专题2.3 勾股定理的应用 《知识解读·题型专练》-2026-2027学年北师大版八年级数学上册

专题2.3 勾股定理的应用（专题训练） 【新教材北师大版】 题型归纳 题型·1·判断汽车是否超速 1 题型·2·判断是否受台风影响 5 题型·3·选址到两地距离相等 11 题型·4·解决航海问题 14 题型·5·求河宽 19 题型·6·求台阶上地毯长度 22 题型·7·求旗杆高度 24 题型·8·求小鸟飞行距离 29 题型·9·求大树折断前高度 32 题型·10·求杯子中物体长度 35 题型·11·求梯子滑落高度 38 题型·1·判断汽车是否超速 1．为了进一步规范道路交通秩序，厦门市公安交通管理局决定下调海沧隧道主线机动车行驶最高限速值，即大型汽车限速值由调整为，小型汽车限速值由调整为．如图，一辆小汽车在隧道内沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到车速检测像A处的正前方的C处（即），过了小汽车到达B处，此时测得小汽车与车速检测仪间的距离为． (1)求的长； (2)这辆小汽车在段是否超速行驶？请说明理由．（参考数据：） 【答案】(1) (2)没有超速，理由： 结合（1）可得小汽车的速度为； ； 这辆小汽车没有超速行驶． 【分析】（1）直接利用勾股定理计算即可； （2）根据小汽车用行驶的路程为，那么可求出小汽车的速度，然后再判断是否超速即可． 【详解】（1）解：由题意可得：，，， ； （2）略 2．如图，小亮与小红进行遥控赛车游戏，终点为点A，小亮的赛车从点C出发，以4米/秒的速度由西向东行驶，同时小红的赛车从点B出发，以3米/秒的速度由南向北行驶，已知整个过程两辆赛车均沿直线行驶，米，米． (1)经过4秒，两赛车之间的距离是多少米？ (2)已知赛车之间的距离小于或等于25米时，遥控信号会产生相互干扰，若某一时刻，这两辆赛车距点A的距离之和为35米，则此时遥控信号是否会产生相互干扰？ 【答案】(1)两赛车之间的距离是30米 (2)当两赛车的距离之和为米时，遥控信号将会产生干扰 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）根据题意求得米，米，得到 米，米，根据勾股定理即可得到结论； （2）设出发秒钟时，遥控信号将会产生相互干扰，根据题意列方程即可得到结论． 【详解】（1）解：如图， 出发秒钟时，米，米 米，米 米，米 （米） 答：两赛车之间的距离是30米． （2）解：设出发秒钟时，两赛车距 A 点的距离之和为 35 米， 由题意得，，解得 此时， 此时， 即两赛车间的距离是25米，所以遥控信号将会受到干扰， 答：当两赛车的距离之和为米时，遥控信号将会产生干扰． 3．“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城市街路上行驶速度不得超过．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直线行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪处的正前方的处，过了后，测得小汽车与车速检测仪间距离为，这辆小汽车超速了吗？（参考数据转换：） 【答案】这辆小汽车超速了 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，利用勾股定理求出的长是解题关键． 求小汽车是否超速，其实就是求的距离，直角三角形中，有斜边的长，有直角边的长，那么的长就很容易求得，根据小汽车用行驶的路程为，那么可求出小汽车的速度，然后再判断是否超速了． 【详解】解：在中，； 根据勾股定理可得：， ∴小汽车的速度为； ∵； ∴这辆小汽车超速行驶． 答：这辆小汽车超速了． 4．某路段限速标志规定：小汽车在此路段上的行驶速度不得超过，如图，一辆小汽车在该笔直路段上行驶，某一时刻刚好行驶到路对面的车速检测仪的正前方的点处，后小汽车行驶到点处，测得此时小汽车与车速检测仪间的距离为，． (1)求的长． (2)这辆小汽车超速了吗？并说明理由． 【答案】(1) (2) 解：这辆小汽车不超速，理由如下： 该小汽车的速度为， 这辆小汽车不超速． 【分析】本题考查了勾股定理的应用，由勾股定理求出的长是解题的关键．（1）由勾股定理求出的长即可；（2）求出这辆小汽车的速度，即可解决问题． 【详解】（1）解：根据题意得：，，， ， 答：的长为； （2）略 题型·2·判断是否受台风影响 5．我市夏季经常受台风天气影响，台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向由点行驶向点，已知点为一海港，且点与直线上，两点的距离分别为和，且，以台风中心为圆心周围以内为受影响区域． (1)求证：； (2)海港受台风影响吗？为什么？ 【答案】(1)证明：，，， ． 是直角三角形，即； (2)解：海港受台风影响，理由如下 如图，过点作于， ， ， ， 海港受台风影响． 【分析】（1）利用勾股定理的逆定理得出是直角三角形； （2）过点作于，再利用三角形面积得出的长，结合题意，即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 6．为了积极宣传防疫，区政府采用了移动车进行广播宣传，如图，小明家在笔直的道路的一侧A处，小明家到道路的距离为600米，假使广播车P周围1000米内能听到广播．广播车以250米/分的速度在道路行驶时，小明在家能否听到广播？若能，请求出他总共能听到多长时间？若不能，请说明理由． 【答案】能听到，总共能听到分钟的广播 【分析】先根据垂线段最短，判断小明家是否能听到广播，再利用勾股定理求出能听到广播的路段，用这个路段的长度除以广播车的速度即可求出对应的时间． 【详解】解：能，理由如下： ∵， ∴能听到， 如图，假设点C，D处恰好广播车与小明家的距离为，则当广播车在段时，与小明家的距离小于等于， 由题意，可知，， ∴由勾股定理，得， 同理，， ∴， （分钟）， ∴小明总共能听到分钟的广播． 7．如图，有一台风中心沿东西方向由A向B移动，已知点C为一海港，，，，经测量，以台风中心为圆心周围及以内的地区会受到影响． (1)求证：； (2)请通过计算说明海港C会受台风影响； (3)台风中心从A开始移动时，海港C处有一艘小型货轮开始卸货，预计3小时完成．若台风中心每小时移动，请问在海港C受台风影响之前，请通过计算说明货轮能否完成卸货？ 【答案】(1) 证明：∵，，， ∴，， ∴， ∴是直角三角形，且； (2) 解：如图1，过点作，垂足为， ∵， ∴， ∴， ∴海港会受影响； (3) 解：货轮能完成卸货；理由如下： 如图2，设当海港开始受影响时台风中心在上的位置为处， ∴， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， ∴， 由台风中心移动速度是可得，从到的时间为：（小时）， ∵， ∴货轮能在海港受台风影响之前完成卸货． 【分析】（1）由得到； （2）过点作，垂足为，利用三角形面积公式求得，即可判断海港的影响情况； （3）设当海港开始受影响时台风中心在上的位置为处，则，利用勾股定理求得和的值，，再根据台风中心的移动速度计算出时间，与卸货时间进行比较即可得出结果． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 8．台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，某台风中心沿直线从左向右移动，已知点为某海港，点与直线上，两点的距离分别为和，且，以台风中心为圆心，周围以内为受影响区域． (1)求证：； (2)当地气象部门在通知中说海港会受到台风影响，请用所学数学知识说明缘由； (3)若台风的速度为，则台风持续影响该海港的时间有多长？ 【答案】(1) 证明：∵，，， ∴， ∴为直角三角形， ∴； (2) 解：海港C会受到台风影响，理由如下： 如图所示，过点C作于D点， ∴， ∴， ∴， ∵以台风中心为圆心周围以内为受影响区域， ∴海港C会受到台风影响； (3)台风持续影响该海港 【分析】（1）利用勾股定理的逆定理得出是直角三角形； （2）利用三角形面积得出的长，进而得出海港C是否受台风影响； （3）利用勾股定理得出以及的长，进而得出台风影响该海港持续的时间． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：由（2）得， 如图所示，当时，即台风经过段时，正好影响到海港C，此时为等腰三角形， ， ∴， ∵台风的速度为， ∴， ∴台风影响该海港持续的时间有． 9．如图，两条公路、交于点，在公路旁有一学校，与点的距离为，点（学校）到公路的距离为，一大货车从点出发，行驶在公路上，货车周围范围内有噪音影响． (1)货车开过学校是否受噪音影响？为什么？ (2)若货车速度为，则学校受噪音影响多少秒钟？ 【答案】(1) 货车开过学校受噪音影响，理由如下： ∵， ∴货车开过学校受噪音影响； (2)学校受噪音影响时间是6秒 【分析】本题考查的是勾股定理的实际应用； （1）根据可得答案； （2）先画出图形，设，则路段是学校受噪音影响的路段，再利用勾股定理求解，，再进一步求解即可. 【详解】（1）略 （2）解：如图，设，则路段是学校受噪音影响的路段， ∵， ∴， 又，， ∴， 同理：， ∴， ∴影响时间， 答：学校受噪音影响时间是6秒． 题型·3·选址到两地距离相等 10．如图，某学校（点）到公路（直线）的距离为，到公交站（点）的距离为，现在公路边上建一个商店（点），使商店到学校及公交站的距离相等，求商店与公交站之间的距离． 【答案】商店与公交站之间的距离为米 【分析】作出A点到公路的距离，构造出直角三角形，利用勾股定理易得长，那么根据直角三角形的各边利用勾股定理即可求得商店与公交站之间的距离． 【详解】解：如图，作于点， 则，， ． 设，则，， ，即． 解得． 答：商店与公交站之间的距离为米． 11．如图所示，铁路上A、B，两点相距，C、D为两工厂，于A，于B，已知，，现要在上建一个货运中转站E，使得C、D两工厂到E站的距离相等，则E站应建在距A点多远处？ 【答案】E站应建在距A点处 【分析】本题考查了勾股定理的应用； 设，则，然后根据，利用勾股定理构建方程，求解即可． 【详解】解：设，则， ∵于A，于B， ∴， ∴，， 由题意得：， ∴，即， 解得：， 答：E站应建在距A点处． 12．如图，铁路上有、两点（看作直线上两点）相距千米，、为两村庄（看作两个点），，，垂足分别为、，千米，千米，现在要在铁路旁修建一个煤栈，使得、两村到煤栈的距离相等． 设煤栈应建在距点千米处的点处，如图，则千米．      (1)（______）千米； (2)煤栈应建在距点多少千米处？ 【答案】(1) (2)千米处 【分析】（）连接，则，由勾股定理可得，解之即可求解； （）根据（）的结果即可求解； 本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】（1）解：如图，连接，则， ∵，， ∴， ∵千米， ∴千米， ∵， ∴， 解得， ∴千米， 故答案为：； （2）解：由（）得，千米， ∴煤栈应建在距点千米处． 13．如图，在一条笔直的火车轨道同侧有两个城镇A，B，现在计划在火车轨道上修建一个货运中转站，使得中转站P到城镇A，B的距离相等．为此某中学“综合与实践”小组开展了“确定货运中转站位置”的实践活动，他们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量，部分测量结果如表： 课题 确定货运中转站位置 测量工具 皮尺 测量示意图    说明：， 测量数据 ，， 通过测量数据，请你确定货运中转站应修建在距离点M多少千米处？ 【答案】千米 【分析】本题考查了勾股定理的应用． 设，则，根据勾股定理得到，求解即可． 【详解】设，则， ，，， ， ， 解得， 中转站P应修建在离点M千米处． 题型·4·解决航海问题 14．小颖的爸爸在航海运输公司工作，他给小颖出了一个与航海有关的问题．在港有两艘货轮甲船和乙船，若甲船沿北偏东的方向以每小时海里的速度前进，乙船沿南偏东的方向以每小时海里的速度前进．两船同时出发，两小时后，甲船到岛，乙船到岛，试求岛与岛之间的距离． 【答案】海里 【分析】由方向角的定义说明是直角三角形，在直角三角形中应用勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，由题意得，，（海里），（海里）， ， 是直角三角形， 由勾股定理得（海里）． 答：岛与岛之间的距离为海里． 15．如图，一艘轮船从海港沿正东方向向海港行驶，点处有一座灯塔，轮船行驶了后到达点处（即），此时轮船正好位于灯塔的正南方，继续向东行驶了到达海港处（即），已知灯塔到海港的距离为，求灯塔到海港的距离． 【答案】 【分析】由题意可知，根据勾股定理计算即可． 【详解】解：由题意可知， ∵，， ∴， ∵， ∴． 16．春节来临，人们对海鲜的需求加大，因此各渔船主都加紧出海捕捞．如图，某日琼州湾两艘渔船A和B与某灯塔C位置如图，其中A在C的北偏西方向上，与C的距离是600海里，B在C的南偏西方向上，与C的距离是450海里． (1)求渔船A与渔船B之间的距离． (2)若C处灯塔发射的信号有效覆盖半径为390海里，此时B渔船准备沿直线向A渔船靠拢航行，航行的速度为每小时25海里．求B渔船在驶向A渔船的过程中，收到信号的持续时间有多少小时？ 【答案】(1)750海里 (2)12小时 【分析】本题考查勾股定理的应用和方向角，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）根据方向角，易得，再根据勾股定理，计算即可求解． （2）过点C作交于点H，在上取点D，E，使得海里，根据等面积法，可得，根据勾股定理，求出，从而得出，计算即可求解． 【详解】（1）解：由题意，得：，， ， 海里，海里， （海里）， 即渔船A与渔船B之间的距离为750海里； （2）过点C作交于点H，在上取点D，E，使得海里， ， ， ， （海里）， 海里， （海里）， 则（海里）， 行驶时间为（小时）， 答：B渔船在驶向A渔船的过程中，收到信号的持续时间有12小时． 17．一艘轮船从A港向南偏西方向航行到达B岛，再从B岛沿方向航行到达C岛，A港到航线的距离是． (1)若轮船速度为，求轮船从C岛沿返回A港所需的时间； (2)C岛在A港的什么方向？ 【答案】(1) (2)北偏西 【分析】本题考查的是勾股定理及其逆定理的应用； （1）先求解，结合，可得，再进一步的利用勾股定理计算即可； （2）先证明，可得，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：由题意可知． 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，而， ∴轮船从岛沿返回港所需的时间为． （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴岛在港的北偏西方向上． 18．如图，某日两艘渔船和渔船与灯塔的位置如图所示，其中渔船在灯塔的北偏西方向上，与灯塔的距离是400海里，渔船在灯塔的南偏西方向上，与灯塔的距离是300海里． (1)求渔船与渔船之间的距离； (2)若灯塔发射的信号有效覆盖半径为300海里，已知渔船沿所在直线向渔船靠拢的过程中，段可以接收到信号，段无法接收到信号，请你求出渔船B在行驶过程中，能持续收到信号的里程（线段的长）是多少？ 【答案】(1)500海里 (2)360海里 【分析】（1）根据题意可求出，再利用勾股定理求解即可； （2）过点C作于点E，利用等面积法求出的长，再利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，，海里，海里， ∴由勾股定理得海里， 答：渔船与渔船之间的距离为500海里； （2）解：如图所示，过点C作于点E， 则， ∵， ∴， ∴海里， 在中，由勾股定理得海里， 在中，由勾股定理得海里， ∴海里 答：渔船B在行驶过程中，能持续收到信号的里程（线段的长）是360海里． 题型·5·求河宽 19．某人欲从一条河岸边的点A，划船垂直河岸横渡一条河，到达河对岸岸边的点B，由于水流的影响，实际上岸地点C离欲到达点B距离，已知他在水中实际划了．（假设河两岸互相平行，预计行走路线和实际行走路线均为直线） (1)画出符合题意的图形； (2)求该河流的宽度． 【答案】(1) 如图所示 (2)60米 【分析】本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题关键． （1）根据题意画出图形即可； （2）利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：由题意知，，，， 在中，由勾股定理得 答：该河流的宽度为60米． 20．如图，明明在距离河面高度为的岸边C处，用长为的绳子拉点B处的船靠岸，若明明收绳后，船到达D处，则船向岸A移动了多少米？    【答案】向岸A移动了9米 【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据题意得到，分别根据勾股定理求出，，即可求出． 【详解】解：由题意得， 在中，， 在中，， ∴． 答：船向岸A移动了9米． 21．如图，湖中心的点处有一棵树，王晶想测量这棵树与湖边缘A之间的距离，她在湖外的点处用测角仪测得的度数，并在处做好标记，在A处测得的度数，恰好发现．若已知米，米，请你求出这棵树与湖边缘A之间的距离．（结果保留根号） 【答案】米 【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，根据，得到为直角三角形，利用勾股定理即可求出． 【详解】解： ， 为直角三角形，且， ， 米，米， 米， 答：这棵树与湖边缘A之间的距离为米． 22．如图，某农户承包的一片稻田位于一条河流的北侧，早年河水通过两条水渠，流向稻田蓄水池以满足稻田用水，且，现水渠因故需要改道，该农户决定把通向河岸的便道修成一条水通（、、在同一条直线上），测得千米，千米，千米．      (1)问是否为稻田蓄水池到河边的最近路线？请通过计算加以说明； (2)求新水通比原水通少多少千米？ 【答案】(1)是， 理由是：在中， ， ， ， ， 所以是最近路线； (2)千米 【分析】（1）根据勾股定理的逆定理解答即可； （2）根据勾股定理解答即可． 【详解】（1）略 （2）设千米， 在中，由已知得，，， 由勾股定理得：， ， 解得， （千米）， 答：新水通比原水通少千米． 【点睛】此题考查勾股定理的应用，关键是根据勾股定理的逆定理和定理解答． 题型·6·求台阶上地毯长度 23．如图1，是一段楼梯的示意图，截面是一个直角三角形．已知直角边长，斜边的长是．现打算在楼梯上铺地毯，每平方米的地毯售价是150元，楼梯宽为．那么购买这种地毯至少需要多少元？ 【答案】5100元 【分析】本题考查了勾股定理的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键．理解题意，运用勾股定理得，则得出在楼梯上铺地毯需要的长度，然后结合楼梯宽为，以及每平方米的地毯售价是150元，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：在中，，， 由勾股定理得，， 在楼梯上铺地毯需要的长度为， ∵楼梯宽为， ∴需要铺地毯的面积为， ∵每平方米的地毯售价是150元， ∴购买这种地毯至少需要的费用为（元）． 24．某会展中心在会展期间准备将高、长、宽的楼道铺上地毯，已知地毯每平方米30元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要多少元？ 【答案】1020 【分析】地毯的长是楼梯的竖直部分与水平部分的和，即与的和，在直角中，根据勾股定理即可求得的长，地毯的长与宽的积就是面积，再乘地毯每平方米的单价即可求解． 【详解】解：由勾股定理得， 则地毯总长为， 则地毯的总面积为（平方米）， 所以铺完这个楼道至少需要（元）． 故答案为：1020． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，正确理解地毯的长度的计算是解题的关键． 25．如图，要修建一个育苗棚，棚高，棚宽，棚的长为，现要在棚顶上覆盖塑料薄膜，试求需要多少平方米塑料薄膜？ 【答案】平方米 【分析】根据勾股定理先求出棚顶的宽，然后根据长方形的面积公式即可求出需要多少塑料薄膜． 【详解】解：棚高，棚宽，设棚顶的宽为b， 则， 棚的长d为， ∴． 【点睛】此题重点考查学生对勾股定理的实际应用能力，理清题意，掌握勾股定理是解题的关键． 26．某公司举行开业一周年庆典，准备在一个长，高的台阶上铺设地毯（如图所示），已知台阶的宽为． (1)请你算一算共需购买多大面积的地毯； (2)若地毯的价格为120 元，则购买地毯需花费多少元？ 【答案】(1)共需购买68平方米的地毯 (2)购买地毯需花费8160元 【分析】（1）求出台阶的水平宽，计算地毯长度，再计算地毯的面积即可； （2）用地毯的单价乘以面积求出购买地毯的费用． 【详解】（1）解：依题意图中直角三角形一直角边为，斜边为， 根据勾股定理另一直角边长，即台阶的水平宽为：， 则需购买地毯的长为， 因为地毯的宽则是台阶的宽4米， 所以面积是：． 故共需购买的地毯． （2）解：由地毯的价格为120 元， 则购买地毯的费用为：元， 故购买地毯需花费8160元． 题型·7·求旗杆高度 27．如图1是小明在草地上放风筝的示意图，其中点A为风筝所在的位置，为牵线放风筝的手到风筝的水平距离，为风筝线的长度，为风筝到地面的垂直距离（点C在上，且）．经测量，．如图2，风筝沿方向再竖直上升到达点E处时（即），小明放风筝的手移至点F处（点F在上），若风筝线的长度不变（即），则小明移动的距离为多少米？（整个过程中风筝线近似地看作线段） 【答案】4m 【分析】先根据勾股定理求出，进而得出，再根据勾股定理求出，然后根据得出答案． 【详解】解：在中，， ， 由题意可得，， 在中，， ． 答：小明移动的距离为4m． 28．小聪发现，旗杆顶端的绳子自然下垂时，绳末端恰好落在旗杆底部的地面上．他借助这条绳子测量旗杆高度．如图，线段为旗杆，将这条绳子末端拉直，当绳子末端落在宣传栏上的点处时（即），点到地面的距离，地面上B、C两点之间的距离，且A、B、C、D四点在同一竖直平面内．求旗杆的高度． 【答案】旗杆的高度为. 【分析】作，勾股定理求出的长即可. 【详解】解：作，则，， 设，则， 在中，由勾股定理，得， 解得； 答：旗杆的高度为. 29．【综合与实践】 【主题】测量旗杆高度 【素材】某校八年1班“项目式学习小组”要开展“测量旗杆高度”的项目式学习实践．小组成员来到学校升旗礼台前，发现系在旗杆顶端的绳子垂到了地面上（如图①），并多出了一段，经测量，多出的这段长为2米． 【实践探索】 如图②，小组成员站在旗杆左边，将绳子的下端拉开8米，此时，下端刚好接触地面，且绳子处于绷直状态．小组成员据此很快就计算出旗杆的高度． 思考：你是否也能计算出旗杆的高度？请写出你的解答过程． 【答案】解：设旗杆高度为x米，则绳子长度为米， 在中，由勾股定理得， 即， 解得， 即旗杆的高度为15米． 【分析】设旗杆高度为x米，则绳子长度为米，利用勾股定理解即可． 【详解】略 30．某小区改造，在市民休闲广场新建一秋千，如图，当秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至处时（即水平距离），踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，求绳索的长． (1)图中________； (2)求绳索的长度． 【答案】(1)． (2)． 【分析】（1）由，再用求即可； （2）设的长为，则，可得，再利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意可知，，，， ∵ ∴； （2）解：设的长为，则， ∴． 在中， 由勾股定理，得：， 即 解得：． 答：绳索的长为． 31．综合与实践：小明同学在延时课上进行了项目式学习的实践探究，并绘制了如表记录表格． 活动课题 在放风筝时，测量风筝离地面的垂直高度 问题背景 风筝由中国古代劳动人民发明于东周春秋时期，距今已多年，相传墨翟以木头制成木鸟，研制三年而成，是人类最早的风筝起源，兴趣小组在放风筝时想测量风筝离地面的垂直高度． 模型抽象    测绘数据 ①测得水平距离的长为米，； ②根据手中剩余线的长度，计算出风筝线的长为米； ③牵线放风筝的手到地面的距离为米． 说明 点，，，在同一平面内． 请根据表格信息，解答下列问题． (1)①点离地面的垂直高度_______米，_______米； ②求风筝离地面的垂直高度； (2)若将风筝沿方向下降米至点，连接BF，则在长度保持不变的前提下，小明同学手中的风筝线应该往回收多少米？ 【答案】(1)①；；②风筝离地面的垂直高度为米 (2)小明同学手中的风筝线应该往回收米 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟记勾股定理是解题的关键． （1）①过点B作于点C，证明四边形为矩形，得出米，米； ②根据勾股定理求出的值即可得出结果； （2）设风筝沿方向下降12米至点F，连接，根据勾股定理求出的长即可得出结果． 【详解】（1）解：①∵，，， ∴， ∴四边形为矩形， ∴米，米. ②在中，，米， 由勾股定理，得（米）， ∴（米）； （2）解：如图，设风筝沿方向下降12米至点F，连接， ∴（米）， ∴（米）， ∵原来的风筝线的长为25米， ∴（米）． ∴小明同学手中的风筝线应该往回收8米． 题型·8·求小鸟飞行距离 32．如图，有一只喜鹊在一棵高的小树上觅食，它的巢筑在与该树水平距离（）为的一棵大树上，大树高，喜鹊的巢位于树顶下方的处，当它听到巢中幼鸟的叫声，立即飞过去，如果它飞行的速度为，那么它要飞回巢中所需的时间至少是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过作于，如图所示，由勾股定理求出最短路径长即可得到答案． 【详解】解：过作于，如图所示： 由题意可知，， ， 根据两点之间线段最短，则它要飞回巢中所飞的最短路径为，由勾股定理可得， ∴它要飞回巢中所需的时间至少是． 33．如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高2米，两树相距15米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则它至少要飞行（   ）米． A．17 B．15 C．10 D．8 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是将现实问题建立数学模型，运用数学知识进行求解．根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树尖进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出． 【详解】解：两棵树的高度差为（米，间距为15米， 根据勾股定理可得：小鸟至少飞行的距离（米． 故选：A． 34．如图，有两棵树，一棵高12米，另一棵高6米，两树相距8米，一只鸟从一棵树的树梢 飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行（   ）米． A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的应用，过C点作于E，连接，则四边形是矩形，得，则，再由勾股定理求出的长即可． 【详解】解：如图，过C点作于E，连接， 则是矩形， 设大树高为，小树高为， ， 在中，由勾股定理得： 即小鸟至少飞行， 故选：C． 35．如图，某自动感应门的正上方处A装着一个感应器，离地米，当人体进入感应器的感应范围内时，感应门就会自动打开．一个身高1.7米的学生正对门，缓慢走到离门1.2米的地方时（米），感应门自动打开，则_________米．    【答案】1.5/ 【分析】本题考查了勾股定理的应用；过点D作于点E，构造，利用勾股定理求得的长度即可． 【详解】解：如图，过点D作于点E， ∵米，米，米， ∴（米）． 在中， 由勾股定理得到（米），    故答案为：1.5． 题型·9·求大树折断前高度 36．《九章算术》“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”的问题，对这个问题稍作改编如下：如图，有竹子垂直于地面生长（即），折断后竹梢触地，触地点到根部的距离尺，断点到触地点的距离尺，则_____尺．    【答案】 【详解】解：∵，尺，尺， ∴尺． 37．4月27日呼和浩特全域出现大风扬沙天气，瞬时最大阵风达到12级．如图，受大风影响，一棵树在离地面6米处断裂，树顶端落在离底部8米的地面上，大树底部与地面垂直，则树折断之前有_______米． 【答案】 16 【分析】根据题意构建直角三角形模型，利用勾股定理求出折断部分的长度，再加上未折断部分的高度即可得出结果． 【详解】解：设树折断部分的长度为米． 由题意可知，未折断部分、折断部分与地面构成直角三角形， 其中一条直角边长为米，另一条直角边长为米． 根据勾股定理，得． 所以树折断之前的高度为米． 38．如图，一场暴雨过后，垂直于地面的一棵树在距地面处折断，树尖C恰好碰到地面，经测量，求原来树的高度． 【答案】 【分析】由题意得，，根据勾股定理可求得，即可求得原来树的高度． 【详解】解：由题意得，，， ∴在中，， ∴原来树的高度为． 39．如图，一根直立于水平地面的木杆在离地面的处折断，木杆顶端落在离木杆底端的处． (1)求木杆折断之前的高度； (2)如果该木杆在点的下方的点处折断，木杆顶端落在水平地面的处，在距离木杆底端的的处有棵小草，那么小草是否会被砸到？（小草的高度忽略不计，两点在点的同侧．） 【答案】(1)米 (2)小草不会被砸到 【分析】（）利用勾股定理求出即可求解； （）利用勾股定理求出，再与比较即可判断求解； 本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意知，，，， 在中，根据勾股定理得：， ， ， ∴木杆折断之前的高度为米； （2）解：如图，由题意得，， 在中，根据勾股定理得，， ， ， ， ， ∴小草不会被砸到． 40．如图，一根木杆在离地面的B处折断，木杆顶端C落在离木杆底端处， (1)如图1，求木杆折断之前的高度； (2)如图2，若此木杆在D处折断，木杆顶端C落在离木杆底端处，求的长． 【答案】(1)木杆折断之前的高度是 (2)的长是 【分析】本题考查了勾股定理，熟记勾股定理是解题的关键． （1）根据勾股定理列出直角三角形的三边关系，即可求出的长； （2）根据（1）的结论结合勾股定理列式求解． 【详解】（1）解：在中，，，， 根据勾股定理：，， 答：木杆折断之前的高度是． （2）解：设的长为，则， 在中，根据勾股定理： ，解得：． 的长是． 41．如图，一棵竖直的大杉树在一次台风中被刮断，树顶落在离树根 处，工作人员要查看断痕处的情况，在离树根有的处架起一个长的梯子，点在同一条直线上，求这棵树原来的总高度． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，先由勾股定理求出，再由勾股定理求出，最后由这棵树原来的总高度为，进行计算即可，熟练掌握勾股定理是解此题的关键． 【详解】解：， ， ，， ， ， ， 这棵树原来的总高度为：． 题型·10·求杯子中物体长度 42．如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是8，高是15，上底面中心有个小圆孔，则一根长20的直吸管露在罐外部分的长度的范围是（罐壁厚度和圆孔大小忽略）（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】当直吸管的一端在圆柱形饮料罐的下底面圆心时，直吸管露在罐外部分的长度最大，当直吸管的一端在圆柱形饮料罐的下底面边缘时，直吸管露在罐外部分的长度最小，结合勾股定理计算即可得出结果． 【详解】解：当直吸管的一端在圆柱形饮料罐的下底面圆心时，直吸管露在罐外部分的长度最大，为， 如图，当直吸管的一端在圆柱形饮料罐的下底面边缘时，直吸管露在罐外部分的长度最小， ， 由勾股定理可得， ∴直吸管露在罐外部分的长度最小为， ∴直吸管露在罐外部分的长度的范围是． 43．《九章算术》中有个关于门和竹竿的问题：今有户不知高、广，竿不知长短．横之不出四尺，从之不出二尺，斜之适出．问户高几何？译文：现有一扇门，不知道门的高度和门的宽度是多少，现有一支竹竿，不知竹竿的长短是多少．横着放竹竿比门宽多出4尺，竖着放竹竿比门高多出2尺，斜着放恰好与门的对角线一样长，如图．设门的对角线长为x尺，可列方程为______． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，正确理解题意是解题的关键．先表示出门高和门宽，再根据勾股定理列方程即可． 【详解】解：根据题意可知，门高为尺，门宽为尺， 由勾股定理，得． 故答案为：． 44．如图是长、宽、高的长方体容器． (1)求底面矩形的对角线的长； (2)长方体容器内可完全放入的棍子最长是多少？ 【答案】(1)5cm (2)13cm 【分析】（1）根据题意运用勾股定理即可得出结果． （2）根据题意连接BD、ED，两次运用勾股定理即可得出结果． 【详解】（1）解：∵、，∠ABC=90°， ∴对角线的长=cm； （2）解：如图所示： 连接BD、ED， 在Rt△BCD中， ∵、，∠ABC=90°， ∴BD=cm； 在Rt△EBD中，ED＝cm． 故这个盒子最长能放13cm的棍子． 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，根据题意，作出辅助线、构造出直角三角形是解答此题的关键． 45．如图，有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边中点，它的顶端恰好到达池边的水面，求这根芦苇的长度是多少尺？ 【答案】13尺 【分析】设这根芦苇的长度是x尺，则水深为尺，利用勾股定理列出关于x的方程，解方程即可． 【详解】解：设这根芦苇的长度是x尺，则水深为尺， 由勾股定理得， 解得， 即这根芦苇的长度为13尺． 题型·11·求梯子滑落高度 46．如图，一架长的梯子斜靠在一竖直的墙上，，这时，梯子的底端到墙底的距离为． (1)求此时梯子的顶端距地面的高度． (2)如果梯子的顶端沿墙下滑，那么梯子底端外移吗？通过计算说明你的结论． 【答案】(1) (2)梯子底端B外移不是， 理由：由图可知梯子的顶端A沿墙下滑后， ， ， ∴， ∴， 所以梯子底端B外移不是． 【分析】（1）根据勾股定理计算的长度即可； （2）先根据顶端下滑的距离计算出下滑后顶端到地面的高度，再用勾股定理计算出新的底端到墙底的距离，最后将与的差和比较即可． 【详解】（1）解：∵， ， ∴ ， 答：此时梯子的顶端A距地面的高度为； （2）略． 47．消防车上的云梯示意图如图所示，云梯最多只能伸长到米，消防车高米，如图，某栋楼发生火灾，在这栋楼的处有一老人需要救援，救人时消防车上的云梯伸长至最长，此时消防车的位置与楼房的距离为米． (1)求处与地面的距离； (2)完成处的救援后，消防员发现在处的上方米的处有一小孩没有及时撤离，为了能成功地救出小孩，消防车从处向着火的楼房靠近的距离为多少米？ 【答案】(1)处与地面的距离是米 (2)消防车从处向着火的楼房靠近的距离为米 【分析】（1）利用勾股定理求出的长度，再根据求出处与地面的距离； （2）利用勾股定理求出的长度，根据求出结果． 【详解】（1）解：在中， 米，米，米， （米），                （米）， 答：处与地面的距离是米；                                （2）解：由题意得米， 米，（米）， （米），        （米）． 答：消防车从处向着火的楼房靠近的距离为米． 48．认真阅读下面表格中的实验探究内容并完成其中的任务． 实验情景示意图 实验使用装置 ①一根不可伸缩的绳子绕过定滑轮，一端固定在滑块上，另一端固定在物体上；（、、可以视作三个点）②滑块可在水平直轨道上左右滑动，以调节物体的高度． 初始状态 （图1）物体静止在轨道上，其到滑轮的垂直距离为，到滑块的水平距离为．（即，） 实验条件 绳子始终绷紧，滑轮、滑块及物体的大小均可忽略． 任务 (1)求绳子的总长度； (2)（图2）若物体升高，求滑块向左滑动的距离． 【答案】(1)绳子的总长度为 (2)滑块向左滑动的距离为 【分析】（1）直接利用勾股定理求解即可； （2）利用题意求出的值，再根据勾股定理求出的长度，再算出即可． 【详解】（1）解：由题意知：是直角三角形，其中，， ， 绳子总长度为． （2）解：若物体升高，此时， 在中，由勾股定理得，， ． 滑块向左滑动的距离为． 49．如图，一架长的梯子斜靠在一竖直的墙上，这时梯子的顶端与墙角的距离为． (1)求梯子底端与墙角的距离； (2)如果梯子的顶端沿墙下滑至墙体处，当沿墙下滑距离为，那么梯子底端外移多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）在中，已知梯子长和墙高，利用勾股定理直接计算梯子底端到墙角的距离； （2）先根据下滑距离求出的长度，再在中利用勾股定理求出的长度，最后用减去得到梯子底端外移的距离． 【详解】（1）解：在中，根据勾股定理得 ， 所以． （2）解： 在中，根据勾股定理得 ， 所以， 所以． 所以梯子底端外移． 50．如图，小巷左右两侧是竖直的高度相等的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端O到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面的距离为2.4米．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子底端到右墙角的距离为1.5米，顶端距离墙顶的距离为1米，则墙的高度为多少米? 【答案】3米 【分析】先在中，根据勾股定理求出米，由题意得，则米．再在中，根据勾股定理求出米，进而可得的长为3米，即墙的高度． 本题主要考查了勾股定理．熟练掌握勾股定理，利用勾股定理解直角三角形是解题的关键． 【详解】解：在中，米，米， ∴米， 由题意得， ∴米， 在中，米，米， ∴米， 又∵米， ∴米， ∴墙的高度为3米． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.3 勾股定理的应用（专题训练） 【新教材北师大版】 题型归纳 题型·1·判断汽车是否超速 1 题型·2·判断是否受台风影响 3 题型·3·选址到两地距离相等 5 题型·4·解决航海问题 7 题型·5·求河宽 10 题型·6·求台阶上地毯长度 11 题型·7·求旗杆高度 12 题型·8·求小鸟飞行距离 15 题型·9·求大树折断前高度 16 题型·10·求杯子中物体长度 18 题型·11·求梯子滑落高度 19 题型·1·判断汽车是否超速 1．为了进一步规范道路交通秩序，厦门市公安交通管理局决定下调海沧隧道主线机动车行驶最高限速值，即大型汽车限速值由调整为，小型汽车限速值由调整为．如图，一辆小汽车在隧道内沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到车速检测像A处的正前方的C处（即），过了小汽车到达B处，此时测得小汽车与车速检测仪间的距离为． (1)求的长； (2)这辆小汽车在段是否超速行驶？请说明理由．（参考数据：） 2．如图，小亮与小红进行遥控赛车游戏，终点为点A，小亮的赛车从点C出发，以4米/秒的速度由西向东行驶，同时小红的赛车从点B出发，以3米/秒的速度由南向北行驶，已知整个过程两辆赛车均沿直线行驶，米，米． (1)经过4秒，两赛车之间的距离是多少米？ (2)已知赛车之间的距离小于或等于25米时，遥控信号会产生相互干扰，若某一时刻，这两辆赛车距点A的距离之和为35米，则此时遥控信号是否会产生相互干扰？ 3．“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城市街路上行驶速度不得超过．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直线行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪处的正前方的处，过了后，测得小汽车与车速检测仪间距离为，这辆小汽车超速了吗？（参考数据转换：） 4．某路段限速标志规定：小汽车在此路段上的行驶速度不得超过，如图，一辆小汽车在该笔直路段上行驶，某一时刻刚好行驶到路对面的车速检测仪的正前方的点处，后小汽车行驶到点处，测得此时小汽车与车速检测仪间的距离为，． (1)求的长． (2)这辆小汽车超速了吗？并说明理由． 题型·2·判断是否受台风影响 5．我市夏季经常受台风天气影响，台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向由点行驶向点，已知点为一海港，且点与直线上，两点的距离分别为和，且，以台风中心为圆心周围以内为受影响区域． (1)求证：； (2)海港受台风影响吗？为什么？ 6．为了积极宣传防疫，区政府采用了移动车进行广播宣传，如图，小明家在笔直的道路的一侧A处，小明家到道路的距离为600米，假使广播车P周围1000米内能听到广播．广播车以250米/分的速度在道路行驶时，小明在家能否听到广播？若能，请求出他总共能听到多长时间？若不能，请说明理由． 7．如图，有一台风中心沿东西方向由A向B移动，已知点C为一海港，，，，经测量，以台风中心为圆心周围及以内的地区会受到影响． (1)求证：； (2)请通过计算说明海港C会受台风影响； (3)台风中心从A开始移动时，海港C处有一艘小型货轮开始卸货，预计3小时完成．若台风中心每小时移动，请问在海港C受台风影响之前，请通过计算说明货轮能否完成卸货？ 8．台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，某台风中心沿直线从左向右移动，已知点为某海港，点与直线上，两点的距离分别为和，且，以台风中心为圆心，周围以内为受影响区域． (1)求证：； (2)当地气象部门在通知中说海港会受到台风影响，请用所学数学知识说明缘由； (3)若台风的速度为，则台风持续影响该海港的时间有多长？ 9．如图，两条公路、交于点，在公路旁有一学校，与点的距离为，点（学校）到公路的距离为，一大货车从点出发，行驶在公路上，货车周围范围内有噪音影响． (1)货车开过学校是否受噪音影响？为什么？ (2)若货车速度为，则学校受噪音影响多少秒钟？ 题型·3·选址到两地距离相等 10．如图，某学校（点）到公路（直线）的距离为，到公交站（点）的距离为，现在公路边上建一个商店（点），使商店到学校及公交站的距离相等，求商店与公交站之间的距离． 11．如图所示，铁路上A、B，两点相距，C、D为两工厂，于A，于B，已知，，现要在上建一个货运中转站E，使得C、D两工厂到E站的距离相等，则E站应建在距A点多远处？ 12．如图，铁路上有、两点（看作直线上两点）相距千米，、为两村庄（看作两个点），，，垂足分别为、，千米，千米，现在要在铁路旁修建一个煤栈，使得、两村到煤栈的距离相等． 设煤栈应建在距点千米处的点处，如图，则千米．      (1)（______）千米； (2)煤栈应建在距点多少千米处？ 13．如图，在一条笔直的火车轨道同侧有两个城镇A，B，现在计划在火车轨道上修建一个货运中转站，使得中转站P到城镇A，B的距离相等．为此某中学“综合与实践”小组开展了“确定货运中转站位置”的实践活动，他们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量，部分测量结果如表： 课题 确定货运中转站位置 测量工具 皮尺 测量示意图    说明：， 测量数据 ，， 通过测量数据，请你确定货运中转站应修建在距离点M多少千米处？ 题型·4·解决航海问题 14．小颖的爸爸在航海运输公司工作，他给小颖出了一个与航海有关的问题．在港有两艘货轮甲船和乙船，若甲船沿北偏东的方向以每小时海里的速度前进，乙船沿南偏东的方向以每小时海里的速度前进．两船同时出发，两小时后，甲船到岛，乙船到岛，试求岛与岛之间的距离． 15．如图，一艘轮船从海港沿正东方向向海港行驶，点处有一座灯塔，轮船行驶了后到达点处（即），此时轮船正好位于灯塔的正南方，继续向东行驶了到达海港处（即），已知灯塔到海港的距离为，求灯塔到海港的距离． 16．春节来临，人们对海鲜的需求加大，因此各渔船主都加紧出海捕捞．如图，某日琼州湾两艘渔船A和B与某灯塔C位置如图，其中A在C的北偏西方向上，与C的距离是600海里，B在C的南偏西方向上，与C的距离是450海里． (1)求渔船A与渔船B之间的距离． (2)若C处灯塔发射的信号有效覆盖半径为390海里，此时B渔船准备沿直线向A渔船靠拢航行，航行的速度为每小时25海里．求B渔船在驶向A渔船的过程中，收到信号的持续时间有多少小时？ 17．一艘轮船从A港向南偏西方向航行到达B岛，再从B岛沿方向航行到达C岛，A港到航线的距离是． (1)若轮船速度为，求轮船从C岛沿返回A港所需的时间； (2)C岛在A港的什么方向？ 18．如图，某日两艘渔船和渔船与灯塔的位置如图所示，其中渔船在灯塔的北偏西方向上，与灯塔的距离是400海里，渔船在灯塔的南偏西方向上，与灯塔的距离是300海里． (1)求渔船与渔船之间的距离； (2)若灯塔发射的信号有效覆盖半径为300海里，已知渔船沿所在直线向渔船靠拢的过程中，段可以接收到信号，段无法接收到信号，请你求出渔船B在行驶过程中，能持续收到信号的里程（线段的长）是多少？ 题型·5·求河宽 19．某人欲从一条河岸边的点A，划船垂直河岸横渡一条河，到达河对岸岸边的点B，由于水流的影响，实际上岸地点C离欲到达点B距离，已知他在水中实际划了．（假设河两岸互相平行，预计行走路线和实际行走路线均为直线） (1)画出符合题意的图形； (2)求该河流的宽度． 20．如图，明明在距离河面高度为的岸边C处，用长为的绳子拉点B处的船靠岸，若明明收绳后，船到达D处，则船向岸A移动了多少米？    21．如图，湖中心的点处有一棵树，王晶想测量这棵树与湖边缘A之间的距离，她在湖外的点处用测角仪测得的度数，并在处做好标记，在A处测得的度数，恰好发现．若已知米，米，请你求出这棵树与湖边缘A之间的距离．（结果保留根号） 22．如图，某农户承包的一片稻田位于一条河流的北侧，早年河水通过两条水渠，流向稻田蓄水池以满足稻田用水，且，现水渠因故需要改道，该农户决定把通向河岸的便道修成一条水通（、、在同一条直线上），测得千米，千米，千米．      (1)问是否为稻田蓄水池到河边的最近路线？请通过计算加以说明； (2)求新水通比原水通少多少千米？ 题型·6·求台阶上地毯长度 23．如图1，是一段楼梯的示意图，截面是一个直角三角形．已知直角边长，斜边的长是．现打算在楼梯上铺地毯，每平方米的地毯售价是150元，楼梯宽为．那么购买这种地毯至少需要多少元？ 24．某会展中心在会展期间准备将高、长、宽的楼道铺上地毯，已知地毯每平方米30元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要多少元？ 25．如图，要修建一个育苗棚，棚高，棚宽，棚的长为，现要在棚顶上覆盖塑料薄膜，试求需要多少平方米塑料薄膜？ 26．某公司举行开业一周年庆典，准备在一个长，高的台阶上铺设地毯（如图所示），已知台阶的宽为． (1)请你算一算共需购买多大面积的地毯； (2)若地毯的价格为120 元，则购买地毯需花费多少元？ 题型·7·求旗杆高度 27．如图1是小明在草地上放风筝的示意图，其中点A为风筝所在的位置，为牵线放风筝的手到风筝的水平距离，为风筝线的长度，为风筝到地面的垂直距离（点C在上，且）．经测量，．如图2，风筝沿方向再竖直上升到达点E处时（即），小明放风筝的手移至点F处（点F在上），若风筝线的长度不变（即），则小明移动的距离为多少米？（整个过程中风筝线近似地看作线段） 28．小聪发现，旗杆顶端的绳子自然下垂时，绳末端恰好落在旗杆底部的地面上．他借助这条绳子测量旗杆高度．如图，线段为旗杆，将这条绳子末端拉直，当绳子末端落在宣传栏上的点处时（即），点到地面的距离，地面上B、C两点之间的距离，且A、B、C、D四点在同一竖直平面内．求旗杆的高度． 29．【综合与实践】 【主题】测量旗杆高度 【素材】某校八年1班“项目式学习小组”要开展“测量旗杆高度”的项目式学习实践．小组成员来到学校升旗礼台前，发现系在旗杆顶端的绳子垂到了地面上（如图①），并多出了一段，经测量，多出的这段长为2米． 【实践探索】 如图②，小组成员站在旗杆左边，将绳子的下端拉开8米，此时，下端刚好接触地面，且绳子处于绷直状态．小组成员据此很快就计算出旗杆的高度． 思考：你是否也能计算出旗杆的高度？请写出你的解答过程． 30．某小区改造，在市民休闲广场新建一秋千，如图，当秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至处时（即水平距离），踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，求绳索的长． (1)图中________； (2)求绳索的长度． 31．综合与实践：小明同学在延时课上进行了项目式学习的实践探究，并绘制了如表记录表格． 活动课题 在放风筝时，测量风筝离地面的垂直高度 问题背景 风筝由中国古代劳动人民发明于东周春秋时期，距今已多年，相传墨翟以木头制成木鸟，研制三年而成，是人类最早的风筝起源，兴趣小组在放风筝时想测量风筝离地面的垂直高度． 模型抽象    测绘数据 ①测得水平距离的长为米，； ②根据手中剩余线的长度，计算出风筝线的长为米； ③牵线放风筝的手到地面的距离为米． 说明 点，，，在同一平面内． 请根据表格信息，解答下列问题． (1)①点离地面的垂直高度_______米，_______米； ②求风筝离地面的垂直高度； (2)若将风筝沿方向下降米至点，连接BF，则在长度保持不变的前提下，小明同学手中的风筝线应该往回收多少米？ 题型·8·求小鸟飞行距离 32．如图，有一只喜鹊在一棵高的小树上觅食，它的巢筑在与该树水平距离（）为的一棵大树上，大树高，喜鹊的巢位于树顶下方的处，当它听到巢中幼鸟的叫声，立即飞过去，如果它飞行的速度为，那么它要飞回巢中所需的时间至少是（    ） A． B． C． D． 33．如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高2米，两树相距15米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则它至少要飞行（   ）米． A．17 B．15 C．10 D．8 34．如图，有两棵树，一棵高12米，另一棵高6米，两树相距8米，一只鸟从一棵树的树梢 飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行（   ）米． A．8 B．9 C．10 D．11 35．如图，某自动感应门的正上方处A装着一个感应器，离地米，当人体进入感应器的感应范围内时，感应门就会自动打开．一个身高1.7米的学生正对门，缓慢走到离门1.2米的地方时（米），感应门自动打开，则_________米．    题型·9·求大树折断前高度 36．《九章算术》“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”的问题，对这个问题稍作改编如下：如图，有竹子垂直于地面生长（即），折断后竹梢触地，触地点到根部的距离尺，断点到触地点的距离尺，则_____尺．    37．4月27日呼和浩特全域出现大风扬沙天气，瞬时最大阵风达到12级．如图，受大风影响，一棵树在离地面6米处断裂，树顶端落在离底部8米的地面上，大树底部与地面垂直，则树折断之前有_______米． 38．如图，一场暴雨过后，垂直于地面的一棵树在距地面处折断，树尖C恰好碰到地面，经测量，求原来树的高度． 39．如图，一根直立于水平地面的木杆在离地面的处折断，木杆顶端落在离木杆底端的处． (1)求木杆折断之前的高度； (2)如果该木杆在点的下方的点处折断，木杆顶端落在水平地面的处，在距离木杆底端的的处有棵小草，那么小草是否会被砸到？（小草的高度忽略不计，两点在点的同侧．） 40．如图，一根木杆在离地面的B处折断，木杆顶端C落在离木杆底端处， (1)如图1，求木杆折断之前的高度； (2)如图2，若此木杆在D处折断，木杆顶端C落在离木杆底端处，求的长． 41．如图，一棵竖直的大杉树在一次台风中被刮断，树顶落在离树根 处，工作人员要查看断痕处的情况，在离树根有的处架起一个长的梯子，点在同一条直线上，求这棵树原来的总高度． 题型·10·求杯子中物体长度 42．如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是8，高是15，上底面中心有个小圆孔，则一根长20的直吸管露在罐外部分的长度的范围是（罐壁厚度和圆孔大小忽略）（    ） A． B． C． D． 43．《九章算术》中有个关于门和竹竿的问题：今有户不知高、广，竿不知长短．横之不出四尺，从之不出二尺，斜之适出．问户高几何？译文：现有一扇门，不知道门的高度和门的宽度是多少，现有一支竹竿，不知竹竿的长短是多少．横着放竹竿比门宽多出4尺，竖着放竹竿比门高多出2尺，斜着放恰好与门的对角线一样长，如图．设门的对角线长为x尺，可列方程为______． 44．如图是长、宽、高的长方体容器． (1)求底面矩形的对角线的长； (2)长方体容器内可完全放入的棍子最长是多少？ 45．如图，有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边中点，它的顶端恰好到达池边的水面，求这根芦苇的长度是多少尺？ 题型·11·求梯子滑落高度 46．如图，一架长的梯子斜靠在一竖直的墙上，，这时，梯子的底端到墙底的距离为． (1)求此时梯子的顶端距地面的高度． (2)如果梯子的顶端沿墙下滑，那么梯子底端外移吗？通过计算说明你的结论． 火灾，在这栋楼的处有一老人需要救援，救人时消防车上的云梯伸长至最长，此时消防车的位置与楼房的距离为米． (1)求处与地面的距离； (2)完成处的救援后，消防员发现在处的上方米的处有一小孩没有及时撤离，为了能成功地救出小孩，消防车从处向着火的楼房靠近的距离为多少米？ 48．认真阅读下面表格中的实验探究内容并完成其中的任务． 实验情景示意图 实验使用装置 ①一根不可伸缩的绳子绕过定滑轮，一端固定在滑块上，另一端固定在物体上；（、、可以视作三个点）②滑块可在水平直轨道上左右滑动，以调节物体的高度． 初始状态 （图1）物体静止在轨道上，其到滑轮的垂直距离为，到滑块的水平距离为．（即，） 实验条件 绳子始终绷紧，滑轮、滑块及物体的大小均可忽略． 任务 (1)求绳子的总长度； (2)（图2）若物体升高，求滑块向左滑动的距离． 49．如图，一架长的梯子斜靠在一竖直的墙上，这时梯子的顶端与墙角的距离为． (1)求梯子底端与墙角的距离； (2)如果梯子的顶端沿墙下滑至墙体处，当沿墙下滑距离为，那么梯子底端外移多少？ 50．如图，小巷左右两侧是竖直的高度相等的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端O到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面的距离为2.4米．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子底端到右墙角的距离为1.5米，顶端距离墙顶的距离为1米，则墙的高度为多少米? 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $