专题05 利用勾股定理解决折叠问题（专项训练）数学新教材北师大版八年级上册

**基本信息** 聚焦勾股定理与折叠问题的深度结合，通过模型化分类构建“性质提炼-典例解析-综合应用”的完整方法体系，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |常考题型|18题（6类模型）|折叠性质（全等/垂直平分）+勾股定理列方程，分长方形（3模型）和直角三角形（3模型）提炼结论|以轴对称性质为基础，结合勾股定理解决线段计算，从特殊折痕（对角线/顶点）到一般情况（任意两点）逐步拓展| |综合攻坚|15题（3题型）|多模型综合应用，含动态折叠与分类讨论|通过变式题深化模型迁移，衔接中考高频考点，培养模型意识与问题解决能力|

专题05 利用勾股定理解决折叠问题 常考题型·精准突破 题型1 长方形中折痕过对角线模型（重） 题型2 长方形中折痕过一顶点模型 题型3 长方形中折痕过任意两点模型（高频） 题型4 直角三角形中过一个顶点所在直线（落点在一边上）翻折模型（难） 题型5 直角三角形中过斜边中点所在直线翻折模型（难） 题型6 直角三角形中过任意两点所在直线（落在其中一边）翻折模型（难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1长方形中折痕过对角线模型 【模型解读】沿着长方形的对角线所在直线进行翻折。 已知矩形中，以对角线为折痕，折叠，点的对应点为’. 结论1：≌； 结论2：折痕垂直平方’； 结论3：是等腰三角形。 1．（25-26八年级下·新疆克拉玛依·期末）如图，将长方形ABCD沿着对角线BD折叠，使点C落在处，交AD于点E．若，则线段_________． 【答案】5 【分析】本题考查了图形的折叠以及勾股定理，正确利用勾股定理求得的长是解题的关键． 设，则，在中利用勾股定理即可列方程求得x的值，即可求出线段的值． 【详解】解：长方形中， ∴， ∴， 由折叠的性质知， ∴， ∴， 设，则， 在中，， 即， 解得：， 则 ∴， 故答案为：5． 2．（24-25八年级上·重庆奉节·期末）如图，在长方形纸片中，．将沿折叠，使点落在点处，交于点，则的长为______________． 【答案】 【分析】本题考查了折叠的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理，根据折叠前后的图形全等得到相关条件是解答本题的关键．先证明，可得，设，则，在中，由勾股定理得，即可得出结论． 【详解】解：在长方形中，，， ∵由折叠的性质可知：，， ∴，， ∵在和中， ， ∴， ∴， 设，则， ∵在中，由勾股定理得：， ∴，解得， ∴， 故答案为：． 3．（25-26八年级上·福建泉州·阶段检测）如图，在长方形中，，将沿翻折，得到，其中，与相交于点，则为_____ 【答案】 【分析】本题主要考查折叠的性质与勾股定理，熟练掌握折叠的性质与勾股定理是解题的关键；由题意易得，然后可得，则可设，则有，进而根据勾股定理可建立方程进行求解． 【详解】解：∵， ∴， 由折叠的性质可知：， 在长方形中，， ∴， ∴， 设，则有， ∴在中，由勾股定理可得：， 解得：， ∴； 故答案为． ◆题型2 长方形中折痕过一顶点模型 【模型解读】沿着长方形的一个顶点和一边上的点的线段所在直线进行翻折。 已知矩形中，以为折痕，点的对应点为’. 折在矩形内 结论1：≌； 结论2：折痕垂直平方’。 折在矩形边上 结论1：≌； 结论2：折痕垂直平方’。 折在矩形外 结论1：四边形≌四边形； 结论2：折痕垂直平方’； 结论3：是等腰三角形。 4．（25-26七年级下·重庆·期末）如图，将长方形沿着折叠，点C恰好落在边上点F处，若，，则_______． 【答案】10 【分析】根据折叠的性质可得，由长方形的性质可得，从而得到，结合已知比例关系用表示出，最后在中利用勾股定理建立方程求解即可 ． 【详解】解：由折叠的性质得，， ∵四边形是长方形 ， ∴，， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴ ， 在中，由勾股定理得， ∴，解得：（已舍去负值）． 5．（24-25七年级下·湖北荆门·期末）按国际标准，A系列纸为长方形．将纸按如图所示的方式进行两次折叠，第一次折叠折痕为，点B落在线段上的点处，第二次折叠折痕为，点E与点D恰好重合．则______． 【答案】 【分析】本题考查矩形的折叠问题，勾股定理，第一次折叠后得到正方形，第二次折叠，得出，由此可解． 【详解】解：由题意可知：第一次折叠，形成一个正方形，即四边形为正方形， ， 第二次折叠，得出， ， 故答案为：． 6．（25-26八年级下·黑龙江大庆·阶段检测）如图，在长方形中，，，点N在边上，沿着折叠长方形，使点C落在点F处，连接．当线段的值最小时，_______． 【答案】 【分析】由题意可知当时，，即三点共线时，线段的值最小，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：在长方形中，，，， 根据折叠可得， 当时，，即三点共线时，线段的值最小，此时， ， ∴， ， ， 解得． ◆题型3 长方形中折痕过任意两点模型 【模型解读】沿着长方形边上的任意两点所在直线进行翻折。 已知矩形中，以，为折痕，点的对应点为’，点的对应点为’. 折在矩形内 结论1：≌； 结论2：折痕垂直平方’。 折在矩形边上 结论1：四边形≌四边形； 结论2：折痕垂直平方’。 折在矩形外 结论1：四边形≌四边形； 结论2：折痕垂直平方’； 结论3：’是直角三角形。 7．（25-26八年级下·云南曲靖·期末）如图，已知在长方形中，，，若把长方形沿折叠，使点落在点处，点落在点处，则_______． 【答案】 【分析】利用折叠的性质，设，再利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：由折叠的性质可知，， 设，则， 在中，， ， 解得：，即． 8．（25-26八年级下·福建南平·期中）如图，长方形纸片，，将长方形纸片折叠，使点D与点B重合，点C落在点处，折痕为，若，，则的长为______． 【答案】 【分析】根据折叠的性质得到，则，在中，利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：根据折叠的性质得到，， ， ， 四边形是长方形， ， ， ， ， ． 9．（25-26八年级上·山东济南·期中）如图，有一个长方形纸片，，点为上一点，将纸片沿折叠，的对应边恰好经过点，则线段的长为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理． 根据折叠的性质可得，然后在中，由勾股定理求出的长，则可得出的长，再在利用勾股定理进行计算即可求的长． 【详解】解：∵四边形是长方形， ∴， 根据折叠的性质，得， 在中，由勾股定理，得， ∴， 在中， ， ∴， 解得． 故答案是： ◆题型4 直角三角形中过一个顶点所在直线（落点在一边上）翻折模型 【模型解读】 （1）沿过点的直线翻折使得点的对应点为’落在斜边上，折痕为； （2）沿过点的直线翻折使得点的对应点为’落在斜边上，折痕为； （3）沿过点的直线翻折使得点的对应点为落在边上，折痕为。 10．（25-26八年级下·全国·周测）如图所示的是一张直角三角形纸片，，，．将斜边翻折，使点落在直角边的延长线上的点处，折痕为，则的长为__________． 【答案】 【分析】此题考查勾股定理，以及翻折问题，将图形进行折叠后，两个图形全等，是解决折叠问题的突破口． 根据勾股定理可将斜边的长求出，根据折叠的性质知，，已知的长，可将的长求出，再根据勾股定理列方程求解，即可得到的长． 【详解】解：在中，． 根据折叠的性质可知，． ， ， 即的长为． 设，则． 在中，根据勾股定理得， ，即， 解得， 即的长为． 故答案为：． 11．（25-26八年级上·山西运城·期末）如图，在中，，，，点D是上一点，连接，将沿着折叠，使点C落在上的点E处，过点B作，交的延长线于点F，则的长为_________． 【答案】 【分析】首先利用勾股定理求出，由折叠得，，，，设，则，利用勾股定理求出，，然后利用等面积法求解． 【详解】解：∵在中，，，， ∴ 由折叠得，，， ∴ 设，则 ∴在中， ∴ 解得 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴． 12．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，，点D是上的一动点，将沿折叠得到，设与相交于点F，当为直角三角形时，________． 【答案】2或 【分析】本题主要考查的是翻折的性质、勾股定理，根据题意画出符合题意的图形是解题的关键． 分三种情况：当时，根据等面积法得出，由勾股定理可求得，，然后继续利用勾股定理求解即可；②时，连接，延长交于点G，过点A作，然后证明，设，则，建立方程即可求解；根据题意得出，确定，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵折叠， ∴， 当时，如图所示， ∴， ∴即， 解得：， ∴，， 设，则， ∴， 解得：，即； 当时，连接，延长交于点G，过点A作，如图所示， 由第一种情况得：， ∴， ∵折叠， ∴, ， ∴，， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， 解得：，即； ∵， ∴， 综上可得：或， 故答案为：或． ◆题型5 直角三角形中过斜边中点所在直线翻折模型 【模型解读】 （1）沿直线（为斜边中点）翻折使得点与点重合； （2）沿中线翻折，使得点落在点处，连结，，与交于点. （3）沿中线翻折，使得点落在点处，连结，. 13．（25-26八年级上·陕西咸阳·期末）如图，在中，，，．现将进行折叠，使顶点A，B重合，折痕为，点D，E分别在，上．则线段的长为__________． 【答案】 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理．在中可得，在中可得，则，在中根据勾股定理即可求解． 【详解】解：在中，，，， ∴， ∵将进行折叠，使顶点重合， ∴，， 设，在中，， ∴， 解得：， 则， ∴在中，， 故答案为：． 14．（25-26八年级上·四川成都·期中）如图，在中，，，，将折叠，使点与重合，得折痕，则的长等于_____． 【答案】/0.875 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，解题的关键是掌握折叠前后对应边相等，直角三角形两直角边平方和等于斜边平方． 设，则，由折叠可得：，根据勾股定理得出，列出方程求解即可． 【详解】解：设，则， 由折叠可得：， ∵， ∴，则， 解得：， ∴． 故答案为：． 15．（25-26八年级上·山东青岛·期中）如图，有一张直角三角形纸片，两直角边，，现将折叠，使点与点重合，得到折痕，则的面积为________． 【答案】 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，解题的关键是掌握折叠的性质．由折叠可得：，设，则，在中，根据勾股定理列方程求出，最后根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：由折叠可得：， ， 设，则， ，， 在中，，即， 解得：， 即， ， 故答案为：． ◆题型6 直角三角形中过任意两点所在直线（落在其中一边）翻折模型 【模型解读】 （1）沿直线翻折，使得点落在点处，连结. （2）沿直线翻折使得点与边上的点重合； 16．（25-26八年级上·广西来宾·期末）如图所示，由经过两次折叠得到的，首先将沿折叠，使点A落在斜边上的点处，再沿折叠，使点B落在的延长线上的点处．若图中，，，则的长为_____________ ． 【答案】 【分析】根据折叠的性质可得出，再利用勾股定理求出，最后根据等面积法求解． 【详解】解：∵将沿折叠，使点A落在斜边上的点处，， ∴，， ∴， ∵再沿折叠，使点B落在的延长线上的点处， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴． 17．（24-25八年级下·福建三明·期中）如图，在中，，，，是的中点，是边上一动点．将沿所在直线折叠得到．当是直角三角形时，的长为_______． 【答案】或 【分析】本题考查翻折变换，勾股定理；分两种情形：如图1，当时，如图2，当时，由直角三角形的性质分别求解即可． 【详解】解：如图1，当时， ， ， ，，共线， ，， ， 设，则， 在中，则有， 解得， ． 如图，当时，， ， ， ， ． 综上所述，满足条件的的值为或． 故答案为或． 18．（25-26八年级下·安徽蚌埠·期中）如图，在中，，，，D，E分别是和边上的点，将沿折叠，点B的对应点为点． （1）若是的中点，则的长为__________． （2）若点在线段上（含端点），则的取值范围为__________． 【答案】 【分析】（1）设，则，根据折叠可知，然后在中，由勾股定理建立方程求解即可； （2）找出两个临界位置，利用勾股定理和折叠的性质求解即可． 【详解】解：（1）是的中点， ， 设，则，根据折叠可知， ∵ 在中，， ， 解得， ； （2）根据轴对称的性质可得， 当的值最大即点A与点重合时，的值最小，如图1，此时， 设，则， 在中，， ， 解得， ； 当的值最小即点C与点重合时，的值最大， 如图2，此时， 综上所述，的取值范围为． 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．（25-26八年级下·安徽池州·期末）如图，折叠长方形的一边，使点落在边上的点处，若，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由勾股定理求得，则，在中，由勾股定理求解即可． 【详解】解：在长方形中，，，， 由折叠性质得，， 在中，， ∴ 在中，由勾股定理得， ∴，解得． 2．（25-26八年级下·重庆巴南·期末）如图，中，，，，沿折叠，使点与点重合，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据勾股定理可知，根据折叠的性质得到，设，根据勾股定理求出，进而根据勾股定理计算即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵沿折叠，使点与点重合， ∴， 设， 则， ∵，， ∴， 解得， ∴， ∴． 3．（2026·河南·模拟预测）如图，正方形中，点P，Q分别为，上一个动点，将正方形沿折叠，点的对应点始终落在上，已知，当点为中点时，的长为（     ）    A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】由正方形的性质得到，由中点的性质得到，，则，由折叠可得，再利用勾股定理运算求解即可． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵点为中点， ∴， 设，则， ∵折叠， ∴， ∴在中，， ∴， 解得：， ∴． 4．（25-26八年级下·内蒙古呼和浩特·期中）如图，中，，，，，分别是边，上的两个动点．将沿直线折叠，使得点的对应点落在边的三等分点处，则线段的长为（   ） A．3 B． C．3或 D．3或 【答案】C 【分析】根据题意，分点D在上且靠近点B的三等分点时和点D在上且靠近点C的三等分点时两种情形，设，在中，勾股定理建立方程，解方程即可求解． 【详解】解：①当点D在上且靠近点B的三等分点时， ∴， 设，则， ∴在中，， ∴， 解得， ②当点D在上且靠近点C的三等分点时， ∴， 设，则， ∴在中，， ∴， 解得， 综上所述，或． 5．（25-26八年级下·福建南平·期中）如图，在长方形中，，在上取一点，连接，，将沿翻折，使点落在点处，线段交于点，将沿翻折，使点的对应点落在线段上．若点恰好为线段的中点，则线段的值为（    ） A．22 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据折叠的性质和“”，易得，从而，再根据角之间的关系，可得，设，由线段之间的关系易求，，，，最后根据勾股定理，可得，，进而列出方程，求解即可． 【详解】解：由折叠知，，，，，，，，， 长方形，， ，，， 在和中， ， ， ， ，，， ，即， 设，则， 点恰好为线段的中点， ，， ， ，， 在中，， 在中，， 在中，， ，解得（负值已舍去）， ． 二、填空题 6．（25-26八年级上·广东深圳·期中）如图，将直角三角形纸片的直角沿折叠，点恰好落到边的点处．如果，，那么_______． 【答案】3 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，一元一次方程，掌握折叠前后对应线段和角大小保持不变是解题的关键． 设线段的长度为，根据折叠的性质，用含有x的式子表示，再根据勾股定理列式，即可求解． 【详解】解：设线段的长度为， 是直角三角形，，， ， 根据折叠，可知， ， 在中，由勾股定理可知， 解得， 线段的长度为． 故答案为：3． 7．（25-26八年级上·四川成都·阶段检测）长方形中，，点E是边上一点，将沿翻折，点B恰好落在对角线上的点F处，则的长为_____ ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了长方形的性质、折叠的性质、勾股定理等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． 由长方形的性质以及勾股定理可得，，根据折叠的性质可得，即，最后根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：∵四边形是长方形， ∴， 又∵， ∴，， ∵将沿翻折，点B恰好落在对角线上的点F处， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为3． 8．（25-26八年级上·上海松江·期末）如图，在中，，，，D为上一动点，将沿着折叠，点C落到处．当时，______． 【答案】2 【分析】此题考查了折叠的性质和勾股定理的应用，设于点，用勾股定理和等积法求出，由折叠可知，，设，得到，，利用勾股定理列方程即可求出答案． 【详解】解：设于点，如图， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 由折叠可知，， 设， ∴， ∵， ∴, 解得， 故答案为：2 9．（25-26八年级上·山西·阶段检测）如图，在中，，，，D，E分别是边上的两个动点．将沿直线折叠，使得点B的对应点落在边的三等分点处，则线段的长为_______． 【答案】或5 【分析】本题主要考查勾股定理及折叠的性质，熟练掌握勾股定理及折叠的性质是解题的关键． 由题意可知或，然后分两种情况进行求解即可． 【详解】解：∵点B的对应点落在边的三等分点处，， ∴或， 由题意，得， 如图1，当时， 在中，由勾股定理，得：， ， ， ； ②如图2，当时， 在中，由勾股定理，得：， ， ， ． 综上所述，线段的长为或5． 故答案为：或5． 10．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）如图，在中，，，，点D是边的中点，点E是边上一动点，连接，将沿折叠，使点C落在点F处，连接，若是直角三角形，则的长是_________． 【答案】7或 【分析】本题考查翻折变换，直角三角形的性质等知识．分两种情形：当时，当时，分别求解即可． 【详解】解：当时， ， ， ，，共线， ，， ， 设，则， 在中，则有 解得， ； 当时，， ， ， ， ， 综上所述，满足条件的的值为7或． 故答案为：7或． 三、解答题 11．（25-26八年级上·江西吉安·阶段检测）如图，将直角三角形纸片折叠，使得点与点重合，折痕为，，，． (1)求折痕的长； (2)求四边形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了勾股定理与折叠问题，熟练掌握勾股定理和折叠的性质是解题的关键． （1）连接，根据勾股定理求出，由折叠可知，，．设，则．根据勾股定理可列方程，即可求得，再根据勾股定理即可得解． （2）根据求解即可． 【详解】（1）解：连接， 在中，，，， ． 由折叠可知， ，，． 设，则． 在中，由勾股定理得：， ， 解得，即． 在中，，， 由勾股定理得：． （2）解：，． ． 12．（25-26八年级上·陕西咸阳·阶段检测）如图，在中，，，，D，E分别是边和边上的点．把沿着直线折叠，顶点B的对应点刚好落在边的中点上． (1)试判断的形状，并说明理由； (2)求的长度． 【答案】(1)直角三角形，理由见解析 (2)． 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，折叠的性质． （1）根据勾股定理逆定理证明即可； （2）根据中点的定义得到，设，根据折叠的性质结合勾股定理计算即可． 【详解】（1）解：是直角三角形，理由如下： ∵， ∴， 即是直角三角形； （2）解：∵刚好落在边的中点上， ∴， 设， ∵把沿着直线折叠，顶点的对应点落在边中点上， ∴， ∴中，， ∴， 解得：． 13．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，把一张长方形纸片折叠起来，为折痕，使其对角顶点A与点重合，点与点重合．若长方形的长为8，宽为4． (1)求的长； (2)求的值； (3)求阴影部分的面积． 【答案】(1)3 (2)20 (3) 【分析】（1）由折叠可知，设，则，在中，根据，求出的长即可； （2）过点作于点，在 中，由勾股定理求出的长，即可得的长，在中，由勾股定理即可得出答案； （3）过点作于点，根据三角形面积不变性，，求出的长，根据三角形面积求出结果即可． 本题主要考查了折叠的性质、勾股定理以及三角形面积不变性，灵活运用折叠的性质、勾股定理等几何知识点来分析、判断、推理是解题的关键． 【详解】（1）解：由折叠可知 ，． 设，则，． 在中，， ∴， 解得， ∴． （2）解：如图，过点作于点，则． 在中， ∵， ∴由勾股定理，得， 即， ∴． ∵， ∴， ∴． （3）解：如图，过点作于点． 在中，，，． 由， 得， ∴． 14．（24-25八年级上·江苏常州·期中）如图，直角三角形中，，，是的上的一点，若将沿折叠，点恰好落在所在直线上点处． (1)求边的长； (2)求的长； (3)在所在直线上找一点，使得以点、、为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出的长． 【答案】(1)10 (2) (3)或或或 【分析】本题考查勾股定理与折叠问题，等腰三角形的性质： （1）直接利用勾股定理进行求解即可； （2）折叠的性质，得到，，设，在中利用勾股定理，进行求解即可； （3）分，三种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：直角三角形中，，， ∴； （2）∵折叠， ∴，， ∴， 设， ∴， 在中，， ∴， 解得：； ∴； （3）由（2）可知：； 当点、、为顶点的三角形是等腰三角形时： ①当时： 则：； ②当时： 则：，或 ③当时： 设，则：， 在中，由勾股定理，得：， ∴， ∴； 综上：或或或． 15．（25-26八年级上·福建漳州·阶段检测）如图，在长方形中，． (1)如图①，将长方形沿翻折，使点A与点C重合，点D落在点处，求BF的长； (2)如图②，将沿翻折，若交于点E，求的面积； (3)如图③，，P为边上的一点，将沿翻折得到，，分别交边于点E，F，且，求的长． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题考查勾股定理，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，正确理解题意确定三角形的三边由勾股定理建立方程是解题的关键． （1）设，在中，根据，构建方程即可解决问题； （2）首先证明，设，在中，利用勾股定理构建方程，求出，再代入数值到进行计算，即可解决问题； （3）设，首先证明，推出，，由，推出，，，在中，可得，解方程即可解决问题； 【详解】（1）解：根据折叠的性质，得． ∵四边形是长方形， ∴． 设， 则， 在Rt中， ， ∴， 解得， ∴． （2）解：∵四边形是长方形， ∴． 根据折叠的性质，得． 又∵， ∴． ∵交于点， ∴， ∴， ∴． 设， 则． 在Rt中， ， ∴， 解得， ∴． ∴， ∴． （3）解：∵四边形是长方形， ∴． 由折叠的性质， 得， ∴． 又∵， ∴， ∴， ∴． 又∵， 设， 则， ∴． 在Rt中，， 解得， ∴． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题5利用勾股定理解决折叠问题 内容概览 目常考题型精准突破 题型1长方形中折痕过对角线模型（重） 题型2长方形中折痕过一顶点模型 题型3长方形中折痕过任意两点模型（高频） 题型4直角三角形中过一个顶点所在直线（落点在一边上）翻折模型（难） 题型5直角三角形中过斜边中点所在直线翻折模型（难） 题型6直角三角形中过任意两点所在直线（落在其中一边）鄱折模型（难） 目综合攻坚知能拔高 常考题型精准突破 ◆题型1长方形中折痕过对角线模型 【模型解读】沿着长方形的对角线所在直线进行翻折。 己知矩形中，以对角线为折痕，折叠△，点的对应点为 结论1：△ABC≌△ABC: 结论2：折痕垂直平方： 结论3：△是等腰三角形。 1. (25-26八年级下新疆克拉玛依期末)如图，将长方形ABCD沿着对角线BD折叠，使点C落在C'处， BC'交AD于点E.若AB=4,AD=8,则线段BE= C 2.(24-25八年级上重庆奉节期末)如图，在长方形纸片ABCD中，AB=6,BC=8.将△ABD沿BD折 叠，使点A落在点P处，PD交CB于点Q,则CQ的长为 1/12 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B 3.(25-26八年级上福建泉州阶段检测)如图，在长方形ABCD中，BC=2AB=4,将△ABC沿AC翻折， 得到△AEC,其中，AD与CE相交于点F,则DF为一 ◆题型2长方形中折痕过一顶点模型 【模型解读】沿着长方形的一个顶点和一边上的点的线段所在直线进行翻折。 已知矩形中，以为折痕，点的对应点为. 结论1：△ABE≌△ABE: 折在矩形内 结论2：折痕垂直平方。 结论1：△ABE≌△ABE: 折在矩形边上 结论2：折痕垂直平方。 B'C 结论1：四边形ABCE≌四边形ABCE; 折在矩形外 结论2：折痕垂直平方； 结论3：△是等腰三角形。 4.(25-26七年级下重庆期末)如图，将长方形ABCD沿着BE折叠，点C恰好落在AD边上点F处，若 DF 2 AB=8:BC=5,则BF= 2/12 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 O 5.(2425七年级下·湖北荆门期末)按国际标准，A系列纸为长方形.将A4纸按如图所示的方式进行两 次折叠，第一次折叠折痕为AE,点B落在线段AD上的点B处，第二次折叠折痕为AF,点E与点D恰 AD 好重合，则AB B'D B'D(E) C 6.(25-26八年级下·黑龙江大庆·阶段检测)如图，在长方形ABCD中，AD=3,CD=4,点N在边CD 上，沿着BN折叠长方形ABCD,使点C落在点F处，连接DF.当线段DF+BF的值最小时，CN= 6 ◆题型3长方形中折痕过任意两点模型 【模型解读】沿着长方形边上的任意两点所在直线进行翻折。 已知矩形中，以，为折痕，点的对应点为，点的对应点为· 结论1：△BEF≌△BEF: 折在矩形内 结论2：折痕垂直平方。 结论1：四边形EBCF≌四边形EBCF: 折在矩形边上 结论2：折痕垂直平方”。 3/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 结论1：四边形EBCF≌四边形EBCF； 折在矩形外 结论2：折痕垂直平方； D 结论3：△’是直角三角形。 7.(25-26八年级下云南曲靖期末)如图，已知在长方形ABCD中，AB=3,BC=5,若把长方形 ABCD沿EF折叠，使点C落在点A处，点D落在点G处，则CF= G D 8.(25-26八年级下福建南平期中)如图，长方形纸片ABCD,AD∥BC,将长方形纸片折叠，使点D 与点B重合，点C落在点C处，折痕为EF,若AB=4,AD=8,则AE的长为 D 9.(25-26八年级上山东济南期中)如图，有一个长方形纸片ABCD,AB=6cm,BC=10cm,点为CD 上一点，将纸片沿AE折叠，BC的对应边B'C恰好经过点，则线段DE的长为 cm B ◆题型4直角三角形中过一个顶点所在直线（落点在一边上）翻折模型 【模型解读】 (1)沿过点的直线翻折使得点的对应点为落在斜边上，折痕为： (2)沿过点的直线翻折使得点的对应点为落在斜边上，折痕为； (3)沿过点的直线翻折使得点的对应点为落在边上，折痕为。 4/12 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 10.(25-26八年级下全国·周测)如图所示的是一张直角三角形纸片，∠ACB=90°，AC=8cm, BC=6cm.将斜边AB翻折，使点B落在直角边AC的延长线上的点E处，折痕为AD,则CD的长为 cm C.B 11.(25-26八年级上山西运城期末)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4,BC=3,点D是BC 上一点，连接AD,将△ACD沿着AD折叠，使点C落在AB上的点E处，过点B作BF⊥AD,交AD的延 长线于点F,则BF的长为 E 12.(25-26八年级上浙江杭州期中)如图，在R1△ABC中，∠BAC=90°，AB=3,AC=4,点D是BC上 的一动点，将△ACD沿AD折叠得到△ADE,设AE与BC相交于点F,当△EFD为直角三角形时，CD= 5/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ◆题型5直角三角形中过斜边中点所在直线翻折模型 【模型解读】 (1)沿直线（为斜边中点）翻折使得点与点重合： (2)沿中线翻折，使得点落在点处，连结，，与交于点. (3)沿中线翻折，使得点落在点处，连结，· 13.(25-26八年级上陕西咸阳期末)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8,BC=6.现将△ABC 进行折叠，使顶点A,B重合，折痕为DE,点D,E分别在AC,AB上.则线段DE的长为 D A---- E 14.(25-26八年级上：四川成都期中)如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3cm,BC=4cm,将 △ABC折叠，使点C与A重合，得折痕DE,则BE的长等于cm. D E 15.(25-26八年级上山东青岛期中)如图，有一张直角三角形纸片△ABC,两直角边AC=8,BC=16, 现将Rt△ABC折叠，使点B与点A重合，得到折痕MN,则△ACM的面积为 M B.----- ◆题型6直角三角形中过任意两点所在直线（落在其中一边）翻折模型 6/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【模型解读】 (1)沿直线翻折，使得点落在点处，连结. (2)沿直线翻折使得点与边上的点重合： C D B 16.(25-26八年级上：广西来宾期末)如图所示，由Rt△ABC经过两次折叠得到的，首先将Rt△ABC沿 CD折叠，使点A落在斜边上的点A处，再沿DE折叠，使点B落在DA'的延长线上的点B处.若图中 ∠A=90°，DE=3cm,CD=4cm,则DA'的长为 B-- 17.(24-25八年级下·福建三明期中)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12,，BC=10,D是BC的 中点，E是AC边上一动点，将△CDE沿DE所在直线折叠得到△CDE.当△AEC'是直角三角形时，AC' 的长为 H 18.(25-26八年级下安徽蚌埠期中)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6,BC=8,D,E分别 是AB和BC边上的点，将△BDE沿DE折叠，点B的对应点为点B'. B C B (I)若B是AC的中点，则CE的长为 7/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)若点B在线段AC上（含端点），则CE的取值范围为 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1.(25-26八年级下·安徽池州期末)如图，折叠长方形ABCD的一边AD,使点D落在BC边上的点F处， 若AB=4,AD=5,则CE的长为() D B A.1 B.1.5 C.2 D.5 2.(25-26八年级下重庆巴南期末)如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=8,BC=6,沿DE折叠，使 点A与点B重合，则DE的长为() D 11 A.3 B.4 c号 n.日 3.(2026河南模拟预测)如图，正方形ABCD中，点P,Q分别为AB,CD上一个动点，将正方形沿 P折叠，点D的对应点M始终落在BC上，已知AB=8,当点M为BC中点时，D的长为() 8/12 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A D Q B M C A.3 B.4 C.5 D.6 4.(25-26八年级下·内蒙古呼和浩特·期中)如图，Rt△ABC中，AB=8,BC=6,∠B=90°，M,N 分别是边AC,AB上的两个动点.将△ABC沿直线MN折叠，使得点A的对应点D落在边BC的三等分点 处，则线段BN的长为() M D B 15 B. 15 A.3 4 C.3或4 D.3或 5.(25-26八年级下福建南平期中)如图，在长方形ABCD中，AB=1,在BC上取一点E,连接AE, ED,将△ABE沿AE翻折，使点B落在点B处，线段EB'交AD于点F,将△ECD沿DE翻折，使点C的 对应点C落在线段EB上.若点C'恰好为线段EB的中点，则线段EF的值为() B' B E A.22 B.62 c.v 3v2 6 D. 4 二、填空题 6.(25-26八年级上广东深圳期中)如图，将直角三角形纸片ABC的直角∠C沿AD折叠，点C恰好落 到边AB的点E处.如果AC=6cm,BC=8cm,那么CD= cm」 9/12 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 7.(25-26八年级上四川成都阶段检测)长方形ABCD中，AB=6,AD=8,点E是边BC上一点，将 △ABE沿AE翻折，点B恰好落在对角线AC上的点F处，则BE的长为一· E 8.(25-26八年级上·上海松江期末)如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=3,BC=4,D为AC上一 动点，将aBDC沿着BD折叠，点C落到C处.当BC'⊥AC时，CD=一· B C 9.(25-26八年级上山西阶段检测)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6,BC=8,D,E分别是 边BC,AB上的两个动点，将△ABC沿直线DE折叠，使得点B的对应点B落在边AC的三等分点处，则线 段BD的长为 B D 10.(25-26八年级上江苏苏州期中)如图，在R△ABC中，∠C=90°，AC=10,BC=12,点D是 AC边的中点，点E是CB边上一动点，连接DE,将△CDE沿DE折叠，使点C落在点F处，连接BF, 若△BEF是直角三角形，则BE的长是 10/12 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 三、解答题 11.(25-26八年级上·江西吉安阶段检测)如图，将直角三角形纸片ABC折叠，使得点A与点B重合，折 痕为DE,∠ACB=90°，AB=10,BC=6, D E B C (I)求折痕DE的长： (2)求四边形BCED的面积. 12.(25-26八年级上陕西咸阳阶段检测)如图，在△ABC中，AC=8,BC=15,AB=17,D,E分别 是边AB和边CB上的点.把△ABC沿着直线DE折叠，顶点B的对应点B刚好落在边AC的中点上 B (I)试判断△ABC的形状，并说明理由； (2)求CE的长度， 13.(25-26八年级上全国单元测试)如图，把一张长方形纸片ABCD折叠起来，EF为折痕，使其对角 顶点A与点C重合，点D与点G重合.若长方形的长BC为8，宽AB为4. 11/12 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 G D B (I)求DE的长： (2)求EF2的值： (3)求阴影部分△GED的面积 14.(24-25八年级上江苏常州期中)如图，直角三角形AOB中，A0=6,B0=8,M是OB的上的一 点，若将△ABM沿AM折叠，点B恰好落在AO所在直线上点B处. B B M M M B ⊙ (I)求边AB的长； (2)求OM的长； (3)在AO所在直线上找一点P,使得以点P、M、B'为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出OP的长. 15.(25-26八年级上福建漳州阶段检测)如图，在长方形ABCD中，AB=CD=10,BC=AD=6 D F 图① 图② 图③ (I)如图①，将长方形ABCD沿EF翻折，使点A与点C重合，点D落在点D'处，求BF的长： (2)如图②，将△ABD沿BD翻折，若A'B交CD于点E,求△BDE的面积： (3)如图③，，P为AD边上的一点，将△ABP沿BP翻折得到△A'BP,A'B,A'P分别交CD边于点E,F, 且DF=A'F,求CE的长 12/12函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题5利用勾股定理解决折叠问题 内容概览 目常考题型精准突破 题型1长方形中折痕过对角线模型（重） 题型2长方形中折痕过一顶点模型 题型3长方形中折痕过任意两点模型（高频） 题型4直角三角形中过一个顶点所在直线（落点在一边上）翻折模型（难） 题型5直角三角形中过斜边中点所在直线翻折模型（难） 题型6直角三角形中过任意两点所在直线（落在其中一边）鄱折模型（难） 目综合攻坚知能拔高 常考题型：精准突破 ◆题型1长方形中折痕过对角线模型 1.5 1 2.4 ◆题型2长方形中折痕过一顶点模型 4.10 5.2 ◆题型3长方形中折痕过任意两点模型 1/8 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 7 1.5 8.3 99 ◆题型4直角三角形中过一个顶点所在直线（落点在一边上）翻折模型 8 10.3 11. V10 2 .4 12.2或5 ◆题型5直角三角形中过斜边中点所在直线翻折模型 5 13.4 7 14.80.875 15.24 ◆题型6直角三角形中过任意两点所在直线（落在其中一边）翻折模型 12 16.5cm 17.8或V74 18 子cEs4 2/8 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 综合攻坚知能拔高 一、单选题 1.B 2.D 3.C 4.C 5.D 二、填空题 6.3 7.3 8.2 17 9.4或5 10,7政9 三、解答题 11. 【答案】(I)解：连接BE, D ■ B C 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10,BC=6, AC=VAB2-BC2=V102-62=8. 由折叠可知，AD=BD=5,AE=BE,∠ADE=90°， 设AE=BE=x,则CE=AC-AE=8-x. 在RtABCE中，由勾股定理得：BE2=BC2+CE2, x2=62+(8-x), 3/8 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 25 解得x= 4，即AE=25 4· 在R△ADE中，AD=5,4E-空 4， 由勾股定理得：DE=VAE2-AD=15 (2)解：5c2×ACxBC= 1 2XADxDE-1x5x 1 x8x6=24,S640E= 15_75 48· 边0D=5c-SA0E=24-75=1卫 881 12. 【答案】(I)解：△ABC是直角三角形，理由如下： 82+152=289=172, .AC2+BC2=AB2, 即△ABC是直角三角形： (2)解：B刚好落在边AC的中点上， :BC=)AC=4, 2 设CE=x, ,把△ABC沿着直线DE折叠，顶点B的对应点B'落在AC边中点上， .BE=B'E=BC-CE=15-x, .RtaB'CE中，BC2+CE2=B'E2, 4+x2=(15-x2, 209 解得：x= 30· 13. 【答案】(1)解：由折叠可知DE=GE,AG=DC=AB=4」 设DE=x,则GE=x,AE=8-x. 在Rt△AEG中，AG2+GE2=AE2, .16+x2=(8-x)2, 解得x=3, .DE=3 (2)解：如图，过点F作FH⊥AD于点H,则FH=4. 4/8 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 在RtAABF中， .AF =FC, ∴由勾股定理，得BF2=AF2-AB2, 即BF2=(8-BF)2-16, .'BF=AH=3 AE=AD-DE=5. .EH=AE-AH=2, .EF2=FH+EH2=42+22=20 (3)解：如图，过点G作GM⊥AD于点M. 在Rt△GAE中，GE=3,AE=5,AG=4. 由24G.GE=)1E.GM. 1 2 得GM=I2 5 SAOm=GM.DE=18 A D 14. 【答案】(1)解：直角三角形AOB中，A0=6,B0=8, ..AB=O42+OB2=10; (2),折叠， ∴.AB=AB'=10,BM=B'M, .OB'=AB'-OA=4, 设OM=x, .BM=B'M=OB-OM=8-x, 在RtaB'OM中，B'M2=OM2+OB2, .(8-x)2=x2+42, 5/8 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 解得：x=3; .OM=3: (3)由(2)可知：BM=B'M=OB-OM=5: 当点P、M、B为顶点的三角形是等腰三角形时： ①当MP=B'M=5时： M P不 则：OP=OB'=4: ②当BP=B'M=5时： B M 则：OP=B'P-OB'=1,或OP=B'P+OB'=9 ③当B'P=MP时： B M B' 设OP=a,则：B'P=PM=OB-OP=4-a, 在RtaP0M中，由勾股定理，得：(4-a}=a2+32, 7 .a= 8 0p= : 618 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 7 综上：0P=g或OP=4或0P=9或0P=I 15. 【答案】(1)解：根据折叠的性质，得AF=CF. :四边形ABCD是长方形， ∴.∠B=90° 设BF=x, 则AF=CF=AB-BF=10-x, 在Rt△BFC中，BF2+BC2=FC2, x2+62=10-x2, 解得x16 , r-5 (2)解：，四边形ABCD是长方形， .∠A=∠C=90° 根据折叠的性质，得∠A=∠A'=90°，AD=A'D 又，BC=AD」 .A'D=CB,∠A=∠C AB交CD于点E, .∠A'ED=∠CEB, .△A'ED≌aCEB(AAS). ∴.ED=EB 设CE=y, 则ED=EB=DC-CE=10-y. 在RtABCE中，CE2+BC=BE2, .y2+62=(10-y)2, 16 解得y= 5 :CE=16 5· 718 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ·DE=10-1634 55’ ·S,e=)×DEx BC=x34x6 -X- 25 6102 5 (3)解：：四边形ABCD是长方形， .∠A=∠D=90° 由折叠的性质， 得∠A'=∠A=90°，AP=AP,AB=A'B=10, ∠D=∠A'=90° 又DF=A'F,∠DFP=∠AFE, .△DFP≌aA'FE(ASA). :.DP=AE,PF=EF, .DE=PA', 又：AD=BC=6, 设PA=m, DP=4'E=AD-PA=6-m,DE=PA'=m, :.EC=10-m,BE=10-(6-m)=4+m」 在RtAECB中，(4+m)2=6+(10-m)2, 解得m30 79 ·.CE=10-30、40 7=7· 8/8