1.2一定是直角三角形吗知识梳理与题型突破（四大题型） 2026-2027学年北师大版数学八年级上册

**基本信息** 本练习以勾股定理逆定理及勾股数为核心，通过“知识梳理+分层题型+综合训练”设计，实现从概念认知到综合应用的递进，培养数学抽象、推理能力与几何直观。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础认知层|勾股数概念与辨析|以选择、填空题为主，如勾股数判断及规律探究，巩固“数”的特征| |技能应用层|直角三角形判定与性质|结合网格图、边长比例等情境，如网格中三角形直角判断，发展几何直观| |综合拓展层|跨情境问题解决|通过实际应用题（如航海距离计算）及多步证明题，提升推理与模型意识|

1.2一定是直角三角形吗知识梳理与题型突破2026-2027学年 北师大版八年级上册（四大题型） 知识梳理： 考点 1 勾股定理逆定理 1.定义：如果三角形的三条边长，满足，那么这个三角形是直角三角形. 注意：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形. （2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形. 2.如何判定一个三角形是否是直角三角形 （1） 首先确定最大边（如）. （2） 验证与是否具有相等关系.若，则△ABC是∠C＝90°的直角三角形；若，则△ABC不是直角三角形. 注意：当时，此三角形为钝角三角形；当时，此三角形为锐角三角形，其中为三角形的最大边. 考点2 勾股数 像 15，8，17 这样，能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数 。 勾股数满足两个条件：①满足勾股定理 ②三个正整数 题型突破： 题型一：勾股数 1．下面各组数中，是勾股数的是（　　） A．9，16，25 B．0.3，0.4，0.5 C．1，3，2 D．7，24，25 【答案】D 2.下列各组数中，属于“勾股数”的是（） A．2，4，6 B．4，6，8 C．6，8，10 D．8，10，12 【答案】C 3.我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．下列各组数中，是“勾股数”的是（    ） A．7，8，9 B．5，12，13 C．4，5，6 D．2，3，4 【答案】B 4.探索勾股数的规律： 观察下列各组数：（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25），（9，40，41）…可发现，4＝，12＝，24＝…请写出第5个数组：　 　． 【答案】11，60，61 5.观察下列式子： 当n＝2时，a＝2×2＝4，b＝22﹣1＝3，c＝22+1＝5 n＝3时，a＝2×3＝6，b＝32﹣1＝8，c＝32+1＝10 n＝4时，a＝2×4＝8，b＝42﹣1＝15，c＝42+1＝17… 根据上述发现的规律，用含n（n≥2的整数）的代数式表示上述特点的勾股数a＝　　，b＝　 　，c＝　 　． 【答案】2n，n2﹣1，n2+1 【解答】解：∵当n＝2时，a＝2×2＝4，b＝22﹣1＝3，c＝22+1＝5 n＝3时，a＝2×3＝6，b＝32﹣1＝8，c＝32+1＝10 n＝4时，a＝2×4＝8，b＝42﹣1＝15，c＝42+1＝17… ∴勾股数a＝2n，b＝n2﹣1，c＝n2+1． 故答案为：2n，n2﹣1，n2+1． 题型二：判断三边是否构成直角三角形 1.在下列以线段a，b，c的长为三边的三角形中，不能构成直角三角形的是（　　） A．a＝6，b＝8，c＝10 B．a＝5，b＝5，c＝5 C．a：b：c＝3：4：5 D．a＝4，b＝5，c＝6 【答案】D 2.下列各组数中，不可能成为直角三角形的三条边长的是（　　） A．1，2，3 B．1， C．3，4，5 D．1，1， 【答案】A 3.以下列长度的线段为边能组成直角三角形的是（　　） A．6，7，8 B．7，8，9 C．，1，2 D．8，9，10 【答案】C 4.△ABC满足下列条件中的一个，其中不能说明△ABC是直角三角形的是（　　） A．b2＝（a+c）（a﹣c） B．a：b：c＝1：：2 C．∠C＝∠A﹣∠B D．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 【答案】D 5.在中，，，，则下列结论正确的是（   ） A．是直角三角形，且 B．是直角三角形，且 C．是直角三角形，且 D．不是直角三角形 【答案】B 题型三：在网格中判断直角三角形 1.下列三角形是直角三角形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D。 2.如图，在每个小正方形边长都为1的网格图中，顶点都在格点上，下列结论不正确的是（    ） A． B．的面积为5 C． D．点到的距离为 【答案】D 3.如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，下面结论：①；②；③的面积为10；④点A到直线的距离是2．正确的结论共有（   ）个 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 4.如图，每个小正方形的边长都是1． （1）求四边形ABCD的周长； （2）求∠BCD的大小． 【答案】解：（1）由题意可知AB＝＝，BC＝＝2，CD＝＝，AD＝＝， ∴四边形ABCD的周长为+2++＝+3+； （2）连接BD． ∵BC＝2，CD＝，BD＝＝5， ∴BC2+CD2＝BD2， ∴△BCD是直角三角形， ∴∠BCD＝90°． 题型四：利用勾股定理的逆定理求解 1.如图，在△ABC中，AB＝13，AC＝15，点D是BC边上一点，BD＝5，AD＝12． （1）求证：△ADB是直角三角形； （2）求BC的长度． 【答案】（1）略 （2）BC=14 【解答】解：（1）在△ABD中， ∵AB＝13，BD＝5，AD＝12， ∴BD2+AD2＝52+122＝169，AB2＝132＝169， ∴BD2+AD2＝AB2 ∴∠ADB＝∠ADC＝90°， 即△ADB是直角三角形； （2）在Rt△ACD中，由勾股定理得，， ∴BC＝BD+CD＝5+9＝14． 2.如图，D为△ABC的边BC上的一点，已知AB＝10，AD＝8，AC＝17，BD＝6，求BC的长． 【答案】解：∵AD2+BD2＝82+62＝64+36＝100，AB2＝102＝100， ∴AD2+BD2＝AB2， ∴△ADB是直角三角形，∠ADB＝90°， ∴∠ADC＝180°﹣∠ADB＝90°， 由勾股定理得：CD＝＝＝15， ∵BD＝6， ∴BC＝BD+CD＝6+15＝21． 3.如图，在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，AC＝12，AB＝13，点D是Rt△ABC外一点，连接DC，DB，且CD＝4，BD＝3． （1）求BC的长； （2）求证：△BCD是直角三角形． 【答案】（1）解：∵Rt△ABC中，∠BCA＝90°，AC＝12，AB＝13， ∴BC＝＝＝5； （2）证明：∵在△BCD中，CD＝4，BD＝3，BC＝5， ∴CD2+BD2＝42+32＝52＝BC2， ∴△BCD是直角三角形． 4.如图，某港口P位于东西方向的海岸线上．“综合执法1号”、“综合执法2号”轮船同时离开港口，各自沿一定方向执法巡逻，“综合执法1号”每小时航行16nmile，“综合执法2号”每小时航行12nmile，它们离开港口一个半小时后分别位于点Q，R处，且相距30nmile． （1）求PQ，PR的长度； （2）如果知道“综合执法1号”沿北偏东61°方向航行，能知道“综合执法2号”沿哪个方向航行吗？ 【答案】（1） 24海里 （2）北偏西29°方向 【解答】解：（1）由题意可得：RP＝12×1.5＝18（海里），PQ＝16×1.5＝24（海里）； （2）能， 理由：∵RP＝12×1.5＝18海里，PQ＝16×1.5＝24海里，QR＝30海里， ∵182+242＝302， ∴△RPQ是直角三角形， ∴∠RPQ＝90°， ∵“综合执法1号”沿北偏东61°方向航行， ∴∠QPS＝61°， ∴∠SPR＝90°﹣61°＝29°， ∴“综合执法2号”沿北偏西29°方向航行方向航行． 综合训练 1.下列四组数中，是勾股数的是（　　） A．6，8，10 B．0.3，0.4，0.5 C．，， D．32，42，52 【答案】A。 2.以下列各组线段为边作三角形，不能作出直角三角形的是（　　） A．1，2， B．6，8，10 C．3，7，8 D．0.3，0.4，0.5 【答案】C。 3.若△ABC的三边长a，b，c满足（a﹣c）2＝b2﹣2ac，则（　　） A．∠A为直角 B．∠B为直角 C．∠C为直角 D．△ABC不是直角三角形 【答案】B。 4.如图，由6个相同小正方形组成的网格中，A，B，C均在格点上，则∠ABC的度数为（　　） A．45° B．50° C．55° D．60° 【答案】A。 5.若一个三角形的三边满足c2﹣a2＝b2，则这个三角形是　 　． 【答案】直角三角形。 6.如图，在△ABC中，点D是AB上一点，连接CD，AC＝2，BC＝2，DB＝1，CD＝，则AB的长为 　 　． 【答案】4。 7.如图，已知在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝10，P为BC边上一个动点，连接AP，DE⊥AP，分别交AB、AC于点D、E，垂足为M，点N为DE的中点，若四边形ADPE的面积为18，则AN的最大值为 　 ． 【答案】。 8.如图，连接四边形ABCD的对角线AC，已知∠B＝90°，BC＝1，AB＝，CD＝2，AD＝2． （1）求证：△ACD是直角三角形； （2）求四边形ABCD的面积． 【答案】（1）证明：∵∠B＝90°，BC＝1，AB＝， ∴AC＝， ∵CD＝2，AD＝2， ∴AC2+CD2＝AD2， ∴△ACD是直角三角形； （2）解：∵AB＝，BC＝1， ∴S四边形ABCD＝S△ABC+S△ACD＝． 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.2一定是直角三角形吗知识梳理与题型突破2026-2027学年 北师大版八年级上册（四大题型） 知识梳理： 考点 1 勾股定理逆定理 1.定义：如果三角形的三条边长，满足，那么这个三角形是直角三角形. 注意：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形. （2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形. 2.如何判定一个三角形是否是直角三角形 （1） 首先确定最大边（如）. （2） 验证与是否具有相等关系.若，则△ABC是∠C＝90°的直角三角形；若，则△ABC不是直角三角形. 注意：当时，此三角形为钝角三角形；当时，此三角形为锐角三角形，其中为三角形的最大边. 考点2 勾股数 像 15，8，17 这样，能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数 。 勾股数满足两个条件：①满足勾股定理 ②三个正整数 题型突破： 题型一：勾股数 1．下面各组数中，是勾股数的是（　　） A．9，16，25 B．0.3，0.4，0.5 C．1，3，2 D．7，24，25 2.下列各组数中，属于“勾股数”的是（） A．2，4，6 B．4，6，8 C．6，8，10 D．8，10，12 3.我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．下列各组数中，是“勾股数”的是（    ） A．7，8，9 B．5，12，13 C．4，5，6 D．2，3，4 4.探索勾股数的规律： 观察下列各组数：（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25），（9，40，41）…可发现，4＝，12＝，24＝…请写出第5个数组：　 　． 5.观察下列式子： 当n＝2时，a＝2×2＝4，b＝22﹣1＝3，c＝22+1＝5 n＝3时，a＝2×3＝6，b＝32﹣1＝8，c＝32+1＝10 n＝4时，a＝2×4＝8，b＝42﹣1＝15，c＝42+1＝17… 根据上述发现的规律，用含n（n≥2的整数）的代数式表示上述特点的勾股数a＝　　，b＝　 　，c＝　 　． 题型二：判断三边是否构成直角三角形 1.在下列以线段a，b，c的长为三边的三角形中，不能构成直角三角形的是（　　） A．a＝6，b＝8，c＝10 B．a＝5，b＝5，c＝5 C．a：b：c＝3：4：5 D．a＝4，b＝5，c＝6 2.下列各组数中，不可能成为直角三角形的三条边长的是（　　） A．1，2，3 B．1， C．3，4，5 D．1，1， 3.以下列长度的线段为边能组成直角三角形的是（　　） A．6，7，8 B．7，8，9 C．，1，2 D．8，9，10 4.△ABC满足下列条件中的一个，其中不能说明△ABC是直角三角形的是（　　） A．b2＝（a+c）（a﹣c） B．a：b：c＝1：：2 C．∠C＝∠A﹣∠B D．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 5.在中，，，，则下列结论正确的是（   ） A．是直角三角形，且 B．是直角三角形，且 C．是直角三角形，且 D．不是直角三角形 题型三：在网格中判断直角三角形 1.下列三角形是直角三角形的是（　　） A． B． C． D． 2.如图，在每个小正方形边长都为1的网格图中，顶点都在格点上，下列结论不正确的是（    ） A． B．的面积为5 C． D．点到的距离为 3.如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，下面结论：①；②；③的面积为10；④点A到直线的距离是2．正确的结论共有（   ）个 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4.如图，每个小正方形的边长都是1． （1）求四边形ABCD的周长； （2）求∠BCD的大小． 题型四：利用勾股定理的逆定理求解 1.如图，在△ABC中，AB＝13，AC＝15，点D是BC边上一点，BD＝5，AD＝12． （1）求证：△ADB是直角三角形； （2）求BC的长度． 2.如图，D为△ABC的边BC上的一点，已知AB＝10，AD＝8，AC＝17，BD＝6，求BC的长． 3.如图，在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，AC＝12，AB＝13，点D是Rt△ABC外一点，连接DC，DB，且CD＝4，BD＝3． （1）求BC的长； （2）求证：△BCD是直角三角形． 4.如图，某港口P位于东西方向的海岸线上．“综合执法1号”、“综合执法2号”轮船同时离开港口，各自沿一定方向执法巡逻，“综合执法1号”每小时航行16nmile，“综合执法2号”每小时航行12nmile，它们离开港口一个半小时后分别位于点Q，R处，且相距30nmile． （1）求PQ，PR的长度； （2）如果知道“综合执法1号”沿北偏东61°方向航行，能知道“综合执法2号”沿哪个方向航行吗？ 综合训练 1.下列四组数中，是勾股数的是（　　） A．6，8，10 B．0.3，0.4，0.5 C．，， D．32，42，52 2.以下列各组线段为边作三角形，不能作出直角三角形的是（　　） A．1，2， B．6，8，10 C．3，7，8 D．0.3，0.4，0.5 3.若△ABC的三边长a，b，c满足（a﹣c）2＝b2﹣2ac，则（　　） A．∠A为直角 B．∠B为直角 C．∠C为直角 D．△ABC不是直角三角形 4.如图，由6个相同小正方形组成的网格中，A，B，C均在格点上，则∠ABC的度数为（　　） A．45° B．50° C．55° D．60° 5.若一个三角形的三边满足c2﹣a2＝b2，则这个三角形是　 　． 6.如图，在△ABC中，点D是AB上一点，连接CD，AC＝2，BC＝2，DB＝1，CD＝，则AB的长为 　 　． 7.如图，已知在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝10，P为BC边上一个动点，连接AP，DE⊥AP，分别交AB、AC于点D、E，垂足为M，点N为DE的中点，若四边形ADPE的面积为18，则AN的最大值为 　 ． 8.如图，连接四边形ABCD的对角线AC，已知∠B＝90°，BC＝1，AB＝，CD＝2，AD＝2． （1）求证：△ACD是直角三角形； （2）求四边形ABCD的面积． 学科网（北京）股份有限公司 $