重难点专题02 勾股定理的逆命题（专项训练）数学新教材北师大版八年级上册

**基本信息** 以勾股定理逆命题为核心，构建"概念-判断-应用-拓展"四层训练体系，通过方法提炼与分层题型培养数学抽象、推理能力及应用意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |直角三角形的判断|3类18题|勾股数速判（基础数及倍数）、三边排序验证平方和、网格平方值比较|从数（勾股数）到形（三角形、网格），实现判定方法的具象化迁移| |勾股定理的逆定理|2类14题|已知三边证直角、折叠/动点问题中隐藏直角判定|从直接应用到综合拓展，结合几何变换培养空间观念与逻辑推理|

重难点专题 勾股定理的逆命题 模块一、直角三角形的判断 重难点一、勾股树（数）问题 熟记基础勾股数（3,4,5；5,12,13 等），其正整数倍仍是勾股数。判断时先排序三边，验证短边平方和是否等于长边平方。看到倍数型边长直接套用基础勾股数快速判定，排除含小数、非整数的伪勾股数组，节省计算时间。 1．（25-26八年级下·山西朔州·期末）你可能去过森林公园，看到过许许多多千姿百态的植物．可是你是否见过如图所示的树呢？它是数学家毕达哥拉斯画出的一个可以无限重复的树形图形，人们把它称为“毕达哥拉斯树”．下列古代数学成就中，与“毕达哥拉斯树”有关的是（     ） A．天元术 B．正负术 C．勾股定理 D．杨辉三角 2．（25-26八年级下·安徽阜阳·阶段检测）根据我国数学典籍《周髀算经》记载，在约公元前11世纪，人们就知道了勾股定理．下列各组数中，“是勾股数”的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 3．（25-26八年级下·浙江杭州·期末）“勾股树”是基于勾股定理通过无限递归画出的经典分形图形，它由正方形和直角三角形构成．如图，若正方形①、②、③、④的面积分别是2，7，1，3，连接顶点，，则线段的长是（     ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级下·甘肃平凉·期末）手工课上，同学们制作直角三角形书签，需要选择三条整数长度的纸条作为三边．下列四组纸条长度中，能构成直角三角形三边的勾股数是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 5．（2026·重庆·模拟预测）小蜀同学在学习了勾股定理之后回家查阅“勾股树”资料，发现图中正方形的个数按照一定规律出现，已知第一代勾股树中有3个正方形，第二代勾股树中有7个正方形，第三代勾股树中有15个正方形，则第六代勾股树中正方形的个数是（） A．15 B．31 C．63 D．127 6．（24-25八年级下·山东潍坊·期中）满足的三个正整数组成的数组叫做勾股数组．《周髀算经》中记载的“勾三股四弦五（古人将直角三角形中较短边称为勾，另一直角边称为股，斜边称为弦）”就是一组最简单的勾股数组，在《九章算术》中给出了更多的勾股数组：，等．上述勾股数组的规律，可以用下面表格呈现： 勾股数组 … 股与弦的和： 9 25 49 … 股 … 弦 … 通过观察分析，回答下列问题： (1)根据上述勾股数组的特点，写出勾股数组（11，______，______）；（______，______，145） (2)猜想：若表示比1大的奇数，则上述勾股数组可以表示为（，______，______）； (3)请证明（2）中的猜想． 7．（24-25八年级下·山西忻州·期中）阅读与理解阅读下面材料，在理解的基础上解决下列问题． 勾股数，也称为毕达哥拉斯数，是指满足勾股定理的三个正整数a，b，c．其中a和b是直角三角形的两条直角边长，c是斜边长． 勾股数可以通过以下公式生成：，，，其中m和n都是正整数，且． 例如，当，时，，，．因此，是一组勾股数． (1)使用勾股数生成公式，当，时，求对应的勾股数． (2)若小明通过材料中的勾股数生成公式得到勾股数，请你计算他代入的正整数m和的值． 8．（25-26八年级下·山西朔州·期末）学习了勾股数后，我们知道，，，…都是勾股数组．某学习小组分析这些勾股数组发现：，；，；，；…分析其中的规律，解答下列问题． (1)请你根据发现的规律写出下一组勾股数：__________． (2)根据以上规律猜想：三个正整数中，若一个数为（，且n为整数），另外两个数分别为__________，__________时，则这三个数为勾股数． 请你补充完整猜想并验证猜想． 9．（25-26八年级上·福建漳州·期中）阅读材料，回答问题． 主题 探索勾股数中的奇妙规律 提出问题 下面给出了四组勾股数：①②③④．问题1：请分别计算每组勾股数中三个数字的和，你有什么发现？ 分析猜想 小明由此提出了一个大胆的猜想：任意一组勾股数的三个数字之和，一定是偶数． 推理证明 学习小组对小明的猜想进行了探索，并证明了以下命题： 若、、均为正整数，且．则是偶数． 证明：（ⅰ）当、均为偶数时，设，（、为正整数） 则：① 是正整数是一个完全平方数 设（是正整数），则 ② 是偶数． （ⅱ）当、均为奇数时， 设，，（、为非负整数），则： ∵完全平方数除以4的余数只能是0或1 不是完全平方数，这与是正整数相矛盾， ∴、不能均为奇数． （ⅲ）当、为一个奇数一个偶数时， 不妨设，，（为正整数，为非负整数）…… 问题2：请完成（ⅲ）中所缺的证明过程． (1)解决问题1； (2)请把①②所缺的证明过程补充完整； (3)解决问题2． 10．（25-26八年级上·江苏镇江·期末）我国历史上对勾股数的研究有非常辉煌的成就．勾股定理本身就是一个关于、、的方程，我们知道这个方程有无数组解，满足该方程的正整数解通常叫做勾股数，如：． 下面我们来探究一类特殊的勾股数，观察下面的表格并解答下列问题（x，y是正整数，且）： x y 2 1 3 4 5 3 2 5 12 13 5 a 41 … … … … … (1) ； (2)求证：是勾股数； (3)一位同学在他找到的勾股数的表达式中，用（n为正整数且）表示勾股数中最大的一个数，则另外两个数的表达式为 ， ． 11．（25-26八年级上·江苏南京·期中）如果满足等式的a，b，c是三个正整数，我们称a，b，c为勾股数． (1)已知m，n是正整数且，证明：，，是勾股数． (2)请写出任意一组含有68的“勾股数”： ． 12．（25-26八年级上·山西晋中·阶段检测）综合与探究 定义：一般地，若直角三角形三边长都是正整数，那么称为勾股数． 设是两个正整数，且，直角三角形三边长都是正整数．下表中的，，（均小于）可以组成一些有规律的勾股数． ________ _________ ________ (1)请补全表中的勾股数． (2)对表中的数据探究发现，，继续探究发现和也可以用含的代数式表示．请你用含的代数式分别表示，然后证明． (3)某校计划在一块绿地画出一个直角三角形（如图），该直角三角形三边长为米、米、米，且满足上表规律．要求仅在该直角三角形边上种花，且每个顶点处都种一株花，各边上相邻两株花之间的距离均为米．如果最短边可种株花，那么该直角三角形上一共可以种植_______株花． 重难点二、判断三边能否构成直角三角形 先把三边长度从小到大排序，设最长边为 c，计算a2+b2与c2对比，相等则为直角三角形，不等则不是。优先平方大数，避免小数计算出错；边长含根号时先平方去根号，简化等式验算。 1．（25-26八年级下·新疆昌吉·期中） 几何学习中，直角三角形是应用广泛的基础图形，下列给出的四组边长数据，能够构成直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·内蒙古呼和浩特·期中）李老师做了一个三角形教具，做好后量得三边长分别是、、，据此李老师判断这个教具的形状一定是直角三角形，李老师这样判断的依据是（   ） A．直角三角形两个锐角互余 B．勾股定理的逆定理 C．三角形内角和等于 D．勾股定理 3．（25-26八年级下·广东阳江·期末）如图，某海警舰艇A在海岛O的北偏西，处，遇险渔船B与海警舰艇A相距，渔船B与海岛O相距，则渔船B在海岛O的（     ） A．北偏东 B．北偏东 C．东偏北 D．东偏北 4．（25-26八年级上·江苏泰州·期末）已知直角三角形的两条直角边长为a，b，斜边长为c，下列说法正确的是（   ） A．长分别为，，的三条线段一定能组成一个直角三角形 B．长分别为，，的三条线段一定能组成一个直角三角形 C．长分别为，，的三条线段一定能组成一个直角三角形 D．长分别为，，的三条线段一定能组成一个直角三角形 5．（25-26八年级下·全国·暑假作业）以下列所给数据为三角形的各边长，组成的三角形是直角三角形的有（     ） ①7，24，25；        ②，，； ③，，；    ④1，，． A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 6．（25-26八年级下·全国·周测）给出下列几组数据：①3，4，5；②1，3，4；③4，4，6；④6，8，10；⑤5，7，2；⑥13，5，12；⑦7，25，24．以每组数据为三边长，可构成三角形的有____________；可构成直角三角形的有____________．（填序号） 7．（25-26八年级下·安徽淮南·阶段检测）某社区计划对一处地块进行绿化改造，如图，已知．规划在地块内设置休闲区，其中区域作为活动空间，测得． (1)判断的形状，并说明理由； (2)求阴影绿化区域的面积． 8．（2026·北京丰台·二模）下面给出了勾股定理的逆定理及其证明方法，请根据证明中辅助线的作法用尺规完成作图，并将证明过程补充完整． 勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形是直角三角形． 已知：在中，，，，且． 求证：是直角三角形． 证明：作，在上截取，上截取，连接． （________）（填推理的依据）， 即． ________（已知）， ． 在和中， ，，________， （________）（填推理的依据）． ，即是直角三角形． 9．（25-26七年级下·宁夏银川·期末）我国古代的数学家们不仅很早就发现并应用勾股定理，而且很早就尝试对勾股定理作理论的证明．最早对勾股定理进行证明的是三国时期吴国的数学家赵爽，他创制了如图①所示的“勾股圆方图”，即“赵爽弦图”，在该图中，大正方形是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形组成的，其中是直角三角形的斜边，a，b分别是直角三角形的两条直角边，并用形数结合的方法，给出了勾股定理的详细证明． (1)请利用图①证明勾股定理； (2)图②是由赵爽弦图变化得到的，它是由八个全等的直角三角形拼接而成的．记图中正方形的面积为，正方形的面积为，正方形的面积为，若正方形的边长为4，求的值； (3)如图③，若正方形的边长为10，，连接，求的长． 10．（25-26八年级下·重庆·期中）如图1，四边形中，，分别以线段，，，边向外作正方形，正方形的面积分别为，，，，连接，利用勾股定理可以得到：．根据材料提示完成下列问题： (1)如图2，是中边上的高，分别以线段，，，为边向外作正方形，正方形的面积分别为，，，，请写出，，，的等量关系___________； (2)如图3，在中，，，点是上一点，且，若，求证：是直角三角形； (3)如图4，在中，分别以线段，，为边向外作正方形，正方形的面积分别，，试求出的面积． 重难点三、在网格中判断直角三角形 用网格横向、纵向格数，勾股定理算出三边长度平方，再验证两短边平方和等于最长边平方。 不用算出边长，直接比较平方值；也可观察两边横竖线段垂直，快速直观判定直角。 1．（2021·福建厦门·二模）三个顶点都在网格点上，且有一个角为直角的三角形称为网格直角三角形．在的网格图中，若为网格直角三角形，则满足条件的点个数有（    ） A．6 B．7 C．13 D．15 2．（22-23九年级上·广东梅州·阶段检测）已知：如图，在方格图中_____________．    3．（23-24七年级上·山东烟台·期中）是网格纸中的格点三角形，试判断该三角形的形状，并求其面积．    4．（23-24九年级上·浙江宁波·期中）如图，是一个的网格，每个小正方形的边长均为1． (1)在图1中，画一个以为一边的等腰直角三角形． (2)在图2中，用一把无刻度直尺，在线段中作出一点，使得，并保留作图痕迹． 5．（25-26七年级上·江苏·期末）如图．在正方形网格中，每个小方格的边长都为单位1，点在正方形网格的格点上．请按下述要求画图并回答问题： (1)确定一个格点，画直线，使得垂直； (2)画射线，则与所在直线的位置关系是：__________；（填“平行”或“相交”）； (3)画线段，则四边形的面积是__________． 6．（23-24九年级下·四川广元·开学考试）已知在7×7的网格中，每个小正方形的边长为1，在下列正方形网格中用无刻度的直尺按要求作图： (1)如图1，与交于点 M； ①找格点 E，使 ； ②直接写出 的度数 ． (2)如图2，点A、B、C均在格点上，依照（1）中方法在上作点 M，使． 7．（21-22八年级下·湖北咸宁·期末）如图，在每个小正方形的边长均为1的网格中，线段的两个端点均在格点（正方形的顶点）上． (1)线段的长为__________； (2)若是直角三角形，则网格中满足条件的格点C共有__________个． (3)在网格中以为边所作格点菱形（菱形的四个顶，点都在格点上）的面积最小值为__________． 8．（2021·吉林长春·二模）如图，网格中有一条线段，点、都在格点上，网格中的每个小正方形的边长为1．请在图①和图②中各画出一个格点，使是直角三角形，且，并满足以下要求： （1）在图①中画出的三角形的两条直角边的长度均为有理数（画出一个即可）． （2）在图②中画出的三角形的两条直角边的长度均为无理数（画出一个即可）． （3）满足（1）、（2）的共有 个． 模块二、勾股定理的逆定理 重难点一、利用勾股定理的逆定理求解 已知三边长，排序后验证a2+b2=c2，成立则最长边对角为直角，结合直角性质求面积、角度。 遇线段、三角形证明直角，优先用逆定理计算边长平方，比角度推导更简便。 1．（24-25八年级上·河北保定·阶段检测）车间新造了一个三角形零件，测得三角形零件的三边长分别为，则三角形零件的面积是（    ） A． B．0.9 C．0.75 D．0.54 2．（25-26九年级上·河北廊坊·期末）一张圆形纸片，圆周被等分，等分点分别为，圆形纸片的部分示意图如图所示，若的半径是2，弦，则（   ） A．8 B．10 C．12 D．14 3．（24-25八年级上·北京昌平·期末）已知：如图，在中，于点D，，下列结论中，正确的是（   ） ①当时，则． ②当时，则． ③当时，则． ④当时，则． A．①② B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 4．（24-25八年级下·内蒙古乌兰察布·期中）如图，小红家的木门左下角有一点受潮，她想检测门是否变形，采用了如下方法进行检测：先测得门的边和的长分别为和，又测得点A与点C间的距离为，则小红家的木门______（填“已变形”或“没有变形”）． 5．（22-23八年级下·湖北襄阳·期末）学校操场边有一块三角形的空地，三边长分别是，，，为了美化校园环境，学校决定对这块空地进行绿化，绿化费用为50元/，绿化这块空地需要______元． 6．（23-24八年级下·陕西商洛·期末）如图，有一块三角形花圃，其中，现要沿搭建一条隔断，把花圃分成两个区域分别种植不同的花卉，点D、E分别在上，，请求出隔断的长． 7．（23-24八年级上·河南洛阳·期末）某运动会本着环保、舒适、温馨的出发点，对运动员休息区进行了精心设计．如图，四边形为休闲区域，四周是步道，中间是花卉种植区域，为减少拥堵，中间穿插了氢能源环保电动步道．经测量，，，．    (1)求氢能源环保电动步道的长； (2)证明：． 8．（25-26八年级下·河北邢台·期末）某校为了规范停车，在操场边新建了一个简易自行车棚，其侧面示意图如图所示，经测量得，，，，． (1)求的长度； (2)施工图纸上标明安装时要为，请你验证该车棚是否符合图纸上的安装要求． 9．（25-26八年级下·河北唐山·期中）用一根长为的绳子围成，已知． (1)的长为_____． (2)求点到的距离． 10．（25-26八年级上·重庆·阶段检测）我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，即三角形的三边长分别为，，，则其中三角形的面积.此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，如果设，那么其三角形的面积，这个公式便是海伦公式，也被称为海伦——秦九韶公式． (1)如图，若的三边长依次为，，．请利用以上公式（任选一个），求该三角形的面积； (2)如图，在四边形中，，，，，，求该四边形的面积． 11．（25-26八年级上·四川成都·阶段检测）第12届世界运动会于2025年8月7日至8月17日在四川成都举行，健身运动的热潮也席卷全市，更多的人开始运动健身．为了方便人们运动，现在对市郊区绿道进行修整．绿道分布具体如下：已知，，，点B在点C的正西方向，点D在点C的正北方处． (1)试判断与的位置关系，并说明理由； (2)修整好后，居委会派出无人机进行环境检测，无人机从A飞到D，求线段的长度． 12．（21-22八年级上·河北石家庄·期末）【问题情境】上课时，小明用4张全等的直角三角形纸片拼成如图1的正方形． （1）利用此图可以验证勾股定理吗？如果可以，请写出验证过程，如果不可以，请说明理由；         【灵活运用】 （2）现将图1中上方的两个直角三角形向内折叠，如图2，若，，此时空白部分的面积为 ； （3）用三张正方形纸片，按如图3所示方式构成图案，下面是三张正方形纸片面积的选取情况，若要使所围成的三角形是直角三角形，可以选取 ；(填序号) ①1，2，3；②2，2，4；③3，4，5；④2，3，5． 13．（24-25八年级下·福建南平·期中）如图1，在正方形中，点E是的中点，点F是边上的一点，且，连接、． (1)求证：； (2)如图2，将沿翻折，得到，其中，点G是点A的对应点． ①连接，求证：C、G、F三点在同一条直线上； ②如图3，连接，请直接写出线段与线段的数量关系． 14．（24-25八年级上·福建泉州·期末）小明学习了勾股定理之后，探究“如何用一条已知线段构造一个直角三角形且使其周长恰好等于线段的长”． (1)如图1，已知线段，小明在线段上取点和，使得，，再将线段，，围成三角形，求证：所围成的三角形是直角三角形； (2)如图2，点为线段上一点，请在线段上作点，使，，恰好能构成一个直角三角形（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (3)已知正方形、正方形的边长分别为有理数、有理数，且满足，，若正方形的面积等于正方形和正方形的面积之和，求证：正方形的边长也是有理数． 重难点二、勾股定理逆定理的拓展问题 结合折叠、动点、四边形分割，拆分图形求出各边平方，用逆定理判定隐藏直角，再结合面积、线段长计算。不规则图形拆分为三角形，标记各段边长，统一用平方运算，减少开方带来的计算误差。 1．（20-21八年级下·山西吕梁·期末）根据勾股定理，任意直角三角形的两条直角边长 ， ，和斜边长都是含三个未知数的方程 的一组解，而每一组勾股数（例如3，4，5；5，12，13；等）都是这个方程的正整数解．高于二次的方程，，，…是否也有正整数解呢？法国数学家费马经过研究得出结论：当自然数 时，方程没有正整数解．这个命题的证明引起了世界各国数学家的关注，最终由英国数学家怀尔斯于1995年完成了证明．困扰了数学家300多年历史的数学难题终于得到解决，在解决这一数学难题的过程中，反映了一代代数学家艰苦探索、不屈不挠的科学精神和聪明智慧．这个定理的证明被称为“世纪性的成就”．这个定理指的是（    ） A．费马大定理 B．怀尔斯大定理 C．勾股定理 D．勾股定理的逆定理 2．（21-22八年级下·福建厦门·期中）定义：如图，点M，N（点M在N的左侧）把线段AB分割成AM，MN，NB．若以AM，MN，NB为边的三角形是一个直角三角形，则称点M、N是线段AB的购股分割． (1)已知M、N把线段AB分割成AM，MN，BN，若，，，则点M、N是线段AB的勾股分割点吗？请说明理由； (2)已知点M、N是线段AB的勾股分割点，且AM为直角边，若，，求BN的长． 3．（22-23八年级上·贵州·期中）如图，在笔直的公路旁有一条河流，为方便运输货物，现要从公路上的D处建一座桥梁到达C处，已知点C与公路上的停靠站A的直线距离为，与公路上另一停靠站B的直线距离为，公路AB的长度为，且． (1)求证：； (2)求修建的桥梁的长． 4．（21-22八年级下·河南省直辖县级单位·期末）【再读教材】：我们八年级下册数学课本第16页介绍了“海伦—秦九韶公式”：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么三角形的面积为． 【解决问题】：已知在中，，，． (1)请你用“海伦—秦九韶公式”求的面积． (2)除了利用“海伦—秦九韶公式”求的面积外，你还有其它的解法吗？请写出你的解法． 5．（25-26八年级上·江苏泰州·期中）已知：，，． (1)当时，的值等于______．（结果用科学记数法表示） (2)当时，以a，b，c的值为三边长的三角形面积是______．（直接写出答案） (3)若两个正整数的平方和等于另一个正整数的平方，则称这三个数为勾股数．小明发现：当n取大于1的整数时，a，b，c为勾股数．你认为小明的发现正确吗？请通过计算说明理由． 6．（25-26八年级上·全国·课后作业）若正整数a，b，c满足方程，则称这一组正整数为“商高数”．下面列举5组“商高数”：，，，，，注意这5组“商高数”的结构有如下规律： 根据以上规律，回答以下问题： (1)写出各数都大于30的两组“商高数”； (2)用两个正整数表示一组“商高数”，并证明你的结论． 7．（23-24八年级下·福建莆田·阶段检测）定义：若a，b，c是的三边，且，则称为“方倍三角形”． (1)对于①等边三角形②直角三角形，下列说法一定正确的是 ． A．①一定是“方倍三角形”                B．②一定是“方倍三角形” C．①②都一定是“方倍三角形”            D．①②都一定不是“方倍三角形” (2)如图，中，，，P为边上一点，将沿直线进行折叠，点A落在点D处，连接，．若为“方倍三角形”，且，求的面积． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点专题 勾股定理的逆命题 模块一、直角三角形的判断 重难点一、勾股树（数）问题 熟记基础勾股数（3,4,5；5,12,13 等），其正整数倍仍是勾股数。判断时先排序三边，验证短边平方和是否等于长边平方。看到倍数型边长直接套用基础勾股数快速判定，排除含小数、非整数的伪勾股数组，节省计算时间。 1．（25-26八年级下·山西朔州·期末）你可能去过森林公园，看到过许许多多千姿百态的植物．可是你是否见过如图所示的树呢？它是数学家毕达哥拉斯画出的一个可以无限重复的树形图形，人们把它称为“毕达哥拉斯树”．下列古代数学成就中，与“毕达哥拉斯树”有关的是（     ） A．天元术 B．正负术 C．勾股定理 D．杨辉三角 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】勾股树（数）问题 【详解】解：此图形又称为“勾股树”，利用勾股定理绘制而成． 2．（25-26八年级下·安徽阜阳·阶段检测）根据我国数学典籍《周髀算经》记载，在约公元前11世纪，人们就知道了勾股定理．下列各组数中，“是勾股数”的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【难度】0.95 【知识点】勾股树（数）问题 【分析】先明确勾股数的定义：若三个正整数中，两个较小数的平方和等于最大数的平方，则这组数是勾股数，本题根据定义逐一验证各选项即可得到结果． 【详解】∵A选项，最大数为，且，，， ∴A不是勾股数； ∵B选项，最大数为，且，，， ∴B是勾股数； ∵C选项，最大数为，且，，， ∴C不是勾股数； ∵D选项，最大数为，且，，， ∴D不是勾股数； 综上，选B． 3．（25-26八年级下·浙江杭州·期末）“勾股树”是基于勾股定理通过无限递归画出的经典分形图形，它由正方形和直角三角形构成．如图，若正方形①、②、③、④的面积分别是2，7，1，3，连接顶点，，则线段的长是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】勾股树（数）问题、以直角三角形三边为边长的图形面积、用勾股定理解三角形 【分析】根据勾股树的特征，正方形的面积等于其上方两个分支正方形面积之和，由此求出中间两个正方形的面积及边长，过点作交的延长线于点，证明，得到，，再在中，根据勾股定理计算即可． 【详解】解：如图，过点作交的延长线于点， 由勾股树性质可知，正方形面积等于其上方两个小正方形面积之和， ∴为边长的正方形面积为，边长；为边长的正方形面积为，边长； ∵图形由正方形和直角三角形构成， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴中，． 4．（25-26八年级下·甘肃平凉·期末）手工课上，同学们制作直角三角形书签，需要选择三条整数长度的纸条作为三边．下列四组纸条长度中，能构成直角三角形三边的勾股数是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】勾股树（数）问题、判断三边能否构成直角三角形 【分析】勾股数是指满足（为三个数中的最大数）的三个正整数，逐项判断即可． 【详解】解：对于选项A：，故A不满足勾股数的定义； 对于选项B：，故B不满足勾股数的定义； 对于选项C：，，都不是正整数，故C不满足勾股数的定义； 对于选项D：，且，，都是正整数，满足勾股数的定义，故D正确． 5．（2026·重庆·模拟预测）小蜀同学在学习了勾股定理之后回家查阅“勾股树”资料，发现图中正方形的个数按照一定规律出现，已知第一代勾股树中有3个正方形，第二代勾股树中有7个正方形，第三代勾股树中有15个正方形，则第六代勾股树中正方形的个数是（） A．15 B．31 C．63 D．127 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】图形类规律探索、勾股树（数）问题、用代数式表示数、图形的规律 【分析】由已知图形观察规律，结合有理数的乘方运算即可得到第六代勾股树中正方形的个数． 【详解】解：∵第一代勾股树中正方形有（个）， 第二代勾股树中正方形有（个）， 第三代勾股树中正方形有（个）， ∴第四代勾股树图形中正方形的个数有（个）； ∴第五代勾股树图形中正方形的个数有（个）； ∴第六代勾股树图形中正方形的个数有（个）． 6．（24-25八年级下·山东潍坊·期中）满足的三个正整数组成的数组叫做勾股数组．《周髀算经》中记载的“勾三股四弦五（古人将直角三角形中较短边称为勾，另一直角边称为股，斜边称为弦）”就是一组最简单的勾股数组，在《九章算术》中给出了更多的勾股数组：，等．上述勾股数组的规律，可以用下面表格呈现： 勾股数组 … 股与弦的和： 9 25 49 … 股 … 弦 … 通过观察分析，回答下列问题： (1)根据上述勾股数组的特点，写出勾股数组（11，______，______）；（______，______，145） (2)猜想：若表示比1大的奇数，则上述勾股数组可以表示为（，______，______）； (3)请证明（2）中的猜想． 【答案】(1)60；61；17；144 (2)， (3) 证明： ， ∴是勾股数组． 【难度】0.85 【知识点】勾股树（数）问题 【分析】本题考查了勾股数的概念，正确理解题意是解题关键． （1）观察表格可知，，据此求解即可； （2）根据题意可得股和弦的和，再求出股和弦即可； （3）求出的结果，看是否与相等即可． 【详解】（1）解：由表格可知，， ∴当时，， ∴； 当时，则， ∴， ∴或（舍去），； （2）解：∵m为最小的数， ∴另外两个数的和为， ∴股为，弦为； （3）略 7．（24-25八年级下·山西忻州·期中）阅读与理解阅读下面材料，在理解的基础上解决下列问题． 勾股数，也称为毕达哥拉斯数，是指满足勾股定理的三个正整数a，b，c．其中a和b是直角三角形的两条直角边长，c是斜边长． 勾股数可以通过以下公式生成：，，，其中m和n都是正整数，且． 例如，当，时，，，．因此，是一组勾股数． (1)使用勾股数生成公式，当，时，求对应的勾股数． (2)若小明通过材料中的勾股数生成公式得到勾股数，请你计算他代入的正整数m和的值． 【答案】(1) (2)， 【难度】0.85 【知识点】勾股树（数）问题 【分析】本题考查了勾股数，理解题意是解此题的关键． （1）当，时，代入勾股数生成公式计算即可得解； （2）由题意求出，从而可得，或，，再结合题意验证即可得解． 【详解】（1）解：当，时，代入勾股数生成公式， 得，，． 对应的勾股数是． （2）解：根据题意得，，． ． 又，m，n都是正整数， ，或，． 当，时，，不符合题意； 当，时，，，符合题意． ∴，． 8．（25-26八年级下·山西朔州·期末）学习了勾股数后，我们知道，，，…都是勾股数组．某学习小组分析这些勾股数组发现：，；，；，；…分析其中的规律，解答下列问题． (1)请你根据发现的规律写出下一组勾股数：__________． (2)根据以上规律猜想：三个正整数中，若一个数为（，且n为整数），另外两个数分别为__________，__________时，则这三个数为勾股数． 请你补充完整猜想并验证猜想． 【答案】(1)（10，24，26） (2)，， 证明：∵，， ∴， ∴是勾股数． 【难度】0.62 【知识点】勾股树（数）问题、用代数式表示数、图形的规律、数字类规律探索、运用完全平方公式进行运算 【分析】（1）通过观察得到下一组勾股数组的前两个数为，，利用勾股定理计算或者通过规律得到第三个数是26； （2）由观察归纳得到两个数与n之间的关系，结合代数运算验证猜想的正确性． 【详解】（1）略 （2）略 9．（25-26八年级上·福建漳州·期中）阅读材料，回答问题． 主题 探索勾股数中的奇妙规律 提出问题 下面给出了四组勾股数：①②③④．问题1：请分别计算每组勾股数中三个数字的和，你有什么发现？ 分析猜想 小明由此提出了一个大胆的猜想：任意一组勾股数的三个数字之和，一定是偶数． 推理证明 学习小组对小明的猜想进行了探索，并证明了以下命题： 若、、均为正整数，且．则是偶数． 证明：（ⅰ）当、均为偶数时，设，（、为正整数） 则：① 是正整数是一个完全平方数 设（是正整数），则 ② 是偶数． （ⅱ）当、均为奇数时， 设，，（、为非负整数），则： ∵完全平方数除以4的余数只能是0或1 不是完全平方数，这与是正整数相矛盾， ∴、不能均为奇数． （ⅲ）当、为一个奇数一个偶数时， 不妨设，，（为正整数，为非负整数）…… 问题2：请完成（ⅲ）中所缺的证明过程． (1)解决问题1； (2)请把①②所缺的证明过程补充完整； (3)解决问题2． 【答案】(1)；；；；发现：每组勾股数中三个数字的和为偶数 (2) ① ② (3) 当、为一个奇数一个偶数时， 不妨设，（为正整数，为非负整数） 则： 为奇数，又 是偶数． 综上所述，是偶数． 【难度】0.65 【知识点】勾股树（数）问题 【分析】（1）观察规律发现各组勾股数之和为偶数； （2）①将，代入计算即可求解；②代入，，即可求解； （3）仿照例题证明即可． 【详解】（1）解：；； ；； 发现：每组勾股数中三个数字的和为偶数； （2）略； （3）略． 10．（25-26八年级上·江苏镇江·期末）我国历史上对勾股数的研究有非常辉煌的成就．勾股定理本身就是一个关于、、的方程，我们知道这个方程有无数组解，满足该方程的正整数解通常叫做勾股数，如：． 下面我们来探究一类特殊的勾股数，观察下面的表格并解答下列问题（x，y是正整数，且）： x y 2 1 3 4 5 3 2 5 12 13 5 a 41 … … … … … (1) ； (2)求证：是勾股数； (3)一位同学在他找到的勾股数的表达式中，用（n为正整数且）表示勾股数中最大的一个数，则另外两个数的表达式为 ， ． 【答案】(1)9 (2)见解析 (3) 【难度】0.65 【知识点】勾股树（数）问题、整式四则混合运算、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题主要考查勾股定理，整式的混合运算，理解题意，掌握整式的混合运算法则是关键． （1）根据表格信息，列式求解即可； （2）根据表格，运用整式的混合运算法则证明即可； （3）根据题意将变形得到，则，结合（2）的结论计算即可求解． 【详解】（1）解：根据表格信息，当时，，，， ∵是勾股数，即， ∴， ∴，代入得，， 解得，， 故答案为：9； （2）证明： ， ∴， ∴是勾股数； （3）解：∵， ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴ ， ， 故答案为：，． 11．（25-26八年级上·江苏南京·期中）如果满足等式的a，b，c是三个正整数，我们称a，b，c为勾股数． (1)已知m，n是正整数且，证明：，，是勾股数． (2)请写出任意一组含有68的“勾股数”： ． 【答案】(1)见解析 (2)（答案不唯一） 【难度】0.65 【知识点】勾股树（数）问题 【分析】本题考查勾股数，熟练掌握勾股数，是解题的关键： （1）证明，即可； （2）由（1）将分解为，由（1）得到与，可以构成勾股数，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵m，n是正整数且， ∴，，均是正整数， ∵； 故，，是勾股数． （2）， 由（1）可知，与可以构成勾股数； 故答案为：（答案不唯一）． 12．（25-26八年级上·山西晋中·阶段检测）综合与探究 定义：一般地，若直角三角形三边长都是正整数，那么称为勾股数． 设是两个正整数，且，直角三角形三边长都是正整数．下表中的，，（均小于）可以组成一些有规律的勾股数． ________ _________ ________ (1)请补全表中的勾股数． (2)对表中的数据探究发现，，继续探究发现和也可以用含的代数式表示．请你用含的代数式分别表示，然后证明． (3)某校计划在一块绿地画出一个直角三角形（如图），该直角三角形三边长为米、米、米，且满足上表规律．要求仅在该直角三角形边上种花，且每个顶点处都种一株花，各边上相邻两株花之间的距离均为米．如果最短边可种株花，那么该直角三角形上一共可以种植_______株花． 【答案】(1) 补全表中的勾股数如下： (2) 解：根据表格信息可知，，，， 证明：∵，，， ∴， ∴； (3)． 【难度】0.4 【知识点】勾股树（数）问题、数字类规律探索、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查了勾股数，数字规律，完全平方公式，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据表格中提供的数据可得答案； （）根据表格中规律可得，，，然后通过完全平方公式即可求解； （）设，由于最短边可种株花，则有，从而求出，，从而求解． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：设， ∵最短边可种株花， ∴， 由（）可得，， ∴该直角三角形上一共可以种植花（株）， 故答案为：． 重难点二、判断三边能否构成直角三角形 先把三边长度从小到大排序，设最长边为 c，计算a2+b2与c2对比，相等则为直角三角形，不等则不是。优先平方大数，避免小数计算出错；边长含根号时先平方去根号，简化等式验算。 1．（25-26八年级下·新疆昌吉·期中） 几何学习中，直角三角形是应用广泛的基础图形，下列给出的四组边长数据，能够构成直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.95 【知识点】判断三边能否构成直角三角形 【分析】利用勾股定理的逆定理求解，只需验证三角形中两条较短边的平方和是否等于最长边的平方，即可判断能否构成直角三角形. 【详解】解：选项A：∵，∴不能构成直角三角形； 选项B：∵，∴可以构成直角三角形； 选项C：∵，∴不能构成直角三角形； 选项D：∵，∴不能构成直角三角形； 故选：B. 2．（25-26八年级下·内蒙古呼和浩特·期中）李老师做了一个三角形教具，做好后量得三边长分别是、、，据此李老师判断这个教具的形状一定是直角三角形，李老师这样判断的依据是（   ） A．直角三角形两个锐角互余 B．勾股定理的逆定理 C．三角形内角和等于 D．勾股定理 【答案】B 【难度】0.9 【知识点】判断三边能否构成直角三角形 【分析】利用勾股定理的逆定理求解即可. 【详解】解：∵ 三角形三边长为、、， 而， 即两条较短边的平方和等于最长边的平方， 这种由边长关系判定直角三角形的依据是勾股定理的逆定理. ∴B符合题意. 3．（25-26八年级下·广东阳江·期末）如图，某海警舰艇A在海岛O的北偏西，处，遇险渔船B与海警舰艇A相距，渔船B与海岛O相距，则渔船B在海岛O的（     ） A．北偏东 B．北偏东 C．东偏北 D．东偏北 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】方向角的表示、判断三边能否构成直角三角形 【分析】根据勾股定理的逆定理判断为直角三角形，得出，再结合方位角的定义计算即可. 【详解】解：由题意，， ， ，， 是直角三角形，且， 舰艇在海岛的北偏西方向 与正北方向的夹角为， 与正北方向的夹角为， 渔船在海岛的北偏东方向 上. 4．（25-26八年级上·江苏泰州·期末）已知直角三角形的两条直角边长为a，b，斜边长为c，下列说法正确的是（   ） A．长分别为，，的三条线段一定能组成一个直角三角形 B．长分别为，，的三条线段一定能组成一个直角三角形 C．长分别为，，的三条线段一定能组成一个直角三角形 D．长分别为，，的三条线段一定能组成一个直角三角形 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】用勾股定理解三角形、判断三边能否构成直角三角形 【分析】本题需依据勾股定理及其逆定理，结合直角三角形三边关系，对各选项逐一验证判断即可． 【详解】解：∵直角三角形的两条直角边长为a，b，斜边长为c， ∴， A、∵ ∴长为的三条线段满足勾股定理逆定理，能组成直角三角形； B、举反例，取原直角三角形三边为，则新三边为， ∵，，， ∴不满足勾股定理逆定理，不能组成直角三角形； C、举反例，取原直角三角形三边为，则新三边为， ∵，，， ∴不满足勾股定理逆定理，不能组成直角三角形． D、举反例，取原直角三角形三边为，则新三边为， ∵，，， ∴不满足勾股定理逆定理，不能组成直角三角形． 故选：A． 5．（25-26八年级下·全国·暑假作业）以下列所给数据为三角形的各边长，组成的三角形是直角三角形的有（     ） ①7，24，25；        ②，，； ③，，；    ④1，，． A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 【答案】C 【难度】0.45 【知识点】判断三边能否构成直角三角形 【分析】对四组边长分别判断，找出最长边，验证两条较短边的平方和是否等于最长边的平方，即可求解 【详解】解：① 对边长，最长边为， 计算得，满足勾股定理逆定理，是直角三角形； ② 对边长，比较可得是最长边． 计算得，满足勾股定理逆定理，是直角三角形； ③ 对边长，最长边为． 展开计算得， ，两者不相等，不满足条件，不是直角三角形； ④ 对边长，最长边为， 计算得，满足勾股定理逆定理，是直角三角形． 综上，共有①②④3组符合条件． 6．（25-26八年级下·全国·周测）给出下列几组数据：①3，4，5；②1，3，4；③4，4，6；④6，8，10；⑤5，7，2；⑥13，5，12；⑦7，25，24．以每组数据为三边长，可构成三角形的有____________；可构成直角三角形的有____________．（填序号） 【答案】 ①③④⑥⑦ ①④⑥⑦ 【难度】0.85 【知识点】构成三角形的条件、判断三边能否构成直角三角形 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理和三角形的三边关系定理的应用，注意：如果一个三角形的两边、的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形． 根据三角形三边关系定理和勾股定理逐一判断每组数据． 【详解】解：根据三角形三边关系定理，任意两边之和大于第三边，可判断： ①，，，能构成三角形； ②，不大于，不能构成三角形； ③，，，能构成三角形； ④，，，能构成三角形； ⑤，不大于，不能构成三角形； ⑥，，，能构成三角形； ⑦，，，能构成三角形. 故可构成三角形的有①③④⑥⑦. 对于能构成三角形的组，应用勾股定理判断： ①，是直角三角形； ③，不是直角三角形； ④，是直角三角形； ⑥，是直角三角形； ⑦，是直角三角形， 故可构成直角三角形的有①④⑥⑦. 故答案为：①③④⑥⑦；①④⑥⑦． 7．（25-26八年级下·安徽淮南·阶段检测）某社区计划对一处地块进行绿化改造，如图，已知．规划在地块内设置休闲区，其中区域作为活动空间，测得． (1)判断的形状，并说明理由； (2)求阴影绿化区域的面积． 【答案】(1)是直角三角形，理由如下： ， ， ， 是直角三角形． (2) 【难度】0.62 【知识点】用勾股定理解三角形、判断三边能否构成直角三角形 【分析】（1）根据勾股定理的逆定理进行证明即可； （2）根据勾股定理求出，再由阴影部分的面积是，即可得到答案． 【详解】（1）解：略； （2）解：在中，， 由勾股定理，得， ． 8．（2026·北京丰台·二模）下面给出了勾股定理的逆定理及其证明方法，请根据证明中辅助线的作法用尺规完成作图，并将证明过程补充完整． 勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形是直角三角形． 已知：在中，，，，且． 求证：是直角三角形． 证明：作，在上截取，上截取，连接． （________）（填推理的依据）， 即． ________（已知）， ． 在和中， ，，________， （________）（填推理的依据）． ，即是直角三角形． 【答案】解：如图 勾股定理； ； ； ． 【难度】0.65 【知识点】用SSS证明三角形全等（SSS）、判断三边能否构成直角三角形、作线段(尺规作图) 【分析】先作一个直角，使其两条直角边与已知的两边对应相等，利用勾股定理算出新三角形斜边长度等于，再通过证明两个三角形全等，从而推出有直角，完成逆定理证明． 【详解】略 9．（25-26七年级下·宁夏银川·期末）我国古代的数学家们不仅很早就发现并应用勾股定理，而且很早就尝试对勾股定理作理论的证明．最早对勾股定理进行证明的是三国时期吴国的数学家赵爽，他创制了如图①所示的“勾股圆方图”，即“赵爽弦图”，在该图中，大正方形是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形组成的，其中是直角三角形的斜边，a，b分别是直角三角形的两条直角边，并用形数结合的方法，给出了勾股定理的详细证明． (1)请利用图①证明勾股定理； (2)图②是由赵爽弦图变化得到的，它是由八个全等的直角三角形拼接而成的．记图中正方形的面积为，正方形的面积为，正方形的面积为，若正方形的边长为4，求的值； (3)如图③，若正方形的边长为10，，连接，求的长． 【答案】(1)证明：由图可得，大正方形的面积可表示为，也可表示为， ∴， ∴， ∴． (2)48 (3) 【难度】0.45 【知识点】勾股定理的证明方法、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形、全等的性质和SSS综合（SSS）、判断三边能否构成直角三角形、运用完全平方公式进行运算 【分析】（1）根据大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形的面积的和，即可求解； （2）设八个全等的直角三角形的长直角边为，短直角边为，即，，可得，，，即可求解； （3）延长交于点，证明，可得，可得，在中，，，，可得，再证明，可得，，，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：设八个全等的直角三角形的长直角边为，短直角边为，即，， ∴，，， ∴ ． （3）解：如图，延长交于点， ∵正方形的边长为10， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵在中，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，，， ∴，，， ∴在中，． 10．（25-26八年级下·重庆·期中）如图1，四边形中，，分别以线段，，，边向外作正方形，正方形的面积分别为，，，，连接，利用勾股定理可以得到：．根据材料提示完成下列问题： (1)如图2，是中边上的高，分别以线段，，，为边向外作正方形，正方形的面积分别为，，，，请写出，，，的等量关系___________； (2)如图3，在中，，，点是上一点，且，若，求证：是直角三角形； (3)如图4，在中，分别以线段，，为边向外作正方形，正方形的面积分别，，试求出的面积． 【答案】(1) (2)证明：∵， ∴设，则， ∵ ∴， ∵，， ∴在和中， ， 解得或（不符合题意，舍去）， ∴， ∵， ， ∴， ∴是直角三角形； (3) 【难度】0.49 【知识点】以直角三角形三边为边长的图形面积、用勾股定理解三角形、利用勾股定理证明线段平方关系、判断三边能否构成直角三角形 【分析】（1）在两个直角三角形中利用勾股定理分别表示，得出各边平方的关系，将正方形面积转化为边长平方，即可得出四个面积的等量关系； （2）设表示出，利用双直角三角形共高列方程求出，再用勾股定理逆定理证明是直角三角形即可； （3）由正方形面积得三边平方与长，作高设元，利用共高列方程求高，最后用面积公式计算的面积即可． 【详解】（1）解：在和中， ，， ∴， ∴， ∵，，，， ∴； （2）略 （3）解：如图，过点作于点， 设，则， ∵， ∴， ∵， ∴和中， ， 解得， ∴， ∴， ∴． 重难点三、在网格中判断直角三角形 用网格横向、纵向格数，勾股定理算出三边长度平方，再验证两短边平方和等于最长边平方。 不用算出边长，直接比较平方值；也可观察两边横竖线段垂直，快速直观判定直角。 1．（2021·福建厦门·二模）三个顶点都在网格点上，且有一个角为直角的三角形称为网格直角三角形．在的网格图中，若为网格直角三角形，则满足条件的点个数有（    ） A．6 B．7 C．13 D．15 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】在网格中判断直角三角形 【分析】根据题意，分别以A，B，C三个点为直角顶点构造网格直角三角形即可得解． 【详解】根据题意，分别以A，B，C三个点为直角顶点构造网格直角三角形，满足条件的C点如下图所示： 则满足条件的点个数有13个， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了直角三角形的构造，熟练掌握分情况构造的方法是解决本题的关键． 2．（22-23九年级上·广东梅州·阶段检测）已知：如图，在方格图中_____________．    【答案】/45度 【难度】0.85 【知识点】在网格中判断直角三角形 【分析】根据勾股定理的逆定理解答即可． 【详解】解：连接，    ∵，，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 故答案为：． 【点睛】此题考查了勾股定理及勾股定理的逆定理，关键是得出是等腰直角三角形． 3．（23-24七年级上·山东烟台·期中）是网格纸中的格点三角形，试判断该三角形的形状，并求其面积．    【答案】是直角三角形， 【难度】0.85 【知识点】在网格中判断直角三角形 【分析】本题主要考查勾股定理的逆定理及求三角形的面积，解题的关键是掌握勾股定理逆定理．根据勾股定理逆定理判断三角形的形状，再求其面积即可． 【详解】 解：，， ， 是直角三角形， ， ， ． 4．（23-24九年级上·浙江宁波·期中）如图，是一个的网格，每个小正方形的边长均为1． (1)在图1中，画一个以为一边的等腰直角三角形． (2)在图2中，用一把无刻度直尺，在线段中作出一点，使得，并保留作图痕迹． 【答案】(1)如图所示，即为所求； (2)如图所示，点C即为所求； 【难度】0.85 【知识点】勾股定理与网格问题、相似三角形的判定与性质综合、在网格中判断直角三角形 【分析】本题主要考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，相似三角形的性质与判定，灵活运用所学知识是解题的关键． （1）如图所示，取格点C，连接，则即为所求； （2）如图所示，取格点D、E，连接交于C，点C即为所求． 【详解】（1）解：利用勾股定理和勾股定理的逆定理易证明，，则为等腰直角三角形； （2）解；易证明，则，则点C即为所求． 5．（25-26七年级上·江苏·期末）如图．在正方形网格中，每个小方格的边长都为单位1，点在正方形网格的格点上．请按下述要求画图并回答问题： (1)确定一个格点，画直线，使得垂直； (2)画射线，则与所在直线的位置关系是：__________；（填“平行”或“相交”）； (3)画线段，则四边形的面积是__________． 【答案】(1)如图： (2)相交 (3)14.5 【难度】0.65 【知识点】在网格中判断直角三角形、格点作图题、平面内两直线的位置关系、利用网格求三角形面积 【分析】本题考查了网格作图，熟练掌握全等三角形的性质，平移性质，三角形面积公式，是解题的关键． （1）取格点，画直线，使得垂直； （2）画射线，与所在直线的位置关系是相交； （3）画线段，四边形的面积等于的正方形面积减去周围３个三角形面积． 【详解】（1）解：取格点，画直线，使得垂直． 理由：如下图，∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：画射线，与所在直线的位置关系是相交， 理由：把线段平移到线段的位置， 则， ∵点H在外， ∴， ∴射线与直线在直线的右下方相交． 故答案为：相交． （3）解：画线段， ∵四边形在一个的正方形中， ∴四边形的面积为 ． 故答案为：14.5． 6．（23-24九年级下·四川广元·开学考试）已知在7×7的网格中，每个小正方形的边长为1，在下列正方形网格中用无刻度的直尺按要求作图： (1)如图1，与交于点 M； ①找格点 E，使 ； ②直接写出 的度数 ． (2)如图2，点A、B、C均在格点上，依照（1）中方法在上作点 M，使． 【答案】(1)①见解析 ② (2)见解析 【难度】0.65 【知识点】勾股定理与网格问题、在网格中判断直角三角形、格点作图题、等腰三角形的性质和判定 【分析】（1）①根据格点特点把向上平移1格即可；②先证明为等腰直角三角形，再利用平行线的性质可得答案； （2）如图2中，取格点，连接， 把向左边平移2格得到线段，再以为底边构造等腰直角三角形，记与的交点为，即为所求． 【详解】（1）解∶  ①如图1中， 直线即为所求； ②∵，， ∴，， ∴，， ∵， ∴； （2）解：如图2中，取格点，连接， 把向左边平移2格得到线段，再以为底边构造等腰直角三角形，记与的交点为，即为所求． 理由：同理可得：，， 而， ∴． 【点睛】本题考查的是平移的性质，平行线的性质，勾股定理与勾股定理的逆定理的应用，等腰直角三角形的判定与性质，熟练的利用网格特点作图是解本题的关键． 7．（21-22八年级下·湖北咸宁·期末）如图，在每个小正方形的边长均为1的网格中，线段的两个端点均在格点（正方形的顶点）上． (1)线段的长为__________； (2)若是直角三角形，则网格中满足条件的格点C共有__________个． (3)在网格中以为边所作格点菱形（菱形的四个顶，点都在格点上）的面积最小值为__________． 【答案】(1) (2)6 (3)3 【难度】0.65 【知识点】勾股定理与网格问题、在网格中判断直角三角形、利用菱形的性质求面积 【分析】（1）构造直角三角形，勾股定理可求得． （2）△ABC是直角三角形，可知图中画出6个点． （3）分别求出三个菱形面积，比较大小． 【详解】（1） 勾股定理得 AB= 故答案为： （2）如图所示共有6个 故答案为：6 （3） 第一个菱形面积33-214=5 第二个菱形面积：24=4 第三个菱形面积：33-214-2=3 故答案为：3 【点睛】此题考查了网格中作图，解题关键是构造直角三角形和能求面积的规则图形． 8．（2021·吉林长春·二模）如图，网格中有一条线段，点、都在格点上，网格中的每个小正方形的边长为1．请在图①和图②中各画出一个格点，使是直角三角形，且，并满足以下要求： （1）在图①中画出的三角形的两条直角边的长度均为有理数（画出一个即可）． （2）在图②中画出的三角形的两条直角边的长度均为无理数（画出一个即可）． （3）满足（1）、（2）的共有 个． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）6． 【难度】0.65 【知识点】在网格中判断直角三角形 【分析】（1）根据要求作出图形即可，有两种情形,任意一种即可； （2）根据要求作出图形即可，有四种情形,任意一种即可； （3）根据（1）（2）的图形即可解答． 【详解】解：（1）点C的位置如图①所示，△ABC、△ABC1中任意一个即为所求； （2）点C的位置如图②所示，△ABC、△ABC1、△ABC2、△ABC中任意一个即为所求；                         （3）如图可得：满足（1）的共有2个，满足（2）的有4个，则满足（1）、（2）的共有共有6个． 【点睛】本题主要考查了基本作图、无理数、直角三角形等知识，掌握数形结合的思想成为解答本题的关键． 模块二、勾股定理的逆定理 重难点一、利用勾股定理的逆定理求解 已知三边长，排序后验证a2+b2=c2，成立则最长边对角为直角，结合直角性质求面积、角度。 遇线段、三角形证明直角，优先用逆定理计算边长平方，比角度推导更简便。 1．（24-25八年级上·河北保定·阶段检测）车间新造了一个三角形零件，测得三角形零件的三边长分别为，则三角形零件的面积是（    ） A． B．0.9 C．0.75 D．0.54 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】利用勾股定理的逆定理求解 【分析】本题考查勾股定理逆定理的应用，根据勾股定理逆定理可得此三角形为直角三角形，两直角边分别为，即可求解面积． 【详解】解：∵测得三角形零件的三边长分别为， ∴， ∴该三角形零件为直角三角形， ∴面积为：， 故选：D． 2．（25-26九年级上·河北廊坊·期末）一张圆形纸片，圆周被等分，等分点分别为，圆形纸片的部分示意图如图所示，若的半径是2，弦，则（   ） A．8 B．10 C．12 D．14 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】圆心角概念辨析及简单运算、利用勾股定理的逆定理求解 【分析】本题考查了圆心角、勾股定理的逆定理等知识，熟练掌握圆心角的概念是解题关键．连接，先根据勾股定理的逆定理可得，再根据圆的性质求出圆心角，则，由此即可得． 【详解】解：如图，连接， ∵的半径是2， ∴， ∵弦， ∴， ∴是直角三角形，， ∵圆形纸片被等分， ∴， ∴， 解得，经检验，是所列分式方程的解． 故选：C． 3．（24-25八年级上·北京昌平·期末）已知：如图，在中，于点D，，下列结论中，正确的是（   ） ①当时，则． ②当时，则． ③当时，则． ④当时，则． A．①② B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】利用勾股定理的逆定理求解、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了勾股定理以及逆定理，以及三角形的面积，掌握勾股定理是解题的关键． 利用勾股定理和勾股定理逆定理，以及等面积法得到进行求解． 【详解】解：①当时，则，正确，故①符合题意； ②当时，，则， ∵，， 不成立，故②不符合题意，④符合题意； ③∵于点D，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，故④正确，符合题意， ∴正确的有①③④， 故选：C． 4．（24-25八年级下·内蒙古乌兰察布·期中）如图，小红家的木门左下角有一点受潮，她想检测门是否变形，采用了如下方法进行检测：先测得门的边和的长分别为和，又测得点A与点C间的距离为，则小红家的木门______（填“已变形”或“没有变形”）． 【答案】没有变形 【难度】0.85 【知识点】利用勾股定理的逆定理求解 【分析】本题考查了勾股定理的逆用，解题的关键是得出三边满足勾股定理即可求解． 【详解】解： 和的长分别为和，又测得点A与点C间的距离为， ， ， 则小红家的木门没有变形， 故答案为：没有变形． 5．（22-23八年级下·湖北襄阳·期末）学校操场边有一块三角形的空地，三边长分别是，，，为了美化校园环境，学校决定对这块空地进行绿化，绿化费用为50元/，绿化这块空地需要______元． 【答案】3000 【难度】0.85 【知识点】利用勾股定理的逆定理求解 【分析】根据勾股定理的逆定理得出这块空地是直角边为和的直角三角形，求出这块空地的面积，然后再计算需要的费用即可． 【详解】解：∵， ∴这块空地是直角边为和的直角三角形， ∴这块空地的面积为， ∴绿化这块空地需要的费用为元， 故答案为：3000． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理，如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形是直角三角形． 6．（23-24八年级下·陕西商洛·期末）如图，有一块三角形花圃，其中，现要沿搭建一条隔断，把花圃分成两个区域分别种植不同的花卉，点D、E分别在上，，请求出隔断的长． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】利用勾股定理的逆定理求解、用勾股定理解三角形 【分析】题目主要考查勾股定理及其逆定理，理解题意，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题关键． 根据勾股定理逆定理得出是直角三角形，再由勾股定理求解即可． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴是直角三角形，且．     ∵， ∴， ∴． 7．（23-24八年级上·河南洛阳·期末）某运动会本着环保、舒适、温馨的出发点，对运动员休息区进行了精心设计．如图，四边形为休闲区域，四周是步道，中间是花卉种植区域，为减少拥堵，中间穿插了氢能源环保电动步道．经测量，，，．    (1)求氢能源环保电动步道的长； (2)证明：． 【答案】(1)15 (2) 证明：∵，，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴． 【难度】0.85 【知识点】利用勾股定理的逆定理求解、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理： （1）直接利用勾股定理进行求解即可； （2）利用勾股定理的逆定理证明，进而得到即可得到结论． 【详解】（1）解：∵，，， ∴在中，由勾股定理得， ∴氢能源环保电动步道的长是15． （2）略 8．（25-26八年级下·河北邢台·期末）某校为了规范停车，在操场边新建了一个简易自行车棚，其侧面示意图如图所示，经测量得，，，，． (1)求的长度； (2)施工图纸上标明安装时要为，请你验证该车棚是否符合图纸上的安装要求． 【答案】(1) (2)符合图纸上的安装要求 【难度】0.62 【知识点】利用勾股定理的逆定理求解、用勾股定理解三角形 【分析】（1）由勾股定理直接求解即可； （2）由勾股定理逆定理求解即可． 【详解】（1）解：在中，根据勾股定理可得， 因此，即的长度为； （2）解：在中，， ∴， ∴是直角三角形，，即该车棚符合图纸上的安装要求． 9．（25-26八年级下·河北唐山·期中）用一根长为的绳子围成，已知． (1)的长为_____． (2)求点到的距离． 【答案】(1)8 (2) 【难度】0.74 【知识点】利用勾股定理的逆定理求解、与三角形的高有关的计算问题 【分析】（1）由题意得的周长为，再根据即可求解； （2）先证明是直角三角形，且，即可解答． 【详解】（1）解：由题意得的周长为， ∵， ∴； （2）解：在中， ，且 ， ， 是直角三角形，且， 点到的距离为． 10．（25-26八年级上·重庆·阶段检测）我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，即三角形的三边长分别为，，，则其中三角形的面积.此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，如果设，那么其三角形的面积，这个公式便是海伦公式，也被称为海伦——秦九韶公式． (1)如图，若的三边长依次为，，．请利用以上公式（任选一个），求该三角形的面积； (2)如图，在四边形中，，，，，，求该四边形的面积． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】利用勾股定理的逆定理求解 【分析】本题主要考查了勾股定理，二次根式的运算． （1）利用题干给出的海伦公式即可求解； （2）连接，先利用勾股定理求出，再结合题干的海伦公式计算即可作答． 【详解】（1）解：选择海伦提出的公式， ∵， ∴， ∴； （2）解：连接，如图 ∵，，， ∴， ∴， ∵，， ∴在中，， 即：， ∴该四边形的面积． 11．（25-26八年级上·四川成都·阶段检测）第12届世界运动会于2025年8月7日至8月17日在四川成都举行，健身运动的热潮也席卷全市，更多的人开始运动健身．为了方便人们运动，现在对市郊区绿道进行修整．绿道分布具体如下：已知，，，点B在点C的正西方向，点D在点C的正北方处． (1)试判断与的位置关系，并说明理由； (2)修整好后，居委会派出无人机进行环境检测，无人机从A飞到D，求线段的长度． 【答案】(1) 解：与的位置关系为，理由： 根据题意可知， ，，， ∴， 又∵，， ∴， ∴是直角三角形，， ∴． (2)线段的长度为． 【难度】0.65 【知识点】利用勾股定理的逆定理求解、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查勾股定理，勾股定理的逆定理． （1）由勾股定理可得，根据勾股定理的逆定理可得，从而可得与的位置关系； （2）作，交延长线于点，则四边形是长方形，根据勾股定理即可得线段的长度． 【详解】（1）略 （2）解：作，交延长线于点，则四边形是长方形， ∴，，， ∴， ∴ ∴线段的长度为． 12．（21-22八年级上·河北石家庄·期末）【问题情境】上课时，小明用4张全等的直角三角形纸片拼成如图1的正方形． （1）利用此图可以验证勾股定理吗？如果可以，请写出验证过程，如果不可以，请说明理由；         【灵活运用】 （2）现将图1中上方的两个直角三角形向内折叠，如图2，若，，此时空白部分的面积为 ； （3）用三张正方形纸片，按如图3所示方式构成图案，下面是三张正方形纸片面积的选取情况，若要使所围成的三角形是直角三角形，可以选取 ；(填序号) ①1，2，3；②2，2，4；③3，4，5；④2，3，5． 【答案】（1）利用此图可以验证勾股定理；理由见解析；（2）28；（3）①②④ 【难度】0.65 【知识点】勾股定理的证明方法、利用勾股定理的逆定理求解 【分析】本题主要考查了勾股定理的验证及应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么． （1）根据空白部分的面积的两种表示方法即可求解； （2）用边长为c的正方形减去两个三角形的面积即可得出答案； （3）根据三角形为直角三角形，则面积最大的正方形的面积等于其他两个正方形的面积和，据此逐一判断即可． 【详解】解：（1）空白部分可以看作边长为c的正方形，则正方形的面积为， 空白部分的面积可以用边长为的正方形的面积减去周围4个直角三角形的面积，即中间空白部分面积为：， ∴； （2）根据勾股定理得：， ∵两个直角三角形向内折叠后没有重叠部分， ∴空白部分的面积为：； 故答案为：28； （3）若三角形为直角三角形，则面积最大的正方形的面积等于其他两个正方形的面积和， ①当三张纸片面积为1，2，3时， ∵， ∴中间所围成的三角形是直角三角形； ②当三张纸片面积为2，2，4， ∵， ∴中间所围成的三角形是直角三角形； ③当三张纸片面积为3，4，5， ∵， ∴中间所围成的三角形不是直角三角形； ④当三张纸片面积为2，3，5， ∵ ∴中间所围成的三角形是直角三角形； 故答案为：①②④． 13．（24-25八年级下·福建南平·期中）如图1，在正方形中，点E是的中点，点F是边上的一点，且，连接、． (1)求证：； (2)如图2，将沿翻折，得到，其中，点G是点A的对应点． ①连接，求证：C、G、F三点在同一条直线上； ②如图3，连接，请直接写出线段与线段的数量关系． 【答案】(1) 连接， ∵正方形，点E是的中点，， ∴设，则，，， ∴，，， ∴， ∴， (2)①根据翻折的性质，得到， ∴，，， 由（1）得，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴C、G、F三点在同一条直线上， ② 【难度】0.4 【知识点】利用勾股定理的逆定理求解、全等三角形综合问题、用勾股定理解三角形、线段问题(轴对称综合题) 【分析】（1）设，根据正方形的性质，点E是的中点，，在，中应用勾股定理，得到，即可得证， （2）①根据翻折的性质，得到，通过，得到，即可得证，②由，，，，得到，根据翻折的性质得到，结合，求出，即可求解． 本题考查了正方形的性质，勾股定理，勾股定理逆定理，翻折的性质，全等三角形的性质与判定，解题的关键是：熟练掌握全等三角形与勾股定理． 【详解】（1）略 （2）解：① 略 ②由（1）（2）得，，，， ∴， ∵， ∴， ∴，解得：， ∴． 14．（24-25八年级上·福建泉州·期末）小明学习了勾股定理之后，探究“如何用一条已知线段构造一个直角三角形且使其周长恰好等于线段的长”． (1)如图1，已知线段，小明在线段上取点和，使得，，再将线段，，围成三角形，求证：所围成的三角形是直角三角形； (2)如图2，点为线段上一点，请在线段上作点，使，，恰好能构成一个直角三角形（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (3)已知正方形、正方形的边长分别为有理数、有理数，且满足，，若正方形的面积等于正方形和正方形的面积之和，求证：正方形的边长也是有理数． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3)见详解 【难度】0.4 【知识点】利用勾股定理的逆定理求解、通过对完全平方公式变形求值、作线段(尺规作图) 【分析】（1）分别算出每个线段的长度，再运用勾股逆定理进行验证，即可作答． （2）以点为圆心，的长为半径，画弧交线段于一点，即，再分别以点和为圆心，画弧，交于一点D，连接，直线是的垂直平分线，即在的上方的处取一点E，使得，连接，再作的垂直平分线，与交于一点F，再以点为圆心，为半径画弧，交线段于一点，即为点，则，，在，则，所以，即可作答． （3）先设正方形C的边长为，则，因为，所以，则，整理得，结合，故，因为，所以，结合都是有理数，即正方形C的边长为有理数． 本题考查了完全平方公式以及勾股逆定理，垂直平分线的性质，第（2）问难度较大，对学生的尺规作图能力有一定的要求，综合性较强，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴ ∵， ∴ ∴以线段，，围成三角形，所围成的三角形是直角三角形； （2）解：依题意，使，，恰好能构成一个直角三角形，如图所示： （3）解：设正方形C的边长为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 则， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵都是有理数， ∴也是有理数， 即正方形C的边长为有理数． 重难点二、勾股定理逆定理的拓展问题 结合折叠、动点、四边形分割，拆分图形求出各边平方，用逆定理判定隐藏直角，再结合面积、线段长计算。不规则图形拆分为三角形，标记各段边长，统一用平方运算，减少开方带来的计算误差。 1．（20-21八年级下·山西吕梁·期末）根据勾股定理，任意直角三角形的两条直角边长 ， ，和斜边长都是含三个未知数的方程 的一组解，而每一组勾股数（例如3，4，5；5，12，13；等）都是这个方程的正整数解．高于二次的方程，，，…是否也有正整数解呢？法国数学家费马经过研究得出结论：当自然数 时，方程没有正整数解．这个命题的证明引起了世界各国数学家的关注，最终由英国数学家怀尔斯于1995年完成了证明．困扰了数学家300多年历史的数学难题终于得到解决，在解决这一数学难题的过程中，反映了一代代数学家艰苦探索、不屈不挠的科学精神和聪明智慧．这个定理的证明被称为“世纪性的成就”．这个定理指的是（    ） A．费马大定理 B．怀尔斯大定理 C．勾股定理 D．勾股定理的逆定理 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】勾股定理逆定理的拓展问题 【分析】根据“法国数学家费马经过研究得出结论：当自然数时，方程没有正整数解，”即可得到答案． 【详解】法国数学家费马经过研究得出结论：当自然数时，方程没有正整数解． ∴这个定理指的是费马大定理 故选：A． 【点睛】本题主要考查了学生对于数学课外阅读的认知程度，解题的关键是要多了解有关数学的课外知识． 2．（21-22八年级下·福建厦门·期中）定义：如图，点M，N（点M在N的左侧）把线段AB分割成AM，MN，NB．若以AM，MN，NB为边的三角形是一个直角三角形，则称点M、N是线段AB的购股分割． (1)已知M、N把线段AB分割成AM，MN，BN，若，，，则点M、N是线段AB的勾股分割点吗？请说明理由； (2)已知点M、N是线段AB的勾股分割点，且AM为直角边，若，，求BN的长． 【答案】(1) 是．理由如下： ∵AM2＋BN2＝1.52＋22＝6.25，MN2＝2.52＝6.25， ∴AM2＋NB2＝MN2， ∴AM、MN、NB为边的三角形是一个直角三角形， ∴点M、N是线段AB的勾股分割点． (2)BN＝12或13 【难度】0.65 【知识点】用勾股定理解三角形、勾股定理逆定理的拓展问题 【分析】（1）根据勾股定理逆定理，即可判断点M、N是线段AB的勾股分割点． （2）设BN＝x，则MN＝30−AM−BN＝25−x，分三种情形①当AM为最大线段时，依题意AM2＝MN2＋BN2，②当MN为最大线段时，依题意MN2＝AM2＋NB2，③当BN为最大线段时，依题意BN2＝AM2＋MN2，分别列出方程即可解决问题． 【详解】（1）略 （2）设BN＝x，则MN＝30−AM−BN＝25−x， ①当MN为最大线段时，依题意MN2＝AM2＋NB2， 即（25−x）2＝x2＋25， 解得x＝12； ②当BN为最大线段时，依题意BN2＝AM2＋MN2． 即x2＝25＋（25−x）2， 解得x＝13， 综上所述，BN＝12或13． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理的运用，解题的关键是理解题意，学会分类讨论，注意不能漏解． 3．（22-23八年级上·贵州·期中）如图，在笔直的公路旁有一条河流，为方便运输货物，现要从公路上的D处建一座桥梁到达C处，已知点C与公路上的停靠站A的直线距离为，与公路上另一停靠站B的直线距离为，公路AB的长度为，且． (1)求证：； (2)求修建的桥梁的长． 【答案】(1) 证明：由题可知，，． ∵， 即， ∴是直角三角形，且， ∴． (2) 【难度】0.85 【知识点】判断三边能否构成直角三角形、勾股定理逆定理的拓展问题 【分析】（1）根据勾股定理的逆定理即可求证； （2）根据即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵，，，， ∴． 答：修建的桥梁CD的长为． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理，解题的关键是掌握如果三角形的两边平方和等于第三边的平方，则这个三角形是直角三角形． 4．（21-22八年级下·河南省直辖县级单位·期末）【再读教材】：我们八年级下册数学课本第16页介绍了“海伦—秦九韶公式”：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么三角形的面积为． 【解决问题】：已知在中，，，． (1)请你用“海伦—秦九韶公式”求的面积． (2)除了利用“海伦—秦九韶公式”求的面积外，你还有其它的解法吗？请写出你的解法． 【答案】(1)15 (2)有，见解析 【难度】0.85 【知识点】利用勾股定理的逆定理求解、以直角三角形三边为边长的图形面积、判断三边能否构成直角三角形 【分析】（1）直接用海伦—秦九韶公式计算面积即可； (2)计算得到AC2+BC2=AB2，即△ABC为直角三角形，直接两直角边的积除以2求面积， 【详解】（1）∵，，    ∴ ∴ （2）证明：∵，， ∴，， ∴ ∴ 所以∆ABC为直角三角形； ∴ 【点睛】本题考查了代数式求值，勾股定理逆定理，准确计算是解题关键． 5．（25-26八年级上·江苏泰州·期中）已知：，，． (1)当时，的值等于______．（结果用科学记数法表示） (2)当时，以a，b，c的值为三边长的三角形面积是______．（直接写出答案） (3)若两个正整数的平方和等于另一个正整数的平方，则称这三个数为勾股数．小明发现：当n取大于1的整数时，a，b，c为勾股数．你认为小明的发现正确吗？请通过计算说明理由． 【答案】(1) (2)60 (3)正确，理由见解析 【难度】0.65 【知识点】整式的混合运算、勾股定理逆定理的拓展问题、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，科学记数法，整式的混合运算，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． （1）根据题意可得，把代入计算，并应用科学记数法表示方法表示即可； （2）先由勾股定理的逆定理证明这个三角形是直角三角形，且是斜边，再利用三角形的面积公式计算即可； （3）先计算，再由勾股定理的逆定理即可得出结论． 【详解】（1）解：， 当时， ； 故答案为：； （2）解：，，， 当时，，，， ， 这个三角形是直角三角形，且是斜边， 这个三角形的面积是， 故答案为：； （3）解：小明的发现正确，理由如下： ， ， 当取大于1的整数时，、、为一组勾股数． 6．（25-26八年级上·全国·课后作业）若正整数a，b，c满足方程，则称这一组正整数为“商高数”．下面列举5组“商高数”：，，，，，注意这5组“商高数”的结构有如下规律： 根据以上规律，回答以下问题： (1)写出各数都大于30的两组“商高数”； (2)用两个正整数表示一组“商高数”，并证明你的结论． 【答案】(1)两组数为：   (2)“商高数”可表示为由, , 三个数构成的数组，证明见解析 【难度】0.4 【知识点】勾股定理逆定理的拓展问题 【分析】（1）根据“商高数”的规律，设正整数，则“商高数”可表示为由, , 三个数构成的数组，取适当的值代入即可； （2）由（1）总结的“商高数”规律，直接证明即可. 【详解】（1）解：根据“商高数”的规律，设正整数，则“商高数”可表示为由, , 三个数构成的数组，通过选择合适的使用均大于； 第一组：取，即. 第二组：取，即. （2）解：用两个正整数，则“商高数”可表示为由, , 三个数构成的数组， 设， 证明：， ， ， . . 即：“商高数”可表示为由, , 三个数构成的数组”． 【点睛】本题考查了新定义问题中的规律问题，实质上是勾股数的规律问题，找出数列规律是解题的关键. 7．（23-24八年级下·福建莆田·阶段检测）定义：若a，b，c是的三边，且，则称为“方倍三角形”． (1)对于①等边三角形②直角三角形，下列说法一定正确的是 ． A．①一定是“方倍三角形”                B．②一定是“方倍三角形” C．①②都一定是“方倍三角形”            D．①②都一定不是“方倍三角形” (2)如图，中，，，P为边上一点，将沿直线进行折叠，点A落在点D处，连接，．若为“方倍三角形”，且，求的面积． 【答案】(1)A (2) 【难度】0.4 【知识点】用勾股定理解三角形、勾股定理逆定理的拓展问题 【分析】本题考查了翻折变换、等边三角形的性质，解决本题的关键是掌握等边三角形的性质． （1）根据“方倍三角形”定义可得，等边三角形一定是“方倍三角形”，直角三角形不一定是“方倍三角形”进而可以判断； （2）根据题意可得，根据“方倍三角形”定义可得为等边三角形，从而证明为等腰直角三角形，可得，延长交于点，根据勾股定理求出的长，根据为等腰直角三角形，可得，进而可以求的面积． 【详解】（1）解：对于①等边三角形，三边相等， 设边长为， 则， 根据“方倍三角形”定义可知： 等边三角形一定是“方倍三角形”； 对于②直角三角形，三边满足关系式： ， 根据“方倍三角形”定义可知： 直角三角形不一定是“方倍三角形”； 故答案为：； （2）由题意可知： ， ，， 根据“方倍三角形”定义可知： ， ， 为等边三角形，， ， ， ， ， ， ，， ， ， 为等腰直角三角形， ， ， 延长交于点，如图， ， ，， ， ， ， 为等腰直角三角形， ， ． 1 / 10 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