精品解析：上海市回民中学2025-2026学年第二学期高三数学期中质量调研试卷

回民中学2025学年高三数学期中质量调研试卷 考生注意： 1．答题前，务必在答题纸上将姓名、学校、班级等信息填写清楚，并贴好条形码． 2．解答试卷必须在答题纸规定的相应位置书写，超出答题纸规定位置或写在试卷、草稿纸上的答案一律不予评分． 3．本试卷共有21道试题，满分150分，考试时间120分钟． 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果． 1. 已知集合，且，则______． 2. 不等式的解集为____________. 3. 在的展开式中的系数为_______． 4. 已知，则__________. 5. 已知二项式，其展开式中含项的系数为________. 6. 各项为正的等比数列满足：，，则通项公式为________. 7. 正方体中，异面直线与所成角的大小为________. 8. 若函数为奇函数，则函数，的值域为________. 9. 设复数与所对应的点为与，若，，则________. 10. 已知抛物线的焦点为，准线为，点在上，，垂足为N，，则点的横坐标为_______． 11. 甲、乙、丙三辆出租车2023年运营的相关数据如下表： 甲 乙 丙 接单量t（单） 7831 8225 8338 油费s（元） 107150 110264 110376 平均每单里程k（公里） 15 15 15 平均每公里油费a（元） 0.7 0.7 0.7 出租车空驶率；依据以上数据，小明建立了求解三辆车的空驶率的模型，并求得甲、乙、丙的空驶率分别为，则_______（精确到0.01） 12. 已知平面向量满足：，若，则的最小值为_______． 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑． 13. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 14. 已知实数，，，满足：，则下列不等式一定正确的是（ ） A. B. C. D. 15. 某区高三年级3200名学生参加了区统一考试.已知考试成绩服从正态分布（试卷满分为150分）.统计结果显示，考试成绩在80分到120分之间的人数约为总人数的，则此次考试中成绩不低于120分的学生人数约为（ ） A. 350 B. 400 C. 450 D. 500 16. 设数列的前项和为，若存在非零常数，使得对任意正整数，都有，则称数列具有性质：①存在等差数列具有性质；②不存在等比数列具有性质；对于以上两个命题，下列判断正确的是（ ） A. ①真②真 B. ①真②假 C. ①假②真 D. ①假②假 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤． 17. 某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表： 0 0 1 0 （1）请在答题卷上将上表处的数据补充完整，并直接写出函数的解析式； （2）设，求函数的值域； 18. 已知. （1）若的最小正周期为，判断函数的奇偶性，并说明理由； （2）已知，中，，，分别是角，，所对的边，若，，，求的值. 19. 某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式.为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式.完成生产任务的工作时间不超过70分钟的工人为“优秀”，否则为“合格”.根据工人完成生产任务的工作时间（单位：分钟）绘制了如下茎叶图： （1）求40名工人完成生产任务所需时间的第75百分数； （2）独立地从两种生产方式中各选出一个人，求选出的两个人均为优秀的概率； （3）根据工人完成生产任务的工作时间，两种生产方式优秀与合格的人数填入下面的2×2列联表： 第一种生产方式 第二种生产方式 总计 优秀 合格 总计 根据上面的2×2列联表，判断能否有95%的把握认为两种生产方式的工作效率有显著差异？（.其中，）. 20. 已知椭圆为坐标原点； （1）求的离心率； （2）设点，点在上，求的最大值和最小值； （3）点，点在直线上，过点且与平行的直线与交于两点；试探究：是否存在常数，使得恒成立；若存在，求出该常数的值；若不存在，说明理由； 21. 函数、的定义域均为，若对任意两个不同的实数，，均有或成立，则称与为相关函数对. （1）判断函数与是否为相关函数对，并说明理由； （2）已知与为相关函数对，求实数的取值范围； （3）已知函数与为相关函数对，且存在正实数，对任意实数，均有.求证：存在实数，使得对任意，均有. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 回民中学2025学年高三数学期中质量调研试卷 考生注意： 1．答题前，务必在答题纸上将姓名、学校、班级等信息填写清楚，并贴好条形码． 2．解答试卷必须在答题纸规定的相应位置书写，超出答题纸规定位置或写在试卷、草稿纸上的答案一律不予评分． 3．本试卷共有21道试题，满分150分，考试时间120分钟． 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果． 1. 已知集合，且，则______． 【答案】2 【解析】 【分析】根据集合自己的概念即可求解． 【详解】∵，且， ∴集合A里面的元素均可在集合B里面找到， ∴a=2． 故答案为：2 2. 不等式的解集为____________. 【答案】 【解析】 【分析】运用公式法解绝对值不等式. 【详解】由可得， 解得，即. 故答案为：. 3. 在的展开式中的系数为_______． 【答案】 【解析】 【分析】利用二项式定理的通项公式即可求解. 【详解】由二项式定理可知，的展开式的通项为， 令，解得， 所以， 所以二项式的展开式中含项的系数为. 故答案为：. 4. 已知，则__________. 【答案】 【解析】 【详解】由二倍角的余弦公式可得. 5. 已知二项式，其展开式中含项的系数为________. 【答案】45 【解析】 【分析】根据二项式展开式的通项公式可得，令即可求解. 【详解】由题意知，展开式的通项公式为， 令，得， 即含项的系数为45. 故答案为：45 6. 各项为正的等比数列满足：，，则通项公式为________. 【答案】 【解析】 【分析】利用给定条件，求出等比数列的公比，再写出通项公式. 【详解】设正项等比数列的公比为，由，，得， 则，解得， 所以. 故答案为： 7. 正方体中，异面直线与所成角的大小为________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据给定条件，利用异面直线所成角的定义求解即得. 【详解】正方体中，，因此异面直线与所成的角或其补角， 而，因此. 所以异面直线与所成角的大小为. 故答案为： 8. 若函数为奇函数，则函数，的值域为________. 【答案】 【解析】 【分析】由奇函数定义可得解析式，即可求得值域. 【详解】当时，，因为为奇函数，则，所以，所以，时值域为. 故答案为：. 9. 设复数与所对应的点为与，若，，则________. 【答案】2 【解析】 【分析】由题设结合复数的乘法求出，再借助复数的几何意义求出结果. 【详解】依题意，，则， 所以. 故答案为：2 10. 已知抛物线的焦点为，准线为，点在上，，垂足为N，，则点的横坐标为_______． 【答案】 【解析】 【分析】过点作于点，由抛物线定义以及三角函数可用含的横坐标的式子表示，注意到，由此即可列方程求解. 【详解】如图所示： 过点作于点， 显然抛物线的焦点为，准线为， 由抛物线定义有，结合得， 而， 所以. 故答案为：. 11. 甲、乙、丙三辆出租车2023年运营的相关数据如下表： 甲 乙 丙 接单量t（单） 7831 8225 8338 油费s（元） 107150 110264 110376 平均每单里程k（公里） 15 15 15 平均每公里油费a（元） 0.7 0.7 0.7 出租车空驶率；依据以上数据，小明建立了求解三辆车的空驶率的模型，并求得甲、乙、丙的空驶率分别为，则_______（精确到0.01） 【答案】 【解析】 【分析】根据题意得到出租车空驶率的模型，检验甲、乙两辆出租车的空驶率，满足题意，从而利用该模型求得丙的空驶率，从而得解. 【详解】依题意，因为出租车行驶的总里程为，出租车有载客时行驶的里程为， 所以出租车空驶率， 对于甲，，满足题意； 对于乙，，满足题意； 所以上述模型满足要求， 则丙的空驶率为，即. 故答案为：. 12. 已知平面向量满足：，若，则的最小值为_______． 【答案】2 【解析】 【分析】先利用和证明，再解不等式得到，从而有，再验证，，时，即得到的最小值是2. 【详解】由于， 且， 故有 ， 所以，记，则有，从而或，即或. 总之有，故，即. 存在，，时条件满足，且此时，所以的最小值是2. 故答案为：2. 【点睛】关键点点睛：对于的最小值问题，我们先证明，再给出一个使得的例子，即可说明的最小值是2，论证不等关系和举例取到等号两个部分都是证明最小值的核心，缺一不可. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑． 13. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】由充分条件和必要条件的定义结合复数的定义求解即可. 【详解】设，则， 由可得，所以，充分性成立， 当时，即，则，满足， 故“”是“”的充要条件. 故选：C. 14. 已知实数，，，满足：，则下列不等式一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】举例说明判断ABD；利用不等式的性质推理判断C. 【详解】对于ABD，取，满足， 显然，，，ABD错误； 对于C，，则，C正确. 故选：C 15. 某区高三年级3200名学生参加了区统一考试.已知考试成绩服从正态分布（试卷满分为150分）.统计结果显示，考试成绩在80分到120分之间的人数约为总人数的，则此次考试中成绩不低于120分的学生人数约为（ ） A. 350 B. 400 C. 450 D. 500 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用正态分布的对称性求出成绩不低于120分的概率，再进行估计得解. 【详解】依题意，，而服从正态分布， 因此， 所以此次考试中成绩不低于120分的学生人数约为. 故选：B 16. 设数列的前项和为，若存在非零常数，使得对任意正整数，都有，则称数列具有性质：①存在等差数列具有性质；②不存在等比数列具有性质；对于以上两个命题，下列判断正确的是（ ） A. ①真②真 B. ①真②假 C. ①假②真 D. ①假②假 【答案】B 【解析】 【分析】直接构造和，说明存在等差数列具有性质，且存在等比数列具有性质，从而得到①真②假. 【详解】一方面，对，知是等差数列. 而，令就有， 所以具有性质，这表明存在等差数列具有性质； 另一方面，对，知是等比数列. 当为奇数时，；为偶数时，. 故当为奇数时，；为偶数时，. 故当为奇数时，；为偶数时，. 这表明恒成立，再令就有， 所以具有性质，这表明存在等比数列具有性质. 综上，①正确，②错误，故B正确. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：构造和作为例子，直接判断命题的真假，是判断选项正确性的简单有效的方法. 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤． 17. 某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表： 0 0 1 0 （1）请在答题卷上将上表处的数据补充完整，并直接写出函数的解析式； （2）设，求函数的值域； 【答案】（1）将表中处的数据补充完整如下表： 0 0 1 0 0 （2） 【解析】 【分析】（1）由表得，解方程组即可得，进一步可据此完成表格； （2）由题意结合二倍角公式、诱导公式以及辅助角公式先化简的表达式，进一步通过整体换元法即可求解. 【小问1详解】 由题意，解得， 所以函数的解析式为， 令时，解得，当时，， 将表中处的数据补充完整如下表： 0 0 1 0 0 【小问2详解】 若， 则 ， 因为，所以， 进而， 所以函数的值域为. 18. 已知. （1）若的最小正周期为，判断函数的奇偶性，并说明理由； （2）已知，中，，，分别是角，，所对的边，若，，，求的值. 【答案】（1）非奇非偶函数，理由如下： 由的最小正周期为，得，则， 于是， ； ， 所以函数非奇非偶函数. （2）. 【解析】 【分析】（1）利用给定周期求出，再利用奇偶函数的定义判断得解. （2）利用已知求出角，再利用余弦定理求解即得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 当时，则，， 在中，，，则，有， 于是，解得，由余弦定理得， 即，整理得，解得， 所以. 19. 某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式.为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式.完成生产任务的工作时间不超过70分钟的工人为“优秀”，否则为“合格”.根据工人完成生产任务的工作时间（单位：分钟）绘制了如下茎叶图： （1）求40名工人完成生产任务所需时间的第75百分数； （2）独立地从两种生产方式中各选出一个人，求选出的两个人均为优秀的概率； （3）根据工人完成生产任务的工作时间，两种生产方式优秀与合格的人数填入下面的2×2列联表： 第一种生产方式 第二种生产方式 总计 优秀 合格 总计 根据上面的2×2列联表，判断能否有95%的把握认为两种生产方式的工作效率有显著差异？（.其中，）. 【答案】（1）88.5 （2） （3）有95%的把握认为两种生产方式的工作效率有显著差异 【解析】 【分析】（1）将这40个数据从小到大排列，取第30人和第31人时间的平均值即可. （2）利用古典概型的方法即可求得概率. （3）利用列联表代入公式即可. 【小问1详解】 根据题意，将这40个数据从小到大排列，61,61,62,63,63,65,65,67,68,69,70,70,71,72,72,72,72,74,75,77,78, 81,82,82,83,84,84,84,87,87,90,90,91,91,91,92,92,93,94,94 ，故取第30人和第31人时间的平均值为； 【小问2详解】 设选出的工人为优秀为事件A，第一种正产方式A 的基本事件数是2个， 第二种生产方式A的基本事件数是10个， 所以独立地从两种生产方式中各选出一个人，选出的两个人均为优秀的概率为. 【小问3详解】 第一种生产方式 第二种生产方式 总计 优秀 2 10 12 合格 18 10 28 总计 20 20 40 ， 故有95%的把握认为两种生产方式的工作效率有显著差异. 20. 已知椭圆为坐标原点； （1）求的离心率； （2）设点，点在上，求的最大值和最小值； （3）点，点在直线上，过点且与平行的直线与交于两点；试探究：是否存在常数，使得恒成立；若存在，求出该常数的值；若不存在，说明理由； 【答案】（1） （2）的最大值为，最小值为 （3） 【解析】 【分析】（1）利用椭圆方程即可直接求得其离心率； （2）利用椭圆的几何性质，结合两点距离公式与二次函数的性质即可得解； （3）分别利用向量的模与线性运算的坐标表示求得，再联立直线与椭圆方程得到关于的表达式，进而化简得到与的关系，由此得解. 【小问1详解】 设的半长轴长为，半短轴长为，半焦距为， 则，则，所以. 【小问2详解】 依题意，设，则，，故， 则， 所以由二次函数的性质可知，当时，取得最小值为， 当时，取得最大值为. 【小问3详解】 设，又， 易得，则直线为，即 ， 而， ， ， 联立，消去，得 则，得， 所以， 故 ， 所以， 故存在，使得恒成立. 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解. 21. 函数、的定义域均为，若对任意两个不同的实数，，均有或成立，则称与为相关函数对. （1）判断函数与是否为相关函数对，并说明理由； （2）已知与为相关函数对，求实数的取值范围； （3）已知函数与为相关函数对，且存在正实数，对任意实数，均有.求证：存在实数，使得对任意，均有. 【答案】（1）是，理由：若与不为相关函数对，则且， 则，所以只要即可， 当，时， ， 所以函数与是相关函数对； （2） （3）证明：假设对任意均存在， 均有， 则取，，，使得， 对任意，，有，， 又函数与为相关函数对， 则①若，则； ②若，则， 由①②知：，由，将其分为很多个子区间， 如，，，…… 则以上每个区间至多包含一个，矛盾，假设不成立， 故存在实数，使得对任意，均有． 【解析】 【分析】（1）由与不为相关函数对，得到且，从而若为相关函数，由成立求解； （2）根据与为相关函数对，由成立求解； （3）采用反证法，假设对任意均存在，均有，根据与为相关函数对，分，，得出矛盾即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为与为相关函数对， 所以， 令，，当时，；当时，， 所以是极小值点，， 所以， 所以； 【小问3详解】 略 【点睛】关键点点睛：本题第三问关键是由假设，，根据函数与为相关函数对，分别由和，构造，找出矛盾而得证. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $