2.3 一元二次方程的根与系数的关系（讲义）数学新教材北师大版九年级上册

本初中数学讲义聚焦一元二次方程根与系数的关系核心知识点，以求根公式推导为基础，通过即学即练巩固定理应用，再分求另一根、代数式求值、参数求解、新定义问题及几何综合五大题型构建学习支架，形成从原理到应用的完整知识脉络。 该资料亮点在于分层设计题型与方法指导，如优先用根与系数之积求另一根、二次式降次法等技巧，结合“美丽方程”“倍根方程”等新定义问题及菱形矩形几何应用，培养学生抽象能力、推理意识与模型意识。课中辅助教师高效教学，课后助力学生通过典例与变式练习查漏补缺，提升解题能力。

第二章 一元二次方程 2.3 一元二次方程的根与系数的关系 知识点一 一元二次方程的根与系数的关系 一元二次方程的两个实数根是x1、x2，可知x1= 、x2= .探究两个实数根x1、x2的关系： ①x1+x2 =+= ； ②x1·x2 == ． 即学即练 1．（2026·广西百色·三模）已知，是一元二次方程的两个实数根，则（     ） A．3 B． C．10 D． 2．（2026·广西南宁·三模）已知方程的两个实数根分别为，，则（     ） A． B．8 C． D．3 2．（25-26八年级下·安徽宣城·期末）已知，是一元二次方程的两个实数根，下列结论中正确的是（     ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·江苏苏州·期末）若关于的一元二次方程的一个实数根为1，则另一实数根为（     ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级下·广西南宁·期末）已知方程的两个根是和，则________． 题型01 根据根与系数的关系求另一根 ①优先用“积”求另一根（），若常数项含参复杂，再改用“和”求（）。求完后务必代入原方程检验。 ②若题目只给一个根是“2+”，另一根往往就是“2-”（有理化共轭），利用积为整数快速配对。 ①先求参数再回代，绕了远路且容易算错； ②求出另一根后忘了看是否使原方程有意义（如分母不为0）。 典｜例｜精｜析 1．（25-26八年级下·浙江杭州·期末）已知关于的一元二次方程的一个根是4，那么它的另一个根是（     ） A． B． C．1 D．2 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·湖北武汉·期末）关于x的一元二次方程有一个根是，求b的值及方程的另一个根． 2．（25-26八年级下·北京·期末）若2是关于x的一元二次方程的一个根，则一元二次方程的根为_____ ． 题型02 根据根与系数的关系求代数式的值 ·三种代数式变形： ①； ②；③ ·二次式降次： 用根的定义降次再合并（案例：x1是一元二次方程x2+px+q=0的根，x12+2x1可换成=-px1-q+2x1） ·“拆补”法· 目标式是非对称结构时，可进行大胆“拆补”（案例：x12+x22+3x1x2=(和)^2+积） 典｜例｜精｜析 1．（2026·河北邯郸·模拟预测）若一元二次方程的两根为，，则的值是（     ） A． B． C． D． 2．（2026·河北石家庄·二模）已知、是一元二次方程的两个根，则的值为（    ） A．-3 B．1 C． D． 3．（25-26八年级下·安徽六安·期末）设，是一元二次方程的两个根，则（     ） A．4 B．8 C．24 D．26 4．（25-26八年级下·北京·期末）若，是方程的两根，则的值为________． 变｜式｜巩｜固 1．（2026·黑龙江绥化·中考真题）已知，是一元二次方程的两个根，则的值为（     ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·安徽马鞍山·期末）已知a，b是一元二次方程的两个实数根，则的值为（     ） A． B．3 C． D． 3．（2026·四川巴中·中考真题）已知，是关于x的一元二次方程的两个实数根，则的最小值是______________． 4．（25-26八年级下·山东烟台·期末）设，是方程的两个根，则________． 5．（25-26八年级下·浙江金华·期中）已知关于x的方程． (1)求证：该方程总有两个实数根； (2)记该方程的两个实数根为，，求代数式． 题型03 根据根与系数的关系求参数的值 · 方法： ①先由题意列出含参数的方程，联立韦达定理消去x1、x2，解出参数。 ②遇到“两个根互为倒数”则积=1；“两个根互为相反数”则和=0，直接秒杀列式。 解出参数值后，注意代回原方程验算判别式。判别式小于0，必须舍去。 典｜例｜精｜析 1．（2024·广东清远·二模）若关于x的一元二次方程两根为、，且，则m的值为（     ） A．12 B． C． D．9 2．（2026·湖北黄石·一模）已知一元二次方程有两个实数根，． (1)求的取值范围． (2)是否存在m的值，使得，若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由． 变｜式｜巩｜固 1．设是方程的两个根，且，求常数的值． 2．（25-26八年级下·浙江杭州·期末）已知一元二次方程的两根为，，一元二次方程的两根为，，则值是（    ） A．1 B． C．5 D． 3．（2026·河北保定·三模）已知一个三角形的三条边的长度均为整数，其中一条边长为5，另外两条边长是关于x的一元二次方程的两个根，则k的值为（     ） A． B． C．14 D． 4．（25-26八年级下·浙江绍兴·期末）根据以下素材，解决问题． 弗朗索瓦·韦达被誉为“代数学之父”，他深入研究了一元二次方程的根与系数之间的关系，这种关系以他的姓氏命名为“韦达定理”，也被称为“根与系数的关系”． 素材1 材料1：关于的一元二次方程（），如果，设方程的两个实数根为，，则与根系数，，，有如下关系：，． 素材2 材料2：已知一元二次方程的两个实数根分别为，，求的值． 解：因为， 所以，， 则． (1)先判断一元二次方程是否存在实数根；若存在，则设实数根为，，求的值；若不存在，请说明理由． (2)已知一元二次方程的两个实数根为，，求的值． (3)已知关于的一元二次方程有两个实数根为，，满足，求的值． 题型04 根与系数的关系解新定义问题 · 方法：数学阅读理解——翻译新定义 把新定义符号转化为常规运算。若定义中涉及两根的差、平方和，立刻用韦达定理的三大变形替换。 · 难点突破：当新定义嵌套方程时，先化简定义式，将其化为一元二次方程的标准形式，再根据“该方程有实数根”或“两根满足某关系”列式。 ①运算优先级看错（比如先乘除后加减被忽略）； ②忘了新定义中的参数同时受原方程判别式约束，需双重验算。 典｜例｜精｜析 1．（25-26八年级下·江苏苏州·期末）定义：如果关于的一元二次方程（，，均为常数，）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大2，则称这样的方程为“美丽方程”． (1)下列方程中，是“美丽方程”的是__________（填序号）． ①；②；③． (2)若是“美丽方程”，求的值． (3)若一元二次方程（，均为常数，）为“美丽方程”，请写出、满足的数量关系，并说明理由． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级下·安徽蚌埠·期末）如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”． （1）若是倍根方程，则m的值为______； （2）若方程是倍根方程，且，则该方程较大的根为______． 2．（25-26八年级下·河北衡水·期末）如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如，一元二次方程的两个根是，则方程是“邻根方程”． (1)通过计算，判断方程是否是“邻根方程”； (2)已知关于x的方程（m是常数）是“邻根方程”，求m的值； (3)若关于x的方程（b，c是常数）是“邻根方程”，且，求的值． 3．（25-26八年级下·浙江杭州·期末）已知关于的一元二次方程（）与（）都有实数根，若这两个方程有且只有一个相同的根，且，则这两个方程是互为“高关联方程”．例如，方程与是互为“高关联方程”． (1)若关于的一元二次方程与是互为“高关联方程”，求的值及相同的根． (2)若关于的一元二次方程①与②是互为“高关联方程”，且，求，的值． 题型05 一元二次方程根与系数的关系&特殊平行四边形 · 方法：几何条件代数化： ①菱形：对角线互相垂直且平分。若两根是对角线长，则菱形面积 S=x1x2；若两根是边长，则利用周长 4(x1+x2)。 ②矩形：对角线相等。常利用勾股定理，结合x12+x22 = (对角线)2来建立等式。 ③几何图形往往给出方程，让你通过韦达定理证明图形形状（如证明矩形）。此时只需算出两根平方和，与对角线平方比对即可。 ①几何量必须为正值：用韦达定理算出负根或零根，违背线段长度，要舍去； ②矩形面积与对角线关系常用优先用勾股定理。 典｜例｜精｜析 1．（25-26八年级下·安徽阜阳·期末）已知四边形相邻两边，的长度分别是关于的一元二次方程的两个实数根，． (1)若四边形为菱形，求的值； (2)若四边形为矩形，且该矩形对角线的长度为，求的值． 变｜式｜巩｜固 1．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段检测）已知，四边形中，，且、的长是关于x的方程的两个根． (1)当时，四边形分别是哪种四边形？并说明理由． (2)若、分别是、的中点，线段分别交、于点P、Q，，且，求、的长． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 一元二次方程 2.3 一元二次方程的根与系数的关系 知识点一 一元二次方程的根与系数的关系 一元二次方程的两个实数根是x1、x2，可知x1= 、x2= . 探究两个实数根x1、x2的关系： ①x1+x2 =+= ； ②x1·x2 == ． 即学即练 1．（2026·广西百色·三模）已知，是一元二次方程的两个实数根，则（     ） A．3 B． C．10 D． 【答案】B 【详解】解：∵ 是一元二次方程的两个实数根， ∴ 根据根与系数的关系得 ． 2．（2026·广西南宁·三模）已知方程的两个实数根分别为，，则（     ） A． B．8 C． D．3 【答案】A 【详解】解：∵， ∴． 2．（25-26八年级下·安徽宣城·期末）已知，是一元二次方程的两个实数根，下列结论中正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵ ，是一元二次方程的两个实数根． ∴ ，． 3．（25-26八年级下·江苏苏州·期末）若关于的一元二次方程的一个实数根为1，则另一实数根为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：设原方程的另一个实数根为， 由一元二次方程根与系数的关系可得， ∴， ∴原方程的另一个实数根为． 4．（25-26八年级下·广西南宁·期末）已知方程的两个根是和，则________． 【答案】 【详解】解：∵方程的两个根是和， ∴根据一元二次方程根与系数的关系得到． 题型01 根据根与系数的关系求另一根 ①优先用“积”求另一根（），若常数项含参复杂，再改用“和”求（）。求完后务必代入原方程检验。 ②若题目只给一个根是“2+”，另一根往往就是“2-”（有理化共轭），利用积为整数快速配对。 ①先求参数再回代，绕了远路且容易算错； ②求出另一根后忘了看是否使原方程有意义（如分母不为0）。 典｜例｜精｜析 1．（25-26八年级下·浙江杭州·期末）已知关于的一元二次方程的一个根是4，那么它的另一个根是（     ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【详解】解：设方程的另一个根为t， 由根与系数的关系可得， 解得， ∴该方程的另一个根为． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·湖北武汉·期末）关于x的一元二次方程有一个根是，求b的值及方程的另一个根． 【答案】，方程的另一个根为 【详解】解：设方程的另一个根为， 对于一元二次方程，根据根与系数的关系： ， 解得， 即，方程的另一个根为． 2．（25-26八年级下·北京·期末）若2是关于x的一元二次方程的一个根，则一元二次方程的根为_____ ． 【答案】 【详解】解：令，则方程可化为，与原一元二次方程形式相同， 是原方程的一个根， 是方程的一个根， 设方程的另一个根为，由根与系数的关系得： ， 代入得， 解得， ， ， 当时，， 当时，， 所求方程的根为． 题型02 根据根与系数的关系求代数式的值 ·三种代数式变形： ①； ②；③ ·二次式降次： 用根的定义降次再合并（案例：x1是一元二次方程x2+px+q=0的根，x12+2x1可换成=-px1-q+2x1） ·“拆补”法· 目标式是非对称结构时，可进行大胆“拆补”（案例：x12+x22+3x1x2=(和)^2+积） 典｜例｜精｜析 1．（2026·河北邯郸·模拟预测）若一元二次方程的两根为，，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵方程中，，，， ∴，， ∴． 2．（2026·河北石家庄·二模）已知、是一元二次方程的两个根，则的值为（    ） A．-3 B．1 C． D． 【答案】C 【详解】解：、是一元二次方程的两个根， ∴，， ∴ ． 3．（25-26八年级下·安徽六安·期末）设，是一元二次方程的两个根，则（     ） A．4 B．8 C．24 D．26 【答案】C 【详解】解：∵ ，是一元二次方程的两个根， ∴，， 又∵ ， ∴ 代入得． 4．（25-26八年级下·北京·期末）若，是方程的两根，则的值为________． 【答案】 【详解】解：是方程的根， ， 整理得， 又，是方程的两根， 根据根与系数的关系可得， 将，代入代数式得． 变｜式｜巩｜固 1．（2026·黑龙江绥化·中考真题）已知，是一元二次方程的两个根，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个根，且，， ∴， ∴． 2．（25-26八年级下·安徽马鞍山·期末）已知a，b是一元二次方程的两个实数根，则的值为（     ） A． B．3 C． D． 【答案】B 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴由根与系数的关系可得，， ∵，， ∴，， ∴． 3．（2026·四川巴中·中考真题）已知，是关于x的一元二次方程的两个实数根，则的最小值是______________． 【答案】 【详解】解：，是关于的一元二次方程的两个实数根， ， 解得， 由根与系数的关系得：，， ， ， 随的增大而减小， 当取最大值时，取得最小值， 代入得，最小值为． 4．（25-26八年级下·山东烟台·期末）设，是方程的两个根，则________． 【答案】 【详解】解：∵，是方程的两个根， ∴，， ∴， ∴ ． 5．（25-26八年级下·浙江金华·期中）已知关于x的方程． (1)求证：该方程总有两个实数根； (2)记该方程的两个实数根为，，求代数式． 【答案】(1)见解析；(2) 【详解】（1）证明：由题意可得： ， ， ， ∴该方程总有两个实数根； （2）解：∵该方程的两个实数根为，， ∴，， ∴ ． 题型03 根据根与系数的关系求参数的值 · 方法： ①先由题意列出含参数的方程，联立韦达定理消去x1、x2，解出参数。 ②遇到“两个根互为倒数”则积=1；“两个根互为相反数”则和=0，直接秒杀列式。 解出参数值后，注意代回原方程验算判别式。判别式小于0，必须舍去。 典｜例｜精｜析 1．（2024·广东清远·二模）若关于x的一元二次方程两根为、，且，则m的值为（     ） A．12 B． C． D．9 【答案】C 【详解】解：对于一元二次方程，由根与系数的关系可得 ， ∵ ∴代入得，即 解得或 当时，， 当时，， ∴． 2．（2026·湖北黄石·一模）已知一元二次方程有两个实数根，． (1)求的取值范围． (2)是否存在m的值，使得，若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在， 【详解】（1）解：∵一元二次方程有两个实数根、， ∴ ∴ ∴； （2）解：存在． ∵一元二次方程有两个根，， ∴，， ∵， ∴， 解得， ∵， ∴． 变｜式｜巩｜固 1．设是方程的两个根，且，求常数的值． 【答案】 【详解】解：∵是方程的两个根， ∴， ∵， ∴，解得， 将代入中，则， 解得． 2．（25-26八年级下·浙江杭州·期末）已知一元二次方程的两根为，，一元二次方程的两根为，，则值是（    ） A．1 B． C．5 D． 【答案】D 【详解】解：∵一元二次方程的两根为，， ∴根据根与系数的关系可得，， ∵一元二次方程的两根为，， ∴两根之积满足， ∴． 3．（2026·河北保定·三模）已知一个三角形的三条边的长度均为整数，其中一条边长为5，另外两条边长是关于x的一元二次方程的两个根，则k的值为（     ） A． B． C．14 D． 【答案】A 【难度】0.56 【分析】设另外两条边长为正整数，根据方程因式分解对比系数得到和与的关系，再利用三角形三边关系筛选出符合条件的，即可求出． 【详解】解：设另外两条边长分别为，，均为正整数， ∵是方程的两个根， ∴， 根据三角形三边关系，得， 列出乘积为的所有正整数对：， 逐一验证可知，前四组两数差得绝对值均大于，不符合三边关系； 仅满足，，符合条件， ∴，得． 4．（25-26八年级下·浙江绍兴·期末）根据以下素材，解决问题． 弗朗索瓦·韦达被誉为“代数学之父”，他深入研究了一元二次方程的根与系数之间的关系，这种关系以他的姓氏命名为“韦达定理”，也被称为“根与系数的关系”． 素材1 材料1：关于的一元二次方程（），如果，设方程的两个实数根为，，则与根系数，，，有如下关系：，． 素材2 材料2：已知一元二次方程的两个实数根分别为，，求的值． 解：因为， 所以，， 则． (1)先判断一元二次方程是否存在实数根；若存在，则设实数根为，，求的值；若不存在，请说明理由． (2)已知一元二次方程的两个实数根为，，求的值． (3)已知关于的一元二次方程有两个实数根为，，满足，求的值． 【答案】(1)解：该一元二次方程不存在实数根，理由如下： 由题意得，， ∴该一元二次方程不存在实数根； (2) (3) 【详解】（1）略 （2）解：∵一元二次方程的两个实数根为，， ∴， ，， ∴，， ∴ ； （3）解：∵关于的一元二次方程有两个实数根为，， ∴， ∵， ∴，即， 解得或； ∵原方程有两个实数根， ∴， ∴， ∴． 题型04 根与系数的关系解新定义问题 · 方法：数学阅读理解——翻译新定义 把新定义符号转化为常规运算。若定义中涉及两根的差、平方和，立刻用韦达定理的三大变形替换。 · 难点突破：当新定义嵌套方程时，先化简定义式，将其化为一元二次方程的标准形式，再根据“该方程有实数根”或“两根满足某关系”列式。 ①运算优先级看错（比如先乘除后加减被忽略）； ②忘了新定义中的参数同时受原方程判别式约束，需双重验算。 典｜例｜精｜析 1．（25-26八年级下·江苏苏州·期末）定义：如果关于的一元二次方程（，，均为常数，）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大2，则称这样的方程为“美丽方程”． (1)下列方程中，是“美丽方程”的是__________（填序号）． ①；②；③． (2)若是“美丽方程”，求的值． (3)若一元二次方程（，均为常数，）为“美丽方程”，请写出、满足的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)①③ (2)或 (3) 【难度】0.65 【分析】（1）分别求得①②③中方程的两个根，再根据“美丽方程”的定义判断即可； （2）先求出方程的两个根，再根据“美丽方程”的定义列方程求解； （3）设方程（）的两个根为，，利用两根差的条件结合根与系数的关系推导和的数量关系． 【详解】（1）解：①解方程得，． ，符合“美丽方程”定义， ①是“美丽方程”； ②解方程得． ，不符合定义， ②不是“美丽方程”； ③解方程得，． ，符合定义， ③是“美丽方程”． 综上可知，是“美丽方程”的是①③． （2）解：解方程得，． 该方程是“美丽方程”， ，即， ∴或， 解得或． (3)，理由： 设方程（）的两个根为，， 方程为“美丽方程”， ， 两边平方得． 由一元二次方程根与系数的关系得：，． ， ， 整理得， 化简得，即，满足的数量关系为． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级下·安徽蚌埠·期末）如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”． （1）若是倍根方程，则m的值为______； （2）若方程是倍根方程，且，则该方程较大的根为______． 【答案】 或 【难度】0.65 【分析】（1）由因式分解法解方程可得，，再根据倍根方程的定义求解即可； （2）设方程的两个根为、，根据一元二次方程根和系数的关系，得到，即可得解． 【详解】解：（1）， 或， 解得：，， 是倍根方程， 或， 或， 解得：或； （2）方程是倍根方程， 设方程的两个根为、， ， ， ， ， ，， 即该方程较大的根为． 2．（25-26八年级下·河北衡水·期末）如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如，一元二次方程的两个根是，则方程是“邻根方程”． (1)通过计算，判断方程是否是“邻根方程”； (2)已知关于x的方程（m是常数）是“邻根方程”，求m的值； (3)若关于x的方程（b，c是常数）是“邻根方程”，且，求的值． 【答案】(1)不是邻根方程 (2)或0 (3)或 【详解】(1)不是邻根方程，计算如下： ， ， 解得：， ， ∴一元二次方程不是邻根方程； （2）解：， ， 或， ∵方程（m是常数）是“邻根方程”， 或， 或0； （3）解：设方程的根为，且， 则，， 将代入得， 化简得， ，， ， ，即， 即， 解得． 3．（25-26八年级下·浙江杭州·期末）已知关于的一元二次方程（）与（）都有实数根，若这两个方程有且只有一个相同的根，且，则这两个方程是互为“高关联方程”．例如，方程与是互为“高关联方程”． (1)若关于的一元二次方程与是互为“高关联方程”，求的值及相同的根． (2)若关于的一元二次方程①与②是互为“高关联方程”，且，求，的值． 【答案】(1)，相同根为 (2) 【详解】（1）解： 因式分解：， 得． 方程1：， 方程2：， 由： 把代入 因式分解：， 根为． 两个方程只有唯一公共根，满足“有且只有一个相同根”． ，相同根为 （2）解：方程①：， 方程②：， ，即， 只有一个公共根，设公共根为 两式相减： 把代入： 将代入： 化简得 已知，故， 得． 则． 检验： 方程①：，根 方程②：，根 只有唯一公共根，符合题意． 题型05 一元二次方程根与系数的关系&特殊平行四边形 · 方法：几何条件代数化： ①菱形：对角线互相垂直且平分。若两根是对角线长，则菱形面积 S=x1x2；若两根是边长，则利用周长 4(x1+x2)。 ②矩形：对角线相等。常利用勾股定理，结合x12+x22 = (对角线)2来建立等式。 ③几何图形往往给出方程，让你通过韦达定理证明图形形状（如证明矩形）。此时只需算出两根平方和，与对角线平方比对即可。 ①几何量必须为正值：用韦达定理算出负根或零根，违背线段长度，要舍去； ②矩形面积与对角线关系常用优先用勾股定理。 典｜例｜精｜析 1．（25-26八年级下·安徽阜阳·期末）已知四边形相邻两边，的长度分别是关于的一元二次方程的两个实数根，． (1)若四边形为菱形，求的值； (2)若四边形为矩形，且该矩形对角线的长度为，求的值． 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）解：四边形为菱形， 方程有两个相等的实数根， ， 整理可得：， 解得：； （2）解：四边形为矩形， 一定有两个实数根， ， ， ， ，， 矩形对角线的长度为， ， 整理可得：， 解得：（不符合题意，舍去），， ． 变｜式｜巩｜固 1．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段检测）已知，四边形中，，且、的长是关于x的方程的两个根． (1)当时，四边形分别是哪种四边形？并说明理由． (2)若、分别是、的中点，线段分别交、于点P、Q，，且，求、的长． 【答案】(1)四边形是平行四边形，理由见解析；(2)， 【详解】（1）解：四边形是平行四边形，理由如下， 当时，原方程为 解得：，即， 又∵ ∴四边形是平行四边形， （2）解：∵、的长是关于x的方程的两个根． ∴， ∵、分别是、的中点，线段分别交、于点P、Q， ∴， ∴， ∴， ∴分别是的中位线， 同理可得分别是的中位线， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 即， ∴ 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $