2.3 一元二次方程的根与系数的关系 同步讲义 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

本讲义聚焦一元二次方程根与系数的关系核心知识点，系统梳理二次项系数为1时x₁+x₂=-p、x₁x₂=q及系数不为1时x₁+x₂=-b/a、x₁x₂=c/a的关系，构建从定义理解到不解方程判根、求根关系等应用的学习支架。 资料以分层典例与变式题设计为亮点，如结合判别式的参数取值、含绝对值的根关系及“邻根方程”新定义题型，培养学生推理能力与创新意识。过关验收题量大覆盖广，课中辅助教师高效教学，课后助力学生巩固提升，强化应用意识。

2.3 一元二次方程的根与系数的关系 内 容 导 航 题型1 根与系数的关系 考 点 演 练 题型1 根与系数的关系 解｜题｜知｜识 （1）若二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，反过来可得p＝﹣（x1+x2），q＝x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数． （2）若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2，反过来也成立，即（x1+x2），x1x2． （3）常用根与系数的关系解决以下问题： ①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根．②已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数．③不解方程求关于根的式子的值，如求，x12+x22等等．④判断两根的符号．⑤求作新方程．⑥由给出的两根满足的条件，确定字母的取值．这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑a≠0，△≥0这两个前提条件． 【典例1】关于x的方程x2﹣mx﹣5＝0有一个根是﹣1，求另一个根及m的值． 【变式1】关于x的一元二次方程mx2﹣2mx+m﹣2＝0的有两个实数根为x1，x2． （1）求m的取值范围； （2）若|x1﹣x2|＝1，求m的值． 【变式2】已知关于x的一元二次方程x2﹣2（m﹣1）x+m2﹣7＝0． （1）当方程有实数根时，求m的取值范围； （2）设方程的两个实根分别是x1，x2，且满足x1+x2＝x1x2﹣10，求m的值． 【变式3】关于x的一元二次方程x2+2x+3﹣k＝0有两个不相等的实数根． （1）求k的取值范围； （2）若方程的两个根为α，β，且k2＝αβ+3k，求k的值． 过 关 验 收 1．关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+1＝0有两个不相等的实数根x1，x2． （1）求实数k的取值范围； （2）若方程两实数根满足|x1+x2|＝x1x2.，求k的值 2．已知关于x的方程x2﹣4x+k+1＝0有两个实数根． （1）求k的取值范围； （2）设方程的两个实数根分别为x1，x2，且4，求实数k的值． 3．已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0． （1）若方程有两个实数根，求m的取值范围； （2）若方程的两个实数根为x1，x2，且，求m的值． 4．已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+2）x+2k﹣1＝0（k为常数）． （1）求证：不论k为何值，该方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的一个根为3，求k的值和方程的另一个根． 5．已知关于x的一元二次方程（x﹣3）（x﹣2）﹣m2＝0． （1）求证：无论m为何实数，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的两个实数根α，β满足α2+β2＝17，求m的值． 6．定义：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，则称这样的方程为“邻根方程”． （1）下列方程是“邻根方程”的是 　　 （填序号）． ①x2+x＝6；②x2+3x+2＝0；③x2；④x2﹣5x＝﹣6． （2）若方程x2+2x﹣k+1＝0是“邻根方程”，x1，x2是方程的两根，求： ①请求出k的值． ②求方程的两个根． 7．已知关于x的一元二次方程x2+（k+1）x+k＝0． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程两根均为负数，求实数k的取值范围． 8．已知关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣1＝0有两个不相等的实数根． （1）求m的取值范围； （2）若该方程的两个实数根的平方和为21，求m的值． 9．已知关于x的方程x2﹣（k+2）x+2k＝0． （1）求证：k取任何实数值，方程总有实数根； （2）若Rt△ABC斜边长a＝3，另两边长b，c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长． 10．已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+1）x+3（m﹣2）＝0． （1）求证：无论m为何值，方程总有两个实数根； （2）若△ABC的一条边BC的长为5，另两边AB，AC的长是这个方程的两个实数根，当m为何值时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形？ 11．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m+1）x+m﹣2＝0． （1）求证：不论m取何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程有两个实数根为x1，x2，且x1+x2+3x1x2＝1，求m的值． 12．阅读材料： 材料1：关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个实数根x1，x2和系数a，b，c，有如下关系：，． 材料2：已知一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两个实数根分别为m，n，求m2n+mn2的值． 解：∵m，n是一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两个实数根， ∴m+n＝1，mn＝﹣1． 则m2n+mn2＝mn（m+n）＝﹣1×1＝﹣1． 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： （1）应用：一元二次方程2x2+3x﹣1＝0的两个实数根为x1，x2，则x1+x2＝ 　 ，x1x2＝ 　　 ； （2）类比：已知一元二次方程2x2+3x﹣1＝0的两个实数根为m，n，求m2+n2的值； （3）提升：已知实数s，t满足2s2+3s﹣1＝0，2t2+3t﹣1＝0且s≠t，求的值． 13．已知关于x的一元二次方程x2+2mx+m2+m＝0有实数根． （1）求m的取值范围； （2）若该方程的两个实数根分别为x1、x2，且，求m的值． 14．已知关于x的一元二次方程x2+2kx+k2+k＝0有实数根． （1）求实数k的取值范围； （2）设方程的两个实数根分别为x1，x2，且满足，求k的值． 15．已知关于x的方程x2﹣（k+4）x+2k+4＝0． （1）求证：无论k为何值，方程总有实数根； （2）若方程的两个实数根为x1，x2，求代数式（x1﹣2）（x2﹣2）的值． 16．已知关于x的方程x2﹣2x+m﹣1＝0． （1）若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围； （2）若方程有一个实数根是5，求此方程的另一个根． 17．已知m，n是关于x的一元二次方程x2+bx+2＝0的两个不同的解，其中，请求出b和n的值． 18．已知关于X的一元二次方程x2﹣4x+m+1＝0有两个实数根． （1）求m的取值范围； （2）若该方程的两个实根x1，x2满足x1+x2＝2x1x2﹣1，求m的值． 19．已知关于x的方程．设方程的两实根为x1，x2． （1）当x1•x2＝6时，求k的值； （2）是否存在k值使方程的两个根为一个矩形的两邻边长，且矩形的对角线长为？请通过计算说明． 20．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣3m2＝0． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的两个实数根分别为α，β，且α+2β＝5，求m的值． 21．关于x的一元二次方程x2﹣7x+m＝0有一个根是x＝4，求m的值及方程的另一个根． 22．已知关于x的方程x2﹣5x+k＝0有两个实数根α，β，其中α＝﹣2，求另一个根β和k的值． 23．定义：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个实数根为x1．x2（x1＜x2），分别以x1．x2为横坐标和纵坐标得到点M（x1，x2），则称点M为该一元二次方程的衍生点 （1）若一元二次方程为x2﹣2x＝0，请直接写出该方程的衍生点M的坐标为　　 ； （2）若关于x的一元二次方程为x2﹣2（m﹣1）x+m2﹣2m＝0 ①求出该方程的衍生点M的坐标； ②直线l1：y＝x+5与x轴交于点A，直线l2过点B（1，0），且l1与l2相交于点C（﹣1，4），若由①得到的点M在△ABC的内部，求m的取值范围； （3）是否存在b，c，使得不论k（k≠0）为何值，关于x的方程x2+bx+c＝0的衍生点M始终在直线y＝kx+3（2﹣k）的图象？若有，请求出b，c的值；若没有，请说明理由． 24．已知x1，x2是方程2x2+5x﹣4＝0的两个根，求下列代数式的值． （1）； （2）． 25．关于x的方程x2+2x﹣k＝0有两个实数根x1，x2． （1）求k的取值范围； （2）若k（x1+x2）＝﹣3﹣x1x2，求k的值． 26．如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，其中一个实数根是另一个实数根的3倍，那么称这样的方程是“3倍根方程”．例如一元二次方程x2﹣8x+12＝0的两个根是x1＝2，x2＝6，则方程x2﹣8x+12＝0是“3倍根方程”． （1）通过计算，判断x2﹣4x+3＝0是否是“3倍根方程”； （2）若关于x的方程（x﹣2）（x﹣m）＝0是“3倍根方程”，求代数式m2+2m+2的值； （3）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m﹣1）x+48＝0（m是常数）是“3倍根方程”，请写出m的值． 27．已知关于x的方程x2﹣2（k﹣1）x+k2＝0有两个实数根x1，x2． （1）求k的取值范围； （2）若﹣（x1+x2）＝x1x2﹣1，求k的值． 28．已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣2（m+1）x+m2+5＝0的两个实数根． （1）求m的取值范围； （2）若（x1﹣1）（x2﹣1）＝19，求m的值． 29．已知关于x的一元二次方程x2﹣（m﹣3）x﹣m＝0． （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）如果方程的两实根为x1，x2，且，求m的值． 30．已知x1，x2是一元二次方程2x2﹣2x+m+1＝0的两个实数根． （1）求实数m的取值范围； （2）如果x1．x2满足不等式，且m为整数，求m的值． 31．已知关于x的一元二次方程x2+2mx+m2﹣3＝0． （1）求证：无论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根； （2）若该方程的两个根为p和q，且满足pq﹣p﹣q＝0，求m的值． 32．已知关于x的方程x2+ax+a﹣2＝0，问： （1）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根； （2）若该方程的两个根为x1，x2，且满足4，求a的值． 33．如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如，一元二次方程x2+x＝0的两个根是x1＝0，x2＝﹣1，则方程x2+x＝0是“邻根方程”． （1）通过计算，判断下列方程是否是“邻根方程”： ①x2﹣x﹣6＝0；②． （2）已知关于x的一元二次方程x2﹣（k﹣3）x﹣3k＝0（k是常数）是“邻根方程”，求k的值． （3）若关于x的方程mx2+nx+2＝0（m，n是常数，m＞0）是“邻根方程”，令t＝n2﹣4m2，试求t的最大值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.3 一元二次方程的根与系数的关系 内 容 导 航 题型1 根与系数的关系 考 点 演 练 题型1 根与系数的关系 解｜题｜知｜识 （1）若二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，反过来可得p＝﹣（x1+x2），q＝x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数． （2）若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2，反过来也成立，即（x1+x2），x1x2． （3）常用根与系数的关系解决以下问题： ①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根．②已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数．③不解方程求关于根的式子的值，如求，x12+x22等等．④判断两根的符号．⑤求作新方程．⑥由给出的两根满足的条件，确定字母的取值．这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑a≠0，△≥0这两个前提条件． 【典例1】关于x的方程x2﹣mx﹣5＝0有一个根是﹣1，求另一个根及m的值． 【答案】另一根是x＝5，m＝4． 【解答】解：由条件可得（﹣1）2﹣m×（﹣1）﹣5＝0， 解得m＝4， ∴x2﹣4x﹣5＝0， 解得x1＝﹣1，x2＝5， ∴另一根是x＝5，m＝4． 【变式1】关于x的一元二次方程mx2﹣2mx+m﹣2＝0的有两个实数根为x1，x2． （1）求m的取值范围； （2）若|x1﹣x2|＝1，求m的值． 【答案】（1）m＞0； （2）8． 【解答】解：（1）因为关于x的一元二次方程mx2﹣2mx+m﹣2＝0的有两个实数根， 所以Δ＝（﹣2m）2﹣4m（m﹣2）≥0，且m≠0， 解得m＞0， 所以m的取值范围是m＞0． （2）因为关于x的一元二次方程mx2﹣2mx+m﹣2＝0的两个实数根为x1，x2， 所以． 又因为|x1﹣x2|＝1， 所以（x1﹣x2）2＝1， 则（x1+x2）2﹣4x1x2＝1， 所以221， 解得m＝8， 经检验m＝8是原方程的解，且符合题意， 所以m的值为8． 【变式2】已知关于x的一元二次方程x2﹣2（m﹣1）x+m2﹣7＝0． （1）当方程有实数根时，求m的取值范围； （2）设方程的两个实根分别是x1，x2，且满足x1+x2＝x1x2﹣10，求m的值． 【答案】（1）m的取值范围为m≤4； （2）m的值为﹣3． 【解答】解：（1）根据题意得Δ＝4（m﹣1）2﹣4×1×（m2﹣7）≥0， 解得m≤4， 即m的取值范围为m≤4； （2）根据根与系数关系得x1+x2＝2（m﹣1）， ∵x1+x2＝x1•x2﹣10， ∴2（m﹣1）＝m2﹣7﹣10， 解得：m1＝5，m2＝﹣3， ∵m≤4， ∴m的值为﹣3． 【变式3】关于x的一元二次方程x2+2x+3﹣k＝0有两个不相等的实数根． （1）求k的取值范围； （2）若方程的两个根为α，β，且k2＝αβ+3k，求k的值． 【答案】（1）k＞2；（2）k1＝3． 【解答】解：（1）b2﹣4ac＝22﹣4×1×（3﹣k）＝﹣8+4k， ∵有两个不相等的实数， ∴﹣8+4k＞0， 解得：k＞2； （2）∵方程的两个根为α，β， ∴αβ3﹣k， ∴k2＝3﹣k+3k， 解得：k1＝3，k2＝﹣1（舍去）． 过 关 验 收 1．关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+1＝0有两个不相等的实数根x1，x2． （1）求实数k的取值范围； （2）若方程两实数根满足|x1+x2|＝x1x2.，求k的值 【答案】（1）k；（2）k＝2． 【解答】解：（1）∵原方程有两个不相等的实数根， ∴Δ＝[﹣（2k+1）]2﹣4（k2+1）＝4k2+4k+1﹣4k2﹣4＝4k﹣3＞0， 解得k； （2）∵k， ∴x1+x2＝2k+1＞0， 又∵x1•x2＝k2+1＞0， ∴x1＞0，x2＞0， ∴|x1+x2|＝x1+x2＝2k+1， ∵|x1+x2|＝x1•x2， ∴2k+1＝k2+1， ∴k1＝0，k2＝2， 又∵k， ∴k＝2． 2．已知关于x的方程x2﹣4x+k+1＝0有两个实数根． （1）求k的取值范围； （2）设方程的两个实数根分别为x1，x2，且4，求实数k的值． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵关于x的方程x2﹣4x+k+1＝0有两个实数根， ∴Δ＝（﹣4）2﹣4（k+1）＝﹣4k+12≥0， ∴k≤3； （2）依题意得，x1+x2＝4，x1x2＝k+1， ∵4， ∴， ∴， ∴k1＝5，k2＝﹣3， 又k≤3， ∴k＝﹣3， 经检验k＝﹣3是分式方程的解． 所以k＝﹣3． 3．已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0． （1）若方程有两个实数根，求m的取值范围； （2）若方程的两个实数根为x1，x2，且，求m的值． 【答案】（1）m≤4； （2）m＝﹣5． 【解答】解：（1）由题意得， Δ＝（﹣4）2﹣4m≥0， ∴m≤4； （2）由题意得， x1+x2＝4，x1x2＝m． ∵， ∴m2＝4+21＝25， 解得：m＝﹣5或m＝5（舍）， ∴m＝﹣5． 4．已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+2）x+2k﹣1＝0（k为常数）． （1）求证：不论k为何值，该方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的一个根为3，求k的值和方程的另一个根． 【答案】见试题解答内容 【解答】（1）证明：∵Δ＝[﹣（k+2）]2﹣4（2k﹣1）\ ＝k2+4k+4﹣8k+4 ＝k2﹣4k+4+4 ＝（k﹣2）2+4， ∵（k﹣2）2≥0， ∴Δ＞0， ∴该方程总有两个不相等的实数根； （2）解：∵方程的一个根为3， ∴9﹣3（k+2）+2k﹣1＝0， ∴k＝2， ∴方程为x2﹣4x+3＝0， ∴x1＝3，x1＝1， ∴另一个根为1，k＝2． 5．已知关于x的一元二次方程（x﹣3）（x﹣2）﹣m2＝0． （1）求证：无论m为何实数，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的两个实数根α，β满足α2+β2＝17，求m的值． 【答案】（1）证明见解析； （2）． 【解答】（1）证明：整理原方程得，x2﹣5x+6﹣m2＝0， ∴Δ＝25﹣4（6﹣m2）＝1+4m2， ∵无论m为何实数，总有4m2≥0，从而1+4m2＞0， 即Δ＞0． ∴无论m为何实数，方程总有两个不相等的实数根； （2）解：由（1）得方程（x﹣3）（x﹣2）﹣m2＝0整理得x2﹣5x+6﹣m2＝0， ∵方程（x﹣3）（x﹣2）﹣m2＝0的两个实数根α、β， ，α+β＝5，αβ＝6﹣m2， ∴α2+β2＝（α+β）2﹣2αβ＝25﹣2（6﹣m2）＝13+2m2＝17， ∴解得． 6．定义：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，则称这样的方程为“邻根方程”． （1）下列方程是“邻根方程”的是 　　 （填序号）． ①x2+x＝6；②x2+3x+2＝0；③x2；④x2﹣5x＝﹣6． （2）若方程x2+2x﹣k+1＝0是“邻根方程”，x1，x2是方程的两根，求： ①请求出k的值． ②求方程的两个根． 【答案】（1）②④． （2）①k；②x1，x2． 【解答】解：（1）①解方程x2+x＝6得x1＝2，x2＝﹣3， ∵x1﹣x2＝2﹣（﹣3）＝5， ∴方程x2+x＝6不是“邻根方程”； ②解方程x2+3x+2＝0得x1＝﹣1，x2＝﹣2， ∵x1﹣x2＝﹣1﹣（﹣2）＝1， ∴方程x2+3x+2＝0是“邻根方程”； ③解方程x2得x1＝x2， ∵x1﹣x20， ∴方程x2不是“邻根方程”； ④解方程x2﹣5x＝﹣6得x1＝3，x2＝2， ∵x1﹣x2＝3﹣2＝1， ∴方程x2﹣5x＝﹣6是“邻根方程”． 故答案为：②④． （2）①∵方程x2+2x﹣k+1＝0是“邻根方程”，x1、x2是方程的两根， ∴x1+x2＝﹣2，x1x2＝﹣k+1，x1﹣x2＝1， ∵（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4x1x2， ∴12＝（﹣2）2﹣4（﹣k+1）， 解得k； ②∵方程x2+2x﹣k+1＝0是“邻根方程”，x1、x2是方程的两根， ∴x1﹣x2＝1，x1+x2＝﹣2， 解得x1，x2． 7．已知关于x的一元二次方程x2+（k+1）x+k＝0． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程两根均为负数，求实数k的取值范围． 【答案】（1）见解析； （2）k＞0． 【解答】（1）证明：∵Δ＝（k+1）2﹣4k ＝k2+2k+1﹣4k ＝k2﹣2k+1 ＝（k﹣1）2≥0， ∴方程总有两个实数根； （2）解：由题意， 解得k＞0． 8．已知关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣1＝0有两个不相等的实数根． （1）求m的取值范围； （2）若该方程的两个实数根的平方和为21，求m的值． 【答案】（1）； （2）． 【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣1＝0有两个不相等的实数根， ∴Δ＞0，即（2m+1）2﹣4（m2﹣1）＞0， 解得． （2）设x2+（2m+1）x+m2﹣1＝0的两个根分别为a，b， ∴a+b＝﹣2m﹣1，ab＝m2﹣1， ∵该方程的两个实数根的平方和为21，即a2+b2＝21， ∴（a+b）2﹣2ab＝21， ∴（﹣2m﹣1）2﹣2（m2﹣1）＝21， 解得：或， ∵， ∴． 9．已知关于x的方程x2﹣（k+2）x+2k＝0． （1）求证：k取任何实数值，方程总有实数根； （2）若Rt△ABC斜边长a＝3，另两边长b，c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长． 【答案】见试题解答内容 【解答】（1）证明：Δ＝（k+2）2﹣8k＝（k﹣2）2≥0， 则k取任何实数值，方程总有实数根； （2）解：∵Rt△ABC斜边长a＝3，另两边长b，c恰好是这个方程的两个根， ∴a2＝b2+c2， 则9＝（b+c）2﹣2bc， 9＝（k+2）2﹣2×2k， 解得：k， 由b+c＝2+k＝2（不可能取负数）， 故△ABC的周长C＝5． 10．已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+1）x+3（m﹣2）＝0． （1）求证：无论m为何值，方程总有两个实数根； （2）若△ABC的一条边BC的长为5，另两边AB，AC的长是这个方程的两个实数根，当m为何值时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形？ 【答案】（1）∵x2﹣（m+1）x+3（m﹣2）＝0， ∴Δ＝b2﹣4ac＝[﹣（m+1）]2﹣12（m﹣2）＝m2﹣10m+25＝（m﹣5）2≥0， ∴无论m为何值，方程总有两个实数根； （2）当m＝6时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形． 【解答】（1）证明：∵x2﹣（m+1）x+3（m﹣2）＝0， ∴Δ＝b2﹣4ac＝[﹣（m+1）]2﹣12（m﹣2）＝m2﹣10m+25＝（m﹣5）2≥0， ∴无论m为何值，方程总有两个实数根； （2）解：令x1，x2分别为方程x2﹣（m+1）x+3（m﹣2）＝0的两个根， 则有，x1+x2＝m+1，x1x2＝3（m﹣2）， 设AB＝x1，AC＝x2， ∵△ABC是以BC为斜边的直角三角形，且BC＝5， ∴， ∴，即（m+1）2﹣6（m﹣2）＝25， 解得：m1＝﹣2，m2＝6， 当m＝6时，方程为x2﹣7x+12＝0，解得：x1＝3，x2＝4， 当m＝﹣2时，x1+x2＝﹣1＜0（不符合题意，舍去）， 此时三边均为正数，且满足三角形的三边关系，符合题意； ∴当m＝6时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形． 11．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m+1）x+m﹣2＝0． （1）求证：不论m取何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程有两个实数根为x1，x2，且x1+x2+3x1x2＝1，求m的值． 【答案】见试题解答内容 【解答】（1）证明：∵Δ＝[﹣（2m+1）]2﹣4×1×（m﹣2） ＝4m2+4m+1﹣4m+8 ＝4m2+9＞0， ∴无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根； （2）解：由根与系数的关系，得x1+x2＝2m+1，x1x2＝m﹣2， 由x1+x2+3x1x2＝1，得2m+1+3（m﹣2）＝1， 解得m． 12．阅读材料： 材料1：关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个实数根x1，x2和系数a，b，c，有如下关系：，． 材料2：已知一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两个实数根分别为m，n，求m2n+mn2的值． 解：∵m，n是一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两个实数根， ∴m+n＝1，mn＝﹣1． 则m2n+mn2＝mn（m+n）＝﹣1×1＝﹣1． 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： （1）应用：一元二次方程2x2+3x﹣1＝0的两个实数根为x1，x2，则x1+x2＝ 　 ，x1x2＝ 　　 ； （2）类比：已知一元二次方程2x2+3x﹣1＝0的两个实数根为m，n，求m2+n2的值； （3）提升：已知实数s，t满足2s2+3s﹣1＝0，2t2+3t﹣1＝0且s≠t，求的值． 【答案】（1），； （2）； （3）的值为或． 【解答】解：（1）∵一元二次方程2x2+3x﹣1＝0的两个实数根为x1，x2， ∴x1+x2，x1•x2． 故答案为：，； （2）∵一元二次方程 2x2+3x﹣1＝0的两个实数根为m，n， ∴m+n，mn， ∴m2+n2＝（m+n）2﹣2mn ＝（）2﹣2×（） 1 ； （3）∵实数s，t满足2s2+3s﹣1＝0，2t2+3t﹣1＝0且s≠t， ∴s，t可以看作关于x的方程2x2+3x﹣1＝0的两个根， ∴s+t，st， ∴（t﹣s）2＝（t+s）2﹣4st＝（）2﹣4×（）， ∴t﹣s＝±， ∴±， ∴的值为或． 13．已知关于x的一元二次方程x2+2mx+m2+m＝0有实数根． （1）求m的取值范围； （2）若该方程的两个实数根分别为x1、x2，且，求m的值． 【答案】（1）m≤0； （2）m＝﹣3． 【解答】解：（1）已知关于x的一元二次方程x2+2mx+m2+m＝0有实数根． 在一元二次方程x2+2mx+m2+m＝0中， a＝1，b＝2m，c＝m2+m， ∵方程有实数根， ∴判别式Δ＝b2﹣4ac≥0， ∴（2m）2﹣4×1•（m2+m）≥0， 化简得，﹣4m≥0， 解得，m≤0； （2）x2+2mx+m2+m＝0， 由根与系数的关系可知，，， 由完全平方公式可得，， ∴（﹣2m）2＝24+2（m2+m）， 化简得，m2﹣m﹣12＝0， 解得，m1＝4，m2＝﹣3， ∵m≤0， ∴m＝﹣3． 14．已知关于x的一元二次方程x2+2kx+k2+k＝0有实数根． （1）求实数k的取值范围； （2）设方程的两个实数根分别为x1，x2，且满足，求k的值． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵一元二次方程x2+2kx+k2+k＝0有实数根， ∴Δ＝4k2﹣4（k2+k）≥0． ∴k≤0． （2）由题意，∵方程x2+2kx+k2+k＝0的两个实数根分别为x1，x2， ∴x1+x2＝﹣2k，x1x2＝k2+k． ∴（x1+x2）2﹣2x1x2＝4k2﹣2k2﹣2k＝2k2﹣2k． ∵， ∴2k2﹣2k＝12，即k2﹣k﹣6＝0． ∴k＝﹣2或k＝3． 又∵结合（1）得，k≤0， ∴k＝﹣2． 15．已知关于x的方程x2﹣（k+4）x+2k+4＝0． （1）求证：无论k为何值，方程总有实数根； （2）若方程的两个实数根为x1，x2，求代数式（x1﹣2）（x2﹣2）的值． 【答案】见试题解答内容 【解答】（1）证明：Δ＝[﹣（k+4）]2﹣4（2k+4） ＝k2+8k+16﹣8k﹣16 ＝k2， ∵k2≥0， ∴Δ≥0， ∴该方程总有两个实数根； （2）解：∵该方程的两个实数根为x1，x2， ∴x1+x2＝k+4，x1•x2＝2k+4， ∴（x1﹣2）（x2﹣2） ＝x1•x2﹣2x1﹣2x2+4 ＝x1•x2﹣2（x1+x2）+4 ＝2k+4﹣2（k+4）+4 ＝2k+4﹣2k﹣8+4 ＝0． 16．已知关于x的方程x2﹣2x+m﹣1＝0． （1）若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围； （2）若方程有一个实数根是5，求此方程的另一个根． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵方程有两个不相等的实数根， Δ＝（﹣2）2﹣4（m﹣1）＞0， 即4﹣4m+4＞0， 解得m＜2； （2）设方程的另一个实数根为x2， ∵5+x2＝2， ∴x2＝﹣3． 当方程有一个实数根是5，则另一个根为﹣3． 17．已知m，n是关于x的一元二次方程x2+bx+2＝0的两个不同的解，其中，请求出b和n的值． 【答案】，． 【解答】解：m，n是关于x的一元二次方程x2+bx+2＝0的两个不同的解， ∴mn＝2，m+n＝﹣b， ∵， ∴， ∴． 18．已知关于X的一元二次方程x2﹣4x+m+1＝0有两个实数根． （1）求m的取值范围； （2）若该方程的两个实根x1，x2满足x1+x2＝2x1x2﹣1，求m的值． 【答案】（1）m≤3； （2）m． 【解答】解：（1）∵关于X的一元二次方程x2﹣4x+m+1＝0有两个实数根， ∴Δ＝（﹣4）2﹣4（m+1）≥0， ∴16﹣4m﹣4≥0， 解得m≤3； （2）根据题意得x1+x2＝4，x1x2＝m+1， ∵x1+x2＝2x1x2﹣1， ∴4＝2（m+1）﹣1， 解得m． 19．已知关于x的方程．设方程的两实根为x1，x2． （1）当x1•x2＝6时，求k的值； （2）是否存在k值使方程的两个根为一个矩形的两邻边长，且矩形的对角线长为？请通过计算说明． 【答案】（1）k＝4； （2）假设存在这样的k．则有：． ∵x1+x2＝k+1，， ∴． 解得，． ∵x1+x2＝k+1＞0，即k＞﹣1，且． ∵． 所以，不存在这样的k的值． 【解答】解：（1）根据题意得：， ∴k＝±4． 又∵方程有两个实数根， ∴，即， ∴k＝4． （2）假设存在这样的k．则有：． ∵x1+x2＝k+1，， ∴． 解得，． ∵x1+x2＝k+1＞0，即k＞﹣1，且． ∵． 所以，不存在这样的k的值． 20．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣3m2＝0． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的两个实数根分别为α，β，且α+2β＝5，求m的值． 【答案】（1）证明：Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×1•（﹣3m2）＝4+12m2， ∵12m2≥0， ∴4+12m2≥4＞0， ∴该方程总有两个不相等的实数根； （2）m＝±1． 【解答】（1）证明：根据根的判别式Δ＝b2﹣4ac可得： Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×1•（﹣3m2）＝4+12m2， ∵12m2≥0， ∴4+12m2≥4＞0， ∴该方程总有两个不相等的实数根； （2）解：由根与系数关系可知，α+β＝2，α•β＝﹣3m2， ∵α+2β＝5， ∴α＝5﹣2β， ∴5﹣2β+β＝2， 解得：β＝3，α＝﹣1， ∴﹣3m2＝﹣1×3＝﹣3，即m＝±1． 21．关于x的一元二次方程x2﹣7x+m＝0有一个根是x＝4，求m的值及方程的另一个根． 【答案】m的值为12，方程的另一个根为3． 【解答】解：设方程的另一个根为t， 根据根与系数的关系得4+t＝7，4t＝m， 解得t＝3，m＝12， 即m的值为12，方程的另一个根为3． 22．已知关于x的方程x2﹣5x+k＝0有两个实数根α，β，其中α＝﹣2，求另一个根β和k的值． 【答案】k＝﹣14，β＝7． 【解答】解：由条件可知α+β＝5， ∵α＝﹣2， ∴β＝7， ∵αβ＝k， ∴k＝﹣14． 23．定义：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个实数根为x1．x2（x1＜x2），分别以x1．x2为横坐标和纵坐标得到点M（x1，x2），则称点M为该一元二次方程的衍生点 （1）若一元二次方程为x2﹣2x＝0，请直接写出该方程的衍生点M的坐标为　　 ； （2）若关于x的一元二次方程为x2﹣2（m﹣1）x+m2﹣2m＝0 ①求出该方程的衍生点M的坐标； ②直线l1：y＝x+5与x轴交于点A，直线l2过点B（1，0），且l1与l2相交于点C（﹣1，4），若由①得到的点M在△ABC的内部，求m的取值范围； （3）是否存在b，c，使得不论k（k≠0）为何值，关于x的方程x2+bx+c＝0的衍生点M始终在直线y＝kx+3（2﹣k）的图象？若有，请求出b，c的值；若没有，请说明理由． 【答案】（1）（0，2）； （2）①（m﹣2，m），②0＜m＜2； （3）存在，b＝﹣9，c＝18． 【解答】解：（1）原方程分解因式可得：x（x﹣2）＝0， ∴x1＝0，x2＝2， ∴x2﹣2x＝0的衍生点为M（0，2）， 故答案为：（0，2）； （2）①x2﹣2（m﹣1）x+m2﹣2m＝0， 解得（x﹣m+2）（x﹣m）＝0， ∴x1＝m﹣2，x2＝m， ∴x2﹣2（m﹣1）x+m2﹣2m＝0的衍生点为M（m﹣2，m）； ②∵l1：y＝x+5与x轴交于点A， ∴A（﹣5，0）， 由①得，M（m﹣2，m）， 令m﹣2＝x，m＝y， ∴y＝x+2， ∴M在直线y＝x+2上，刚好和△ABC的边BC交于点（0，2）， 令y＝0，则x+2＝0， ∴x＝﹣2， ∴﹣2＜m﹣2＜0， ∴0＜m＜2； （3）存在． 由条件可知x2+bx+c＝0的两个根为x1＝3，x2＝6， ∴3+6＝﹣b，3×6＝c， ∴b＝﹣9，c＝18． 24．已知x1，x2是方程2x2+5x﹣4＝0的两个根，求下列代数式的值． （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）． 【解答】解：因为x1，x2是方程2x2+5x﹣4＝0的两个根， 所以，x1x2＝﹣2． （1）． （2）． 25．关于x的方程x2+2x﹣k＝0有两个实数根x1，x2． （1）求k的取值范围； （2）若k（x1+x2）＝﹣3﹣x1x2，求k的值． 【答案】（1）k≥﹣1； （2）1． 【解答】解：（1）由条件可知Δ＝22﹣4×1×（﹣k）≥0， 解得：k≥﹣1； （2）由条件可知x1+x2＝﹣2，x1x2＝﹣k， ∵k（x1+x2）＝﹣3﹣x1x2， ∴﹣2k＝﹣3﹣（﹣k）， 解得：k＝1． 26．如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，其中一个实数根是另一个实数根的3倍，那么称这样的方程是“3倍根方程”．例如一元二次方程x2﹣8x+12＝0的两个根是x1＝2，x2＝6，则方程x2﹣8x+12＝0是“3倍根方程”． （1）通过计算，判断x2﹣4x+3＝0是否是“3倍根方程”； （2）若关于x的方程（x﹣2）（x﹣m）＝0是“3倍根方程”，求代数式m2+2m+2的值； （3）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m﹣1）x+48＝0（m是常数）是“3倍根方程”，请写出m的值． 【答案】（1）x2﹣4x+3＝0是“3倍根方程”； （2）m2+2m+2＝50或； （3）m的值为17或﹣15． 【解答】解：（1）x2﹣4x+3＝0， 解得x1＝1，x2＝3， ∵3x1＝x2， ∴x2﹣4x+3＝0是“3倍根方程”； （2）（x﹣2）（x﹣m）＝0， 解得x1＝2，x2＝m， ∵（x﹣2）（x﹣m）＝0是“3倍根方程”， 分情况讨论： ①m＝2×3＝6，m2+2m+2＝50； ②； （3）∵x2﹣（m﹣1）x+48＝0（m是常数）是“3倍根方程” ∴不妨设x2是x1的三倍，由韦达定理：，解得x1＝±4． ①x1＝4，x2＝12，x1+x2＝16＝m﹣1，m＝17． ②x1＝﹣4，x2＝﹣12，x1+x2＝﹣16＝m﹣1，m＝﹣15． 综上所述，m的值为17或﹣15． 27．已知关于x的方程x2﹣2（k﹣1）x+k2＝0有两个实数根x1，x2． （1）求k的取值范围； （2）若﹣（x1+x2）＝x1x2﹣1，求k的值． 【答案】（1）； （2）k＝﹣3． 【解答】解：（1）∵关于x的方程x2﹣2（k﹣1）x+k2＝0有两个实数根x1，x2， ∴Δ＝[﹣2（k﹣1）]2﹣4k2＝﹣8k+4≥0， ∴； （2）∵，， ∴﹣（2k﹣2）＝k2﹣1， ∴k1＝1，k2＝﹣3， 又∵， ∴k＝﹣3． 28．已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣2（m+1）x+m2+5＝0的两个实数根． （1）求m的取值范围； （2）若（x1﹣1）（x2﹣1）＝19，求m的值． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣2（m+1）x+m2+5＝0的两实数根， ∴Δ≥0， ∴[﹣2（m+1）]2﹣4（m2+5）≥0， 解得：m≥2； （2）∵x1+x2＝2（m+1），， 又∵（x1﹣1）（x2﹣1）＝19， ∴x1x2﹣（x1+x2）+1＝19， ∴m2+5﹣2（m+1）+1＝19， 解得m＝﹣3（舍去），m＝5， ∴m＝5． 29．已知关于x的一元二次方程x2﹣（m﹣3）x﹣m＝0． （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）如果方程的两实根为x1，x2，且，求m的值． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵方程x2﹣（m﹣3）x﹣m＝0， a＝1，b＝﹣（m﹣3），c＝﹣m， ∴Δ＝[﹣（m﹣3）]2﹣4×1×（﹣m） ＝m2﹣6m+9+4m ＝m2﹣2m+9 ＝（m﹣1）2+8＞0， ∴方程有两个不相等的实数根； （2）由两根关系得x1+x2＝m﹣3，x1x2＝﹣m， ∵， ∴， 即（m﹣3）2﹣3（﹣m）＝7， 即m2﹣3m+2＝0， 解得：m1＝2，m2＝1． 30．已知x1，x2是一元二次方程2x2﹣2x+m+1＝0的两个实数根． （1）求实数m的取值范围； （2）如果x1．x2满足不等式，且m为整数，求m的值． 【答案】（1）m； （2）﹣1． 【解答】解：（1）∵方程2x2﹣2x+m+1＝0有两个实数根， ∴Δ≥0， 即（﹣2）2﹣4×2（m+1）≥0， 解得m． 故实数m的取值范围是m； （2）∵x1，x2是一元二次方程2x2﹣2x+m+1＝0的两个实数根， ∴x1+x2＝1，x1•x2（m+1）， ∵4+6x1x2＞（x1+x2）2， ∴4+6（m+1）＞12， 解得m＞﹣2， 又∵m且m为整数， ∴m的值为﹣1． 31．已知关于x的一元二次方程x2+2mx+m2﹣3＝0． （1）求证：无论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根； （2）若该方程的两个根为p和q，且满足pq﹣p﹣q＝0，求m的值． 【答案】（1）证明详见解析； （2）m的值为1或﹣3． 【解答】（1）证明：∵Δ＝b2﹣4ac＝4m2﹣4（m2﹣3）＝12＞0， ∴无论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根． （2）解：由根与系数的关系，得p+q＝﹣2m，pq＝m2﹣3， ∵pq﹣p﹣q＝0， ∴m2﹣3+2m＝0， 即m2+2m﹣3＝0， 解得：m1＝1，m2＝﹣3， ∴m的值为：1或﹣3． 32．已知关于x的方程x2+ax+a﹣2＝0，问： （1）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根； （2）若该方程的两个根为x1，x2，且满足4，求a的值． 【答案】（1）见解析； （2）0或2． 【解答】（1）证明：关于x的方程x2+ax+a﹣2＝0， ∴Δ＝a2﹣4×1×（a﹣2）＝a2﹣4a+8＝（a﹣2）2+4， ∵（a﹣2）2≥0， ∴（a﹣2）2+4＞0，即Δ＞0， ∴不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根； （2）∵方程的两个根为x1，x2， ∴x1+x2＝﹣a，x1•x2＝a﹣2， ∵， ∴， 即（﹣a）2﹣2（a﹣2）＝4， 整理得：a2﹣2a＝0， 解得a＝0或a＝2． 33．如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如，一元二次方程x2+x＝0的两个根是x1＝0，x2＝﹣1，则方程x2+x＝0是“邻根方程”． （1）通过计算，判断下列方程是否是“邻根方程”： ①x2﹣x﹣6＝0；②． （2）已知关于x的一元二次方程x2﹣（k﹣3）x﹣3k＝0（k是常数）是“邻根方程”，求k的值． （3）若关于x的方程mx2+nx+2＝0（m，n是常数，m＞0）是“邻根方程”，令t＝n2﹣4m2，试求t的最大值． 【答案】（1）①不是，②是； （2）k＝﹣2或k＝﹣4； （3）． 【解答】解：（1）①解方程得：x1＝3，x2＝﹣2， ∵3﹣（﹣2）＝5， ∴x2﹣x﹣6＝0不是“邻根方程”； ②解方程得：，， ∵， ∴原方程是“邻根方程”； （2）解方程得：（x+3）（x﹣k）＝0， ∴x1＝k，x2＝﹣3， 由于方程x2﹣（k﹣3）x﹣3k＝0是“邻根方程”， 则k﹣（﹣3）＝1或﹣3﹣k＝1， 解得k＝﹣2或k＝﹣4； （3）解方程得：， ∵关于x的方程mx2+nx+2＝0（m，n是常数，m＞0）是“邻根方程”， ∴， 整理得n2＝m2+8m， ∵t＝n2﹣4m2， ∴， ∴当时，t有最大值． 学科网（北京）股份有限公司 $