指数与指数函数专题复习 讲义-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学指数与指数函数专题复习讲义通过表格系统梳理知识体系，涵盖根式、分数指数幂的定义及性质，明确n次方根个数与n奇偶性、a正负的关系，用对比结构呈现指数函数定义域、值域及单调性与底数的关联，清晰展现知识脉络与重难点。 讲义亮点在于分层题型设计，从化简求值到指数应用题（如食品保鲜时间模型），培养数学眼光与建模意识。答案解析含推理过程（如过定点问题解法），帮助学生提升运算与推理能力，支持教师精准教学，助力不同层次学生自主复习与能力提升。

指数与指数函数专题复习 一、根式和分数指数幂 n次方根 定义 一般地，如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n＞1，且n∈N* 个数 n是奇数 a＞0 x＞0 x仅有一个值，记为 a＜0 x＜0 n是偶数 a＞0 x有两个值，且互为相反数，记为± a＜0 x不存在 根式 概念 式子叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数. 性质 ①()n＝a. ②＝ 分数指数幂 规定：正数的正分数指数幂的意义是a＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)； 正数的负分数指数幂的意义是a－＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)； 0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义. 有理指数幂的运算性质 aras＝ar＋s； (ar)s＝ars； (ab)r＝arbr，其中a>0，b>0，r，s∈Q. 二、指数函数的图象与性质 指数函数概念 函数y＝ax(a>0且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是变量，函数的定义域是R，a是底数 指数函数的图象与性质 a>1 0<a<1 图 象 定义域 R 值 域 (0，＋∞) 性 质 过定点(0，1)，即x＝0时，y＝1 当x>0时，y>1； 当x<0时，0<y<1 当x<0时，y>1； 当x>0时，0<y<1 在(－∞，＋∞)上是增函数 在(－∞，＋∞)上是减函数 【总结提升】 1.对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论． 2.判断指数函数图象上底数大小的问题，可以先通过令x＝1得到底数的值再进行比较． 提升*常考题型归纳 题型一：根式、指数幂的化简与求值 1．式子的化简结果是( ) A. B.2 C. D. 2．计算( ) A. B. C. D. 题型二：根式、指数幂的条件求值 3．若,则( ) A.14 B.21 C.42 D.48 4．若,,则( ) A.24 B.12 C. D. . 题型三：指数应用题 5．一个容器装有细沙，细沙从容器底部一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，后剩余的细沙量为，经过后发现容器内还有一半的沙子，若当容器中的沙子只有开始时的八分之一时，则前后共需经过的时间为( ) A. B. C. D. 6．某食品的保鲜时间y（单位:h）与储藏温度x（单位:）满足函数关系.若该食品在的保鲜时间是320h,在的保鲜时间是80h,则该食品在的保鲜时间是( ) A.5h B.5.5h C.4h D.4.5h 7．自然界中，大多数生物存在着世代重叠现象，它们在生活史中会持续不断地繁殖后代，且有时不同的世代能在同一时间进行繁殖.假定某类生物的生长发育不受密度制约时，其增长符合模型：，其中为种群起始个体数量，r为增长系数，为t时刻的种群个体数量.当时，种群个体数量是起始个体数量的2倍.若，则( ) A.300 B.450 C.600 D.750 题型四：指数函数定义域值域 8．函数的定义域为( ) A. B. C. D. 9．函数，的值域是( ) A. B. C. D. 10．当时，不等式恒成立，则m的取值范围是( ) A. B. C. D. 题型五指数函数的单调性 11．函数单调递减区间是( ) A. B. C. D. 12．已知在上是减函数,则实数a的取值范围为( ) A. B. C. D. 13．设,则( ) A. B. C. D. 14．设，，，则( ) A. B. C. D. 题型六：指数函数过定点 15．当且时,的图象恒过点( ) A. B. C. D. 16．已知函数（且）的图象恒过定点A,若点A的坐标满足关于x,y的方程,则的最小值为( ) A.9 B.24 C.4 D.6 题型六：指数函数的图像 17．已知，则指数函数，，分别对应图中的哪个函数( ) A.，， B.，， C.，， D.，， 18．若函数的图象不经过第二象限，则实数m的取值范围是( ) A. B. C. D. 19．已知函数，且，则下列结论中，一定成立的是( ) A.，， B.，， C.，， D. 20．设函数若互不相等的实数a，b，c满足，则的取值范围是( ) A. B. C. D. 21．设，，均为实数，，，，则( ). A. B. C. D. 题型六：指数函数的综合问题 22．已知函数，，若关于x的方程有3个不同的实数解，则实数a的取值范围是____________. 23．已知定义域为R的函数是奇函数. （1）求,的值;（2）证明在R上为减函数;（3）若对于任意,不等式恒成立,求的取值范围. 24．函数是R上的奇函数,m为常数. (1)求m的值,判断并证明函数的单调性; (2)若对任意的,不等式恒成立,求实数k的取值范围. 答案 1．答案：D解析：. 2．答案：C解析：. 3．答案：C解析：, 4．答案：A解析：. 5．答案：B解析：根据时可得b，然后可解.由题知，当时，，即，解得， 令，解得. 6．答案：A解析：由题意得,两式相除得,当时,. 7．答案：C解析：因为模型：，其中为种群起始个体数量，r为增长系数， 因为当时，种群个体数量是起始个体数量的2倍.所以，所以， 若，则. 8．答案：B解析：要使得函数有意义,则,即,解得所以函数的定义域为. 9．答案：B解析：令，，则，， 所以，又在R上单调递增，所以，即.故选B. 10．答案：C解析：当时，不等式可转化为， 当时，，解得，x取不到，故. 11．答案：C解析：是增函数,的减区间是, 因此根据同增异减法则得所求复合函数的减区间是. 12．答案：A解析：令,则,因为在上是减函数,由复合函数的单调性知,函数与的单调性相反；又因为单调递减,所以需在上单调递增.函数的对称轴为,所以只需要, 13．答案：D解析：，，，则， . 14．答案：C解析：因为幂函数是正实数集上的增函数,所以有,即, 又因为指数函数是实数集上的增函数,所以有,即,于是有, 15．答案：B解析：因为，，，所以. 16．答案：C解析：对于函数,令,解得,则, 所以的图象恒过点. 17．答案：C解析：因为函数图象恒过定点又点A的坐标满足关于x,y的方程,所以,即所以,当且仅当即时取等号;所以的最小值为4. 18．答案：B解析：如下图： 作直线，得直线与指数函数的交点，根据交点的纵坐标及， 可知对应，对应，对应. 19．答案：B 解析：作出函数的图象，如图所示. 由于将函数向上或下平移后，得到，而函数的图象不经过第二象限， 由图可知，至少要向下平移2个单位，则.所以实数m的取值范围是.故选：B. 20．答案：D 解析：函数的图象如图所示，由图可知，b的符号不确定，，故A，B不一定成立； 当时，可满足，此时，故C不一定成立； 当时，由，即，且，得，所以，当时，，又，所以，故D正确. .21．答案：B 解析：画出函数的图象如图所示. 不妨令，则，则. 结合图象可得，故.所以.故选B. 22．答案：A 解析：作出函数，，，的大致图象，如图所示，由三个等式可知，三个交点A，B，C的横坐标从左向右依次为，，，所以.故选A. 23解析：（1）因为函数在R上为奇函数,则,解得, 由奇函数定义可得, 所以,,即,则,可得. （2）证明:由（1）得, 任取,,且,则,则, ,即,所以函数在上为减函数. （3）根据（1）（2）知,函数是奇函数且在上为减函数. 不等式恒成立,即恒成立, 也就是对任意的都成立,即对任意的都成立,则,解得,即k的范围是. 24．解析：（1）是奇函数,, 即,解得.经检验,当时,为奇函数, 的解析式为.是定义在R上的增函数. 证明如下：任取,, 则. ,.又,, ,是定义在R上的增函数. （2）,得. 因为是奇函数,所以. 由（1）可知是R上的增函数, 所以在上恒成立. 令,得,. 令,在上单调递增, 所以, . 学科网（北京）股份有限公司 $