2.2 求解一元二次方程 同步讲义 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

本讲义聚焦初中数学“求解一元二次方程”核心知识点，系统梳理直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法、换元法及根的判别式，从基础解法到转化思想逐步深入，构建完整知识支架。 资料以题型为纲，“解题知识”模块明确方法步骤，典例与变式练习层次递进，纠错题目培养推理意识与运算能力，如换元法体现转化思想，根的判别式强化逻辑推理，课中辅助教师系统授课，课后助力学生查漏补缺提升应用意识。

2.2 求解一元二次方程 内 容 导 航 题型1 解一元二次方程-直接开平方法 题型2 解一元二次方程-配方法 题型3 解一元二次方程-公式法 题型4 解一元二次方程-因式分解法 题型5 换元法解一元二次方程 题型6 根的判别式 考 点 演 练 题型1 解一元二次方程-直接开平方法 解｜题｜知｜识 形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程． 如果方程化成x2＝p的形式，那么可得x＝±； 如果方程能化成（nx+m）2＝p（p≥0）的形式，那么nx+m＝±． 注意：①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数． ②降次的实质是由一个二次方程转化为两个一元一次方程． ③方法是根据平方根的意义开平方． 【典例1】先化简，再求值：，其中x是一元二次方程x2﹣1＝0的解． 【答案】；﹣2． 【解答】解：原式 ， ∵x2﹣1＝0， ∴x＝±1， ∵x≠﹣1， ∴x＝1， ∴原式． 【变式1】解方程：（x+3）2＝4（x﹣2）2． 【答案】x1＝7，x2． 【解答】解：（x+3）2＝4（x﹣2）2， 两边开平方，得x+3＝±2（x﹣2）， ∴x+3＝2（x﹣2）或x+3＝﹣2（x﹣2）． ∴x+3＝2x﹣4或x+3＝﹣2x+4． ∴x＝7或x． 所以原方程的解为：． 【变式2】计算：9（2x﹣1）2﹣16＝0． 【答案】，． 【解答】解：9（2x﹣1）2﹣16＝0， 移项：9（2x﹣1）2＝16， 两边同时除以9：， 直接开平方：，即， 解得：，． 【变式3】解方程：4x2﹣48＝0． 【答案】x1＝2，x2＝﹣2． 【解答】解：4x2﹣48＝0， 则x2＝12， 故x＝±2， 解得：x1＝2，x2＝﹣2． 题型2 解一元二次方程-配方法 解｜题｜知｜识 （1）将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法． （2）用配方法解一元二次方程的步骤： ①把原方程化为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式； ②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方； ④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数； ⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解． 【典例1】解方程： （1）（x﹣1）2﹣4＝0； （2）x2+2x﹣8＝0． 【答案】（1）x1＝﹣1，x2＝3； （2）x1＝﹣4，x2＝2． 【解答】解：（1）（x﹣1）2﹣4＝0， （x﹣1）2＝4， ∴x﹣1＝±2， ∴x﹣1＝2或x﹣1＝﹣2， ∴x1＝﹣1，x2＝3； （2）x2+2x﹣8＝0， x2+2x＝8， x2+2x+1＝8+1， （x+1）2＝9， ∴x+1＝±3， ∴x+1＝3或x+1＝﹣3， ∴x1＝﹣4，x2＝2． 【变式1】用合适的方法解方程：x2﹣6x﹣7＝0． 【答案】x1＝7，x2＝﹣1． 【解答】解：原方程移项得x2﹣6x＝7， 配方得（x﹣3）2＝16， 开方得x﹣3＝4或x﹣3＝﹣4， 解得：x1＝7，x2＝﹣1． 【变式2】解方程： （1）x2﹣2x﹣5＝0； （2）（2x+3）2＝（3x+2）2． 【答案】（1），； （2）x1＝1，x2＝﹣1． 【解答】解：（1）x2﹣2x﹣5＝0， x2﹣2x+1＝6， （x﹣1）2＝6， x﹣1， ，； （2）（2x+3）2＝（3x+2）2， 2x+3＝3x+2或2x+3＝﹣（3x+2）， x1＝1，x2＝﹣1． 【变式3】按要求解方程： （1）直接开平方法：25x2﹣16＝0； （2）配方法：x2﹣8x﹣1＝0． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）原方程移项得：25x2＝16， 两边同时除以25，得：， 直接开平方得：或； （2）原方程移项得：x2﹣8x＝1， 配方得：x2﹣8x+16＝17， 即（x﹣4）2＝17， 开方得：， ∴或． 题型3 解一元二次方程-公式法 解｜题｜知｜识 （1）把x（b2﹣4ac≥0）叫做一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的求根公式． （2）用求根公式解一元二次方程的方法是公式法． （3）用公式法解一元二次方程的一般步骤为： ①把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值（注意符号）； ②求出b2﹣4ac的值（若b2﹣4ac＜0，方程无实数根）； ③在b2﹣4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根． 注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a≠0；②b2﹣4ac≥0． 【典例1】已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+3）x+3k＝0． （1）求证：无论k为何值，此方程总有一个根是定值； （2）若直角三角形的一边为4，另两边恰好是这个方程的两根，求k的值． 【答案】见试题解答内容 【解答】（1）证明：∵x2﹣（k+3）x+3k＝0． ∴（x﹣3）（x﹣k）＝0， ∴无论k为何值，此方程总有一个根是x＝3． （2）解：令方程的两根为：x1，x2，则有：x1+x2＝k+3， 若斜边为4，可令另两直角边分别为3和k． ∴32+k2＝42， k2＝7， ∵k＞0． ∴k； 若直角边为4，则令斜边为k，另直角边为3． ∴42+32＝k2， ∵k＞0． ∴k＝5， 综上所述：k或k＝5． 【变式1】解方程：x（x﹣1）＝3． 【答案】x1，x2． 【解答】解：x（x﹣1）＝3， x2﹣x＝3， x2﹣x﹣3＝0， a＝1，b＝﹣1，c＝﹣3， Δ＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣3） ＝1+12 ＝13＞0， ∴x ∴x1，x2． 【变式2】解方程：． 有一位同学解答如下：这里，，，， ∴． ∴． 请你分析以上解答有无错误，如有错误，请作出正确解答． 【答案】有错误，正确解答见解析． 【解答】解：有错误，错误的原因是没有将方程化为一般形式． 将方程， 化为一般式为， 故方程中的，，， ． 所以， 即，． 【变式3】解方程： （1）2（3x﹣2）2﹣32＝0； （2）4x2﹣8x+1＝0． 【答案】（1）x1＝2，； （2），． 【解答】解：（1）2（3x﹣2）2﹣32＝0， （3x﹣2）2＝16， 3x﹣2＝4或3x﹣2＝﹣4， ∴x1＝2，； （2）a＝4，b＝﹣8，c＝1， ∵Δ＝b2﹣4ac＝（﹣8）2﹣4×4×1＝48＞0， ∴， ∴，． 题型4 解一元二次方程-因式分解法 解｜题｜知｜识 （1）因式分解法解一元二次方程的意义 因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法． 因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）． （2）因式分解法解一元二次方程的一般步骤： ①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解． 【典例1】解方程： （1）x2﹣6x＝16． （2）x2﹣3x﹣1＝0． 【答案】（1）x1＝8，x2＝﹣2； （2），． 【解答】解：（1）x2﹣6x＝16， x2﹣6x﹣16＝0， （x﹣8）（x+2）＝0， x﹣8＝0或x+2＝0， 解得：x1＝8，x2＝﹣2； （2）x2﹣3x﹣1＝0， ∵a＝1，b＝﹣3，c＝﹣1， ∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×1×（﹣1）＝13， ∴， 即，． 【变式1】计算 （1）用配方法解方程x2﹣10x﹣8＝0； （2）解方程（2x﹣1）2＝（3﹣x）2； （3）用公式法解方程3x2+2x＝4． 【答案】（1），； （2）x1＝﹣2，； （3），． 【解答】解：（1）原方程移项可得： x2﹣10x＝8， x2﹣10x+25＝8+25， （x﹣5）2＝33， ， ∴，； （2）原方程移项可得： （2x﹣1）2﹣（3﹣x）2＝0， [（2x﹣1）+（3﹣x）][（2x﹣1）﹣（3﹣x）]＝0， （x+2）（3x﹣4）＝0， x+2＝0，3x﹣4＝0， ∴x1＝﹣2，； （3）原方程整理得3x2+2x﹣4＝0， 这里a＝3，b＝2，c＝﹣4， Δ＝b2﹣4ac＝22﹣4×3×（﹣4）＝52＞0， ∴， ∴，． 【变式2】解方程： （1）x2﹣4x+1＝0； （2）（x+4）2＝2（x+4）． 【答案】（1），； （2）x1＝﹣4，x2＝﹣2． 【解答】解：（1）x2﹣4x+1＝0， 由题意得，a＝1，b＝﹣4，c＝1， 则Δ＝b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×1×1＝12， ∴， 即，； （2）（x+4）2＝2（x+4）， ∴（x+4）2﹣2（x+4）＝0， 因式分解为（x+4）（x+2）＝0， ∴x+4＝0，x+2＝0， ∴x1＝﹣4，x2＝﹣2． 【变式3】解方程： （1）（x+1）2﹣4＝0； （2）x2﹣7x+6＝0． 【答案】（1）x1＝1，x2＝﹣3； （2）x1＝6，x2＝1． 【解答】解：（1）（x+1）2﹣4＝0， 移项得：（x+1）2＝4， 直接开平方得：x+1＝±2， 解得：x1＝1，x2＝﹣3； （2）x2﹣7x+6＝0， 因式分解得：（x﹣6）（x﹣1）＝0， 解得：x1＝6，x2＝1． 题型5 换元法解一元二次方程 解｜题｜知｜识 1、解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法． 换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理． 2、我们常用的是整体换元法，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现．把一些形式复杂的方程通过换元的方法变成一元二次方程，从而达到降次的目的． 【典例1】阅读材料，解答问题． 解方程：（4x﹣1）2﹣10（4x﹣1）+24＝0． 解：把4x﹣1视为一个整体，设4x﹣1＝y， 则原方程可化为y2﹣10y+24＝0． 解得y1＝6，y2＝4． ∴4x﹣1＝6或4x﹣1＝4． ∴，． 以上方法就叫换元法，达到简化或降次的目的，体现了转化的思想． 请仿照材料解下列方程：（1）x4﹣x2﹣6＝0； （2）（x2﹣2x）2﹣5x2+10x﹣6＝0． 【答案】（1），； （2），，x3＝x4＝1． 【解答】解：（1）设x2＝y，则原方程可化为y2﹣y﹣6＝0， 整理，得（y﹣3）（y+2）＝0， 解得y1＝3，y2＝﹣2． 当y＝3时，即x2＝3， ∴； 当y＝﹣2时，x2＝﹣2无解． ∴原方程的解为，． （2）设x2﹣2x＝y，则原方程可化为y2﹣5y﹣6＝0， 整理，得（y﹣6）（y+1）＝0， 解得y1＝6，y2＝﹣1． 当y＝6时，即x2﹣2x＝6， 解得，； 当y＝﹣1时，即x2﹣2x＝﹣1， 解得x3＝x4＝1． 综上所述，原方程的解为，，x3＝x4＝1． 【变式1】嘉嘉与淇淇两位同学解方程3（x﹣3）＝（x﹣3）2的过程如下： 嘉嘉： 两边同除以（x﹣3），得 3＝x﹣3， 则x＝6． 淇淇： 移项，得3（x﹣3）﹣（x﹣3）2＝0， 提取公因式，得（x﹣3）（3﹣x﹣3）＝0． 则x﹣3＝0或3﹣x﹣3＝0， 解得x1＝3，x2＝0． （1）嘉嘉的解法 　　 ；淇淇的解法 　　 ；（填“正确”或“不正确”） （2）请你选择合适的方法尝试解一元二次方程4x（2x+1）＝3（2x+1）． 【答案】（1）不正确，不正确； （2）x1，x2． 【解答】解：（1）嘉嘉的解法不正确，琪琪的解法不正确， 正确的解法是：3（x﹣3）＝（x﹣3）2， 移项，得3（x﹣3）﹣（x﹣3）2＝0， 提取公因式，得（x﹣3）（3﹣x+3）＝0， 则x﹣3＝0或3﹣x+3＝0， 解得：x1＝3，x2＝6， 故答案为：不正确，不正确； （2）4x（2x+1）＝3（2x+1）， 4x（2x+1）﹣3（2x+1）＝0， （2x+1）（4x﹣3）＝0， 2x+1＝0或4x﹣3＝0， 解得：x1，x2． 【变式2】已知（a2+b2+1）（a2+b2﹣3）＝0，则a2+b2的值等于 　　 ． 【答案】3． 【解答】解：设a2+b2＝m， 原方程化为：（m+1）（m﹣3）＝0， 解得m1＝﹣1，m2＝3， ∵a2+b2≥0， ∴a2+b2＝3． 故答案为：3． 【变式3】为解方程（x2﹣2）2﹣5（x2﹣2）+4＝0，我们可以将x2﹣2视为一个整体，然后设x2﹣2＝y，则原方程化为y2﹣5y+4＝0，解此方程得y1＝1，y2＝4．当y＝1时，x2﹣2＝1，∴．当y＝4时，x2﹣2＝4，∴．∴原方程的解为，，，．以上方法叫做换元法解方程，达到了降次的目的，体现了转化思想． 用上述方法解下列方程： （1）（2x+5）2﹣4（2x+5）+3＝0； （2）x4﹣8x2+7＝0． 【答案】（1）x1＝﹣2，x2＝﹣1； （2）x1＝1，x2＝﹣1，，． 【解答】解：（1）设2x+5＝y，则原方程化为y2﹣4y+3＝0， 解此方程得y1＝1，y2＝3， 当y＝1时，2x+5＝1，解得x＝﹣2； 当y＝3时，2x+5＝3，解得x＝﹣1； ∴原方程的解为x1＝﹣2，x2＝﹣1； （2）设x2＝y，则原方程化为y2﹣8y+7＝0， 解此方程得y1＝1，y2＝7， 当y＝1时，x2＝1，解得x＝±1； 当y＝7时，x2＝7，解得； ∴原方程的解为x1＝1，x2＝﹣1，，． 题型6 根的判别式 解｜题｜知｜识 利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况． 一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系： ①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根； ②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根； ③当△＜0时，方程无实数根． 上面的结论反过来也成立． 【典例1】关于x的一元二次方程x2﹣mx+2m﹣4＝0． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程有一个根小于1，求m的取值范围． 【答案】见试题解答内容 【解答】（1）证明：∵a＝1，b＝﹣m，c＝2m﹣4， ∴Δ＝b2﹣4ac ＝（﹣m）2﹣4（2m﹣4） ＝m2﹣8m+16 ＝（m﹣4）2≥0， ∴此方程总有两个实数根． （2）解：∵Δ＝（m﹣4）2≥0， ∴x． ∴x1＝m﹣2，x2＝2． ∵此方程有一个根小于1． ∴m﹣2＜1． ∴m＜3． 【变式1】已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+4）x+k2+4k+2＝0，判断方程的实数根的情况，并说明理由． 【答案】方程有两个不相等的实数根，理由如下： 根的判别式Δ＝b2﹣4ac ＝[﹣（2k+4）]2﹣4×1×（k2+4k+2） ＝4k2+16k+16﹣4k2﹣16k﹣8 ＝8＞0， ∴方程有两个不相等的实数根． 【解答】解：∵a＝1，b＝﹣（2k+4），c＝k2+4k+2， ∴根的判别式Δ＝b2﹣4ac ＝[﹣（2k+4）]2﹣4×1×（k2+4k+2） ＝4k2+16k+16﹣4k2﹣16k﹣8 ＝8＞0， ∴方程有两个不相等的实数根． 【变式2】若关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+x+1＝0有两个实数根，求整数m的最大值． 【答案】0． 【解答】解：由条件可知m﹣1≠0，Δ＝12﹣4（m﹣1）×1≥0， 解得，，且m≠1， ∴整数m的最大值是0， 【变式3】已知关于x的方程x2﹣2mx+m2﹣9＝0． （1）求证：此方程有两个不相等的实数根； （2）设此方程的两个根分别为x1，x2，若x1+x2＝6，求m的值． 【答案】（1）见解析； （2）3． 【解答】（1）证明：根据题意可知：Δ＝4m2﹣4m2+36＞0， ∴方程有两个不相等的实数根； （2）解：由题意得：x1+x2＝2m ∴x1+x2＝2m＝6， 解得m＝3． 过 关 验 收 1．利用直接开平方法解方程：（x﹣2）2﹣16＝0． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（x﹣2）2＝16， x﹣2＝±4， 解得x1＝6，x2＝﹣2． 2．已知一元二次方程（x﹣3）2＝1的两个解恰好分别是等腰△ABC的底边长和腰长，求△ABC的周长． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵（x﹣3）2＝1， ∴x﹣3＝±1， 解得，x1＝4，x2＝2， ∵一元二次方程（x﹣3）2＝1的两个解恰好分别是等腰△ABC的底边长和腰长， ∴①当底边长和腰长分别为4和2时，4＝2+2，此时不能构成三角形； ②当底边长和腰长分别是2和4时， ∴△ABC的周长为：2+4+4＝10． 3．已知一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一个根是1，且a，b满足b3，求关于y的方程y2﹣c＝0的根． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵a，b满足b3， ∵a﹣2≥0，2﹣a≥0， ∴a＝2， 把a＝2代入b3， 得b＝﹣3， ∵一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一个根是1， ∴a+b+c＝0，又a＝2，b＝﹣3， ∴c＝1， ∴关于y的方程y2＝1， 解得y＝±2． 4．用指定方法解下列一元二次方程： （1）3（x﹣1）2＝12（直接开平方法）； （2）x2+4x﹣3＝0（配方法）； （3）（配方法）． 【答案】（1）x1＝3，x2＝﹣1； （2）x1＝﹣2，x2＝﹣2； （3）x1，x2． 【解答】解：（1）3（x﹣1）2＝12， （x﹣1）2＝4， ∴x﹣1＝2或x﹣1＝﹣2， ∴x1＝3，x2＝﹣1； （2）x2+4x﹣3＝0， x2+4x＝3， x2+4x+4＝7，即（x+2）2＝7， ∴x+2， ∴x1＝﹣2，x2＝﹣2； （3）， y2﹣y， y2﹣y，即（x）2＝2， ∴x， ∴x1，x2． 5．用适当的方法解下列方程： （1）x2+2x+1＝4； （2）3x2﹣6x+1＝0． 【答案】（1）x1＝1，x2＝﹣3； （2）． 【解答】解：（1）x2+2x+1＝4， ∴（x+1）2＝4， ∴x+1＝±2， ∴x1＝2﹣1＝1，x2＝﹣2﹣1＝﹣3． （2）b2﹣4ac＝（﹣6）2﹣4×3×1＝24＞0， ∴， ∴． 6．（过程纠错改错）下面是小君同学解一元二次方程3x2+8x﹣3＝0的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 3x2+8x﹣3＝0． 解：二次项系数化为1，得，第一步 配方，得，…第二步 变形，得，…第三步 开方，得，…第四步 解得．…第五步 （1）上面小君同学的解法中运用“配方法”将该一元二次方程“降次”为两个一元一次方程，体现了转化思想，其中“配方法”依据的一个数学公式是　 　 ； （2）上面小君同学的解题过程中，从第　　 步开始出现错误，写出正确的解答过程． 【答案】（1）完全平方公式； （2）二， 移项，得：3x2+8x＝3， 二次项系数化为1，得：， 配方，得：， 变形，得：， 开方，得：， 解得：，x2＝﹣3． 【解答】解：（1）上面小君同学的解法中运用“配方法”将该一元二次方程“降次”为两个一元一次方程，体现了转化思想，其中“配方法”依据的一个数学公式是完全平方公式； 故答案为：完全平方公式； （2）上面小君同学的解题过程中，从第二步开始出现错误，写出正确的解答过程如下： 正确过程如下： 3x2+8x﹣3＝0， 解：移项，得：3x2+8x＝3， 二次项系数化为1，得， 即， 配方，得：， 变形，得：， 即：， 开方，得：， 解得：，x2＝﹣3． 故答案为：二． 7．下面是小明用配方法解一元二次方程2x2+4x﹣8＝0的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解：移项，得2x2+4x＝8，…第一步 二次项系数化为1，得x2+2x＝4，…第二步 配方，得（x+2）2＝8，…第三步 由此可得，…第四步 所以，，．…第五步 （1）小明同学的解答过程，从第 　　 步开始出现错误； （2）请你写出正确的解答过程． 【答案】（1）三； （2）过程见解析． 【解答】解：（1）小明同学的解答过程，从第三步开始出现错误，配方结果不正确； 故答案为：三； （2）移项，得2x2+4x＝8， 二次项系数化为1，得x2+2x＝4， 配方，得（x+1）2＝5， 由此可得， 所以，，． 8．对于任意实数a，b，定义a*b＝a（a+b）+b，已知a*4＝25，求实数a的值． 【答案】实数a的值为3或﹣7． 【解答】解：由条件可知a*4＝a（a+4）+4＝25， ∴（a+2）2＝25， 得a+2＝5或者a+2＝﹣5， 解得：a1＝3，a2＝﹣7， ∴实数a的值为3或﹣7． 9．解下列方程． （1）x2+4x﹣2＝0（配方法）； （2）2x2﹣x﹣1＝0（公式法）． 【答案】（1），； （2）x1＝1，． 【解答】解：（1）原方程移项得x2+4x+4＝6， （x+2）2＝6， ， 解得：，； （2）∵a＝2，b＝﹣1，c＝﹣1， ∴Δ＝（﹣1）2﹣4×2×（﹣1）＝9＞0， ∴， 解得：x1＝1，． 10．阅读下列材料，并用相关的思想方法解决问题． 计算：． 令，则 原式． （1）计算： ； （2）解方程（x2+5x+1）（x2+5x+7）＝7． 【答案】（1）； （2）x1＝0，x2＝﹣5． 【解答】解：（1）令m， 原式＝（1﹣m）（m）﹣（1﹣m）m ＝mm2m﹣m+m2m ； （2）令x2+5x＝n， 原方程化为（n+1）（n+7）＝7， 整理得：n2+8n＝0， 因式分解得：n（n+8）＝0， 解得：n1＝0，n2＝﹣8， 当x2+5x＝0时， 因式分解得：x（x+5）＝0， 解得：x1＝0，x2＝﹣5， 当x2+5x＝﹣8时， 整理得：x2+5x+8＝0， ∵Δ＝52﹣4×1×8＝﹣7＜0， ∴该方程无实数根， 综上，原方程的解为x1＝0，x2＝﹣5． 11．解方程： （1）x2﹣8x+1＝0； （2）5x2﹣3x＝x+1． 【答案】（1）x1＝4，x2＝4； （2）x1＝1，x2． 【解答】解：（1）x2﹣8x＝﹣1， x2﹣8x+16＝15， （x﹣4）2＝15， x﹣4＝±， 所以x1＝4，x2＝4； （2）方程化为一般式为5x2﹣4x﹣1＝0， ∵a＝5，b＝﹣4，c＝﹣1， ∴Δ＝（﹣4）2﹣4×5×（﹣1）＝36， ∴x， ∴x1＝1，x2． 12．已知关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0，给出下列三组值，请选择一组值解方程：①b＝﹣1，c＝﹣1；②b＝10，c＝16；③b＝1，c＝3． 【答案】选①，，． 【解答】解：选①b＝﹣1，c＝﹣1；方程为x2﹣x﹣1＝0， Δ＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣1）＝5＞0， ∴， ∴，． 13．解方程： （1）x（x﹣4）＝（x﹣4）； （2）x2+6x﹣7＝0． 【答案】（1）x1＝4，x2＝1； （2）x1＝﹣7，x2＝1． 【解答】解：（1）x﹣4＝x（x﹣4）， 即（x﹣4）（1﹣x）＝0， 解得x1＝4，x2＝1； （2）x2+6x﹣7＝0， （x+7）（x﹣1）＝0， 解得x1＝﹣7，x2＝1． 14．解方程： （1）3（x﹣1）2＝x2﹣1； （2）x2﹣4x﹣7＝0； （3）2x2＝9x﹣8． 【答案】（1）x1＝2，x2＝1； （2），； （3），． 【解答】解：（1）方程整理为x2﹣3x+2＝0， （x﹣2）（x﹣1）＝0， x﹣2＝0或x﹣1＝0， 所以x1＝2，x2＝1； （2）x2﹣4x﹣7＝0， ∵a＝1，b＝﹣4，c＝﹣7， ∴Δ＝16+28＝44＞0， ∴， ∴，； （3）方程化为一般式为2x2﹣9x+8＝0， ∴a＝2，b＝﹣9，c＝8， ∴Δ＝（﹣9）2﹣4×2×8＝17＞0， ∴， ∴，． 15．（1）解方程：（x+4）2＝5（x+4）； （2）小明在解方程x2﹣2x﹣1＝0时出现了错误，其解答过程如下： x2﹣2x＝﹣1（第一步） x2﹣2x+1＝﹣1+1（第二步） （x﹣1）2＝0（第三步） x1＝x2＝1（第四步） ①小明解答过程是从第　　 步开始出错的，其错误原因是　 　 ． ②请写出此题正确的解答过程． 【答案】（1）x1＝﹣4，x2＝1； （2）①一；移项没有变号；②，． 【解答】解：（1）∵（x+4）2＝5（x+4）， ∴（x+4）2﹣5（x+4）＝0， ∴（x+4）（x+4﹣5）＝0， ∴x+4＝0或x﹣1＝0， ∴x1＝﹣4，x2＝1； （2）①小明解答过程是从第一步开始出错的，错误原因是移项没有变号； 故答案为：一；移项没有变号；②∵x2﹣2x﹣1＝0， ∴x2﹣2x＝1， ∴x2﹣2x+1＝2， ∴（x﹣1）2＝2， ∴， ∴，． 16．阅读材料，解答问题． 解方程：（4x﹣1）2﹣10（4x﹣1）+24＝0． 解：把4x﹣1视为一个整体，设4x﹣1＝y， 则原方程可化为y2﹣10y+24＝0． 解得y1＝6，y2＝4． ∴4x﹣1＝6或4x﹣1＝4． ∴，． 以上方法就叫换元法，达到简化或降次的目的，体现了转化的思想． 请仿照材料解下列方程： （x2﹣2x）2﹣5x2+10x﹣6＝0． 【答案】． 【解答】解：设x2﹣2x＝t， 则原方程为：t2﹣5t﹣6＝0， ∴（t﹣6）（t+1）＝0， 解得t1＝6，t2＝﹣1， 则x2﹣2x＝6或x2﹣2x＝﹣1， ∴x2﹣2x﹣6＝0， Δ＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣6）＝28， ∴， ∴； 当x2﹣2x＝﹣1时， ∴x2﹣2x+1＝（x﹣1）2＝0， ∴x＝1， 综上：（x2﹣2x）2﹣5x2+10x﹣6＝0的解是． 17．已知关于x的方程x2+ax+a﹣2＝0． （1）若该方程有一个根为﹣2，求a的值； （2）求证：方程总有两个不相等的实数根． 【答案】（1）2； （2）见解析． 【解答】（1）将x＝﹣2代入方程x2+ax+a﹣2＝0可得： （﹣2）2+（﹣2）a+a﹣2＝0， 解得：a＝2； （2）证明：∵关于x的方程x2+ax+a﹣2＝0， ∴Δ＝a2﹣4（a﹣2） ＝a2﹣4a+8 ＝（a﹣2）2+4＞0， ∴对于任意实数a，该方程总有两个不相等的实数根． 18．定义：对任意一个三位数k，如果满足各个数位上的数字都不为零，且十位上的数字等于百位上的数字与个位上的数字的平均数，那么称这个数为“欢乐数”．例如，k＝432，因为，所以432是“欢乐数”． （1）直接写出最小的“欢乐数”是　 　 ； （2）若一个“欢乐数”k＝100a+10b+c（1≤a，b，c≤9，a，b，c为自然数），且x＝﹣1是方程3x2+bx+c＝0的一个根，写出所有满足条件的“欢乐数”； （3）若一个“欢乐数”k＝100a+10b+c（1≤a，b，c≤9，a，b，c为自然数），且关于x的一元二次方程ax2+2bx+c＝0有两个相等的实数根，且10≤a+b+c≤15，求出“欢乐数”k的值． 【答案】（1）111； （2）741，852，963； （3）444或555． 【解答】解：（1）∵各个数位上的数字都不为零，且十位上的数字等于百位上的数字与个位上的数字的平均数，各个数位上的数字最小为1， ∴最小的“欢乐数”是111． 故答案为：111； （2）由条件可知2b＝a+c， ∵x＝﹣1是方程3x2+bx+c＝0的一个根， ∴3﹣b+c＝0，且b2﹣12c≥0， ∴b＝3+c， ∴6+2c＝a+c，即a＝6+c， ∵各个数位上的数字都不为零， ∴a，b，c三个数都大于等于1且小于等于9， ∴1≤3+c≤9，1≤6+c≤9， ∴1≤c≤3， ∴c的值可以为：1，2，3； 当c＝1时，b＝4，a＝7，符合b2﹣12c≥0，此时“欢乐数”为741； 当c＝2时，b＝5，a＝8，符合b2﹣12c≥0，此时“欢乐数”为852； 当c＝3时，b＝6，a＝9，符合b2﹣12c≥0，此时“欢乐数”为963； （3）由条件可知Δ＝（2b）2﹣4ac＝0，即b2＝ac， ∵a+c＝2b，b2＝ac， ∴（a﹣c）2＝（a+c）2﹣4ac＝4b2﹣4b2＝0， 解得a＝c， ∴a＝b＝c， ∵10≤a+b+c≤15， ∴10≤3a≤15， ∵1≤a、b、c≤9，a、b、c为自然数， ∴a＝b＝c＝4或a＝b＝c＝5， ∴k的值为444或555． 19．解方程： （1）4（x+1）2＝5； （2）x2﹣6x＝11； （3）（x+5）（x+1）＝12； （4）8x2﹣2x﹣3＝0； （5）x（x﹣1）＝1﹣x； （6）已知：关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根．求：k的最小整数解． 【答案】（1） （2） （3）x1＝﹣7，x2＝1 （4） （5）x1＝1，x2＝﹣1 （6）k的最小整数解为2 【解答】解：（1）原方程变形可得： ， ∴， ∴； （2）原方程配方可得： x2﹣6x+32＝11+32， ∴（x﹣3）2＝20， ∴， ∴； （3）原方程整理得： x2+6x﹣7＝0， （x+7）（x﹣1）＝0， ∴x+7＝0或x﹣1＝0， ∴x1＝﹣7，x2＝1； （4）原方程因式分解可得： （2x+1）（4x﹣3）＝0， 2x+1＝0或4x﹣3＝0， ∴； （5）原方程整理得： （x﹣1）（x+1）＝0， ∴x﹣1＝0或x+1＝0， ∴x1＝1，x2＝﹣1； （6）由条件可知Δ＝22+4（k﹣1）＞0且k﹣1≠0， 解得k＞0且k≠1， ∴k的最小整数解为2． 20．已知关于x的一元二次方程x2﹣3mx+m2﹣2＝0． （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）若该方程的一个根为x＝0，且m为正数，求m的值． 【答案】见试题解答内容 【解答】（1）证明：∵Δ＝（﹣3m）2﹣4（m2﹣2）＝5m2+8＞0， ∴方程有两个不相等的实数根； （2）解：∵该方程的一个根为x＝0， ∴m2﹣2＝0，解得m＝±， ∵m是正数， ∴m． 21．已知关于x的一元二次方程x2+（m﹣4）x﹣4m＝0． （1）求证：该方程总有两个实数根； （2）当m＝﹣2时，直接写出该方程的根． 【答案】（1）证明：由题知，Δ＝b2﹣4ac＝（m﹣4）2﹣4×1×（﹣4m） ＝m2﹣8m+16+16m ＝m2+8m+16 ＝（m+4）2≥0， ∴该方程总有两个实数根； （2）x1＝2，x2＝4． 【解答】（1）证明：由题知，Δ＝b2﹣4ac＝（m﹣4）2﹣4×1×（﹣4m） ＝m2﹣8m+16+16m ＝（m+4）2≥0， ∴该方程总有两个实数根； （2）解：当m＝﹣2时，关于x的一元二次方程为x2﹣6x+8＝0， 整理得（x﹣2）（x﹣4）＝0， 解得x1＝2，x2＝4． 22．用合适的方法解下列方程： （1）2x2﹣5x+2＝0； （2）（x﹣3）2＝5（3﹣x）； （3）关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣4x+4＝0有实数根，求m的最大整数值． 【答案】（1）； （2）x1＝﹣2，x2＝3； （3）2． 【解答】解：（1）原方程分解因式可得： ∴（2x﹣1）（x﹣2）＝0， ∴2x﹣1＝0或x﹣2＝0， 解得； （2）原方程移项可得： （x﹣3）2+5（x﹣3）＝0， ∴（x﹣3+5）（x﹣3）＝0， ∴x﹣3+5＝0或x﹣3＝0， 解得x1＝﹣2，x2＝3； （3）由条件可得： ， 解得m≤2且m≠1， ∴m的最大整数值为2． 23．已知：关于x的方程2x2+kx﹣1＝0，求证：方程有两个不相等的实数根． 【答案】证明：∵a＝2，b＝k，c＝﹣1， ∴Δ＝k2﹣4×2×（﹣1）＝k2+8， ∵无论k取何值，k2≥0， ∴k2+8＞0，即Δ＞0， ∴方程2x2+kx﹣1＝0有两个不相等的实数根． 【解答】证明：∵a＝2，b＝k，c＝﹣1， ∴Δ＝k2﹣4×2×（﹣1）＝k2+8， ∵无论k取何值，k2≥0， ∴k2+8＞0，即Δ＞0， ∴方程2x2+kx﹣1＝0有两个不相等的实数根． 24．已知关于x的一元二次方程x2+（m﹣4）x﹣4m＝0． （1）求证：该方程总有两个实数根； （2）当m＝﹣2时，直接写出该方程的根． 【答案】（1）证明：由题知，Δ＝b2﹣4ac＝（m﹣4）2﹣4×1×（﹣4m） ＝m2﹣8m+16+16m ＝m2+8m+16 ＝（m+4）2≥0， ∴该方程总有两个实数根； （2）x1＝2，x2＝4． 【解答】（1）证明：由题知，Δ＝b2﹣4ac＝（m﹣4）2﹣4×1×（﹣4m） ＝m2+8m+16 ＝（m+4）2≥0， ∴该方程总有两个实数根； （2）解：当m＝﹣2时，关于x的一元二次方程为x2﹣6x+8＝0， 整理得（x﹣2）（x﹣4）＝0， 解得x1＝2，x2＝4． 25．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣2k﹣1＝0有实数根． （1）求k的取值范围． （2）若k是最小的整数，求此时方程的根． 【答案】（1）k≥﹣1； （2）x1＝x2＝1． 【解答】解：（1）由题意可知，Δ＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣2k﹣1）＝8+8k≥0， ∴k≥﹣1； （2）∵k是最小的整数，又k≥﹣1， ∴k＝﹣1， 当k＝﹣1时，原方程为x2﹣2x+1＝0，即（x﹣1）2＝0， 解得：x1＝x2＝1． ∴原方程的根为x1＝x2＝1． 26．已知关于x的方程x2+2（m﹣1）x+m2+5＝0有两个不相等的实数根． （1）求m的取值范围； （2）化简：|1﹣m|． 【答案】（1）m＜﹣2； （2）﹣2m﹣1． 【解答】解：（1）∵关于x的方程x2+2（m﹣1）x+m2+5＝0有两个不相等的实数根， ∴Δ＞0，即[2（m﹣1）]2﹣4（m2+5）＞0， 解得m＜﹣2； （2）∵m＜﹣2， ∴1﹣m＞0，m+2＜0， ∴ ＝|1﹣m|+|m+2| ＝1﹣m﹣（m+2） ＝1﹣m﹣m﹣2 ＝﹣2m﹣1． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.2 求解一元二次方程 内 容 导 航 题型1 解一元二次方程-直接开平方法 题型2 解一元二次方程-配方法 题型3 解一元二次方程-公式法 题型4 解一元二次方程-因式分解法 题型5 换元法解一元二次方程 题型6 根的判别式 考 点 演 练 题型1 解一元二次方程-直接开平方法 解｜题｜知｜识 形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程． 如果方程化成x2＝p的形式，那么可得x＝±； 如果方程能化成（nx+m）2＝p（p≥0）的形式，那么nx+m＝±． 注意：①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数． ②降次的实质是由一个二次方程转化为两个一元一次方程． ③方法是根据平方根的意义开平方． 【典例1】先化简，再求值：，其中x是一元二次方程x2﹣1＝0的解． 【变式1】解方程：（x+3）2＝4（x﹣2）2． 【变式2】计算：9（2x﹣1）2﹣16＝0． 【变式3】解方程：4x2﹣48＝0． 题型2 解一元二次方程-配方法 解｜题｜知｜识 （1）将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法． （2）用配方法解一元二次方程的步骤： ①把原方程化为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式； ②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方； ④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数； ⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解． 【典例1】解方程： （1）（x﹣1）2﹣4＝0； （2）x2+2x﹣8＝0． 【变式1】用合适的方法解方程：x2﹣6x﹣7＝0． 【变式2】解方程： （1）x2﹣2x﹣5＝0； （2）（2x+3）2＝（3x+2）2． 【变式3】按要求解方程： （1）直接开平方法：25x2﹣16＝0； （2）配方法：x2﹣8x﹣1＝0． 题型3 解一元二次方程-公式法 解｜题｜知｜识 （1）把x（b2﹣4ac≥0）叫做一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的求根公式． （2）用求根公式解一元二次方程的方法是公式法． （3）用公式法解一元二次方程的一般步骤为： ①把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值（注意符号）； ②求出b2﹣4ac的值（若b2﹣4ac＜0，方程无实数根）； ③在b2﹣4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根． 注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a≠0；②b2﹣4ac≥0． 【典例1】已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+3）x+3k＝0． （1）求证：无论k为何值，此方程总有一个根是定值； （2）若直角三角形的一边为4，另两边恰好是这个方程的两根，求k的值． 【变式1】解方程：x（x﹣1）＝3． 【变式2】解方程：． 有一位同学解答如下：这里，，，， ∴． ∴． 请你分析以上解答有无错误，如有错误，请作出正确解答． 【变式3】解方程： （1）2（3x﹣2）2﹣32＝0； （2）4x2﹣8x+1＝0． 题型4 解一元二次方程-因式分解法 解｜题｜知｜识 （1）因式分解法解一元二次方程的意义 因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法． 因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）． （2）因式分解法解一元二次方程的一般步骤： ①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解． 【典例1】解方程： （1）x2﹣6x＝16． （2）x2﹣3x﹣1＝0． 【变式1】计算 （1）用配方法解方程x2﹣10x﹣8＝0； （2）解方程（2x﹣1）2＝（3﹣x）2； （3）用公式法解方程3x2+2x＝4． 【变式2】解方程： （1）x2﹣4x+1＝0； （2）（x+4）2＝2（x+4）． 【变式3】解方程： （1）（x+1）2﹣4＝0； （2）x2﹣7x+6＝0． 题型5 换元法解一元二次方程 解｜题｜知｜识 1、解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法． 换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理． 2、我们常用的是整体换元法，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现．把一些形式复杂的方程通过换元的方法变成一元二次方程，从而达到降次的目的． 【典例1】阅读材料，解答问题． 解方程：（4x﹣1）2﹣10（4x﹣1）+24＝0． 解：把4x﹣1视为一个整体，设4x﹣1＝y， 则原方程可化为y2﹣10y+24＝0． 解得y1＝6，y2＝4． ∴4x﹣1＝6或4x﹣1＝4． ∴，． 以上方法就叫换元法，达到简化或降次的目的，体现了转化的思想． 请仿照材料解下列方程：（1）x4﹣x2﹣6＝0； （2）（x2﹣2x）2﹣5x2+10x﹣6＝0． 【变式1】嘉嘉与淇淇两位同学解方程3（x﹣3）＝（x﹣3）2的过程如下： 嘉嘉： 两边同除以（x﹣3），得 3＝x﹣3， 则x＝6． 淇淇： 移项，得3（x﹣3）﹣（x﹣3）2＝0， 提取公因式，得（x﹣3）（3﹣x﹣3）＝0． 则x﹣3＝0或3﹣x﹣3＝0， 解得x1＝3，x2＝0． （1）嘉嘉的解法 　　 ；淇淇的解法 　　 ；（填“正确”或“不正确”） （2）请你选择合适的方法尝试解一元二次方程4x（2x+1）＝3（2x+1）． 【变式2】已知（a2+b2+1）（a2+b2﹣3）＝0，则a2+b2的值等于 　　 ． 【变式3】为解方程（x2﹣2）2﹣5（x2﹣2）+4＝0，我们可以将x2﹣2视为一个整体，然后设x2﹣2＝y，则原方程化为y2﹣5y+4＝0，解此方程得y1＝1，y2＝4．当y＝1时，x2﹣2＝1，∴．当y＝4时，x2﹣2＝4，∴．∴原方程的解为，，，．以上方法叫做换元法解方程，达到了降次的目的，体现了转化思想． 用上述方法解下列方程： （1）（2x+5）2﹣4（2x+5）+3＝0； （2）x4﹣8x2+7＝0． 题型6 根的判别式 解｜题｜知｜识 利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况． 一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系： ①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根； ②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根； ③当△＜0时，方程无实数根． 上面的结论反过来也成立． 【典例1】关于x的一元二次方程x2﹣mx+2m﹣4＝0． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程有一个根小于1，求m的取值范围． 【变式1】已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+4）x+k2+4k+2＝0，判断方程的实数根的情况，并说明理由． 【变式2】若关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+x+1＝0有两个实数根，求整数m的最大值． 【变式3】已知关于x的方程x2﹣2mx+m2﹣9＝0． （1）求证：此方程有两个不相等的实数根； （2）设此方程的两个根分别为x1，x2，若x1+x2＝6，求m的值． 过 关 验 收 1．利用直接开平方法解方程：（x﹣2）2﹣16＝0． 2．已知一元二次方程（x﹣3）2＝1的两个解恰好分别是等腰△ABC的底边长和腰长，求△ABC的周长． 3．已知一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一个根是1，且a，b满足b3，求关于y的方程y2﹣c＝0的根． 4．用指定方法解下列一元二次方程： （1）3（x﹣1）2＝12（直接开平方法）； （2）x2+4x﹣3＝0（配方法）； （3）（配方法）． 5．用适当的方法解下列方程： （1）x2+2x+1＝4； （2）3x2﹣6x+1＝0． 6．（过程纠错改错）下面是小君同学解一元二次方程3x2+8x﹣3＝0的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 3x2+8x﹣3＝0． 解：二次项系数化为1，得，第一步 配方，得，…第二步 变形，得，…第三步 开方，得，…第四步 解得．…第五步 （1）上面小君同学的解法中运用“配方法”将该一元二次方程“降次”为两个一元一次方程，体现了转化思想，其中“配方法”依据的一个数学公式是　 　 ； （2）上面小君同学的解题过程中，从第　　 步开始出现错误，写出正确的解答过程． 7．下面是小明用配方法解一元二次方程2x2+4x﹣8＝0的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解：移项，得2x2+4x＝8，…第一步 二次项系数化为1，得x2+2x＝4，…第二步 配方，得（x+2）2＝8，…第三步 由此可得，…第四步 所以，，．…第五步 （1）小明同学的解答过程，从第 　　 步开始出现错误； （2）请你写出正确的解答过程． 8．对于任意实数a，b，定义a*b＝a（a+b）+b，已知a*4＝25，求实数a的值． 9．解下列方程． （1）x2+4x﹣2＝0（配方法）； （2）2x2﹣x﹣1＝0（公式法）． 10．阅读下列材料，并用相关的思想方法解决问题． 计算：． 令，则 原式． （1）计算： ； （2）解方程（x2+5x+1）（x2+5x+7）＝7． 11．解方程： （1）x2﹣8x+1＝0； （2）5x2﹣3x＝x+1． 12．已知关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0，给出下列三组值，请选择一组值解方程：①b＝﹣1，c＝﹣1；②b＝10，c＝16；③b＝1，c＝3． 13．解方程： （1）x（x﹣4）＝（x﹣4）； （2）x2+6x﹣7＝0． 14．解方程： （1）3（x﹣1）2＝x2﹣1； （2）x2﹣4x﹣7＝0； （3）2x2＝9x﹣8． 15．（1）解方程：（x+4）2＝5（x+4）； （2）小明在解方程x2﹣2x﹣1＝0时出现了错误，其解答过程如下： x2﹣2x＝﹣1（第一步） x2﹣2x+1＝﹣1+1（第二步） （x﹣1）2＝0（第三步） x1＝x2＝1（第四步） ①小明解答过程是从第　　 步开始出错的，其错误原因是　 　 ． ②请写出此题正确的解答过程． 16．阅读材料，解答问题． 解方程：（4x﹣1）2﹣10（4x﹣1）+24＝0． 解：把4x﹣1视为一个整体，设4x﹣1＝y， 则原方程可化为y2﹣10y+24＝0． 解得y1＝6，y2＝4． ∴4x﹣1＝6或4x﹣1＝4． ∴，． 以上方法就叫换元法，达到简化或降次的目的，体现了转化的思想． 请仿照材料解下列方程： （x2﹣2x）2﹣5x2+10x﹣6＝0． 17．已知关于x的方程x2+ax+a﹣2＝0． （1）若该方程有一个根为﹣2，求a的值； （2）求证：方程总有两个不相等的实数根． 18．定义：对任意一个三位数k，如果满足各个数位上的数字都不为零，且十位上的数字等于百位上的数字与个位上的数字的平均数，那么称这个数为“欢乐数”．例如，k＝432，因为，所以432是“欢乐数”． （1）直接写出最小的“欢乐数”是　 　 ； （2）若一个“欢乐数”k＝100a+10b+c（1≤a，b，c≤9，a，b，c为自然数），且x＝﹣1是方程3x2+bx+c＝0的一个根，写出所有满足条件的“欢乐数”； （3）若一个“欢乐数”k＝100a+10b+c（1≤a，b，c≤9，a，b，c为自然数），且关于x的一元二次方程ax2+2bx+c＝0有两个相等的实数根，且10≤a+b+c≤15，求出“欢乐数”k的值． 19．解方程： （1）4（x+1）2＝5； （2）x2﹣6x＝11； （3）（x+5）（x+1）＝12； （4）8x2﹣2x﹣3＝0； （5）x（x﹣1）＝1﹣x； （6）已知：关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根．求：k的最小整数解． 20．已知关于x的一元二次方程x2﹣3mx+m2﹣2＝0． （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）若该方程的一个根为x＝0，且m为正数，求m的值． 21．已知关于x的一元二次方程x2+（m﹣4）x﹣4m＝0． （1）求证：该方程总有两个实数根； （2）当m＝﹣2时，直接写出该方程的根． 22．用合适的方法解下列方程： （1）2x2﹣5x+2＝0； （2）（x﹣3）2＝5（3﹣x）； （3）关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣4x+4＝0有实数根，求m的最大整数值． 23．已知：关于x的方程2x2+kx﹣1＝0，求证：方程有两个不相等的实数根． 24．已知关于x的一元二次方程x2+（m﹣4）x﹣4m＝0． （1）求证：该方程总有两个实数根； （2）当m＝﹣2时，直接写出该方程的根． 25．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣2k﹣1＝0有实数根． （1）求k的取值范围． （2）若k是最小的整数，求此时方程的根． 26．已知关于x的方程x2+2（m﹣1）x+m2+5＝0有两个不相等的实数根． （1）求m的取值范围； （2）化简：|1﹣m|． 学科网（北京）股份有限公司 $