04直线与圆、圆与圆的位置关系——2027届高三数学一轮复习解析几何回归教材版讲义

该高中数学高考复习讲义聚焦直线与圆、圆与圆的位置关系核心考点，按知识梳理-回归教材-考点梳理-跟踪练习逻辑架构，通过考点分类解析、方法对比指导、教材真题融合训练，帮助学生构建位置判断、切线和弦长计算的解题体系，突破解析几何应用难点。 讲义突出回归教材与高考实战结合，创新设计“几何法与代数法对比”“切线方程模型构建”等教学活动，通过分层练习和即时反馈培养学生数学思维与模型意识。有限时间内聚焦高频考点突破，助力学生提升解析几何应考能力，为教师把控复习节奏提供系统指导。

2027届高三一轮复习解析几何回归教材版讲义 ——04直线与圆、圆与圆的位置关系 知识梳理： 1．判断直线与圆的位置关系常用的两种方法 (1)几何法：利用圆心到直线的距离d和圆的半径r的大小关系． d<r⇔相交；d＝r⇔相切；d>r⇔相离． (2)代数法：判别式Δ＝b2－4ac 2．圆与圆的位置关系 设圆O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r(r1>0)，圆O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r(r2>0)． 方法 位置关系 几何法：圆心距d与r1，r2的关系 代数法：联立两圆方程组成方程组的解的情况 外离 d>r1＋r2 无解 外切 d＝r1＋r2 一组实数解 相交 |r1－r2|<d<r1＋r2 两组不同的实数解 内切 d＝|r1－r2|(r1≠r2) 一组实数解 内含 0≤d<|r1－r2|(r1≠r2) 无解 3、有关圆的切线结论 （1）切线的方程 1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2. 2)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2. 3)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2. （2）两圆公切线的条数 1)外离时4条； 2)外切时3条； 3)相交时2条； 4)内切时1条； 5)内含时0条． （3）切线长公式 1)从圆外一点P(x0，y0)引圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的切线，则点P到切点的切线长 d＝. 2)从圆外一点P(x0，y0)引圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)的切线，则点P到切点的切线长d＝. （4）求过一定点的圆的切线方程时，要先判断点与圆的位置关系． 1)若点在圆上，则该点为切点，切线只有一条； 2)若点在圆外，切线应有两条； 3)若点在圆内，切线为零条． 4．圆与圆的位置关系的常用结论 (1)两圆的位置关系与公切线的条数 ①内含：0条；②内切：1条； ③相交：2条； ④外切：3条； ⑤外离：4条． (2)两圆相交时公共弦的方程：设圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0①，圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0②，若两圆相交，则有一条公共弦，其公共弦所在直线方程由①－②所得，即(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋(F1－F2)＝0. (3)两个圆系方程 ①过直线Ax＋By＋C＝0与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0交点的圆系方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0(λ∈R)； ②过圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0交点的圆系方程为x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)(其中不含圆C2，所以注意检验C2是否满足题意，以防丢解)． 回归教材： 【人教A版选择性必修一第2.5.1节例1】 已知直线和圆心为C的圆，判断直线l与圆C的位置关系；如果相交，求直线l被圆C所截得的弦长 【人教A版选择性必修一第2.5.1节95页练习第3题】 在一个平面上，机器人从与点的距离为9的地方绕点C顺时针而行，在行进过程中保持与点C的距离不变．它在行进过程中到过点与的直线的最近距离和最远距离分别是多少？ 【人教A版选择性必修一第2.5.2节例5】 已知圆，圆，试判断圆与圆的位置关系． 【人教A版选择性必修一第2.5.2节例6】已知圆O的直径，动点M与点A的距离是它与点B的距离的倍．试探究点M的轨迹，并判断该轨迹与圆O的位置关系． 【人教A版选择性必修一习题2.5第5题】求与圆关于直线对称的圆的方程． 【人教A版选择性必修一习题2.5第7题】求经过点M（2，﹣2）以及圆x2+y2﹣6x=0与圆x2+y2=4交点的圆的方程． 【人教A版选择性必修一习题2.5第8题】求圆与圆的公共弦的长． 【人教A版选择性必修一习题2.5第13题】已知圆，直线，b为何值时，圆上恰有三个点到直线l的距离都等于1？ 【人教A版选择性必修一习题2.5第14题】如图，圆内有一点，AB为过点且倾斜角为的弦． （1）当时，求AB的长． （2）是否存在弦AB被点平分？若存在，写出直线AB的方程；若不存在，请说明理由． 【人教A版选择性必修一习题2.5第15题】已知点和以点Q为圆心的圆． （1）画出以为直径，点为圆心的圆，再求出圆的方程； （2）设圆Q与圆相交于A，B两点，直线PA，PB是圆Q的切线吗？为什么？ （3）求直线AB的方程． 【人教A版选择性必修一复习参考题2第20题】已知圆，直线． （1）求证：直线l恒过定点． （2）直线l被圆C截得的弦何时最长、何时最短？并求截得的弦长最短时m的值以及最短弦长． 考点梳理： 例．(多选)若直线l：y＝kx＋1与圆C：(x＋2)2＋(y－1)2＝2相切，则直线l与圆D：(x－2)2＋y2＝3的位置关系是(　　) A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定 例、【人教A版选择性必修一第2.5.1节93页练习第3题】 判断直线与圆的位置关系；如果相交，求直线被圆截得的弦长． 小结： 判断直线与圆的位置关系的2种方法 （1）几何法：圆心到直线的距离与圆半径比较大小，即可判断直线与圆的位置关系．这种方法的特点是计算量较小 （2）代数法：将直线方程与圆方程联立方程组，再将二次方程组转化为一元二次方程，该方程解的情况即对应直线与圆的位置关系．这种方法具有一般性，适合于判断直线与圆锥曲线的位置关系 例、【人教A版选择性必修一第2.5.1节例2】过点作圆的切线l，求切线l的方程． 例、已知点P(＋1，2－)，点M(3，1)，圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝4. (1)求过点P的圆C的切线方程； (2)求过点M的圆C的切线方程，并求出切线长． 小结： 1、圆的切线方程的求法 (1)几何法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线的距离d，然后令d＝r，进而求出k. (2)代数法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，与圆的方程组成方程组，消元后得到一个一元二次方程，然后令判别式Δ＝0，进而求出k. 注意：检验切线斜率不存在的情况． 2、求过圆外一点(x0，y0)的圆的切线方程的方法 几何法 当斜率存在时，设为k，则切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即kx－y＋y0－kx0＝0，由圆心到直线的距离等于半径，即可求出k的值，进而写出切线方程；当斜率不存在时，要进行验证 代数法 当斜率存在时，设为k，则切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即y＝kx－kx0＋y0，代入圆的方程，得到一个关于x的一元二次方程，由Δ＝0，求得k，切线方程即可求出；当斜率不存在时，要进行验证 提醒 设切线方程时一定要注意斜率不存在的情况 例、过点(－4，0)作直线l与圆x2＋y2＋2x－4y－20＝0交于A，B两点，若|AB|＝8，则直线l的方程为(　　) A．5x＋12y＋20＝0 B．5x＋12y＋20＝0或x＋4＝0 C．5x－12y＋20＝0 D．5x－12y＋20＝0或x＋4＝0 例、【人教A版选择性必修一习题2.5第4题】求与轴相切，圆心在直线上，且被直线截得的弦长为的圆的方程． 小结：求直线被圆截得的弦长的常用方法 几何法 直线被圆截得的半弦长、弦心距d和圆的半径r构成直角三角形，且r2＝＋d2 代数法 将直线和圆的方程联立方程组，消元后得到一个一元二次方程．在判别式Δ>0的前提下，利用根与系数的关系求弦长．弦长公式如下： |AB|＝·或|AB|＝·(k≠0) 例、已知圆M：x2＋y2＋2ay＝0(a>0)的圆心到直线3x＋2y＝2的距离是，则圆M与圆N：(x－2)2＋(y＋2)2＝1的位置关系是(　　) A．相离 B．相交 C．内切 D．内含 例、(多选)已知圆C1：x2＋y2＝9与圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝16，下列说法正确的是(　　) A．C1与C2的公切线恰有4条 B．C1与C2相交弦的方程为3x＋4y－9＝0 C．C1与C2相交弦的弦长为 D．若P，Q分别是圆C1，C2上的动点，则|PQ|max＝12 例、【人教A版选择性必修一第2.5.2节练习第2题】已知圆，圆，证明圆与圆相交，并求圆与圆的公共弦所在直线的方程． 例、【人教A版选择性必修一复习参考题2第13题】求圆与圆的公共弦长． 小结： 1．判断两圆位置关系的方法 常用几何法，即用两圆圆心距与两圆半径和与差的绝对值的关系，一般不用代数法． 2．两圆公共弦长的求法 先求出公共弦所在直线的方程，在其中一圆中，由弦心距d，半弦长，半径r构成直角三角形，利用勾股定理求解． 跟踪练习： 1．（2026·辽宁抚顺·一模）已知圆M：与直线恰有2个交点，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．已知圆C：x2＋y2－2x＝0，则过点P(3，0)的圆C的切线方程是(　　) A．y＝±(x－3) B．y＝±2(x－3) C．y＝±(x－3) D．y＝±(x－3) 3．若直线ax＋by＝1与圆O：x2＋y2＝1相切，则圆(x－a)2＋(y－b)2＝与圆O(　　) A．外切 B．相交 C．内切 D．没有公共点 4．（2026·湖南邵阳·一模）已知直线与圆相交于两点，则劣弧的长为（   ） A． B． C． D． 5．（2026·安徽淮北·一模）已知过点的直线与圆交于两点．若的面积为8，则点的坐标可以是（   ） A． B． C． D． 6．（2026·北京丰台·二模）已知圆的圆心为，斜率为的直线与该圆相切且与轴交于点，则（    ） A． B．2 C． D．4 7．（2026·湖南衡阳·二模）已知点P是直线上一点，过点P作圆的两条切线，切点分别为A，B，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 8．（2026·辽宁抚顺·一模）已知直线与圆相交于两点，为坐标原点，若，则（    ） A． B．4 C． D． 9．（多选）（2026·河北·二模）已知圆的半径为2，则（   ） A． B．原点在圆的内部 C．圆与圆有且仅有1条公切线 D．直线与圆交于两点，的面积为 10．（多选）已知圆O1：(x－1)2＋y2＝4，圆O2：(x－5)2＋y2＝4m，则下列说法正确的是(　　) A．若m＝4，则圆O1与圆O2相交 B．若m＝4，则圆O1与圆O2外离 C．若直线x－y＝0与圆O2相交，则m> D．若直线x－y＝0与圆O1相交于M，N两点，则|MN|＝ 11．（多选）（2026·宁夏·二模）已知直线与圆，则下列说法正确的是（ ） A．直线恒过定点 B．若圆上的点关于直线的对称点仍在圆上，则 C．存在实数，使得直线与圆相切 D．直线被圆截得的弦长的最小值为 12、已知直线l：mx＋y＋3m＋＝0与圆x2＋y2＝12交于A，B两点，若|AB|＝2，则实数m的值为________． 13．圆C1：x2＋y2＋8x－2y＋9＝0与圆C2：x2＋y2＋6x－4y＋11＝0的公切线方程是________． 14．（2026·天津和平·一模）已知圆上到直线的距离为的点有且仅有4个，则实数的取值范围为___________． 15．（2026·贵州安顺·一模）已知直线与圆，若存在以直线l上一点为圆心，1为半径的圆与圆C有交点，则k的取值范围是______． 16．(2022·新高考Ⅰ卷)写出与圆x2＋y2＝1和(x－3)2＋(y－4)2＝16都相切的一条直线的方程：________． 17、已知过点A(0,1)且斜率为k的直线l与圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1交于M，N两点． (1)求k的取值范围； (2)若·＝12，其中O为坐标原点，求|MN|. 18．已知圆C：x2＋y2－8x－6y＋F＝0与圆O：x2＋y2＝4相外切，切点为A，过点P(4,1)的直线与圆C交于点M，N，线段MN的中点为Q. (1)求点Q的轨迹方程； (2)若|AQ|＝|AP|，点P与点Q不重合，求直线MN的方程及△AMN的面积． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027届高三一轮复习解析几何回归教材版讲义 ——04直线与圆、圆与圆的位置关系 知识梳理： 1．判断直线与圆的位置关系常用的两种方法 (1)几何法：利用圆心到直线的距离d和圆的半径r的大小关系． d<r⇔相交；d＝r⇔相切；d>r⇔相离． (2)代数法：判别式Δ＝b2－4ac 2．圆与圆的位置关系 设圆O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r(r1>0)，圆O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r(r2>0)． 方法 位置关系 几何法：圆心距d与r1，r2的关系 代数法：联立两圆方程组成方程组的解的情况 外离 d>r1＋r2 无解 外切 d＝r1＋r2 一组实数解 相交 |r1－r2|<d<r1＋r2 两组不同的实数解 内切 d＝|r1－r2|(r1≠r2) 一组实数解 内含 0≤d<|r1－r2|(r1≠r2) 无解 3、有关圆的切线结论 （1）切线的方程 1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2. 2)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2. 3)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2. （2）两圆公切线的条数 1)外离时4条； 2)外切时3条； 3)相交时2条； 4)内切时1条； 5)内含时0条． （3）切线长公式 1)从圆外一点P(x0，y0)引圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的切线，则点P到切点的切线长 d＝. 2)从圆外一点P(x0，y0)引圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)的切线，则点P到切点的切线长d＝. （4）求过一定点的圆的切线方程时，要先判断点与圆的位置关系． 1)若点在圆上，则该点为切点，切线只有一条； 2)若点在圆外，切线应有两条； 3)若点在圆内，切线为零条． 4．圆与圆的位置关系的常用结论 (1)两圆的位置关系与公切线的条数 ①内含：0条；②内切：1条； ③相交：2条； ④外切：3条； ⑤外离：4条． (2)两圆相交时公共弦的方程：设圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0①，圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0②，若两圆相交，则有一条公共弦，其公共弦所在直线方程由①－②所得，即(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋(F1－F2)＝0. (3)两个圆系方程 ①过直线Ax＋By＋C＝0与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0交点的圆系方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0(λ∈R)； ②过圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0交点的圆系方程为x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)(其中不含圆C2，所以注意检验C2是否满足题意，以防丢解)． 回归教材： 【人教A版选择性必修一第2.5.1节例1】 已知直线和圆心为C的圆，判断直线l与圆C的位置关系；如果相交，求直线l被圆C所截得的弦长 分析：思路1：将判断直线l与圆C的位置关系转化为判断由它们的方程组成的方程组有无实数解、有几个实数解；若相交，可以由方程组解得两交点的坐标，利用两点间的距离公式求得弦长． 思路2：依据圆心到直线的距离与半径的关系，判断直线与圆的位置关系；若相交，则可利用勾股定理求得弦长． 【解析】解法1：联立直线l与圆C的方程，得 消去y，得，解得，．所以，直线l与圆C相交，有两个公共点． 把，分别代入方程①，得，．所以，直线l与圆C的两个交点是，． 因此． 解法2：圆C的方程可化为，因此圆心C的坐标为，半径为，圆心到直线l的距离．所以，直线l与圆C相交，有两个公共点．如图，由垂径定理，得． 【人教A版选择性必修一第2.5.1节95页练习第3题】 在一个平面上，机器人从与点的距离为9的地方绕点C顺时针而行，在行进过程中保持与点C的距离不变．它在行进过程中到过点与的直线的最近距离和最远距离分别是多少？ 【答案】最近距离和最远距离分别是，. 【分析】由题意可得机器人的运行轨迹为，再求出直线的方程，求出圆心到直线的距离，即可求出答案． 【详解】机器人到与点距离为9的地方绕点顺时针而行，在行进过程中保持与点的距离不变，机器人的运行轨迹为，与， 直线的方程为，即为，则圆心到直线的距离为，最近距离和最远距离分别是，． 【人教A版选择性必修一第2.5.2节例5】 已知圆，圆，试判断圆与圆的位置关系． 分析：思路1：圆与圆的位置关系由它们有几个公共点确定，而它们有几个公共点又由它们的方程所组成的方程组有几组实数解确定； 思路2：借助图形，可以依据连心线的长与两半径的和或两半径的差的绝对值的大小关系，判断两圆的位置关系． 【解析】解法1：将圆与圆的方程联立，得到方程组 ，得③， 由③，得．把上式代入①，并整理，得④． 方程④的根的判别式，所以，方程④有两个不相等的实数根，．把，分别代入方程③，得到，．因此圆与圆有两个公共点，，这两个圆相交． 解法2：把圆的方程化成标准方程，得，圆的圆心是，半径． 把圆的方程化成标准方程，得，圆的圆心是，半径． 圆与圆的连心线的长为．圆与圆的两半径之和，两半径长之差．因为，即，所以圆与圆相交（图2.5-6），它们有两个公共点A，B． 图25-6 【人教A版选择性必修一第2.5.2节例6】已知圆O的直径，动点M与点A的距离是它与点B的距离的倍．试探究点M的轨迹，并判断该轨迹与圆O的位置关系． 分析：我们可以通过建立适当的平面直角坐标系，求得满足条件的动点M的轨迹方程，从而得到点M的轨迹；通过研究它的轨迹方程与圆O方程的关系，判断这个轨迹与圆O的位置关系． 解：如图2.5-7，以线段的中点O为原点，所在直线为x轴，线段的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系．由，得，．设点M的坐标为，由， 得，化简，得，即． 所以点M轨迹是以为圆心，半径为的一个圆（图2.5-7）． 因为两圆的圆心距为，两圆的半径分别为，，又，所以点M的轨迹与圆O相交． 图2.5-7 【人教A版选择性必修一习题2.5第5题】求与圆关于直线对称的圆的方程． 【答案】 【分析】先求出圆的圆心和半径，利用对称求出对称圆的圆心，即可写出对称圆的方程. 【详解】圆可化为：，所以其圆心，半径. 设对称的圆的圆心，则有：，解得：， 所以对称的圆的方程为：. 【人教A版选择性必修一习题2.5第7题】求经过点M（2，﹣2）以及圆x2+y2﹣6x=0与圆x2+y2=4交点的圆的方程． 【答案】x2+y2﹣3x﹣2=0 【分析】先确定过两圆交点的圆系方程，再将M的坐标代入，即可求得所求圆的方程． 【解析】设过圆x2+y2﹣6x=0与圆x2+y2=4交点的圆的方程为：x2+y2﹣6x+λ（x2+y2﹣4）=0…① 把点M的坐标（2，﹣2）代入①式得λ=1，把λ=1代入①并化简得x2+y2﹣3x﹣2=0， ∴所求圆的方程为：x2+y2﹣3x﹣2=0 【人教A版选择性必修一习题2.5第8题】求圆与圆的公共弦的长． 【答案】 【分析】首先两圆方程作差得到公共弦方程，再利用垂径定理、勾股定理求出公共弦长； 【详解】圆与圆，两式相减得，即公共弦方程为，圆的圆心坐标为，半径，圆心到公共弦的距离，故公共弦 【人教A版选择性必修一习题2.5第13题】已知圆，直线，b为何值时，圆上恰有三个点到直线l的距离都等于1？ 【答案】 【分析】根据题意，只需圆心到直线的距离为即可，再结合点到直线的距离求解即可. 【详解】因为圆的方程为，所以圆心为，半径为，因为圆上恰有三个点到直线l的距离都等于1，所以只需要圆心到直线的距离为即可满足条件，直线的一般式方程为：，所以圆心到直线的距离为，解得，故当时，圆上恰有三个点到直线l的距离都等于1. 【人教A版选择性必修一习题2.5第14题】如图，圆内有一点，AB为过点且倾斜角为的弦． （1）当时，求AB的长． （2）是否存在弦AB被点平分？若存在，写出直线AB的方程；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）;（2）. 【分析】（1）求出直线AB的斜率即可写出其点斜式方程，利用勾股定理可求得弦长； （2）当弦被点平分时，AB与垂直，由此可求出直线AB的斜率，写出其点斜式方程化简即可. 【详解】（1）依题意，直线AB的斜率为，又直线AB过点，所以直线AB的方程为：，圆心到直线AB的距离为，则，所以； （2）当弦被点平分时，AB与垂直，因为，所以， 直线AB的点斜式方程为，即. 【人教A版选择性必修一习题2.5第15题】已知点和以点Q为圆心的圆． （1）画出以为直径，点为圆心的圆，再求出圆的方程； （2）设圆Q与圆相交于A，B两点，直线PA，PB是圆Q的切线吗？为什么？ （3）求直线AB的方程． 【答案】(1)； (2)证明见解析；(3) . 【分析】(1)求出中点的坐标即为圆心的坐标，线段长度的一半即为圆的半径，从而求出圆的方程；(2)根据直径对的圆周角为来证明垂直关系；(3)两圆相减消去二次项即为公共弦所在的直线方程. 【详解】(1)易知，所以PQ的中点，又因为 ，圆的半径为，所以圆的方程为. (2)因为PQ为直径，在圆Q上，所以,所以直线PA，PB是圆Q的切线. (3) 圆的方程可化为， 圆Q的方程可化为，两圆方程相减，得， 所以直线AB的方程为. 【人教A版选择性必修一复习参考题2第20题】已知圆，直线． （1）求证：直线l恒过定点． （2）直线l被圆C截得的弦何时最长、何时最短？并求截得的弦长最短时m的值以及最短弦长． 【答案】（1）证明见解析；（2）当直线过圆心时，直线被圆截得的弦长最长．当直线时，直线被圆截得的弦长最短，此时，最短弦长为. 【分析】（1）直线的方程可化为，要使直线恒过定点，则与参数的变化无关，从而可得，易得定点；（2）当直线过圆心时，直线被圆截得的弦长最长；当直线时，直线被圆截得的弦长最短，即得解. 【详解】 （1）证明：直线的方程可化为， 联立，解得.所以直线恒过定点. （2）当直线过圆心时，直线被圆截得的弦长最长． 当直线时，直线被圆截得的弦长最短， 直线的斜率为，由解得此时直线的方程是，圆心到直线的距离为， ，所以最短弦长是. 考点梳理： 例．(多选)若直线l：y＝kx＋1与圆C：(x＋2)2＋(y－1)2＝2相切，则直线l与圆D：(x－2)2＋y2＝3的位置关系是(　　) A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定 【答案】AC 解析：由题意知C(－2,1)，圆C的半径为，则＝，解得k＝±1，则直线l的方程为y＝±x＋1.D(2,0)，圆D的半径为r＝，k＝1时，D到直线l的距离为＝>，相离；k＝－1时，D到直线l的距离为＝<，相交，故选A、C. 例、【人教A版选择性必修一第2.5.1节93页练习第3题】 判断直线与圆的位置关系；如果相交，求直线被圆截得的弦长． 【答案】相交， 【分析】根据题意，求圆心到直线的距离，故位置关系是相交，再根据几何法求解即可. 【详解】由圆的方程得圆心为，半径为，所以圆心到直线的距离为：，所以与圆相交， 所以直线被圆截得的弦长为. 小结： 判断直线与圆的位置关系的2种方法 （1）几何法：圆心到直线的距离与圆半径比较大小，即可判断直线与圆的位置关系．这种方法的特点是计算量较小 （2）代数法：将直线方程与圆方程联立方程组，再将二次方程组转化为一元二次方程，该方程解的情况即对应直线与圆的位置关系．这种方法具有一般性，适合于判断直线与圆锥曲线的位置关系 例、【人教A版选择性必修一第2.5.1节例2】过点作圆的切线l，求切线l的方程． 分析：如图2.5-2，容易知道，点位于圆外，经过圆外一点有两条直线与这个圆相切．我们设切线方程为，k为斜率．由直线与圆相切可求出k的值． 图2.5-2 【解析】解法1：设切线l的斜率为k，则切线l的方程为，即． 由圆心到切线l的距离等于圆的半径1，得， 解得或． 因此，所求切线l的方程为，或． 解法2：设切线l的斜率为k，则切线l的方程为．因为直线l与圆相切，所以方程组只有一组解．消元，得①． 因为方程①只有一个解，所以，解得或． 所以，所求切线l的方程为，或． 例、已知点P(＋1，2－)，点M(3，1)，圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝4. (1)求过点P的圆C的切线方程； (2)求过点M的圆C的切线方程，并求出切线长． 解：由题意，得圆心C(1，2)，半径r＝2. (1)∵(＋1－1)2＋(2－－2)2＝4，∴点P在圆C上． 又kPC＝＝－1，∴切线的斜率k＝－＝1， ∴过点P的圆C的切线方程是y－(2－)＝1·[x－(＋1)]，即x－y＋1－2＝0. (2)∵(3－1)2＋(1－2)2＝5>4，∴点M在圆C外部． 当过点M的直线的斜率不存在时，直线方程为x＝3，即x－3＝0. 又点C(1，2)到直线x－3＝0的距离d＝3－1＝2＝r，即此时满足题意，∴直线x－3＝0是圆的切线； 当切线的斜率存在时，设切线方程为y－1＝k(x－3)，即kx－y＋1－3k＝0，则圆心C到切线的距离为d＝＝r＝2，解得k＝.∴切线方程为y－1＝(x－3)，即3x－4y－5＝0. 综上可得，过点M的圆C的切线方程为x－3＝0或3x－4y－5＝0. ∵|MC|＝＝，∴过点M的圆C的切线长为＝＝1. 小结： 1、圆的切线方程的求法 (1)几何法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线的距离d，然后令d＝r，进而求出k. (2)代数法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，与圆的方程组成方程组，消元后得到一个一元二次方程，然后令判别式Δ＝0，进而求出k. 注意：检验切线斜率不存在的情况． 2、求过圆外一点(x0，y0)的圆的切线方程的方法 几何法 当斜率存在时，设为k，则切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即kx－y＋y0－kx0＝0，由圆心到直线的距离等于半径，即可求出k的值，进而写出切线方程；当斜率不存在时，要进行验证 代数法 当斜率存在时，设为k，则切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即y＝kx－kx0＋y0，代入圆的方程，得到一个关于x的一元二次方程，由Δ＝0，求得k，切线方程即可求出；当斜率不存在时，要进行验证 提醒 设切线方程时一定要注意斜率不存在的情况 例、过点(－4，0)作直线l与圆x2＋y2＋2x－4y－20＝0交于A，B两点，若|AB|＝8，则直线l的方程为(　　) A．5x＋12y＋20＝0 B．5x＋12y＋20＝0或x＋4＝0 C．5x－12y＋20＝0 D．5x－12y＋20＝0或x＋4＝0 答案：B 解析：圆的标准方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝25，由|AB|＝8知，圆心(－1，2)到直线l的距离d＝＝3.当直线l的斜率不存在，即直线l的方程为x＝－4时，符合题意；当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝k(x＋4)，即kx－y＋4k＝0，则有＝3，解得k＝－，此时直线l的方程为5x＋12y＋20＝0.综上，直线l的方程为5x＋12y＋20＝0或x＋4＝0. 例、【人教A版选择性必修一习题2.5第4题】求与轴相切，圆心在直线上，且被直线截得的弦长为的圆的方程． 【答案】或 【解析】 【分析】设圆的一般方程是，得出圆心坐标和半径，利用直线与轴相切，令后的二次方程判别式等于0得的一一个等式，求出圆心到直线的距离，用勾股定理得弦长，得的第二个等式，再由圆心在已知直线上第的第三个等式，三式联立解得得圆方程． 【详解】设所求的圆的方程是，则圆心为，半径为. 令，得，由圆与轴相切，得，即①，又圆心到直线的距离为.由已知，得，即②，又圆心在直线上，则③，联立①②③，解得或，故所求圆的方程是或. 小结：求直线被圆截得的弦长的常用方法 几何法 直线被圆截得的半弦长、弦心距d和圆的半径r构成直角三角形，且r2＝＋d2 代数法 将直线和圆的方程联立方程组，消元后得到一个一元二次方程．在判别式Δ>0的前提下，利用根与系数的关系求弦长．弦长公式如下： |AB|＝·或|AB|＝·(k≠0) 例、已知圆M：x2＋y2＋2ay＝0(a>0)的圆心到直线3x＋2y＝2的距离是，则圆M与圆N：(x－2)2＋(y＋2)2＝1的位置关系是(　　) A．相离 B．相交 C．内切 D．内含 答案：D 解析：圆M：x2＋y2＋2ay＝0⇒x2＋(y＋a)2＝a2，所以圆心为M(0，－a)，半径为a.由点到直线的距离公式得＝＝，且a>0，所以a＝.又圆N的圆心为N(2，－2)，半径为1，所以|MN|＝＝，|a－1|＝.因为0≤<，所以两圆内含．故选D. 例、(多选)已知圆C1：x2＋y2＝9与圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝16，下列说法正确的是(　　) A．C1与C2的公切线恰有4条 B．C1与C2相交弦的方程为3x＋4y－9＝0 C．C1与C2相交弦的弦长为 D．若P，Q分别是圆C1，C2上的动点，则|PQ|max＝12 答案：BD 解析：由已知得圆C1的圆心C1(0，0)，半径r1＝3，圆C2的圆心C2(3，4)，半径r2＝4，|C1C2|＝＝5，r2－r1<|C1C2|<r1＋r2，故两圆相交，所以C1与C2的公切线恰有2条，C1与C2相交弦的方程为3x＋4y－9＝0，圆心C1到相交弦的距离为，故相交弦的弦长为2＝.若P，Q分别是圆C1，C2上的动点，则|PQ|max＝|C1C2|＋r1＋r2＝12.故选BD. 例、【人教A版选择性必修一第2.5.2节练习第2题】已知圆，圆，证明圆与圆相交，并求圆与圆的公共弦所在直线的方程． 【答案】证明见解析，公共弦所在直线的方程为. 【解析】 【分析】依题意求得圆和圆的圆心和半径，进而根据圆心距和两圆半径的关系可证得结果；将两圆方程相减可得公共弦所在直线的方程. 【详解】圆的标准方程为，所以圆心为，半径； 圆的标准方程为，所以圆心为，半径.两圆圆心距，，，所以，圆和圆相交.将圆和圆的方程相减，得两圆的公共弦所在直线的方程为. 例、【人教A版选择性必修一复习参考题2第13题】求圆与圆的公共弦长． 【答案】 【分析】首先利用两圆相减，求公共弦所在直线方程，再利用弦长公式求解公共弦长. 【详解】，即圆心是，半径， ，圆心，半径， 两圆圆心距，两圆相交，两圆相减得，此直线是两圆相交公共弦所在直线方程， ，即圆心是，半径，圆心到直线的距离，所以公共弦长. 小结： 1．判断两圆位置关系的方法 常用几何法，即用两圆圆心距与两圆半径和与差的绝对值的关系，一般不用代数法． 2．两圆公共弦长的求法 先求出公共弦所在直线的方程，在其中一圆中，由弦心距d，半弦长，半径r构成直角三角形，利用勾股定理求解． 跟踪练习： 1．（2026·辽宁抚顺·一模）已知圆M：与直线恰有2个交点，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意可得圆M的圆心为，由题意得圆心M到直线的距离为，又因为圆M与直线恰有2个交点，所以，所以，解得，所以a的取值范围是． 2．已知圆C：x2＋y2－2x＝0，则过点P(3，0)的圆C的切线方程是(　　) A．y＝±(x－3) B．y＝±2(x－3) C．y＝±(x－3) D．y＝±(x－3) 答案：C 解析：将P(3，0)代入圆C的方程，得32＋02－2×3＝3>0，则该点在圆外，将圆C：x2＋y2－2x＝0化为标准方程为(x－1)2＋y2＝1，则其圆心为(1，0)，半径为1，当切线斜率不存在时，直线方程为x＝3，显然不符合题意，故舍去，则设切线方程为y＝k(x－3)，即kx－y－3k＝0，则有＝1，解得k＝±，此时圆C的切线方程为y＝±(x－3)．故选C. 3．若直线ax＋by＝1与圆O：x2＋y2＝1相切，则圆(x－a)2＋(y－b)2＝与圆O(　　) A．外切 B．相交 C．内切 D．没有公共点 答案：B 解析：直线ax＋by＝1与圆O：x2＋y2＝1相切，则圆心O(0，0)到直线ax＋by＝1的距离等于圆O的半径1，即d＝＝1，得a2＋b2＝1.圆O：x2＋y2＝1的圆心为O(0，0)，半径R＝1，圆(x－a)2＋(y－b)2＝的圆心为C(a，b)，半径r＝，因为|CO|＝＝1，R－r<|CO|<R＋r，所以两圆相交．故选B. 4．（2026·湖南邵阳·一模）已知直线与圆相交于两点，则劣弧的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由弧长公式进行求解． 【详解】圆化为标准方程为：，圆心，半径， 如图所示：    则点到直线的距离为：，而，， 得，则劣弧的长为：，故选：B 5．（2026·安徽淮北·一模）已知过点的直线与圆交于两点．若的面积为8，则点的坐标可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角形的面积得到是等腰直角三角形，进而求出圆心到直线的距离，与选项中的点到圆心距离进行比较即可. 【详解】圆的半径.，所以，，所以是等腰直角三角形，此时弦的长度为，.选项A：，不符合条件. 选项B：，不符合条件.选项C：，不符合条件.选项D：，符合条件.故选：D. 6．（2026·北京丰台·二模）已知圆的圆心为，斜率为的直线与该圆相切且与轴交于点，则（    ） A． B．2 C． D．4 【答案】D 【分析】根据方程可得圆心和半径，设，根据直线与圆相切可得，即可得结果. 【详解】圆即，圆心为，半径，设，则直线，即，则，即，所以. 7．（2026·湖南衡阳·二模）已知点P是直线上一点，过点P作圆的两条切线，切点分别为A，B，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求得的最大值，再由二倍角公式得出的最小值． 【详解】圆的圆心C的坐标为，半径为1．因为PA，PB为圆C的切线，切点分别为A，B，所以，，，，所以，．当时，取最小值，，此时取最大值，又，函数在上单调递增，即取最大值，此时取最大值，又，所以． 8．（2026·辽宁抚顺·一模）已知直线与圆相交于两点，为坐标原点，若，则（    ） A． B．4 C． D． 【答案】C 【分析】先根据得出圆心与线段中点的连线与直线垂直，进而求出圆心到直线的距离，再结合圆的半径，即可得弦长. 【详解】由，则在的垂直平分线上，又圆的弦的垂直平分线过圆心，故为的垂直平分线，即，所以，解得， 所以直线的方程为，则圆心到直线的距离，又圆的半径，所以. 9．（多选）（2026·河北·二模）已知圆的半径为2，则（   ） A． B．原点在圆的内部 C．圆与圆有且仅有1条公切线 D．直线与圆交于两点，的面积为 【答案】BC 【分析】根据半径可求解，即可判断AB，进而根据两圆的位置关系可判断C，根据点到直线的距离公式以及圆的弦长公式即可求解D. 【详解】的圆心和半径分别为, 故，则，A错误，由于，故原点在圆内，B正确， 的圆心和半径分别为,由于，故两圆内切，因此两圆只有一条公切线，C正确， 到直线的距离为，则， 故，D错误. 10．（多选）已知圆O1：(x－1)2＋y2＝4，圆O2：(x－5)2＋y2＝4m，则下列说法正确的是(　　) A．若m＝4，则圆O1与圆O2相交 B．若m＝4，则圆O1与圆O2外离 C．若直线x－y＝0与圆O2相交，则m> D．若直线x－y＝0与圆O1相交于M，N两点，则|MN|＝ 答案：AC 解析：圆O1：(x－1)2＋y2＝4的圆心为O1(1，0)，半径r1＝2，若m＝4，则圆O2：(x－5)2＋y2＝16，则圆心为O2(5，0)，半径r2＝4，可得|O1O2|＝4，r1＋r2＝6，|r1－r2|＝2，所以|r1－r2|<|O1O2|<r1＋r2，则圆O1与圆O2相交，故A正确，B错误；若直线x－y＝0与圆O2相交，则圆心O2(5，0)到直线x－y＝0的距离d＝<，解得m>，故C正确；圆心O1(1，0)到直线x－y＝0的距离d1＝＝，所以|MN|＝2＝2＝，故D错误．故选AC. 11．（多选）（2026·宁夏·二模）已知直线与圆，则下列说法正确的是（ ） A．直线恒过定点 B．若圆上的点关于直线的对称点仍在圆上，则 C．存在实数，使得直线与圆相切 D．直线被圆截得的弦长的最小值为 【答案】AB 【详解】先将圆方程化为标准形式： ， 圆心，半径.对于选项A，由直线，得，故直线恒过定点，故A选项正确；对于选项B，圆上的点关于的对称点仍在圆上，则直线过圆心， 将代入：，B正确.对于选项C，直线与圆相切时圆心到直线距离，，化简，判别式，方程无解，故不存在使直线与圆相切，C错误.对于选项D，直线过定点，弦长最短时，此时，最短弦长，D错误. 12、已知直线l：mx＋y＋3m＋＝0与圆x2＋y2＝12交于A，B两点，若|AB|＝2，则实数m的值为________． [答案]　 [解析]　法一：因为圆x2＋y2＝12的圆心坐标为(0,0)，半径r＝2，所以圆心到直线l的距离d＝，所以|AB|＝2＝2，即(2)2－2＝3，解得m＝. 法二：联立得消去y得(1＋m2)x2＋(6m2＋2m)x＋9m2＋6m－9＝0， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝. 因为|AB|＝2，所以·＝2，代入解得m＝. 13．圆C1：x2＋y2＋8x－2y＋9＝0与圆C2：x2＋y2＋6x－4y＋11＝0的公切线方程是________． 答案：y＝－x＋1 解析：由题意得，圆C1：(x＋4)2＋(y－1)2＝8，圆心C1(－4，1)，半径r1＝2，圆C2：(x＋3)2＋(y－2)2＝2，圆心C2(－3，2)，半径r2＝，因为|C1C2|＝＝r1－r2，所以两圆内切，公切线只有一条，因为圆心连线与切线相互垂直，kC1C2＝1，所以切线斜率为－1，由方程组解得故圆C1与圆C2的切点坐标为(－2，3)，故公切线方程为y－3＝－(x＋2)，即y＝－x＋1. 14．（2026·天津和平·一模）已知圆上到直线的距离为的点有且仅有4个，则实数的取值范围为___________． 【答案】 【分析】设到直线的距离为，由题意可得，再利用点到直线的距离公式计算即可得. 【详解】圆的圆心为，半径为，设到直线的距离为， 则有，即，解得， 故实数的取值范围为. 15．（2026·贵州安顺·一模）已知直线与圆，若存在以直线l上一点为圆心，1为半径的圆与圆C有交点，则k的取值范围是______． 【答案】 【分析】根据给定条件可得点到直线的距离不大于2，再利用点到直线距离公式列式求解. 【详解】圆的圆心，半径，令直线上为圆心的点为， 以点为圆心，1为半径的圆与圆C有交点，则，即， 依题意，存在以点为圆心，1为半径的圆与圆C有交点，则点到直线的距离不大于2， 因此，即，解得，所以k的取值范围是. 16．(2022·新高考Ⅰ卷)写出与圆x2＋y2＝1和(x－3)2＋(y－4)2＝16都相切的一条直线的方程：________． 答案：x＝－1或7x－24y－25＝0或3x＋4y－5＝0(填一个即可) 解析：如图，因为圆x2＋y2＝1的圆心为O(0，0)，半径r1＝1，圆(x－3)2＋(y－4)2＝16的圆心为A(3，4)，半径r2＝4，所以|OA|＝5，r1＋r2＝5，所以|OA|＝r1＋r2，所以两圆外切，公切线有三种情况：①易知公切线l1的方程为x＝－1；②另一条公切线l2与公切线l1关于过两圆圆心的直线l对称．易知过两圆圆心的直线l的方程为y＝x，由得由对称性可知公切线l2过点.设公切线l2的方程为y＋＝k(x＋1)，则点O(0，0)到公切线l2的距离为1，所以1＝，解得k＝，所以公切线l2的方程为y＋＝(x＋1)，即7x－24y－25＝0；③还有一条公切线l3与直线l：y＝x垂直．设公切线l3的方程为y＝－x＋t，易知t＞0，则点O(0，0)到公切线l3的距离为1，所以1＝，解得t＝，所以公切线l3的方程为y＝－x＋，即3x＋4y－5＝0.综上，所求直线方程为x＝－1或7x－24y－25＝0或3x＋4y－5＝0. 17、已知过点A(0,1)且斜率为k的直线l与圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1交于M，N两点． (1)求k的取值范围； (2)若·＝12，其中O为坐标原点，求|MN|. [解]　(1)由题设，可知直线l的方程为y＝kx＋1， 因为l与C交于两点，所以<1，解得<k<. 所以k的取值范围为. (2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)．将y＝kx＋1代入方程(x－2)2＋(y－3)2＝1， 整理得(1＋k2)x2－4(1＋k)x＋7＝0，所以x1＋x2＝，x1x2＝. ·＝x1x2＋y1y2＝(1＋k2)x1x2＋k(x1＋x2)＋1＝＋8. 由题设可得＋8＝12，解得k＝1，所以l的方程为y＝x＋1.故圆心C在l上，所以|MN|＝2. 18．已知圆C：x2＋y2－8x－6y＋F＝0与圆O：x2＋y2＝4相外切，切点为A，过点P(4,1)的直线与圆C交于点M，N，线段MN的中点为Q. (1)求点Q的轨迹方程； (2)若|AQ|＝|AP|，点P与点Q不重合，求直线MN的方程及△AMN的面积． 解：(1)圆C的标准方程为(x－4)2＋(y－3)2＝25－F，圆心C(4,3)，半径为， 由圆C与圆O相外切知＋2＝，所以F＝16，圆C：(x－4)2＋(y－3)2＝9. 又点P(4,1)在圆C内，弦MN过点P，且Q是MN的中点，则CQ⊥MN，所以点Q的轨迹就是以CP为直径的圆，方程为(x－4)2＋(y－2)2＝1. (2)线段OC与圆O的交点为A，联立y＝x与x2＋y2＝4，解得点A. 若|AQ|＝|AP|，则P，Q是以点A为圆心，AP为半径的圆与点Q的轨迹的交点，由2＋2＝2＋2与(x－4)2＋(y－2)2＝1得3x＋y－13＝0，所以直线MN的方程为3x＋y－13＝0. 因为C(4,3)到直线MN的距离d＝＝，所以|MN|＝2， 又点A到直线MN的距离h＝＝，所以△AMN的面积S＝|MN|·h＝. 学科网（北京）股份有限公司 $