专题2.2 一定是直角三角形吗 《知识解读·题型专练》-2026-2027学年北师大版八年级数学上册

**基本信息** 聚焦勾股定理逆定理应用，通过6类题型构建从概念辨析到实际应用的递进训练体系，培养几何直观与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |判断三边构成直角三角形|4题|直接验证三边关系|概念基础：逆定理直接应用| |勾股数|6题|辨析与规律探究|概念深化：勾股数性质与生成| |网格中判断直角三角形|4题|结合网格计算边长|几何直观：数形结合验证| |图形上找点构成直角三角形|4题|多位置分类讨论|空间观念：分类思想应用| |利用逆定理求解|5题|综合图形面积与边长计算|推理意识：定理与几何性质结合| |实际应用|5题|联系生活场景建模|应用意识：实际问题数学化|

专题2.2 一定是直角三角形吗（专题训练） 【新教材北师大版】 题型归纳 题型·1…判断三边能否构成直角三角形 1 题型·2·勾股数 2 题型 3·网格中判断直角三角形 6 题型·4··图形上与己知两点构成直角三角形的点 10 题型·5·利用勾股定理的逆定理求解 13 题型·6·勾股定理的逆定理实际应用 16 题型·1…判断三边能否构成直角三角形 1．在几何图形学习中，直角三角形是应用广泛的基础图形．下列长度（单位：cm）的各组线段中，能构成直角三角形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】用勾股定理的逆定理，验证每组中两短边的平方和与最长边平方是否相等． 【详解】解： A、，不满足三边关系，不能构成三角形，不符合题意； B、，，，不能构成直角三角形，不符合题意； C、，，，不能构成直角三角形，不符合题意； D、，，，能构成直角三角形，符合题意． 2．下列各组数不能作为直角三角形三边长的是（     ） A．3，4，5 B．4，7，9 C．5，12，13 D．6，8，10 【答案】B 【分析】计算每组数中两较短边的平方和与最长边的平方，判断二者是否相等． 【详解】解：A、∵，∴，，能作为直角三角形三边长，不符合题意； B、∵，，，∴，，不能作为直角三角形三边长，符合题意； C、∵，∴，，能作为直角三角形三边长，不符合题意； D、∵，∴，，能作为直角三角形三边长，不符合题意． 3．由线段a、b、c组成的三角形，不是直角三角形的是（     ） A．     B．     C．     D．     【答案】D 【分析】通过验证两小边的平方和是否等于最长边的平方，判断三角形是否为直角三角形，找出不符合条件的选项即可． 【详解】解：选项A，最长边为， ，，，是直角三角形； 选项B，最长边为， ，，，是直角三角形； 选项C，最长边为， ，，，是直角三角形； 选项D，最长边为， ，，，不是直角三角形． 4．在中，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用勾股定理的逆定理判断出直角顶点，再结合三角形内角和定理计算的度数． 【详解】解：∵， ∴根据勾股定理的逆定理，可得是直角三角形，， ∵三角形内角和为， ∴． 题型·2·勾股数 5．在下列各组数中，是勾股数的是（     ） A．1，2，3 B．2，3，5 C．3，4，5 D．4，6，8 【答案】C 【分析】四个选项中的数均为正整数，只需验证较小两数的平方和是否等于最大数的平方. 【详解】解：A. ，不是勾股数. B. ，不是勾股数. C. ，是勾股数. D. ，不是勾股数. 6．我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．下列各组数中，是“勾股数”的是（     ） A．、、 B．、、 C．、、 D．、、 【答案】A 【详解】解：勾股数是满足两个较小数的平方和等于最大数的平方的三个正整数， 选项A中，且三个数均为正整数，符合题意； 选项C中，，，不满足勾股定理，不符合题意； 选项B中各数为无理数，选项D中各数为小数，均不是正整数，不符合题意． 7．《周髀算经》中记录了一组“勾为三，股为四，弦为五”的勾股数．观察下列勾股数：、、；、、；、、；…，这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为，若某个此类勾股数的勾为，则其弦是________． 【答案】 【分析】已知勾为，弦与股相差，根据勾股定理列方程即可求解． 【详解】解：设该勾股数的股为，则弦为， 根据勾股定理可得， 展开等式右边得， 消去后整理得， 解得， 因此弦为． 8．如果把看作关于，，的方程，那么满足这个方程的正整数解，，通常叫作勾股数组．古希腊哲学家柏拉图发现了蕴含某种共性规律的勾股数组：①，，；②，，；③，，；④，，；…，分析其中的规律，第⑤个勾股数组为________． 【答案】，， 【分析】先观察已知四组勾股数组，分别归纳三个数的变化规律，再根据规律计算得到第⑤个勾股数组． 【详解】解：观察已知勾股数组第一个数的规律： 第①组第一个数： 第②组第一个数： 第③组第一个数： 第④组第一个数： 可得第组勾股数组的第一个数为，因此第⑤组第一个数为； 观察第二个数和第三个数的规律，可得：第二个数为，第三个数为， 验证规律： 第①组：，，符合； 第②组：，，符合； 第③组：，，符合； 第④组：，，符合； 将第⑤组第一个数代入得： 第二个数： 第三个数： 故答案为 ． 9．（1）我们把能够成为直角三角形三条边的三个正整数，，称为勾股数．若5，13，是一组勾股数，则_____； （2）在学习“勾股数”的知识时，小明发现了一组有规律的勾股数，并将它们记录在如下的表格中． 6 8 10 12 14 … 8 15 24 35 48 … 10 17 26 37 50 … 则当时，的值为_____． 【答案】 12 200 【分析】（1）根据勾股数的概念，分两种情况，列出方程，求解即可； （2）根据表中的数据可得，再根据勾股数的概念可得，，求得，即可． 【详解】解：（1）当最大时，由勾股数的概念可得，， 解得（负值舍去），不是正整数，舍去； 当13为最大边时，由勾股数的概念可得， 解得或（舍去），符合题意； （2）由表格得规律：， 根据勾股数的概念可得：，即， 将代入得， 解得， ∴， ∴． 10．我国古代把直角三角形中较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”．下列表格所给出的三个正整数，，为直角三角形的三条边长，且． 序号 列举 猜想 ，， ，， ，， ，， (1)若“勾”为，则“股” ，“弦” ． (2)表格中的 ， ， ．(用含的式子表示) (3)若小逸同学不小心将表格中的一组勾股数滴上了墨水，只知道最大的数是，请你帮他求出这组勾股数． 【答案】(1)40，41 (2)，， (3)17，144，145 【分析】此题主要考查了勾股数的定义、规律型：数字的变化类，解题时要熟练掌握并能灵活运用勾股定理是关键． （1）依据题意，根据所给材料及表格发现规律表示出即可； （2）依据题意，根据所给材料及表格发现规律，a为大于1的奇数，即，再根据b，c与a的关系，表示出b，c即可； （3）依据题意，由（2）中的结论知道，进而知道，最后根据b，c与a的关系反推出a的值． 【详解】（1）解：“股”，“弦”， 故答案为：40，41； （2）解：通过表格可发现规律，，， ， 故答案为：，，； （3）解：根据（2）中的结论得：， ∴， ∴， ∴， ∴这组勾股数为17，144，145． 题型 3·网格中判断直角三角形 11．如图是由边长为1的小正方形组成的正方形网格，的顶点都在格点（正方形的顶点）上．求证：． 【答案】 证明：∵在边长为的小正方形组成的网格中， ∴，，， ∴， ∴是直角三角形， ∴． 【分析】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理．根据勾股定理，求出，，的值，再根据勾股定理的逆定理，即可求出． 【详解】略 12．如图，四边形的四个顶点都在网格上，且每个小正方形的边长都为1．    (1)求四边形的面积； (2)判断线段和的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)17.5 (2) 解：， 理由：如图，连接，   ，，， ， 是直角三角形且， 即． 【分析】本题考查了四边形的面积，三角形的面积，勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． （1）根据四边形的面积等于长方形的面积减去四个直角三角形的面积和一个小长方形的面积计算即可； （2）根据勾股定理的逆定理判断即可． 【详解】（1）解：四边形的面积为： ； （2）略 13．在边长为1的正方形网格中，的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列各题： (1)的面积为_____； (2)试说明：． 【答案】(1)5 (2) 解：，， 又， 是直角三角形， ． 【分析】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理的知识． （1）利用割补法求解即可； （2）根据勾股定理的逆定理证明即可． 【详解】（1）解：的面积 ． 故答案为：5； （2）略 14．在平面直角坐标系中的位置如图所示，A、B、C三点在格点上． (1)作出关于y轴对称后的图形； (2)判断的形状，并说明理由． 【答案】(1) 即为所求： ； (2) 解：由图像可得， ，，， ，， ， 为等腰直角三角形． 【分析】（1）本题考查画轴对称图形，根据对应点的连线被对称轴垂直平分直接画即可得到答案； （2）本题考查勾股定理及逆定理，等腰三角形的定义，根据勾股定理求出各边，再根据勾股定理逆定理判断即可得到答案； 【详解】（1）解：根据对应点的连线被对称轴垂直平分找到，，，连接，，， （2）略 题型·4··图形上与己知两点构成直角三角形的点 15．在如图的网格中，以为一边画，则满足条件的格点C共有（    ） A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 【答案】A 【分析】本题考查了直角三角形的性质与判定，根据网格的特点，分为斜边，以及分别为直角顶点，分类讨论，即可求解． 【详解】解：当是斜边时，则第三个顶点所在的位置有：C、D、E、H四个； 当是直角边，A是直角顶点时，第三个顶点是F点； 当是直角边，B是直角顶点时，第三个顶点是G． 因而共有6个满足条件的顶点． 故选：A． 16．如图，在的小正方形网格中，点，为格点，另取一格点，使为直角三角形，则点的个数为（    ） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理以及逆定理与网格问题，根据网格的特点，勾股定理即可求解． 【详解】解：如图所示，共有6个格点使为直角三角形． 故选：B． 17．正方形网格中，网格线的交点称为格点．如图，已知A、B是两格点，使得为直角三角形的格点C的个数是（　　） A．4个 B．5个 C．6个 D．8个 【答案】C 【分析】分三种情况，，，分别找出格点，即可得出答案． 【详解】解：当时，点、符合要求； 当时，点、符合要求； 当时，点、符合要求； 综上分析可知，使得为直角三角形的格点C的个数是6个，故C正确． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了直角三角形的判定，分三种情况进行讨论，是解题的关键． 18．三个顶点都在网格点上，且有一个角为直角的三角形称为网格直角三角形．在的网格图中，若为网格直角三角形，则满足条件的点个数有（    ） A．6 B．7 C．13 D．15 【答案】C 【分析】根据题意，分别以A，B，C三个点为直角顶点构造网格直角三角形即可得解． 【详解】根据题意，分别以A，B，C三个点为直角顶点构造网格直角三角形，满足条件的C点如下图所示： 则满足条件的点个数有13个， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了直角三角形的构造，熟练掌握分情况构造的方法是解决本题的关键． 题型·5·利用勾股定理的逆定理求解 19．小亮在某公园里，测得一个三角形花坛的三边长分别是，，，则该花坛的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用勾股定理的逆定理判断三角形的形状，再根据直角三角形面积公式计算面积即可． 【详解】∵ ， ∴ 该三角形是直角三角形，长为和的边为直角边， ∴ 该花坛的面积 ． 20．若一个三角形的三条边长之比为，周长为，则它的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据边长比例设三边长为，，，结合周长求出，再利用勾股定理的逆定理判断三角形为直角三角形，最后计算面积即可． 【详解】解：∵三角形三条边长之比为 ∴设三边长分别为，， ∵三角形周长为 ∴ 解得 ∴三角形三边长分别为，， ∵ ∴该三角形是直角三角形，两条直角边为和 ∴面积为． 21．如图，在四边形中，，，，，且，则四边形的面积是(   ) A．20 B．30 C．36 D．72 【答案】C 【分析】连接，根据勾股定理求出，根据勾股定理的逆定理求出，根据三角形的面积公式求出和的面积即可． 【详解】解：如图，连接， 在中，，，，由勾股定理得： ， ，， ， ， 四边形的面积 ． 22．如图，正方形的面积为100，点E在正方形内，，，则阴影部分的面积是（   ） A．48 B．60 C．76 D．80 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理； 先利用勾股定理的逆定理求出，再根据列式计算即可． 【详解】解：∵正方形的面积为100， ∴正方形的边长， ∵，，， ∴， ∴， ∴ ， 故选：C． 23．如图，是公园一块四边形草坪．已知，，，，，这块草坪的面积是（ ） A．24 B．36 C．48 D．72 【答案】B 【分析】此题主要考查了勾股定理的运用及直角三角形的判定等知识点．先根据勾股定理求出的长，然后利用勾股定理的逆定理证明为直角三角形．从而利用三角形面积公式即可求解． 【详解】解：连接， 在中，，， 由勾股定理得， 因为， 所以， 所以． 这块草坪的面积． 故选：B． 题型·6·勾股定理的逆定理实际应用 24．国产人形机器人已从机械执行迈向了具备感知、决策能力的智能新时代．如图是一块四边形的空地，现在计划对这块空地进行改造，工作人员利用机器人对空地进行测量．通过测量得知，这块空地的，求这块空地的面积． 【答案】这块空地的面积为 【分析】根据勾股定理求出，再根据勾股定理逆定理得出，最后根据直角三角形的面积公式分别求出和的面积，即可求出这块空地的面积． 【详解】解：在中，， ∴， ； 在中，， ∵，， ∴， ∴是直角三角形，， ∴； ∴， 答：这块空地的面积为． 25．如图，某公园内有一个不规则池塘（即图中阴影部分），、两点分别位于池塘两端，利用现有工具无法直接测得、间的距离，小明采用如下方法测量：在地面上取一点，使点能直接到达点和点，在的延长线上取一点，使得米．经测量米，米，米，请你计算点、之间的距离． 【答案】米 【分析】先利用勾股定理逆定理判定为直角三角形，得到，再在中用勾股定理求出长度，最后用减去得到的长． 【详解】解：在中，米，米，米， ， 是直角三角形， ， ， 在中，米，米， （米）， （米）． 26．剑江河发源于斗篷山，谷江、杨柳街河、邦水河、清塘河等九条支流在此汇合，自古得名“九溪归一”．如图，在剑江河笔直的河流一侧有一露营地A，沿河步道设有两个观景打卡点B，C．已知，为方便游客，计划在沿河步道建一处休憩平台D（B，C，D三点在同一直线上），并修建一条观光小路，测得，，． (1)判断的形状，并说明理由； (2)求原路线的长． 【答案】(1)解：为直角三角形，理由如下：            ，，， ，， ，             为直角三角形． (2)原路线的长为 【分析】（1）利用勾股定理的逆定理求解即可； （2）设，则，再利用勾股定理求解即可. 【详解】（1）略 （2）解：设，则， 由（1）知为直角三角形， ， 为直角三角形， ， 即， 解得， ， 原路线的长为． 27．如图，把一块土地划出一个后，测得，其中． (1)判断的形状，并说明理由； (2)求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)直角三角形，见解析 (2) 【分析】（1）先在中，由勾股定理求解，再由勾股定理逆定理求解即可； （2）由，结合三角形面积公式解答． 【详解】（1）解：是直角三角形，理由如下： ∵， ∵， ， ， 是直角三角形； （2）解：∵， ∴ ；　 即阴影部分面积为24平方米． 28．如图是某校教学楼到食堂的平面图，其中四边形为草坪，已知米，米，米，米，． (1)个别学生出现了不文明的现象，从点处踩踏草坪直接走到点处，走了多少米？ (2)四边形草坪的面积是多少？ 【答案】(1)从点处踩踏草坪直接走到点处，走了20米； (2)四边形草坪的面积是246平方米． 【分析】（1）连接，利用勾股定理求解即可； （2）先判断是直角三角形，且，再根据四边形草坪的面积即可求解． 【详解】（1）解：如图，连接， ， （米）， 答：从点处踩踏草坪直接走到点处，走了20米； （2）解：米，米，米， ， 是直角三角形，且， ∴四边形草坪的面积 （平方米）， 答：四边形草坪的面积是246平方米． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.2 一定是直角三角形吗（专题训练） 【新教材北师大版】 题型归纳 题型·1…判断三边能否构成直角三角形 1 题型·2·勾股数 1 题型 3·网格中判断直角三角形 3 题型·4··图形上与己知两点构成直角三角形的点 4 题型·5·利用勾股定理的逆定理求解 5 题型·6·勾股定理的逆定理实际应用 6 题型·1…判断三边能否构成直角三角形 1．在几何图形学习中，直角三角形是应用广泛的基础图形．下列长度（单位：cm）的各组线段中，能构成直角三角形的是（     ） A． B． C． D． 2．下列各组数不能作为直角三角形三边长的是（     ） A．3，4，5 B．4，7，9 C．5，12，13 D．6，8，10 3．由线段a、b、c组成的三角形，不是直角三角形的是（     ） A．     B．     C．     D．     4．在中，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 题型·2·勾股数 5．在下列各组数中，是勾股数的是（     ） A．1，2，3 B．2，3，5 C．3，4，5 D．4，6，8 6．我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．下列各组数中，是“勾股数”的是（     ） A．、、 B．、、 C．、、 D．、、 7．《周髀算经》中记录了一组“勾为三，股为四，弦为五”的勾股数．观察下列勾股数：、、；、、；、、；…，这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为，若某个此类勾股数的勾为，则其弦是________． 8．如果把看作关于，，的方程，那么满足这个方程的正整数解，，通常叫作勾股数组．古希腊哲学家柏拉图发现了蕴含某种共性规律的勾股数组：①，，；②，，；③，，；④，，；…，分析其中的规律，第⑤个勾股数组为________． 9．（1）我们把能够成为直角三角形三条边的三个正整数，，称为勾股数．若5，13，是一组勾股数，则_____； （2）在学习“勾股数”的知识时，小明发现了一组有规律的勾股数，并将它们记录在如下的表格中． 6 8 10 12 14 … 8 15 24 35 48 … 10 17 26 37 50 … 则当时，的值为_____． 10．我国古代把直角三角形中较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”．下列表格所给出的三个正整数，，为直角三角形的三条边长，且． 序号 列举 猜想 ，， ，， ，， ，， (1)若“勾”为，则“股” ，“弦” ． (2)表格中的 ， ， ．(用含的式子表示) (3)若小逸同学不小心将表格中的一组勾股数滴上了墨水，只知道最大的数是，请你帮他求出这组勾股数． 题型 3·网格中判断直角三角形 11．如图是由边长为1的小正方形组成的正方形网格，的顶点都在格点（正方形的顶点）上．求证：． 12．如图，四边形的四个顶点都在网格上，且每个小正方形的边长都为1．    (1)求四边形的面积； (2)判断线段和的位置关系，并说明理由． 13．在边长为1的正方形网格中，的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列各题： (1)的面积为_____； (2)试说明：． 14．在平面直角坐标系中的位置如图所示，A、B、C三点在格点上． (1)作出关于y轴对称后的图形； (2)判断的形状，并说明理由． 题型·4··图形上与己知两点构成直角三角形的点 15．在如图的网格中，以为一边画，则满足条件的格点C共有（    ） A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 16．如图，在的小正方形网格中，点，为格点，另取一格点，使为直角三角形，则点的个数为（    ） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 17．正方形网格中，网格线的交点称为格点．如图，已知A、B是两格点，使得为直角三角形的格点C的个数是（　　） A．4个 B．5个 C．6个 D．8个 18．三个顶点都在网格点上，且有一个角为直角的三角形称为网格直角三角形．在的网格图中，若为网格直角三角形，则满足条件的点个数有（    ） A．6 B．7 C．13 D．15 题型·5·利用勾股定理的逆定理求解 19．小亮在某公园里，测得一个三角形花坛的三边长分别是，，，则该花坛的面积是（   ） A． B． C． D． 20．若一个三角形的三条边长之比为，周长为，则它的面积为（    ） A． B． C． D． 21．如图，在四边形中，，，，，且，则四边形的面积是(   ) A．20 B．30 C．36 D．72 22．如图，正方形的面积为100，点E在正方形内，，，则阴影部分的面积是（   ） A．48 B．60 C．76 D．80 23．如图，是公园一块四边形草坪．已知，，，，，这块草坪的面积是（ ） A．24 B．36 C．48 D．72 题型·6·勾股定理的逆定理实际应用 24．国产人形机器人已从机械执行迈向了具备感知、决策能力的智能新时代．如图是一块四边形的空地，现在计划对这块空地进行改造，工作人员利用机器人对空地进行测量．通过测量得知，这块空地的，求这块空地的面积． 25．如图，某公园内有一个不规则池塘（即图中阴影部分），、两点分别位于池塘两端，利用现有工具无法直接测得、间的距离，小明采用如下方法测量：在地面上取一点，使点能直接到达点和点，在的延长线上取一点，使得米．经测量米，米，米，请你计算点、之间的距离． 26．剑江河发源于斗篷山，谷江、杨柳街河、邦水河、清塘河等九条支流在此汇合，自古得名“九溪归一”．如图，在剑江河笔直的河流一侧有一露营地A，沿河步道设有两个观景打卡点B，C．已知，为方便游客，计划在沿河步道建一处休憩平台D（B，C，D三点在同一直线上），并修建一条观光小路，测得，，． (1)判断的形状，并说明理由； (2)求原路线的长． 27．如图，把一块土地划出一个后，测得，其中． (1)判断的形状，并说明理由； (2)求图中阴影部分的面积． 28．如图是某校教学楼到食堂的平面图，其中四边形为草坪，已知米，米，米，米，． (1)个别学生出现了不文明的现象，从点处踩踏草坪直接走到点处，走了多少米？ (2)四边形草坪的面积是多少？ 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $