4.2 视图 同步讲义 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

本初中数学讲义聚焦“视图”核心知识点，系统梳理简单几何体（如圆柱）、组合体（如空心圆柱）的三视图画法及由三视图判断几何体的方法，以“长对正、高平齐、宽相等”口诀为基础支架，形成从单一到组合、从画到判断的递进学习脉络。 资料以“解题知识+典例+变式”构建教学闭环，通过米斗、月壤砖等现实情境案例，培养学生空间观念与几何直观，典例与变式结合助力推理能力提升，课中辅助教师分层教学，课后帮助学生强化练习，查漏补缺。

4.2 视图 内 容 导 航 题型1 物质的微粒性 题型2 分式有意义的条件 题型3 分式的值为零的条件 考 点 演 练 题型1 简单几何体的三视图 解｜题｜知｜识 （1）画物体的主视图的口诀为：主、俯：长对正；主、左：高平齐；俯、左：宽相等． （2）常见的几何体的三视图： 圆柱的三视图： 【典例1】下列几何体中，左视图与主视图不同的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：A．该圆柱的主视图是长方形，左视图也是长方形，故本选项不符合题意； B．正方体的主视图是正方形、左视图也是正方形，故本选项不符合题意； C．该几何体的主视图是梯形，左视图是长方形，故本选项符合题意； D．该圆锥的主视图是三角形，左视图也是三角形，故本选项不符合题意； 故选：C． 【变式1】下列几何体中，主视图是三角形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：A、圆锥的主视图是三角形，故此选项符合题意； B、圆柱的主视图是矩形，故此选项不符合题意； C、三棱柱的主视图是长方形，中间还有一条虚线，故此选项不符合题意； D、正方体的主视图为正方形，故此选项不符合题意； 故选：A． 【变式2】如图，一个空心圆柱体，其主视图正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：从前面观察物体可以发现：它的主视图应为矩形， 又因为该几何体为空心圆柱体，故中间的两条棱在主视图中应为虚线， 故选：B． 【变式3】下列四个几何体中，俯视图为四边形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：A、三棱锥的俯视图是，故此选项错误； B、六棱柱的俯视图是六边形，故此选项错误； C、正方体俯视图是正方形，故此选项正确； D、圆锥的俯视图是有圆心的圆，故此选项错误， 故选：C． 题型2 简单组合体的三视图 解｜题｜知｜识 （1）画简单组合体的三视图要循序渐进，通过仔细观察和想象，再画它的三视图． （2）视图中每一个闭合的线框都表示物体上的一个平面，而相连的两个闭合线框常不在一个平面上． （3）画物体的三视图的口诀为： 主、俯：长对正； 主、左：高平齐； 俯、左：宽相等． 【典例1】古代粮仓等必备的粮食量器——米斗，因陶渊明“不为五斗米折腰”的典故而广为人知．如图1，这是一种无盖米斗，其示意图（不计厚度）如图2所示，则其俯视图是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：从上面看，可得选项A的图形， 故选：A． 【变式1】如图所示的几何体的左视图为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：这个组合体的左视图为： 故选：C． 【变式2】如图是一个空心圆柱，关于它的主视图和俯视图正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：主视图是两个同心圆，俯视图是带有虚线的矩形， 故选：B． 【变式3】一个凹形零件如图，则其俯视图是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：从上面看，可得选项D的图形． 故选：D． 题型3 由三视图判断几何体 解｜题｜知｜识 （1）由三视图想象几何体的形状，首先，应分别根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，然后综合起来考虑整体形状． （2）由物体的三视图想象几何体的形状是有一定难度的，可以从以下途径进行分析： ①根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，以及几何体的长、宽、高； ②从实线和虚线想象几何体看得见部分和看不见部分的轮廓线； ③熟记一些简单的几何体的三视图对复杂几何体的想象会有帮助； ④利用由三视图画几何体与有几何体画三视图的互逆过程，反复练习，不断总结方法． 【典例1】某几何体的三视图如图所示，这个几何体是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：A．选项A的三视图均不符合题意，故本选项不符合题意； B．选项B的主视图和俯视图均不符合题意，故本选项不符合题意； C．选项C的三视图均符合题意，故本选项符合题意； D．选项D的左视图和俯视图均不符合题意，故本选项不符合题意． 故选：C． 【变式1】一个几何体由圆柱和正方体组成，其主视图、俯视图如图所示，则其左视图为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：由俯视图中的正方形位于横向的对称轴的位置上，故选项A的左视图符合题意． 故选：A． 【变式2】桌子上重叠摆放了若干枚面值为1元的硬币，它的三种视图如图所示，则桌上共有1元硬币的数量为（　　） A．12枚 B．11枚 C．9枚 D．7枚 【答案】B 【解答】解：综合三视图，我们可以得出桌子上有三摞硬币，他们的个数应该是5+4+2＝11枚． 故选：B． 【变式3】一个几何体的三视图如图所示，这个几何体是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：由三视图可知，这个几何体为三棱柱， 故选：D． 过 关 验 收 1．如图，一个实木正方体内部有一个圆锥体空洞，它的左视图是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：∵一个实木正方体内部有一个圆锥体空洞， ∴从左面看得该几何体的左视图是： 故选：B． 2．下列几何体中，主视图和左视图都为矩形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：A、主视图和左视图都为矩形的，所以A选项正确； B、主视图和左视图都为等腰三角形，所以B选项错误； C、主视图为矩形，左视图为圆，所以C选项错误； D、主视图是矩形，左视图为三角形，所以D选项错误． 故选：A． 3．如图的几何体，从左面看的平面图是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：这个组合体的左视图如下： 故选：D． 4．在娱乐节目“墙来了！”中，参赛选手背靠水池，迎面冲来一堵泡沫墙，墙上有人物造型的空洞．选手需要按墙上的造型摆出相同的姿势，才能穿墙而过，否则会被墙推入水池．类似地，有一块几何体恰好能以如图中两个不同形状的“姿势”分别穿过这两个空洞，则该几何体为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：A、三视图都为正方形，故A选项不符合题意； B、三视图分别为长方形，长方形，圆，故B选项不符合题意； C、三视图分别为三角形，三角形，圆，故C选项符合题意； D、三视图都为圆，故D选项不符合题意； 故选：C． 5．下列几何体： 其中，左视图是平行四边形的有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【解答】解：圆柱的左视图是长方形，长方形是一个特殊的平行四边形； 圆锥的左视图是三角形； 棱柱的左视图是长方形，长方形是一个特殊的平行四边形； 长方体的左视图是长方形，长方形是一个特殊的平行四边形； 故左视图是平行四边形的有3个， 故选：B． 6．如图，是水平放置的长方体，它的底面边长为2和4，左视图的面积为6，则该长方体的体积为　　 ． 【答案】24． 【解答】解：根据题意，得长方体的高为6÷2＝3， ∴长方体的体积等于2×4×3＝24． 故答案为：24． 7．如图是由6个完全相同的小正方体搭成的几何体，这个几何体的左视图是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：这个组合体的左视图为： 故选：C． 8．“月壤砖”是未来可能用于月球盖房子的建筑材料．如图，是某种型号的“月壤砖”的示意图，其俯视图是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：其俯视图是一个矩形，且中间有一条虚线． 故选：B． 9．如图为一个乐高积木示意图，这个几何体的左视图为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：从左面看，可得选项C的图形． 故选：C． 10．如图①，榫卯是古代中国建筑、家具及其它器械的主要结构方式．图②的左视图是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：从左边看，可得选项A的图形． 故选：A． 11．如图所示的几何体的俯视图为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：俯视图为：． 故选：C． 12．如图是由5个小正方体搭成的几何体，下列说法正确的是（　　） A．主视图与俯视图相同 B．主视图与左视图相同 C．左视图与俯视图相同 D．三种视图都相同 【答案】A 【解答】解：这个几何体的主视图与俯视图相同，均为底层是三个正方形，上层的左边是一个正方形；它的左视图底层是两个正方形，上层的左边是一个正方形． 故选：A． 13．如图，该几何体的主视图、左视图和俯视图正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：根据三视图的定义可知，该几何体的三视图为： 故选：D． 14．将一个棱长为6cm的正方体的一个角剪去一个棱长为3cm的小正方体，得到的几何体如图所示，则该几何体主视图的面积为 　　 cm2． 【答案】36． 【解答】解：该几何体主视图的面积为 62＝36（cm2）， 故答案为：36． 15．如图①所示的组合几何体，它的下面是一个长方体，上面是一个圆柱． （1）图②和图③是它的两个视图，在横线上分别填写两种视图的名称（填“主”、“左”或“俯”）； （2）根据两个视图中的尺寸，计算这个组合几何体的体积．（结果保留π） 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）如图所示： ； （2）2×5×8+π×（2÷2）2×6 ＝80+π×1×6 ＝80+6π． 答：这个组合几何体的体积是80+6π． 16．一个几何体的主视图与俯视图如图所示（其中俯视图为边长为4的正三角形），则该几何体的左视图的面积为（　　） A．12 B．24 C．8 D．12 【答案】D 【解答】解：由几何体的主视图与俯视图可得，几何体为三棱柱， 所以该几何体的左视图的面积为， 故选：D． 17．长方体的主视图、俯视图如图所示，则其左视图面积为（　　） A．3 B．4 C．12 D．16 【答案】A 【解答】解：由主视图易得高为1，由俯视图易得宽为3． 则左视图面积＝1×3＝3， 故选：A． 18．几个棱长为1的正方体组成的几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积是（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【解答】解：综合三视图可知，这个几何体的底层应该有3+1＝4个小正方体， 第二层应该有1个小正方体， 因此搭成这个几何体所用小正方体的个数是4+1＝5个， 所以这个几何体的体积是5． 故选：B． 19．王老师有一个装文具用的盒子，它的三视图如图所示，这个盒子类似于（　　） A．圆锥 B．圆柱 C．长方体 D．三棱柱 【答案】D 【解答】解：如图，俯视图为三角形，故可排除C、B．主视图以及侧视图都是矩形，可排除A，故选D． 20．观察图1中的三种视图，在图2中与之对应的几何体是　　 （填序号） 【答案】③ 【解答】解：结合主视图和俯视图发现几何体的背面应该有个凸起， 故淘汰①②，选③， 故答案为：③． 21．如图是一个机器零件的三视图，它的主视图是等腰三角形，则这个零件的表面积为　　 ． 【答案】544． 【解答】解：根据题意可知，这个几何体是倒放的三棱柱， 结合左视图得出主视图的等腰三角形的高是8， 则AB＝2×6＝12，， ∴， 则这个零件的表面积为：48×2+14×10+14×10+14×12＝544． 故答案为：544． 22．如图是一个几何体的三视图，根据图中所标数据计算这个几何体的体积为　　 ． 【答案】18π． 【解答】解：由几何体的三视图可知这个立体图形为空心圆柱，根据圆柱的体积公式可知，该几何体的体积为：， 故答案为：18π． 23．如图是某几何体的三视图，其俯视图是等边三角形，则这个几何体的体积是　　 ． 【答案】． 【解答】解：由几何体的主视图和左视图都是矩形，俯视图是三角形，可知该几何体是一个三棱柱，其高为2，其底面是一个高为的等边三角形， 如图所示，△ABC是等边三角形，，且CD⊥AB， ∴AC＝AB＝2AD， ∴， ∴AD＝2， ∴AB＝4， ∴该几何体的体积为， 故答案为：． 24．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的侧面展开图的圆心角的度数为 　　 ． 【答案】216°． 【解答】解：由三视图可知，该几何体为圆锥； 由三视图数据知圆锥的底面圆的直径为6、半径为3，高为4， 则母线长为5， 所以该几何体的侧面展开图圆心角的度数为π×6÷（π×5）×180°＝216°． 故答案为：216°． 25．一个长方体的三视图如图所示，若其俯视图为正方形，则这个长方体的体积为　　 ． 【答案】12 【解答】解：设俯视图的正方形的边长为a． ∵其俯视图为正方形，正方形的对角线长为2， ∴a2+a2＝（2）2， 解得a2＝4， ∴这个长方体的体积为4×3＝12． 26．如图是一个几何体的三视图，根据图中所标数据，该几何体的体积为 　　 ． 【答案】π． 【解答】解：该立体图形为半个圆柱， 所以该几何体的体积． 故答案为：π． 27．某长方体的三视图如图所示，则这个长方体的体积是 　　 ． 【答案】24． 【解答】解：观察图形可知，该几何体为长4，宽2，高3的长方体， 长方体的体积为4×2×3＝24． 故答案为：24． 28．如图所示是一个几何体的主视图和俯视图，求该几何体的体积（不取近似值） 【答案】见试题解答内容 【解答】解：该几何体的体积为： π×102×32+30×25×40 ＝（3200π+30000）cm3． 学科网（北京）股份有限公司 $4.2视图 内容导航 题型1物质的微粒性 题型2分式有意义的条件 题型3分式的值为零的条件 考点演练 厚题型1 简单几何体的三视图 解|题|知识 (1)画物体的主视图的口诀为：主、俯：长对正：主、左：高平齐：俯、左：宽相等 (2)常见的几何体的三视图： 侧誰的 球体的 :视图 :视图 止方体的 视 侧台的 视州 圆柱的三视图： 【典例1】下列几何体中，左视图与主视图不同的是() B D 【变式1】下列几何体中，主视图是三角形的是( B 【变式2】如图，一个空心圆柱体，其主视图正确的是（) ⊙ A 0 【变式3】下列四个几何体中，俯视图为四边形的是() D 厚 题型2 简单组合体的三视图 解题|知|识 (1)画简单组合体的三视图要循序渐进，通过仔细观察和想象，再画它的三视图 (2)视图中每一个闭合的线框都表示物体上的一个平面，而相连的两个闭合线框常不在一 个平面上。 (3)画物体的三视图的口诀为： 主、俯：长对正： 主、左：高平齐： 俯、左：宽相等 【典例1】古代粮仓等必备的粮食量器一一米斗，因陶渊明“不为五斗米折腰”的典故而 广为人知，如图1，这是一种无盖米斗，其示意图（不计厚度）如图2所示，则其俯视 图是( 正面 图1 图2 B C D 【变式1】如图所示的几何体的左视图为() 正面 B ⊙ p 【变式2】如图是一个空心圆柱，关于它的主视图和俯视图正确的是() 正面 A.主视图俯视图 B.主视图 俯视图 _----- C.主视图 俯视图 D.主视图俯视图 【变式3】一个凹形零件如图，则其俯视图是() B D 写题型3 由三视图判断几何体 解|题知|识 (1)由三视图想象几何体的形状，首先，应分别根据主视图、俯视图和左视图想象几何体 的前面、上面和左侧面的形状，然后综合起来考虑整体形状， (2)由物体的三视图想象几何体的形状是有一定难度的，可以从以下途径进行分析： ①根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，以及几何体的 长、宽、高： ②从实线和虚线想象几何体看得见部分和看不见部分的轮廓线： ③熟记一些简单的几何体的三视图对复杂几何体的想象会有帮助： ④利用由三视图画几何体与有几何体画三视图的互逆过程，反复练习，不断总结方法 【典例1】某几何体的三视图如图所示，这个几何体是（ B D 【变式1】一个几何体由圆柱和正方体组成，其主视图、俯视图如图所示，则其左视图为 主视图 俯视图 B 0 【变式2】桌子上重叠摆放了若干枚面值为1元的硬币，它的三种视图如图所示，则桌上 共有1元硬币的数量为() 目 俯视图 主视图 左视图 A.12枚 B.11枚 C.9枚 D.7枚 【变式3】一个几何体的三视图如图所示，这个几何体是() A B C. D 过关验收 1.如图，一个实木正方体内部有一个圆锥体空洞，它的左视图是() 从左面看 A. B. D 2.下列几何体中，主视图和左视图都为矩形的是( B D 3. 如图的几何体，从左面看的平面图是() 左面 正面 D 4.在娱乐节目“墙来了！”中，参赛选手背靠水池，迎面冲来一堵泡沫墙，墙上有人物造 型的空洞.选手需要按墙上的造型摆出相同的姿势，才能穿墙而过，否则会被墙推入水 池.类似地，有一块几何体恰好能以如图中两个不同形状的“姿势”分别穿过这两个空 洞，则该几何体为( ) D. 5.下列几何体： 圆柱 圆锥 棱柱 长方体 其中，左视图是平行四边形的有() A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 6.如图，是水平放置的长方体，它的底面边长为2和4，左视图的面积为6，则该长方体 的体积为 4 7.如图是由6个完全相同的小正方体搭成的几何体，这个几何体的左视图是() 正面 B 8.“月壤砖”是未来可能用于月球盖房子的建筑材料.如图，是某种型号的“月壤砖”的 示意图，其俯视图是() 正面 B. 9.如图为一个乐高积木示意图，这个几何体的左视图为() A B ⊙ D 10.如图①，榫卯是古代中国建筑、家具及其它器械的主要结构方式.图②的左视图是 () 正面 图① 图② B. C D 11.如图所示的几何体的俯视图为() ☑ B 12.如图是由5个小正方体搭成的几何体，下列说法正确的是( /正面 A.主视图与俯视图相同 B.主视图与左视图相同 C.左视图与俯视图相同 D.三种视图都相同 13.如图，该几何体的主视图、左视图和俯视图正确的是() 主视图 左视图 主视图 左视图 A 俯视图 B 俯视图 主视图 左视图 主视图 左视图 C. 俯视图 D. 俯视图 14.将一个棱长为6c的正方体的一个角剪去一个棱长为3Cm的小正方体，得到的几何体 如图所示，则该几何体主视图的面积为cm2. 主视方向 15.如图①所示的组合几何体，它的下面是一个长方体，上面是一个圆柱 8 从正面看 视图 视图 图① 图② 图③ (1)图②和图③是它的两个视图，在横线上分别填写两种视图的名称（填“主”、 “左”或“俯”)： (2)根据两个视图中的尺寸，计算这个组合几何体的体积.（结果保留π） 16.一个几何体的主视图与俯视图如图所示（其中俯视图为边长为4的正三角形)，则该 几何体的左视图的面积为() 6 -4 主视图 俯视图 A.12 B.24 c.83 D.123 17.长方体的主视图、俯视图如图所示，则其左视图面积为() -4 4 主视图 俯视图 A.3 B.4 C.12 D.16 18.几个棱长为1的正方体组成的几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积是( 主视图 左视图 俯视图 A.4 B.5 C.6 D.7 19.王老师有一个装文具用的盒子，它的三视图如图所示，这个盒子类似于() 正视图 左视图 俯视图 A.圆锥 B.圆柱 C.长方体 D.三棱柱 20.观察图1中的三种视图，在图2中与之对应的几何体是（填序号） 主视图 左视图 俯 图 图2 图1 21.如图是一个机器零件的三视图，它的主视图是等腰三角形，则这个零件的表面积为 0 8 主视图 左视图 14 俯视图 22.如图是一个几何体的三视图，根据图中所标数据计算这个几何体的体积为 6 主视图 左 图 2 俯 视图 23.如图是某几何体的三视图，其俯视图是等边三角形，则这个几何体的体积是· 主视图 3 左视图 俯视图 24.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的侧面展开图的圆心角的度数为一· 主视图 左视图 6 俯视图 25.一个长方体的三视图如图所示，若其俯视图为正方形，则这个长方体的体积为一· 22 3 主视图 左视图 俯视图 26.如图是一个几何体的三视图，根据图中所标数据，该几何体的体积为 2 2 主视图 左视图 俯视图 27.某长方体的三视图如图所示，则这个长方体的体积是 个 3* 4 主视图 左视图 俯视图 28.如图所示是一个几何体的主视图和俯视图，求该几何体的体积（不取近似值） 20cm 32cm 30cm 25cm 40cm 30cm