5.3 二次函数的应用课时1 课件 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦“用待定系数法确定二次函数表达式”，通过推铅球运动情境导入，引导学生从顶点坐标等条件出发，逐步学习顶点式、一般式、交点式的应用，构建从具体实例到抽象方法的学习支架。 其亮点在于以推铅球、投篮等生活实例培养数学眼光，通过分类型教学（顶点式、一般式、交点式）发展数学思维中的推理能力，用表格归纳适用条件强化数学语言表达。丰富例题与练习帮助学生建立模型意识，系统小结便于教师高效教学，提升学生解决实际问题的能力。

5.3 二次函数的应用课时1 第五章 二次函数 九上数学北师 1.会用待定系数法确定二次函数的表达式。 2.能根据给出的条件恰当地选取二次函数表达式的类型，并求出二次函数表达式。 学习目标 2 一名学生推铅球时，铅球运动的高度y(单位：m)是向前运动的水平距离x(单位：m)的二次函数，它们之间的关系如图所示。 课堂导入 3 知识点1 利用待定系数法确定二次函数的表达式 问题 一名学生推铅球时，铅球运动的高度y(单位：m)是向前运动的水平距离x(单位：m)的二次函数，它们之间的关系如图所示，其中(4，3)是图象的顶点，你能求出这个二次函数的表达式吗? 思考：应该如何假设二次函数的表达式？ 新知讲解 知识点1 利用待定系数法确定二次函数的表达式 问题 一名学生推铅球时，铅球运动的高度y(单位：m)是向前运动的水平距离x(单位：m)的二次函数，它们之间的关系如图所示，其中(4，3)是图象的顶点，你能求出这个二次函数的表达式吗? y是x的二次函数，且已知顶点坐标，可以设顶点式y=a(x-h)2+k (a ≠0)，图象过点(10，0)，将其代入表达式即可求出待定系数a。 新知讲解 知识点1 利用待定系数法确定二次函数的表达式 问题 一名学生推铅球时，铅球运动的高度y(单位：m)是向前运动的水平距离x(单位：m)的二次函数，它们之间的关系如图所示，其中(4，3)是图象的顶点，你能求出这个二次函数的表达式吗? 由已知图象的顶点为(4，3)，可设这个二次函数的 表达式为y=a(x-4)²+3， 把(10，0)代入，得a×(10-4)²+3=0，解得a=-。 所以这个二次函数的表达式为y=-(x-4)²+3，即y=-x²+x+。 新知讲解 如图，某球员在罚球线处投篮，球从点A处出手，恰好经过篮圈中心B。已知球出手的位置A到地面的距离为2.25m，到篮圈中心B的水平距离为4m，篮圈中心B到地面的距离为3.05m。建立如图所示的平面直角坐标系后，这位球员所投球的运动路线是抛物线y=ax²+c(-3≤x≤1)。求这条抛物线的表达式和球运动的最大高度。 例1 知识点1 利用待定系数法确定二次函数的表达式 O y/m x/m B A 3.05 3 4 2.25 新知讲解 解：由题意可知，抛物线经过点A(-3，2.25)，B(1，3.05)。 将这两个点的坐标分别代入表达式y=ax²+c，得 解这个方程组，得 所以，这条抛物线的表达式为 y=-0.1x²+3.15。 当x=0时，y取得最大值，y最大=3.15。 因此，球运动的最大高度是3.15m。 知识点1 利用待定系数法确定二次函数的表达式 O y/m x/m B A 3.05 3 4 2.25 新知讲解 求二次函数表达式采用的一般方法是待定系数法。 步骤：(1)设二次函数的表达式； (2)根据图象或已知条件列方程(或方程组)； (3)解方程(或方程组)，求出待定系数； (4)写出二次函数的表达式。 知识点1 利用待定系数法确定二次函数的表达式 新知讲解 思考 (1)二次函数的图象与y轴交点的纵坐标为1，且经过点(2，5)和 (-2，13)，求这个二次函数的表达式。 设这个二次函数的表达式为y=ax²+bx+c， 因为二次函数的图象与y轴交点的纵坐标为1， 所以此图象经过点(0，1)。 又因为图象经过点(2，5)和(-2，13)， 所以把(0， 1)，(2，5)，(-2，13)分别代入所设表达式，得 所以这个二次函数的表达式为y=2x²-2x+1。 知识点1 利用待定系数法确定二次函数的表达式 新知讲解 已知三点，求二次函数表达式： 可以将二次函数表达式设为一般式 (y=ax2+bx+c) 。 知识点1 利用待定系数法确定二次函数的表达式 新知讲解 如图所示，二次函数图象经过点(-3，0)，(-1，0)，(0，-3)，试求出这个二次函数的表达式。 解： ∵(-3，0)，(-1，0)是抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点。 所以可设这个二次函数的表达式是y=a(x-x1)(x-x2)。 其中x1、x2为交点的横坐标。因此得y=a(x+3)(x+1)。 再把点(0，-3)代入上式得 a(0+3)(0+1)=-3， 解得 a=-1， ∴所求的二次函数的表达式是y=-(x+3)(x+1)，即y=-x2-4x-3。 x y O 1 2 -1 -2 -3 -4 -1 -2 -3 -4 -5 1 2 知识点1 利用待定系数法确定二次函数的表达式 新知讲解 已知抛物线与x轴的交点，求二次函数表达式： 可以将二次函数表达式设为交点式 ( y=a(x-x1)(x-x2) ) 。 知识点1 利用待定系数法确定二次函数的表达式 新知讲解 思考 (2)确定二次函数的表达式需要几个条件? 表达式 类型 函数表达式 适用条件 一般步骤  一般式    顶点式  交点式 (拓展) y=ax²+bx+c y=a(x-h)²+k  y=a(x-x₁)(x-x₂) 已知抛物线上任意三个点的坐标。 已知抛物线与x轴的两个交点的坐标(x₁，0)，(x₂，0)和抛物线上另一个点的坐标。 已知抛物线的顶点坐标(h，k)和抛物线上一点 (非顶点)的坐标。 ①设：根据已知条件，设出合适的二次函数表达式； ②代：把已知点的坐 标代入，得到关于待定系数的方程(组)； ③解：解方程(组)，求出待定系数的值； ④写：写出二次函数的表达式。 知识点1 利用待定系数法确定二次函数的表达式 新知讲解 根据下列条件，分别求出对应二次函数的表达式。 (1)已知一个二次函数的图象经过(0，0)，(1，-3)，(2，-8)三点。 解：(1)设二次函数的表达式为y=ax²+bx+c。 ∵函数图象经过(0，0)，(1，-3)，(2，-8)三点， ∴ 解得 ∴该二次函数的表达式为y=-x²-2x。 例2 知识点1 利用待定系数法确定二次函数的表达式 新知讲解 根据下列条件，分别求出对应二次函数的表达式。 (2)已知二次函数的图象的顶点坐标为(1，-1)，且经过原点(0，0)。 解：(2)设二次函数的表达式为y=a(x-1)²-1。 ∵函数图象经过原点(0，0)， ∴ a(0-1)²-1=0，解得a=1， ∴该二次函数的表达式为y=(x-1)²-1，即y=x²-2x。 例2 知识点1 利用待定系数法确定二次函数的表达式 新知讲解 根据下列条件，分别求出对应二次函数的表达式。 (3)已知一个二次函数的图象与x轴两交点的横坐标分别为-3，4，且图象经过点(2，8)。 解：(3)设二次函数的表达式为y=a(x+3)(x-4)。 ∵函数图象经过点(2，8)， ∴ a×(2+3)×(2-4)=8，解得a=-， ∴该二次函数的表达式为y=-(x+3)(x-4)， 即y=-x²+x+。 例2 知识点1 利用待定系数法确定二次函数的表达式 新知讲解 1.已知二次函数y＝x2＋bx－2的图象与x轴的一个交点坐标为(1，0)，则该二次函数的表达式为( ) A．y＝x2－2x B．y＝x2＋x－1 C．y＝x2＋x－2 D．y＝x2－x－2 C 随堂练习 2.已知二次函数图象的顶点坐标是(-1，1)，且经过点(1，-3)，求这个二次函数的表达式。 . . 解：设这个二次函数的表达式为y=a(x-h)²+k。 ∵图象的顶点坐标是(-1，1)， ∴y=a(x+1)²+1， 又∵图象过点(1，-3)， ∴ a(1+1)²+1=-3，即4a+1=-3， ∴a=-1， ∴y=-(x+1)²+1=-x²-2x， ∴这个二次函数的表达式为y=-x²-2x。 随堂练习 3.(1)已知二次函数y=x²+bx+c的图象经过点(1，1)和(2，3)，求这个二次函数的表达式； (2)请你更换第(1)题中的部分已知条件，重新编制一道求二次函数y=x²+bx+c表达式的题目，使所求得的二次函数表达式与第(1)题相同。 . . 解：(1)∵二次函数y=x²+bx+c的图象经过(1，1)与 (2，3)两点， ∴ 解得 ∴这个二次函数的表达式为y=x²-x+1。 随堂练习 3.(1)已知二次函数y=x²+bx+c的图象经过点(1，1)和(2，3)，求这个二次函数的表达式； (2)请你更换第(1)题中的部分已知条件，重新编制一道求二次函数y=x²+bx+c表达式的题目，使所求得的二次函数表达式与第(1)题相同。 . . 解：(2)此题答案不唯一。 例如：已知二次函数 y=x²+bx+c的图象过(0，1)和(3，7)两点，求此二次函数的表达式。 再如：已知二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的图象的顶点坐标为(，)，且图象经过点(2，3)， 求此二次函数的表达式。 随堂练习 4.已知二次函数的图象经过(1，0)，(2，0)和(0，2)三点，则该函数的表达式为(　　) A.y＝2x2＋x＋2 B.y＝x2＋3x＋2 C.y＝x2－2x＋3 D.y＝x2－3x＋2 D 随堂练习 5.已知一个二次函数，当x=-3时，函数的最大值为2，且它的图象经过点(1，-14)，则这个二次函数的表达式为 (化为一般形式)。 y=-x2-6x-7 随堂练习 一般式：y=ax²+bx+c (适用于已知抛物线上任意三点坐标) 二次函数的应用 确定二次函数表达式 顶点式：y=a(x-h)²+k (适用于已知顶点坐标) 交点式：y=a(x-x₁)(x-x₂) (适用于已知抛物线与x轴的交点坐标) 课堂小结 $