03圆的方程——2027届高三数学一轮复习解析几何回归教材版讲义

该高中数学高考复习讲义聚焦圆的方程核心考点，涵盖定义、标准与一般方程、点与圆位置关系及轨迹问题，按“定义-方程-应用”逻辑构建知识体系。通过回归教材夯实基础、考点梳理提炼方法、真题训练突破难点，形成系统性复习链条，助力学生构建解题框架。 资料突出“数学思维”与“数学语言”培养，如通过几何法与待定系数法推导圆方程，引导学生用数学眼光分析轨迹问题。设置分层跟踪练习，从基础选择到综合解答题，配合教材例题变式训练，高效提升学生应考能力，为教师把控复习节奏提供清晰路径。

2027届高三一轮复习解析几何回归教材版讲义 ——03 圆的方程 知识梳理： 1、圆的定义和圆的方程 定义 平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫作圆 方程 标准 圆心 半径为 一般 圆心, 半径为 【提醒】当时，此方程表示点,;当时，它不表示任何图形. 2、点与圆的位置关系 （1）设点，圆的标准方程为. 理论依据 点到圆心的距离与半径之间的关系 三种情况 点在圆外 点在圆上 点在圆内 （2）设点，圆的一般方程为. 理论依据 由圆的标准方程转化而来 三种情况 点在圆外 点在圆上 点在圆内 3、几种特殊位置的圆的方程 标准方程的设法 一般方程的设法 圆心在原点 过原点 圆心在轴上 圆心在轴上 与轴相切 与轴相切 注意：（1）以,为直径的两端点的圆的方程是. （2）二元二次方程表示圆的充要条件是 回归教材： 【人教A版选择性必修一第2.4.1节例1】求圆心为，半径为5的圆的标准方程，并判断点，是否在这个圆上． 【人教A版选择性必修一第2.4.1节例2】 的三个顶点分别是，，，求的外接圆的标准方程． 【人教A版选择性必修一第2.4.2节例4】求过三点，，的圆的方程，并求这个圆的圆心坐标和半径． 【人教A版选择性必修一第2.4.2节例5】已知线段的端点B的坐标是，端点A在圆上运动，求线段的中点M的轨迹方程． 【人教A版选择性必修一第2.4.2节练习第2题】判断下列方程分别表示什么图形，并说明理由. （1）； （2）；（3）． 【人教A版选择性必修一习题2.4第5题】已知圆的一条直径的端点分别是A（x1，y1），B（x2，y2）． 求证：此圆的方程是（x–x1）（x–x2）+（y–y1）（y–y2）=0． 【人教A版选择性必修一习题2.4第6题】平面直角坐标系中有，，，四点，这四点是否在同一个圆上？为什么？ 【人教A版选择性必修一习题2.4第7题】已知等腰三角形ABC的一个顶点为，底边的一个端点为，求底边的另一个端点C的轨迹方程，并说明它是什么图形． 【人教A版选择性必修一习题2.4第8题】长为2a的线段AB的两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动，求线段AB的中点的轨迹方程，并说明轨迹的形状． 考点梳理： 例、【人教A版选择性必修一第2.4.1节例3】已知圆心为C的圆经过，两点，且圆心C在直线，求此圆的标准方程． 例．已知圆C过点A(6,0)，B(1,5)，且圆心在直线l：2x－7y＋8＝0上，则圆C的方程为________． 小结： 求圆的方程的两种方法 (1)几何法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程． (2)待定系数法 ①若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设出圆的标准方程，依据已知条件列出关于a，b，r的方程组，从而求出a，b，r的值； ②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择设出圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值． 提醒：解答圆的有关问题，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质． 例、【人教A版选择性必修一习题2.4第9题】已知动点M与两个定点，的距离的比为，求动点M的轨迹方程，并说明轨迹的形状． 例、【人教A版选择性必修一习题2.4第10题】在半面直角坐标系中，如果点P的坐标满足，其中为参数．证明：点P的轨迹是圆心为，半径为r的圆． 例、已知Rt△ABC的斜边为AB，且A(－1,0)，B(3,0)．求： (1)直角顶点C的轨迹方程； (2)直角边BC的中点M的轨迹方程． 小结： 1．与圆有关的轨迹问题的常用方法 (1)当题目条件含有与该点有关的等式时，选择直接法． (2)当题目条件符合圆的定义时，选择定义法． (3)当题目条件中已知某动点的轨迹方程时，选择代入法． 2．求轨迹方程和求轨迹的区别 求轨迹方程得方程即可，而求轨迹在得出方程后，还要指明轨迹表示什么曲线． 例．（2026·福建泉州·一模）已知直线，圆关于轴对称，且过点，则圆上的点到的距离的最大值与最小值之和等于（    ） A． B． C． D． 例、已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0. (1)求的最大值和最小值； (2)求y－x的最大值和最小值； (3)求x2＋y2的最大值和最小值． 小结： 设r为圆C的半径，d为圆心C到直线l的距离． 如图(1)，当直线l与圆C相交时，圆C上的点到直线l的最小距离为0，最大距离为AD＝r＋d； 如图(2)，当直线l与圆C相切时，圆C上的点到直线l的最小距离为0，最大距离为AD＝2r； 如图(3)，当直线l与圆C相离时，圆C上的点到直线l的最小距离为BD＝d－r，最大距离为AD＝r＋d. 跟踪练习： 1、设A(2，－1)，B(4,1)，则以线段AB为直径的圆的方程是(　　) A．(x－3)2＋y2＝2　　　 B．(x－3)2＋y2＝8 C．(x＋3)2＋y2＝2 D．(x＋3)2＋y2＝8 2．已知圆心在y轴上，且过点(3,1)的圆与x轴相切，则该圆的方程为(　　) A．x2＋y2＋10y＝0 B．x2＋y2－10y＝0 C．x2＋y2＋10x＝0 D．x2＋y2－10x＝0 3．圆x2＋y2－2x＋6y＝0的圆心到直线x－y＋2＝0的距离为(　　) A．2 B．2 C．3 D． 4．已知半径为2的动圆与圆(x＋1)2＋(y－3)2＝16相切，则动圆圆心的轨迹是(　　) A．一个圆　　　　　　　　 B．两个圆 C．一条直线 D．一条线段 5．过点(－1，1)和(1，3)，且圆心在x轴上的圆的方程为(　　) A．x2＋y2＝4 B．(x－2)2＋y2＝8 C．(x－1)2＋y2＝5 D．(x－2)2＋y2＝10 6、“”是“方程表示圆”的( ). A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 过坐标原点，且与轴和轴的交点分别为,的圆的方程为( ). A. B. C. D. 8．已知点A是直角三角形ABC的直角顶点，且A(2a,2)，B(－4，a)，C(2a＋2,2)，则△ABC的外接圆的方程是(　　) A．x2＋(y－3)2＝5 B．x2＋(y＋3)2＝5 C．(x－3)2＋y2＝5 D．(x＋3)2＋y2＝5 9．（多选）已知△ABC的三个顶点为A(－1，2)，B(2，1)，C(3，4)，则下列关于△ABC的外接圆M的说法正确的是(　　) A．圆M的圆心坐标为(1，3) B．圆M的半径为 C．圆M关于直线x＋y＝0对称 D．点(2，3)在圆M内 10、（多选题）已知圆，为圆上的动点，则下列结论正确的是( ). A. 的最大值为 B. 的最大值为3 C. 的最小值为1 D. 的最大值为 11．（多选）已知A，B为定点，且|AB|＝4，下列条件中能满足动点P的轨迹为圆的是(　　) A．|PA|·|PB|＝10 B．＝3 C．|PA|2＋|PB|2＝10 D．|PA|2－|PB|2＝10 12、已知的斜边为,且,，则直角顶点的轨迹方程是 . 13、设点P(x，y)是圆x2＋(y－3)2＝1上的动点，定点A(2，0)，B(－2，0)．则·的最大值为________． 14.写出一个同时满足条件①②的圆C的标准方程：______________． ①圆C与直线x＋y＝0相切；②A，B分别位于x轴的正半轴和y轴的正半轴上，AB为圆C的直径． 15．已知正三角形ABC的边长为1，P是平面ABC内一点，若|PA|2＋|PB|2＋|PC|2＝5，则|PA|的最大值为________． 16. 设是圆上的动点，定点，，则的最大值为 . 17、【人教A版选择性必修一习题2.5第12题】已知，，三点，点P在圆上运动，求的最大值和最小值． 18、已知是圆上的一点，是圆内的一点，，为圆上的动点. （1） 求线段的中点的轨迹方程； （2） 若 ，求线段的中点的轨迹方程. 19．已知A(－2,0)，B(0,2)，P是圆C：x2＋y2＋kx－2y＝0上的动点，点M，N在圆C上，且关于直线x－y－1＝0对称. (1)求圆C的圆心坐标及半径； (2)求△PAB面积的最大值S. 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027届高三一轮复习解析几何回归教材版讲义 ——03 圆的方程 知识梳理： 1、圆的定义和圆的方程 定义 平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫作圆 方程 标准 圆心 半径为 一般 圆心, 半径为 【提醒】当时，此方程表示点,;当时，它不表示任何图形. 2、点与圆的位置关系 （1）设点，圆的标准方程为. 理论依据 点到圆心的距离与半径之间的关系 三种情况 点在圆外 点在圆上 点在圆内 （2）设点，圆的一般方程为. 理论依据 由圆的标准方程转化而来 三种情况 点在圆外 点在圆上 点在圆内 3、几种特殊位置的圆的方程 标准方程的设法 一般方程的设法 圆心在原点 过原点 圆心在轴上 圆心在轴上 与轴相切 与轴相切 注意：（1）以,为直径的两端点的圆的方程是. （2）二元二次方程表示圆的充要条件是 回归教材： 【人教A版选择性必修一第2.4.1节例1】求圆心为，半径为5的圆的标准方程，并判断点，是否在这个圆上． 分析：根据点的坐标与圆的方程的关系，只要判断一个点的坐标是否满足圆的方程，就可以得到这个点是否在图上． 解：圆心为，半径为5的圆的标准方程是，把点的坐标代入方程的左边，得，左右两边相等，点的坐标满足圆的方程，所以点在这个圆上．把点的坐标代入方程的左边，得，左右两边不相等，点的坐标不满足圆的方程，所以点不在这个圆上（如图）． 【人教A版选择性必修一第2.4.1节例2】 的三个顶点分别是，，，求的外接圆的标准方程． 分析：不在同一条直线上的三个点可以确定一个圆，三角形有唯一的外接圆．显然已知的三个点不在同一条直线上．只要确定了a，b，r，圆的标准方程就确定了． 解：设所求的方程是． ① 因为，，三点都在圆上，所以它们的坐标都满足方程①．于是 ，即 观察上面的式子，我们发现，三式两两相减，可以消去，，，得到关于a，b的二元一次方程组解此方程组，得代入，得． 所以，的外接圆的标准方程是． 【人教A版选择性必修一第2.4.2节例4】求过三点，，的圆的方程，并求这个圆的圆心坐标和半径． 分析：将点O，，的坐标分别代入圆的一般方程，可得一个三元一次方程组，解方程组即可求出圆的方程． 解：设圆的方程是①． 因为O，，三点都在圆上，所以它们的坐标都是方程①的解．把它们的坐标依次代入方程①，得到关于D，E，F的一个三元一次方程组解这个方程组，得所以，所求圆的方程是． 由前面的讨论可知，所求圆的圆心坐标是，半径． 【人教A版选择性必修一第2.4.2节例5】已知线段的端点B的坐标是，端点A在圆上运动，求线段的中点M的轨迹方程． 分析：如图，点A运动引起点M运动，而点A在已知圆上运动，点A的坐标满足方程．建立点M与点A坐标之间的关系，就可以利用点A的坐标所满足的关系式得到点M的坐标满足的关系式，求出点M的轨迹方程． 解：设点M的坐标是，点A的坐标是，由于点B的坐标是，且M是线段的中点，所以，．于是有， ①．因为点A在圆上运动，所以点A的坐标满足圆的方程，即②． 把①代入②，得，整理，得，这就是点M的轨迹方程，它表示以为圆心，半径为1的圆． 【人教A版选择性必修一第2.4.2节练习第2题】判断下列方程分别表示什么图形，并说明理由. （1）； （2）；（3）． 【答案】答案见解析 【解析】 【分析】（1）由方程可得； （2）化简可得可判断； （3）化简可得，分和或时讨论可得. 【详解】（1），，故表示点； （2）可化为， 所以方程表示以为圆心，为半径的圆； （3）可化为， 当时，方程表示点， 当或时，方程表示以为圆心，为半径的圆. 【人教A版选择性必修一习题2.4第5题】已知圆的一条直径的端点分别是A（x1，y1），B（x2，y2）．求证：此圆的方程是（x–x1）（x–x2）+（y–y1）（y–y2）=0． 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】由题意求得圆心和半径，可得圆的标准方程，化简即可． 【详解】∵圆的一条直径的端点分别是A（x1，y1），B（x2，y2）， ∴圆心为C（，），半径为， ∴此圆的方程是+， 即x2–（x1+x2）x++y2–（y1+y2）y+， 即x2–（x1+x2）x+x1•x2+y2–（y1+y2）y+y1•y2=0，即（x–x1）（x–x2）+（y–y1）（y–y2）=0． 【点睛】本题主要考查圆的标准方程的特征，属于基础题． 【人教A版选择性必修一习题2.4第6题】平面直角坐标系中有，，，四点，这四点是否在同一个圆上？为什么？ 【答案】四点在同一个圆上（证明见解析） 【解析】 【分析】以三点，求出圆的方程，再将点代入即可得出答案. 【详解】设过三点的圆的一般方程为. 将三点代入得：. 所以圆的一般方程为. 将点代入得：，满足方程.，所以四点在同一个圆上. 【人教A版选择性必修一习题2.4第7题】已知等腰三角形ABC的一个顶点为，底边的一个端点为，求底边的另一个端点C的轨迹方程，并说明它是什么图形． 【答案】（去掉（3,5），（5,-1）两点）；表示是以为圆心，以半径，且去掉（3,5），（5,-1）两点的圆 【解析】 【分析】根据等腰三角形和已知顶点A(4,2)，一个端点B(3,5)，利用腰相等且能构成三角形即可求端点C的轨迹方程； 【详解】由题意知：设另一个端点，腰长为， ∴C的轨迹方程：，又由A、B、C构成三角形，即三点不可共线， ∴需要去掉重合点（3,5），反向共线点（5,-1），即表示是以为圆心，以半径，且去掉（3,5），（5,-1）两点的圆. 【人教A版选择性必修一习题2.4第8题】长为2a的线段AB的两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动，求线段AB的中点的轨迹方程，并说明轨迹的形状． 【答案】轨迹方程为：x2+y2＝a2（a＞0）．表示圆心在原点半径为的圆. 【解析】 【分析】设AB的中点坐标为（x，y），当A、B均不与原点重合时，由直角三角形虚部的中线等于斜边的一半可得AB中点轨迹，验证A、B有一点与原点重合时成立得答案． 【详解】解：设线段AB的中点P（x，y），若A、B不与原点重合时，则△AOB是直角三角形，且∠O为直角，则OPAB，而AB＝2a，∴OP＝a，即P的轨迹是以原点为圆心，以a为半径的圆， 方程为x2+y2＝a2（a＞0）；若A、B有一个是原点，同样满足x2+y2＝a2（a＞0）． 故线段AB的中点的轨迹方程为：x2+y2＝a2（a＞0）．表示圆心在原点半径为的圆. 考点梳理： 例、【人教A版选择性必修一第2.4.1节例3】已知圆心为C的圆经过，两点，且圆心C在直线，求此圆的标准方程． 分析：设圆心C的坐标为．由已知条件可知，，且．由此可求出圆心坐标和半径．另外，因为线段是圆的一条弦，根据平面几何知识，的中点与圆心C的连线垂直于，由此可得到另一种解法． 解法1：设圆心C的坐标为．因为圆心C在直线上，所以①． 因为A，B是圆上两点，所以，根据两点间距离公式，有，即②， 由①②可得，．所以圆心C的坐标是．圆的半径．所以，所求圆的标准方程是． 解法2：如图，设线段的中点为D．由A，B两点的坐标为，，可得点D的坐标为，直线的斜率为．因此，线段垂直平分线的方程是， 即．由垂径定理可知，圆心C也在线段的垂直平分线上，所以它的坐标是方程组的解．解这个方程组，得所以圆心C的坐标是．圆的半径．所以，所求圆的标准方程是． 例．已知圆C过点A(6,0)，B(1,5)，且圆心在直线l：2x－7y＋8＝0上，则圆C的方程为________． 答案：(x－3)2＋(y－2)2＝13 解析：法一：几何法 kAB＝＝－1，则AB的垂直平分线的方程为y－＝x－， 即x－y－1＝0，联立方程解得r＝＝， 故圆C的方程为(x－3)2＋(y－2)2＝13.(圆的任何一条弦的垂直平分线过圆心) 法二：待定系数法 设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.由题意可得解得 故所求圆C的方程为(x－3)2＋(y－2)2＝13. 小结： 求圆的方程的两种方法 (1)几何法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程． (2)待定系数法 ①若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设出圆的标准方程，依据已知条件列出关于a，b，r的方程组，从而求出a，b，r的值； ②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择设出圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值． 提醒：解答圆的有关问题，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质． 例、【人教A版选择性必修一习题2.4第9题】已知动点M与两个定点，的距离的比为，求动点M的轨迹方程，并说明轨迹的形状． 【答案】，以为圆心2为半径的圆 【解析】 【分析】设出点,根据题意列出等式，化简即为答案. 【详解】设点.则，化简得： 为以为圆心2为半径的圆. 例、【人教A版选择性必修一习题2.4第10题】在半面直角坐标系中，如果点P的坐标满足，其中为参数．证明：点P的轨迹是圆心为，半径为r的圆． 【答案】证明见解析. 【解析】 【分析】将参数方程化为普通方程可证得结果. 【详解】由可得，又因为，所以，即，所以点的轨迹是圆心为，半径为的圆. 例、已知Rt△ABC的斜边为AB，且A(－1,0)，B(3,0)．求： (1)直角顶点C的轨迹方程； (2)直角边BC的中点M的轨迹方程． 【解析】　(1)法一：设C(x，y)，因为A，B，C三点不共线，所以y≠0. 因为AC⊥BC，且BC，AC斜率均存在，所以kAC·kBC＝－1， 又kAC＝，kBC＝，所以·＝－1，化简得x2＋y2－2x－3＝0. 因此，直角顶点C的轨迹方程为x2＋y2－2x－3＝0(y≠0)． 法二：设AB的中点为D，由中点坐标公式得D(1,0)，由直角三角形的性质知|CD|＝|AB|＝2.由圆的定义知，动点C的轨迹是以D(1,0)为圆心，2为半径的圆(由于A，B，C三点不共线，所以应除去与x轴的交点)．所以直角顶点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(y≠0)． (2)设M(x，y)，C(x0，y0)，因为B(3,0)，M是线段BC的中点，由中点坐标公式得x＝，y＝， 所以x0＝2x－3，y0＝2y.由(1)知，点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(y≠0)， 将x0＝2x－3，y0＝2y代入得(2x－4)2＋(2y)2＝4，即(x－2)2＋y2＝1. 因此动点M的轨迹方程为(x－2)2＋y2＝1(y≠0)． 小结： 1．与圆有关的轨迹问题的常用方法 (1)当题目条件含有与该点有关的等式时，选择直接法． (2)当题目条件符合圆的定义时，选择定义法． (3)当题目条件中已知某动点的轨迹方程时，选择代入法． 2．求轨迹方程和求轨迹的区别 求轨迹方程得方程即可，而求轨迹在得出方程后，还要指明轨迹表示什么曲线． 例．（2026·福建泉州·一模）已知直线，圆关于轴对称，且过点，则圆上的点到的距离的最大值与最小值之和等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可设圆的方程为，将代入可得，解之得，所以圆心与半径分别为，则C到的距离为，所以圆上的点到的距离的最大值与最小值分别为，其和为. 例、已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0. (1)求的最大值和最小值； (2)求y－x的最大值和最小值； (3)求x2＋y2的最大值和最小值． 解：(1)原方程可化为(x－2)2＋y2＝3，表示以(2，0)为圆心，为半径的圆，的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设＝k，即y＝kx.当直线y＝kx与圆相切时，斜率k取最大值或最小值，此时＝，解得k＝±.所以的最大值为，最小值为－. (2)y－x可看作是直线y＝x＋b在y轴上的截距，当直线y＝x＋b与圆相切时，纵截距b取得最大值或最小值，此时＝，解得b＝－2±.所以y－x的最大值为－2＋，最小值为－2－. (3)x2＋y2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点与圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值．又圆心到原点的距离为2， 所以x2＋y2的最大值是(2＋)2＝7＋4，x2＋y2的最小值是(2－)2＝7－4. 小结： 设r为圆C的半径，d为圆心C到直线l的距离． 如图(1)，当直线l与圆C相交时，圆C上的点到直线l的最小距离为0，最大距离为AD＝r＋d； 如图(2)，当直线l与圆C相切时，圆C上的点到直线l的最小距离为0，最大距离为AD＝2r； 如图(3)，当直线l与圆C相离时，圆C上的点到直线l的最小距离为BD＝d－r，最大距离为AD＝r＋d. 跟踪练习： 1、设A(2，－1)，B(4,1)，则以线段AB为直径的圆的方程是(　　) A．(x－3)2＋y2＝2　　　 B．(x－3)2＋y2＝8 C．(x＋3)2＋y2＝2 D．(x＋3)2＋y2＝8 答案：A 解析：线段AB的中点坐标为(3,0)，圆的半径r＝＝＝，则以线段AB为直径的圆的方程为(x－3)2＋y2＝2.故选A. 2．已知圆心在y轴上，且过点(3,1)的圆与x轴相切，则该圆的方程为(　　) A．x2＋y2＋10y＝0 B．x2＋y2－10y＝0 C．x2＋y2＋10x＝0 D．x2＋y2－10x＝0 答案：B 解析：根据题意，设圆心坐标为(0，r)，半径为r，则32＋(1－r)2＝r2，解得r＝5，可得圆的方程为 x2＋y2－10y＝0. 3．圆x2＋y2－2x＋6y＝0的圆心到直线x－y＋2＝0的距离为(　　) A．2 B．2 C．3 D． 答案：C 解析：由题意得x2＋y2－2x＋6y＝0，即(x－1)2＋(y＋3)2＝10，则其圆心坐标为(1，－3)，则圆心到直线 x－y＋2＝0的距离为＝3.故选C. 4．已知半径为2的动圆与圆(x＋1)2＋(y－3)2＝16相切，则动圆圆心的轨迹是(　　) A．一个圆　　　　　　　　 B．两个圆 C．一条直线 D．一条线段 答案：B 解析：当半径为2的动圆与圆(x＋1)2＋(y－3)2＝16相内切和外切时，其圆心的轨迹分别是以(－1,3)为圆心，以2和6为半径的圆，所以其圆心的轨迹为两个圆，故选B. 5．过点(－1，1)和(1，3)，且圆心在x轴上的圆的方程为(　　) A．x2＋y2＝4 B．(x－2)2＋y2＝8 C．(x－1)2＋y2＝5 D．(x－2)2＋y2＝10 答案：D 解析：令该圆的圆心为(a，0)，半径为r，则该圆的方程为(x－a)2＋y2＝r2，则有 解得故该圆的方程为(x－2)2＋y2＝10.故选D. 6、“”是“方程表示圆”的( A ). A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 答案：A [解析]方程，即表示圆，等价于，解得或,故“”是“方程表示圆”的充分不必要条件.故选. 7. 过坐标原点，且与轴和轴的交点分别为,的圆的方程为( A ). A. B. C. D. 答案：A [解析]设圆的方程为， 由题意知,圆过点，和，所以解得 所以所求圆的方程为.故选. 8．已知点A是直角三角形ABC的直角顶点，且A(2a,2)，B(－4，a)，C(2a＋2,2)，则△ABC的外接圆的方程是(　　) A．x2＋(y－3)2＝5 B．x2＋(y＋3)2＝5 C．(x－3)2＋y2＝5 D．(x＋3)2＋y2＝5 答案D 解析：因为点A是直角三角形ABC的直角顶点，所以BC2＝AB2＋AC2，即(2a＋6)2＋(2－a)2＝(2a＋4)2＋(2－a)2＋4，解得a＝－2，即A(－4,2)，B(－4，－2)，C(－2，2)，则△ABC的外接圆的圆心为(－3,0)，半径为BC＝，所以△ABC的外接圆的方程是(x＋3)2＋y2＝5，故选D. 9．（多选）已知△ABC的三个顶点为A(－1，2)，B(2，1)，C(3，4)，则下列关于△ABC的外接圆M的说法正确的是(　　) A．圆M的圆心坐标为(1，3) B．圆M的半径为 C．圆M关于直线x＋y＝0对称 D．点(2，3)在圆M内 答案：ABD 解析：设△ABC的外接圆M的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则解得所以△ABC的外接圆M的方程为x2＋y2－2x－6y＋5＝0，即(x－1)2＋(y－3)2＝5.故圆M的圆心坐标为 (1，3)，半径为，因为直线x＋y＝0不经过圆M的圆心(1，3)，所以圆M不关于直线x＋y＝0对称． 因为(2－1)2＋(3－3)2＝1<5，故点(2，3)在圆M内．故选ABD. 10、（多选题）已知圆，为圆上的动点，则下列结论正确的是( ACD ). A. 的最大值为 B. 的最大值为3 C. 的最小值为1 D. 的最大值为 【答案】ACD [解析]圆的圆心为，半径为， 设，则，因为点在圆上，所以， 解得，故的取值范围是,，故正确； 因为的几何意义为点到原点的距离的平方，且到原点的距离的取值范围为， 所以的取值范围为，故的最大值为9，最小值为1，故错误，正确； 的几何意义为点到直线的距离的倍，又到直线的距离,所以点到直线的距离的取值范围为,故的最大值为，故正确.故选. 11．（多选）已知A，B为定点，且|AB|＝4，下列条件中能满足动点P的轨迹为圆的是(　　) A．|PA|·|PB|＝10 B．＝3 C．|PA|2＋|PB|2＝10 D．|PA|2－|PB|2＝10 答案：BC 解析：如图所示，以线段AB所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，设P(x，y)，则A(－2，0)，B(2，0)．对于A，若|PA|·|PB|＝10，则·＝10，整理得(x2＋y2＋4)2－(4x)2＝100，以－x 代x，以－y代y，方程不变，故轨迹关于原点对称，即对称中心为原点，令x＝0，得y＝±，令y＝0，得x＝±.所以该轨迹不是圆，故A不符合题意；对于B，由|PA|＝3|PB|，得|PA|2＝9|PB|2，即(x＋2)2＋y2＝9[(x－2)2＋y2]，整理得x2＋y2－5x＋4＝0，即＋y2＝，所以点P的轨迹是以为圆心，为半径的圆，故B符合题意；对于C，若|PA|2＋|PB|2＝10，则(x＋2)2＋y2＋(x－2)2＋y2＝10，即x2＋y2＝1，所以点P的轨迹为圆，故C符合题意；对于D，因为|PA|2－|PB|2＝10，所以(x＋2)2＋y2－(x－2)2－y2＝10，即x＝，所以点P的轨迹为直线，故D不符合题意．故选BC. 12、已知的斜边为,且,，则直角顶点的轨迹方程是 . 【答案】 [解析]设,因为,,三点不共线,所以. 因为,且直线,的斜率均存在,所以, 又,,所以,化简得. 因此直角顶点的轨迹方程为. 13、设点P(x，y)是圆x2＋(y－3)2＝1上的动点，定点A(2，0)，B(－2，0)．则·的最大值为________． 答案：12 解析：解法一：由题意，得＝(2－x，－y)，＝(－2－x，－y)，所以·＝x2＋y2－4，由于点P(x，y)是圆上的点，故其坐标满足方程x2＋(y－3)2＝1，故x2＝－(y－3)2＋1，所以·＝－(y－3)2＋1＋y2－4＝6y－12.易知2≤y≤4，所以当y＝4时，·的值最大，且最大值为6×4－12＝12. 解法二：设O为坐标原点，易知·＝(＋)·(＋)＝(＋)·(－)＝||2－||2＝||2－4，又||max＝3＋1＝4，故(·)max＝42－4＝12. 14.写出一个同时满足条件①②的圆C的标准方程：______________． ①圆C与直线x＋y＝0相切；②A，B分别位于x轴的正半轴和y轴的正半轴上，AB为圆C的直径． 答案：(x－1)2＋(y－1)2＝2(答案不唯一) 解析：设圆C的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.因为A，B分别位于x轴的正半轴和y轴的正半轴上，AB为圆C的直径，所以原点在圆C上，即a2＋b2＝r2，又圆C与直线x＋y＝0相切，所以＝r，可得r＝a＝b.取a＝1，则b＝1，r＝，此时圆C的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2.(答案不唯一，形如(x－a)2＋(y－a)2＝2a2，a>0即可) 15．已知正三角形ABC的边长为1，P是平面ABC内一点，若|PA|2＋|PB|2＋|PC|2＝5，则|PA|的最大值为________． 答案： 解析：以BC的中点为原点，BC所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则A，B，C，设P(x，y)，由|PA|2＋|PB|2＋|PC|2＝5，得x2＋＋＋y2＋＋y2＝5，整理，得x2＋y2－y－＝0，即x2＋＝，因此点P的轨迹是以M为圆心，r＝为半径的圆，所以|PA|的最大值为|MA|＋r＝＋＝. 16. 设是圆上的动点，定点，，则的最大值为 . 【答案】10 [解析]由题意，知，，所以，所以.因为是圆上的点，所以，，所以，所以.因为，所以当时，的值最大，最大值为. 17、【人教A版选择性必修一习题2.5第12题】已知，，三点，点P在圆上运动，求的最大值和最小值． 【答案】最大值为88，最小值为72 【解析】 【分析】设，利用两点间的距离公式得到，再由点P在圆上运动，化简为求解. 【详解】设，因为，，三点， 所以， 因为点P在圆上运动，则，解得， 所以，当时，取的最大值88， 当时，取的最小值72. 18、已知是圆上的一点，是圆内的一点，，为圆上的动点. （1） 求线段的中点的轨迹方程； （2） 若 ，求线段的中点的轨迹方程. [解析]（1）设的中点为，由中点坐标公式可知，点的坐标为， 因为点在圆上，所以. 故线段的中点的轨迹方程为. （2）如图，设的中点为，在中，. 设为坐标原点，则，所以， 所以.故线段的中点的轨迹方程为. 19．已知A(－2,0)，B(0,2)，P是圆C：x2＋y2＋kx－2y＝0上的动点，点M，N在圆C上，且关于直线x－y－1＝0对称. (1)求圆C的圆心坐标及半径； (2)求△PAB面积的最大值S. 解：(1)因为点M，N关于直线x－y－1＝0对称，所以圆心C在直线x－y－1＝0上， 即－－1－1＝0，解得k＝－4，则圆C的方程为x2＋y2－4x－2y＝0， 即(x－2)2＋(y－1)2＝5，所以圆C的圆心坐标为(2,1)，半径为. (2)由题意得直线AB的方程为x－y＋2＝0，则圆心C到直线AB的距离为＝＜， 故圆C上的点到AB的最大距离为＋＝，又|AB|＝2， 所以△PAB面积的最大值S＝×2×＝3＋. 学科网（北京）股份有限公司 $