第二章一元二次方程根与系数关系讲义2026-2027学年北师大版九年级数学上册

本初中数学讲义聚焦一元二次方程根与系数关系，以公式法解题步骤为基础，通过温故知新衔接根的判别式，再深入根与系数关系，构建“复习-新知-应用”的学习支架，系统梳理判别式判断根的情况及根与系数的数量关系。 资料设计突出分层教学与核心素养培养，典例分析（如已知方程根求参数k）强化推理意识，举一反三结合根与系数变形培养抽象能力与模型意识。课堂闯关分层次练习辅助教师授课，课后助力学生查漏补缺，提升数学思维与应用能力。

一元二次方程根与系数关系 温故知新 用公式法解一元二次方程的一般步骤： （1）整理：把原方程整理成 ； （2）确定 a 、 b 、 c 的值，（各项系数若有分数，通常化为整数） （3）计算 的值，并判断这个值的正负：· b b 2 4ac 4ac ①若 b2 4ac ≥ 0 ，则写出公式 x ， 代入 a 、 b 、 c 及 b2 4ac 2a 的值并计算；写出答案： x1 ， x2 ②若 b2 4ac 0 ，则方程没有实数根 课堂导入 对于一元二次方程方程有两个不相等的实数根；方程有两个相等的实数根；方程没有实数根，当方程有两根时，我们进行研究如下： 知识要点一 一元二次方程 ax2 bx c 0(a 0) 的根的判别式 1、一元二次方程 ax2 bx c 0(a 0) 的根的情况是由 b2 4ac 决定的，我们把 b2 4ac 叫做一元二次方程 ax2 bx c 0(a 0) 的根的判别式，通常用“ ”来表 示。 （1）当 b2 4ac 0 ，方程有两个不相等的实数根。 （2）当 b2 4ac 0 时，方程有两个相等的实数根。 （3）当 b2 4ac 0 ，方程没有实数根。 2、上述结论反过来也成立： （1）若方程有两个不相等的实数根，则 b2 4ac 0 （2）若方程有两个相等的实数根，则 b2 4ac 0 （3）若方程没有实数根，则 b2 4ac 0 注意：若一元二次方程方程有实数根，则 b2 4ac ≥ 0 ；反过来也成立。 典例分析 例1．（1）如果关于 x 的方程 x2 x k 0 （k 为常数）有两个相等的实数根，求 k 的 值。 （2）关于 x 的一元二次方程 x2 2k 1x 2 k 2 0 有实数根，求 k 的取值范 围。 （3）如果关于 x 的一元二次方程 k 2 x2 (2k 1)x 1 0 有两个不相等的实数根， 求 k 的取值范围。 学霸说 者对于一元二次方程方程有两个不相等的实数根；方程有两个相等的实数根；方程没有实数根，裸裸的残酷的掠夺，激起了当地土著民族顽强的反抗。 举一反三 1.已知关于 m 的一元二次方程 x2 x m 0 有两个不相等的实数根， 求实数 m 的取值范围。 2.当 k 为何值时，关于 x 的一元二次方程 kx2 (k 2)x 0 有实数根。 3.若关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是　 　． 知识要点二 一元二次方程根与系数的关系 1、若 b2 4ac≥0 ， x , x 是方程 ax2 bx c 0 (a 0) 的两个根， 则 x1 ， x2 1 2 则 x1 x2 ， x1 · x2 归纳：一元二次方程的根与系数的关系：若一元二次方程 ax 2 bx c 0的两个根分别为 2、几个重要的变形：（1） （2） （3） 典例分析 例1．已知x1、x2是方程2x2+3x﹣1=0的两个实数根，不解方程，求： ①（x1﹣x2）2； ②的值． 例2．已知关于 x 的一元二次方程 x2 (2m 1)x m2 0 有两个实数根 x 和 x 。 1 2 （1）求实数 m 的取值范围 （2）当 时，求 m 的值。1 2 举一反三 1．已知x1，x2是方程2x2+4x﹣3=0的两个根，不解方程求下列各式的值． （1） （2）． 2.已知关于 x 的一元二次方程 x2 6x k2 0 （k 为常数）（1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）设 x1 ， x2 为方程的两个实数根，且 x1 2x2 14 ，试求出方程的两个实数根和 k 的值。 3.已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣1）x+m2=0有两个实数根x1和x2 （1）求实数m的取值范围； （2）若x1+x2=﹣1，求m的值． 课堂闯关 初出茅庐 1．关于x的一元二次方程kx2+3x﹣1=0有实数根，则k的取值范围是（　　） A．k≤﹣ B．k≤﹣且k≠0 C．k≥﹣ D．k≥﹣且k≠0 2．若关于x 的一元二次方程（m﹣2）2x2+（2m+1）x+1=0有解，那么m的取值范围是（　　） A．m＞ B．m≥ C．m＞且m≠2 D．m≥且m≠2 　 3．下列关于x的方程有实数根的是（　　） A．x2﹣x+1=0 B．x2+2x+2=0 C．（x﹣1）2+1=0 D．（x﹣1）（x+2）=0 4．一元二次方程x2﹣4x+2=0的根的情况是（　　） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 　 5．若关于x的一元二次方程方程（k﹣1）x2+4x+1=0有实数根，则k的取值范围是（　　） A．k＜5 B．k≥5，且k≠1 C．k≤5，且k≠1 D．k＞5 　 6．如果关于x的一元二次方程2x2﹣x+k=0有两个实数根，那么k的取值范围是（　　） A．k≥ B．k≤ C．k≥﹣ D．k≤﹣ 　 7．常数a，b，c在数轴上的位置如图所示，则关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0根的情况是（　　） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．无实数根 D．无法确定 8．若关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是　 　． 　 9．若关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣k=0没有实数根，则k的取值范围是　 　． 　 10．已知x1，x2是关于x的方程x2+ax﹣2b=0的两实数根，且x1+x2=﹣2，x1•x2=1，则ba的值是　 　． 　 11．若α、β是方程x2+2x﹣2017=0的两个实数根，则α2+3α+β的值为　 　． 优学学霸 1． 已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣k=0的一个根为﹣1，则它的另一根为　 　． 　 2．已知关于x的方程x2+（2m﹣1）x+4=0有两个相等的实数根，则m的值为　 　． 3．关于x的一元二次方程x2+2x﹣k=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是　 　． 　 4．关于x的方程3kx2+12x+2=0有实数根，则k的取值范围是　　． 5．设a，b是方程x2+x﹣2016=0的两个不相等的实数根． （1）a+b=　 　；ab=　 　； （2）求代数式a2+2a+b的值． 　 考场直播 1．已知关于x的一元二次方程x2﹣3x+m﹣3=0，若此方程的两根的倒数和为1，求m的值． 　 2．设方程4x2﹣7x﹣3=0的两根为x1，x2，不解方程求下列各式的值： （1）x12x2+x1x22． （2）+． 自我挑战 1．关于x的一元二次方程kx2+3x﹣1=0有实数根，则k的取值范围是（　　） A．k≤﹣ B．k≤﹣且k≠0 C．k≥﹣ D．k≥﹣且k≠0 　 2．一元二次方程x2﹣x﹣1=0的根的情况为（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 　 3．定义运算：a⋆b=a（1﹣b）．若a，b是方程x2﹣x+m=0（m＜0）的两根，则b⋆b﹣a⋆a的值为（　　） A．0 B．1 C．2 D．与m有关 　 4．已知关于x的一元二次方程mx2+2x﹣1=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（　　） A．m＜﹣1 B．m＞1 C．m＜1且m≠0 D．m＞﹣1且m≠0 　 5．关于x的方程kx2+2x﹣1=0有实数根，则k的取值范围是（　　） A．k≥﹣1 B．k≥﹣1且k≠0 C．k≤﹣1 D．k≤1且k≠0 6．已知一元二次方程x2﹣4x+3=0的两根为x1，x2，那么（1+x1）（1+x2）的值是　 　． 7．设m，n分别为一元二次方程x2+2x﹣2018=0的两个实数根，则m2+3m+n=　 　． 　 8．关于x的方程2x2﹣4x+k=0有实数根，k的取值范围是 ． 9．如果一元二次方程x2﹣3x+1=0的两实数根分别为x1，x2，不解方程，求下列代数式的值． （1）x12+x22； （2）（x1﹣2）（x2﹣2）． 　 10．已知关于x的方程（m﹣2）x2﹣2（m﹣1）x+m+1=0；当m为何非负整数时： （1）方程没有实数根； （2）方程有两个相等的实数根； （3）方程有两个不相等的实数根． 学科网（北京）股份有限公司 $ 一元二次方程根与系数关系 温故知新 用公式法解一元二次方程的一般步骤： （1）整理：把原方程整理成 ； （2）确定 a 、 b 、 c 的值，（各项系数若有分数，通常化为整数） （3）计算 的值，并判断这个值的正负：· b b 2 4ac 4ac ①若 b2 4ac ≥ 0 ，则写出公式 x ， 代入 a 、 b 、 c 及 b2 4ac 2a 的值并计算；写出答案： x1 ， x2 ②若 b2 4ac 0 ，则方程没有实数根 课堂导入 对于一元二次方程方程有两个不相等的实数根；方程有两个相等的实数根；方程没有实数根，当方程有两根时，我们进行研究如下： 知识要点一 一元二次方程 ax2 bx c 0(a 0) 的根的判别式 1、一元二次方程 ax2 bx c 0(a 0) 的根的情况是由 b2 4ac 决定的，我们把 b2 4ac 叫做一元二次方程 ax2 bx c 0(a 0) 的根的判别式，通常用“ ”来表 示。 （1）当 b2 4ac 0 ，方程有两个不相等的实数根。 （2）当 b2 4ac 0 时，方程有两个相等的实数根。 （3）当 b2 4ac 0 ，方程没有实数根。 2、上述结论反过来也成立： （1）若方程有两个不相等的实数根，则 b2 4ac 0 （2）若方程有两个相等的实数根，则 b2 4ac 0 （3）若方程没有实数根，则 b2 4ac 0 注意：若一元二次方程方程有实数根，则 b2 4ac ≥ 0 ；反过来也成立。 典例分析 例1．（1）如果关于 x 的方程 x2 x k 0 （k 为常数）有两个相等的实数根，求 k 的 值。 【解答】： （2）关于 x 的一元二次方程 x2 2k 1x 2 k 2 0 有实数根，求 k 的取值范 围。 【解答】： （3）如果关于 x 的一元二次方程 k 2 x2 (2k 1)x 1 0 有两个不相等的实数根， 求 k 的取值范围。 【解答】： 学霸说 者对于一元二次方程方程有两个不相等的实数根；方程有两个相等的实数根；方程没有实数根，裸裸的残酷的掠夺，激起了当地土著民族顽强的反抗。 举一反三 1.已知关于 m 的一元二次方程 x2 x m 0 有两个不相等的实数根， 求实数 m 的取值范围。 【解答】 2.当 k 为何值时，关于 x 的一元二次方程 kx2 (k 2)x 0 有实数根。 【解答】 3.若关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是　k＞﹣1且k≠0　． 【解答】解：∵关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1=0有两个不相等的实数根， ∴△=b2﹣4ac=（﹣2）2﹣4×k×（﹣1）=4+4k＞0， ∴k＞﹣1， ∵x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1=0 ∴k≠0， ∴k的取值范围是：k＞﹣1且k≠0． 故答案为：k＞﹣1且k≠0． 知识要点二 一元二次方程根与系数的关系 1、若 b2 4ac≥0 ， x , x 是方程 ax2 bx c 0 (a 0) 的两个根， 则 x1 ， x2 1 2 则 x1 x2 ， x1 · x2 归纳：一元二次方程的根与系数的关系：若一元二次方程 ax 2 bx c 0的两个根分别为 2、几个重要的变形：（1） （2） （3） 典例分析 例1．已知x1、x2是方程2x2+3x﹣1=0的两个实数根，不解方程，求： ①（x1﹣x2）2； ②的值． 【解答】解：∵x1、x2是方程2x2+3x﹣1=0的两个实数根， ∴x1+x2=﹣，x1•x2=﹣． ①（x1﹣x2）2=（x1+x2）2﹣4x1x2=（﹣）2﹣4×（﹣）=． ②+===3． 例2．已知关于 x 的一元二次方程 x2 (2m 1)x m2 0 有两个实数根 x 和 x 。 1 2 （1）求实数 m 的取值范围 （2）当 时，求 m 的值。1 2 【解答】解：（1）由题意有△=（2m﹣1）2﹣4m2≥0， 解得， ∴实数m的取值范围是； （2）由两根关系，得根x1+x2=﹣（2m﹣1），x1•x2=m2， 由x12﹣x22=0得（x1+x2）（x1﹣x2）=0， 若x1+x2=0，即﹣（2m﹣1）=0，解得， ∵＞， ∴不合题意，舍去， 若x1﹣x2=0，即x1=x2 ∴△=0，由（1）知， 故当x12﹣x22=0时，． 举一反三 1．已知x1，x2是方程2x2+4x﹣3=0的两个根，不解方程求下列各式的值． （1） （2）． 【解答】解：根据题意得x1+x2=﹣2，x1•x2=﹣， （1）原式=x1•x2（x1+x2）=﹣×（﹣2）=3； （2）原式=（x1+x2）2﹣5x1•x2=（﹣2）2﹣5×（﹣）=4+=． 2.已知关于 x 的一元二次方程 x2 6x k2 0 （k 为常数）（1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）设 x1 ， x2 为方程的两个实数根，且 x1 2x2 14 ，试求出方程的两个实数根和 k 的值。 【解答】（1）证明：∵b2﹣4ac=（﹣6）2﹣4×1×（﹣k2）=36+4k2＞0 因此方程有两个不相等的实数根． （2）解：∵x1+x2=﹣=﹣=6， 又∵x1+2x2=14， 解方程组解得： 将x1=﹣2代入原方程得：（﹣2）2﹣6×（﹣2）﹣k2=0， 解得k=±4． 3.已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣1）x+m2=0有两个实数根x1和x2 （1）求实数m的取值范围； （2）若x1+x2=﹣1，求m的值． 【解答】解：（1）由题意有△=[﹣（2m﹣1）]2﹣4m2≥0， 解得m≤， 故实数m的取值范围是m≤； （2）由根与系数的关系，得x1+x2=2m﹣1=﹣1， 解得m=0， 0＜，符合题意． 即m的值为0． 课堂闯关 初出茅庐 1．关于x的一元二次方程kx2+3x﹣1=0有实数根，则k的取值范围是（　　） A．k≤﹣ B．k≤﹣且k≠0 C．k≥﹣ D．k≥﹣且k≠0 【解答】解：∵关于x的一元二次方程kx2+3x﹣1=0有实数根， ∴△=b2﹣4ac≥0， 即：9+4k≥0， 解得：k≥﹣， ∵关于x的一元二次方程kx2+3x﹣1=0中k≠0， 则k的取值范围是k≥﹣且k≠0． 故选D． 　 2．若关于x 的一元二次方程（m﹣2）2x2+（2m+1）x+1=0有解，那么m的取值范围是（　　） A．m＞ B．m≥ C．m＞且m≠2 D．m≥且m≠2 【解答】解：∵关于x 的一元二次方程（m﹣2）2x2+（2m+1）x+1=0有解， ∴， 解得：m≥且m≠2． 故选D． 　 3．下列关于x的方程有实数根的是（　　） A．x2﹣x+1=0 B．x2+2x+2=0 C．（x﹣1）2+1=0 D．（x﹣1）（x+2）=0 【解答】解：A、△=（﹣1）2﹣4×1×1=﹣3＜0，方程没有实数解，所以A选项 错误； B、△=22﹣4×1×2=﹣4＜0，方程没有实数解，所以B选项错误； C、（x﹣1）2≥0，则（x﹣1）2+1＞0，方程没有实数解，所以C选项错误； D、x﹣1=0或x+2=0，解得x1=1，x2=﹣2，所以D选项正确． 故选D． 　 4．一元二次方程x2﹣4x+2=0的根的情况是（　　） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【解答】解：∵a=1，b=﹣4，c=2代， ∴△=b2﹣4ac=（﹣4）2﹣4×1×2=8＞0， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：B． 　 5．若关于x的一元二次方程方程（k﹣1）x2+4x+1=0有实数根，则k的取值范围是（　　） A．k＜5 B．k≥5，且k≠1 C．k≤5，且k≠1 D．k＞5 【解答】解：∵关于x的一元二次方程方程（k﹣1）x2+4x+1=0有实数根， ∴， 解得：k≤5且k≠1． 故选C． 　 6．如果关于x的一元二次方程2x2﹣x+k=0有两个实数根，那么k的取值范围是（　　） A．k≥ B．k≤ C．k≥﹣ D．k≤﹣ 【解答】解：∵关于x的一元二次方程2x2﹣x+k=0有两个实数根， ∴△=b2﹣4ac=1﹣4×2k=1﹣8k≥0， ∴k≤． 故选B． 　 7．常数a，b，c在数轴上的位置如图所示，则关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0根的情况是（　　） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．无实数根 D．无法确定 【解答】解：观察数轴可知： a＞0，b＜0，c＜0． 在方程ax2+bx+c=0中，△=b2﹣4ac＞0， ∴该方程有两个不相等的实数根． 故选B． 8．若关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是　k＞﹣1且k≠0　． 【解答】解：∵关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1=0有两个不相等的实数根， ∴△=b2﹣4ac=（﹣2）2﹣4×k×（﹣1）=4+4k＞0， ∴k＞﹣1， ∵x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1=0 ∴k≠0， ∴k的取值范围是：k＞﹣1且k≠0． 故答案为：k＞﹣1且k≠0． 　 9．若关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣k=0没有实数根，则k的取值范围是　k＜﹣1　． 【解答】解：∵一元二次方程x2﹣2x﹣k=0没有实数根， ∴△=（﹣2）2﹣4×1×（﹣k）=4+4k＜0， ∴k的取值范围是k＜﹣1； 故答案为：k＜﹣1． 　 10．已知x1，x2是关于x的方程x2+ax﹣2b=0的两实数根，且x1+x2=﹣2，x1•x2=1，则ba的值是　　． 【解答】解：∵x1，x2是关于x的方程x2+ax﹣2b=0的两实数根， ∴x1+x2=﹣a=﹣2，x1•x2=﹣2b=1， 解得a=2，b=﹣， ∴ba=（﹣）2=． 故答案为：． 　 11．若α、β是方程x2+2x﹣2017=0的两个实数根，则α2+3α+β的值为　2015　． 【解答】解：∵α，β是方程x2+2x﹣2017=0的两个实数根， ∴α2+2α﹣2017=0，α+β=﹣2． ∴α2+2α=2017， ∴α2+3α+β=α2+2α+α+β=2017﹣2=2015． 故答案是2015． 优学学霸 1．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣k=0的一个根为﹣1，则它的另一根为　3　． 【解答】解：设方程x2﹣2x﹣k=0的解为x1、x2， 则有：x1+x2=2， ∵x1=﹣1， ∴x2=3． 故答案为：3． 　 2．已知关于x的方程x2+（2m﹣1）x+4=0有两个相等的实数根，则m的值为　或﹣　． 【解答】解：∵方程x2+（2m﹣1）x+4=0有两个相等的实数根， ∴△=0，即（2m﹣1）2﹣4×4=0， 解得：m=或m=﹣， 故答案为或﹣． 　 3．关于x的一元二次方程x2+2x﹣k=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是　k＞﹣1　． 【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+2x﹣k=0有两个不相等的实数根， ∴△=22+4k＞0， 解得k＞﹣1． 故答案为：k＞﹣1． 　 4．关于x的方程3kx2+12x+2=0有实数根，则k的取值范围是　k≤6　． 【解答】解：当k=0时，原方程可化为12x+2=0，解得x=﹣； 当k≠0时，此方程是一元二次方程， ∵方程3kx2+12x+2=0有实数根， ∴△≥0，即△=122﹣4×3k×2≥0，解得k≤6． ∴k的取值范围是k≤6． 故答案为：k≤6． 5．设a，b是方程x2+x﹣2016=0的两个不相等的实数根． （1）a+b=　﹣1　；ab=　﹣2016　； （2）求代数式a2+2a+b的值． 【解答】解：（1）∵a，b是方程x2+x﹣2016=0的两个不相等的实数根 ∴a+b=﹣1；ab=﹣2016； 故答案为：﹣1．﹣2016； （2）∵a是方程x2+x﹣2016=0的实数根， ∴a2+a﹣2016=0， ∴a2=﹣a+2016， ∴a2+2a+b=﹣a+2016+2a+b=a+b+2016， ∵a、b是方程x2+x﹣2016=0的两个实数根， ∴a+b=﹣1， ∴a2+2a+b=﹣1+2016=2015． 　 考场直播 1．已知关于x的一元二次方程x2﹣3x+m﹣3=0，若此方程的两根的倒数和为1，求m的值． 【解答】解：设方程的两个根分别为α、β， ∴α+β=3，αβ=m﹣3． ∵+===1， ∴m=6， 经检验，m=6是分式方程=1的解． ∵方程x2﹣3x+m﹣3=0有两个实数根， ∴△=（﹣3）2﹣4（m﹣3）=21﹣4m≥0， ∴m≤， ∴m=6舍去． ∴m无实数根． 　 2．设方程4x2﹣7x﹣3=0的两根为x1，x2，不解方程求下列各式的值： （1）x12x2+x1x22． （2）+． 【解答】解：∵方程4x2﹣7x﹣3=0的两根为x1，x2， ∴x1+x2=，x1x2=﹣， （1）x12x2+x1x22 =x1x2（x1+x2） =﹣× =﹣； （2）+ = = = =． 自我挑战 1．关于x的一元二次方程kx2+3x﹣1=0有实数根，则k的取值范围是（　　） A．k≤﹣ B．k≤﹣且k≠0 C．k≥﹣ D．k≥﹣且k≠0 【解答】解：∵关于x的一元二次方程kx2+3x﹣1=0有实数根， ∴△=b2﹣4ac≥0， 即：9+4k≥0， 解得：k≥﹣， ∵关于x的一元二次方程kx2+3x﹣1=0中k≠0， 则k的取值范围是k≥﹣且k≠0． 故选D． 　 2．一元二次方程x2﹣x﹣1=0的根的情况为（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【解答】解：∵a=1，b=﹣1，c=﹣1， ∴△=b2﹣4ac=（﹣1）2﹣4×1×（﹣1）=5＞0， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选：A． 　 3．定义运算：a⋆b=a（1﹣b）．若a，b是方程x2﹣x+m=0（m＜0）的两根，则b⋆b﹣a⋆a的值为（　　） A．0 B．1 C．2 D．与m有关 【解答】解：∵a，b是方程x2﹣x+m=0（m＜0）的两根， ∴a+b=1， ∴b⋆b﹣a⋆a=b（1﹣b）﹣a（1﹣a）=b（a+b﹣b）﹣a（a+b﹣a）=ab﹣ab=0． 故选A． 　 4．已知关于x的一元二次方程mx2+2x﹣1=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（　　） A．m＜﹣1 B．m＞1 C．m＜1且m≠0 D．m＞﹣1且m≠0 【解答】解：∵关于x的一元二次方程mx2+2x﹣1=0有两个不相等的实数根， ∴m≠0且△＞0，即22﹣4•m•（﹣1）＞0，解得m＞﹣1， ∴m的取值范围为m＞﹣1且m≠0． ∴当m＞﹣1且m≠0时，关于x的一元二次方程mx2+2x﹣1=0有两个不相等的实数根． 故选D． 　 5．关于x的方程kx2+2x﹣1=0有实数根，则k的取值范围是（　　） A．k≥﹣1 B．k≥﹣1且k≠0 C．k≤﹣1 D．k≤1且k≠0 【解答】解：（1）当k=0时，﹣6x+9=0，解得x=； （2）当k≠0时，此方程是一元二次方程， ∵关于x的方程kx2+2x﹣1=0有实数根， ∴△=22﹣4k×（﹣1）≥0，解得k≥﹣1， 由（1）、（2）得，k的取值范围是k≥﹣1． 故选：A．　 6．已知一元二次方程x2﹣4x+3=0的两根为x1，x2，那么（1+x1）（1+x2）的值是　8　． 【解答】解：根据题意得x1+x2=4，x1x2=3， 所以（1+x1）（1+x2）=1+x1+x2+x1x2=1+4+3=8． 故答案为8． 　 7．设m，n分别为一元二次方程x2+2x﹣2018=0的两个实数根，则m2+3m+n=　2016　． 【解答】解：∵m为一元二次方程x2+2x﹣2018=0的实数根， ∴m2+2m﹣2018=0，即m2=﹣2m+2018， ∴m2+3m+n=﹣2m+2018+3m+n=2018+m+n， ∵m，n分别为一元二次方程x2+2x﹣2018=0的两个实数根， ∴m+n=﹣2， ∴m2+3m+n=2018﹣2=2016． 　 8．关于x的方程2x2﹣4x+k=0有实数根，k的取值范围是　k≤2　． 【解答】解：∵关于x的方程2x2﹣4x+k=0有实数根， ∴△=b2﹣4ac≥0，即16﹣8k≥0， 解得，k≤2． 故答案是：k≤2． 9．如果一元二次方程x2﹣3x+1=0的两实数根分别为x1，x2，不解方程，求下列代数式的值． （1）x12+x22； （2）（x1﹣2）（x2﹣2）． 【解答】解：∵方程x2﹣3x+1=0的两实数根分别为x1，x2， ∴x1+x2=3，x1•x2=1． （1）x12+x22=﹣2x1•x2=32﹣2×1=7； （2）（x1﹣2）（x2﹣2）=x1•x2﹣2（x1+x2）+4=1﹣2×3+4=﹣1． 　 10．已知关于x的方程（m﹣2）x2﹣2（m﹣1）x+m+1=0；当m为何非负整数时： （1）方程没有实数根； （2）方程有两个相等的实数根； （3）方程有两个不相等的实数根． 【解答】解：（1）∵方程没有实数根， ∴△=b2﹣4ac=[﹣2（m﹣1）]2﹣4（m﹣2）（m+1）＜0且m为非负整数， ∴m＞3， 当m＞3时方程没有实数根． （2）∵方程有两相等的实数根， ∴△=b2﹣4ac=[﹣2（m﹣1）]2﹣4（m﹣2）（m+1）=0且m为非负整数， ∴m=3 ∴当m=3时方程有两相等的实根． （ 3）∵方程有两个不相等的实根 ∴△=b2﹣4ac=[﹣2（m﹣1）]2﹣4（m﹣2）（m+1）＞0且m为非负整数， ∴m为0、1， ∴当m为0、1时方程有两不相等的实根． 学科网（北京）股份有限公司 $