5.3 二次函数的应用 初中数学九年级上册同步讲义 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

本初中数学讲义聚焦二次函数的应用，系统梳理根据实际问题列二次函数关系式、解决利润与几何最值问题、综合运用函数与几何知识的脉络，为学生构建从基础建模到复杂应用的学习支架。 资料以商场利润、喷水巨龙等真实情境为载体，引导学生用数学眼光发现数量关系，通过典例与变式训练培养推理能力和模型意识，课中助力教师分层教学，课后通过过关验收帮助学生查漏补缺，强化应用能力。

5.3 二次函数的应用 内 容 导 航 题型1 根据实际问题列二次函数关系式 题型2 二次函数的应用 题型3 二次函数综合题 考 点 演 练 题型1 根据实际问题列二次函数关系式 解｜题｜知｜识 根据实际问题确定二次函数关系式关键是读懂题意，建立二次函数的数学模型来解决问题．需要注意的是实例中的函数图象要根据自变量的取值范围来确定． ①描点猜想问题需要动手操作，这类问题需要真正的去描点，观察图象后再判断是二次函数还是其他函数，再利用待定系数法求解相关的问题． ②函数与几何知识的综合问题，有些是以函数知识为背景考查几何相关知识，关键是掌握数与形的转化；有些题目是以几何知识为背景，从几何图形中建立函数关系，关键是运用几何知识建立量与量的等式． 【典例1】某商场购进一批文创商品，进价为每件20元．当售价为每件28元时，每周可卖出160件；售价每降低1元，每周销量增加20件．设每件售价为x元，每周利润为y元，y与x的函数关系式为（　　） A．y＝（x﹣20）[160+20（28﹣x）] B．y＝（x﹣20）[160﹣20（28﹣x）] C．y＝（28﹣x﹣20）（160+20x） D．y＝（28﹣x﹣20）（160﹣20x） 【变式1】弗里热（Phryge）是2024年巴黎夏季奥运会和残奥会的吉祥物．某特许经销店销售一种弗里热造型玩偶．每件成本为8元，在销售过程中发现，每天的销售量y（件）与每件售价x（元）之间存在一次函数关系（其中x为整数）．当每件售价为12元时，每天的销售量为90件；当每件售价为10元时，每天的销售量为100件．若该商店销售这种玩偶每天获得的利润为w元，则w与x之间的函数表达式为（　　） A．w＝﹣5x2+150x B．w＝﹣5x2﹣1200 C．w＝﹣5x2+190x﹣1200 D．w＝5x2﹣190x+1200 【变式2】某商店购进一批单价为20元的日用商品，如果以单价30元销售，那么月内可售出400件，根据销售经验，提高销售单价会导致销量的减少，即销售单价每提高1元，每月销售量相应减少10件，则写出利润y与单价x之间的函数关系式（　　） A．y＝（x﹣30）[400﹣10（x﹣20）] B．y＝（x﹣20）[400﹣10（x﹣30）] C．y＝（x﹣20）[400+10（x﹣30）] D．y＝（x﹣30）[400+10（x﹣20）] 【变式3】某工厂七月份生产零件50万个，设该厂第三季度平均每月的增长率为x，如果第三季度共生产零件y万个，那么y与x满足的函数关系式是（　　） A．y＝50（1+x）2 B．y＝50+50（1+x）+50（1+x）2 C．y＝50（1+x）+50（1+x）2 D．y＝50+50（1+x） 题型2 二次函数的应用 解｜题｜知｜识 （1）利用二次函数解决利润问题 在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围． （2）几何图形中的最值问题 几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的讨论． （3）构建二次函数模型解决实际问题 利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题． 【典例1】某景点的“喷水巨龙”喷嘴C处的水流呈抛物线状流出，该水流喷出的高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系如图所示，D为该水流的最高点，DA⊥OB，垂足为A．已知OC＝OB＝8m，OA＝2m，则AD的长为（　　） A．8.3m B．8.6m C．8.8m D．9m 【变式1】如图1，运动点Q从A处出发，沿线段AB向目的地B处运动．设AQ为x（0≤x≤n），PQ2为y．如图2，y关于x的函数图象与y轴交于点C，最低点D（m，81），且经过E（1，225）和F（n，225）两点．则n的值是（　　） A．23 B．24 C．25 D．26 【变式2】在水分、养料等条件一定的情况下，某植物的生长速度y（厘米/天）和光照强度x（勒克斯）之间存在一定关系．在低光照强度范围（200≤x＜1000）内，y与x近似成一次函数关系；在中高光照强度范围（x≥1000）内，y与x近似成二次函数关系．其部分图象如图所示．根据图象，下列结论正确的是（　　） A．当x≥1000时，y随x的增大而减小 B．当x＝2000时，y有最大值 C．当y≥0.6时，x≥1000 D．当y＝0.4时，x＝600 【变式3】为了实时规划路径，卫星导航系统需要计算运动点与观测点之间距离的平方．如图1，点P是一个固定观测点，运动点Q从A处出发，沿笔直公路AB向目的地B处运动．设AQ为x（单位：km）（0≤x≤n），PQ2为y（单位：km2）．如图2，y关于x的函数图象与y轴交于点C，最低点D（m，81），且经过E（1，225）和F（n，225）两点．下列选项正确的是（　　） A．m＝12 B．n＝24 C．点C的纵坐标为240 D．点（15，85）在该函数图象上 题型3 二次函数综合题 解｜题｜知｜识 （1）二次函数图象与其他函数图象相结合问题 解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系式中系数的符号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图象即为正确选项． （2）二次函数与方程、几何知识的综合应用 将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件． （3）二次函数在实际生活中的应用题 从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型．关键在于观察、分析、创建，建立直角坐标系下的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的取值范围要使实际问题有意义． 【典例1】如图，抛物线y＝x2﹣4x+3与y轴交于点A，与x轴交于点B、E，线段CD在抛物线的对称轴上移动（点C在点D下方），且CD＝BE．当AD+BC的值最小时，点C的坐标是（　　） A．（2，1） B． C． D． 【变式1】如图，抛物线y＝﹣x2+2x+m+1（m为常数）交y轴于点A，与x轴的一个交点在2和3之间，顶点为B． ①抛物线y＝﹣x2+2x+m+1与直线y＝m+2有交点； ②若点M（﹣2，y1）、点、点P（2，y3）在该函数图象上，则y1＜y2＜y3； ③将该抛物线向右平移3个单位，再向上平移1个单位，所得抛物线解析式为y＝﹣（x﹣4）2+m+3； ④点A关于直线x＝1的对称点为C，点D、E分别在x轴和y轴上，当m＝1时，四边形BCDE周长的最小值为． 其中正确的判断有（　　）个． A．4 B．3 C．2 D．1 【变式2】如图（1）所示，E为矩形ABCD的边AD上一点，动点P，Q同时从点B出发，点P沿折线BE﹣ED﹣DC运动到点C时停止，点Q沿BC运动到点C时停止，它们运动的速度都是1cm/秒．设P、Q同时出发t秒时，△BPQ的面积为ycm2．已知y与t的函数关系图象如图（2）（曲线OM为抛物线的一部分），则下列结论：①AD＝BE＝5；②；③当0＜t≤5时，；④当秒时，△ABE∽△QBP．其中正确的结论是（　　） A．①②③ B．②③ C．①③④ D．②④ 【变式3】如图1，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0）、B，与y轴交于点C．直线y＝x﹣3经过点B，C． （1）a＝　　 ，b＝　　 ，c＝　　 ． （2）若点P为抛物线对称轴上一点，若△PAC是以PA为腰的等腰三角形，求点P的坐标． （3）如图2，过定点K（2，1）且不与坐标轴平行的直线与抛物线交于M，N两点，过点N的直线y＝2x+n交抛物线于另一点T．求证：直线MT恒过定点，并求出该定点坐标． 过 关 验 收 1．慈城某店家销售特产印花糕，经调查发现每盒印花糕售价为15元时，日销售量为200盒，当每盒售价每下降1元时，日销售量会增加5盒．已知每盒印花糕的成本为5元，设每盒降价x元，商家每天的利润为y元，则y与x之间的函数表达式为（　　） A．y＝（15﹣x）（200﹣5x） B．y＝（15﹣x）（200+5x） C．y＝（x﹣5）（200+5x） D．y＝（10﹣x）（200+5x） 2．如图，四边形ABCD中，∠BAD＝∠ACB＝90°，AB＝AD，AC＝4BC，设CD的长为x，四边形ABCD的面积为y，则y与x之间的函数关系式是（　　） A．y B．y C．y D．y 3．宏海公司对某种海产品进行推广，在网络平台上直播销售．已知该海产品的成本价格为每千克40元．经过调研，当销售单价为每千克60元时，每天能售出500千克．销售单价每降低1元，每天的销售量将增加10千克．若设该种海产品销售单价为每千克x元，公司每天直播销售的利润为y元，则y与x的函数关系式为　 ． 4．某商场购进一种单价为40元的商品，如果以单价60元售出，那么每天可卖出300个，根据销售经验，每降价1元，每天可多卖出20个，设每个商品降价x（元），每天获得利润y（元），则y与x的函数关系式是 　 ． 5．如图，用一段长30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形ABCD菜园，中间用篱笆EF隔开，EF∥AB，墙长12m．设AB＝xm，矩形ABCD的面积为ym2，则y关于x的函数关系式是　 　 ，x的取值范围是　 　 ． 6．如图，是一个迷宫游戏盘的局部平面简化示意图，该矩形的长、宽分别为5cm，3cm，其中阴影部分为迷宫中的挡板，设挡板的宽度为xcm，小球滚动的区域（空白区域）面积为ycm2．则y关于x的函数关系式为：　 （化简为一般式）． 7．用一根长为16m的木条做一个长方形的窗框，若宽为x（m），则该窗户的面积y（m2）与x（m）之间的函数关系式为　 　 ． 8．如图的一座拱桥，当水面宽AB为12m时，桥洞顶部离水面4m，已知桥洞的拱形是抛物线，以水平方向为x轴，建立平面直角坐标系，若选取点A为坐标原点时的抛物线解析式是y（x﹣6）2+4，则选取点B为坐标原点时的抛物线解析式是y　 　　 ． 9．是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m，水面宽4m．如图建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是 　 　　 ． 10．如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置OM，喷头M向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，按如图所示的直角坐标系，水流喷出的高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系式是y＝﹣x2+2x（x＞0），则水流喷出的最大高度是（　　） A．3m B．2.75m C．2m D．1.75m 11．剪纸是我国的民间传统艺术，能为节日增加许多喜庆的氛围．剪纸中有一种“抛物线剪纸”艺术，即作品的外轮廓在抛物线上，体现了一种曲线美，如图，这是利用“抛物线剪纸”艺术剪出的蝴蝶，建立适当的平面直角坐标系，使外轮廓上的A，B，C，D四点落在抛物线y＝ax2+c上，则下列结论正确的是（　　） A．ac＜0 B．ac＝0 C．ac＞0 D．ac≥0 12．某大桥的桥拱可以用抛物线的一部分表示，函数关系为，当水面宽度AB为20m时，水面与桥拱顶的高度CO等于（　　） A．2m B．4m C．10m D．16m 13．在第十五届全运会女子10米跳台跳水比赛中，某运动员在完成某一跳后，其运动轨迹成抛物线状，重心相对于水面的竖直高度h（单位：m）与时间t（单位：s）之间的关系如下表所示： t/s 0 0.3 0.6 0.9 1.5 1.8 … h/m 10 10.75 11.25 11.55 11.55 11.25 … 下列结论正确的是（　　） A．运动员的重心相对水面的最大高度是11.55m B．运动轨迹路线的对称轴是直线t＝1.2 C．运动员的重心相对水面的高度是10.75m时，时间为0.3s D．当t＝2.4s时，运动员入水 14．飞机着陆后滑行的距离s（m）关于滑行时间t（s）的函数解析式为s＝60t﹣1.5t2，下列能反映这一变化过程的图象是（　　） A． B． C． D． 15．在一个电子游戏中，玩家操控角色在一段长度为1个单位的水平路径上移动，路径起点坐标为m，终点坐标为m+1．游戏场景中存在一个能量函数y＝x2﹣4|x|+2，角色在路径上不同位置x对应的能量值由该函数计算，当角色在路径上移动时，其能量的最大值为2，那么m满足的条件为（　　） A．﹣1＜m≤0 B．m＝﹣4或3或﹣1≤m≤0 C．m＝﹣4或﹣1＜m≤0 D．m＝﹣4或3 16．如图①所示的矩形窗框ABCD的周长及其两条隔断EF，GH的总长为am，且隔断EF，GH分别与矩形的两条邻边平行．设BC的长为xm，矩形ABCD的面积为ym2，y关于x的函数图象如图②，则下列说法正确的是（　　） A．矩形ABCD的最大面积为8m2 B．当x＝4时，矩形ABCD的面积最大 C．a的值为12 D．以上说法均错误 17．某服装品牌生产T恤衫，每件的成本是10元，根据市场调查，以单价13元批发给经销商，经销商愿意经销5000件，并且表示每件降价0.1元，愿意多经销500件．设厂家批发单价是x元/件，下列说法错误是（　　） A．销售量可以表示为70000﹣5000x B．销售额可以表示为13×（70000﹣5000x） C．所获利润可以表示为﹣5000（x﹣12）2+20000 D．当批发价为12元时，所获利润有最大值20000元 18．飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）关于滑行时间t（单位：s）的函数解析式是y＝60tt2．在飞机着陆滑行中，滑行的最大距离是 　　 m． 19．随着“湖北省城市足球联赛”（简称“楚超”）的开赛，点燃了大家对足球的热情，如图是某场球赛中的截面示意图，进攻球员甲位于点O处起脚射门，防守球员乙位于点A，OA的延长线与球门线交于点B且点A，B均在足球轨迹正下方，足球的飞行轨迹可看成抛物线．已知球门离O点的水平距离为22m，球门的高度为2.44m，足球距离点O的水平距离x（单位：m）与离地高度y（单位：m）的部分数据如表： 水平距离x/m … 6 9 12 15 … 离地高度y/m … 3.6 4.5 4.8 4.5 … 以点O为坐标原点，直线OB为横轴，建立如图所示的平面直角坐标系． （1）根据表中数据预测，足球飞行过程中，离地最大高度y＝　　 m，并直接写出y关于x的函数解析式　 　 ； （2）若乙不防守，甲的这次射门是否成功？ （3）当乙位于足球正下方，足球离地高度不大于乙的最大防守高度2.1m时，乙可以防守成功．若乙距离点O水平距离19m时，是否可以防守成功，如果不可以，乙需要向球门方向至少移动多少米，才能防守成功？ 20．为落实党和国家的“三农”政策，武汉市农科所派遣农业专家在汉南区指导果农种植苹果树．某果园种有60棵优质苹果树，平均每棵结500个苹果．果农现希望多种一些苹果树以提高果园产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少．根据种植经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个苹果，设果园准备多种植x棵苹果树． （1）平均每棵树结的苹果数y与多种苹果树的棵数x（棵）之间的关系式； （2）要使果园里苹果的总产量W（个）最大，果园应种植苹果树多少棵？ （3）受光照等条件影响，当该果园里苹果总产量超过31000个时，生长的苹果品质会显著下降．若每棵苹果树所结苹果数不少于350个，在确保苹果品质的前提下，该果园最多可多种植苹果树的棵数为（直接写出结果）． 21．鹰眼系统能够追踪、记录和预测球的轨迹，如图分别为足球比赛中某一时刻的鹰眼系统预测画面（如图1）和截面示意图（如图2），足球的飞行轨迹可看成抛物线．攻球员位于O，守门员位于点A，OA的延长线与球门线交于点B，且点A，B均在足球轨迹正下方，已知OB＝28m，AB＝8m． 通过鹰眼系统监测，足球飞行的水平速度为15m/s．水平距离s（水平距离＝水平速度×时间）与离地高度h的鹰眼数据如表．守门员的最大防守高度为m．守门员在攻球员射门瞬间就作出防守反应，当守门员位于足球正下方时，足球离地高度不大于守门员的最大防守高度视为防守成功． s/m … 9 12 15 18 21 … h/m … 4.2 4.8 5 4.8 4.2 … （1）求h关于s的函数表达式． （2）若守门员选择原地接球，能否防守成功？若成功，请求出守门员接住球时，球的高度；若不成功，请通过计算说明理由． （3）求守门员选择面对足球后退，计算成功防守的最小速度． 22．武汉欢乐谷是华中地区超受欢迎的主题乐园，位于东湖畔，占地35万平方米，拥有38个室外游乐项目，过山车是其经典项目之一．如图所示，以OE所在直线为x轴，OF所在直线为y轴建立平面直角坐标系，F→E→G为过山车的一部分轨道，它可以看成一段抛物线．其中米，米（轨道厚度忽略不计）． （1）求抛物线F→E→G的函数关系式； （2）在轨道距离地面米处有两个位置P和G，当过山车运动到G处时，平行于地面向前运动了1.5米至K点，又进入下坡段K→H（K接口处轨道忽略不计，点H为最低点）．已知轨道抛物线K→H→Q的形状与抛物线P→E→G完全相同，求OH的距离； （3）现需要在轨道下坡段F→E进行一种安全加固，建造某种材料的水平和竖直支架AM、CM、BN、DN，且要求AB＝2OA，已知这种材料的价格是50000元/米，如何设计支架，会使造价最低？最低造价为多少元？ 23．材料一：某种旅游纪念品的进价为每件15元，销售单价不低于20元． 材料二：当销售单价定为20元时，每天可以销售100件，市场调查反映，销售单价每提高1元，日销量将会减少10件． 材料三：物价部门规定销售单价不能超过28元，且为正整数．商店按规定适当涨价销售． 任务一：建立函数模型 （1）设该纪念品的销售单价为x（单位：元），日销量为y（单位：件），日销售利润为W（单位：元），分别写出y与x，W与x的函数解析式，并写出x的取值范围； 任务二：设计销售方案 （2）若日销售利润为540元，销售单价应定为多少元？ （3）销售单价定为多少元时，销售该纪念品所获日销售利润最大？最大利润是多少？ 24．篮球课上，小华和小明在距离篮筐中心水平距离5m的位置处，正对篮筐进行定点投篮练习，篮筐距离地面的高度为3.05m篮球出手后，在空中的运动路线可以看作抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系，篮球的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足二次函数关系． （1）小华某次定点投篮练习时，篮球的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下： 水平距离x/m 0 1 2 3 4 竖直高度y/m 1.8 3.05 3.8 4.05 3.8 ①直接写出篮球的竖直高度的最大值； ②篮球的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系y＝a（x﹣h）2+k（a＜0），求a的值； ③小华本次投篮能否将篮球投进篮筐，请说明理由； （2）小明进行定点投篮练习时，篮球的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系y＝﹣0.3x2+bx+c，篮球出手时竖直高度满足2≤y≤2.05，若小明将篮球投进篮筐中心，直接写出b的取值范围． 25．某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖10件．设每件商品的售价上涨x元（x为正整数），每个月的销售利润为y元． （1）每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰为2200元？ （2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？ 26．某种商品的标价为200元/件，由于疫情的影响，销量不佳，店家经过两次降价后的价格为128元/件，并且两次降价的百分率相同． （1）求该种商品每次降价的百分率； （2）若该种商品进价为80元/件，若以128元/件售出，平均每天能售出20件，另外每天需支付其他各种费用100元，若每件降价1元，则每天可多售出5件，如果将售价定为x元，每天盈利y元，请写出y与x之间的函数关系式． 27．图1是某种发石车，这是古代一种远程攻击的武器，发射出去的石块的运动轨迹是抛物线的一部分，且距离发射点6米时达到最大高度12米．将发石车置于山坡底部O处，山坡上有一点A，点A与点O的水平距离为9米，与地面的竖直距离为6米，AB是高度为5米的防御墙．若以点O为原点，建立如图2所示的平面直角坐标系． （1）求石块运动轨迹所在抛物线的解析式． （2）试通过计算说明石块能否飞越防御墙AB． （3）在竖直方向上，试求石块飞行时与坡面OA的最大距离． 28．如图，已知点A（0，﹣1），B（﹣2，﹣1），抛物线l：y＝﹣x2+2mx﹣m2+2，直线n：x＝1． （1）当0≤x≤4时，二次函数有最大值是1，求m的值； （2）如果抛物线l的最高点正好落在直线n上，求抛物线的解析式及顶点坐标； （3）当抛物线l与线段AB有公共点时，直接写出m的取值范围． 29．在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+2x+c（b、c为常数）的对称轴为直线x＝1，与y轴交点坐标为（0，3）． （1）求此抛物线对应的函数表达式； （2）点A、点B均在这个抛物线上（点A在点B的左侧），点B的横坐标为4﹣m，点A的横坐标为m．将此抛物线上A、B两点之间的部分（含A、B两点）记为图象G． ①当点A在x轴上方，图象G的最高与最低点的纵坐标差为6时，求m的值； ②设点D（1，n），点E（1，1﹣n），将线段DE绕点D逆时针旋转90°后得到线段DF，连结EF，当△DEF（不含内部）和二次函数在x≥0范围上的图象有且仅有一个公共点时，请直接写出n的取值范围． 30．在平面直角坐标系xOy中，点（4，3）在抛物线y＝ax2+bx+3（a＞0）上． （1）①该抛物线的对称轴为　 　 ； ②若该抛物线与x轴没有交点，求a的取值范围； （2）已知m＞0，当2﹣m≤x≤2+2m时，y的取值范围是﹣1≤y≤3，求a，m的值； （3）在（2）的条件下，是否存在实数n，当n﹣2＜x＜n时，y的取值范围是3n﹣3＜y＜3n+5，若存在，求出n的值，若不存在，请说明理由． 31．在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于C点，设抛物线的对称轴为直线l，点M为抛物线上一点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，点M在直线l右侧，且点M的纵坐标大于﹣3，连接MC，过点M作MN⊥CM交直线l于点N，若tan∠MCN，求点M的坐标． （3）如图2，连接AC，BC，若M点在抛物线上B，C两点之间，过点M作AC的平行线交BC于点P，求PM最大值及此时M点的坐标． 32．如图，在平面直角坐标系xOy中，点M为抛物线y＝ax2+bx+4的顶点，已知该抛物线与x轴交于A（﹣1，0），B（4，0）两点． （1）求抛物线的表达式及顶点M的坐标． （2）当1≤x≤6时，求二次函数y＝ax2+bx+4的最大值与最小值的差． （3）点D（3，m）是抛物线上一点，作直线AD，若点P是x轴上方抛物线上的点（不与点A，B，D重合），设点P的横坐标为n，过点P作PQ∥y轴，交直线AD于点Q，当线段PQ的长随n的增大而增大时，请直接写出n的取值范围． 33．抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0）（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点P是抛物线上一点，点P的横坐标为m，PM∥y轴，交直线BC于点M． （1）求a，b的值； （2）如图，若点P在第一象限，当线段PM长度最大时，求m的值； （3）点Q是y轴右侧抛物线上一点，点Q的横坐标为m+2，过点Q作y轴的平行线交直线BC于点N．设以点P，M，N，Q为顶点的四边形面积记为S． ①直接写出S关于m的函数关系式； ②直接写出当S随m的增大而增大时m的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $ 5.3 二次函数的应用 内 容 导 航 题型1 根据实际问题列二次函数关系式 题型2 二次函数的应用 题型3 二次函数综合题 考 点 演 练 题型1 根据实际问题列二次函数关系式 解｜题｜知｜识 根据实际问题确定二次函数关系式关键是读懂题意，建立二次函数的数学模型来解决问题．需要注意的是实例中的函数图象要根据自变量的取值范围来确定． ①描点猜想问题需要动手操作，这类问题需要真正的去描点，观察图象后再判断是二次函数还是其他函数，再利用待定系数法求解相关的问题． ②函数与几何知识的综合问题，有些是以函数知识为背景考查几何相关知识，关键是掌握数与形的转化；有些题目是以几何知识为背景，从几何图形中建立函数关系，关键是运用几何知识建立量与量的等式． 【典例1】某商场购进一批文创商品，进价为每件20元．当售价为每件28元时，每周可卖出160件；售价每降低1元，每周销量增加20件．设每件售价为x元，每周利润为y元，y与x的函数关系式为（　　） A．y＝（x﹣20）[160+20（28﹣x）] B．y＝（x﹣20）[160﹣20（28﹣x）] C．y＝（28﹣x﹣20）（160+20x） D．y＝（28﹣x﹣20）（160﹣20x） 【答案】A 【解答】解：由题意得：y＝（x﹣20）[160+20（28﹣x）]． 故选：A． 【变式1】弗里热（Phryge）是2024年巴黎夏季奥运会和残奥会的吉祥物．某特许经销店销售一种弗里热造型玩偶．每件成本为8元，在销售过程中发现，每天的销售量y（件）与每件售价x（元）之间存在一次函数关系（其中x为整数）．当每件售价为12元时，每天的销售量为90件；当每件售价为10元时，每天的销售量为100件．若该商店销售这种玩偶每天获得的利润为w元，则w与x之间的函数表达式为（　　） A．w＝﹣5x2+150x B．w＝﹣5x2﹣1200 C．w＝﹣5x2+190x﹣1200 D．w＝5x2﹣190x+1200 【答案】C 【解答】解：设销售量y与售价x的一次函数关系式为y＝kx+b． 由题意，当x＝8时，y＝110；当x＝10时，y＝100． 代入得方程组： ， 解得k＝﹣5，b＝150，即y＝﹣5x+150． 利润w为每件利润乘以销售量，每件利润为x﹣8， 因此：w＝（x﹣8）（﹣5x+150）， 展开并整理得： w＝﹣5x2+190x﹣1200． 故选：C． 【变式2】某商店购进一批单价为20元的日用商品，如果以单价30元销售，那么月内可售出400件，根据销售经验，提高销售单价会导致销量的减少，即销售单价每提高1元，每月销售量相应减少10件，则写出利润y与单价x之间的函数关系式（　　） A．y＝（x﹣30）[400﹣10（x﹣20）] B．y＝（x﹣20）[400﹣10（x﹣30）] C．y＝（x﹣20）[400+10（x﹣30）] D．y＝（x﹣30）[400+10（x﹣20）] 【答案】B 【解答】解：函数关系式为：y＝（x﹣20）[400﹣10（x﹣30）]． 故选：B． 【变式3】某工厂七月份生产零件50万个，设该厂第三季度平均每月的增长率为x，如果第三季度共生产零件y万个，那么y与x满足的函数关系式是（　　） A．y＝50（1+x）2 B．y＝50+50（1+x）+50（1+x）2 C．y＝50（1+x）+50（1+x）2 D．y＝50+50（1+x） 【答案】B 【解答】解：设该厂第三季度平均每月的增长率为x，依题意得： y＝50+50（1+x）+50（1+x）2． 故选：B． 题型2 二次函数的应用 解｜题｜知｜识 （1）利用二次函数解决利润问题 在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围． （2）几何图形中的最值问题 几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的讨论． （3）构建二次函数模型解决实际问题 利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题． 【典例1】某景点的“喷水巨龙”喷嘴C处的水流呈抛物线状流出，该水流喷出的高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系如图所示，D为该水流的最高点，DA⊥OB，垂足为A．已知OC＝OB＝8m，OA＝2m，则AD的长为（　　） A．8.3m B．8.6m C．8.8m D．9m 【答案】D 【解答】解：∵OC＝OB＝8m， ∴B（8，0），C（0，8）， 根据题意，设抛物线解析式为y＝a（x﹣2）2+k， 由题意可得：， 解得， ∴抛物线解析式为， 当x＝2时，y＝9， 即AD＝9m， 故选：D． 【变式1】如图1，运动点Q从A处出发，沿线段AB向目的地B处运动．设AQ为x（0≤x≤n），PQ2为y．如图2，y关于x的函数图象与y轴交于点C，最低点D（m，81），且经过E（1，225）和F（n，225）两点．则n的值是（　　） A．23 B．24 C．25 D．26 【答案】C 【解答】解：如图，过点P作PG⊥AB于点G，在AB上取点H，使AH＝1，连接PH、PA、PB， ∵E（1，225）， ∴当x＝1时，动点Q运动到了点H的位置， 则由图象可知，PH2＝225， 当点Q运动到点G的时候，PQ2最小，即PG2＝81，HG＝m﹣1， ∵GH2+PG2＝PH2， ∴（m﹣1）2+81＝225， 解得m＝﹣11（舍去）或m＝13， ∵y关于x的函数图象经过E（1，225）和F（n，225）两点，最低点D（m，81）， ∴点E、F关于抛物线的对称轴对称，抛物线的对称轴为直线x＝m＝13， ∴n＝13+（13﹣1）＝25． 故选：C． 【变式2】在水分、养料等条件一定的情况下，某植物的生长速度y（厘米/天）和光照强度x（勒克斯）之间存在一定关系．在低光照强度范围（200≤x＜1000）内，y与x近似成一次函数关系；在中高光照强度范围（x≥1000）内，y与x近似成二次函数关系．其部分图象如图所示．根据图象，下列结论正确的是（　　） A．当x≥1000时，y随x的增大而减小 B．当x＝2000时，y有最大值 C．当y≥0.6时，x≥1000 D．当y＝0.4时，x＝600 【答案】B 【解答】解：A、当x≥1000时，y随x的增大先增大，后减小，故A选项错误，不符合题意； B、∵抛物线过点（1000，0.6），（3000.0.6）， ∴抛物线的对称轴为：直线x2000， ∵抛物线的开口向下， ∴x＝2000时，y有最大值， 故B选项正确，符合题意； C、由图象可得：当y＝0.6时，x1＝1000，x2＝3000， ∴当y≥0.6时，1000≤x≤3000， 故C选项错误，不符合题意； D、由图象可得当y＝0.4时，x对应的值有2个，故D选项错误，不符合题意． 故选：B． 【变式3】为了实时规划路径，卫星导航系统需要计算运动点与观测点之间距离的平方．如图1，点P是一个固定观测点，运动点Q从A处出发，沿笔直公路AB向目的地B处运动．设AQ为x（单位：km）（0≤x≤n），PQ2为y（单位：km2）．如图2，y关于x的函数图象与y轴交于点C，最低点D（m，81），且经过E（1，225）和F（n，225）两点．下列选项正确的是（　　） A．m＝12 B．n＝24 C．点C的纵坐标为240 D．点（15，85）在该函数图象上 【答案】D 【解答】解：如图，作PG⊥AB于G，当x＝1时，动点Q运动到点H的位置，则由题意和图象可知PH2＝225，当点Q运动到点G的时候，PQ2最小，即：PG2＝81，HG＝m﹣1＝12． 在Rt△PGH中，由勾股定理，得225＝81+（m﹣1）2， ∴m＝13． ∴A错误． ∴AG＝m＝13，HG＝m﹣1＝12． 当x＝n时，点Q运动到点B，则PB2＝225＝PH2， ∴PB＝PH， ∵PG⊥AB， ∴BG＝HG＝12， ∴AB＝13+12＝25， ∴选项B错误． ∴当x＝0，即点Q在A点时， ∴AP2＝AG2+PG2＝132+81＝250． ∴点C的纵坐标为250． ∴选项C错误． 当x＝15时，点Q运动到点K， ∴AK＝15． ∴GK＝AK﹣AG＝2． ∴PK2＝KG2+PG2＝4+81＝85． ∴点（15，85）在该函数图象上． ∴选项D正确． 故选：D． 题型3 二次函数综合题 解｜题｜知｜识 （1）二次函数图象与其他函数图象相结合问题 解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系式中系数的符号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图象即为正确选项． （2）二次函数与方程、几何知识的综合应用 将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件． （3）二次函数在实际生活中的应用题 从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型．关键在于观察、分析、创建，建立直角坐标系下的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的取值范围要使实际问题有意义． 【典例1】如图，抛物线y＝x2﹣4x+3与y轴交于点A，与x轴交于点B、E，线段CD在抛物线的对称轴上移动（点C在点D下方），且CD＝BE．当AD+BC的值最小时，点C的坐标是（　　） A．（2，1） B． C． D． 【答案】C 【解答】解：抛物线y＝x2﹣4x+3与y轴交于点A，与x轴交于点B、E， 当y＝0时，得：x2﹣4x+3＝0， 解得：x1＝1，x2＝3， ∴B（1，0），E（3，0）， ∴BE＝2， ∵线段CD在抛物线的对称轴上移动（点C在点D下方），且CD＝BE， ∴CD＝2， 点A沿y轴向下平移2个单位得到点F，如图，连接CE，CF，EF， ∴AF＝2， ∴AF＝CD， ∵抛物线的对称轴∥y轴，且线段CD在抛物线的对称轴上，线段AF在y轴上， ∴CD∥AF，BC＝CE， ∴四边形CDAF是平行四边形， ∴AD＝CF， ∴AD+BC＝CF+CE≥EF， ∴当F、C、E三点共线，即点C是直线EF与抛物线对称轴的交点时，AD+BC的值最小， 抛物线y＝x2﹣4x+3与y轴交于点A， 当x＝0时，得：y＝3， ∴A（0，3）， 由平移的性质可得：点F的纵坐标＝3﹣2＝1， ∴F（0，1）， 设直线EF的解析式为y＝kx+b，将点E，点F的坐标代入，得： ， 解得：， ∴直线EF的解析式为， 在抛物线y＝x2﹣4x+3中，其对称轴为直线， 要使AD+BC的值最小，则点C的坐标应满足， 解得：， ∴， 故选：C． 【变式1】如图，抛物线y＝﹣x2+2x+m+1（m为常数）交y轴于点A，与x轴的一个交点在2和3之间，顶点为B． ①抛物线y＝﹣x2+2x+m+1与直线y＝m+2有交点； ②若点M（﹣2，y1）、点、点P（2，y3）在该函数图象上，则y1＜y2＜y3； ③将该抛物线向右平移3个单位，再向上平移1个单位，所得抛物线解析式为y＝﹣（x﹣4）2+m+3； ④点A关于直线x＝1的对称点为C，点D、E分别在x轴和y轴上，当m＝1时，四边形BCDE周长的最小值为． 其中正确的判断有（　　）个． A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【解答】解：①已知抛物线y＝﹣x2+2x+m+1（m为常数）交y轴于点A，与x轴的一个交点在2和3之间，顶点为B， ∵抛物线y＝﹣x2+2x+m+1与直线y＝m+2有交点， ∴﹣x2+2x+m+1＝m+2， ∴x2﹣2x+1＝0， ∵Δ＝22﹣4×1×1＝0， ∴抛物线y＝﹣x2+2x+m+1与直线y＝m+2有交点，故①判断正确； ②∵y＝﹣x2+2x+m+1的对称轴为直线x＝1，a＝﹣1＜0， ∴抛物线上的点离对称轴越远，y的值越小， ∵|﹣2﹣1|＝3，，|2﹣1|＝1， ∴， ∴y1＜y3＜y2， 故②判断错误； ③由抛物线y＝﹣x2+2x+m+1＝﹣（x﹣1）2+m+2， ∵该抛物线向右平移3个单位，再向上平移1个单位， ∴平移后的解析式为y＝﹣（x﹣1﹣3）2+m+2+1＝﹣（x﹣4）2+m+3， 故③判断正确； ④∵m＝1时，抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+2， ∴A（0，2），C（2，2），B（1，3）， 作点B关于y轴的对称点B′（﹣1，3），作C点关于x轴的对称点C′（2，﹣2），连接B′C′，与x轴、y轴分别交于D、E点，如图， 则BE+ED+CD+BC＝B′E+ED+C′D+BC＝B′C′+BC，根据两点之间线段最短，知B′C′最短，而BC的长度为， ∴此时，四边形BCDE周长为B′C′+BC且长度最小：， 故④结论不正确； 综上所述，正确的结论是①③． 故选：C． 【变式2】如图（1）所示，E为矩形ABCD的边AD上一点，动点P，Q同时从点B出发，点P沿折线BE﹣ED﹣DC运动到点C时停止，点Q沿BC运动到点C时停止，它们运动的速度都是1cm/秒．设P、Q同时出发t秒时，△BPQ的面积为ycm2．已知y与t的函数关系图象如图（2）（曲线OM为抛物线的一部分），则下列结论：①AD＝BE＝5；②；③当0＜t≤5时，；④当秒时，△ABE∽△QBP．其中正确的结论是（　　） A．①②③ B．②③ C．①③④ D．②④ 【答案】C 【解答】解：根据图（2）可得，当点P到达点E时，点Q到达点C， ∵点P、Q的运动的速度都是1cm/秒， ∴BC＝BE＝5， ∴AD＝BE＝5，故①小题正确； 又∵从M到N的变化是2， ∴ED＝2， ∴AE＝AD﹣ED＝5﹣2＝3， 在Rt△ABE中，AB4， ∴cos∠ABE，故②小题错误； 过点P作PF⊥BC于点F， ∵AD∥BC， ∴∠AEB＝∠PBF， ∴sin∠PBF＝sin∠AEB， ∴PF＝PBsin∠PBFt， ∴当0＜t≤5时，yBQ•PFt•tt2，故③小题正确； 当t秒时，点P在CD上，此时，PDBE﹣ED5﹣2， PQ＝CD﹣PD＝4， ∵，， ∴， 又∵∠A＝∠Q＝90°， ∴△ABE∽△QBP，故④小题正确． 综上所述，正确的有①③④． 故选：C． 【变式3】如图1，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0）、B，与y轴交于点C．直线y＝x﹣3经过点B，C． （1）a＝　　 ，b＝　　 ，c＝　　 ． （2）若点P为抛物线对称轴上一点，若△PAC是以PA为腰的等腰三角形，求点P的坐标． （3）如图2，过定点K（2，1）且不与坐标轴平行的直线与抛物线交于M，N两点，过点N的直线y＝2x+n交抛物线于另一点T．求证：直线MT恒过定点，并求出该定点坐标． 【答案】（1）1；﹣2；﹣3； （2）点P坐标为 （3）设M（x1，y1），N（x2，y2），T（x3，y3）， 设过定点K（2，1）直线MN：y＝k（x﹣2）+1（k≠0，2）， 联立抛物线得：x2﹣2x﹣3＝k（x﹣2）+1， 整理，得：x2﹣（2+k）x+2k﹣4＝0， 由根与系数的关系得：x1+x2＝2+k，x1x2＝2k﹣4①， 联立NT：y＝2x+n与抛物线得：x2﹣4x﹣（3+n）＝0， 由根与系数的关系得x2+x3＝4， 即x3＝4﹣x2②， 设直线MT：y＝px+q，联立抛物线得x2﹣（p+2）x﹣（q+3）＝0， ∴x1+x3＝p+2，x1x3＝﹣（q+3）， 把②代入x1+x3＝p+2，得x1+4﹣x2＝p+2， 整理得：p＝x1﹣x2+2， 由x1x3＝﹣（q+3）变形，得q＝﹣x1x3﹣3， 将②代入q＝﹣x1x3﹣3得：q＝﹣x1（4﹣x2）﹣3， 整理，得q＝﹣4x1+x1x2﹣3④， 由①x1+x2＝2+k，得k＝x1+x2﹣2，代入x1x2＝2k﹣4，得： x1x2＝2（x1+x2﹣2）﹣4， 整理，得x1x2＝2x1+2x2﹣8，代入④，得： q＝﹣4x1+2x1+2x2﹣8﹣3， 整理，得q＝﹣2x1+2x2﹣11， ∴直线MT方程为：y＝（x1﹣x2+2）x﹣2x1+2x2﹣11＝（x﹣2）（x1﹣x2）+2x﹣11， 对任意x1，x2，当x＝2时，y＝2×2﹣11＝﹣7，与x1﹣x2无关， 故直线MT恒过定点（2，﹣7）． 【解答】（1）解：已知直线y＝x﹣3过B、C，B在x轴、C在y轴， 当y＝0时，得：x﹣3＝0， 解得：x＝3； 当x＝0时，得：y＝﹣3， ∴B（3，0），C（0，﹣3）， 抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0）、B，与y轴交于点C．将点A，点B，点C的坐标分别代入得： ， 解得：， ∴抛物线解析式为y＝x2﹣2x﹣3， 故答案为：1；﹣2；﹣3； （2）解：∵抛物线解析式为y＝x2﹣2x﹣3， ∴抛物线对称轴为， 设P（1，m）， ∵A（﹣1，0）、C（0，﹣3）， ∴AC2＝（﹣1﹣0）2+（0+3）2＝10，PA2＝（1+1）2+m2＝m2+4，PC2＝12+（m+3）2＝m2+6m+10， 分两种情况讨论（PA为腰）： 当PA＝AC：m2+4＝10， 解得：， ∴、； 当PA＝PC：m2+4＝m2+6m+10， 解得：m＝﹣1， ∴P3（1，﹣1）， 综上所述，P点的坐标为，，（1，﹣1）； （3）证明：设M（x1，y1），N（x2，y2），T（x3，y3）， 设过定点K（2，1）直线MN：y＝k（x﹣2）+1（k≠0，2）， 联立抛物线得：x2﹣2x﹣3＝k（x﹣2）+1， 整理，得：x2﹣（2+k）x+2k﹣4＝0， 由根与系数的关系得：x1+x2＝2+k，x1x2＝2k﹣4①， 联立NT：y＝2x+n与抛物线得：x2﹣4x﹣（3+n）＝0， 由根与系数的关系得x2+x3＝4， 即x3＝4﹣x2②， 设直线MT：y＝px+q，联立抛物线得x2﹣（p+2）x﹣（q+3）＝0， ∴x1+x3＝p+2，x1x3＝﹣（q+3）， 把②代入x1+x3＝p+2，得x1+4﹣x2＝p+2， 整理得：p＝x1﹣x2+2， 由x1x3＝﹣（q+3）变形，得q＝﹣x1x3﹣3， 将②代入q＝﹣x1x3﹣3得：q＝﹣x1（4﹣x2）﹣3， 整理，得q＝﹣4x1+x1x2﹣3④， 由①x1+x2＝2+k，得k＝x1+x2﹣2，代入x1x2＝2k﹣4，得： x1x2＝2（x1+x2﹣2）﹣4， 整理，得x1x2＝2x1+2x2﹣8，代入④，得： q＝﹣4x1+2x1+2x2﹣8﹣3， 整理，得q＝﹣2x1+2x2﹣11， ∴直线MT方程为：y＝（x1﹣x2+2）x﹣2x1+2x2﹣11＝（x﹣2）（x1﹣x2）+2x﹣11， 对任意x1，x2，当x＝2时，y＝2×2﹣11＝﹣7，与x1﹣x2无关， 故直线MT恒过定点（2，﹣7）． 过 关 验 收 1．慈城某店家销售特产印花糕，经调查发现每盒印花糕售价为15元时，日销售量为200盒，当每盒售价每下降1元时，日销售量会增加5盒．已知每盒印花糕的成本为5元，设每盒降价x元，商家每天的利润为y元，则y与x之间的函数表达式为（　　） A．y＝（15﹣x）（200﹣5x） B．y＝（15﹣x）（200+5x） C．y＝（x﹣5）（200+5x） D．y＝（10﹣x）（200+5x） 【答案】D 【解答】解：根据题意可得：y＝（10﹣x）（200+5x）． 故选：D． 2．如图，四边形ABCD中，∠BAD＝∠ACB＝90°，AB＝AD，AC＝4BC，设CD的长为x，四边形ABCD的面积为y，则y与x之间的函数关系式是（　　） A．y B．y C．y D．y 【答案】C 【解答】解：作AE⊥AC，DE⊥AE，两线交于E点，作DF⊥AC垂足为F点， ∵∠BAD＝∠CAE＝90°，即∠BAC+∠CAD＝∠CAD+∠DAE ∴∠BAC＝∠DAE 又∵AB＝AD，∠ACB＝∠E＝90° ∴△ABC≌△ADE（AAS） ∴BC＝DE，AC＝AE， 设BC＝a，则DE＝a，DF＝AE＝AC＝4BC＝4a， CF＝AC﹣AF＝AC﹣DE＝3a， 在Rt△CDF中，由勾股定理得， CF2+DF2＝CD2，即（3a）2+（4a）2＝x2， 解得：a， ∴y＝S四边形ABCD＝S梯形ACDE（DE+AC）×DF （a+4a）×4a ＝10a2 x2． 故选：C． 3．宏海公司对某种海产品进行推广，在网络平台上直播销售．已知该海产品的成本价格为每千克40元．经过调研，当销售单价为每千克60元时，每天能售出500千克．销售单价每降低1元，每天的销售量将增加10千克．若设该种海产品销售单价为每千克x元，公司每天直播销售的利润为y元，则y与x的函数关系式为　 ． 【答案】y＝﹣10x2+1500x﹣44000． 【解答】解：根据题意得：y＝（x﹣40）[500+（60﹣x）×10]＝﹣10x2+1500x﹣44000． 故答案为：y＝﹣10x2+1500x﹣44000． 4．某商场购进一种单价为40元的商品，如果以单价60元售出，那么每天可卖出300个，根据销售经验，每降价1元，每天可多卖出20个，设每个商品降价x（元），每天获得利润y（元），则y与x的函数关系式是 　 ． 【答案】y＝﹣20x2+100x+6000． 【解答】解：设每个降价x元， 每天获得利润y＝（300+20x）（60﹣40﹣x） ＝﹣20x2+100x+6000． 故答案为：y＝﹣20x2+100x+6000． 5．如图，用一段长30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形ABCD菜园，中间用篱笆EF隔开，EF∥AB，墙长12m．设AB＝xm，矩形ABCD的面积为ym2，则y关于x的函数关系式是　 　 ，x的取值范围是　 　 ． 【答案】y＝﹣3x2+30x，6≤x＜10． 【解答】解：由已知得：BC＝（30﹣3x）m， ∴y＝x（30﹣3x）＝﹣3x2+30x， ∵墙长12m， ∴0＜30﹣3x≤12， 解得6≤x＜10， ∴x的取值范围为6≤x＜10； 故答案为：y＝﹣3x2+30x，6≤x＜10． 6．如图，是一个迷宫游戏盘的局部平面简化示意图，该矩形的长、宽分别为5cm，3cm，其中阴影部分为迷宫中的挡板，设挡板的宽度为xcm，小球滚动的区域（空白区域）面积为ycm2．则y关于x的函数关系式为：　 （化简为一般式）． 【答案】y＝x2﹣8x+15． 【解答】解：由题意得， y＝（5﹣x）（3﹣x）＝x2﹣8x+15， 故答案为：y＝x2﹣8x+15． 7．用一根长为16m的木条做一个长方形的窗框，若宽为x（m），则该窗户的面积y（m2）与x（m）之间的函数关系式为　 　 ． 【答案】y＝﹣x2+8x 【解答】解：设宽为xm， ∵长方形的周长为16m， ∴长方形的长为（8﹣x）m， ∴y＝x×（8﹣x）＝﹣x2+8x． 故答案为y＝﹣x2+8x． 8．如图的一座拱桥，当水面宽AB为12m时，桥洞顶部离水面4m，已知桥洞的拱形是抛物线，以水平方向为x轴，建立平面直角坐标系，若选取点A为坐标原点时的抛物线解析式是y（x﹣6）2+4，则选取点B为坐标原点时的抛物线解析式是y　 　　 ． 【答案】y（x+6）2+4 【解答】方法一： 解：由题意可得出：y＝a（x+6）2+4， 将（﹣12，0）代入得出，0＝a（﹣12+6）2+4， 解得：a， ∴选取点B为坐标原点时的抛物线解析式是：y（x+6）2+4． 故答案为：y（x+6）2+4． 方法二：B为原点相当于把原函数左移12个单位，也由顶点坐标（6，4）变为（﹣6，4）， 故点B为坐标原点时的抛物线解析式是：y（x+6）2+4． 9．是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m，水面宽4m．如图建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是 　 　　 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：设出抛物线方程y＝ax2（a≠0）， 由图象可知该图象经过（﹣2，﹣2）点， 故﹣2＝4a， a， 故y． 10．如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置OM，喷头M向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，按如图所示的直角坐标系，水流喷出的高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系式是y＝﹣x2+2x（x＞0），则水流喷出的最大高度是（　　） A．3m B．2.75m C．2m D．1.75m 【答案】B 【解答】解：y＝﹣x2+2x（x﹣1）2+1（x﹣1）2， ∵﹣1＜0， ∴当x＝1时，y取最大值，最大值为，即2.75米， 故选：B． 11．剪纸是我国的民间传统艺术，能为节日增加许多喜庆的氛围．剪纸中有一种“抛物线剪纸”艺术，即作品的外轮廓在抛物线上，体现了一种曲线美，如图，这是利用“抛物线剪纸”艺术剪出的蝴蝶，建立适当的平面直角坐标系，使外轮廓上的A，B，C，D四点落在抛物线y＝ax2+c上，则下列结论正确的是（　　） A．ac＜0 B．ac＝0 C．ac＞0 D．ac≥0 【答案】A 【解答】解：建立适当的平面直角坐标系，使外轮廓上的A，B，C，D四点落在抛物线y＝ax2+c上， ∵根据抛物线开口向上，与y轴交于负半轴， ∴a＞0，c＜0，则ac＜0， 故选：A． 12．某大桥的桥拱可以用抛物线的一部分表示，函数关系为，当水面宽度AB为20m时，水面与桥拱顶的高度CO等于（　　） A．2m B．4m C．10m D．16m 【答案】B 【解答】解：根据题意B的横坐标为10， 把x＝10代入yx2， 得y＝﹣4， ∴A（﹣10，﹣4），B（10，﹣4）， 即水面与桥拱顶的高度CO等于4m． 故选：B． 13．在第十五届全运会女子10米跳台跳水比赛中，某运动员在完成某一跳后，其运动轨迹成抛物线状，重心相对于水面的竖直高度h（单位：m）与时间t（单位：s）之间的关系如下表所示： t/s 0 0.3 0.6 0.9 1.5 1.8 … h/m 10 10.75 11.25 11.55 11.55 11.25 … 下列结论正确的是（　　） A．运动员的重心相对水面的最大高度是11.55m B．运动轨迹路线的对称轴是直线t＝1.2 C．运动员的重心相对水面的高度是10.75m时，时间为0.3s D．当t＝2.4s时，运动员入水 【答案】B 【解答】解：由表格可得，t＝0.9与t＝1.5时的重心相对于水面的竖直高度h一样， ∴对称轴为直线，故B正确； 由于抛物线开口向下， ∴最大高度大于11.55m，故A错误， ∵抛物线的对称轴为直线t＝1.2，由表格可得t＝0.3时，h＝10.75m， 根据对称性可得，当t＝2×1.2﹣0.3＝2.1时，运动员的重心相对水面的高度也是10.75m， 故运动员的重心相对水面的高度是10.75m时，时间为0.3s或2.1s，故C错误； ∵对称轴为直线t＝1.2， ∴当t＝0和t＝2.4时的h一样，均为10m， 故t＝2.4时，运动员未入水，故D错误， 故选：B． 14．飞机着陆后滑行的距离s（m）关于滑行时间t（s）的函数解析式为s＝60t﹣1.5t2，下列能反映这一变化过程的图象是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：飞机着陆后滑行的距离s（m）关于滑行时间t（s）的函数解析式为s＝60t﹣1.5t2＝﹣1.5（t﹣20）2+600， ∴函数图象是对称轴为x＝20，最值为600，开口方向向下的抛物线， ∵时间不可能为负，飞机着陆后滑行就回停止， ∴C选项符合题意． 故选：C． 15．在一个电子游戏中，玩家操控角色在一段长度为1个单位的水平路径上移动，路径起点坐标为m，终点坐标为m+1．游戏场景中存在一个能量函数y＝x2﹣4|x|+2，角色在路径上不同位置x对应的能量值由该函数计算，当角色在路径上移动时，其能量的最大值为2，那么m满足的条件为（　　） A．﹣1＜m≤0 B．m＝﹣4或3或﹣1≤m≤0 C．m＝﹣4或﹣1＜m≤0 D．m＝﹣4或3 【答案】B 【解答】解：分情况讨论： 情况1：当x≥0时，y＝x2﹣4|x|+2＝x2﹣4x+2＝（x﹣2）2﹣2， 此时二次函数开口向上，对称轴为x＝2． 把y＝2代入y＝（x﹣2）2﹣2，得 （x﹣2）2﹣2＝2， 解得x＝0或4． 在对称轴的右侧（x＞2），y随x的增大而增大，最大值在右端点x＝m+1， 所以m+1＝4， 解得m＝3， 所以选项A和C不符合题意； 在对称轴的左侧（x＜2），y随x的增大而减小，最大值在左端点x＝m， 所以m＝0， 所以选项D不符合题意； 情况2：当x＜0时，y＝x2﹣4|x|+2＝x2+4x+2＝（x+2）2﹣2， 此时二次函数开口向上，对称轴为x＝﹣2． 把y＝2代入y＝（x+2）2﹣2，得 （x﹣2）2﹣2＝2， 解得x＝0或﹣4． 在对称轴的右侧（x＞﹣2），y随x的增大而增大，最大值在右端点x＝m+1， 所以m+1＝0， 解得m＝﹣1； 在对称轴的左侧（x＜﹣2），y随x的增大而减小，最大值在左端点x＝m， 所以m＝﹣4． 综上，选项B符合题意． 故选：B． 16．如图①所示的矩形窗框ABCD的周长及其两条隔断EF，GH的总长为am，且隔断EF，GH分别与矩形的两条邻边平行．设BC的长为xm，矩形ABCD的面积为ym2，y关于x的函数图象如图②，则下列说法正确的是（　　） A．矩形ABCD的最大面积为8m2 B．当x＝4时，矩形ABCD的面积最大 C．a的值为12 D．以上说法均错误 【答案】C 【解答】解：由题图②可知，矩形ABCD的最大面积为4m2，此时x＝2，故A，B错误，不符合题意； 当x＝2时，矩形ABCD的面积取最大值4， ∴AB＝4÷2＝2， ∴a＝（AB+BC）×3＝（2+2）×3＝12， 故D错误，不符合题意，C正确，符合题意， 故选：C． 17．某服装品牌生产T恤衫，每件的成本是10元，根据市场调查，以单价13元批发给经销商，经销商愿意经销5000件，并且表示每件降价0.1元，愿意多经销500件．设厂家批发单价是x元/件，下列说法错误是（　　） A．销售量可以表示为70000﹣5000x B．销售额可以表示为13×（70000﹣5000x） C．所获利润可以表示为﹣5000（x﹣12）2+20000 D．当批发价为12元时，所获利润有最大值20000元 【答案】B 【解答】解：根据题意： A、根据销售量＝原销量+多经销的销量销售量可以表示为：，正确，不符合题意； B、销售额可以表示为：x（﹣5000x+70000），错误，符合题意； C、所获利润可以表示为：（x﹣10）（﹣5000x+70000）＝﹣5000x2+120000x﹣700000＝﹣5000（x﹣12）2+20000，正确，不符合题意； D、所获利润可以表示为：﹣5000（x﹣12）2+20000，则当批发价为12元时，所获利润有最大值20000元，正确，不符合题意； 故选：B． 18．飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）关于滑行时间t（单位：s）的函数解析式是y＝60tt2．在飞机着陆滑行中，滑行的最大距离是 　　 m． 【答案】600． 【解答】解：∵y＝60tt2（t﹣20）2+600， ∴t＝20时，y取最大值600， 即在飞机着陆滑行中，滑行的最大距离是600m， 故答案为：600． 19．随着“湖北省城市足球联赛”（简称“楚超”）的开赛，点燃了大家对足球的热情，如图是某场球赛中的截面示意图，进攻球员甲位于点O处起脚射门，防守球员乙位于点A，OA的延长线与球门线交于点B且点A，B均在足球轨迹正下方，足球的飞行轨迹可看成抛物线．已知球门离O点的水平距离为22m，球门的高度为2.44m，足球距离点O的水平距离x（单位：m）与离地高度y（单位：m）的部分数据如表： 水平距离x/m … 6 9 12 15 … 离地高度y/m … 3.6 4.5 4.8 4.5 … 以点O为坐标原点，直线OB为横轴，建立如图所示的平面直角坐标系． （1）根据表中数据预测，足球飞行过程中，离地最大高度y＝　　 m，并直接写出y关于x的函数解析式　 　 ； （2）若乙不防守，甲的这次射门是否成功？ （3）当乙位于足球正下方，足球离地高度不大于乙的最大防守高度2.1m时，乙可以防守成功．若乙距离点O水平距离19m时，是否可以防守成功，如果不可以，乙需要向球门方向至少移动多少米，才能防守成功？ 【答案】（1）4.8，； （2）若乙不防守，甲的这次射门成功； （3）乙防守不成功，乙需要向球门方向至少移动2m才能防守成功． 【解答】解：（1）根据表中数据，当x＝9和x＝15时，离地高度y＝4.5， 可知对称轴为x＝12， 根据表中数据，当x＝12时，离地高度y＝4.8，则离地最大高度y＝4.8 m； 设y＝a（x﹣h）2+k， 由题意可得，顶点为（12，4.8）， 则y＝a（x﹣12）2+4.8， 将（6，3.6）代入函数解析式可得，3.6＝a（6﹣12）2+4.8， 解得， 则解析式为； 故答案为：4.8，； （2）根据题意可得，将x＝22代入函数解析式，可得 ， ∵， ∴若乙不防守，甲的这次射门成功； （3）根据题意，将x＝19代入函数解析式，可得， ， ∵， ∴乙防守不成功， 将y＝2.1代入可得， 解得x＝3或x＝21， 根据题意可得，x＝3舍去， 21﹣19＝2，即乙需要向球门方向至少移动2m才能防守成功． 答：乙防守不成功，乙需要向球门方向至少移动2m才能防守成功． 20．为落实党和国家的“三农”政策，武汉市农科所派遣农业专家在汉南区指导果农种植苹果树．某果园种有60棵优质苹果树，平均每棵结500个苹果．果农现希望多种一些苹果树以提高果园产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少．根据种植经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个苹果，设果园准备多种植x棵苹果树． （1）平均每棵树结的苹果数y与多种苹果树的棵数x（棵）之间的关系式； （2）要使果园里苹果的总产量W（个）最大，果园应种植苹果树多少棵？ （3）受光照等条件影响，当该果园里苹果总产量超过31000个时，生长的苹果品质会显著下降．若每棵苹果树所结苹果数不少于350个，在确保苹果品质的前提下，该果园最多可多种植苹果树的棵数为（直接写出结果）． 【答案】（1）y＝500﹣5x（x≥0且x为整数）； （2）80棵； （3）5棵． 【解答】解：（1）根据题意可知每多种苹果树x（棵），平均每棵树就会少结5x个苹果， ∵现阶段，平均每棵结500个苹果， ∴每棵树结的苹果数y与多种苹果树的棵数x（棵）之间的关系式为： y＝500﹣5x（x≥0且x为整数）． （2）∵由（1）可知，每棵树结的苹果数y与多种苹果树的棵数x（棵）之间的关系式为： y＝500﹣5x（x≥0且x为整数）， ∴果园里苹果的总产量W（个）＝（60+x）•y＝（60+x）•（500﹣5x）， 即W＝（60+x）•（500﹣5x）（x≥0且x为整数）， ∴W＝﹣5x2+200x+30000＝﹣5（x﹣20）2+32000（x≥0且x为整数）， ∴当x＝20时，W有最大值， 种植总数：60+20＝80（棵）， 答：果园应种植80棵苹果树，使得果园里苹果的总产量最大． （3）根据题意可知500﹣5x≥350， 解得：x≤30． ∵若要确保苹果的品质，苹果总产量应不超过31000个， ∴W＝（60+x）•（500﹣5x）≤31000， 化简为：x2﹣40x+200≥0， 对应一元二次方程为：x2﹣40x+200＝0， 解得：， 结合二次函数图象性质，可知，或， 联立x≤30和或， 解得， ∴， ∵，结合x应为整数， 可知x的最大整数值为5． 答：在确保苹果品质的前提下，该果园最多可多种植苹果树的棵数为5棵． 21．鹰眼系统能够追踪、记录和预测球的轨迹，如图分别为足球比赛中某一时刻的鹰眼系统预测画面（如图1）和截面示意图（如图2），足球的飞行轨迹可看成抛物线．攻球员位于O，守门员位于点A，OA的延长线与球门线交于点B，且点A，B均在足球轨迹正下方，已知OB＝28m，AB＝8m． 通过鹰眼系统监测，足球飞行的水平速度为15m/s．水平距离s（水平距离＝水平速度×时间）与离地高度h的鹰眼数据如表．守门员的最大防守高度为m．守门员在攻球员射门瞬间就作出防守反应，当守门员位于足球正下方时，足球离地高度不大于守门员的最大防守高度视为防守成功． s/m … 9 12 15 18 21 … h/m … 4.2 4.8 5 4.8 4.2 … （1）求h关于s的函数表达式． （2）若守门员选择原地接球，能否防守成功？若成功，请求出守门员接住球时，球的高度；若不成功，请通过计算说明理由． （3）求守门员选择面对足球后退，计算成功防守的最小速度． 【答案】（1）h（s﹣15）2+5；（2）守门员选择原地接球，不能防守成功；（3）此过程守门员的最小速度为 3m/s． 【解答】解：（1）由题意，结合表格数据可得，抛物线的对称轴是直线x15， ∴顶点为（15，5）． ∴可设h关于s的函数表达式为h＝a（s﹣15）2+5． 又图象过（9，4.2）， ∴4.2＝a（9﹣15）2+5． ∴a． ∴h关于s的函数表达式为h（s﹣15）2+5． （2）由题意，∵OB＝28m，AB＝8m， ∴OA＝OB﹣AB＝28﹣8＝20（m）． ∴令s＝20，则h（20﹣15）2+5． 又∵足球离地高度不大于守门员的最大防守高度视为防守成功， ∴守门员选择原地接球，不能防守成功． （3）由题意，若守门员选择面对足球后退，并成功防守，可设守门员的速度为vm/s，且ts时，足球位于守门员正上方， ∴15t＝28﹣（8﹣vt）． ∴． ∴． ∴． ∴v＝﹣45（舍去）或v＝3． ∴此过程守门员的最小速度为 3m/s． 22．武汉欢乐谷是华中地区超受欢迎的主题乐园，位于东湖畔，占地35万平方米，拥有38个室外游乐项目，过山车是其经典项目之一．如图所示，以OE所在直线为x轴，OF所在直线为y轴建立平面直角坐标系，F→E→G为过山车的一部分轨道，它可以看成一段抛物线．其中米，米（轨道厚度忽略不计）． （1）求抛物线F→E→G的函数关系式； （2）在轨道距离地面米处有两个位置P和G，当过山车运动到G处时，平行于地面向前运动了1.5米至K点，又进入下坡段K→H（K接口处轨道忽略不计，点H为最低点）．已知轨道抛物线K→H→Q的形状与抛物线P→E→G完全相同，求OH的距离； （3）现需要在轨道下坡段F→E进行一种安全加固，建造某种材料的水平和竖直支架AM、CM、BN、DN，且要求AB＝2OA，已知这种材料的价格是50000元/米，如何设计支架，会使造价最低？最低造价为多少元？ 【答案】（1）； （2）13米； （3）时，支架最短，为12米，最低造价为600000元． 【解答】解：（1）设抛物线解析式为 ， ∴， 解得：， ∴抛物线F→E→G的函数关系式为． （2）当时，， ∴x2＝8，x1＝1， ∴PK＝7+1.5＝8.5，PG＝8﹣1＝7， ∴EH＝PK＝8.5， ∴米． （3）设A（t，0），则B（3t，0）， ∴AM+CM+BN+DN ， ∵， ∴当时，支架最短，为12米， 此时，最低造价为12×50000＝600000元． 23．材料一：某种旅游纪念品的进价为每件15元，销售单价不低于20元． 材料二：当销售单价定为20元时，每天可以销售100件，市场调查反映，销售单价每提高1元，日销量将会减少10件． 材料三：物价部门规定销售单价不能超过28元，且为正整数．商店按规定适当涨价销售． 任务一：建立函数模型 （1）设该纪念品的销售单价为x（单位：元），日销量为y（单位：件），日销售利润为W（单位：元），分别写出y与x，W与x的函数解析式，并写出x的取值范围； 任务二：设计销售方案 （2）若日销售利润为540元，销售单价应定为多少元？ （3）销售单价定为多少元时，销售该纪念品所获日销售利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）y关于x的函数解析式为y＝﹣10x+300（20≤x≤28，且为正整数），W关于x的函数解析式为W＝﹣10x2+450x﹣4500（20≤x≤28，且为正整数）； （2）销售单价应定为21元或24元； （3）销售单价定为22元或23元时，销售该纪念品所获日销售利润最大，最大利润是560元． 【解答】解：（1）设该纪念品的销售单价为x（单位：元），日销量为y（单位：件），日销售利润为W（单位：元）， 由材料二可得，当销售单价为20元时，每天可以销售100件，销售单价每提高1元，日销量减少10件， ∴日销量y＝100﹣10（x﹣20）＝﹣10x+300， 由题意可得：x的取值范围为20≤x≤28，且为正整数． ∴日销售利润W＝（x﹣15）y＝（x﹣15）（﹣10x+300）＝﹣10x2+450x﹣4500， ∴y关于x的函数解析式为y＝﹣10x+300（20≤x≤28，且为正整数），W关于x的函数解析式为W＝﹣10x2+450x﹣4500（20≤x≤28，且为正整数）； （2）由题意得，当W＝540时，即﹣10x2+450x﹣4500＝540， 整理得x2﹣45x+504＝0，即（x﹣21）（x﹣24）＝0， 解得x1＝21，x2＝24， ∵20≤x≤28， 答：销售单价应定为21元或24元； （3）W＝﹣10x2+450x﹣4500＝﹣10（x﹣22.5）2+562.5， ∵20≤x≤28且x为正整数， ∴当x＝22或x＝23时，W最大， 当x＝22时，W＝﹣10×222+450×22﹣4500＝560（元）， 当x＝23时，W＝﹣10×232+450×23﹣4500＝560（元）， ∴最大利润为560元， 答：销售单价定为22元或23元时，销售该纪念品所获日销售利润最大，最大利润是560元． 24．篮球课上，小华和小明在距离篮筐中心水平距离5m的位置处，正对篮筐进行定点投篮练习，篮筐距离地面的高度为3.05m篮球出手后，在空中的运动路线可以看作抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系，篮球的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足二次函数关系． （1）小华某次定点投篮练习时，篮球的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下： 水平距离x/m 0 1 2 3 4 竖直高度y/m 1.8 3.05 3.8 4.05 3.8 ①直接写出篮球的竖直高度的最大值； ②篮球的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系y＝a（x﹣h）2+k（a＜0），求a的值； ③小华本次投篮能否将篮球投进篮筐，请说明理由； （2）小明进行定点投篮练习时，篮球的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系y＝﹣0.3x2+bx+c，篮球出手时竖直高度满足2≤y≤2.05，若小明将篮球投进篮筐中心，直接写出b的取值范围． 【答案】（1）①4.05； ②； ③能，理由如下， 根据上述计算可得，， ∴当x＝5时，， ∴小华本次投篮能将篮球投进篮筐； （2）1.7≤b≤1.71． 【解答】解：（1）①根据题意，顶点坐标为（3，4.05）， ∴篮球的竖直高度的最大值为4.05m； ②根据题意，顶点坐标为（3，4.05），图象过（0，1.8），代入二次函数y＝a（x﹣h）2+k（a＜0）中得， 1.8＝a（0﹣3）2+4.05， 解得，； ③能，理由如下， 根据上述计算可得，， ∴当x＝5时，， ∴小华本次投篮能将篮球投进篮筐； （2）篮球出手时竖直高度满足2≤y≤2.05，篮筐中心水平距离5m的位置，篮筐距离地面的高度为3.05m， ∴当（0，2），（5，3.05）经过函数关系y＝﹣0.3x2+bx+c的图象上时， ， 解得，b＝1.71 当（0，2.05），（5，3.05）经过函数关系y＝﹣0.3x2+bx+c的图象上时， ， 解得，b＝1.7； ∴小明将篮球投进篮筐中心，b的取值范围为1.7≤b≤1.71． 25．某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖10件．设每件商品的售价上涨x元（x为正整数），每个月的销售利润为y元． （1）每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰为2200元？ （2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？ 【答案】（1）当售价定为每件51或60元，每个月的利润恰为2200元； （2）当售价定为55或56元时，每个月可获得最大利润，最大的月利润是2400元． 【解答】解：（1）进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖10件． 由题意得： y＝（210﹣10x）（50+x﹣40）＝﹣10x2+110x+2100， 当y＝2200时，﹣10x2+110x+2100＝2200， 解得：x1＝1，x2＝10， 当x＝1时，50+x＝51，当x＝10时，50+x＝60， 答：当售价定为每件51或60元，每个月的利润为2200元； （2）∵y＝﹣10x2+110x+2100， ∴y＝﹣10（x﹣5.5）2+2402.5， ∵a＝﹣10＜0， ∴当x＝5.5时，y有最大值为2402.5， ∵x为正整数， ∴当x＝5时，50+x＝55，y＝2400； 当x＝6时，50+x＝56，y＝2400； ∴当售价定为55或56元时，每个月可获得最大利润，最大的月利润是2400元． 26．某种商品的标价为200元/件，由于疫情的影响，销量不佳，店家经过两次降价后的价格为128元/件，并且两次降价的百分率相同． （1）求该种商品每次降价的百分率； （2）若该种商品进价为80元/件，若以128元/件售出，平均每天能售出20件，另外每天需支付其他各种费用100元，若每件降价1元，则每天可多售出5件，如果将售价定为x元，每天盈利y元，请写出y与x之间的函数关系式． 【答案】（1）该种商品每次降价的百分率为20%； （2）y＝﹣5x2+1060x﹣52900． 【解答】解：（1）由题意，设该种商品每次降价的百分率为x， 依题意，得：200（1﹣x）2＝128， ∴x1＝0.2＝20%，x2＝1.8（不合题意，舍去）， 答：该种商品每次降价的百分率为20%； （2）由题意得，y＝（x﹣80）[20+5（128﹣x）]﹣100， ∴y＝﹣5x2+1060x﹣52900． 27．图1是某种发石车，这是古代一种远程攻击的武器，发射出去的石块的运动轨迹是抛物线的一部分，且距离发射点6米时达到最大高度12米．将发石车置于山坡底部O处，山坡上有一点A，点A与点O的水平距离为9米，与地面的竖直距离为6米，AB是高度为5米的防御墙．若以点O为原点，建立如图2所示的平面直角坐标系． （1）求石块运动轨迹所在抛物线的解析式． （2）试通过计算说明石块能否飞越防御墙AB． （3）在竖直方向上，试求石块飞行时与坡面OA的最大距离． 【答案】（1）； （2）石块不能飞越防御墙AB，见解析； （3）米． 【解答】解：（1）设y＝a（x﹣6）2+12， 将点（0，0）代入，得36a+12＝0， 解得， ∴． （2）∵当x＝9时，， BE＝6+5＝11＞9， ∴石块不能飞越防御墙AB． （3）A的坐标为（9，6）， 设直线OA为y＝kx， ∴6＝9k， ∴， ∴． 作直线MN⊥x轴，交抛物线于点M，交直线OA于点N， 设点，则点N的坐标为， ∴， ∴当m＝5时，MN有最大值，最大值为， ∴在竖直方向上，最大距离是米． 28．如图，已知点A（0，﹣1），B（﹣2，﹣1），抛物线l：y＝﹣x2+2mx﹣m2+2，直线n：x＝1． （1）当0≤x≤4时，二次函数有最大值是1，求m的值； （2）如果抛物线l的最高点正好落在直线n上，求抛物线的解析式及顶点坐标； （3）当抛物线l与线段AB有公共点时，直接写出m的取值范围． 【答案】（1）﹣1或5； （2）y＝﹣x2+2x+1；（1，2）； （3）当或时，抛物线l与线段AB有公共点． 【解答】解：（1）∵抛物线l：y＝﹣x2+2mx﹣m2+2＝﹣（x﹣m）2+2， ∴顶点为（m，2），对称轴为直线， 当x＝0时，y＝﹣m2+2； 当x＝4时，y＝﹣m2+8m﹣14， ∵a＝﹣1＜0， ∴抛物线开口向下， ∴当0≤x≤4时，二次函数有最大值是2，不符合题意， ∴分以下两种情况讨论： ①当m＜0时，x＝0取得最大值， ∴﹣m2+2＝1， ∴m＝±1， ∴m＝﹣1； ②当m＞4时，x＝4取得最大值， ∴﹣m2+8m﹣14＝1， ∴m＝3或m＝5， ∴m＝5， 综上，m＝﹣1或5； （2）∵抛物线l的最高点正好落在直线n上， ∴对称轴是直线． ∴m＝1． ∴y＝﹣x2+2x+1， ∵y＝﹣x2+2x+1＝﹣（x﹣1）2+2， ∴顶点为（1，2）． （3）设该抛物线与线段AB的交点为M， 当抛物线经过A（0，﹣1）时， 由（1）可知，． 当抛物线过B（﹣2，﹣1）时， ∴﹣1＝﹣4﹣4m﹣m2+2． ∴． ∵y＝﹣x2+2mx﹣m2+2＝﹣（x﹣m）2+2． ∴抛物线的对称轴是直线x＝m． ∴可分两种情形： ①当对称轴位于点M右侧时， ∴． ②当对称轴位于点M左侧时， ∴． 综上所述，当或时，抛物线l与线段AB有公共点． 29．在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+2x+c（b、c为常数）的对称轴为直线x＝1，与y轴交点坐标为（0，3）． （1）求此抛物线对应的函数表达式； （2）点A、点B均在这个抛物线上（点A在点B的左侧），点B的横坐标为4﹣m，点A的横坐标为m．将此抛物线上A、B两点之间的部分（含A、B两点）记为图象G． ①当点A在x轴上方，图象G的最高与最低点的纵坐标差为6时，求m的值； ②设点D（1，n），点E（1，1﹣n），将线段DE绕点D逆时针旋转90°后得到线段DF，连结EF，当△DEF（不含内部）和二次函数在x≥0范围上的图象有且仅有一个公共点时，请直接写出n的取值范围． 【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3； （2）①m的值为； ②n的取值范围为或． 【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+2x+c（b、c为常数）的对称轴为直线x＝1，与y轴交点坐标为（0，3）， ∴，c＝3， 解得：a＝1， ∴此抛物线对应的函数表达式为y＝﹣x2+2x+3； （2）①抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4， 当y＝0时，得：0＝﹣（x﹣1）2+4， 解得：x＝﹣1或x＝3， 故抛物线与x轴的交点为（﹣1，0），（3，0），对称轴为直线x＝1，顶点坐标为（1，4）， ∵点A、点B均在这个抛物线上（点A在点B的左侧），点B的横坐标为4﹣m，点A的横坐标为m， ∴A（m，﹣m2+m+3），B（4﹣m，﹣m2+6m﹣5）， 当﹣1＜m≤1时，如图1， 4﹣（﹣m2+6m﹣5）＝6， 解得：或（不合题意，舍去）； 当1＜m＜2时，如图2， ﹣m2+2m+3﹣（﹣m2+6m﹣5）＝6， 解得：m（不合题意，舍去）， 综上所述：图象G的最高点与最低点的纵坐标差为6时，m的值为； ②n的取值范围为或．理由如下： 当n＜﹣3时，如图3， ∵D（1，n），E（1，1﹣n）， ∴DE＝1﹣n﹣n＝1﹣2n， 由旋转得：DF＝DE，∠EDF＝90°， ∴F（2n，n）， ∴直线EF的解析式为y＝x﹣n， 联立方程组得：x﹣n＝﹣x2+2x+3， 整理得：x2﹣x﹣（n+3）＝0， ∵△DEF（不含内部）和二次函数在x≥0范围上的图象有且仅有一个公共点， ∴Δ＝（﹣1）2﹣4×1×[﹣（n+3）]＜0， ∴； 当时，如图4，△DEF（不含内部）和二次函数在x≥0范围上的图象没有公共点； 当时，如图5，△DEF（不含内部）和二次函数在x≥0范围上的图象有且仅有一个公共点， ∵D（1，n），E（1，1﹣n），F（2n，n）， ∵点F在抛物线上， ∴﹣（2n）2+4n+3＝n， 解得：（舍去）或， ∴； 当n＞4时，如图6，△DEF（不含内部）和二次函数在x≥0范围上的图象有两个公共点，（舍去） 综上所述：当或时，△DEF（不含内部）和二次函数在x≥0范围上的图象有且仅有一个公共点． 30．在平面直角坐标系xOy中，点（4，3）在抛物线y＝ax2+bx+3（a＞0）上． （1）①该抛物线的对称轴为　 　 ； ②若该抛物线与x轴没有交点，求a的取值范围； （2）已知m＞0，当2﹣m≤x≤2+2m时，y的取值范围是﹣1≤y≤3，求a，m的值； （3）在（2）的条件下，是否存在实数n，当n﹣2＜x＜n时，y的取值范围是3n﹣3＜y＜3n+5，若存在，求出n的值，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）①直线x＝2；②； （2）a＝1，m＝1； （3）存在，n＝1． 【解答】在平面直角坐标系xOy中，点（4，3）在抛物线y＝ax2+bx+3（a＞0）上．在平面直角坐标系xOy中，点（4，3）在抛物线y＝ax2+bx+3（a＞0）上．在平面直角坐标系xOy中，点（4，3）在抛物线y＝ax2+bx+3（a＞0）上． 解：（1）①∵抛物线的解析式为y＝ax2+bx+3， ∴x＝0时，y＝3， ∴抛物线y＝ax2+bx+3过点（0，3）， ∵抛物线y＝ax2+bx+3过点（4，3）， ∴该抛物线的对称轴为直线x＝2． 故答案为：x＝2． ②∵抛物线的对称轴为直线x＝2， ∴， ∴b＝﹣4a， ∴抛物线为y＝ax2﹣4ax+3， ∵该抛物线与x轴没有交点， ∴Δ＝（﹣4a）2﹣4a×3＜0， ∴， ∵a＞0， ∴a的取值范围是． （2）∵m＞0， ∴2﹣m＜2＜2+2m． ∵a＞0，抛物线开口向上， ∴当x＝2时，函数值在2﹣m＜x＜2+2m上取得最小值﹣1． 即4a+2b+3＝﹣1． ∵b＝﹣4a， ∴a＝1，b＝﹣4． ∴抛物线的表达式为y＝x2﹣4x+3，即y＝（x﹣2）2﹣1． ∵m＞0， ∴当2﹣m≤x≤2时，y随x的增大而减小，当x＝2﹣m时取得最大值， 当2≤x≤2+2m时，y随x的增大而增大，当x＝2+2m时取得最大值， ∵对称轴为x＝2， ∴x＝2﹣m与x＝2+m时的函数值相等． ∵2＜2+m＜2+2m， ∴当x＝2+2m时的函数值大于当x＝2+m时的函数值，即x＝2﹣m时的函数值． ∴当x＝2+2m时，函数值在2﹣m＜2＜2+2m上取得最大值3． 代入有4m2﹣1＝3，舍去负解， ∴m＝1． （3）存在，n＝1． ∵当n﹣2＜x＜n时，y的取值范围是3n﹣3＜y＜3n+5，y无法取到最大值与最小值， ∴关于x的取值范围一定不包含对称轴， ①当n≤2时，n﹣2＜x＜n在对称轴的左侧， ∵二次函数开口向上， ∴x＝n﹣2时，y有最大值，x＝n时，y有最小值， 由题意可知：，解得：n＝1， 故n＝1， ②当n﹣2≥2时，n﹣2＜x＜n在对称轴的右侧， ∵二次函数开口向上， ∴x＝n﹣2时，y有最小值，x＝n时，y有最大值， 由题意可知：，此时n无解， 故不符合题意， ∴n＝1． 31．在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于C点，设抛物线的对称轴为直线l，点M为抛物线上一点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，点M在直线l右侧，且点M的纵坐标大于﹣3，连接MC，过点M作MN⊥CM交直线l于点N，若tan∠MCN，求点M的坐标． （3）如图2，连接AC，BC，若M点在抛物线上B，C两点之间，过点M作AC的平行线交BC于点P，求PM最大值及此时M点的坐标． 【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3； （2）点M坐标为（，）； （3）PM最大值为，M（，）． 【解答】解：（1）把A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝ax2+bx﹣3得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3； （2）过点M作 ED∥y轴，过点C作 CD⊥DE 于点D，过点N作NE⊥DE于点E，如图所示： ∵CM⊥MN， ∴∠CMN＝90°， ∵∠CMN＝∠NEM＝∠CDM＝90°， ∴∠DCM+∠CMD＝∠CMD+∠NME＝90°， ∴∠DCM＝∠NME， ∴△CDM∽△MEN， ∴， 设点M的坐标为（m，m2﹣2m﹣3）， 在y＝x2﹣2x﹣3中，令x＝0得y＝﹣3， ∴C（0，﹣3）， ∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4， ∴物线的对称轴直线为x＝1， ∴DM＝m2﹣2m﹣3﹣（﹣3）＝m2﹣2m，NE＝m﹣1， ∵tan∠MCN， ∴， ∴， 解得：m1（此时点M的纵坐标大于﹣3，舍去），m2， ∴点M坐标为（，）； （3）过点M作 MH∥y轴交BC于点H，作 PG⊥HM于点G，如图： ∵OC＝OB＝3， ∴∠OCB＝∠OBC＝45°， ∵MH∥y轴， ∴∠PHG＝∠OCB＝45°， ∵AC∥PM， ∴∠ACP＝∠CPM， ∴∠ACO+∠OCB＝∠PHG+∠PMH， ∴∠ACO＝∠PMH， ∴tan∠PMH＝tan∠ACO， ∴， ∴GM＝3PG， 又∵∠PHG＝45°， ∴PG＝HG， ∴HM＝HG+GM＝4PG， ∴PMPG， ∴， ∴PMHM， 设点M（m，m2﹣2m﹣3）， 由B（3，0）C（0，﹣3）得直线BC解析式为y＝x﹣3， ∴H（m，m﹣3）， ∴HM＝m﹣3﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣m2+3m， ∴PM（﹣m2+3m）（m）2， ∵， ∴当m时，PM有最大值，最大值为， 此时M（，）． 32．如图，在平面直角坐标系xOy中，点M为抛物线y＝ax2+bx+4的顶点，已知该抛物线与x轴交于A（﹣1，0），B（4，0）两点． （1）求抛物线的表达式及顶点M的坐标． （2）当1≤x≤6时，求二次函数y＝ax2+bx+4的最大值与最小值的差． （3）点D（3，m）是抛物线上一点，作直线AD，若点P是x轴上方抛物线上的点（不与点A，B，D重合），设点P的横坐标为n，过点P作PQ∥y轴，交直线AD于点Q，当线段PQ的长随n的增大而增大时，请直接写出n的取值范围． 【答案】（1）y＝﹣x2+3x+4，顶点M坐标为； （2）； （3）﹣1＜n≤1或3＜n＜4． 【解答】解：（1）∵点A（﹣1，0），B（4，0）是抛物线y＝ax2+bx+4上的点， ∴， 解得， ∴抛物线的表达式为y＝﹣x2+3x+4． ∵， ∴抛物线顶点M的坐标为． （2）∵， ∴函数y＝﹣x2+3x+4的对称轴为直线，开口向下， ∴当1≤x≤6时，在处，y取得最大值； 在x＝6处，y取得最小值﹣62+3×6+4＝﹣14． ∴当1≤x≤6时，二次函数y＝﹣x2+3x+4的最大值与最小值的差为． （3）∵点D（3，m）是抛物线上一点， ∴m＝﹣9+9+4＝4，则D（3，4）， 设直线AD的表达式为y＝kx+b， ∵点A（﹣1，0），D（3，4）， ∴， 解得， 直线AD的表达式为y＝x+1， 设点P（n，﹣n2+3n+4）（1＜n＜4且n≠3），则点Q（n，n+1）． 当点P在点Q的下方，即3＜n＜4时， PQ＝n+1﹣（﹣n2+3n+4）＝n2﹣2n﹣3＝（n﹣1）2﹣4， ∴3＜n＜4时，线段PQ的长随n的增大而增大； 当点P在点Q的上方时，﹣1＜n＜3， PQ＝﹣n2+3n+4﹣（n+1）＝﹣n2+2n+3＝﹣（n﹣1）2+4， ∴当﹣1＜n≤1时，线段PQ的长随n的增大而增大． 综上所述，当线段PQ的长随n的增大而增大时，n的取值范围为﹣1＜n≤1或3＜n＜4． 33．抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0）（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点P是抛物线上一点，点P的横坐标为m，PM∥y轴，交直线BC于点M． （1）求a，b的值； （2）如图，若点P在第一象限，当线段PM长度最大时，求m的值； （3）点Q是y轴右侧抛物线上一点，点Q的横坐标为m+2，过点Q作y轴的平行线交直线BC于点N．设以点P，M，N，Q为顶点的四边形面积记为S． ①直接写出S关于m的函数关系式； ②直接写出当S随m的增大而增大时m的取值范围． 【答案】（1）； （2）； （3）①S关于m的函数关系式为； ②当S随m的增大而增大时m的取值范围为或1＜m＜3或m＞3． 【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0）（点A在点B的左侧），将点A，点B的坐标分别代入得： ， 解得：； （2）由（1）得抛物线表达式为y＝﹣x2+2x+3， ∵抛物线y＝﹣x2+2x+3与y轴交于点C， 当x＝0时，得：y＝3， ∴C（0，3）， 设直线BC表达式为y＝kx+b，将点B、点C的坐标分别代入得： ， 解得：， ∴直线BC表达式为y＝﹣x+3， ∵点P是抛物线上一点，点P的横坐标为m，PM∥y轴，交直线BC于点M， ∴P（m，﹣m2+2m+3），M（m，﹣m+3）， ∴， ∵﹣1＜0，0＜m＜3， ∴当时，PM取得最大值； （3）①S关于m的函数关系式为；理由如下： ∵xQ＝m+2， ∴， ∴Q（m+2，﹣m2﹣2m+3）， ∴N（m，﹣m﹣2+3），即：N（m，﹣m+1）， 当点Q在y轴右侧时，m+2＞0，即：m＞﹣2， ∴当﹣2＜m＜0时，此时P在M下方，Q在N上方，如图1， ∴PM＝﹣m+3﹣（﹣m2+2m+3）＝m2﹣3m，QN＝﹣m2﹣2m+3﹣（﹣m+1）＝﹣m2﹣m+2， 此时高为：|xQ﹣xP|＝2， ∴； 当0＜m＜1时，点P，Q都在MN上方，如图2， 此时PM＝﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m，QN＝﹣m2﹣2m+3﹣（﹣m+1）＝﹣m2﹣m+2， 此时高为：|xQ﹣xP|＝2， ∴； 当1＜m＜3时，P在M上方，Q在N下方，如图3， 此时PM＝﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m，QN＝﹣m+1﹣（﹣m2﹣2m+3）＝m2+m﹣2， 此时高为：|xQ﹣xP|＝2， ∴； 当m＞3时，P，Q都在MN下方，如图4， 此时PM＝﹣m+3﹣（﹣m2+2m+3）＝m2﹣3m，QN＝﹣m+1﹣（﹣m2﹣2m+3）＝m2+m﹣2， 此时高为：|xQ﹣xP|＝2， ∴， 综上所述，S关于m的函数关系式为； ②当S随m的增大而增大时m的取值范围为或1＜m＜3或m＞3．理由如下： 由上可得：当﹣2＜m＜0时，S＝﹣4m+2， ∵﹣4＜0， ∴y随着x的增大而减小； 当0＜m＜1时，S＝﹣2m2+2m+2， 而对称轴为直线，抛物线开口向下， ∴当时，y随着x的增大而增大；当时，y随着x的增大而减小； 当1＜m＜3时，S＝4m﹣2， ∵4＞0， ∴y随着x的增大而增大； 当m＞3时，S＝2m2﹣2m﹣2， ∵对称轴为直线，抛物线开口向上，， ∴y随着x的增大而增大； 综上所述，当S随m的增大而增大时m的取值范围为或1＜m＜3或m＞3． 学科网（北京）股份有限公司 $