专题12 图形的位似（重难点讲义）数学新教材北师大版九年级上册

本讲义聚焦初中数学“图形的位似”核心知识点，系统梳理位似图形的定义、位似比及与相似图形的关系，详解位似图形的六大性质、作图步骤，以及平面直角坐标系中的坐标变化规律，构建从概念辨析到性质应用再到坐标变换的完整学习支架。 该资料通过表格对比位似与相似的异同培养推理意识，结合坐标系坐标变换规律发展空间观念，设计9类题型及巩固训练提升应用能力。课中辅助教师系统授课，课后助力学生通过易错点总结和分层训练查漏补缺，强化数学思维与表达。

专题012 图形的位似 1. 了解位似图形、位似中心的概念，理解位似变换是特殊的相似变换； 2. 掌握位似图形的性质，能够利用作位似图形的方法将一个图形放大或缩小； 3. 掌握位似图形坐标的变化规律，会利用这个规律求某些特殊点的坐标； 4. 能运用位似知识解决相关的图形缩放、计算等问题。 1. 核心概念梳理： 位似图形的定义: 如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心。 💡 两种常见表述： 表述一：每组对应点的连线交于一点，对应边互相平行 表述二：每组对应点所在的直线都经过同一点 位似比：位似图形中的相似比又称为位似比。 位似与相似的关系 ⭐ 核心考点: 对比项 位似图形 一般相似图形 形状 完全相同 完全相同 对应角 相等 相等 对应边 成比例 成比例 位置关系 对应点连线交于同一点（有特殊位置要求） 任意摆放（无位置要求） 核心结论： 位似图形一定是相似图形； 相似图形不一定是位似图形； 位似是相似的特殊情况。 ⚠️ 判断两个图形是不是位似图形，需要从两方面考察： 一是这两个图形是相似的； 二是要有特殊的位置关系，即每组对应点所在的直线都经过同一点。 2. 位似图形的性质： 性质 具体内容 性质1 对应点的连线（或所在直线）经过位似中心 性质2 对应点到位似中心的距离之比等于位似比（相似比） 性质3 对应线段平行（或共线），且对应线段之比等于位似比 性质4 对应角相等，对应边之比等于位似比 性质5 周长比等于位似比，面积比等于位似比的平方 性质6 位似图形的对应线段（边、高、中线、角平分线等）的比都等于位似比 💡 与相似三角形性质的统一性：位似图形的周长比、面积比、对应线段比与相似三角形的性质完全一致，区别仅在于位似多了“对应点连线共点”的位置要求。 3. 位似图形的画法: 位似变换的定义: 利用位似图形的性质将一个图形进行放大或缩小的过程叫做位似变换。 画位似图形的步骤: 步骤 操作 ①确定位似中心 在位似图形外、内、边上或顶点上任取一点作为位似中心 ②连线 连接位似中心和能代表原图形的关键点（如多边形的顶点） ③取点 按相似比在连线上（或延长线上）找出对应点 ④连线 顺次连接各对应点，所得图形即为所求 💡 重要结论： 根据一个位似中心可以作出两个关于已知图形一定位似比的位似图形，这两个图形分布在位似中心的两侧，且关于位似中心对称； 一般情况下，画出的位似图形不唯一（一般有两种情形）； 位似中心可以取在多边形外、多边形内、多边形的一边上或顶点上。 4. 平面直角坐标系中的位似变换 ⭐ 重难点 坐标变化规律:在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于 k 或 -k。 即：若原图形上某一点的坐标为 (x, y)，则其位似图形对应点的坐标为 (kx, ky) 或 (-kx, -ky)。 💡 理解关键： 乘以 k（k > 0）：位似图形与原图形在位似中心的同侧； 乘以 -k（即 k < 0 的情况）：位似图形与原图形在位似中心的异侧。 四种变换的坐标变化对比: 变换类型 大小 形状 坐标变化规律 平移 不变 不变 横坐标或纵坐标加上（减去）平移单位 轴对称 不变 不变 关于x轴或y轴对称，坐标取相反数 旋转 不变 不变 绕原点旋转180°，横纵坐标均取相反数 位似 改变（放大/缩小） 不变 横纵坐标同乘一个数k（k≠0） 💡 核心区别：平移、轴对称、旋转是全等变换（大小不变），位似是相似变换（大小改变）。 5. 易错点总结 易错点 说明与预防 ① 混淆位似与相似 位似图形一定相似，但相似图形不一定位似。位似比相似多了一个“位置”的要求 ② 忽略“对应点连线共点” 判断位似图形时，必须检查所有对应点的连线是否都经过同一点，不能只看部分 ③ 坐标变换时符号搞错 以原点为位似中心，相似比为k时，坐标为 (kx, ky) 或 (-kx, -ky)，注意符号和同乘 ④ 位似中心位置考虑不全 位似中心可以在图形外部、内部、边上或顶点上，不限于图形外部 ⑤ 画位似图形时漏掉另一种情况 一般情况下，位似图形有两种（在位似中心两侧各一种），不能只画一种 ⑥ 面积比与相似比混淆 面积比 = 相似比的平方，不是相似比本身 题型01位似图形相关概念辨析 【典例】如图， 与是以O点为位似中心，位似比为2的位似图形，下列说法错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是位似变换，根据位似图形的性质，逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：∵与是以O点为位似中心，位似比为2的位似图形， ∴，，， 故选项A，C，D正确，选项B错误，符合题意 故选：B． 【变式】如图，图形甲与图形乙是位似图形，是位似中心，位似比为，点，的对应点分别为点，．若，则的长为（     ） A．6 B．9 C．10 D．25 【答案】B 【分析】根据位似图形的性质，位似图形的对应线段的比等于位似比，据此列出比例式计算即可 【详解】解：∵图形甲与图形乙是位似图形，位似比为， ∴， ∵， ∴， ∴． 题型02位似图形的识别 【典例】下面四个图中，均与相似，且对应点交于一点；则与成位似图形有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】如果两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线所在的直线相交于一点，对应边互相平行（或共线），像这样的两个图形叫做位似图形． 【详解】解：根据位似图形的定义可知，图1，图2，图4中的与成位似图形， 图3中、不平行，故与不成位似图形， ∴与成位似图形有3个． 【变式】在平面直角坐标系中，横、纵坐标均为整数的点称为整点，如图，，的顶点均为整点． (1)可经过________（填“平移”、“轴对称”、“旋转”、“位似”其中一种）的图形变化方式得到，直接写出的值； (2)在图中画出关于原点对称的；若P，分别为AC，的中点，连接，，直接写出的值． 【答案】(1)位似， (2)作图见解析， 【分析】（1）观察到与对应顶点连线交于一点，且对应边互相平行，符合“位似变换”的特征．利用勾股定理分别计算和的长度，再求其比值． （2）根据关于原点对称的点的坐标特征，分别找到、、关于原点的对称点、、，依次连接即可；利用中心对称性质，得出中点、和O三点共线．然后利用相似比的性质即可解答． 【详解】（1）如图，与中，连线、、交于一点，且对应边与，与，与互相平行，符合位似变换的特征． 设每个小方格边长为1，利用勾股定理计算： 因此，． （2）解：如图即为所求； ∵关于原点对称的， ∴， ∵与位似，位似中心为O， ∴与位似，位似中心为O， ∴， ∵P是中点，是中点， ∴P，在过原点O的同一条直线上 ∴ ∵， ∴， ∴． 题型03判断位似中心 【典例】如图，在正方形网格图中，与是位似图形，且和的顶点均在格点上，则位似中心是（     ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】D 【分析】本题考查了位似变换，根据位似变换的定义，找到对应顶点连线的交点即为位似中心，由此即可得解，熟练掌握位似变换的定义是解此题的关键． 【详解】解：如图，连接、，交点即为位似中心， ， 由图形可得位似中心是点， 故选：D． 【变式】如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为、、． (1)以原点O为位似中心，在y轴的右侧画出的一个位似，使它与的相似比为； (2)将向左平移2个单位，再向上平移1个单位后的，判断与，能否是关于某一点M为位似中心的位似图形？若是，请在图中画出位似中心M，并写出点M的坐标． 【答案】(1) 所作如图所示： (2)是，如图画出， M的坐标为 【分析】本题主要考查了作图位似变换，平移变换，熟练掌握位似变换的性质是解题的关键． （1）根据位似变换的性质找出对应点，再顺次连接对应点，即可解题； （2）根据平移变换的性质画出，再根据位似中心的性质求解，即可解题． 【详解】（1）略 （2）解：与是关于某一点M为位似中心的位似图形，如图，M的坐标为． 题型04求两个位似图形的相似比 【典例】如图，与是以点O为位似中心的位似图形，若，则与的面积比是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵与是以点O为位似中心的位似图形，且， ∴，， ∴． 【变式】如图，以点为位似中心，把放大为原图形的倍得到，以下说法中错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】A、由位似图形可知， ， ，故选项A正确，不符合题目要求； B、由位似图形可知，故选项B正确，不符合题目要求； C、由位似图形可知，相似比为， ， 、、三点共线， ，故选项C错误，符合题目要求； D、由位似图形可知，相似比为， ，故选项D正确，不符合题目要求． 题型05画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形 【典例】已知：在坐标平面内，三个顶点的坐标分别为，，． (1)在图中画出向下平移个单位，再向左平移个单位得到的； (2)在图中作出绕点顺时针方向旋转后得到的； (3)在图中作出以点为位似中心，把各边放大倍后得到的． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）略； （2）略； （3）略． 【变式】在边长为的正方形的网格中，的顶点均在格点上（网格线的交点）． (1)以点为位似中心，在网格区域内将放大倍得到（的对应点是，的对应点是）． (2)求的面积． (3)用无刻度的直尺在线段上找一点，使得．（保留画图痕迹） 【答案】(1)如图所示，即为所求； (2) (3)如图所示，点即为所求． 【分析】（1）根据位似比，利用勾股定理计算长度，然后画图即可； （2）分割法计算的面积即可； （3）过点、作，且满足，，根据相似三角形的性质即可得解． 【详解】（1）略 （2）解：． （3）解：过点、作，且满足，，连接，与的交点即为所求的点， ， ． 题型06求位似图形的对应坐标 【典例】如图，以点为位似中心，将按相似比缩小，得到，则点的对应点D的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用平移，位似比的意义，解答即可； 【详解】解：点为位似中心，将按相似比缩小，得到， 将点向下平移１个单位长度，得到位似中心为，点的对应点为，按相似比缩小，得到对应点， 再将点向上平移１个单位长度就得到点的对应点D的坐标为； 【变式】在平面直角坐标系中，的顶点A的坐标为，若以原点O为位似中心，画的位似图形，使与的相似比为，则点的坐标为（     ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】位似图形可位于位似中心的同侧或异侧，需分两种情况计算．以原点为位似中心时，若新位似图形与原图形的相似比为，原图形上点对应点坐标为或． 【详解】解：∵以原点为位似中心，与的相似比为，点坐标为，位似图形有两种位置情况， ∴ 当与在原点同侧时，点的坐标为； 当与在原点异侧时，点的坐标为． ∴点的坐标为或． 题型07在坐标系中求两个位似图形的相似比、周长比或面积比 【典例】如图，以点为位似中心，作的位似图形，若点B的横坐标是，点B的对应点的横坐标是3，则与的周长之比为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据对应点到位似中心的距离之比等于位似比，位似图形的周长比等于位似比，即可得出结果． 【详解】解：∵点为位似中心，点的横坐标是，点的对应点的横坐标是3， ∴点到位似中心点的水平距离为，点到位似中心点的水平距离为， ∴与的位似比为， ∴与的周长之比为． 【变式】如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，点为位似中心，满足，已知，则的长度为（     ） A．15 B．10 C．40 D．45 【答案】B 【分析】根据位似图形的性质可知，利用相似三角形面积比等于相似比的平方求出相似比，进而求出的长，最后根据计算即可． 【详解】解：与是位似图形， ， ， 相似比为，即， ， ， ． 故选：B 题型08在坐标系中画位似图形 【典例】如图，在边长为1的小正方形网格中，的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列任务． (1)作图：以点C为旋转中心，将逆时针旋转得到． (2)以点O为位似中心，在网格内作的位似图形，使与的位似比为． (3)的面积为______． 【答案】(1)解：如图所示，即为所求作的图形． (2)解：如图所示，即为所求作的图形． (3)8 【分析】（1）根据旋转作图的步骤，逐步作图即可； （2）根据位似作图的步骤，逐步作图即可； （3）根据割补法求三角形的面积进行计算求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：∴． 【变式】如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为、、． (1)以原点为位似中心，在轴的右侧画出的一个位似，使它与的相似比为（的对应点分别为） (2)在（1）的条件下，直接写出点的坐标，并求出的面积． 【答案】(1)解：如图，即为所求． (2)，的面积为． 【分析】（1）直接利用位似比得出对应点位置，再顺次连接即可画出图形； （2）根据（1）中作图，即可写出点的坐标，用长方形减去周围三个小直角三角形的面积即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）得点； ． 题型09在坐标系中画位似中心 【典例】如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为． (1)以原点为位似中心，在轴的右侧画出的一个位似，使它与的位似比为； (2)画出将向左平移2个单位，再向上平移1个单位后得到的； (3)判断和是位似图形吗？若是，请在图中标出位似中心点，并写出点的坐标． 【答案】(1)解：如图为所求： (2)解：如图为所求： (3)和是位似图形； 点M的坐标为． 【分析】（1）根据位似变换的性质找出对应点即可求解． （2）根据平移变换的性质找出对应点即可求解． （3）根据位似图形的定义即可判断，连接对应点的交点即为位似中心点，写出坐标即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：和是位似图形；图略， 由图可得点M的坐标为． 【变式】如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为、、． (1)画出将向左平移3个单位，再向上平移1个单位后的； (2)以原点为位似中心，相似比为2，在轴的左侧，画出将放大后的； (3)已知与是关于某一点为位似中心的位似图形，请直接写出点的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据平移规律，画图即可． （2）根据位似图形的性质画图即可． （3）作直线，交于点P，点P即为位似中心． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求； （3）解：如图，作直线，交于点P，点P即为位似中心， ，， 直线的解析式为， 设直线的解析式为， 将代入，得：， 解得， 直线的解析式为， 将与联立，得：， 解得， 点的坐标为． 【巩固训练】 1．如图，三角板（）在手电筒（点）发出的光源的照射下形成了投影，三角板与其投影的三角形（）是位似图形，若，则三角板的面积与其投影的三角形的面积比是（     ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据位似图形的性质可知，位似比等于对应点到位似中心的距离之比，相似三角形的面积比等于相似比的平方，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵三角板与其投影的三角形是位似图形， ∴，且相似比为， ∴三角板的面积与其投影的三角形的面积比是． 2．如图，中，A、B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是．以点C为位似中心，在x轴的下方作的位似图形，并把的边长放大到原来的2倍．点B的坐标是，则点B的对应点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点分别作轴于点，轴于点，证明， 然后根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：过点分别作轴于点，轴于点，   ∴， ∵以点C为位似中心，在x轴的下方作的位似图形，且把的边长放大到原来的2倍， ∴点在一条直线上， ， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， 又∵点B的坐标是，点的坐标是， ∴， ， ∴，， ∴点的横坐标为，纵坐标为， ∴点的坐标是． 3．如图，以点O为位似中心，把放大为原图形的2倍得到，以下说法中错误的是（    ） A． B．点C、点O、点三点在同一直线上 C． D． 【答案】C 【分析】根据位似图形的概念、相似三角形的性质判断即可． 【详解】解：A、以点O为位似中心，把放大为原图形的2倍得到， 则，本选项说法正确，不符合题意； B、与是位似图形， 三点在同一直线上，本选项说法正确，不符合题意； C、，相似比为， ， ，本选项说法错误，符合题意； D、与是位似图形， ，本选项说法正确，不符合题意． 4．如图所示格点图中，每个小正方形的边长均为1，的三个顶点均在格点上，以原点O为位似中心，相似比为，把缩小，则点C的对应点的坐标为（     ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】分两种情况：点C的对应点在第一象限和点C的对应点在第三象限，根据所给的相似比求解即可． 【详解】解：∵，以原点O为位似中心，相似比为，把缩小， ∴当点C的对应点在第一象限时，点的坐标为，即， 当点C的对应点在第三象限时，点的坐标为，即， 综上所述，点C的对应点的坐标为或． 5．如图，已知与位似，点A，E，B，D在同一直线上，则其位似中心在（     ） A．线段上 B．线段上 C．线段上 D．线段上 【答案】B 【分析】根据位似图形的性质，位似中心是对应顶点连线的交点. 观察图形可知两个三角形位于直线异侧，属于反向位似，确定对应点后即可判断位似中心的位置． 【详解】解：∵与 位似， ∴对应顶点的连线相交于一点，该点即为位似中心， 由图可知，与分别位于直线的两侧，属于反向位似， ∴点与点是对应点，点与点是对应点，点与点是对应点， ∵反向位似图形的位似中心位于对应点之间， ∴位似中心在线段上，且在线段上， ∵点在同一直线上，且顺序为， ∴位似中心在线段上． 6．如图，四边形与四边形是以原点为位似中心的位似图形．若，，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据对应点坐标求出位似比，再利用对应边之比等于位似比求解即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵四边形与四边形是以原点为位似中心的位似图形， ∴，即， ∴． 7．如图，中，A、两个顶点在轴的上方，点的坐标是，以点为位似中心，在轴的下方作的位似图形，并把的边长放大到原来的倍，设点的横坐标是，则点的对应点的横坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先将和平移，使得位似中心C与原点重合，利用位似变换公式求出此时点B的位似对应点坐标，再将和向右平移使得点C回到，此时点的横坐标可求． 【详解】解： 先将和向左平移2个单位，使得位似中心C与原点重合， 所以可知点B的横坐标变为， 在位似比不变的条件下，此时点B的位似后的对应点的横坐标为，将和向右平移2个单位，使得位似中心C回到,此时点B的位似后的对应点的横坐标为：． 8．如图，四边形与四边形位似，其位似中心为点O，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意求出，根据位似图形的概念得到，进而得出，根据相似三角形的性质计算即可． 【详解】解：∵， ， ∵四边形与四边形位似，其位似中心为点， ， ， ， ． 9．如图与是位似图形，位似中心为，，下列结论不正确的有（   ） A．与的相似比为 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据位似比等于对应点到位似中心的距离之比求出相似比，再结合相似三角形的性质逐一判断即可求解． 【详解】解：与是位似图形，位似中心为 ，， ，且相似比， 故选项正确，不符合题意； 与位似， ， ， ，故选项正确，不符合题意； ，相似比为， ，故选项正确，不符合题意； ， ， 故选项错误，符合题意． 10．如图，五边形与五边形是位似图形，为位似中心．若，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据位似图形的性质得到，，，且三点共线，三点共线，证明推出，同理可证明，得到，据此逐一判断即可． 【详解】解：∵五边形与五边形是位似图形， ∴，，，且三点共线，三点共线， ∴，， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， 同理可证明， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四个选项中，A、B、C选项错误，不符合题意，只有D选项中的结论错误，符合题意． 11．如图，与是以点为位似中心的位似图形，若，且的面积是4，则的面积是_______． 【答案】 9 【分析】根据位似图形的性质得到，由求出位似比，再根据相似三角形面积的比等于相似比的平方计算即可． 【详解】解： ， ， 与是以点为位似中心的位似图形， ，， ∴， ∴， ， 的面积是4， ， ． 12．如图，在平面直角坐标系中，已知，，以原点为位似中心，将缩小为原来的，得到，则点的对应点的坐标为________． 【答案】或 【分析】根据题意可得位似比为或，用点A的横纵坐标乘以对应的位似比即可求出点的坐标． 【详解】解：∵，以原点为位似中心，将缩小为原来的，得到， ∴位似比为或， 当位似比为时，则点的对应点的坐标为，即， 当位似比为时，则点的对应点的坐标为，即， 综上所述，点的对应点的坐标为或． 13．如图，在中，三个顶点的坐标分别是．以点C为位似中心，在x轴下方作的位似图形，并把的边长放大为原来的2倍，那么点的坐标为_________． 【答案】 【分析】建立以C为坐标原点的新平面直角坐标系，根据位似变换的性质解答即可． 【详解】解：以C为坐标原点建立平面直角坐标系，如图， 则点A在新坐标系中的坐标为，即点A向右平移1个单位，向上平移一个单位， 与以点C为位似中心，在位似中心异侧把的边长放大为原来的2倍， 点A在新坐标系中的横、纵坐标都乘， 点在新坐标系中的坐标为， 则点向左平移1个单位，向下平移一个单位后的坐标为， 即点在原坐标系中的坐标为． 14．如图，与位似，点O为位似中心，点B的坐标为，点E的坐标为，若的周长为5，则的周长是__________． 【答案】10 【分析】由题意得，，可得与的相似比为，则与的周长比为，进而可得答案． 【详解】解：∵点B的坐标为，点E的坐标为， ∴，， ∴， ∵与位似，点O为位似中心， ∴与的相似比为， ∴与的周长比为， ∵的周长为5， ∴的周长是10． 15．如图，五边形，是以坐标原点O为位似中心的位似图形，已知点A，的坐标分别为，．若的长为10，则的长为______． 【答案】16 【分析】根据位似图形的性质得到，再证明即可． 【详解】解：∵五边形，是以坐标原点O为位似中心的位似图形，已知点A，的坐标分别为，( ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴． 16．一个数学游戏规则是：如图，在以同一点为位似中心的三个位似三角形的顶点处填入9个不同的数，使每个三角形的三个顶点与同一直线上的三个顶点的三个数之和均相等，则______． 【答案】1 【分析】此题考查了二元一次方程组和零指数幂等知识，根据题意得到关于x，y的方程组，求出，根据零指数幂即可得到答案． 【详解】解：由题意可得，， 解得，， ∴． 17．如图，点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为． (1)求出的面积； (2)请以点为位似中心作一个与位似的，使得的面积为12．（作出一个符合题意的图形即可） 【答案】(1)3 (2)如图：即为所求（画出其中一个即可）． 【分析】（1）直接利用三角形的面积公式计算即可； （2）先利用与的面积比得到相似比，然后利用以原点为位似中心的对应点的坐标特征，把点A、B、C的横纵坐标都乘以2或得到点，再顺次连接即可． 【详解】（1）解：由图可得：． （2）解：， ∴与的相似比为：， ∵点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为 ∴点的坐标为或，点的坐标为或，点的坐标为或， 如图，为所求． 18．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，．请解答下列问题： (1)以原点O为位似中心，在第一象限内画出与位似的图形，使与的相似比为； (2)直接写出点坐标 ；若线段上点D的坐标为，则其对应点的坐标 ； (3)求的面积． 【答案】(1)如图，即为所求． (2)； (3)14 【分析】（1）连接、、，并将其延长到原来的2倍，进而连接即可得到； （2）由图即可得点的坐标，根据位似的性质，结合点D的坐标即可得到点的坐标； （3）利用割补法即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：由图可得，点坐标为， 由位似的性质可得，线段上点的对应点的坐标为． （3）解：的面积为． 19．在边长为1的正方形的网格中，的顶点均为格点（网格线的交点）．（要求使用无刻度的直尺画图） (1)以点为位似中心，在网格区域内将放大2倍得到； (2)在（1）的条件下，与的周长之比为_________； (3)在线段上画一个点，使，并说明理由． 【答案】(1)如图，即为所求 (2) (3)如图，点即为所求，理由如下： 取格点E、F，连接，交于点M， ∵， ∴， ∴， ∴点即为所求． 【分析】（1）将、分别延长一倍得到、，再连接即可； （2）根据题意得与的相似比为，再根据周长比等于相似比即可得解； （3）如图，取格点E、F，利用网格构造相似三角形，根据相似三角形的对应边成比例求解． 【详解】（1）解：略 （2）解：∵将放大2倍得到， ∴与的相似比为， ∴与的周长之比为； （3）解：略 20．如图，四边形与四边形是位似图形，点是位似中心，， ，求的长． 【答案】 【分析】四边形与四边形位似，可得四边形四边形，，，进而可得答案． 【详解】解：四边形与四边形位似， 四边形四边形，， ， ， ，， ，解得， 即的长是． 21．如图，在由边长为个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，的顶点均为格点（网格线的交点）．已知点和的坐标分别为和． (1)以点为位似中心，将放大得到，使得，请在所给的网格图中画出； (2)的面积为______． 【答案】(1) 如图，即为所求； (2)16 【分析】（1）利用位似图形的性质，连接，并延长至，使，同理得到点，的坐标，然后依次连接即可； （2）用的外接矩形面积减去其周围三个三角形的面积即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：的面积为：． 22．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． (1)以点为位似中心，在点的上方画出，使与位似，且位似比为（，的对应点分别是，）； (2)以点为旋转中心，将逆时针旋转得，画出（，，的对应点分别是，，）； (3)在（2）的条件下，则扫过的面积是________． 【答案】(1) 解：如图所示，即为所求： (2) 解：如图所示，即为所求： (3) 【分析】（1）根据位似的性质作图即可； （2）根据旋转的性质作图即可； （3）根据勾股定理求出，再利用扇形的面积公式即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：， ∴扫过的面积． 【强化训练】 1．如图，，，，…，是以点O为位似中心的位似图形，已知，的面积为1，则的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据位似比得出相邻两个三角形的相似比，进而得出与的相似比，利用面积比等于相似比的平方求解即可． 【详解】解：是以点为位似中心的位似图形， ， ， ， 与的相似比为，与的相似比为，…，与的相似比为， 与的相似比为， ， ， ， 当时，． 2．如图，正方形和正方形是位似形，点的坐标为，点的坐标为，则这两个正方形位似中心的坐标是（   ）． A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】位似图形的对应边互相平行，对应点的连线所在的直线交于位似中心． 根据点的对应点分类讨论，利用待定系数法求出直线的函数解析式，联立求出交点坐标，即位似中心的坐标． 【详解】解： ①当点的对应点为点时，如图， ∵四边形是正方形， 又∵点C的坐标为， ∴， ∴点的坐标为， 设直线的解析式为， 将，代入，得， ， 解得， ∴直线的解析式为， 同理直线的解析式为， 联立直线与直线，得， ， 解得， ∴位似中心的坐标为； ②当点的对应点为点时，如图， 对应点的连线所在的直线未交于同一个点，不满足位似形的性质，故舍去； ③当点的对应点为点时，如图， 设直线的解析式为， 将，代入，得， ， 解得， ∴直线的解析式为， 将代入，得， ， 解得， ∴位似中心的坐标为； ④当点的对应点为点时，如图， 对应点的连线所在的直线未交于同一个点，不满足位似形的性质，故舍去； 综上所述，位似中心的坐标为或 3．如图，矩形与矩形是位似图形，点P是位似中心，若点B的坐标为，点E的横坐标为，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是位似图形的概念、相似三角形的性质，根据位似图形的概念得出，是解题的关键．根据位似图形的概念得到，，进而证明，根据相似三角形的性质求出，再进一步分析即可得到答案． 【详解】解：∵四边形为矩形，， ∴， ∵矩形与矩形是位似图形，点E 的横坐标为， ∴，，， ∴， ∴，， ∴， 解得：，， ∴，，故B错误，C正确， ∴， ∴，故A正确， ∴，故D正确． 故选：B． 4．如图，，，，，是以点为位似中心的位似图形，已知，的面积为1，则的面积是_________． 【答案】 【分析】根据位似三角形的性质及相似三角形的性质可进行求解． 【详解】解：由位似可知：， ∵， ∴， ∴， ∵的面积为1， ∴， 同理可得：，， ∴， ∴的面积是． 5．如图，在平行四边形中，以点A为位似中心，作平行四边形的位似平行四边形，且与原图形的相似比为，连接，，若平行四边形的面积为，则与的面积之和为_______． 【答案】6 【详解】解：连接， ∵平行四边形 与平行四边形是以点A 为位似中心的位似图形， 且相似比为， ∴A，G，C三点在同一条直线上，，，， ∵平行四边形 的面积为， ∴ 和 的面积都是， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，同理可得 ， ∴与的面积之和为， 故答案为． 6．如图，O是内任意一点，D、E、F分别为、、上的点，且与是位似三角形，位似中心为O．若，则与的面积比为__________． 【答案】 【分析】本题主要考查位似图形的性质，掌握“位似图形的面积比等于位似比的平方”是解题的关键；先计算位似比再根据位似图形的面积比等于位似比的平方进行计算即可． 【详解】∵ ， ∴， ∴． ∵与是位似三角形，位似中心为O， ∴，且相似比为． ∵相似三角形的面积比等于相似比的平方， ∴与的面积比为． 7．已知正方形的边长为4，点P是该正方形边上一点，以P为位似中心，作正方形正方形ABCD，相似比为，则点与点B的最大距离为___________；连接，若的周长为，则的面积为___________． 【答案】 / 【分析】本题考查了位似，正确作出位似图形，理解位似相似性质是解题的关键， ①依据题意，根据对角线最长，当位似中心P与点D重合时，点最远，此时与点B的距离也是最大的，根据勾股定理计算即可； ②根据正方形的边长为4，点P是该正方形边上一点，以P为位似中心，作正方形正方形ABCD，相似比为，得到正方形得边长为2，得到，设，则，根据，列式计算即可． 【详解】解：如图，当位似中心P与点D重合时，点最远，此时与点B的距离也是最大的． ∵正方形的边长为4，点P是该正方形边上一点，以P为位似中心，作正方形∽正方形，相似比为， ∴正方形的边长为2． ∴． 故答案为：； ∵正方形的边长为4，点P是该正方形边上一点，以P为位似中心，作正方形正方形ABCD，相似比为， ∴正方形的边长为2， ∴， 设，则， ∵的周长为， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴的面积为． 故答案为：． 8．阅读与思考 请仔细阅读下面的材料并完成相应的任务． 三角形的内邻正方形 概念理解：四个顶点均在三角形三条边上的正方形叫做该三角形的内邻正方形． 如图，中，点，分别在，边上，点，在边上，且四边形是正方形，则称正方形是中边上的内邻正方形． 特例研究：下面研究直角三角形的内邻正方形． 情形：如图，已知中，．，．正方形在下方．利用正方形可以画出的一个内邻正方形． 画法：①连接交边于点． ②过点作交边于点，过点作于点．则四边形为的一个内邻正方形． 理由：由作法可知，点，，，均在直角三角形的边上． ，，，， ，四边形为矩形． 由条件易得：，． ，，．…… 分析：这一方法实质上是先特殊条件，构造正方形，然后将正方形缩小得到所求作的图形．进一步分析图，可得正方形与正方形是以点为中心的位似图形，其相似比为______，正方形的边长为______； 任务： (1)请补全“理由”部分的推理过程； (2)直接写出“分析”中所缺的内容：______，______； 【答案】(1) 证明：四边形是正方形， ， ， ， 矩形为正方形； (2)，． 【分析】（1）根据正方形的判定定理进行补全即可解答； （2）根据正方形的性质得到，根据相似三角形的性质得到，据此解答即可． 【详解】（1）略 （2）四边形是正方形， ， ， ， ， ， 即正方形与正方形是以点为中心的位似图形，其相似比为，正方形的边长为． 9．折纸的思考． (1)【操作体验】 用一张矩形纸片折等边三角形． 第一步，对折矩形纸片（）（图①），使与重合，得到折痕，把纸片展平（图②）． 第二步，如图③，再一次折叠纸片，使点落在上的处，并使折痕经过点，得到折痕，折出，，得到． 说明是等边三角形． (2)【数学思考】 如图④，小明画出了图③的矩形和等边三角形，他发现，在矩形中把经过图形变化，可以得到图⑤中的更大的等边三角形，请描述图形变化的过程． (3)已知矩形一边长为，另一边长为，对于每一个确定的的值，小明在矩形中都能画出最大的等边三角形，请根据画出的不同情形的示意图，写出对应的的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)；； 【分析】（1）根据折叠的性质和线段垂直平分线的性质可得是等边三角形； （2）利用旋转把绕点逆时针方向旋转适当的角度，得到，再以点为位似中心，将放大，使点的对应点落在上得到； （3）利用等边三角形的性质和勾股定理分别计算出三种不同图形中的取值范围即可． 【详解】（1）解：由折叠的性质得：是的垂直平分线， 是的垂直平分线， ，， ， 是等边三角形； （2）解：如图⑤所示； 在矩形中把绕点逆时针方向旋转适当的角度，得到； 再以点为位似中心，将放大，使点的对应点落在上， 得到； （3）解：如下图所示， 是等边三角形， ， 过点作，则， ， ； 如下图所示， 是等边三角形， ， ， ， ， 解得：， ； 如下图所示，． 10．如图，在正方形网格中，点，，都在格点上，利用格点按要求完成下列作图．（要求仅用无刻度的直尺，不要求写画法，保留必要的作图痕迹）    (1)图1中，以C为位似中心，位似比为，在格点上将放大得到；请画出； (2)图2中，以线段为边画一个三角形，使它与相似． (3)图3中，在线段上画一个点，使． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3)见详解 【分析】本题考查了作图一位似变换：掌握画位似图形的一般步骤是解决问题的关键． (1)延长到使，延长到使，点在点，则满足条件； (2)在上找一点，使得，即可使； (3)构建相似三角形求解即可． 【详解】（1）解：即为所求；    （2）解：即为所求；    （3）解：点即为所求．    1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题012 图形的位似 1. 了解位似图形、位似中心的概念，理解位似变换是特殊的相似变换； 2. 掌握位似图形的性质，能够利用作位似图形的方法将一个图形放大或缩小； 3. 掌握位似图形坐标的变化规律，会利用这个规律求某些特殊点的坐标； 4. 能运用位似知识解决相关的图形缩放、计算等问题。 1. 核心概念梳理： 位似图形的定义: 如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心。 💡 两种常见表述： 表述一：每组对应点的连线交于一点，对应边互相平行 表述二：每组对应点所在的直线都经过同一点 位似比：位似图形中的相似比又称为位似比。 位似与相似的关系 ⭐ 核心考点: 对比项 位似图形 一般相似图形 形状 完全相同 完全相同 对应角 相等 相等 对应边 成比例 成比例 位置关系 对应点连线交于同一点（有特殊位置要求） 任意摆放（无位置要求） 核心结论： 位似图形一定是相似图形； 相似图形不一定是位似图形； 位似是相似的特殊情况。 ⚠️ 判断两个图形是不是位似图形，需要从两方面考察： 一是这两个图形是相似的； 二是要有特殊的位置关系，即每组对应点所在的直线都经过同一点。 2. 位似图形的性质： 性质 具体内容 性质1 对应点的连线（或所在直线）经过位似中心 性质2 对应点到位似中心的距离之比等于位似比（相似比） 性质3 对应线段平行（或共线），且对应线段之比等于位似比 性质4 对应角相等，对应边之比等于位似比 性质5 周长比等于位似比，面积比等于位似比的平方 性质6 位似图形的对应线段（边、高、中线、角平分线等）的比都等于位似比 💡 与相似三角形性质的统一性：位似图形的周长比、面积比、对应线段比与相似三角形的性质完全一致，区别仅在于位似多了“对应点连线共点”的位置要求。 3. 位似图形的画法: 位似变换的定义: 利用位似图形的性质将一个图形进行放大或缩小的过程叫做位似变换。 画位似图形的步骤: 步骤 操作 ①确定位似中心 在位似图形外、内、边上或顶点上任取一点作为位似中心 ②连线 连接位似中心和能代表原图形的关键点（如多边形的顶点） ③取点 按相似比在连线上（或延长线上）找出对应点 ④连线 顺次连接各对应点，所得图形即为所求 💡 重要结论： 根据一个位似中心可以作出两个关于已知图形一定位似比的位似图形，这两个图形分布在位似中心的两侧，且关于位似中心对称； 一般情况下，画出的位似图形不唯一（一般有两种情形）； 位似中心可以取在多边形外、多边形内、多边形的一边上或顶点上。 4. 平面直角坐标系中的位似变换 ⭐ 重难点 坐标变化规律:在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于 k 或 -k。 即：若原图形上某一点的坐标为 (x, y)，则其位似图形对应点的坐标为 (kx, ky) 或 (-kx, -ky)。 💡 理解关键： 乘以 k（k > 0）：位似图形与原图形在位似中心的同侧； 乘以 -k（即 k < 0 的情况）：位似图形与原图形在位似中心的异侧。 四种变换的坐标变化对比: 变换类型 大小 形状 坐标变化规律 平移 不变 不变 横坐标或纵坐标加上（减去）平移单位 轴对称 不变 不变 关于x轴或y轴对称，坐标取相反数 旋转 不变 不变 绕原点旋转180°，横纵坐标均取相反数 位似 改变（放大/缩小） 不变 横纵坐标同乘一个数k（k≠0） 💡 核心区别：平移、轴对称、旋转是全等变换（大小不变），位似是相似变换（大小改变）。 5. 易错点总结 易错点 说明与预防 ① 混淆位似与相似 位似图形一定相似，但相似图形不一定位似。位似比相似多了一个“位置”的要求 ② 忽略“对应点连线共点” 判断位似图形时，必须检查所有对应点的连线是否都经过同一点，不能只看部分 ③ 坐标变换时符号搞错 以原点为位似中心，相似比为k时，坐标为 (kx, ky) 或 (-kx, -ky)，注意符号和同乘 ④ 位似中心位置考虑不全 位似中心可以在图形外部、内部、边上或顶点上，不限于图形外部 ⑤ 画位似图形时漏掉另一种情况 一般情况下，位似图形有两种（在位似中心两侧各一种），不能只画一种 ⑥ 面积比与相似比混淆 面积比 = 相似比的平方，不是相似比本身 题型01位似图形相关概念辨析 【典例】如图， 与是以O点为位似中心，位似比为2的位似图形，下列说法错误的是（    ） A． B． C． D． 【变式】如图，图形甲与图形乙是位似图形，是位似中心，位似比为，点，的对应点分别为点，．若，则的长为（     ） A．6 B．9 C．10 D．25 题型02位似图形的识别 【典例】下面四个图中，均与相似，且对应点交于一点；则与成位似图形有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式】在平面直角坐标系中，横、纵坐标均为整数的点称为整点，如图，，的顶点均为整点． (1)可经过________（填“平移”、“轴对称”、“旋转”、“位似”其中一种）的图形变化方式得到，直接写出的值； (2)在图中画出关于原点对称的；若P，分别为AC，的中点，连接，，直接写出的值． 题型03判断位似中心 【典例】如图，在正方形网格图中，与是位似图形，且和的顶点均在格点上，则位似中心是（     ） A．点 B．点 C．点 D．点 【变式】如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为、、． (1)以原点O为位似中心，在y轴的右侧画出的一个位似，使它与的相似比为； (2)将向左平移2个单位，再向上平移1个单位后的，判断与，能否是关于某一点M为位似中心的位似图形？若是，请在图中画出位似中心M，并写出点M的坐标． 题型04求两个位似图形的相似比 【典例】如图，与是以点O为位似中心的位似图形，若，则与的面积比是（     ） A． B． C． D． 【变式】如图，以点为位似中心，把放大为原图形的倍得到，以下说法中错误的是（     ） A． B． C． D． 题型05画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形 【典例】已知：在坐标平面内，三个顶点的坐标分别为，，． (1)在图中画出向下平移个单位，再向左平移个单位得到的； (2)在图中作出绕点顺时针方向旋转后得到的； (3)在图中作出以点为位似中心，把各边放大倍后得到的． 【变式】在边长为的正方形的网格中，的顶点均在格点上（网格线的交点）． (1)以点为位似中心，在网格区域内将放大倍得到（的对应点是，的对应点是）． (2)求的面积． (3)用无刻度的直尺在线段上找一点，使得．（保留画图痕迹） 题型06求位似图形的对应坐标 【典例】如图，以点为位似中心，将按相似比缩小，得到，则点的对应点D的坐标为（     ） A． B． C． D． 【变式】在平面直角坐标系中，的顶点A的坐标为，若以原点O为位似中心，画的位似图形，使与的相似比为，则点的坐标为（     ） A． B． C．或 D．或 题型07在坐标系中求两个位似图形的相似比、周长比或面积比 【典例】如图，以点为位似中心，作的位似图形，若点B的横坐标是，点B的对应点的横坐标是3，则与的周长之比为（     ） A． B． C． D． 【变式】如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，点为位似中心，满足，已知，则的长度为（     ） A．15 B．10 C．40 D．45 题型08在坐标系中画位似图形 【典例】如图，在边长为1的小正方形网格中，的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列任务． (1)作图：以点C为旋转中心，将逆时针旋转得到． (2)以点O为位似中心，在网格内作的位似图形，使与的位似比为． (3)的面积为______． 【变式】如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为、、． (1)以原点为位似中心，在轴的右侧画出的一个位似，使它与的相似比为（的对应点分别为） (2)在（1）的条件下，直接写出点的坐标，并求出的面积． 题型09在坐标系中画位似中心 【典例】如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为． (1)以原点为位似中心，在轴的右侧画出的一个位似，使它与的位似比为； (2)画出将向左平移2个单位，再向上平移1个单位后得到的； (3)判断和是位似图形吗？若是，请在图中标出位似中心点，并写出点的坐标． 【变式】如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为、、． (1)画出将向左平移3个单位，再向上平移1个单位后的； (2)以原点为位似中心，相似比为2，在轴的左侧，画出将放大后的； (3)已知与是关于某一点为位似中心的位似图形，请直接写出点的坐标． 【巩固训练】 1．如图，三角板（）在手电筒（点）发出的光源的照射下形成了投影，三角板与其投影的三角形（）是位似图形，若，则三角板的面积与其投影的三角形的面积比是（     ）． A． B． C． D． 2．如图，中，A、B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是．以点C为位似中心，在x轴的下方作的位似图形，并把的边长放大到原来的2倍．点B的坐标是，则点B的对应点的坐标是（   ） A． B． C． D． 3．如图，以点O为位似中心，把放大为原图形的2倍得到，以下说法中错误的是（    ） A． B．点C、点O、点三点在同一直线上 C． D． 4．如图所示格点图中，每个小正方形的边长均为1，的三个顶点均在格点上，以原点O为位似中心，相似比为，把缩小，则点C的对应点的坐标为（     ） A． B． C．或 D．或 5．如图，已知与位似，点A，E，B，D在同一直线上，则其位似中心在（     ） A．线段上 B．线段上 C．线段上 D．线段上 6．如图，四边形与四边形是以原点为位似中心的位似图形．若，，，则（     ） A． B． C． D． 7．如图，中，A、两个顶点在轴的上方，点的坐标是，以点为位似中心，在轴的下方作的位似图形，并把的边长放大到原来的倍，设点的横坐标是，则点的对应点的横坐标是（     ） A． B． C． D． 8．如图，四边形与四边形位似，其位似中心为点O，且，则（   ） A． B． C． D． 9．如图与是位似图形，位似中心为，，下列结论不正确的有（   ） A．与的相似比为 B． C． D． 10．如图，五边形与五边形是位似图形，为位似中心．若，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 11．如图，与是以点为位似中心的位似图形，若，且的面积是4，则的面积是_______． 12．如图，在平面直角坐标系中，已知，，以原点为位似中心，将缩小为原来的，得到，则点的对应点的坐标为________． 13．如图，在中，三个顶点的坐标分别是．以点C为位似中心，在x轴下方作的位似图形，并把的边长放大为原来的2倍，那么点的坐标为_________． 14．如图，与位似，点O为位似中心，点B的坐标为，点E的坐标为，若的周长为5，则的周长是__________． 15．如图，五边形，是以坐标原点O为位似中心的位似图形，已知点A，的坐标分别为，．若的长为10，则的长为______． 16．一个数学游戏规则是：如图，在以同一点为位似中心的三个位似三角形的顶点处填入9个不同的数，使每个三角形的三个顶点与同一直线上的三个顶点的三个数之和均相等，则______． 17．如图，点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为． (1)求出的面积； (2)请以点为位似中心作一个与位似的，使得的面积为12．（作出一个符合题意的图形即可） 18．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，．请解答下列问题： (1)以原点O为位似中心，在第一象限内画出与位似的图形，使与的相似比为； (2)直接写出点坐标 ；若线段上点D的坐标为，则其对应点的坐标 ； (3)求的面积． 19．在边长为1的正方形的网格中，的顶点均为格点（网格线的交点）．（要求使用无刻度的直尺画图） (1)以点为位似中心，在网格区域内将放大2倍得到； (2)在（1）的条件下，与的周长之比为_________； (3)在线段上画一个点，使，并说明理由． 20．如图，四边形与四边形是位似图形，点是位似中心，， ，求的长． 21．如图，在由边长为个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，的顶点均为格点（网格线的交点）．已知点和的坐标分别为和． (1)以点为位似中心，将放大得到，使得，请在所给的网格图中画出； (2)的面积为______． 22．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． (1)以点为位似中心，在点的上方画出，使与位似，且位似比为（，的对应点分别是，）； (2)以点为旋转中心，将逆时针旋转得，画出（，，的对应点分别是，，）； (3)在（2）的条件下，则扫过的面积是________． 【强化训练】 1．如图，，，，…，是以点O为位似中心的位似图形，已知，的面积为1，则的面积是（    ） A． B． C． D． 2．如图，正方形和正方形是位似形，点的坐标为，点的坐标为，则这两个正方形位似中心的坐标是（   ）． A． B． C．或 D．或 3．如图，矩形与矩形是位似图形，点P是位似中心，若点B的坐标为，点E的横坐标为，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 4．如图，，，，，是以点为位似中心的位似图形，已知，的面积为1，则的面积是_________． 5．如图，在平行四边形中，以点A为位似中心，作平行四边形的位似平行四边形，且与原图形的相似比为，连接，，若平行四边形的面积为，则与的面积之和为_______． 6．如图，O是内任意一点，D、E、F分别为、、上的点，且与是位似三角形，位似中心为O．若，则与的面积比为__________． 7．已知正方形的边长为4，点P是该正方形边上一点，以P为位似中心，作正方形正方形ABCD，相似比为，则点与点B的最大距离为___________；连接，若的周长为，则的面积为___________． 8．阅读与思考 请仔细阅读下面的材料并完成相应的任务． 三角形的内邻正方形 概念理解：四个顶点均在三角形三条边上的正方形叫做该三角形的内邻正方形． 如图，中，点，分别在，边上，点，在边上，且四边形是正方形，则称正方形是中边上的内邻正方形． 特例研究：下面研究直角三角形的内邻正方形． 情形：如图，已知中，．，．正方形在下方．利用正方形可以画出的一个内邻正方形． 画法：①连接交边于点． ②过点作交边于点，过点作于点．则四边形为的一个内邻正方形． 理由：由作法可知，点，，，均在直角三角形的边上． ，，，， ，四边形为矩形． 由条件易得：，． ，，．…… 分析：这一方法实质上是先特殊条件，构造正方形，然后将正方形缩小得到所求作的图形．进一步分析图，可得正方形与正方形是以点为中心的位似图形，其相似比为______，正方形的边长为______； 任务： (1)请补全“理由”部分的推理过程； (2)直接写出“分析”中所缺的内容：______，______； 9．折纸的思考． (1)【操作体验】 用一张矩形纸片折等边三角形． 第一步，对折矩形纸片（）（图①），使与重合，得到折痕，把纸片展平（图②）． 第二步，如图③，再一次折叠纸片，使点落在上的处，并使折痕经过点，得到折痕，折出，，得到． 说明是等边三角形． (2)【数学思考】 如图④，小明画出了图③的矩形和等边三角形，他发现，在矩形中把经过图形变化，可以得到图⑤中的更大的等边三角形，请描述图形变化的过程． (3)已知矩形一边长为，另一边长为，对于每一个确定的的值，小明在矩形中都能画出最大的等边三角形，请根据画出的不同情形的示意图，写出对应的的取值范围． 10．如图，在正方形网格中，点，，都在格点上，利用格点按要求完成下列作图．（要求仅用无刻度的直尺，不要求写画法，保留必要的作图痕迹）    (1)图1中，以C为位似中心，位似比为，在格点上将放大得到；请画出； (2)图2中，以线段为边画一个三角形，使它与相似． (3)图3中，在线段上画一个点，使． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $