AE的长. [问题解决] 8. 如图，已知菱形ABCD，画一个矩形，使得A，B，C，D四点分别在矩形的四条边上，且矩形的面积为菱形ABCD 面积的2倍，并说明你画图的正确性. 9. 你有哪些方法检查你家(或教室)门框的形状是不是矩形？如果仅有一根足够长的绳子，你怎样检查？请说明检查方法的正确性. 10. 如图，在△ABC中，AB＝AC，AD 是△ABC的一条角平分线，AN为△ABC的外角∠CAM 的平分线，CE⊥AN，垂足为 E.连接DE，交AC于点 F. (1)试判断四边形ABDE的形状，并证明你的结论. (2)线段DF与AB有怎样的关系？请证明你的结论. 11. 如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，将矩形纸片折叠，使点C与点A重合.请在图中画出折痕，并求折痕的长. 12. 如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝3，AD＝4，P 是AD上不与A与D重合的一个动点，过点P分别作AC和 BD的垂线，垂足为E，F.求 PE＋PF的值. 6 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $